2.1.1合情推理(一)2016

火星 行星 围绕太阳运行,绕轴自转 有大气层 一年中有季节的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些生物的生存. 火星上也可能有生命存在
在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或 相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或 相似之处的一种推理模式, 称为类比推理.(简 称;类比) 简言之,类比推理是从特殊到特殊的推理 二.类比推理的几个特点:
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理 常常能帮助我们猜测和发现结论。
证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我 们提供证明的思路和方向
在印度，有这么一个古老的传说：在世界 中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块 黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天 在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上 地穿好了由大到小的６４片金片，这就是所谓 的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按 照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片 ，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧 侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根 针上移到另外一根和众生也都将针上时，世界 就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇同归于 尽。
a1 ＝1 n ＝1时，
第1个圆环从1到3.
2
1
3
20
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
a1 ＝1 n ＝1时， n＝2时，a2＝3
第1个圆环从1到3.
前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
2
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
21
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的， 称为陈氏定理(Chen„s Theorem) “任何充份大的偶数都 是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数 的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
大胆猜想 小心求证
6
情景创设2： 世界近代三大数学难题之一 四色猜想问题： 四色问题的内容是： “任何一张地图只用四种颜色就能使 具有共同边界的国家着上不同的颜 色。”用数学语言表示，即“将平面 任意地细分为不相重叠的区域，每一 个区域总可以用1，2，3，4这四个数 字之一来标记，而不会使相邻的两个 区域得到相同的数字。” ”
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1
合情推理
高二数学 选修2-2
第二章 推理与证明
1 2016/3/1
引言
“推理与证明”是数学的基本思维过程， 也是人们学习和生活中经常使用的思维方 式．推理一般包括合情推理和演绎推理．在本 章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步 体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系 与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明 的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、 综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如 反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活 中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。
观察到都是质数,进而猜想:
任何形如 的数都是质数 这就是著名的"费马猜想"
半个世纪后,欧拉发现第5个费 马数
欧拉
5
宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为 一个求质数的公式.以后,人们又陆续发现
不是质数.至今这样的反例共找到了46个, 却还没有找到第6个正面的例子,也就是说 目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是 质数.
情景创设5：数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想 世界近代三大数学难题之一 歌德巴赫猜想(Goldbach Conjecture) 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和 不小于6的偶数＝奇质数＋奇质数
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位 中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年， 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥 德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两 个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3 ＋3，12＝5＋7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时 的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质 数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质 数之和。
2.如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.
按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针 上. (1)每次只能移动1个金属片； (2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面； 试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移 动多少次？
2
1
3
19
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
a1 ＝1 n ＝1时， n＝2时，a2＝3
第1个圆环从1到3.
前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
a3 ＝7 n＝3时，
前2个圆环从1到2; 第3个圆环从1到3;
前2个圆环从2到3.
猜想 an= 2n -1
2
1
3
22
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
情景创设4：
卡拉比猜想
卡拉比猜想源于代数几何，是由意大利著名几 何学家卡拉比在1954年国际数学家大会上提出的: 在封闭的空间，有无可能存在没有物质分布的引 力场?卡拉比认为是存在的，可是没有人能证实， 包括卡拉比自己。 数学家丘成桐27岁攻克几何学上难题“卡拉比 猜想”，并因此在1982年(33岁)获得数学界的 “诺贝尔奖”——菲尔兹奖
这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类 事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实
概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.
简言之：归纳推理是由特殊到一般的推理
铜能导电
铝能导电 金能导电 银能导电
部分

第一个数为2 一切金属 都能导电.
第二个数为4
第三个数为6 第四个数为8
a
Ｃ
c
s1 o s2
Ａ
b S2
s3
B
△AOB
猜想:
△ABC
=S2
+S2
D
△AOC
+S2
C
△BOC
观察,分析, 两个推理 从具体问 提出 归纳,类比 猜想 题出发 的过程: 比较,联想 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、 分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜 想的推理，我们把它们统称为合情推理。
1 由此猜想（归纳）这个数列的通项公式为： an n
练 根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律, 习 试猜测第n个图形中有 n2 n 1 个点.
(1)
(2)
(3)
3 2 1
(4)
4 3 1
(5)
5 4 1
第n个图形的点数 n(n 1) 1 n2 n 1
归纳推理的结论不一定成立
25
除了归纳,在人们 的创造发明活动中,还常用类比.
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗 虫的牙齿,发明了锯 2.仿照鱼类的外型和它们在水 中沉浮原理,发明了潜水艇. 3.“火星上是否有生命”
地球 行星 围绕太阳运行,绕轴自转 有大气层 一年中有季节的变更 温度适合生物的的生存
有生命存在
这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说， 他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问 题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引 起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都 不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体 的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一 一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待 数学家的努力。
几个著名的猜想：
1.费马猜想
2.地图的”四色猜 想” 3.歌尼斯堡七桥猜想 4.卡拉比猜想 5.歌德巴赫猜想 6.黎曼猜想
情景创设1：
2n
1.费马猜想
法国数学家费马提出猜想:任何形如
2 1(n N ) 的数都是质数.
*
-------错
应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论。 （但要注意，结论可能为真，也可能为假。）
一.类比推理的概念:
利用圆的性质类比得出球的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
an 1 an
（n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式. 分别把n=2,3,4代入 an 1
1 1 a2 11 2
1 a3 1 3 1 2 1 2
an 得: 1 an
1 1 3 a4 1 4 1 3
观察可得：数列的前4项都等于相应项数的倒数。
1.类比推理是从特殊到特殊的推理; 2.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征, 推测正在被研究中的事物的特征,所以类比推理 的结果具有猜测性,不一定可靠. 3.类比推理以旧的知识作基础,推测新的结果,具有 发现的功能. 4.类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清 楚定义的类似的特征,所以进行类比推理的关键是 明确地指出两类对象在某些方面的类似特征.
3.(05年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有且 若用f(n)表示这n条直线交点的个数. 当n ≥3 时, f(n)= .(用n表示)
仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.
1 2 ( n n 2) 2
24
归纳推理 归纳推理的基础 归纳推理的作用 注意
由部分到整体、 个别到一般的推理 观察、分析 发现新事实、 获得新结论
例2
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似 特征； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的 特征,从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。
探 究
你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四 面体的类比对象?
例3：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想． A
Ｂ
c2=a2+b2
改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
6＝3+3， 1000＝29+971， 8＝3+5， 1002=139+863, 10＝5+5, … 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11, „， 根据上述过程,歌德巴赫大胆地猜想:任何一个不小于6的偶 数都等于两个奇质数之和 歌德巴赫提出猜想的推理过程:通过对一些偶数的验证，发 现它们总可以表现成两个奇质数之和（而且没有反例），于 是猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。
7
情景创设3： 歌尼斯堡七桥猜想
18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的 普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河 岸连结，如图所示。城中的居民经常沿河过桥 散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7 座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起 始地点。
在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的 欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要 问题。拓扑学的英文名是Topology，直译是地志 学， 拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何 学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的 平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之 间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于 研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质 和数量关系都无关。
整 体 一 般

第 n个 数为 2n.
个别 三角形内角和
为 180

凸四边形内角 和为 360 和为

凸五边形内角
540


n 2180.
凸n边形 内角和为
第一个芒果是 甜的 第二个芒果是 甜的 第三个芒果是 甜的

这个果园 的芒果都 是甜的
例1.已知数列{an}的第1项a1=1，且 an 1