江苏省淮安市淮阴区淮阴中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题

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江苏省淮安市淮洲中学高二数学理上学期期末试题含解析

江苏省淮安市淮洲中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为（）A．0 B．C．D．参考答案：D【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．可得tanθ=﹣1，解得θ．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．∴tanθ=﹣1，解得．故选：D．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2. 若复数z满足（1﹣2i）z=5i（其中i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】解：由（1﹣2i）z=5i，得，则在复平面内对应的点的坐标为：（﹣2，﹣1），位于第三象限．故选：C．3. 已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程是A. B. C. D.参考答案：B4. 如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（）A． B. C． D．参考答案：B5. 已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．6. 下列说法中正确的个数是（）.①的必要不充分条件；②命题“若则向量垂直”的逆否命题是真命题；③命题“若”的否命题是“若”.A.0B.1C.2D.3参考答案：C因为，即是的充分不必要条件，即①错误；若向量与向量垂直，则，即命题“若，则向量与向量垂直”的逆命题是真命题，即②正确；易知命题“若，则”的否命题是“若，则” ，即③正确；故选C.7. 在△ABC中，A:B:C=1:2:3，则a:b:c等于（）A．1:2:3 B．3:2:1 C．1::2 D．2::1参考答案：C8. 若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(－2,0),F2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于（）A. B. C.D.参考答案：C9. 双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.参考答案：A10. 设(2－x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|的值是( )A．665 B．729 C．728 D．63参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出参考答案：略12. 若，则．参考答案：，.13. 若函数在处取极值，则．参考答案：略14. 将一个三棱锥和一个三棱柱接成一个多面体，这个多面体的面数最少可达到。

江苏省淮安市2021届高二上学期数学期末调研测试题

江苏省淮安市2021届高二上学期数学期末调研测试题一、选择题1．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若4cos 5A =，且边5,c a ==b=（） A ．3或5B ．3C ．2或5D ．52．若不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（）A ．,5-∞（）B ．[7,+∞）C ．[)5,7D ．[),57（），-∞⋃+∞ 3．已知向量，则与共线的单位向量 ( )A．B．C ．D ．4．设函数21()9ln 2f x x x =-在区间[1,1]a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．(,2)-∞ B ．(4,)+∞ C ．(1,2] D ．(0,3]5．已知函数f （x ）=xlnx ，x ∈（0，+∞），则函数f （x ）在x=1处的切线方程（） A ．x y 10-+=B ．x y 10+-=C ．x y 10--=D ．2x y 10-+=6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（） A.32-B.12C.16D.327．已知双曲线的渐近线为y =，焦点坐标为()()4,0,4,0-，则双曲线方程为（）A ．221824x y -=B ．221124x y -=C ．221248x y -=D ．221412x y -=8．等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则A．B ．C．D ．9．从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有( ) A ．80种 B ．100种 C ．120种 D ．240种 10．已知向量，且，则m=( ) A ．−8 B ．−6 C ．6D ．811．已知,x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则1z x y =+-的最小值为（）A.0B.2C.1D.312．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（）A.34B.78C.1516D.3132二、填空题13．设a 、b 、c 是正实数满足a b c +≥，则b a a b c++的最小值为______． 14．如图，在半径为1的圆上随机地取两点,B E ，连成一条弦BE ，则弦长超过圆内接正BCD ∆边长的概率是__________．15．已知随机变量ξ服从二项分布1~4,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则(3)P ξ==__________．16．校田径运动会中的200米决赛中，甲、乙、丙三个同学在被问到谁拿到冠军时，丙说：甲拿到了冠军；乙说：我拿了冠军；甲说：丙说的真话。

江苏省淮安市2020-2021学年高二第一学期期末调研测试数学试题(1)

【详解】
交点在第一象限，，，，
双曲线的渐近线与准线方程为：
与，
联立得，
交点坐标为
故答案为：
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，熟记渐近线与准线方程，是基础题．
5．1
【分析】
利用直线相互垂直与斜率之间的关系即可得出．
【详解】
由于两条直线垂直，故，解得 .故答案为 .
【点睛】
本题考查了直线相互垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
若命题p为真，求m的取值范围；
若命题为真，求m的取值范围．
15．如图，在直三棱柱中，点D，E分别是边BC，中点，且．
求证：平面；
平面平面．
16．已知的三个顶点，，，其外接圆为圆H．
求圆H的标准方程；
若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程．
17．如图为一个已搭好的临时帐篷，其形状为五面体ABCDEF，底面四边形ABCD为矩形，，是正三角形，平面平面ABCD．
【市级联考】江苏省淮安市2020-2021学年高二第一学期期末调研测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．直线的斜率为______．
2．若命题，则 _____________．
3．已知函数，是的导函数，则的值为______．
，即，
可得切线方程为，即，
故答案为：．
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．要求函数在某点处的切线方程，则先对函数求导，求得函数的导函数，将切点的横坐标代入原函数求得切点的坐标，将切点的横坐标代入导函数得到切线的斜率，由点斜式写出切线方程并化简为一般式，求得切线的方程.

2020-2021学年淮安市高二上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年淮安市高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.下列命题中，假命题是( )A. 已知命题p 和q ，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则命题p 与q 必一真一假B. 互为逆否命题的两个命题真假相同C. “事件A 与B 互斥”是“事件A 与B 对立”的必要不充分条件D. 若f(x)=2x ，则f′(x)=x ⋅2x−12.设命题：p ：向量b⃗ 与a ⃗ 共线，命题q ：有且只有一个实数λ，使得b ⃗ =λa ⃗⃗⃗⃗ ，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.已知F 1，F 2椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点，|F 1F 2|=4，点Q(2,√2)在椭圆C 上，P 是椭圆C 上的动点，则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A. 4B. 92C. 5D. 4+√24.已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −x PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数x 的值为( ) A. 13B. −13C. 16D. −165.一圆锥侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图圆心角的弧度数为( )A. 2π3B. π4C. π6D. π6.数列{a n }是公差不为零的等差数列，并且a 1，a 2，a 4是等比数列{b n }的相邻三项．若b 2=2，则b n =( )A. 24n−2B. 4n−12C. 12n−3D. 2n−17.3.设函数的定义域为M ，集合，则A.B.C.D.8.已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少．已知1克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量可放射消耗到0.125克．( )A. 5730B. 11460C. 22920D. 45840二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2s+t−y 2s−t =1的左、右焦点，且|F 1F 2|=8，则下列结论正确的是( ) A. s =8B. t 的取值范围是(−8,8)C. F 1到渐近线的距离随着t 的增大而减小D. 当t =4时，C 的实轴长是虚轴长的3倍10. 下列命题中，正确的有( )A. 若a <b <0，则a 2<ab <b 2B. 若a >b ，c >d ，则a −d >b −cC. 若b <a <0，c <0，则ca <cb D. 若a >0，b >c >0，则cb <c+a b+a11. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 为棱DD 1的中点，点P 是线段C 1D上的动点，AA 1=2，则下列选项正确的是( )A. 直线AP 与B 1E 是异面直线B. 三棱锥A 1−AB 1E 的体积为16C. 过点C 作平面AEB 1的垂线，与平面AB 1C 1D 交于点，若C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3C 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则Q ∈APD. 点P 到平面AEB 1的距离是一个常数12. 设{a n }是无穷数列，若存在正整数k(k ≥2)，使得对任意n ∈N ∗，均有a n+k >a n ，则称{a n }是“间隔递增数列”，k 是{a n }的“间隔数”，下列说法正确的是( )A. 公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列”B. 若a n =2n +(−1)n ，则{a n }是“间隔递增数列”C. 若a n =n +rn (r ∈N ∗,r ≥2)，则{a n }是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D. 已知a n =n 2+tn +2021，若{a n }是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则−5<t ≤−4三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，a +bc −1=0，则a 的取值范围______ ． 14. 已知S n 是首项为1的等比数列{a n }的前n 项和，且8S 6=9S 3，则1+6a n2a n的最小值为______ ．15.A={−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，B∩A=B，求m的取值范围______ ．16.已知圆x2+y2−6x−7=0与抛物线y2=2ax的准线相切，则实数a的值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=b−2x是定义域为R的奇函数．2x+a(1)求实数a和b(2)判断f(x)的单调性并证明；(3)若对任意实数x∈[1,2]，f(x2−mx)+f(1−mx)≤0恒成立，求实数m的取值范围．18.设直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，其中点；(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)求线段的长。

江苏省淮安市淮阴中学高二数学上学期期末试卷(含解析)

2015-2016学年江苏省淮安市淮阴中学高二（上）期末数学试卷一、填空题.1．命题“若x≤1，则x2≤1”的逆否命题为．2．双曲线：﹣x2=1的渐近线方程是．3．某人从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，9，7，则该组数据的方差s2= ．4．曲线y=1+sinx在点P（0，1）处的切线方程为．5．观察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…根据以上式子可以猜想：1++++…+＜．6．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．7．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中都为奇数的概率为（用分数作答）．8．“a≥1”是“直线x﹣y=0与直线ax+y+1=0垂直”的条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）．9．在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式组表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是．10．已知函数（a∈R），若y=f（x）在区间[﹣2，﹣1]上是单调减函数，则实数a的最小值为．11．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣b）2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点，直线3x+4y+2=0与圆C相切，则该圆的方程为．12．已知函数（a＞0），（b＞1），则函数y=g（f（x））的零点个数为．13．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，己知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°，则这一对相关曲线中椭圆的离心率是．14．设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x，e为自然对数的底数，若不等式f（x）≤0在x∈[﹣2，+∞）有解，则实数a的最小值为．二、解答题15．已知复数z满足z（1+2i）=5i（i为虚数单位）．（1）求复数z，以及复数z的实部与虚部；（2）求复数+的模．16．已知命题p：“关于x，y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0表示圆（a∈R）”，命题q：“∃x∈R使得x2+（a﹣1）x+1＜0（a∈R）”（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．17．从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据上面补充完整的频率分布直方图估计出本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[40，60）的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[50，60）的概率．18．为治理雾霾，环保部门加大对企业污染物排放的监管力度，某企业决定对一条价值60万元的老旧流水线进行升级改造，既要减少为染污的排放，更要提高该流水线的生产能力，从而提高产品附加值，预测产品附加值y（单位：万元）与投入改造资金x（单位：万元）之间的关系满足：①y与（60﹣x）x2成正比例；②当x=30时，y=90；③改造资金x满足不等式0≤≤t，其中t为常数，且t∈[0，3]．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式，并求出其定义域；（Ⅱ）求投入改造资金x取何值时，产品附加值y达到最大？19．已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），两点F1（﹣1，0）、F2（1，0）为椭圆C 的焦点，点P在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图已知椭圆C的内接平行四边形ABCD的一组对边分别过椭圆的焦点F1、F2，求该平行四边形ABCD面积的最大值．20．设函数f（x）=x2﹣2（﹣1）k lnx（k∈N*），f′（x）表示f（x）的导函数．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）当k为偶数时，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）=（1﹣2a）x2的上方，求实数a 的取值范围；（3）当k为奇数时，设b n=f′（n）﹣n，数列{b n}的前n项和为S n，证明不等式（1+b n）＞e对一切正整数n均成立，并比较S2014﹣2与ln2014的大小．理科附加题21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣2x﹣f′（0）x2+2．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的减区间．22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3，D是BC的中点，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．23．数列{a n}中，a1=1，且+=2n+1，（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式并用数学归纳法证明．24．已知抛物线y2=2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．（1）求t，p的值；（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．2015-2016学年江苏省淮安市淮阴中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题.1．命题“若x≤1，则x2≤1”的逆否命题为若x2＞1，则x＞1 ．【考点】四种命题．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可．【解答】解：命题的逆否命题为：若x2＞1，则x＞1，故答案为：若x2＞1，则x＞1【点评】本题主要考查逆否命题的求解，根据逆否命题的定义是解决本题的关键．比较基础．2．双曲线：﹣x2=1的渐近线方程是y=±2x．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接根据双曲线的方程，令方程的右边等于0求出渐近线的方程．【解答】解：已知双曲线﹣x2=1令：﹣x2=0即得到渐近线方程为：y=±2x故答案为：y=±2x【点评】本题考查的知识要点：双曲线的渐渐线方程的求法．3．某人从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，9，7，则该组数据的方差s2= 2 ．【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出该组数据的平均数，再求该组数据的方差．【解答】解：∵从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，9，7，∴该组数据的平均数=（10+6+8+9+7）=8，∴该组数据的方差s2= [（10﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2]=2．故答案为：2．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用．4．曲线y=1+sinx在点P（0，1）处的切线方程为x﹣y+1=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；直线与圆．【分析】先对函数y=1+sinx进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线y=1+sinx在点x=0处的切线斜率，由点斜式方程进而可得到切线方程．【解答】解：∵y′=cosx，∴切线的斜率k=y′|x=0=1，∴切线方程为y﹣1=x﹣0，即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查函数的求导运算，直线的点斜式方程，属于基础题．5．观察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…根据以上式子可以猜想：1++++…+＜．【考点】归纳推理．【专题】推理和证明．【分析】将不等式的右边进行变形后可猜想：1++++…+＜，即可得到答案．【解答】解：因为1+＜=，1++＜=，1+++＜=，…，我们可以猜想：1++++…+＜，所以1++++…+＜=，故答案为：．【点评】本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．6．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为 4 ．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．【解答】解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环的条件，k=2，S=2，不满足退出循环的条件，k=3，S=6，不满足退出循环的条件，k=4，S=15，满足退出循环的条件，故输出的k的值为4．故答案为：4【点评】本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用模拟循环的方法，属于基础题．7．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中都为奇数的概率为（用分数作答）．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，再求出两次抽取的卡片号码中都为奇数包含的基本事件个数，由此能求出两次抽取的卡片号码中都为奇数的概率．【解答】解：盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，基本事件总数n=3×3=9，两次抽取的卡片号码中都为奇数包含的基本事件个数m=2×2=4，∴两次抽取的卡片号码中都为奇数的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．8．“a≥1”是“直线x﹣y=0与直线ax+y+1=0垂直”的必要不充分条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；规律型；转化思想；简易逻辑．【分析】直线x﹣y=0与直线ax+y+1=0垂直，可得1×（﹣a）=﹣1，解出a即可判断出．【解答】解：∵直线x﹣y=0与直线ax+y+1=0垂直，∴1×（﹣a）=﹣1，解得a=1．“a≥1”是“直线x﹣y=0与直线ax+y+1=0垂直”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、充分条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式组表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是．【考点】几何概型；简单线性规划．【专题】计算题．【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离不大于1的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．【解答】解析：根据题意可得点M（x，y）满足，其构成的区域D如图所示的三角形，面积为S1=1，E所表示的平面区域是以原点为圆心，以1为半径的圆及其内部，面积为S2=π，故向E中投一点，落入D中的概率为P==．故答案为．【点评】本题主要考查几何概型．几何概型的特点是：实验结果的无限性和每一个实验结果出现的等可能性．在具体问题的研究中，要善于将基本事件“几何化”，构造出随机事件对应的几何图形，抓住其直观性，把握好几何区域的“测度”，利用“测度”的比来计算几何概型的概率．10．已知函数（a∈R），若y=f（x）在区间[﹣2，﹣1]上是单调减函数，则实数a的最小值为．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵y=f（x）在区间[﹣2，﹣1]上是单调减函数，∴f′（x）≤0在区间[﹣2，﹣1]上恒成立，即f′（x）=x2+2ax﹣1≤0，即2ax≤1﹣x2，即2a≥﹣x，设g（x）=﹣x，则g（x）在[﹣2，﹣1]上为减函数，则函数的最大值为g（﹣2）=﹣（﹣2）=2﹣=，则2a≥，得a≥，即实数a的取值范围是．故答案为：【点评】本题主要考查函数单调性的应用，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系，结合参数分离法转化为求函数的最值是解决本题的关键．11．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣b）2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点，直线3x+4y+2=0与圆C相切，则该圆的方程为（x﹣1）2+y2=1 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），即为圆心坐标，利用圆与直线3x+4y+2=0相切，可求半径，即可得到圆的方程．【解答】解：由题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），即为圆心坐标∵圆与直线3x+4y+2=0相切，∴r==1，∴圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．故答案为：（x﹣1）2+y2=1．【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查直线与圆相切，解题的关键是确定圆的圆心与半径．12．已知函数（a＞0），（b＞1），则函数y=g（f（x））的零点个数为 4 ．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先求出函数y=g（f（x））的导数，由y′=0，得到函数y=g（f（x））有三个极值点，从而能求出函数y=g（f（x））的零点个数．【解答】解：∵（a＞0），（b ＞1），∴y=g（f（x））=b（）3﹣2b（）2+b（）﹣，∴y′=3b（ax2﹣2ax+a+）2（2ax﹣2a）﹣4b（）（2ax﹣2a）+b（2ax﹣2a），由y′=0，得x1=1，x2=1﹣，，∴函数y=g（f（x））的零点个数为4个．故答案为：4．【点评】本题考查函数的零点个数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．13．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，己知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°，则这一对相关曲线中椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a1，由此能求出结果．【解答】解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，即4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a22﹣4c2+=0，a1=3a2，e1•e2==即∴故答案为【点评】本题考查双曲线和椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意正确理解“相关曲线”的概念．14．设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x，e为自然对数的底数，若不等式f（x）≤0在x∈[﹣2，+∞）有解，则实数a的最小值为1﹣．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】化简可得a≥x3﹣3x+3﹣，令g（x）=x3﹣3x+3﹣，从而求导g′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+），从而确定g min（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；从而解得．【解答】解：∵f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x≤0，∴a≥x3﹣3x+3﹣，令g（x）=x3﹣3x+3﹣，g′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+），故当x∈[﹣2，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）在[﹣2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；故g min（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故答案为：1﹣．【点评】本题考查了不等式的化简与应用，同时考查了导数的综合应用及存在性问题的应用．二、解答题15．已知复数z满足z（1+2i）=5i（i为虚数单位）．（1）求复数z，以及复数z的实部与虚部；（2）求复数+的模．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．【专题】计算题；探究型；对应思想；数系的扩充和复数．【分析】（1）由z（1+2i）=5i，则，利用复数代数形式的乘除运算进行化简，即可求出答案；（2）由z=2+i，则，把代入+，利用复数代数形式的乘除运算进行化简，再由复数模的公式计算即可．【解答】解：（1）由z（1+2i）=5i，则z=，∴复数z的实部为：2，虚部为：1；（2）由z=2+i，则，∴+==2﹣i+2﹣i=4﹣2i．∴．即复数+的模为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．16．已知命题p：“关于x，y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0表示圆（a∈R）”，命题q：“∃x∈R使得x2+（a﹣1）x+1＜0（a∈R）”（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑．【分析】（1）根据圆的一般方程成立的条件，利用配方法进行求解即可看．（2）根据复合命题真假之间的关系，先求出命题p∧q为真命题的等价条件，然后进行求解即可．【解答】解：（1）x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0等价为（x﹣a）2+y2=﹣a2+5a﹣4，若关于x，y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0表示圆（a∈R），则﹣a2+5a﹣4＞0，即a2﹣5a+4＜0，则1＜a＜4，则若命题p为真命题，则1＜a＜4．（2）若“∃x∈R使得x2+（a﹣1）x+1＜0（a∈R）”，则判别式△=（a﹣1）2﹣4＞0，即a2﹣2a﹣3＞0，得a＞3或a＜﹣1，即q：a＞3或a＜﹣1，若当p∧q为真命题，则p，q同时为真命题，则，即3＜a＜4，则若命题p∧q为假命题，则a≥4或a≤3．【点评】本题主要考查命题的真假判断，以及复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题成立的等价条件是解决本题的关键．17．从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据上面补充完整的频率分布直方图估计出本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[40，60）的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[50，60）的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（1）频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在[70，80）内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可；（2）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相乘再求出它们的和即可求出本次考试的平均分；（3）先计算[40，50）、[50，60）分数段的人数，然后按照比例进行抽取，设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[50，60）为事件A，然后列出基本事件空间包含的基本事件，以及事件A包含的基本事件，最后将包含事件的个数求出题目比值即可．【解答】解：（1）分数在[70，80）内的频率为1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．又=0.03，补出的图形如下图所示．…（2）平均分为：=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．答：估计这次考试的平均分是71．（3）由题意，[40，50）分数段的人数为0.10×60=6人；[50，60）分数段的人数为0.15×60=9人；在[40，60）的学生中抽取一个容量为5的样本，在[40，50）分数段抽取2人，分别记为m，n；[50，60）分数段抽取3人，分别记为a，b，c，设从样本中任取2人，至少有1人在分数段[50，60）为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有（m，n）、（m，a）、（m，b）、（m，c）、…、（b，c）共10种，则事件A包含的基本事件有（m，a）、（m，b）、（m，c）、（n，a）、（n，b）、（n，c）、（a，b）、（a，c）、（b，c）共9种，所以P（A）==0.9．…【点评】本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数和概率的有关问题，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．18．为治理雾霾，环保部门加大对企业污染物排放的监管力度，某企业决定对一条价值60万元的老旧流水线进行升级改造，既要减少为染污的排放，更要提高该流水线的生产能力，从而提高产品附加值，预测产品附加值y（单位：万元）与投入改造资金x（单位：万元）之间的关系满足：①y与（60﹣x）x2成正比例；②当x=30时，y=90；③改造资金x满足不等式0≤≤t，其中t为常数，且t∈[0，3]．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式，并求出其定义域；（Ⅱ）求投入改造资金x取何值时，产品附加值y达到最大？【考点】函数最值的应用；函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）根据y与（60﹣x）x2成正比例，建立关系式，再根据②求出比例系数，得到函数f（x）的表达式，再求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．（Ⅱ）本题为含参数的三次函数在特定区间上求最值，利用导数研究函数在给定区间上的单调性即可求出最大值，注意分类讨论．【解答】解：（Ⅰ）设y=k（60﹣x）x2，则由②可得k=，∴y=（60﹣x）x2．∵0≤≤t，其中t为常数，且t∈[0，3]，∴x∈[0，]，其中t为常数，且t∈[0，3]；（Ⅱ）f′（x）=x（120﹣3x），令f′（x）=0，可得x=0或40，≥40，即1≤t≤3时，x∈（0，40），f′（x）＞0，x∈（40，），f′（x）＜0，∴x=40时，y max=；＜40，即0≤t＜1时，x∈（0，），f′（x）＞0，函数单调递增，∴x=时，y max=．【点评】本题考查函数的应用问题，函数的解析式、利用导数研究三次函数的最值及分类讨论思想，属于中档题．19．已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），两点F1（﹣1，0）、F2（1，0）为椭圆C 的焦点，点P在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图已知椭圆C的内接平行四边形ABCD的一组对边分别过椭圆的焦点F1、F2，求该平行四边形ABCD面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意求得c，a的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）求出直线AD与x轴垂直时平行四边形ABCD面积的值为6，在设出AD所在直线斜率存在时的直线方程，联立直线方程和椭圆方程，求出AD的长度，再求出两平行线间的距离，代入平行四边形面积公式，可得平行四边形ABCD面积小于6．【解答】解：（1）由题意可知，c=1，又|PF1|+|PF2|=2a=2|F1F2|=4c，∴2a=4，a=2，则b2=a2﹣c2=3．∴椭圆C的标准方程为；（2）当AD所在直线与x轴垂直时，则AD所在直线方程为x=1，代入，得y=，∴平行四边形ABCD的面积S=2×3=6；当AD所在直线斜率存在时，设直线方程为y=kx﹣k，联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．设A（x1，y1），D（x2，y2），则，∴|AD|===．两条平行线间的距离d=．∴平行四边形ABCD的面积S===＜6．综上，平行四边形ABCD面积的最大值为6．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了椭圆的简单性质，考查直线和椭圆位置关系的应用，涉及直线和椭圆的位置关系问题，常采用联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，然后利用根与系数的关系求解，是中档题．20．设函数f（x）=x2﹣2（﹣1）k lnx（k∈N*），f′（x）表示f（x）的导函数．（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；（2）当k为偶数时，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）=（1﹣2a）x2的上方，求实数a 的取值范围；（3）当k为奇数时，设b n=f′（n）﹣n，数列{b n}的前n项和为S n，证明不等式（1+b n）＞e对一切正整数n均成立，并比较S2014﹣2与ln2014的大小．【考点】数列与不等式的综合；利用导数研究函数的极值；数列的求和．【专题】综合题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）先求函数f（x）的导数，f′（x），再对k进行奇偶数讨论：①当k 为奇数时；②当k 为偶数时，分别得出导数值为正或负时的x的取值集合，最后综合即可；（2）由题意知：x2﹣2lnx＞（1﹣2a）x2恒成立，即恒成立，设，则a＞[h（x）]max；（3）当k为奇数时，f′（x）=2（x+），要证（1+b n）＞e，即证，两边取对数，即证，设，则，即证不等式成立．构造函数．利用导数工具研究其单调性即可证得lnt＞1﹣，最后利用累乘法即可证出S2014﹣1＜ln2014．【解答】（1）解：函数的定义域为（0，+∞），又，…①当k为奇数时，，∵x∈（0，+∞），∴f'（x）＞0在（0，+∞）恒成立．即f'（x）的单调递增区间为（0，+∞）…②当k为偶数时，又x∈（0，+∞），∴x+1＞0由f'（x）＞0，得x﹣1＞0，∴x＞1，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞），综上所述：当k为奇数时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当k为偶数时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞）…（2）解：当k为偶数时，f（x）=x2﹣2lnx，由题意知：x2﹣2lnx＞（1﹣2a）x2恒成立，即恒成立．设，则a＞[h（x）]max…由得，h'（x），h（x）随x的变化情况如下表：xh'（x）+ 0 ﹣h（x）极大值∴h（x）在处取得极大值，也为最大值，即，故实数a的取值范围为…（3）证明：由（1）知，当k为奇数时，，∴．由已知要证，两边取自然对数，即证，…设，则，即证不等式成立．构造函数，下面证明ϕ（t）在（1，+∞）上恒大于0．∵t＞1，∴∴ϕ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴ϕ（t）＞ϕ（1）=0即，∴，∴，即成立…由，得，即S n+1﹣1＜ln（n+1），当n=2013时，S2014﹣1＜ln2014…【点评】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于难题．理科附加题21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣2x﹣f′（0）x2+2．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的减区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【专题】计算题；方程思想；定义法；导数的概念及应用．【分析】（1）求函数的导数先求出f′（0）的值即可求出函数的解析式，（2）求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解即可．【解答】解：（1）函数的导数，令x=0，得f′（0）=1﹣2﹣2f′（0），即f′（0）=﹣1，∴f（x）=ln（x+1）﹣2x+x2+2．（2），由f'（x）＜0，得，∴f（x）的减区间为．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，以及函数单调性的应用，求函数的导数，利用导数法是解决本题的关键．22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3，D是BC的中点，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角．【分析】以为正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，由此利用向量法能求出直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．【解答】解：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），D（1，2，0），A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3），，．设平面A1C1D的法向量为，∵，，∴x=3z，y=0，令z=1，得x=3，．设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ，∵，∴．∴直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．23．数列{a n}中，a1=1，且+=2n+1，（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式并用数学归纳法证明．【考点】数学归纳法；数列递推式．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）由题意可得，由a1的值，可求得a2，再由a2的值求 a3，再由a3 的值求出a4的值．（Ⅱ）猜想，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．【解答】解：（Ⅰ）a1=1，且+=2n+1，∴，∴∴，，…（Ⅱ）猜想，（n∈N*）…证明：①当n=1时，左边=a1，右边=，猜测成立；②假设当n=k（k∈N*）时有成立则当n=k+1时， =﹣k+2k+1=k+1，∴．故猜测也成立．由①②可得对一切n∈N*，数列{a n}的通项公式为（n∈N*）…【点评】本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．24．已知抛物线y2=2px（p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4．（1）求t，p的值；（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用抛物线y2=2px （p＞0）上点T（3，t）到焦点F的距离为4，根据抛物线的定义，可求t，p的值；（2）设直线AB的方程为x=my+t，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合，可求t的值，即可求出该定点P的坐标【解答】解：（1）由抛物线定义得，…所以抛物线方程为y2=4x，…代入点T（3，t），可解得．…（2）设直线AB的方程为x=my+n，，联立消元得：y2﹣4my﹣4n=0，则：y1+y2=4m，y1y2=﹣4n…由得：，所以：y1y2=﹣20或y1y2=4（舍去）即﹣4n=﹣20⇒n=5，所以直线AB的方程为x=my+5，所以直线AB过定点P（5，0）…【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．。

江苏省淮安市中学2021年高二数学理期末试题含解析

江苏省淮安市中学2021年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列各式中最小值为2的是（）A． B． C． D．参考答案：B略2. 如图2，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，，则（）A． B． C． D．参考答案：B略3. 直线与圆相交于不同的A,B两点（其中是实数），且(O是坐标原点)，则点P与点距离的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：D4. 实数满足不等式组则目标函数当且仅当时取最大值，则的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C5. 准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（）A．x2=8y B．x2=﹣8y C．y2=﹣8x D．y2=8x参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据准线方程为y=﹣2，可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为x2=2py（p＞0），根据准线方程求出p的值，代入即可得到答案．【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，设抛物线标准方程为：x2=2py（p＞0），∵抛物线的准线方程为y=﹣2，∴=2，∴p=4，∴抛物线的标准方程为：x2=8y．故选A．【点评】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质．属基础题．6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=( )A．B．C．D．参考答案：A【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【专题】应用题；解三角形．【分析】根据sinC=2sinB，由正弦定理得，，再利用余弦定理可得结论．【解答】解：因为sinC=2sinB，所以由正弦定理得，所以，再由余弦定理可得，所以A=．故选A．【点评】本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求．7. 已知数列的前项和，若它的第项满足，则（）A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8参考答案：B当n=1时，，即当时，令，解得：，∴故选：B8. 在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）A．12 B．C．28 D．参考答案：D【考点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理．【分析】已知三条边长利用余弦定理求得cosC=，再利用同角三角函数的基本关系求得sinC=，代入△ABC的面积公式进行运算．【解答】解：在△ABC中，若三边长分别为a=7，b=3，c=8，由余弦定理可得64=49+9﹣2×7×3 cosC，∴cosC=，∴sinC=，∴S△ABC==，故选D．9. 在长为12cm的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，则这个正方形的面积介于与之间的概率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：A10. 在一个个体数为1003的总体中，采用系统抽样抽取一个容量为50的样本，那么总体中每个个体被抽到的概率是（）A. 1/20B. 1/50C. 2/5D. 50/1 003参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱 A1B1 与截面A1ECF所成的角的余弦值是______.参考答案：.解析：，. 设棱 A 1B 1 与截面A 1ECF 所成的角为,则,.12. 已知向量与的夹角为,且设,则向量在方向上的投影为.参考答案：2.13. 若变量x ，y 满足约束条件，则z=2x+3y 的最大值为．参考答案：1【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=﹣x 数形结合可得结论．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=﹣x+z ，平移直线y=﹣x 可知，当直线经过点A （4，﹣1）时，目标函数取最大值，代值计算可得z 的最大值为：2×4﹣3=1，故答案为：1．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题． 14. 直线ax+4y ﹣a=0与直线6x+8y+5=0平行，则这两直线间的距离为．参考答案：8【考点】两条平行直线间的距离．【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆．【分析】根据两直线平行，先求出a 的值，从而求出平行线间的距离即可．【解答】解：若直线ax+4y ﹣a=0与直线6x+8y+5=0平行，则=，解得：a=3，则这两直线间的距离为|5﹣（﹣3）|=8，故答案为：8．【点评】本题考查了平行线间的关系，考查平行线间的距离，是一道基础题．15. 不等式＞0对恒成立，则x 的取值范围是________.参考答案：16. 三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为．参考答案：考点：三角形中的几何计算专题：解三角形．分析：设另两边分别为8k 和5k，由余弦定理可求得 k=2，故另两边分别为 16和10，故这个三角形的面积为×16×10sin60°，计算求得结果．解答：解：设另两边分别为8k 和5k，由余弦定理可得 142=64k2+25k2﹣80k2cos60°，∴k=2，故另两边分别为 16和10，故这个三角形的面积为×16×10sin60°=，故答案为：．点评：本题考查余弦定理的应用，三角形的面积公式，求出 k=2 是解题的关键，属于中档题．17. 下列有关命题的说法中，错误的是 (填所有错误答案的序号)．①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；②“”是“”的充分不必要条件；③若为假命题，则、均为假命题．参考答案：③三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021-2022学年江苏省淮安市高二上学期期末调研测试数学试题(解析版)

2021-2022学年江苏省淮安市高二上学期期末调研测试数学试题一、单选题110y -+=的倾斜角为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【分析】根据倾斜角和斜率的关系求解.【详解】由已知得1y +，故直线斜率k =由于倾斜的范围是0,，则倾斜角为3π. 故选：B.2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3716a a +=，则9S =（） A ．64 B ．72 C ．80 D ．144【答案】B【分析】利用等差数列下标和性质，求得5a ，再用等差数列前项和公式即可求解. 【详解】根据等差数列的下标和性质，375216a a a +==，解得58a =， ()199********a a S a +===⨯=. 故选：B.3．已知函数()e xf x =与()1g x x =+，则它们的图象交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．不确定【答案】B【分析】令()e 1xh x x =--，判断()h x 的单调性并计算()h x 的极值，根据极值与0的大小关系判断()h x 的零点个数，得出答案.【详解】令()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-，由()e 10xh x '=-=，得0x =，∴当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>.∴当0x =时，()h x 取得最小值()00h =，∴()e 1xh x x =--只有一个零点，即()f x 与()g x 的图象只有1个交点.故选：B.4．若函数()ln 2f x kx x =+在区间()1,3上单调递增，则实数k 的取值范围是（） A ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,-+∞D ．(],1-∞-【答案】A【分析】由函数在()1,3上单调递增，可得()0f x '≥，从而可求出实数k 的取值范围【详解】由()ln 2f x kx x =+，得1()f x k x'=+，因为函数()ln 2f x kx x =+在区间()1,3上单调递增，所以1()0f x k x '=+≥在区间()1,3上恒成立，即1k x≥-恒成立，因为(1,3)x ∈，所以1113x -<-<-，所以13k ≥-，所以实数k 的取值范围为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选：A5．已知F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若直线AB 的斜率为53-，则椭圆C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．35D ．23【答案】D【分析】根据题意表示出点B 的坐标，再由直线AB 的斜率为53-，列方程可求出椭圆的离心率【详解】由题意得(c,0)F ，(,0)A a ，当x c =时，22221c y a b+=，得422b y a =，由题意可得点B 在第一象限，所以2,b B c a ⎛⎫⎪⎝⎭，因为直线AB 的斜率为53-，所以253bac a -=--，化简得22553a ac b-=，所以222530a ac c -+=，()(23)0a c a c --=，得a c =（舍去），或32a c =，所以离心率23c e a ==，故选：D6．已知数列{}n a 满足12a =，112nn n a a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2n ≥且*N n ∈），若n a M <恒成立，则M 的最小值是（） A ．2 B ．94C ．52D ．3【答案】C【分析】根据112nn n a a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（2n ≥且*N n ∈），利用累加法求得n a ，再根据n a M <恒成立求解.【详解】因为数列{}n a 满足12a =，112nn n a a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（2n ≥且*N n ∈）所以12132431...n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-，23411112...2222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2111222112n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+-， 1515222n +⎛⎫=-<⎪⎝⎭，因为n a M <恒成立，所以52M ≥，则M 的最小值是52，故选：C7．已知()0,2P x 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，点P 到抛物线C 的焦点的距离与它到y 轴的距离之比为3:2，则p =（） A ．1BC ．2D ．3【答案】B【分析】先求出点P 的坐标，然后根据抛物线的定义和已知条件列方程求解即可【详解】因为()0,2P x 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，所以042px =，得02x p=，所以2,2P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，因为点P 到抛物线C 的焦点的距离与它到y 轴的距离之比为3:2，所以23222p p p+=，化简得22p =，因为0p >，所以p = 故选：B 8．设2ln 2a =，3ln 3b =，2e1ln 2c =+，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【分析】构造函数()(0)ln xf x x x=>，求导判断其单调性即可．【详解】令()(0)ln xf x x x=>， 2ln 1()(ln )x f x x -'∴=，令()0f x '=得，e x =， ∴当(e,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()2444ln 22ln2ln 4a f ====，()33ln 3b f ==，()2e 2e 2e 2e 1ln 2ln e ln 2ln 2ec f ====++， e 342e <<<，()()()342e f f f ∴<<，b ac ∴<<，故选：A ．二、多选题9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”已知问题中五个爵位是由高到底排列的，古代数学中“以爵次分之”一般表示等差分配，若已知上造得三分鹿之二，即上造分得23头鹿．则以下说法正确的有（） A ．大夫分得二鹿B ．不更分得一鹿加三分鹿之一C ．不更、上造分得的鹿之和是簪褭的两倍D ．不更、上造分得的鹿之和与大夫、公士分得的鹿之和相等【答案】BCD【分析】由题意可得五个人分得鹿的数量成递减的等差数列，且5425,3S a==，从而可求出1,a d ，进而分析判断即可【详解】由题意得大夫、不更、簪褭、上造、公士五人分得鹿的数量成递减的等差数列，分别记为12345,,,,a a a a a ，设公差为d ，则由题意得5425,3Sa==，所以115105233a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得15313a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1511(1)(1)2333naan d n n =+-=--=-+，所以大夫、不更、簪褭、上造、公士各分得鹿的数量分别为5421,,1,,3333，所以A 错误，B 正确，不更、上造分得的鹿之和为42233+=，所以C 正确，不更、上造分得的鹿之和与大夫、公士分得的鹿之和都为2，所以D 正确，故选：BCD10．定义在[]1,5-上的函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，函数()f x 的部分对应值如下表．下列关于函数()f x 的结论正确的是（）x1-0 2 4 5 ()f x13132A ．函数()f x 的极大值点的个数为2B ．函数()f x 的单调递增区间为()()1,02,4-⋃C ．当[]1,x t ∈-时，若()f x 的最小值为1，则t 的最大值为2D ．若方程()f x a =有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是()1,2 【答案】AD【分析】由导函数图象得原函数的单调性可判断AB ；由单调性结合函数值表可判断CD. 【详解】由图知函数()f x 在区间[-1,0]上单调递增，在区间[0,2]上单调递减，在区间[2,4]上单调递增，在区间[4,5]上单调递减，所以在0,4x x ==处有极大值，故A 正确；单调区间不能写成并集，故B 错误；因为函数()()21,43f f ==，且()f x 在区间[2,4]上单调递增，所以存在[]02,4x ∈使得()02f x =，易知，当0t x =时，()f x 在区间[]1,t -的最小值为1，故C 不正确；由函数值表结合单调性作出函数草图可知D 正确. 故选：AD11．以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（）A ．双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线B ．双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等C ．双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等D ．双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线【答案】BD【分析】写出双曲线及其共轭双曲线方程，再逐一分析各选项判断作答.【详解】由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD12．为纪念法国天文学家乔凡尼·多美尼科·卡西尼，数学史上，把平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassini Oval ）．在平面直角坐标系内，曲线C 是到两个定点()12,0F -，()22,0F 的距离之积为5的点的轨迹．以下结论正确的有（）A ．曲线C 关于x 轴对称B ．曲线C 与y 轴的交点为()0,3±C ．对于曲线C 上任意一点P ，均满足12PF PF +≥D ．曲线C 上存在点P ，使得12PF F △的面积为3 【答案】AC【分析】由题意写出曲线C 的轨迹方程，用-y 代y ，方程不变，可判断A ；令0x = ，则245y +=，解得1y =± ，可判断B;利用基本不等式可判断C;利用三角形面积公式，结合三角数性质可判断D.【详解】设曲线C 上任意一点坐标为(,)P x y ，则由题意可得：12PF PF +5 ，即曲线C 5，用-y 代y ，方程不变，故曲线C 关于x 轴对称,A 正确；令0x = ，则245y +=，解得1y =± ，曲线C 与y 轴的交点为()0,1±，B 错误；对于曲线C 上任意一点P ，12PF PF +≥=当且仅当12PF PF =时取等号，故C 正确；又1211111115sin sin 22PF F SPF PF F PF F PF =⋅⋅∠=∠ , 令111156sin 3,sin 125F PF F PF ∠=∠=>，故曲线C 上不在点P ，使得12PF F △的面积为3，D 错误, 故选：AC 三、填空题13．已知三个数2，x ，6成等比数列，则实数x =______．【答案】±【分析】由题意可得226x =⨯，从而可求出x 的值【详解】因为三个数2，x ，6成等比数列，所以226x =⨯，解得x =±故答案为：±14．已知函数()cos f x x =，则033lim x f x f x xππ∆→⎛⎫⎛⎫+∆--∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∆______．【答案】【分析】根据导数的定义求解即可【详解】由()cos f x x =，得()sin f x x '=-，所以033lim x f x fx xππ∆→⎛⎫⎛⎫+∆--∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∆ 0332lim 2x f x f x xππ∆→⎛⎫⎛⎫+∆--∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∆22sin 33f ππ⎛⎫'==-= ⎪⎝⎭故答案为：15．已知函数()4f x x x =+，()21ln 2g x x x a =-+，若1x ∃，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是______．【答案】92ln 2,2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】先求出两函数在[1,2]上的值域，再由已知条件可得min max ()()g x f x ≤，且maxmin()()g x f x ≥，列不等式组可求得结果【详解】由()4f x x x =+，得22244()1x f x x x '-=-=，当[1,2]x ∈时，()0f x '≤，所以()f x 在[1,2]上单调递减，所以(2)()(1)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤，由()21ln 2g x x x a =-+，得211()x g x x x x-'=-=，当[1,2]x ∈时，()0g x '≥，所以()g x 在[1,2]上单调递增，所以(1)()(2)g g x g ≤≤，即1()2ln 22a g x a +≤≤-+，因为1x ∃，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x =，所以2ln 24152a a -+≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得92ln 22a +≤≤，故答案为：92ln 2,2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦四、双空题16．莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知ABC 的三个顶点坐标分别是()1,0-，()3,0，()0,2，则ABC 的垂心坐标为______，ABC 的欧拉线方程为______．【答案】 302⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1.5) 5460x y +-=【分析】由高线联立可得垂心，由垂心与重心可得欧拉线方程.【详解】由(1,0),(3,0),(0,2)A B C -，可知AB 边上的高所在的直线为0x =，又202033BC k -==--，因此BC 边上的高所在的直线的斜率为32，所以BC 边上的高所在的直线为：30(1)2y x -=+，即3230x y -+=，所以00332302x x x y y =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨-+==⎩⎪⎩，所以ABC 的垂心坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭，，由重心坐标公式可得ABC 的重心坐标为130002223333-++++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，所以ABC 的欧拉线方程为：3022320323y x --=--，化简得5460x y +-=. 故答案为：302⎛⎫⎪⎝⎭，；5460x y +-=五、解答题17．已知等比数列{}n a 满足124a a +=，2312a a +=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记31log n n b a +=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】(1)13-=n n a (2)1n nS n =+ 【分析】（1）通过基本量列方程组可得；（2）由裂项相消法可解.【详解】(1)由题意得()()1211122311114112a a a a q a q a a a q a q a q q ⎧+=+=+=⎪⎨+=+=+=⎪⎩ 解得113a q =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式为1113n n n a a q --=⋅=．(2)由（1）知313log log 3n n n b a n +===，则()1111111n n b b n n n n +==-++ 所以()1223341111111111223341n n n S b b b b b b b b n n +=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+ 111111111122334111n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 18．已知函数()cos e xxf x =，R x ∈． (1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若对任意的[]0,x π∈，()232f x a a ≤-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)10x y +-=； (2)1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）求出函数的导数，计算(0)f ，(0)f '，求出切线方程即可；（2）问题转化为()2max 32f x a a ≤-，利用导函数求出()f x 的最大值，求出a 的范围即可.【详解】(1)因为()cos e xxf x =，所以()sin cos 4e e x xx x x f x π⎛⎫+ ⎪--⎝⎭'==，则切线的斜率为()01k f '==-，又因为()01f =，则切点为()0,1，所以曲线()y f x =在()()0,0f 点处的切线方程为1y x =-+，即10x y +-=． (2)当[]0,x π∈时，令()0f x '=得3x π=，列表得所以当[]0,x π∈时，()f x 的最大值为()01f =．由题意知()2max 32f x a a ≤-，故2321a a -≥，解之得1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以实数a 的取值范围为1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.19．已知点()1,P t ，22:4O x y +=．(1)若过点P 作O 的切线只有一条，求实数t 的值及切线方程；(2)过点P 作斜率为1的直线l 与O 相交于M ，N 两点，当OMN 面积最大时，求实数t 的值．【答案】(1)t =t =时，切线方程为40x -=；当t =程为40x -=； (2)3t =或1-【分析】(1)根据题意可知P 在圆上，据此即可求t 和切线方程； (2)OMN 的面积211sin sin 2sin 22S OM ON MON r MON MON =⋅∠=∠=∠，则当OMN 面积最大时，90MON ∠=︒．即OM ON ⊥，据此即可求出圆心O 到直线l 的距离，即可求出t 的数值.【详解】(1)由题意得点()1,P t 在O 上，∴2214t +=，t =①当t =时，切点(P ，直线OP 的斜率OP k =k =，切线方程为)1y x -=-，即40x -=．②当t =(1,P ，直线OP 的斜率OP k =k =切线方程为)1y x=-，即40x-=．(2)∵OMN的面积211sin sin2sin22S OM ON MON r MON MON=⋅∠=∠=∠，则当OMN面积最大时，90MON∠=︒．即OM ON⊥，则圆心O到直线l距离d=又直线:1l y t x-=-，即10x y t-+-=，则d==3t=或1-．注：亦可设圆心O到直线l的距离为d，则OMN的面积1122S MN d d=⋅=⋅2==，当且仅当224d d-=，即d=(下同)．20．从①53213a a-=；②416S=；③3620S a+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．设等差数列{}n a的前n项和为n S，23a=，______；设数列{}n b的前n项和为n T，22n nT b=-．(1)求数列{}n a和{}n b的通项公式；(2)求数列nnab⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n R．注：作答前请先指明所选条件，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，21na n=-，2nnb=(2)2332n nnR+=-【分析】（1）设数列{}n a的首项为1a，公差为d，选①由2153132613a a da a a d=+=⎧⎨-=+=⎩求解；选②由214134616a a dS a d=+=⎧⎨=+=⎩求解；选③由2136134820a a dS a a d=+=⎧⎨+=+=⎩求解；则112ad=⎧⎨=⎩，由22n nT b=-，利用数列通项与前n项和公式求解；（2）易知()2112122nnnna nnb-⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭，再利用错位相减法求解.【详解】(1)解：设数列{}n a的首项为1a，公差为d，选①得2153132613a a da a a d=+=⎧⎨-=+=⎩，则112ad=⎧⎨=⎩，选②得214134616a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，则112a d =⎧⎨=⎩，选③得2136134820a a d S a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，则112a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式为()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-．因为22n n T b =-，所以当1n =时，1122b b =-，则12b =．当2n ≥时，()112222n n n n n b T T b b --=-=---，则12n n b b -=，所以{}n b 是以首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n nn b -=⋅=．(2)因为()2112122nn n n a n n b -⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭，所以数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()231111135212222nn R n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①()()2311111113232122222nn n R n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①-②得()231111111*********n n n R n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴()21111122111221122212n n n R n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⋅--⋅ ⎪⎝⎭-，()1131121222n n n -+⎛⎫⎛⎫=---⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则2332n nn R +=-． 21．设函数()ln 2f x x x =+ (1)若1a =-，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞； (2)10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）求出()f x '，进而判断函数()f x '的单调性，然后讨论()f x '符号后可得函数的单调区间；（2）令()2h x x a +，则()h x 有两个不同的零点，利用导数讨论()h x 的单调性并结合零点存在定理可得实数a 的取值范围.【详解】(1)当1a =-时，()ln f x x x =-()ln 1f x x'=+，记()()1ln g x f x x'==+()10g x x '=>，所以()f x '在()0,∞+上单调递增，又()10f '=，所以当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞．(2)令())ln 220f x x x x a =++=20x a +=，记()2h x x a +，要使()2h x x a =+在()0,∞+上有两个零点，则21220e e h a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以1e a <．且函数()h x 在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上各有一个零点．当0a ≤时，210,e x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭0x <，20a ≤，则()0h x <，故()h x 在210,e ⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，与函数()h x 在210,e ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点矛盾，故0a ≤不满足条件．所以0a >，又因为1e a <，所以考虑10ea <<，设()ln a a a ϕ=，10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()ln 10a a ϕ'=+<，则()a ϕ在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故当10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1111ln e e e e a ϕϕ⎛⎫>==- ⎪⎝⎭，所以()()442224ln 222ln 1210e h aa a a a a a a a a ⎛⎫=+=+=+>-+> ⎪⎝⎭，且()120h a =>，因为10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以442110e e a <<<，由零点存在定理知()h x 在421,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上各有一个零点综上可知，实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.22．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>⎭在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()1,0P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究直线y x =上是否存在定点Q ，使得QA QB k k +为定值λ．若存在，求出定点Q 的坐标及实数λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=(2)存在，定点Q 的坐标为()4,4，实数λ的值为83【分析】（1）由题意可得222112c e a a b ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，再结合222a b c =+，可求出22,a b ，从而可求得椭圆方程，（2）设在直线y x =上存在定点(),Q m m ，当直线斜率存在时，设过点P 的动直线l 为()1y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程代入椭圆方程消去y ，利用根与系数，再计算QA QB k k +为常数可求出m ，从而可求得λ，当直线斜率不存在时，可求出,A B 两点的坐标，从而可求得QA QB k k +的值【详解】(1)由题意知222112c e a a b ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩结合222a b c =+，可得2241a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=，(2)设在直线y x =上存在定点(),Q m m ，使QA QB k k +为定值λ，①当直线斜率存在时，设过点P 的动直线l 为()1y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y · 由()22114y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222418440k x k x k +-+-=，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+，所以12121212QA QB y m y m kx k m kx k mk k x m x m x m x m------+=+=+---- ()()()()()()()()()22221212222221212244822412244841k k k km k m mk m k kx x km k m x x m k m x x m x x m k k m m k --+++++-+++++==-++--++()()()222222882824844m m k m k mm m k m λ-+-+==-++-为常数则22228824844280m m m m m m m ⎧-=⎪-+-⎨⎪-=⎩，解之得4m =，即定点为()4,4Q ，则222843m m λ==-．②当直线斜率不存在时，即动直线方程为1x =，不妨设1,A ⎛ ⎝⎭，B ⎛ ⎝⎭，此时4482241413QA QBk k +=+=--也成立．所以，存在定点()4,4Q 使83QA QB k k +=为定值，即83λ=．。

江苏省淮阴中学2019-2020学年第一学期期末考试高二数学试题(PDF版)

x3

x1

x2

2k

m

m 3
9 k2
k

y3

y1

y2

29 3k m
9 k2
第2页共4页
所以 9x32

y32

9
4k 2
1

k 3
2
9k2 2
m2

49 3k 2 m2
9k2 2

m2

k2
8k

1
1

2 m2
2

2

1 m2

1 2

2

2
所以，当 m
2 时，
SAOB

max
2 2
22．解：（1）由条件知 e c 5 ，由顶点到渐近线的距离 a2
为2
5
得
25 5

=
1(a
>
0, b
>
0)，离心率
e
=
√
5 2
-
顶点到渐近线的距离为
√ 25
5
)2* 求双曲线 C 的方程；
)3* 若关于 x 的不等式 f (2x) − m < 0 恒成立，求实数 m 的取值范围
)4* 设 P 是双曲线 C 上点，A, B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 A# P» =
江苏省淮阴中学 2019 ∼ 2020 学年度第一学期期末考试
高二数学 312:/23

江苏省淮安市2020-2021学年高二第一学期期末调研测试数学试题

江苏省淮安市2020-2021学年高二第一学期期末调研测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．命题“ ， ”的否定是__________．
2．直线在两坐标轴上的截距之和为__________．
3．抛物线的焦点坐标是__________．
6．
【解析】
所以表面积为
7．
【解析】
因为，所以- ，所以
8．8
【解析】
【详解】
直线与抛物线联立可得，
因为直线过抛物线焦点（1，0），所以
9．
【解析】
或，所以，因此
10．
【解析】
命题
命题：
因为为真命题，所以
11．（或都对）
【解析】
两圆柱的体积之比为
12． .
【解析】
A(0,0),B(-1,0),动直线与动直线相互垂直，所以点轨迹为以AB为直径的圆，
12．已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为__________．
13．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是__________．
14．若函数在其定义域内的一个子区间上不单调，则实数的取值范围是__________．
20．已知函数，，（其中是自然对数的底数）．
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）记函数，其中，若函数在内存在两个极值点，求实数的取值范围；
（3）若对任意，，且，均有成立，求实数的取值范围．

江苏省2020学年高二数学上学期期末考试试题 (2)

第一学期期末调研测试试题高二数学（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1. 命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是．2. 已知直线l 过点()()1120A ,B ,、,则直线l 的斜率为． 3. 一质点的运动方程为210S t =+（位移单位：m ；时间单位：s ），则该质点在3t =时的瞬时速度为 /m s ．4. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4128、、, 若用分层抽样的方法抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为个.5. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =的准线方程为．6. 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为10，则输入的x 的值是．7.若R a ∈,则“3a =-”是“直线1l ：10ax y +-=与2l ：()1240a x ay +++=垂直”的条件．（注：在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必要”、“ 必要不充分”中选填一个） 8. 函数()332f x x x =-+的单调递减区间为．9. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左焦点为F 1，左准线为l ，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 的距离，则椭圆的离心率是．10. 有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1234,,,.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到．．．的数字都大于2的概率为． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2211x y m m -=+的一个焦点为()30,，则双曲线的渐近线方程为．（第6题）12. 已知可导函数()f x 的定义域为R ，()12f =，其导函数()f x '满足()23f x x '>,则不等式()3281f x x <+的解集为．13. 已知圆()22:16C x y +-=，AB 为圆C 上的两个动点，且22AB =，G 为弦AB的中点.直线20l :x y --=上有两个动点PQ ，且2PQ =.当AB 在圆C 上运动时，PGQ ∠恒为锐角，则线段PQ 中点M 的横坐标取值范围为．14．函数()xf x x e a =-在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）已知m 为实数.命题p ：方程221313x y m m +=--表示双曲线；命题q ：对任意x R ∈，29(2)04x m x +-+>恒成立. （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．16．（本小题满分14分）某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭。

高二数学上学期期末考试试题含解析 10

淮阴中学2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题〔含解析〕一、选择题28y x =的焦点到准线的间隔是( )A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】【分析】先根据抛物线的方程求出p 的值，再根据抛物线的简单性质即可得到．【详解】由228y px x ==，知p ＝4，而焦点到准线的间隔就是p ．应选C ．【点睛】此题主要考察了抛物线的简单性质．考察了学生对抛物线HY 方程的理解和运用，属于根底题．22112x y m m+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，那么m 的取值范围是〔〕 A. 12m << B. 31 2m <<C.322m << D. 12m <<且32m ≠【答案】C 【解析】【分析】根据焦点在x 轴上的椭圆方程的特点可得不等式，解不等式求得结果.【详解】22112x y m m+=--表示焦点在x 轴上的椭圆 120m m ∴->->，解得：322m << 应选：C【点睛】此题考察根据方程表示椭圆及椭圆焦点位置求解参数范围的问题，属于根底题.3.△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，那么△ABC 的周长是( )B. 6D. 12【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点间隔之和为长轴长即可得解. 【详解】设另一焦点为F ，由题F 在BC 边上，所以ABC ∆的周长l AB BC CA AB BF CF CA =++=+++==应选：C【点睛】此题考察椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点间隔之和为定值，求解中要多观察图形的几何特征，将所求问题进展转化，简化计算.22:1916x y E -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 在双曲线E 上,且13PF =,那么2PF 等于〔〕 A. 11 B. 9C. 5D. 3【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线方程可知26a =，由双曲线定义构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程得：26a =由双曲线定义知：21236PF PF PF -=-=，解得：29PF =或者3-〔舍〕应选：B【点睛】此题考察双曲线定义的应用，属于根底题.()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，那么双曲线的方程为〔〕A. 2212128x y -=B. 2212821x y -=C. 22134x y -=D.22143x y -= 【答案】D 【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线是by x a=2b a =①，抛物线2y =的准线是x =c =2227a b c +==②，由①②联立解得2{a b ==方程为22143x y -=．应选D ．考点：双曲线的HY 方程．C ：()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公一共焦点，那么C 的方程为〔〕A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D.22143x y -= 【答案】B 【解析】【分析】由双曲线渐近线方程可知2b a =；利用椭圆焦点坐标和双曲线中222c a b =+可构造方程求得22,a b ，进而得到双曲线方程.【详解】由双曲线渐近线方程知：2b a =，即2b a = 椭圆221123x y +=焦点坐标为()3,0± 2229c a b ∴=+=22594a a ∴+=，解得：24a = 22554b a ∴==∴双曲线C 的方程为22145x y -=应选：B【点睛】此题考察双曲线方程的求解，涉及到双曲线渐近线方程、椭圆焦点坐标的求解等知识，属于根底题.mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，那么m 的值是( )A. 4B. －4C. －14D.14【答案】C 【解析】【分析】先将双曲线方程化为HY 形式，利用虚轴长是实轴长的2倍列方程，解方程求得m 的值.【详解】依题意，双曲线的HY 方程为2211x y m-=-，即2211,a b m ==-，由于虚轴长是实轴长的2倍，所以2b a =，即224b a =，也即114,4m m -==-.应选C. 【点睛】本小题主要考察双曲线的HY 方程，考察双曲线实轴和虚轴的概念，属于根底题.22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，假设1260F PF ∠=，那么椭圆的离心率为〔〕A.3B.2C.12D.13【答案】A 【解析】【详解】根据题意，焦点在x 轴上，设22221x y a b+= 左焦点(-c ，0)，故P 坐标可求为(-c ，±2b a )12F F =2c ，所以1F P2b a22a c a -=210c -=, 同时除以a²，210e +-=,求得e =2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．假设3AF FB =，那么k = A. 1D. 2【答案】B 【解析】因为2c e a ==，所以c =，从而22224a b a c =-=，那么椭圆方程为222241x y a a =+．依题意可得直线方程为()2y k x a =-，联立2222(){41y k x x y a a =+=可得22222(14)(31)0k x ax k a +-+-=设,A B 坐标分别为1122(,),(,)x y x y，那么2212122(31)14k ax x x x k-+==+ 因为3AF FB =，所以1122,)3(,)x y x y --=-，从而有123x x +=① 再由3AF FB =可得3AF FB =，根据椭圆第二定义可得12)3)x x -=-，即213x x -=②由①②可得12,x x ==，所以2221225(31)914k a x x a k -⋅==+，那么22(31)5149k k -=+，解得k =0k >，所以k =B10.1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，那么椭圆离心率的取值范围是A. (0,1)B. 1(0,]2C. D.2【答案】C 【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为,,a b c ．因为12·0MF MF =所以点M 的轨迹为以原点为圆心，半径为c 的圆．与因为点M 在椭圆的内部，所以,c a c b <<，所以2222c b a c <=-，所以22222122c c a e a <∴=< ，所以(0,2e ∈ ，应选C ．【点睛】求离心率的值或者范围就是找,,a b c 的值或者关系．由12·0MF MF =想到点M 的轨迹为以原点为圆心，半径为c 的圆．再由点M 在椭圆的内部，可得,c a c b <<，因为a b < ．所以由c b <得2222c b a c <=-，由,a c 关系求离心率的范围．C:22221x y a b-=〔0a >，0b >〕的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，那么C 的离心率为〔〕A. 2D.3【答案】A 【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线间隔为d =，那么点()2,0到直线0bx ay +=的间隔为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．应选A ．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或者离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或者a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，其右准线与轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，那么椭圆离心率的取值范围是〔〕A. (0,2B. 1(0,]2C. 1,1)D. 1[,1)2【答案】D 【解析】解：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的间隔相等 |FA|=222222222222,[,][,]1{{11,21(0,1)[,1)2a b c PF a c a c c cb ac a c c ac c b ac c cac c a c a c c ac c a c a a e e -=∈-+∈-+-≤≤+≤-≤-∴∴+≥-≤-≥∈∴∈于是，即221y x m-=m =__________．【答案】2 【解析】222222221,,13c a b a b m e m a a+=====+=，2m =.渐近线方程是y ==. 14.x ,y满足y =3y x +的取值范围是_____.【答案】⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】将方程整理为()22104x y y +=≥，可得其图象为半椭圆；将3y x +转化为半椭圆上的点与()3,0-连线的取值范围；由图象可知下底限为0，上限为直线与半椭圆相切的时候；假设切线方程，联立后利用0∆=求得切线斜率，从而得到所求的范围.【详解】由2142y x =-得：()22104x y y +=≥，那么其图象为如以下图所示的半椭圆3yx +可看做半椭圆上的点(),x y 与()3,0-连线的斜率当如下图的过()3,0-的直线l 与椭圆相切时，设直线():3l y k x =+，0k > 与椭圆方程联立得：()222241243640k x k x k +++-=()()4225764413640k k k ∴∆=-+-=，解得：5k =∴半椭圆上的点(),x y 与()3,0-连线的斜率的取值范围为50,5⎡⎢⎣⎦ 50,35y x ⎡∴∈⎢+⎣⎦故答案为：50,5⎡⎢⎣⎦【点睛】此题考察根据直线与椭圆的位置关系求解参数范围的问题，关键是可以明确所求式子的几何意义为曲线上的点与定点连线的斜率，利用数形结合的方式确定临界值，从而求得结果.15.12,F F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥．假设12PF F ∆的面积为9，那么b =_____．【答案】3 【解析】【分析】由定义得|PF 1|+|PF 2|=2a ，由12PF PF ⊥得|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，由面积得12|PF 1||PF 2|＝9，由此能得到b 的值.【详解】∵F 1、F 2是椭圆C ：22221x y a b+=〔a ＞b ＞0〕的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥,∴|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，12|PF 1||PF 2|＝9，∴〔|PF 1|+|PF 2|〕2=4c 2+2|PF 1||PF 2|=4a 2，∴36=4〔a 2-c 2〕=4b 2，∴b=3．故答案为3．【点睛】主要考察椭圆的定义、根本性质和平面向量的知识，重点是三个方程的应用，属于根底题.C 是平面内与两个定点()11,0F -和()21,0F 的间隔的积等于常数()21a a >的点的轨迹,给出以下三个结论: ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称;③假设点P 在曲线C 上,那么12F PF ∆,的面积不大于212a 其中，所有正确结论的序号是_____ 【答案】②③ 【解析】【分析】首先结合两点间间隔公式确定曲线C 的方程，()0,0不满足曲线方程，可知①错误；当(),x y 在曲线上时，(),x y --满足曲线方程，可知②正确；由三角形面积公式可知12212sin 2F PF a S F PF ∆=∠，由此可得12212F PF S a ∆≤，③正确.【详解】设曲线C 上点的坐标为(),x y ()21a a =>①将()0,0代入曲线方程知：2111a ⨯=≠ ∴曲线C 不过坐标原点，①错误； ②假设(),x y 在曲线C 上，将(),x y --代入曲线方程，可知方程成立，那么曲线C 关于坐标原点对称，②正确；③122212121211sin sin 222F PFa S PF PF F PF F PF a ∆=∠=∠≤，③正确. 故答案为：②③【点睛】此题考察根据曲线方程研究曲线的性质，涉及到关于原点对称的点的特点、三角形面积公式的应用等知识，关键是可以通过的等量关系确定曲线的方程. 三、解答题(52)P ，、1(60)F -，、2(60)F ， . 〔1〕求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的HY 方程；〔2〕设点P 、1F 、2F 关于直线y x = 的对称点分别为P ' 、1F ' 、2F ' ，求以1F ' 、2F ' 为焦点且过点P ' 的双曲线的HY 方程. 【答案】〔1〕221459x y += 〔2〕2212016x y -=.【解析】试题分析：(1)根据题意设出所求的椭圆的HY 方程，然后代入半焦距，根据椭圆的定义求出a =，从而可得2229b ac =-=，进而可得椭圆的HY 方程；〔2〕点()52P ，、1(60F ，）- 、()260F ，关于直线y x = 的对称点分别为()25P '，、()'106F -，、()'206F ， .设所求双曲线的HY 方程为2222111y x a b -= 〔10a > ，10b > 〕其半焦距16c = ，由双曲线定义得''1122a P F P F =-=''得1a =从而可得22211116b c a =-=，进而可得'1F 、'2F为焦点且过点P ' 的双曲线的HY 方程.试题解析：〔1〕由题意知，焦点在x 轴上，可设椭圆的HY 方程为22221x ya b+= 〔0a b >> 〕其半焦距6c =由椭圆定义得122a PF PF =+=∴a =∴22245369b a c =-=-=故椭圆的HY 方程为221459x y += .〔2〕点()52P ，、1(60F ，）- 、()260F ，关于直线y x = 的对称点分别为()25P '，、()'106F -，、()'206F ， .设所求双曲线的HY 方程为 2222111y x a b -= 〔10a > ，10b > 〕其半焦距16c = ，由双曲线定义得''1122a P F P F =-''==∴1a =，∴222111362016b c a =-=-= ，故所求的双曲线的HY 方程为 2212016x y -=.()222210x y a b a b +=>>离心率2e =，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于点P ,且2PF =. (1)求椭圆的方程;(2)点(),Q x y 在椭圆上，求x 的最大值.【答案】(1) 221168x y +=;(2)【解析】【分析】(1)利用离心率2e =以及通经公式求解即可. (2)利用椭圆的参数方程求解即可.【详解】(1)由题意得242c a a c b b a ⎧=⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪=⎪⎩故椭圆方程为221168x y +=. (2)设4cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,那么4cos 4sin )4x πθθθ+=+=+,当4πθ=时)4πθ+取最大值故x的最大值为【点睛】此题主要考察了椭圆的根本量求法以及利用参数方程求解最值问题,属于根底题型.22173x y +=. (1)椭圆的左右焦点为1F ,2F ,点P 在椭圆上运动，求12PF PF ⋅的取值范围; (2)倾斜角为锐角的直线l 过点()1,0M 交椭圆于A ，B 两点，且满足2AM MB =,求直线l 的方程.【答案】〔1〕[]1,3-〔2〕:l y =【解析】【分析】〔1〕设)Pθθ，利用平面向量数量积的坐标运算可整理得到2124cos 1PF PF θ⋅=-，由余弦函数的值域可求得12PF PF ⋅的取值范围；〔2〕由2AM MB =可利用B 点横纵坐标表示出A 点坐标，将A ，B 两点坐标代入椭圆方程可求得B 点坐标；利用两点连线斜率公式求得直线l 斜率后，利用点斜式得到直线方程. 【详解】〔1〕由椭圆方程知：()12,0F -，()22,0F设)Pθθ那么()12,PF θθ=--，()22,PF θθ=222127cos 43sin 4cos 1PF PF θθθ∴⋅=-+=-20cos 1θ≤≤ 214cos 13θ∴-≤-≤，即12PF PF ⋅的取值范围为[]1,3-〔2〕设()11,A x y ，()22,B x y ，那么()111,AM x y =--，()221,MB x y =-由2AM MB =得：()12121212x x y y ⎧-=-⎨-=⎩ 1212322x x y y =-⎧∴⎨=-⎩ ()2232,2A x y ∴-- 由,A B 两点在椭圆上可得：()22222222324173173x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：2252x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩52B ⎛∴ ⎝⎭ ∴直线l斜率145712k ==-∴直线l方程为：)17y x =-，即77y x =- 【点睛】此题考察椭圆中的向量问题的求解，涉及到平面向量数量积的取值范围的求解、直线方程的求解问题；求解平面向量数量积的关键是可以灵敏应用椭圆的参数方程，将问题转化为三角函数的值域求解问题.222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．〔Ⅰ〕证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；〔Ⅱ〕假设l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？假设能，求此时l 的斜率，假设不能，说明理由．【答案】〔Ⅰ〕详见解析；〔Ⅱ〕能，47-或者47+．【解析】试题分析：〔1〕设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；〔2〕第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，假如能构成平行四边形，只需，假如有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否那么不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． ∴由222{9y kx bx y m=++=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-．即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-．〔2〕四边形OAPB 能为平行四边形．∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ．∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或者47+时，四边形OAPB 为平行四边形．考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，〔1〕知道中点坐标，求直线的斜率，或者知道直线斜率求中点坐标的关系，或者知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，〔2〕对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，此题的关键就是假如是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.2212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称．〔1〕务实数m 的取值范围；〔2〕求AOB ∆面积的最大值〔O 为坐标原点〕．【答案】〔1〕63m <-或者63m >；〔2〕22. 【解析】〔1〕可设直线AB 的方程为1y x b m=-+，从而可知有两个不同的解，再由AB 中点也在直线上，即可得到关于m 的不等式，从而求解；〔2〕令1t m=，可将AOB ∆表示为t 的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解.试题解析：〔1〕由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+，由，消去y ，得，∵直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，∴224220b m ∆=-++>，①，将AB 中点2222(,)22mb m bM m m ++代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=-，②．由①②得63m <-或者63m >；〔2〕令 166(t m =∈⋃，那么42223222112t t AB t t -++=++，且O 到直线AB的间隔为22121t d t +=+，设AOB ∆的面积为()S t ，∴221112()2()22222S t AB d t =⋅=--+≤，当且仅当212t =时，等号成立，故AOB ∆. 考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.点到直线间隔公式；3.求函数的最值.C 的方程为()222210,0y x a b a b -=>>，离心率2e =顶点到渐近线的间隔(1)求双曲线C 的方程;(2)设P 是双曲线C 上的点,A,B 两点在双曲线C 的渐近线上,且分别位于第一,二象限,假设AP PB λ=,1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求AOB 面积的取值范围.【答案】(1) 2214y x -=;(2)82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)根据离心率以及顶点到渐近线的间隔表达出,,a b c 对应的关系再求解即可. (2)由双曲线方程与渐近线方程可设001122(,),(,2),(,2)P x y A x x B x x -,再利用AP PB λ=求得00(,)P x y ,再代入双曲线方程求解化简,再代入面积公式求解即可. 【详解】(1)由题,一条渐近线方程0by x bx ay a=⇒-=,可知5c c a a ab c ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎩ , 两式相乘有1b =,又222c a b =+.故2222154,524c a a c a a +=⇒=⇒==.故双曲线C 的方程：2214y x -=(2)由题,渐近线方程为2y x =±,故设001122(,),(,2),(,2)P x y A x x B x x -因为AP PB λ=,故12001200120120()12(2)21x x x x x x x y x x y x x y λλλλλλ+⎧=⎪-=-⎧⎪+⇒⎨⎨-=---⎩⎪=⎪+⎩,将点00(,)P x y 代入双曲线方程有221212111x x x x λλλλ-+⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.化简得()21214x x λλ+=-. 故()1221122221111(2)2112212222AOBSx y x y x x x x x x λλλλ=-=--⨯+⎛⎫==+⎪=+ ⎝⎭. 因为1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,由对勾函数性质得1102,3λλ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,故11822,23AOBS λλ⎛⎫⎡⎤++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣=⎦【点睛】此题主要考察了双曲线方程的求解以及设点求双曲线上对应的点代入方程求解的方法等.主要利用向量的关系表达出双曲线上的点的表达式,属于难题.。

2020-2021学年江苏省淮安市淮洲中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2020-2021学年江苏省淮安市淮洲中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数f(x)＝有零点，则实数b的取值范围是 ( ) A．（1,）B． (,1C．（0,）D．(, 0参考答案：C略2. 已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域上有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则（）A． B． C．D．4参考答案：C略3. 在等比数列中，若则( )A.16B.28C.32D.108参考答案：D略4. 直线与直线垂直，则等于（）A． B． C． D．参考答案：C5. 已知数列是各项均为正数的等比数列，，前三项和，则A．189 B．84 C．33 D．2 参考答案：B6. 抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．参考答案：D略7. 75名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法有（）A.150种B.180种C.200种D.280种参考答案：A略8. 已知函数，则（）A．0 B．－1 C．1 D．－2参考答案：A因为所以，所以=cos0-1=1-1=0,故选A.9. 已知集合，，若，则实数m的取值范围为（）A．(－∞,－3) B．(－∞,－3] C．[－3,+ ∞) D．(－3,+ ∞)参考答案：C10. 函数f(x)=sinx在区间[a，b]上是增函数，且f(a)=-1，f(b)=1,则sin的值为A．1 B． C．-1 D．0参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，若，则展开式中系数最大的项是.参考答案：因为，所以，所以，所以，所以展开式中系数最大的项是.12. 若直线ax+4y-l=0与2x-5y+6=0互相垂直，则a的值为__________。

参考答案：1013. 已知：M={a|函数在[]上是增函数}，N={b|方程有实数解}，设D=，且定义在R上的奇函数在D内没有最小值，则m的取值范围是．参考答案：m>略14. 已知双曲线上有一点，若满足，则此双曲线的离心率是__________．参考答案：15. 设是定义在R上的奇函数，为其导函数，且.当时，有恒成立，则不等式的解集是．参考答案：16. 若x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为．参考答案：3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即C（3，0）此时z=3+2×0=3．故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．17. 在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为_____．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021年江苏省淮安市淮宁中学高二数学理上学期期末试题含解析

2021年江苏省淮安市淮宁中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.参考答案：C2. 下列三个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；②名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c>a>b；③从总体中抽取的样本(x1，y1)，(x2，y2)，…(x n，y n)，则回归直线必过点其中正确的个数有：A.0个B.1个C.2个D.3个参考答案：B3. 设，则的值为（）A.0B.C.D.参考答案：A略4. a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】计算题．【分析】先求△＞0时a的范围，结合韦达定理，以及特殊值a=1来判定即可．【解答】解：方程ax2+2x+1=0有根，则△=22﹣4a≥0，得a≤1时方程有根，当a＜0时，x1x2=＜0，方程有负根，又a=1时，方程根为x=﹣1，显然a＜0?方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根；方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根，不一定a＜0．a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的充分不必要条件．故选B．【点评】本题考查一元二次方程的根的分布于系数的关系，充要条件的判定，是中档题．5. 设等差数列的前n项和为。

若，，则当取最小值时，n等于（）A.6B.7C.8D.9参考答案：6. 5名教师分配到3个学校支教，每个学校至少分配1名教师，甲、乙两个老师不能分配到同一个学校，则不同的分配方案有A．60 种B．72种C．96种D．114种参考答案：D7. 不等式的解集为（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C8. 对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据，则下列说法中不正确的是（）A．由样本数据得到的回归方程必过样本点的中心B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数为，则变量y和x之间具有线性相关关系参考答案：C因为回归方程必过样本点的中心，所以A对，因为残差平方和越小拟合的效果越好，所以B对，因为相关指数R2越大拟合效果越好，所以C错，因为相关系数绝对值越接近1越具有线性相关，所以D对，因此选C.9. 如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是( )A．①是循环变量初始化，循环就要开始B．②为循环体C．③是判断是否继续循环的终止条件D．输出的S值为2，4，6，8，10，12，14，16，18参考答案：D【考点】循环结构；程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量s的值，结合各部分的功能即可得出答案．【解答】解：这个程序框图中，①是循环变量初始化，循环将要开始，正确；②为不满足条件n＞10时执行的语句，是循环体，故B正确；③是判断是否继续循环的终止条件，正确；④满足执行程序框图，可得i=1s=2，输出2，i=2s=4，输出4，i=3s=6，输出6，i=4s=8，输出8，i=5s=10，输出10，i=6s=12，输出12，i=7s=14，输出14，i=8s=16，输出16，i=9s=18，输出18，i=10s=20，输出20，i=11满足条件i＞10，退出循环．故D错．故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，循环结构，循环语句，程序功能的判断，是对算法知识点的综合考查，熟练掌握算法的基础知识是解答本题的关键．10. 下列函数中，定义域为[0，∞）的函数是（）A．B．C．D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，做边长为1的正方形的内切圆，在这个图中再作内接正方形，如此下去，则第n(n∈N*)个正方形的面积的值是_______.参考答案：如图，做边长为1的正方形的内切圆，在这个图中再作内接正方形，如此下去，记a1为边长为1的正方形的面积，a n为第n(n∈N*)个正方形的面积，则{a n}是以a1=1，为首项，0.5为公比的等比数列，故.12. 甲、乙两人约定在10：00﹣﹣﹣12：00会面商谈事情，约定先到者应等另一个人30分钟，即可离去，求两人能会面的概率（用最简分数表示）．参考答案：【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|0＜x＜2，0＜y＜2}，做出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A={（x，y）|0＜x＜0，0＜y＜2，|x﹣y|≤}，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，设事件A为“两人能会面”，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|0＜x＜2，0＜y＜2}，并且事件对应的集合表示的面积是s=4，满足条件的事件是A={（x，y）|0＜x＜0，0＜y＜2，|x﹣y|≤}所以事件对应的集合表示的图中阴影部分，其面积是4﹣2×××=，根据几何概型概率公式得到P=，故答案为：13. 已知x与y之间的一组数据：已求得关于y与x的线性回归方程，则a的值为______ ．参考答案：2.1514. 若a ＞0，b ＞0，且ln （a+b ）=0，则的最小值是．参考答案：4【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】先根据ln（a+b）=0求得a+b的值，进而利用=（）（a+b）利用均值不等式求得答案．【解答】解：∵ln（a+b）=0，∴a+b=1∴=（）（a+b）=2++≥2+2=4故答案为：4【点评】本题主要考查了基本不等式的应用．考查了学生综合分析问题的能力和对基础知识的综合运用．15. 1函数的导数为_________________；参考答案：略16. 函数f （x ）=的最大值为．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】当x≠0时，f （x ）==，结合基本不等式，可得函数的最大值．【解答】解：当x=0时，f （0）=0，当x≠0时，f （x ）==≤=，故函数f （x ）=的最大值为，故答案为：17. 若过点（1，2）总可以作两条直线和圆相切，则实数k 的取值构成的集合是_________________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年江苏省淮安市高二上学期期末数学试题(解析版)

2020-2021学年江苏省淮安市高二上学期期末数学试题一、单选题1．命题“2[2,),4x x ∀∈+∞≥”的否定是（） A ．2[2,),4x x ∀∈+∞<B ．2(,2),4x x ∀∈-∞≥C ．200[2,),4x x ∃∈+∞<D ．200[2,),4x x ∃∈+∞≥【答案】C【分析】根据全称命题的否定形式书写.【详解】命题“2[2,),4x x ∀∈+∞≥”的否定是[)02,x ∃∈+∞，204x <.故选C【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题型. 2．设x ∈R ，则“1x >”是“11x<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】解不等式11x <，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】解不等式11x<，即1110x x x --=>，解得0x <或1x >. {}1x x > {0x x <或}1x >，因此，“1x >”是“11x<”的充分不必要条件. 故选：A.3．已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.4．已知直线l 的方向向量为(),1,2m x =-，平面α的法向量为()1,2,4n =-，若直线l 与平面α平行，则实数x 的值为（） A ．12-B ．10-C ．12D ．10【答案】D【分析】利用空间向量数量积的坐标公式计算即可．【详解】由题意，()(),1,21,2,4280m n x x ⋅=-⋅-=--=，解得10x = 故选：D5．已知一个直角三角形的边长分别为3，4，5，若以斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体的体积等于（） A ．12π B ．16πC ．485πD ．1445π【答案】C【分析】先判断所得几何体是由两个同底的圆锥拼接而成，Rt ABC 中通过等面积法计算底面半径BO ，再利用圆锥体积之和求所得几何体的体积即可. 【详解】依题意，所得几何体是由两个同底的圆锥拼接而成，如图所示，Rt ABC 中，4,3,5AB BC AC ===，由Rt ABC 的面积1122S AB BC AC BO '=⋅=⋅，得431255AB BC BO AC ⋅⨯===，即圆锥底面面积214425S BO ππ=⋅=，又上面圆锥体积为113V S AO =⋅，下面圆锥体积为213V S OC =⋅，故几何体的体积()122111144485333255V V V V S AO OC S AC ππ=+==⋅+=⋅=⨯⨯=. 故选：C.6．等差数列{}n a 的公差不为0.若2a ，3a ，6a 成等比数列，且144a a +=-，则{}n a 前6项的和为（） A ．-24 B ．-3 C ．3 D ．8【答案】A【分析】根据等比中项可得2326a a a =，根据等差数列的通项公式可得11a =，2d =-，代入等差数列的前n 项和公式可的结果. 【详解】设{}n a 的公差为()0d d ≠，因为2a ，3a ，6a 成等比数列，所以2326a a a =，得()()()211125a d a d a d +=++，化简得2120d a d +=，因为0d ≠，所以120d a +=，又1234a d +=-，所以11a =，2d =-，所以66561(2)242S ⨯=⨯+⨯-=-. 故选：A.【点睛】本题考查了等比中项的应用，考查了等差数列通项公式基本量的计算，考查了等差数列的前n 项和公式，属于基础题. 7x <的解集是（） A ．(]0,2 B ．(2,)+∞ C ．(]2,4D ．(,0)(2,)-∞+∞【答案】C【分析】根据无理不等式的解法列出不等式组解之可得答案. 【详解】由题意得2220404x x x x x x >⎧⎪-≥⎨⎪-<⎩，解得24x <≤，故选：C.【点睛】()g x <型，可以转化为[]2()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩去解，考查了学生的计算能力. 8．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A ．B ．C ．D ，满足任意两点间的直线距离为6cm ，现在利用3D 打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD 组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为31g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（）（参考数据）π 3.14≈ 1.41≈ 1.73≈ 2.45≈． A ．101g B ．182gC ．519gD ．731g【答案】B【分析】由题意可知所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，求出正四面体体积、外接球体积，然后作差可得所需要材料的体积，再乘以原料密度可得结果.【详解】由题意可知，几何体ABCD 是棱长为6cm 的正四面体，所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，设正四面体的棱长为a =，设正四面体外接球半径为R ，则2222(()3R R =-+，解得R =所以3D 打印的体积为：3233411343223812V a a a a a ππ⎛⎫=-⋅⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭，又336216a ==，所以207.71125.38182.331182V =-≈-=≈，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查正四面体与正四面体的外接球，考查几何体的体积公式，解决本题的关键点是求出正四面体外接球体积与正四面体体积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．二、多选题9．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（）A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】AC【分析】由双曲线的渐近线公式判断可得选项．【详解】由双曲线的渐近线公式得：A 选项的渐近线方程为2y x =±；B 选项的渐近线方程为12y x =±； C 选项的渐近线方程为2y x =±；D 选项的渐近线方程为12y x =±；故选：AC ． 10．若110a b<<，则下列不等式正确的是（） A ．|a |>|b| B ．a b <C ．a b ab +<D ．33a b >【答案】CD【分析】先利用不等式性质得到0b a <<，再利用不等式性质逐一判断选项的正误即可. 【详解】由110a b <<知，0,0a b <<，110a b-<，即0b aab -<，故0b a <<，所以|a ||b |<，A 错误，B 错误；由0,0a b <<知，0a b +<，0ab >，则a b ab +<，故C 正确；由0b a <<知，0a b <-<-，则()()330a b <-<-，故33a b -<-，即33a b >，D 正确. 故选：CD.11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 是线段11B D 上的两个动点，且12EF =，则下列结论中正确的是（）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF 的面积与BEF 的面积相等D ．三棱锥E ABF -的体积为定值【答案】ABD【分析】利用线面垂直的性质判断A 正确，利用线面平行的判定定理判断B 正确，利用同底不同高判断C 错误，利用等底等高证明D 正确.【详解】由于1,AC BD AC DD ⊥⊥，故AC ⊥平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，所以A 正确；由于//EF BD ，所以//EF 平面ABCD ，故B 正确；由于三角形AEF 和三角形BEF 的底边都是EF ，而高前者是A 到EF 的距离，后者是B 到EF 的距离，这两个距离不相等，故C 错误；由于三棱锥A BEF -的底面三角形BEF 的面积为定值112EF BB ⋅⋅.高是A 点到平面BEF 也即A 点到平面11BDD B 的距离也是定值，故三棱锥A BEF -的体积为定值.故D 正确. 故选：ABD12．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数()2k k ≥，使得对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是“间隔递增数列”，k 是{}n a 的“间隔数”，下列说法正确的是（）A ．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列”B ．若()21nn a n =+-，则{}n a 是“间隔递增数列”C ．若(),2n ra n r r n*=+∈≥N ，则{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D ．已知22021n a n tn =++，若{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则54t -<≤-【答案】BCD【分析】利用新定义，逐项验证是否存在正整数()2k k ≥，使得0n k n a a +->，即可判断正误.【详解】选项A 中，设等比数列{}n a 的公比是()1q q >，则()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，其中1k q >，即()110n k q q -->，若10a <，则0n k n a a +-<，即n k n a a +<，不符合定义，故A 错误；选项B 中，()()()()()21212111n kn n k n k n a a n k n k ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤++--+-=+---⎣⎦-=⎣⎦⎣⎦，当n 是奇数时，()211kn k n a a k +=---+，则存在1k时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义；当n 是偶数时，()211kn k n a a k +-=+--，则存在2k ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义.综上，存在2k ≥时，对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，故B 正确；选项C 中，()()1n kn r r kr r a a n k n k k n k n n k n n k n +⎡⎤-⎛⎫⎛⎫++-+=+=-⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎣-⎦=⎥()2n kn r k n k n+-=⋅+，令2()f n n kn r =+-，开口向上，对称轴02k -<，故2()f n n kn r =+-在n *∈N 时单调递增，令最小值(1)10f k r =+->，得1k r >-，又k *∈N ，2k ≥，,2r r *∈≥N ，故存在k r ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，“间隔数”的最小值为r ，故C 正确；选项D 中，因为22021n a n tn =++，是“间隔递增数列”，则()()()2222021202012n k n a a n k t n k kn k t n n k t +⎡⎤-=-=++>⎣++++⎦++，即20k n t ++>，对任意n *∈N 成立，设()2g n k n t =++，显然在n *∈N 上()g n 递增，故要使()20g n k n t =++>，只需(1)20g k t =++>成立，即2t k --<. 又“间隔数”的最小值为3，故存在3k ≥，使2t k --<成立，且存在k 2≤，使2t k --≥成立，故23t --<且22t --≥，故54t -<≤-，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数()2k k ≥，使0n k n a a +->对于任意的n *∈N 恒成立，逐项突破难点即可.三、填空题13．设正数,a b 满足21a b +=，则11a b+的最小值为__________．【答案】3+【解析】21a b +=，则1111223+3b a a b a b a b a b+=++=+≥+（）（）则11a b+的最小值为3+点睛:本题主要考查基本不等式，解决本题的关键是由21a b +=，有11112a b a b a b+=++（）（），在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 14．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则数列{}n a 前5项的和为____________．【答案】314．【分析】先求出公比q ，求得首项1a ，然后由前n 项和公式计算．【详解】设数列的公比为q ，则35218a q a ==，12q =，∴214aa q ==， 55151412(1)3111412a q S q ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦===--．故答案为：314． 15．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”．已知集合{}|A x t =<和集合{}2|20B x x x =--<，若集合A ，B 构成“偏食”，则实数t 的取值范围为____________．【答案】()1,2【分析】分别化简两个集合，由集合A ，B 构成“偏食”，可得实数t 的取值范围．【详解】集合{}{}|A x t x x t =<=<，{}()2|201,2B x x x =--<=-若集合A ，B 构成“偏食”，则0t >则(),A t t =-，实数t 的取值范围为12t << 故答案为：()1,2四、双空题16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为()1,0F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则p =___________，94AF BF-的最小值为____________．【答案】2 -6【分析】(1)由焦点为()1,0F ，即可解出p ； (2)由抛物线的焦点弦的性质111AF BF +=,可得111BF AF =-，把94AF BF-转化为994AF AF+-，利用基本不等式求最值．【详解】∵抛物线22(0)y px p =>的焦点为()1,0F ，∴12p=，解得p =2； ∵AB 为抛物线的焦点弦， ∴111AF BF +=，∴111BF AF=-， ∴9199=91=99=6444AF AF AF AF BF AF AF AF ⎛⎫---+-≥-- ⎪⎝⎭ ∴94AF BF-的最小值为-6．故答案为：2；-6．【点睛】(1)求圆锥曲线的标准方程通常用待定系数法； (2)关于抛物线的焦点弦通常要灵活运用抛物线的性质．五、解答题17．已知函数2()()f x mx x m m =++∈R ．（1）若x ∃∈R ，()0f x =，求实数m 的取值范围；（2）当14m =时，解关于x 的不等式()0f x >．【答案】（1）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）{|2x x <-或2x >-.【分析】（1）由x ∃∈R ，()0f x =，转化为方程20mx x m ++=有实数解，分0m =和 0m ≠讨论求解. （2）由14m =，则不等式为2410x x ++>，然后利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）因为x ∃∈R ，()0f x =，所以方程20mx x m ++=有实数解，当0m =时，0x =，成立当0m ≠时，2140m ∆=-≥，解得1122m -≤≤，且0m ≠，综上：实数m 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）当14m =时，关于x 的不等式()0f x >，即为2410x x ++>相应方程2410x x ++=，0∆=>，则方程有两个根1222x x =-=-所以不等式的解集是{|2x x <-或2x >-.18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与x 轴交于点()1,0M -．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与抛物线C 相切，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）10x y -+=或10x y ++=【分析】（1）利用准线方程2px =-求解（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用0∆=求解.【详解】（1）2:2(0)C y px p =>的准线2px =-过()1,0M - 故12p-=-，则2p = 抛物线方程为24y x = （2）设切线方程为1x my =- 与抛物线方程联立有2440y my -+=()24160m ∆=-=故1m =±故直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++= 【点睛】求抛物线的切线方程的方法：方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。