华南理工大学高等数学统考试卷上2010期中

合集下载

华南理工大学高等数学统考试卷下07期中

2007-2008高等数学下册期中考试试卷姓名：班级：成绩单号：一、填空题（45⨯）1、[4分] 与直线112211-=+=+z y x 及112x y t z t =⎧⎪=+⎨⎪=+⎩都平行，且过原点的平面方程为。

2、[4分]设()()(),,sin ,arctan ,,z f u v u xy v y f u v ===可微，则,z z x y ∂∂∂∂各为。

3、[4分]设2x y u e =，则2u x y∂=∂∂ 。

4、[4分] 设函数u x xy xyz =++在点()1,2,0的所有方向导数中，最大的方向导数是沿方向。

5、[4分]曲面1xy yz zx ++=在点()3,1,2-处的切平面方程为，法线方程为。

二、（8分）设(,)f s t 具有连续的偏导数，且(,)0f s t ≠，方程(,)0y z f x x=确定了z 是,x y 的函数，试求z z x y x y∂∂+∂∂ 三、（8分）设arctan 1x y z xy-=+，求(dz 四、[8分] 求函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数五、[8分]设直线0:30x y b L x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面π上，而平面π与曲面22z x y =+相切于点()1,2,5-，求,a b 之值。

六、 [8分] 计算二重积分{}max ,1Dxy dxdy ⎰⎰，其中:02,02D x y ≤≤≤≤七、[8分] 计算10010x dx +⎰⎰八、[8分] 计算()22I x y dv Ω=+⎰⎰⎰，其中Ω为平面曲线220y z x ⎧=⎨=⎩ 绕z 轴旋转一周的曲面与平面8z =所围的区域。

九、 [8分] 设由曲面22z x y =+与2z =所围成的立体中每点的密度与该点到xoy 平面距离成正比，试求该立体的质量M十、计算()222357x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰，其中:0z Ω≤≤十一、 [8分]1=上求一点()0000,,M x y z ，使曲面上过点的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为最大十二、 [附加题5分] 计算积分C⎰，式中曲线C 是y =在02x a ≤≤上的一段弧。

华南理工大学高等数学统考试卷上2002A

华南理工大学高等数学（试卷号：2002-A 时间：150分钟总分100）院（系）：专业班：姓名：成绩报告表序号：目要求，把所选项前的字母填写在题后的括号内。

1、极限)31ln()21ln(lim 220x x x -+→的值为（） (A) 0 (B) 1(C) 32- (D) 不存在 2、设⎩⎨⎧≥+<=0,120,2cos )(2x x x x x f ，则)0(f '值为（） (A) 0 (B) 1(C) 2 (D) 不存在3、若积分⎰+∞-0dx e kx 收敛，则（） (A) 0>k (B) 0<k(C) 0≥k (D) 0≤k4、设⎰=431ln xdx I ，⎰=4322ln xdx I 则（） (A) 21I I > (B) 21I I =(C) 21I I < (D) 不能确定它们的大小5、设f ''在]1,0[上连续，0)1(='f ，3)1(=f ，1)0(-=f ，则⎰''10)(dx x f x 的值为（） (A) 4 (B) 3(C) 4- (D) 以上都不对二、填空题（本题18分，每小题3分）1．设)(x f y =，f 可微，则=')(x y2．设e x x x x y cos tan ln sin 3+-⋅=，则=dy3．=+⎰1x x e dx e 4． ⎰=202sin πxdx5．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0),(1)(sin 2sin x a x e e x x f x x 在0=x 连续，则=a三、（本题6分）设210x y =，求y ''四、（本题10分）求函数233xx y -=的单调增、单调减区间和极值。

五、（本题6分）设⎪⎩⎪⎨⎧=+=t e y t t x t cos sin 2，求dx dy 六、（本题6分）求定积分⎰--6322x x dx 七、（本题6分）求不定积分⎰-221x dx x 八、（本题6分）已知11lim 2040=+⎰→x x t a tdt x ，求a 的值。

《高等数学》(上理工) 试卷A

华南理工大学广州汽车学院 2008——2009学年度第一学期期末考试《高等数学》（上册•理工类）试卷A考生注意：1．考前请将密封线内各项填写清楚，“序号”即交作业的序号，勿写学号；2．本试卷共四个大题，满分100分，考试时间120分钟；3．所有答案应直接写在试卷上。

一．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。

将答案写在横线上）1．函数ln(1)y x =+的定义域是。

2．设0sin 2lim 3x kx x→=，则常数k = 。

3．设y =dy = 。

4．不定积分2x dx xe ⎰= 。

5．反常积分 (0)a pI a dxx +∞=>⎰，当1p >时，I = 。

二．单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。

将正确选项的字母填在括号内）1．曲线ln y x x =在点(1,0)处的切线方程是（） A ．(ln 1)(1)y x x =+- B ．1y x -= C ．1y x =- D ．(1)y x =--2．设||,0;()1,0,x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则()f x 在0x =处（）A ．0lim ()x f x →不存在 B ．'(0)f 存在C ．0lim ()x f x →存在，但()f x 在0x =处不连续D ．()f x 在0x =处连续，但不可导3．在区间[1,1] -上，不满足罗尔中值定理条件的是（） A ．2()1x f x e =- B ．2()ln(1)f x x =+ C．()f x = D ．21()1f x x=+ 4．下列等式中，正确的是（） A ．[()]()d f x dx f x =⎰ B ．[()]()df x dx f x dx dx=⎰ C ．()()df x f x =⎰ D ．' ()()f x dx f x C =+⎰5．设()f x 连续，且()sin xa f t dt x x =⎰，则()2f π= （）A ．sin cos x x x +B ．12π-C ．2πD ．1三．计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1．求极限 22sin 1lim (2)x x x ππ→--。

华南理工大学2007~2010年概率论试卷答案

2007级概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、1. C注释：由“A ⊂B 成立”得P(A)=P(AB) ()()(|)()()P AB P A P A B P B P B ==故2. C3. B 注释：参考课本86页4.B 2sin 1A xdx π=⎰0注释： ?5.6. B A 项参见课本64页，D 项参见课本86页二、 1. 2 注释：若X 服从Poisson 分布，则EX=λ，DX=λ。

（课本84页） 2. 12 注释：cov(X,Y)= r X Y DX DY ⋅⋅。

（参考课本86页） 3. 1/5 注释：运用等比求和公式S=1(1)1na q q--4. 38.4 注释：22()(),(,),,E D E B n p E np D npq ξξξξξξ=+== 对于 5．p(x)=,00,0x e x x λλ-⎧>⎨≤⎩,211,E D ξξλλ==6. 0.2 注释：类似2006级试卷填空题第6题7.2/5三、（1）1/20; (2)14/15 注释：（1）P(A)=224431078910C C C，表示从、、、这四个数中选两个;（2）B =“三个号码中既含4又含6” 四、（1）C=4; (2)112()-2{1}41-3e ;xx y P dx edy ξη--++<==⎰⎰(3)222__02__0(),()0_____00_____0()()(,),x y e x e y p x p y x y p x p y p x y ξηξηξη--⎧⎧≥≥==⎨⎨<<⎩⎩⋅=因故与独立？(4)2222022112,2221()41124xxE x edx E x edx D E E E D ξηξηξξξξξηη+∞+∞--=⋅==⋅==-===⎰⎰与独立，所以cov(,)=0故同理，，五、 0.9979 注释：运用全概率公式，类似2006级试卷第三题六、0.9525100(100,0.9),))85{85)1)1( 1.67)(1.67)0.9525X X B P X ⨯⨯≈Φ-Φ≥≈-Φ=-Φ-=Φ=注释：设这个部件中没有损坏部件数为，则服从二项分布且有______EX=np=1000.9=90,DX=npq=900.1=9由拉普拉斯定理，b-EX a-EX P{a<X<b}((DXDX故至少须有个部件工作的概率为：85-90(9七、M=160,X ⨯⨯⨯≈⨯⨯≥≥≤≥≤注释：设出事人数为则有X B(5000000,0.0003)EX=50000000.0003=1500,DX=50000000.00030.99971500若要以99%的概率保证保险公司在此项保险中获得60万元以上的利润，则P{5000000M (1-40%)-X 300000600000}99%得P{X 10M-2}99%X-150010M-2-1500故需满足P{15001}99%99% 2.33159.22,160M M ≥Φ≥≈Φ≥=50010M-2-1500即（）（）1500解得故八、（1）课本98页辛欣大数定理（2）22222n 11221222211()0(1)()0()()[()]()211_____0(1)()()211,2,3,,()()0112)()2n n n n n n n kn kk k n n k k E n n nnn D E E E n n nnnk E E nn D n nnnξξξξξξξξξξξ++==+==⋅-+⋅+-⋅==-==⋅-+⋅+-⋅===⋅⋅⋅====⋅=∑∑∑由于令则______________________ D(由契比雪夫2n 0,2()|}1lim ()|}1}n n n n n E n E εξξεεξξεξ→∞>-<≥--<=不等式，对任意的有________________P{|故有P{|即{服从大数定律2008年概率论与数理统计试卷A 卷参考答案一、1.D 1(1)()X u u uP X u P σσ-+-≤+=≤注释：=1()σΦ2.C 注释：参考课本第8页3.A 注释：连续型随机变量在某一个点上的概率取值为零，故A 正确？B 项是否正确4.B 注释：参考课本86页5.A 二、 1. 1.33(或者填13591024) 2．25 注释：参考课本86页 3. 0.254. （X+Y ）～B(7,p)注释：E(X)=3p,E(Y)=4p,故E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3p+4p=7p;D(X)=3p(1-p),D(Y)=4p(1-p)且X 、Y 独立，故D(X+Y)=D(X)+D(Y)= 3p(1-p)+ 4p(1-p) 设（X+Y ）～B(n,P),则有E (X +Y )=7p=nPD (X +Y )=3p(1-p)+4p(1-p)=nP(1-P)⎧⎨⎩解得n=7,P=p5. 2/52215041()5b 4(2)41(54)0,1 4.112555X f x ac X X X X P dx dx =∆=-=-⨯⨯-≥≤≥=+=⎰⎰的密度函数为方程有实根，则必须满足即或者故方程有实根的概率6. 0.3522(35)112(35),9322242{24}0.15,{}0.15333200.1532233202222}33333E X EX D X D X D X X P X P X σσσσσσσσσσσσσσ+==+===---<<=<<=ΦΦ=-ΦΦ----<=ΦΦΦ由得由得因故所以（）-（）所以（）-（）=0.3P{X<0}=P{（）=[1-（）-（）]/2______=[1-0.3]/2=0.35?7. 相关三、四、1__1___30.3_0.5_0.2(1)0.310.530.20.8X EX -⎛⎫⎪⎝⎭=-⨯+⨯+⨯=五、1022201____02(1)()1___021____02()11_0211(2)(510)1)(2211(322_____012xx xx xxxe xf x e x e x F x e x P X eex e dx x e dx EXx e dx x ---∞--∞-∞⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩⎧≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩-<<=--⋅+⋅===⋅+⋅⎰⎰⎰0+0由题意故（）EX=221211___[22][22(2xxxxe dx x e xe e xD X EX ∞--∞=-++-=-=⎰+2EX)？六、2220001(0.005,0.035)0.0050.03510.02,(0.0350.005)0.000075212a 1(,),,())2120.0250.02520005020000{50}{i i i i i i i ii X i X U EX D X b X U a b EX D X b a Y X Y Y P Y P =+===-=+==-=<⨯=-⨯<=∑设为第台机床生产的次品率（注：对于均匀分布有设总次品率若要满足这批产品的平均次品率小于，则.025020000.02}(25.8)20000.00007520000.000075-⨯<=Φ⨯⨯A=B =B =B =B B B B (B )|)0.50.9|)0.540.83P A ⨯⨯⨯⋅⨯====甲乙丙乙甲丙甲甲甲甲设“取出的产品是正品”；取出的产品是甲厂生产的” 取出的产品是乙厂生产的” 取出的产品是丙厂生产的”则P(A)=P(A )+P(A )+P(A )=0.50.9+0.30.8+0.20.7=0.83P(A )P(A B P(B P(A)P(A)？试卷中没有给出(25.8)Φ的值，且直观上感觉(25.8)Φ的值太大了，故不能肯定题中的做法是否可行七、____,0_______2________()0__________2________()0__________22(2)0,0a b ababa x ab y b a x a x ab y b y bEX x dx EY y dy a bππππππ--=⎧-≤≤-≤≤⎪⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩=⋅==⋅=⎰⎰椭圆X Y (1)S 1故（x,y)的联合密度函数f(x,y)=ab其它X 的边缘密度函数f 其它Y 的边缘密度函数f 其它222222222222,2424,3344()25,()4335332(3),22()()ab aba b EXx dx EY y dy aba b D X EX EX D Y EY EY a b a x a b y b x y a bπππππππππππ--=⋅==⋅==-===-====-≤≤-≤≤⋅=⋅≠⎰⎰X Y 解得，时，1f f ，故X与Y不独立ab八、555511___________5()1(1)(xzzZ dx zedx eeF z z e ----≤⋅≤≤=-=-=--⋅-⎰⎰1z 1z的分布函数F(z)=P{Z z}=1-P(Z>z)=1-P{min(X,Y)>z}_______________=1-P(X>z,Y>z)=1-P(X>z)P(Y>z)当z 0时，P(X>z)=P(Y>z)=1故F(z)=1-1=0当0<z 1时，P(X>z)=P(Y>z)=故555555)z 1()1010__________________0()1(1)()__0_____________________0()65_______010_____________________1z z z e F z z F z z e e z f z e ze e z z ------>=-=≤⎧⎪=--⋅-≤⎨⎪⎩≤⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩当时，P(X>z)=0故所以0<z 11__________________z>12009年2学分参考答案一、解：设i A ＝｛第i 枚弹道导弹击沉航空母舰｝，i B ＝｛第i 枚弹道导弹击伤航空母舰｝i C ＝｛第i 枚弹道导弹没有击中航空母舰｝，i ＝1，2，3，4D ＝｛发射4枚弹道导弹能击沉航空母舰｝()31=i A P ，()21=i B P ，()61=i C P ，i ＝1，2，3，443214321432143214321B C C UC C B C UC C C B UC C C C UB C C C C D =()()()()()()434432143214321432143216132161461=⨯⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=B C C C P C B C C P C C B C P C C C B P C C C C P D P()()461311-=-=D P D P = 0.99二、解：（1）A ＝｛同花顺（5张同一花色连续数字构成）｝()55255236)413(4C C A P =-⨯=（只要说明顺子的构成，分子40也算对）（2）A ＝｛3张带一对（3张数字相同、2张数字相同构成）｝()5522411234113CC C C C A P =（3）A ＝｛3张带2散牌（3张数字相同、2张数字不同构成）｝()552141421234113C C C C C C A P =三、解：（1）设A ＝｛被查后认为是非危险人物｝， B ＝｛过关的人是非危险人物｝，则()()()()()B A P B P B A P B P A P +=9428.005.004.098.096.0=⨯+⨯= ()()()()998.0==A PB A P B P A B P（2）设需要n 道卡，每道检查系统是相互独立的，则Ci={第i 关危险人物被误认为非危险人物}，{}n n C C P 05.01= ，所以999.005.01≥-n，05.0ln 0001.0ln ≥n ，即1005.0ln 0001.0ln +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n =[3.0745]+1 = 4 四、解：当1=a 时，1=Y ，则()⎩⎨⎧>≤=1110y y y F Y当10<<a 时，当0≤y 时，()()0=<=y Y P y F Y ，()()0==dyy dF y f Y Y当0>y 时，()()()y a X P y a P y F X Y ln ln <=<=()⎪⎭⎫ ⎝⎛>=a y X P y F Y ln ln ⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=a y a y X P ln ln 1ln ln 1()()222)ln ln (21ln 1σμπσ--⋅-==ay Y Y ea y dyy dF y f当1>a 时，当0≤y 时，()()0=<=y Y P y F Y ，()()0==dyy dF y f Y Y当0>y 时，()⎪⎭⎫ ⎝⎛<=a y X P y F Y ln ln ⎪⎭⎫⎝⎛Φ=a y ln ln ()()222)ln ln (21ln 1σμπσ--⋅==ay Y Y ea y dyy dF y f五、解：（1）E(X+Y)=6.0315.0314.0213.0103.0101.0114.023=+--=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯--⨯--=b a b a174.015.014.013.012.003.002.001.014.0=++=+++++++++b a b a联立解得：17.0=a ，09.0=b （2）X 的概率分布函数：-2-110.17 0.23 0.060.54（3）E(XY)＝8.015.0214.0112.0114.0117.02=⨯+⨯+⨯-⨯+⨯六、解：95.01.0≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-p n m P ，因()()1,0~1N np p pnm--()()95.011.01≥⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<--n p p np p pnm P ，()96.111.0975.0=≥-u np p()()p p n -≥16.192；因为()4/11≤-p p ，取()4/6.192≥n =96.04即97=n七、解：（1）二维随机变量(X,Y)的联合概率密度：⎩⎨⎧<<<<=othersby a x ab y x f ,00,0,/1),(边缘概率密度：⎩⎨⎧<<=othersa x a x f X ,00,/1)(，⎩⎨⎧<<=othersb y b y f Y ,00,/1)(（2）36)12/1(,12)12/1(22====b DY a DX ，312,12==b a （3）随机变量X 与Y 相互独立，因为)()(),(y f x f y x f Y X = 八、解： 333||33||33||||)(||)(||)()|(|tc tE x dF tx x dF tx x dF t P x t x tx ==≤≤=>⎰⎰⎰≥>>ξξ九、解：（1）dx Axydy dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∞∞-+∞∞-1010),(4A =＝1，A ＝4 （2）P(X<0.4，Y<1.3)＝16.044.0010=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx xydy （3）⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=++1014dx xydy e Eesytx sYtX ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101114dx dy e s s ye x e sysy txX⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222114t t e t e s s e s e tt s s （4）32410102=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰dx ydy x EX ，214101032=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰dx ydy x EX()91942122=-=-=EX EXDX ，()=XY E 944101022=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx dy y x ()0323294,=⨯-=⋅-=EY EX EXY Y X Cov十、解：（1）设ξ表示该观众答对题数， ,2,1,0=ξ 则第ξ+1次解答答错（即首次出错）。

华南理工大学2009-2010高等数学下册期中考试试卷答案.

华南理工大学期中考试2009-2010学年第二学期《高等数学》期中考试试卷注意事项：1. 考试形式：闭卷；．本试卷满分100分，考试时间90分钟。

. 解答下列各题 (每小题5分,共20分)设函数由方程确定，其中F为可微函数，且，求z是由方程所确定的函数，其中具有二阶导数，且22求dz.对等式两端取微分得22，x在点处的梯度. yiP为椭球面上的一动点，若S在点P处的切平面与xoy面垂直，P的轨迹C。

椭球面S点处的法向量是，222《高等数学》试卷第 1 页共 6 页点P处的切平面与xoy面垂直的充要条件是n⋅{0,0,1}=2z-y=0⎧232⎧x2+y2+z2-yz=1⎪x+y=1所以点P的轨迹C的方程为：⎨，即⎨ 4⎩2z-y=0⎪⎩2z-y=0二. 解答下列各题 (每小题10分,共30分)５．求二元函数f(x,y)=x解 fx'(x,y)=2x2+y2(2+y)+ylny的极值 22y(2),f'(x,y)=2xy+lny+1令fx'(x,y)=0,fy'(x,y)=0，解得唯一驻点 0,⎪⎛⎝1⎫e⎭'' 0,⎪=2 2+由于A=fxx⎛⎝1⎫e⎭⎛⎝1⎫1⎛1⎫''>0,B=f0,=4⋅0⋅=0 xy⎪2⎪e⎭e⎝e⎭1⎫1⎫⎛22''⎛C=fyy0,=2⋅0+e=e,B-AC=-2e2+<0 ⎪ 2⎪ee⎝⎭⎝⎭从而f 0,⎪=-是f(x,y)的极小值⎛⎝1⎫e⎭1e∂2u∂2u∂2u+52=0。

确定的６．设函数u=f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式42+12∂x∂x∂y∂y∂2u=0 a,b值，使等式在变换ξ=x+ay,η=x+by下简化为∂ξ∂η2∂u∂u∂u∂2u∂2u∂u∂u2=+,=+2+解，∂x∂ξ∂η∂x2∂ξ2∂ξ∂η∂η222∂u∂u∂u∂2u∂2u∂2u∂2u∂2u∂2u2∂u2∂u=a+b,2=a+2ab+b=a2+(a+b)+b222∂y∂ξ∂η∂y∂ξ∂ξ∂η∂η∂x∂y∂ξ∂ξ∂η∂η将以上各式代入原等式，得∂2u∂2u∂2u2(a+12a+4)2+⎡⎣10ab+12(a+b)+8⎤⎦∂ξ∂η+(5b+12b+4)∂η2=0 ∂ξ2《高等数学》试卷第 2 页共 6 页由题意，令a+12a+4=0,10ab+12(a+b)+8≠0,5b+12b+4=0 22解得a=-2,b=-22，或a=-,b=-2 55⎧x2+y2-2z2=07．已知曲线C:⎨，求C上距离xOy面最远的点和最近的点。

2010(秋)《高等数学A1》期中考试题及参考答案.

2010（秋）《高等数学A1》期中考试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上，不填解题过程）1．若时，与是等价无穷小，则__________.（答案：1）2．若是可导的奇函数，且，则__________.（答案：）3．设，且存在，，则微分__________.（答案：）4．曲线的凸区间为__________.（答案：）5．抛物线在点(2, 4处的曲率半径＝.（答案：）二、选择题（每小题3分，共15分．每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，请将你认为正确的代号填在题中横线上）1．1．设在开区间内连续，则（D）.(A 在内有界； (B 在内能取得最大值与最小值；(C 在内有零点； (D 当单调时，存在反函数2．曲线的渐近线情况是____C_____.（A）有且仅有水平渐近线；（B）有且仅有铅直渐近线；（C）既有水平渐近线又有铅直渐近线；（D）既无水平渐近线又无铅直渐近线．3．设函数在的某邻域内有连续的二阶导数，且，则D ．（A）是的零点；（B）为极小值点；（C）当时，为拐点；（D）当时，为拐点．4．设满足，若且，则函数在点A ．（A）取极大值；（B）取极小值；（C）在某邻域内单调增；（D）在某邻域内单调减.5．设，则（Ｂ）.(A ；(B ； (C ；(D三、求解下列各题（每小题5分，共20分．要求有解题过程）1．解：= 1.2．设求．解：，．3．设函数是由方程所确定的隐函数，求曲线在点处的切线方程.解：，将点代入得．4．设，求．解：，，．．．．．．．．．．．．．．．．或者，，．四、（本题满分10分）已知在处有二阶导数，试确定常数．解：（1）由在处连续得，．（2），，由得．（3），由得．五、（本题满分10分）设具有二阶导数，且，求．解：．因为，所以，而连续，故，于是，所以，故原式＝．六、设都在区间上可导，证明：在的任意两个零点之间，必有方程的实根.证: 设……………3分则在的两个零点间满足罗尔中值定理条件,使，……………5分即即为所求.七、（本题满分10分）过曲线任意点作该曲线的切线，切线夹在两坐标轴之间的部分为，求的最小长度以及的长度达到最小时的切点坐标．解：曲线上任一点的切线斜率为，．曲线上任一点处的切线方程为，可化为．令，令，故，，，，得到，此时，故．因此的最小长度为，的长度达到最小时的切点坐标为．八、（本题满分10分）设在[0，]上连续，在（0，）内可导，且证明，使得.证: 设，……………3分由于在[0，]上满足罗尔中值定理条件使，………………5分即，所以有.。

华南理工大学高等数学统考试卷下04期中卷答案.

0 yx
πy
解答：改变积分顺序，
6
ππ
π
π
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 6
6
dy
cos
xdx
=
6
dx
x
cos
xdy
=
6
cos
xdx
=
1
0 yx
0 0x
0
2
二．选择题（每小题 3 分，共 15 分）
πx 6
1．函数 f (x, y) = 3 x 2 y 在点（0，0）处（ B ）
（A ）不连续；
（B）连续，但偏导数 f（x′ 0，0）和 f（y′ 0，0）不存在；
高等数学
2004~2005 学年第二学期期中考试试卷
专业班级
姓名
学号
一．填空题（每小题 3 分，共 15 分）
→→
→
→
→→
→→
1．已知向量 a 与 b 垂直，| a |= 3，| b |= 4 ，则|（3 a− b）×（a− 2 b）|=
解答：
⎜⎛
3
→
a−
→
b
⎟⎞
×
⎜⎛
→
a−
2
→
b
⎟⎞
=
�� − 6a × b − b × a
+
2cos β
，其中 cosα，cos β
为l
的方向余弦；
（D） f（x，y）在点（0，0）处沿 x 轴负方向的方向导数为 −1。
∫∫ 3．设 f (x, y) 连续，且 f (x, y) = xy + f (x, y)dxdy ，其中 D 是由 y = 0, y = x2 , x = 1
D
所围成的区域，则 f (x, y) =（ C ）

华南理工大学2010年数学分析考研试题及解答

华南理工大学2010年数学分析考研试题一．求解下列各题1.确定α与β，使)lim0n n αβ→∞−−=.2.讨论函数()f x ，()g x 在0x =处的可导性，其中(),,x x f x x x −⎧=⎨⎩为无理数，为有理数，和()22,,x x g x x x ⎧−⎪=⎨⎪⎩为无理数，为有理数.3.已知()f x 在[)0,+∞上连续，且满足()0f x x ≤≤，[)0,x ∈+∞，设10a ≥，()1n n a f a +=，1,2n =⋯，证明（1){}n a 收敛；（2）若lim n n a l →∞=，则()f l l =.4.判断下面的级数的收敛性()()()21111nnn x x x x ∞=+++∑⋯，0x ≥.5.讨论函数()(),1cos y y f x y e x ye =+−的极大值和极小值.6.计算33323Sx dydz y dzdx z dxdy ++∫∫，其中S 为球面2222x y z a ++=的外侧.二．设p 为正常数，函数()()cos p f x x =，证明：当01p <≤时，()f x 在[)0,+∞上一致连续.三．证明ax bx bxya e e e dy x −−−−=∫，并计算积分0ax bxe e dx x−−+∞−∫，()0b a >>.四．令()()ln 1,0,,,0,xy x f x y xy x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩证明(),f x y 在其定义域上是连续的.五．求积分D I dxdy =∫∫其中D由曲线1+=和x c =，y c =所围成，且,,0a b c >.六．设f 为定义在(),a +∞上的函数，在每一有限区间(),a b 上有界，且()()lim 1x f x f x A →+∞+−=⎡⎤⎣⎦，证明()lim x f x A x→+∞=.七．设()f x ，()g x 在[],a b 上连续，证明()()()()()01limnbi i i ai f g x f x g x dx λξθ∆→=∆=∑∫，其中∆为[],a b 的任一分割，01:n a x x x b ∆=<<<=⋯，[]1,,i i i i x x ξθ−∈，1,2,,i n =⋯，1i i i x x x −∆=−，(){}1max i i nx λ≤≤∆=∆.华南理工大学2010年数分考研试题解答一．1.解由条件知，lim 0n n n βα→∞⎞−=⎟⎟⎠，从而有lim 0n n βα→∞⎞−−=⎟⎟⎠，lim n n βα→∞⎞=−=⎟⎟⎠)limn β→∞=n →∞=24n →∞−===α=β=2.解显然()00f =，()00g =，()()0f x f x −≤,()()20g x g x −≤,()f x ,()g x 均在0x =处连续，当x 沿着无理点趋向0时，有()()0110f x f x −=−→−−，当x 沿着有理点趋向0时，有()()0110f x f xx x−==→−，()()0limx f x f x →−−不存在，所以()f x 在0x =处不可导.当x 沿着无理点趋向0时，有()()2000g x f x x x x −−==−→−，当x 沿着有理点趋向0时，有()()2000g x g x x x x −==→−，于是有()()0lim00x g x g x →−=−存在，所以()g x 在0x =处可导，且()00g ′=.3.证明（1）有题设条件，知()2110a f a a ≤=≤，()10n n n a f a a +≤=≤，于是{}n a 单调递减，有下界，根据单调有界定理，知{}n a 收敛.（2）设lim n n a l →∞=，由于()f x 在[)0,+∞上连续，在()1n n a f a +=中，令n →∞，取极限，得()f l l =.4.解设()()()()2111nn nx u x x x x =+++⋯，显然当0x =时，()00n u =，()10n n u ∞=∑收敛，当0x >时，()0n u x >，()()11,011limlim,1120,1n n n n nx x u x xx u x x x ++→∞→∞<<⎧⎪⎪===⎨+⎪>⎪⎩，于是0x ≥，()1n n u x ∞=∑收敛.5.解()()1sin y fe x x∂=+−∂，()cos y y y fe x ye e y∂=−+∂()cos 1y e x y =−+⎡⎤⎣⎦.易知(,)f x y 的驻点集为()(){}2,0,(21),2:k k k Z ππ+−∈，又由()1cos y xx f e x =−+，sin y xy f e x =−，(cos 2)y yyf e x y =−−，知(2,0)20|01k Hf π−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠是负定矩阵，2((21),2)210|0k e Hf e π−+−−⎛⎞+=⎜⎟−⎝⎠，于是(,)f x y 在(){}2,0:k k Z π∈处取的最大值2，且(,)f x y 无极小值，也无最小值。

华南理工大学高等数学统考试卷上2010期中

《高等数学》试卷（试卷号：2010期中时间90分钟，总分100）学院（系）专业班姓名：成绩报告表序号：一、（6*4）1．求极限()1lim arcsin cos x x x x →+解原式=()()arcsin cos 111arcsin cos 100lim 1arcsin cos 1lim 1arcsin cos 1x x xx x x x x x x x x +-+-→→⎡⎤++-=++-⎢⎥⎣⎦由于0arcsin cos 1arcsin cos 1limlimlim101x x x x x xx xxx→→→+--=+=+=故原式=()0arcsin cos 1lim1arcsin cos 10lim 1arcsin cos 1x x x xx x x x x e →+-+-→⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦2．求极限21lim ln 1x x x x →+∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解原式()()22100ln 1ln 11lim lim t t x t t t tt t →=→+-+⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦()0011111limlim 2212t t t t t →→-+===+3．求极限01lim x x x →⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦,(其中[ ]表示取整函数). 解由取整函数定义1111x x x ⎡⎤≤<+⎢⎥⎣⎦,从而111111x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=⋅≤⋅<⋅+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭又()00lim 1lim 11x x x →→=+=, 由夹逼准则有01lim 1x x x →⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦另解: 令11,01t t x x ⎡⎤=+≤<⎢⎥⎣⎦,则()00011lim lim lim 1101x x x x x t xt x x →→→⎡⎤⎛⎫⋅=⋅-=-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭4．设函数()f x 在0x 可导，求极限()()42lim1coshh fxhf x →+--解由函数()f x 在0x 可导可得()()()()()000000limh f x h f x f x f x f x h+-→+-'''===从而()()()()()()()4440000002422limlim2lim11cosh2h h h f x hf x f x hf x f x hf x hh →→→+-+-+-==-()()0022f x f x +''==二、[3小题，共19分] 解答题5、(7分)设cos sin t tx e ty e t⎧=⎪⎨=⎪⎩确定函数()y y x =，求22,dy d y dx dx 解s i n c o ss i n c o s,c o s s i nc o s s i nt t ttdy e t et t t dxe t et t t ++==-- 22sin cos cos sin d y d dy d t t dxdx dx dx t t +⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()()()2223cos sin sin cos 12cos sin cos sin cos sin tttt t t t e t e tt t et t -++==---6、(7分)设y f ⎛= ⎝，已知()fx 可导，求22d y dx解()131221122dy f u xxf dx----⎛''=⋅=-⎝, ()()5332222231311122224d y x f u x f x f u f dxx -------⎛⎛''''''=⋅⋅+⋅=+ ⎝⎝ 7、（5分）设(ln cos y =，求dy解()()()1112221111sin sin 1cos cos 2dy du v dt v t d x u vv-==-=-+=三、 [20分] 8、（6分）设())()()()1bx b f x x a x ++=+-有无穷间断点10x =和可去间断点21x =，求,a b的值解由有无穷间断点10x =,可知()()()011lim0,0,0,0,11x a a b b f x b b→⋅-=⇒=⇒=≠≠-+⋅又有可去间断点21x =,可知()1lim x f x →存在,进而()()1lim 10x x f x →-=,即)()101bb a+=+,从而b =9、（6分）求曲线ln 1xy y +=在点()1,1处的法线方程解由隐函数由导数的法则,10y xy y y ''++⋅=令1,1x y ==得()1,112y '=-故所要求的法线方程为()11112y x -=---,即21y x =-10、（8分）设()21,00,0x xe x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩，求导函数()f x '，并试证()f x '在0x =处连续解当0x =时 ()221100limlim 0xxx x xe f ex--→→-'=== 当0x ≠时()22211132221xxx f x ex ee x x ----⎛⎫⎛⎫'=+⋅⋅-=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()21221,00,0x e x f x x x -⎧⎛⎫⋅+≠⎪ ⎪'=⎨⎝⎭⎪=⎩ 从而()()22212220212lim lim 1lim 12lim t xt x x t t t f x ee t x e--→→→∞→∞+⎛⎫'=⋅+=⋅+= ⎪⎝⎭ ()2242limlim002ttt t t f tee→∞→∞'====,故()f x '在0x =处连续四、 [15分]证明问题11、（5分）用N ε-定义证明：2lim cos1n nπ→∞=证由于222221281cos2sin2nnn n πππ⎛⎫-=≤< ⎪⎝⎭从而对1280,N εε⎡⎤∀>∃=⎢⎥⎣⎦,当n N >时,有1281,n N ε≥+>即21281cos n n πε-<<由数列极限的定义2lim cos1n nπ→∞=12、[10分]设()f x '在[],a b 上连续，开区间(),a b 内()f x ''存在，且()()0f a f b ==，并存在一点(),c a b ∈使()0f c >。

华南理工大学高等数学统考试卷上2010答案

2010-2011 1．当a x →时,xx x f ln 1)(-=是无穷小,则实数=a _； 2．设()3)1(sin ln+=x y ，则=y d 3．设)(x f 在0x 可导，则0(2)(3)lim h f x h f x h h →+--=4．曲线x y ln =的拐点为； 5．设xx x f e )(=，则)()(x fn 在点=x 处取极小值．1．求极限)12111(lim 222nn n n n ++⋅⋅⋅++++∞→．2．求极限211e lim x xx x ⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→．3 ．求极限202(arctan )d lim1xx t t x →+∞+⎰4．设函数1,0()1e 0,0x xx f x x ⎧≠⎪=⎨+⎪=⎩ ，讨论()f x 在点0x =处的连续性与可导性．1．由方程)tan(y x y +=确定了隐函数)(x y y =，求)(x y 的二阶导数．2．设)1(,)(3-=-=te f y t f x π，其中)(t f 二阶可导，且0)0('≠f ，求=t dxdy和022=t dx y d ．3．指出数列{}nn 中最大的数，并说明理由．1．设2ln ,1()11,121x x f x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪+⎩，求()d f x x ⎰ 2．计算3221d 1x xx+⎰．3．设0>s ，求),2,1(d 0==⎰∞+-n x x e I n sx n ．4．设→→→→+-=k j i a 2,→→→→++=k j i b ,试在→→b a ,所决定的平面内，求一个与→a 垂直的单位向量． 1．求心形线)cos 1(θ+=a r 围成的图形面积．2．求摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-=-(0)a >的一拱02t π≤≤与x 轴所围成的平面图形绕2y a =旋转所得旋转体的体积．1．写出拉格朗日中值定理，并给出证明. 2设函数)(x f 在),(+∞-∞上三阶可导，且)(x f 和)('''x f 在),(+∞-∞有界.试证：)('x f 和)(''x f 在),(+∞-∞有界._____________ ________2011 1．设()f x 连续，则()d f x dx =⎰，()f x dx '=⎰2sin x 带有皮亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式为 3曲线1ln y x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的渐近线方程为 4．设22y x x =-, 在1x =处,当0.01x ∆=时, 则应有dy =5、 2201x d t dt dx ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎰ 6、设{1,2,2},{2,1,2}a b =-=- ，则a b ⨯=1、求极限2222111lim 41444n n n n n →∞⎛⎫+++⎪---⎝⎭ 2、20tan lim sin x x x x x →- 3 1220lim 1n n x dx x →∞+⎰ 4设函数()21arctan ,00,0x xf x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,讨论()f x '在点0x =处的连续性 1已知2sin 20cos 0yxt e dt tdt +=⎰⎰, 求dydx2设函数()()()sin 2g x x f x =,其中()f x 在0x =处连续, 问()g x 在0x =处是否可导? 如果可导, 求出()0g '.1．设函数()y y x =由参数方程()()sin 1cos x a t t y a t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩确定，求22d y dx1、计算()3221dxx+⎰2、计算()sin ln tan x xdx ⎰1. 在下列两个积分222220cos ,cos x x exdx e xdx πππ--⎰⎰中确定哪个积分值大, 并说明理由.2. 计算()21211sin 11x x dx x -++-⎰3. 计算1ln eex dx ⎰ 4. 设0a >, 求sin ax e xdx +∞-⎰ 1. 求由曲线2y x =和2,0x y ==所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 2. 求心形线()1cos r a θ=+的全长. 1设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续, ()g x 在[],a b 上不变号，证明：至少存在一点[],a b ξ∈使得()()()()b baaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰。

华东理工高等数学上(11学分)2010期末-解答B卷

华东理工大学2010–2011学年第一学期《高等数学(上)11学分(B)》期末考试试卷2011.1开课学院：_理学院_，考试形式：_闭卷_，所需时间：_120分钟考生姓名：学号：班级：任课老师：题序一二三四五六七总分得分阅卷注意：试卷共3大张，7大题一、（每小题4分，共20分）填空题请将填空题的答案写入下面表格的指定位置1234561-e)1(2tan y e x dx x +3)1(-e e e π221、极限2)1sin (lim n n nn ∞→=。

2、设ln(cos 0yy e ++=，则dy =。

3、设t tx te y e --⎧=⎨=⎩，则==e t dx yd 22。

4、已知⎰=x tdtx f 1arctan )(，则)1('f =。

5、曲线)3)(2)(1(---=x x x x y 的拐点的个数为。

二、（每小题4分，共20分）选择题请将选择题的答案写入下面表格的指定位置12345ABBCD1、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-0,0,)1(1)(3x x e x x f x，则（）。

（A ）0)0('=f ；（B ）1)0('=f ；（C ）1)0('-=f ；（D ）)(x f 在点0=x 不可导。

2、方程322630x x x -++=实数根的个数有几个？(A)0个；(B)1个；(C)2个；(B)3个。

3、设函数()f x 在(,)-∞+∞内二阶可导，且满足方程''()2'()10f x f x +-=，若0x 是()f x 的一个驻点，则(A)()f x 在0x 处取极大值；(B)()f x 在0x 处取极小值；(C)()f x 在0x 处不取极值；(D)无法判定()f x 在0x 处是否取极值。

4、时，，则当，设065)(sin )(65cos 102→+==⎰-x x x x g dt t x f x ()f x 是()g x 的（）．　同阶但不等价无穷小　高阶无穷小；等价无穷小；　低阶无穷小； )()()()(D C B A 5、设(,)x a b ∀∈，有'()'()f x g x =，则(,)x a b ∀∈有()(A)()()f x dx g x C =+⎰；(B)()()g x dx f x C =+⎰；(C)()()f x g x =；(D)()()f x g x C =+。

华工2010《复变函数》B参考答案

华南理工大学期末考试2010《复变函数-B 》参考答案1，填空题。

(每题5分，合计30分)（1）已知 1002(1)(2)z i i -=+++，则z 的虚部为411sin(2arctan )2552--或（2）设C 为正向圆周||3z =，则积分1sin C zdz z+=⎰2πi（3）函数 2(2)2w x y ixy =++在如下范围内可导：1=-y（4）在映射2w z =下，区域||10arg 2w w π<<<，的原像为531rg (0)()rg (0)()4444z z z ππππππ<∈∈-， A ，，或a ，，-（5）计算积分1()izz i edz -+=⎰1111(2)(12)(2)(cos12sin1)(2cos1sin1)(2cos12sin1)(2cos1sin1)-----+-+=++++-=++++-i i e i e i e i e e i（6）函数231()cosf z z z=在:0||D z <<∞的洛郎展开式为 26620011(1)(1)(2)!(2)!∞∞-==-=-∑∑nnn n n n z n z n z2，计算题，(每题5分，合计30分)。

（1）计算 L n (43)i + 的值解：3Ln(43)ln(43)2ln 52arctan 4ππ+=++=++i i k i k i i2)2211[cos(ln2)sin(ln2)]22πππ-+-====+i k i k i ke e e e i（2）求解方程5sh4z i=25551sh 1(2)()04242212,2,ln2222z zz z z zze ez i i e ie e i e ie i i z Ln i z k i iππ--=⇔=⇔--=--=⇔=⇔==±++（3）分别用定义和柯西--黎曼条件判断函数()||f z z=是否可导，是否解析？解：=u∂=∂ux，∂=∂uy，并且在（0，0）处偏导数不存在。

期中考参考答案(理)

2010学年度第一学期期中数学试卷参考答案（理）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、[],5m m --，2、充分不必要条件，3、24(4)y x x =-+>-，4、(1,)-+∞ 5、120， 6、(2,0) 7、()37f x x =-+，8、{2}9、24 10、10， 11、1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 12、，（1）（4）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.13、B14、C 15、D 16、C 三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本题满分12分）解：由128x <<，得(0,3)A =. …………………………2分由125≥+x 023≤+-⇒x x ，得B=(]3,2-. …………………………4分由24x -<26x ⇒-<<，得C=(2,6)-.…………………………6分所以A B=(]3,2-， …………………………8分A C =(2,0][3,6)-. …………………………12分18、（本题满分14分）（1）2a =时，条件符合。

…………………………2分20a -<时，0<，得(2,2)a ∈-，故(]2,2a ∈-。

…………………………7分（2）由2()(2)(1)42f x a x a =-+--+可知只要(1)0(3)0f f <⎧⎨<⎩成立，解得34(,)15a ∈-∞ …………………………14分（用其他方法解得结果相应给分）19、（本题满分15分）（1）(1)(1)(15)(4)(1)(4)0f f f f f f -=-=-+=∴+= …………………………4分（2）设2[1,4],()(2)5x f x a x ∈=--由（1）得2a =，此时2()2(2)5f x x =--，且(1)3f =-设(1)3,(0)0f f =-=，可得[1,1],()3x f x x ∈-=-故23, [1,1]()283, [1,4]x x f x x x x -∈-⎧=⎨-+∈⎩ …………………………8分（3）2315, [4,6]()2(7)5, [6,9]x x f x x x -+∈⎧=⎨--∈⎩…………………………13分得max min ()3, ()5f x f x ==- …………………………15分 20、（本题满分15分）（1）12()lg 13x a f x x a++=+- …………………………4分（2）0a >时，定义域为(,21)(31,)a a -∞---+∞， 0a <时，定义域为(,31)(21,)a a -∞---+∞。

华南理工大学高数上册答案

A 第一章函数与极限作业1 函数1．填空题（1）函数31arcsin11)(2+−−=x x x f 的定义域为]2,1()1,4[∪−−；（2）没x x x x f ln ln 1ln 1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−，则=)(x f t te t t +−+−1111；（3）设2()e x f x =，x x f 31)]([−=ϕ，且0)(≥x ϕ，则=)(x ϕ()x 31ln −，（4）函数3sin 22cos xx y+=的周期为π12；（5）函数)2ln(1++=x y的反函数=y 21−−x e ；（6）将函数|2|2x x y −+=用分段函数表示为=y ⎩⎨⎧<+≥−2,22,23x x x x ． 2．设函数)(x f y=的定义域为［0,2］,求下列函数的定义域：（1）)(2x f y=；解：由202≤≤x ，知该函数的定义域为]2,2[− （2）)()(a x f a x f y−++=，（0>a ）；解：由⎩⎨⎧≤−≤≤+≤2020a x a x ，知⎩⎨⎧+≤≤−≤≤−ax a ax a 22，从而该函数的定义域：当10≤<a 时为]2,[a a −，否则为空集（3）)(sgn x f y =, 其中⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=0,10,00,1sgn x x x x ．解：由2sgn 0≤≤x ，知该函数的定义域为),0[+∞ 3．判定下列函数的奇偶性：（1）)(log )(22a x x x f a ++=；解：由()()()x f ax x a a x x x f a a −=++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+−=−2log log 22222，知该函数非奇非偶（2）3cos ()|sin |e x f x x x =．解：由()()()()x f e x x e x x x f x x ==−−=−−cos 3cos 3sin sin ，知该函数为偶4．设⎩⎨⎧>++≤−=0),1ln(20,sin 2)(x x x x x f , ⎩⎨⎧≥−<=0,0,)(2x x x x x ϕ, 求)]([x f ϕ．解：()⎩⎨⎧<++≥+=⎩⎨⎧>++≤−=0,1ln 20,sin 20)]([)]},([1ln{20)]([)],(sin[2)]([2x x x x x x x x x f ϕϕϕϕϕ5．没⎪⎩⎪⎨⎧>−≤≤−−<−=2,121021,1,21)(32x x x x x x x f ，求)(x f 的反函数．解：因为，当1−<x 时21,12,12122yx y x x y −−=−=−<−= 当21≤≤−x 时33],8,1[y x x y =−∈=；当2>x 时1012,81210+=>−=y x x y 故反函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤−−<−−==8,101281,1,213x x x x x xy6．证明函数x x f 31)(−=在其定义域内无界．证明：由无界的定义，D x M ∈∃>∀0,0，使()M x x f >−=0031 因为133113000+≤−≤−x x x ，只要M x >−130，即310+>M x 因而只要取320+=M x 即有()M M x f =−+>13130 从而x x f 31)(−=在其定义域R 内无界作业2 数列的极限1．用数列极限的“N −ε”定义证明下列极限：（1）nn n n −→∞224lim =4；证明：因为n n n n n x n 81444422<−=−−=−0>∀ε，要ε<−4n x ，只要εε8,8><n n取⎦⎤⎢⎣⎡+=ε82N ，则当N n >时81n N ε≥+>从而ε<−4n x ，由定义nn n n −→∞224lim（2）()n n n −+→∞1lim=0；证明：因为0n x −==<0>∀ε，要0n x ε−<取211N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当N n >时211n N ε≥+>从而0n x ε−<，由定义lim0n →∞−=（3）nn n 3lim 2→∞=0．证明：因为，当6n >时，()()()()3231121212222!3!2nn n n n n n n −−−+=+⋅+++>L 2203n n n x n−=<0>∀ε，要0n x ε−<，只要22,n n εε<>，取26N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当N n >时21n N ε≥+>，从而0n x ε−<，由定义2lim 03n n n →∞=2．证明：若A u n n =→∞lim ，则||||lim A u n n =→∞，并举例说明其逆命题不成立．证明：由A u n n =→∞lim知0>∀ε，存在0N >，当N n >时n u A ε−<，而n n u A u A −≤−，从而n u A ε−<，由定义||||lim A u n n =→∞逆命题不成立，例如：()1nn u =−，虽然lim ||1n n u →∞=，但lim n n u →∞不存在3．设数列}{n u 有界，而0lim =∞→n n v ，求证：0lim =→∞n n n v u ．证：{}n u Q 有界，所以存在0,n M u M >≤, 又0lim=∞→n n v ，0>∀ε，对于1Mεε=存在0N >，当N n >时1n v ε<，从而n n n n u v u v MMεε=<=，由定义0lim =→∞n n n v u4．设数列}{n u ，}{n v 有相同的极限为A ，求证：若． n n n v u x −=，则0lim=→∞n n x ．证：由已知0>∀ε，对于12εε=存在10N >，当1n N >时2n u ε<，存在20N >，当2n N >时2n v ε<，取12max{,}N N N =，则当N n >时，()0n n n n n x u A v A u A v A ε−=−−−≤−+−<，由定义0lim =→∞n n x5．若0lim>=∞→A u n n ，（1）证明存在0>N ，当N n >时，有02>>Au n ；（2）用数列定义证明1lim1=+∞→nn n u u ．证：（1）由已知，对于02Aε=>存在0N >，当n N >时2n A u A −<即3,2222n n A A A Au A u −<−<<<，从而当N n >时，有02>>A u n（2）由（1）10N ∃>，当1n N >时，有120,02n n A u u A>><<，从而()111121n n n n n n n n n n u u u A u A u u A u A u u u A++++−−+−−=≤<−+−又0ε∀>，对于14A εε=存在20N >，当2n N >时4n A u A ε−< 因此12124n n u A u A εε+−<⋅⋅=，由定义1lim 1=+∞→nn n u u作业3 函数的极限1．根据函数极限定义证明：（1）2)54(lim 2=−+++∞→x x x x ；证：不妨设0x >=0ε∀>，要ε<，只要11,x xεε<>取10X ε=>，当x X >ε<由定义2)54(lim 2=−+++∞→x x x x（2）111lim2=−→x x ．证：不妨设11312,1,22221x x x −<<−<<−，这时1212111x x x x −−=<−−− 0ε∀>，要111x ε−<−，只要12x ε−<，取1min{,}022εδ=>，当01x δ<−<时一定有111x ε−<−，由定义111lim2=−→x x 2．已知1)(lim =→x f ax ，证明（1）存在01>δ，使得当1||0δ<−<a x 时，65)(>x f ；（2）对任意取定的)1,0(∈K，存在2δ，使得当2||0δ<−<a x 时，K x f >)(．证：由1)(lim =→x f ax ，（1）对16ε=存在01>δ，使得当1||0δ<−<a x 时，()1151,()1666f x f x −<>−= (2)()0,1,10,K K ∀∈−>对10K ε=−>存在20δ>，使得当20||x a δ<−<时，()()11,()11fx K f x K K −<−>−−=3．（1）设⎪⎩⎪⎨⎧>−=<+=2,132,02,12)(x x x x x x f ，研究)(x f 在2=x 处的左极限、右极限及当2→x 时的极限；（2）设⎪⎩⎪⎨⎧≥−<<≤−+=2,2221,1,32)(2x x x x x x x x f ，研究极限)(lim 1x f x →，)(lim 2x f x →，)(lim 3x f x →是否存在，若存在将它求出来．解：（1）()()()()20202020lim lim 215,lim lim 315x x x x f x x f x x →−→−→+→+=+==−=从而()2lim 5x f x →=（2）()()()21010lim 1,101230x f f x f →++==−=+−=，故()1lim x f x →不存在，()()()2202,202222,lim 2x f f f x →−=+=⋅−==，()3lim 2324x f x →=⋅−=4．设A x f ax =→)(lim，证明存在a 的去心邻域o0U (,)a δ，使得)(x f 在该邻域内是有界的．证：lim ()x af x A →=Q，由定义对01,0εδ=∃>，当o0U (,)x a δ∈时，()()()1,1f x A f x A f x A −≤−<<+，从而)(x f 在该邻域内是有界的．5．如果当0x x →时，)(x f 的极限存在．证明此极限值唯一．证：假设极限不惟一，则至少存在两个数A B ≠，使()()0lim ,lim x x x x f x A f x B →→==同时成立，由定义10,0εδ∀>∃>，当o01U (,)x x δ∈时()f x A ε−<，且20δ∃>，当o02U (,)x x δ∈时()f x B ε−<。

华东理工大学2010高数(上)期末试卷及答案

华东理工大学2010–2011学年第一学期《高等数学(上) (A)》期末考试试卷参考解答 2011.1一、（每小题4分，共20分）填空题1、曲线2ln2x xy =的拐点坐标为。

2、曲线)2)(1(1arctan212+-++=x x x x e y x 的铅直渐近线为。

3、将x s i n 在2π=x 处展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式为=x sin ，其中ξ在2π和x 之间。

4、由32sin 5x y x y +-=确定的隐函数的微分dy = dx 。

5、极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+∞→1)11(lim 12xx x x x = 。

二、（每小题4分，共20分）选择题1、设α与β为同阶无穷小，则下列说法必定正确的是（）（A ） βα~; (B) )(αβαo =-；（C ）βα+与β为同阶无穷小；（D ）对一切正整数n ，nα与n β为同阶无穷小。

2、函数||ln )4(22x x x y -+=的第二类间断点有几个？（）(A) 4个； (B) 3个； (C) 2个； (D) 1个。

3、设函数)(x f 为可导函数，且12)()(lim-=--→xx a f a f x ，则曲线)(x f y =在))(,(a f a 处的切线的斜率为（）(A) 2； (B) 1-； (C) 1； (D) 2-。

4、（8学分）设sin xx为()f x 的一个原函数，0a ≠，则()f ax dx a=⎰ （）（A ）3sin axCa x+；(B)2sin axCa x+； (C)sin axCa x+； (D)sin axCx+。

4、（9，11学分）广义积分=+⎰∞+-0xxee dx( )(A) 4π； (B) 2π； (C) π； (D) 发散。

5、设)(x f 连续，且1)(4102-=⎰-x dt t f x ，则=)8(f （）(A) 108； (B) 48； (C) 18； (D) 8。

2010华工笔试试卷

2、如何试验获得材料的韧脆转变温度？试分析影响材料韧脆转变温度的因素。
3、请列举铝合金,镁合金,铜合金,钛合金中三种合金的性能及其在工业中的应用。
4、请列举三种材料的制备成型方法并说明特点。
5、试述计算机技术在材料加工成型中的应用与现状和内容。
（铸造、塑性加工、焊接成型、粉末冶金，请任选其一作答）
9、解理断裂的基本特征是---------。
10、--热等静压------方法可制备出接近全致密且密度分布均匀的粉末冶金材料。
11、观察端口用的设备是--扫描电子显微镜-----。
12、汽车覆盖板冲压成型过程中计算机模拟所用的主要方法是--有限元法----。
三、判断题（每题2分，共18分）
1、弹性模数是表征材料对弹性变形的抗力，其值越大，则在相同应力下产生弹性变形就越少。
（√）
6、体心立方金属及其合金不存在低温脆性，而面心立方金属及其合金存在低温脆性。
（×）
7、材料的断裂韧性KIC越高，则断裂应力或临界裂纹尺寸越大，材料越难断裂。
（√）
8、镁的电极电位很负，化学活性越高，则抗腐蚀性越差。
（√）
9、疲劳破坏属高应力循环延时断裂。
（×）
四、简述题（每题8分，共40分）
1、试述影响金属材料屈服强度的因素，举例说明。
一、名词解释（每题2分，共12分）
1. 晶体滑移
2. 应变硬化
3. 蠕变
4. 氢脆
5. 疲劳
6. 应力腐蚀断裂
二、填空题（每题2分，共30分）
1、金属材料常见的塑性变形机理为晶体的-------和---------两种。
2、韧性断裂是材料断裂前及断裂过程中产生明显宏观--------的断裂过程。