一类特殊的有限群

的有限循环群是超 尸 ． 群，并给 出了一 个 ２ １阶的有限非 Ａｂｌ ｎ群是超 尸・ ｅｉ ａ 群． 关键词 ：序 列；Ｒ． 序列；导群；尸． 群；超 尸－ 群； 中图分类号： ５ ： Ｏｌ２１ 文献标识码： Ａ
１ 预 备知识
定义 １ ， 阶有限群 Ｇ， Ｇ 中元素可 以排成这样一个序ｙ ：ｏ ，１ ２． ａ ２ 若 ｌａ ＝１ ， ，…，ｎ ｜ 口ａ ．
定义 ５ 设整数 ｍ ＞０ ｍ，） ，ｓ ，（ ａ ＝１ 是使 ａ 三ｌ ｄ ） （ 成立的最小正整数， Ｓ ｍｏ ｍ 则 称为 ａ 对模数 ｍ 的次数； 若 Ｓ ｏｍ ， Ｓ ＝ｔ ） 则 称为 ｍ的一个原根． （
２ 主要结果
引理 １ Ｇ是有限 Ａ ｅａ 群， Ｇ 中无唯一的二阶元素， Ｇ 中所有元素的乘积等于单位元素 １ 若 Ｇ 中 ｂｌ ｎ 若 ｉ 则 ；
（） ｉ 类型的有限 Ａ ｅａ 群是序列的［ ｂｌｎ ｉ 文献 ２；ｉ） ｉ） ｉ） ］ ｉ 、（ｉ、（ 类型的有限 Ａ ｅａ 群（ （ ｉ Ｖ ｂｌｎ 除了 是序列的） ｉ 是
尺． 序列的［ 文献 ３ 】 ．
引理 ３ 若 ＝２４ｐ ，ｐ （ ，， ， ，Ｐ是奇素数） 则 ｍ有原根． ２ ０ ， 定理 ｌ 设 Ｇ是有限 Ａ ｅａ 群， ｂ ｌｎ ｉ 若Ｇ是序列群或是 尺－ 序列群， Ｇ是超 Ｐ－ 则 群．
有唯一 的二阶元素时， 设这个唯一的二阶元素为 ｈ ，由引理 １可知， 则 Ｇ’ ＝ｈ等于群 Ｇ 中，个元素的乘积 ？
ｑ口 … ｌ 若 ，Ｉ ２． ， ｌ Ｇ 中是序列的， ２ ＿’ ａ， ，… 一在 ａ ． 由定义 ４ －￣ Ｇ是超 Ｐ・ ，ｑ ｎ ＇ 群．
定理 ２ 引理 ２中（ ～（ ） ｉ ｉ 类型的有限 Ａ ｅａ 群都是超 Ｐ－ ｖ ｂｌｎ ｉ 群．
使得部分乘积序列 ＝ａ，ｌ ｏ１ ２ ｏ１ ，…， １ ｏ１ … １ ｏ ＝ａａ， ＝ａａ ２． 一 ＝ａａ ２ 一都不相 同， ｂ ｂ ａ ． 口 则称 阶有限群 Ｇ是
序列的．
定义 ２ ／ ７阶有限群 Ｇ，若 Ｇ 中元素可 以排成这样一个序列：ｏ ，１ ２． ， 使得部分乘 积序列 ａ ＝１ ， ，… ａ ａａ ．
・
证明 因（ ） （ ） ｉ ～ ｉ 类型的有限 Ａ ｅａ 群都是序列或是 尺． ｖ ｂｌｎ ｉ 序列的，ｄ定理 ｌ ｔ 易知定理 ２ 显然成立．
定理 ３ 所有的有限循环群是超 尸－ 群．
证明 设 Ｇ是偶数阶循环群，Ｇ＝ 。 ，Ｉ ２ａ， ． ＂ ， ） ＝１ ， ，３…．ａ－ ａ ’． ａａ ， ２
有唯一的二阶元素， Ｇ 中所有元素的乘积等于这个唯一的二阶元素… 则 ． 引理 ２ 若 Ｇ是以下类型之一的有限 Ａ ｅ ａ 群则Ｇ 是序列的或是 一 ｂｌｎ ｉ 序列的：
收稿 日期 ：２ ０ ．１２ ０ ６ １． １
作者简介 ：钟锐（ ８． 男， １ ３） ９ ， 成都理工大学数学系硕士研究生
ｂ ｏ＝ａ ， ｌ ｏ １ｂ ｏ ｂ ＝ａ ａ ， ２＝ａ ａａ ，． ， ｏ ￣２ ． …
一
２ ＝ ａｏ ａ２． ． ａ１ ． ａｎ
一
２
都不相同， 且有： 一＝ａａａ … ｎ１ ｏ 则称 １ 并 １ ｏ １ ａ一：ｂ ＝１ ２ ７ 阶
有限群 Ｇ是 ． 序列的．
定义 ３
阶有限群 Ｇ， Ｇ的导群 Ｇ。 若 的某一个陪集 ｇ （ Ｇ‘ ｇ∈Ｇ 中任意一个元素能够表成 Ｇ 中 个元素 ）
按一定次序乘积的形式， 则称 ，阶有限群 Ｇ是一个 Ｐ． ２ 群．
定义 ４ ， ２阶有限群Ｇ， 若Ｇ的导群Ｇ的某一个陪集ｇ 。 Ｇ＆ｇ≠ ） 任意一个元莉 皂 ’ Ｇ（ ｇ∈ １中 够表示ｒ ＆Ｇ
中ｎ 个元素按一定次序乘积的形式， 并且在每个乘积中 Ｇ的 ｎ 个元素相乘的次序构成 Ｇ的一个序列； ｇ＝１ 当 时， Ｇ’ 中任意一个元素能够表示成 Ｇ 中 ｎ 个元素按一定次序乘积的形式， 并且除构成单位元 １ 外的每个乘积中 Ｇ 的ｎ 个元素相乘的次序构成 Ｇ 的一个序列， 构成单位元 １ 的乘积中Ｇ 的 ｎ 个元素相乘的次序构成 Ｇ 的一个 Ｒ一 序列． 满足以上条件的 阶有限群 Ｇ称为超 Ｐ． 群．
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第 ３ 卷第 ２期 ３
西南民族大学学报 ・ 然科学版 自
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｏ ｔ ｗｅ ｔ ｉ ｅ ｓｔ ｏ ｔ ｎ ｌ ｉｓＮａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｄ ｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｏ ｕ ｈ ｓ ｖ ｒｉ ｆ ｒ Ｓ Ｕｎ ｙ Ｎａｉ ａ ｉ ｅ ・ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ｏ ｔ Ｓ ｉ
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２２ ７
西南民族 大学学报 ・ 自然科学版
第 ３ 卷 ３
（ ） ｙｏ ２子群是 循环群 的有 限 Ａｂｌｎ群； ｉ Ｓ ｌｗ－ ｅｉ ａ
（Ｓ ｌ ． 子群是循环群的奇数阶有限 Ａ ｅａ 群； ｉ） ｙ ｗ ３ ｏ ｂｌｎ ｉ
（ｉ ｉ） ｉ 有限 Ａ ｅａ 群 Ｇ＝ × （ １， 中Ｃ ＝ 口 １； ｂｌｎ ｉ 七 ）其 棚 ＝ ） （） ｉ 初等 Ａ ｅ ａ ｐ－ Ｖ ｂｌｎ 群； ｉ
证明 Ｇ是有限 Ａ ｅａ 群， ｂｌｎ ｉ 故Ｇ ：１当Ｇ 中无唯一的二阶元素时， ｔ Ｉ １ ． ｄ￣Ｎ 可知， ， Ｇ’ 等于群 Ｇ 中 ￣ １ ＝１ Ｏ
， 元 的 积 １． ＿ 若 ａａ ． ａｌ ？ 素 乘 ａ ２ ｌ ，， ， ｎ在Ｇ中 －列 ， 定 ， 知Ｇ 超Ｐ群当Ｇ守 个 ａ． ’ ． ｌ２． — …， 是尺序 的 由 义４可 是 －．
文章编 号 ：１０－８３２ ０ ）２０ ７－４ ０ ３２４ （０ ７０ －２ １０
一
类特 殊 的有 限群
钟 锐，文建伟，齐丽丽
（ 成都理工 大学数学 系，四川成都 ６ ０ ５ ） １０ ９
摘
要 ：研 究 了有限群部分元素乘积的 问题，讨论 了在 有限群 中存在 的一类特殊群一 超 尸－ 群，证明 了所有