三方程组及其应用

三、方程（组）及其应用

郭福林苏州市相城实验中学

【课标要求】

（1）能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.

（2）会解一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程或一元二次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）、简单的三元一次方程组、二元二次方程组（一个二元一次方程、一个

二元二次方程）.

（3）理解配方法，会用因式分解法、十字相乘法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程.

（4）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.

（5）掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，并能灵活运用.

⑹ 能根据具体问题中的数量关系，列出方程（组），解决简单问题.

【课时分布】

方程（组）部分在第一轮复习时大约需要个课时.下表为内容及课时安排（仅供参考）

1、知识脉络

2、基础知识

方程的有关概念

含有未知数的等式叫做方程•能使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，只含 有一个未知数的方程的解，也叫做根•求方程的解的过程叫做解方程.

④ 二元一次方程组的解法.其基本思想是消元.其基本方法是代入消元法和加减消元法. 三元一次方程（组） ① 含有三个未知数，且未知项的次数都是 1的整式方程，叫做三元一次方程.

② 含有三个未知数，且未知项的次数都是 1,由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做

三元一次方程组.

③ 三元一次方程组的解法.其基本思想仍是消元.其基本方法仍是代入法和加减法. 一元二次方程

①只含有一个未知数，且未知项的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程.它的一般

形式为ax

2

bx c O （a,b,c 是已知数，a 0），其中ax 2

,bx 分别叫做二次项，一次项；

a,b,c 分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项.

② 一元二次方程的解法.其基本思想是降次.其常用方法 ：直接开平方法、配方法、因式分 解法、公式法、十字相乘法.

③ 一元二次方程ax

2

bx c 0 （ a,b,c 是已知数，a 0 ）的根的判别式

（

b 2

4ac ）：

（i ）当 0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；

（ii ） 当 0时，一元二次方程有两个相等的实数根； （iii ） 当 0时，一元二次方程没有实数根.

以上结论，反之亦成立.

④ 一元二次方程根与系数的关系

（韦达定理）：若一元二次方程ax

2

bx c 0（a,b,c 是

b c

已知数，a 0）的两根为x 1、x 2，则为x 2

— ,x 1 x 2 —. a a

二元二次方程组（一个二元一次方程、一个二元二次方程）

一兀一次方程

① 只含有一个未知数，且未知项的次数是 是 ax b 0 a 0

•

② 一元一次方程的解法. 二元一次方程（组）

① 含有两个未知数，且未知项的次数都是 ② 由几个方程所组成的一组方程叫做方程组. 的解•求方程组的解的过程叫做解方程组.

③ 含有两个未知数，且未知项的次数都是 二元一次方程组.

1的整式方程叫做一元一次方程，

它的标准形式

1的整式方程，叫做二元一次方程.

方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组

1，由这样的几个整式方程所组成的方程组叫做

①含有两个未知数，且未知项的最高次数为2,由这样的几个整式方程所组成的方程组叫

做二元二次方程组．

②二元二次方程组的解法•其基本思想是消元、降次•其方法主要是代入消元法. 分式方程

①分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

②分式方程的解法. 其基本思想是将分式方程转化为整式方程•其方法是运用等式性质在方程两边同乘以最简公分母•解分式方程必须要验根.

列方程（组）解应用题的一般步骤：①审清题意；②找出等量关系；③设出直（间）接未知数；④列出方程（组）：⑤解方程（组）：⑥验方程（组）的根；⑦答出完整的语句. 3、能力要求

例1 解二元一次方程组和三元一次方程组：

1) 2x 3y 16, ①

x 4y 13; ②

3x 2y z 13, ①

2) x y 2z 7, ②

2x 3y z 12. ③

【分析】（1）因为方程②中的x的系数为1,所以应把方程②变形为x 13 4y，然后把它代入方程①求出y后再求x即可.

（2）三个未知数的系数中最简单的系数是z的系数，故考虑先消去z，而消去z的方法有①+③；②+③X 2;①X 2—②，我们选择①+③和②+③X 2，消去同一个未知数z，就可以得到关于x与y的二元一次方程组，然后解此二元一次方程组.

【解】

（1）

由②，得x 13 4y. ③

将③代入①,得213 4y 3y 1 6,

即5y 10.

y

2. ④

将④代入③,得x 5.

所以原方程组的解是

x 5,

y 2.

（2 ［①+③，得5x 5y 25,

即x y

5. ④

3代入①，得 3 2 2 3 z 13.

z 1.

x 2,

所以原方程组的解是

y 3, z 1.

【说明】本题主要考查学生的计算能力•教师在复习时要加强计算能力的培养，为解决综合题 中的计算打好基础•该题体现了化归思想方法•请学生尝试用其它消元方法解这两个方程组， 并进行比较. 例2解一兀二次方程和二兀二次方程组

(1) X 2 3x 1 0;

(2)

ax b 2

ax b a 0;

(3)

2x y 2

6y 11 0,① x 2y

1 0 . ②

【分析】(1)解一元二次方程应考虑因式分解法，十字相乘法，公式法，配方法等方法•本题 通过尝试，选用公式法较为适宜.

(2) 该题的等式两边有相同的式子，应移项后提公因式；而不能直接在等号两边除以 ax b ，否则，方程将

失根.

(3)

题中方程②是二元一次方程，把它变形为

x 2y

1，并把它代入方程①，可得到关

于y 的一兀二次方程.

【解】(1) •••原方程中a

1, b 3, c

2

b 4a

c 9 4 1

1 13 0,

：L 2

1 ---

b \b 2 4ac

3 .13

④与⑤组成方程组,

x y 5, 5x 7y 31. 解这个方程组得

x 2, y 3.