最新组合数学习题解答

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组合数学复习题

填空题

1．将5封信投入3个邮筒，有_____ _种不同的投法．

答案：243 解：每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。所以分步属于乘法原则，即3×3×3×3×3＝81×3=243。

2．5个男孩和4个女孩站成一排。如果没有两个女孩相邻，有方法．答案：N=P(5 , 5)*P(6 , 4)

3．22件产品中有2件次品，任取3件，恰有一件次品方式数为__ ______．答案：380 解析：N=20221⎛⎫⎛⎫

⎪⎪⎝⎭⎝⎭

=380。 4．6

()x y +所有项的系数和是_______ _．

答案：64 解析：令x=1,y=1,则6

(11)64+=为所求。 5．不定方程1232++=x x x 的非负整数解的个数为_ _______．答案：6 解析：3212+-⎛⎫

⎪⎝⎭

=6 6．由初始条件f f (0)1,(1)1==及递推关系确定的数列f n n {()}(0)≥叫做Fibonacci 数列

7．（3x-2y ）20 的展开式中x 10y 10的系数是． 8．求6的4拆分数P 4(6)= ．解析：k

k P P P P P P 4

(6)(64)(2)(2)(2)(2)==

-=+++∑11002=+++=

9．已知在Fibonacci 数列中，已知f f f (3)3,(4)5,(5)8===，试求Fibonacci 数f (20)= 答案：10946

分析：f f f f f f (20)(1010)(10)(10)(9)(9)=+=+，

f f f f f f 22(10)(55)(5)(5)(4)(4)8589=+=+=+=

组合数学习题及解答

根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。――编者注第一章习题

1.证任一正整数n 可唯一地表成如下形式:,0≤a i ≤i,i ＝1,2,…。

证：对n 用归纳法。

先证可表示性：当n=0,1时，命题成立。假设对小于n 的非负整数，命题成立。对于n,设k!≤n ＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k ·k!

由假设对n-k!,命题成立，设，其中a k ≤k-1,

，命题成立。

再证表示的唯一性：

设

, 不妨设a j ＞b j ,令j=max{i|a i ≠b i }

a j ·j!+a j-1·(j-1)!+…+a 1·1! =

b j ·j!+b j-1·(j-1)!+…+b 1·1!, ∑∑∑∑⋅-≥

⋅-≥⋅>

≥⋅-=

⋅-!)(!!!!)(!)(i a b

i a b

i i j i a b

j b a i i

i i

j j

矛盾，命题成立。

另一种证法：令j=max{i|a i ≠b i

}

, 两边被(j+1)!除,得余数a j ·j!=b j ·j!,矛盾.

2.证 nC(n-1,r)=(r+1)C(n,r+1).并给出组合意义。证：

)

1,()1()!

1()!1(!)1()!

1(!)1(!)1()!

1(!1),1(++=--⋅+⋅+=

--⋅⋅+⋅+=--⋅-=-r n C r r n r n r r n r r n r r n r n n r n nC

组合意义：

等式左边：n 个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r 个；等式右边：n 个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。显然两种方案数相同。

组合数学练习题及解析

组合数学是数学中的一个分支，主要研究离散对象之间的组合关系。它在计算机科学、统计学、运筹学等领域中具有广泛的应用。本文将

提供一些组合数学的练习题，并附上详细的解析，以帮助读者更好地

理解和掌握这一领域的知识。

一、排列组合

1. 从10个人中选出3个人组成一个小组，问有多少种不同的选择

方式？

解析：这是一个从10个元素中选取3个元素的组合问题。根据组

合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120种选择方式。

2. 有10个小球，5个红色，5个蓝色，从中选取3个小球组成一个

集合，问有多少种不同的集合？

解析：这是一个从10个元素中选取3个元素并忽略其顺序的组合

问题。根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!)

= 120种不同的集合。

3. 从字母A、B、C、D、E中任选3个字母组成一个字符串，问有

多少种不同的字符串？

解析：这是一个从5个元素中选取3个元素并考虑其顺序的排列问题。根据排列的公式，可以得到答案为P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5*4*3 = 60种不同的字符串。

二、组合数学问题

1. 假设有8本不同的书放在一排，问有多少种不同的放置方式？

解析：这是一个考虑顺序的排列问题。根据排列的公式，可以得到答案为P(8, 8) = 8! = 40320种不同的放置方式。

2. 有5个不同的水果，需要选择2个水果放入一个篮子中，问有多少种不同的放置方式？

解析：这是一个从5个元素中选取2个元素并考虑其顺序的排列问题。根据排列的公式，可以得到答案为P(5, 2) = 5! / (5-2)! = 5*4 = 20种不同的放置方式。

(完整版)排列组合练习试题和答案解析

解:75600的约数就是能整除75600的整数,所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数的个数.
由于 75600=24×33×52×7
(1) 75600的每个约数都可以写成的形式,其中 , , ,
于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即分别在各自的范围内任取一个值,这样有5种取法, 有4种取法, 有3种取法, 有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.
四、分类与分步
1ຫໍສະໝຸດ Baidu求下列集合的元素个数．
（1）；
（2）．
2.一个文艺团队有9名成员，有7人会唱歌，5人会跳舞，现派2人参加演出，其中1名会唱歌，1名会跳舞，有多少种不同选派方法？
3.已知直线，在上取3个点，在上取4个点，每两个点连成直线，那么这些直线在和之间的交点（不包括、上的点）最多有
A.男同学2人，女同学6人B.男同学3人，女同学5人
C.男同学5人，女同学3人D.男同学6人，女同学2人
4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有
A.12个B.13个C.14个D.15个
5．用0，1，2，3，4，5这六个数字，
3. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人一本、二本、三本的不同分法有多少种？

(完整word版)组合数学习题解答

第一章：

1。2. 求在1000和9999之间各位数字都不相同,而且由奇数构成的整数个数。

解:由奇数构成的4位数只能是由1,3，5，7，9这5个数字构成,又要求各位数字都不相同，因此这是一组从5个不同元素中选4个的排列，所以，所求个数为：P （5,4）=120。

1.4。 10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式？如果其中有两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？解:这显然是一组10个人的全排列问题，故共有10！种就坐方式。如果两个人坐在一起，则可把这两个人捆绑在一起，如是问题就变成9个人的全排列，共有9!种就坐方式.而这两个人相捆绑的方式又有2种（甲在乙的左面或右面）。故两人坐在一起的方式数共有2＊9！，于是两人不坐在一起的方式共有 10！— 2＊9！.

1.5. 10个人围圆桌而坐,其中两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？解:这是一组圆排列问题，10个人围圆就坐共有10

10 种方式。两人坐在一起的方式数为9

92⨯

,故两人不坐在一起的方式数为：9！—2＊8！。

1。14. 求1到10000中,有多少正数，它的数字之和等于5？又有多少数字之和小于5的整数？解：（1）在1到9999中考虑，不是4位数的整数前面补足0, 例如235写成0235,则问题就变为求: x 1+x 2+x 3+x 4=5 的非负整数解的个数，故有

F （4,5）=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-+=515456 （2）分为求：

x 1+x 2+x 3+x 4=4 的非负整数解，其个数为F （4，4）=35 x 1+x 2+x 3+x 4=3 的非负整数解，其个数为F(4,3）=20 x 1+x 2+x 3+x 4=2 的非负整数解,其个数为F （4,2)=10 x 1+x 2+x 3+x 4=1 的非负整数解,其个数为F （4，1）=4 x 1+x 2+x 3+x 4=0 的非负整数解，其个数为F （4，0）=1

组合数学课后答案 PDF 版

3.1 某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每一个人在会上各相遇12次,每两人各相遇6次,每3人各相遇4次,每4人各相遇3次,每5人各相遇2次,每6人各相遇1次,1人也没遇见的有5次,问某甲共参加几次会议?

解:设A 为甲与第i 个朋友相遇的会议集.i=1,2,3,4,5,6.则 │∪A i │=12*C(6,1)-6*C(6,2)+4*C(6,3)-3*(6,4)+2*(6,5)-C(6,6) =28

甲参加的会议数为 28+5=33

3.2

：求从1到500的整数中被3和5整除但是不能被7整除的数的个数。解：

设 A 3：被3整除的数的集合

A 5：被5整除的数的集合 A 7：被7整除的数的集合所以 ||

=||-|

-=33-4=29 3.3 n 个代表参加会议，试证其中至少有2个人各自的朋友数相等

解：每个人的朋友数只能取0，1，…，n －1．但若有人的朋友数为0，即此人和其他人都不认识，则其他人

的最大取数不超过n －2．故这n 个人的朋友数的实际取数只有n －1种可能．，根据鸽巢原理所

以至少有２人的朋友数相等．

3.4试给出下列等式的组合意义

0j j 0(1)=(1), 1n-m-j+1(2)(1)1 j 1(3)...(1) 1 12m l l n m l n m m n l n k m n k l k l n m l n m l m l m l m l m l m l m m m m m l =-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥≥ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

组合数学题库-最新-答案版

组合数学习题

1．Show that if n+1 integers are chosen form the set {1,2, …,2n},then there are always two which differ by at most 2.

从{1,2, …,2n}中选出n+1个数，在这n+1个数中，一定存在两个数，其中一个

整数能整除另外一个整数。

任何一个数都可以写成2k*L，其中k是非负数，L是正奇数。现在从1到2n之间只有n个奇数。由于有n+1个数都能表示成2k*L，而L的取值只有n中，所以有鸽子洞原理知道，至少有两个数的L是一样的，于是对应k小的那个就可以整除k大的另一个数。

至少有两个L是一样的，则它们的差=(2i-2j)L>=2，题目应该是说差最大为2，而不是除。

2．Show that for any given 52 integers there are exist two of them whose sum, or else difference, is divisible 100.

设52个整数a1，a2，…，a52被100除的余数分别是r1,r2,…,r52，而任意一个数被100除余数为0，1，2，…，99，一共100个。他们可以分为51个类{0},{1,99},{2,98},…,{49,51},{50}。将这51个集合视为鸽笼，则将r1,r2,…,r52放入51个笼子中，至少有两个属于同一个笼子，所以要么有ri＝rj，要么有ri＋rj＝100，也就是说ai－aj|100或者ai＋aj|100。

组合数学习题解答

1.证任一正整数n可唯一地表成如下形式:,0≤a i≤i,i＝1,2,…。

证：对n用归纳法。

先证可表示性：当n=0,1时，命题成立。

假设对小于n的非负整数，命题成立。

对于n,设k!≤n＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k·k!

由假设对n-k!,命题成立，设，其中a k≤k-1,，命题成立。

再证表示的唯一性：

设, 不妨设a j＞b j,令j=max{i|a i≠b i}

a j·j!+a j-1·(j-1)!+…+a1·1! =

b j·j!+b j-1·(j-1)!+…+b1·1!,

另一种证法：令j=max{i|a i≠b i}

, 两边被(j+1)!除,得余数a j·j!=b j·j!,矛盾.

2.证nC(n-1,r)=(r+1)C(n,r+1).并给出组合意义。

证：

组合意义：

等式左边：n个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r个；

等式右边：n个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。

显然两种方案数相同。

3.证。

证：设有n个不同的小球，A、B两个盒子,A盒中恰好放1个球,B盒中可放任意个球。有两种方法放球：

①先从n个球中取k个球(k≥1),再从中挑一个放入A盒,方案数共为,其余球放入B 盒。

②先从n个球中任取一球放入A盒，剩下n-1个球每个有两种可能，要么放入B盒，要么不放，故方案数为n2n-1 .

显然两种方法方案数应该一样。

4.有n个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第二组的最大数。问有多少种方案？

解：设取的第一组数有a个,第二组有b个,而要求第一组数中最小数大于第二组中最大的，即只要取出一组m个数(设m=a+b),从大到小取a个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为

组合数学习题5(共5章)

第五章 P ólya 计数理论

1. 计算（123）（234）（5）（14）（23）,并指出它的共轭类.

解：题中出现了5个不同的元素：分别是：1，2，3，4，5。即|S n |＝5。

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=512345432152431543215413254321)

23)(14)(5)(234)(123(

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=51234543215214354321 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=5341254321 )5)(34)(12(=

（5）（12）（34）的置换的型为1122而S n 中属于1122型的元素个数为15

21!1!2!

1=个其共轭类为

（5）（14）（23），（5）（13）（24），（1）（23）（45），（1）（24）（35），（1）（25）（34），（2）（13）（45），（2）（14）（35），（2）（15）（34），（3）（12）（45），（3）（14）（25），（3）（15）（24），（4）（12）（35），（4）（13）（25），（4）（15）（24）

2. 设D 是n 元集合,G 是D 上的置换群.对于D 的子集A 和B ,如果存在G ∈σ,

使得}|)({A a a B ∈=σ,则称A 与B 是等价的.求G 的等价类的个数. 解：根据Burnside 引理∑=

i i a c G l 1

1)(1，其中c 1(a i )表示在置换a i 作用下保持不变的元素个数，则有 c 1(σI )=n;

设在σ的作用下，A 的元素在B 中的个数为i ，则 c 2(σ)=n －2i ；

组合数学练习题_带答案

组合数学练习题

第一章排列组合

1, 在1到10000之间，有多少个每位上数字全不相同而且由偶数构成的整数？

本题分为四种情况:

1位整数有4个: 2, 4, 6, 8

2位整数有4*4种方案, 有16个

3位整数有4*4*3种方案, 有48个

4位整数有4*4*3*2种方案, 有96个

总共有4+16+48+96=164个这样的整数.

2, 一教室有两排，每排9个坐位，今有14名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种坐法？(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。

(1)本问中, 第一排和第二排各有5名和4名同学被确定, 那么14名同学中还有5名同学

没有固定在哪一排, 所以可以根据这5名同学的不同排列来计算, 分5种情况考虑; 1)

从这5名同学中选出4名同学坐在第一排, 这4名和固定的5名同学进行全排列、另

外1名同学和第二排固定的4名同学进行全排列，以此类推；2) 从5名同学中选出3

名同学坐第一排; 3) 从5名同字中选出2名同学坐第一排; 4) 从5名同学中选出1名

同学坐第一排; 5) 最后5名同学全部坐在第二排; 把这5种情况的坐法安排数全部加

起来就是结果.

C(5,4)*P(9,9)*P(9,5)+C(5,3)*P(9,8)*P(9,6)+C(5,2)*P(9,7)*P(9,7)+

C(5,1)*P(9,6)*P(9,8)+P(9,5)*P(9,9)

(2)本问中, 第一排和第二排所坐的同学的数量被确定, 分别是5名和4名, 那么要从14

组合数学第三版+卢开澄+习题答案

第1章排列与组合

经过勘误和调整，已经消除了全部的文字错误，不过仍有以下几个题目暂时没有找到解答：

1.8 1.9 1.16

1.41（答案略） 1.42（答案略）

1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：

()5;() 5.

a a

b b a b -=-≤

[解] (a) 5=-b a

将上式分解，得到55

a b a b -=+⎧⎨

-=-⎩

a =

b –5，a=0时，b ＝5，6，7，…,50。满足a=b-5的点共50-4=46个点. a = b+5，a=5时，b ＝0，1，2，…,45。满足a=b+5的点共45-0+1=46个点. 所以，共计92462=⨯个点. (b) 5≤-b a

(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。

1.2 5个女生，7个男生进行排列，

(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？

[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。

（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400

(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空

中选5个空隙，有5

8C 种选择。将女生插入，有5!种方案。故按乘法原理，有： 7!×58C ×5!=33868800(种)方案。

排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有 (7+1)! = 8!

组合练习题答案

在回答组合练习题答案之前，需要先了解组合的基本概念和相关的

计算方法。组合是数学中的一个分支，用于计算选取对象的排列方式。它与排列相似，但是不考虑对象的顺序。在解决实际问题中，组合经

常被用于计算不同元素的组合情况，比如从一组数字或字母中选取指

定个数的组合方式。下面将通过几个实例来解答组合练习题。

题目一：从10个人中选取3个人作为组合，共有多少种可能性？

解答一：根据组合的计算公式C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]，我们可以得到

答案：

C(10,3)=10!/[3!(10-3)!]=10!/(3!7!)=10*9*8/(3*2*1)=120。

所以，从10个人中选取3个人作为组合，共有120种可能性。

题目二：某个班级共有12名男生和18名女生，要从中选取5名学

生组成一个小组，其中至少有2名男生和2名女生，请问有多少种可

能的组合方式？

解答二：根据题目要求，我们可以将问题分为两种情况来计算：

情况一：选取2名男生和3名女生的组合数量。

C(12,2)*C(18,3)=66*816=54096。

情况二：选取3名男生和2名女生的组合数量。

C(12,3)*C(18,2)=220*153=33660。

所以，根据加法原理，总的组合数量为54096+33660=87756。

综上所述，在题目给定的情况下，共有87756种可能的组合方式。

题目三：某台球比赛中共有9个奖杯，其中3个分别是金奖、银奖和铜奖。要将这9个奖杯颁发给4名选手，每个选手至少获得一个奖杯，请问有多少种可能的组合方式？

解答三：根据题目要求，我们可以将问题分为四种情况来计算：情况一：选手A获得金奖，选手B获得银奖，选手C获得铜奖，选手D获得剩下的6个奖杯的组合数量。

【新版】组合数学第四章习题解答范文

只需证：对任意a,b∈H,a≠b,有a≠b即可
设a,b∈H,a≠b,有xa=xb则左乘x的逆得 a=b矛盾
优选
7
4.8 有限群G的阶为n,H是G的子群，则H的阶必除尽G的阶。
用4.6的结论
优选
8
4.9 有限群G的阶为n,x是G的元素，则x的阶必除尽G的阶。
用4.2和4.8的结论
优选
9
4.10 若x和y在群G作用下属于同一等价类，则x所属的等价类Ex，y所属的等价类Ey有|Ex|=|Ey|。
设这6!个方案为S1,S2,…,S720,
形成这720个元素的24个置换，设这24个置换为 p0,p1,…,p23,其中p0为不动置换。
以上下的中心为轴线左旋90度，右旋90度：
(1)(2345)(6),(1)(5432)(6)
正六面体有3对对面，这种置换有6个以上下的中心为轴线左旋180度，
(1)(24)(35)(6),
正六面体有3对对面，优选这种置换有3个
14
以对角线位置的平行棱的中以线为轴线旋转180 度，
(16)(25(34)
种装饰方案，试列举之。
1
G (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)
2
7
(1234567),(1357246),
(1473625),(1526374),
(1642753),(1765432)

组合数学题目及标准答案

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

组合数学

例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。问共有多少种不同的安全状态?

解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。

用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。这种对应显然是一对一的。因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。

例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。证明n 偶数。

证：由于每一次握手均使握手的两人各增加一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。根据奇偶性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。

例４从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。

证设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。

例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k

组合数学习题答案.

第一章答案第二章答案第三章答案第四章答案

第一章答案

1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )

(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235

( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!

(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!

5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)

6. (n+1)!-1

7. 用数学归纳法易证。 8. 41⨯31

9. 设 n=p 1

n 1p 2

n 2…p k

n k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1

+1) (2p 2

+1) …(2p k

+1).

10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；

2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。

11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。组合意义：

右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；

左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。

12．考虑,)1(,)1(10

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第一章：

1.2. 求在1000和9999之间各位数字都不相同，而且由奇数构成的整数个数。

解：由奇数构成的4位数只能是由1，3，5，7，9这5个数字构成，又要求各位数字都不相同，因此这是一组从5个不同元素中选4个的排列，所以，所求个数为：P(5,4)=120。

1.4. 10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式？如果其中有两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？

解：这显然是一组10个人的全排列问题，故共有10！种就坐方式。如果两个人坐在一起，则可把这两个人捆绑在一起，如是问题就变成9个人的全排列，共有9！种就坐方式。而这两个人相捆绑的方式又有2种（甲在乙的左面或右面）。故两人坐在一起的方式数共有2*9！，于是两人不坐在一起的方式共有 10！- 2*9！。

1.5. 10个人围圆桌而坐，其中两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？解：这是一组圆排列问题，10个人围圆就坐共有10

10 种方式。两人坐在一起的方式数为9

92⨯

,故两人不坐在一起的方式数为：9！-2*8！。

1.14. 求1到10000中，有多少正数，它的数字之和等于5？又有多少数字之和小于5的整数？

解：(1)在1到9999中考虑，不是4位数的整数前面补足0，例如235写成0235,则问题就变为求：

x 1+x 2+x 3+x 4=5 的非负整数解的个数，故有 F （4，5）=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+=515456 (2)分为求：

x 1+x 2+x 3+x 4=4 的非负整数解，其个数为F （4，4）=35 x 1+x 2+x 3+x 4=3 的非负整数解，其个数为F （4，3）=20 x 1+x 2+x 3+x 4=2 的非负整数解，其个数为F （4，2）=10 x 1+x 2+x 3+x 4=1 的非负整数解，其个数为F （4，1）=4 x 1+x 2+x 3+x 4=0 的非负整数解，其个数为F （4，0）=1 将它们相加即得，

F （4，4）+F （4，3）+F （4，2）+F （4，1）+F （4，0）=70。

第二章：

2.3. 在边长为1的正三角形内任意放置5个点，则其中至少有两个点的距离≤1/2。

解：将边为1的正三角形分成边是为1/2的四个小正三角形，将5个点放入四个小正三角形中，由鸽笼原理知，至少有一个小正三角形中放有2个点，而这两点的距离≤1/2。 1/2 1/2 1/2

2.5. 在图中，每个方格着红色或蓝色，证明至少存在两列有相同的着色。

解：每列着色的方式只可能有224⨯=种，现有5列，由鸽笼原理知，至少有二列着色方式相同。 ⎪

2.7. 一个学生打算用37天总共60学时自学一本书，他计划每天至少自学1学时，证明：无论他怎样按排自学时间表，必然存在相继的若干天，在这些天内其自学总时数恰好为13学时。

解：设1a 是第一天自学的时数，2a 是第一，二天自学的时数的和，j a 是第一，二，… ，第j 天自学时数的和，1,2,,37j =⋅⋅⋅⋅⋅⋅

于是，序列1237,,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是严格递增序列(每天至少一学时)，而且，1371,60a a ≥= 于是序列13713,,13a a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+也是严格递增的序列，故371373a +=

因此74个数137137,,13,,1373a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=都在1和73两个整数之间，由鸽笼原理

知，这74个数中必有两个是相等的，由于1237,,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

中任何两数都不相等，故13713,,13a a +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+中任何两个数也是不相等的，因此，一定存在两个数,i j 使得 1313i j i j a a a a =+→-=

因此，在1,2,,j j i ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅这些天中，这个学生自学总时数恰好为13。 ⎪

2.10. 证明：在任意52个整数中，必存在两个数，其和或差能被100整除。证明：设52个整数a 1，a 2，….，a 52被100除的余数分别为r 1，r 2，….， r 52,而任意一整数被100除可能的余数为0，1，2，….,99，共100个，它可分为51个类：{0}，{1，99}，{2，98}，…..{49，51}，{50}。因此，将51个类看做鸽子笼，则由鸽笼原理知，将r 1，r 2，….，r 52 个鸽子放入51个笼中，，至少有两个属于同一类，例如r i ,r j,于是r i =r j 或r i +r j =100,这就是说a i —a j 可100整除，或a i + a j 可被100整除。

第三章

3.2. 求1到1000中既非完全平方又非完全立方的整数个数。

解：设S ＝{1,2,…,1000};1A 表示1到1000中完全平方数的集合，则1A 表示1到1000中不是完全平方数的集合；2A 表示1到1000中完全立方数的集合，则2A 表示1到1000中不是完全立方数的集合。

故__

2__

1A A 表示1到1000中既非完全平方又非完全立方的整数的集合，由容斥原理（（3.5）式）知：

12121A A A A S A A +--= (3.5)

其中

||S ＝1000，

1||31A ==,

2||10A == 21A A 表示1到1000中既是完全平方又是完全立方的数的集合，故

21A A ==3,

将以上数值代入(3.5)式得

21A A ＝1000－(31+10)+3=962

故1到1000中既非完全平方又非完全立方的整数个数为962。

3.8. 在所有的n 位数中，包含数字3，8，9但不包含数字0，4的数有多少？

解：除去0，4，则在1，2，3，5，6，7，8，9这8个数字组成的n 位数中，令S 表示由这8个数字组成的所有n 位数的集合。则|S|=8n . P 1表示这样的性质：一个n 位数不包含3； P 2表示这样的性质：一个n 位数不包含8； P 3表示这样的性质：一个n 位数不包含9；

并令A i 表示S 中具有性质P i 的元素构成的集合（i=1,2,3）。

则A A A 321 表示S 中包含3，又包含8，又包含9的所有n 位数的集合。由容斥原理（（3.5）式）得

|321A A A |=||||||||3213

A A A A

A A S j

i j

i i

-+-∑∑≠= （3.5）

而

77321,,n

n A A A ===

666323121,,n

A A A A A A ===

5321n

A A A = ，

代入（3.5）式得

3837365n n n n A A A =-∙+∙-