扬州中学2020-2021学年高三年级阶段性测试高三考试数学答题卡10.5

合集下载

江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期8月开学测试数学试题

江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期8月开学测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．若集合{|A x y ==，{|B x y ==，则A B =（）A ．[)1,+∞B ．[][)2,11,--+∞ C ．[)2,+∞D ．[][)2,12,--+∞2．设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若方程22153x y m m +=-+表示椭圆，则m 的取值范围是（）A ．()3,5-B ．()5,3-C ．()()3,11,5- D ．()()5,11,3-4．若函数(31)4,1(),1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为（） A ．1183⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭5．下列函数中，最小值为4的是（） A ．4y x x=+B ．()4sin 0πsin y x x x=+<<C ．e 4exxy -=+D ．y =6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()4f x x x =-，则不等式(2)5f x +<的解集为（）A ．(3,7)-B ．()4,5-C ．(7,3)-D ．()2,6-7．函数()23ln sin x x f x x x+=+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()sin f x x a x =-，对任意的实数1x ，()2,x ∈-∞+∞，且12x x ≠，不等式()()1212f x f x a x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥9．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（） A ．15B ．25C ．45D ．6510．下面命题正确的是（） A ．“1a > ”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”. C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥ ”是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件11．已知函数()3f x ax bx c =++（0ac <），则函数()y f x =的图像不可能是（）A ．B ．C ．D ．12．设函数()ln f x x x =，()()f x g x x'=，给定下列命题，其中是正确命题的是（）A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()g x 在()0,e 单调递增，在()e,+∞单调递减C ．若m 1≥，则当120x x >>时，有()()()2212122m x x f x f x ->- D ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭13．已知()538f x x ax bx =++-，若()210f -=，则()2f = ． 14．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且2log (1),0()(),0x x f x g x x +≥⎧=⎨<⎩，则[(7)]g f -的值为_____.15．已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am(a>0)，命题q ：实数m 满足方程21x m -＋22y m-＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为________． 16．已知函数()2e 2ln xf x k x kx x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值集合是________．17．在①222b a c +=+,②cos sin a B b A =,③sin cos B B +=中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ______________,3A π=,b =求ABC ∆的面积.18．已知函数()3f x ax x b =-+（0a ≠），若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程是230x y -+=．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调区间．19．2018年，在《我是演说家》第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，他的视角独特，语言幽默，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对该演讲的喜爱程度，随机调查了观看了该演讲的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）（1）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（精确到0．001）（2）从这60名男观众中按对该演讲是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，然后随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率．附：临界值表参考公式：22()=)()()()n ad bc K a b c d a c b d （-++++，+n a b c d =++．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥底面ABCD ，BC ∥AD ，AB ⊥BC ，PA AB =22AD BC ==，M 是PD 的中点.（1）求证：CM ∥平面P AB ；（2）求二面角M AC D --的余弦值.21．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每批产品的非原料总成本y （元）与生产该产品的数量x （千件）有关，经统计得到如下数据：根据以上数据，绘制如图所示的散点图．观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型ln y a b x =+和指数函数模型xy c d =⋅分别对两个变量的关系进行拟合．（1）根据散点图判断，ln y a b x =+与xy c d =⋅（c ，d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为非原料总成本y 关于生产该产品的数量x 的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知每件产品的原料成本为10元，若该产品的总成本不得高于123470元，请估计最多能生产多少千件产品．参考数据：其中lg i i v y =，117ni i v v ==∑．参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆva u β=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆni i i nii u v nuvunu β==-=-∑∑，ˆˆav u β=-． 22．已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()'f x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．参考答案1．B 【解析】【分析】求函数定义域确定集合,A B 后再交集定义计算．【详解】∵[)2,A =-+∞，(][),11,B =-∞-+∞，∴[][)2,11,A B =--+∞.故选：B 【点睛】本题考查集合的交集，考查运算求解能力.交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 2．B 【解析】试题分析：由题意得()()()2121111i i i i i i i +==-+--+ ，所以在复平面内表示复数1i -+的点为()1,1-在第二象限．故选B ．考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义. 3．C 【解析】【分析】由方程22153x ym m +=-+表示椭圆可得503053m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解出即可. 【详解】若方程22153x y m m +=-+表示椭圆，则503053m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得31m -<<或15m <<. 故选：C. 【点睛】本题考查对椭圆标准方程的理解，属于基础题. 4．A 【解析】【分析】本题根据减函数的定义再结合一次函数的性质直接求解即可. 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数，所以3100314a a a a a-<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，解得1183a ≤<.故选：A. 【点睛】本题考查减函数的定义，一次函数的性质，是基础题. 5．C 【解析】【分析】逐个分析每个选项，结合基本不等式和函数性质即可判断. 【详解】 A 项，4y x x=+没有最值，故A 项错误； B 项，令sin t x =，则01t <≤，4y t t=+，由于函数在(]0,1上是减函数，所以min ()(1)5f x f ==，故B 项错误； C项，4e 4e e 4e x x x x y -=+=+≥=，当且仅当4e e x x =，即e 2x =时，等号成立，所以函数e 4e xxy -=+的最小值为4，故C 项正确；D 项，y =≥=，=时，等号成立，所以函数y =的最小值为D 项错误．故选：C ．【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 6．C 【解析】【分析】首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解．【详解】当0x ≥时，2()45f x x x =-<的解为05x <；当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<，所以不等式()5f x <的解集为{55}xx -<<∣，所以不等式(2)5f x +<的解集为{525}{73}xx x x -<+<=-<<∣∣．故选：C 【点睛】本题考查偶函数的性质及其应用，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识点理解掌握水平. 7．C 【解析】【分析】先由函数解析式，确定定义域和奇偶性，排除AD ；再由特殊值验证，可排除B ，得出结果. 【详解】由()23ln sin x x f x x x+=+可得0x ≠，即定义域为()(),00,-∞⋃+∞，排除A ；又()()()()()2233ln ln sin sin x x x x f x f x x xx x -+-+-===----+-，所以()f x 为奇函数，图像关于原点对称，排除D ；又2233111ln 1101111sin sin e e e f e e e e e ⎛⎫+-+ ⎪⎛⎫⎝⎭==< ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ；故选：C. 【点睛】本题主要考查由解析式判定函数的图像，属于常考题型. 8．B 【解析】【分析】由题可得()11122212sin sin 0x ax a x x ax a x x x ----->-，构造函数()sin g x x ax a x =--，可知()g x 在R 上为增函数，利用导数即可求出. 【详解】()()1212f x f x a x x ->-，且()sin f x x a x =-，()()11221112221212sin sin sin sin 0x a x x a x x ax a x x ax a x a x x x x --------∴-=>--，令()sin g x x ax a x =--，则1212()()0g x g x x x ->-对任意的实数1x ，()2,x ∈-∞+∞，且12x x ≠都成立，()g x ∴在R 上为增函数，即()1cos 0g x a a x '=--≥恒成立，整理得()1cos 1x a +≤，可知1cos 0x +≥ 当1cos 0x +=时，不等式成立，当1cos 0x +>时，11cos a x ≤+恒成立，又111cos 2x ≥+，12a ∴≤. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 9．ABC 【解析】【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 10．ABD 【解析】【分析】分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD 的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判断选项B 的正误．【详解】对于A ，()1110100a a a a a a -<⇔>⇔->⇔<或1a >，则“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故A 对；对于B ，全称命题的否定是特称命题，“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”，故B 对；对于C ，“2x ≥且2y ≥” ⇒ “224x y +≥”， “2x ≥且2y ≥” 是 “224x y +≥”的充分条件，故C 错；对于D ，00ab a ≠⇔≠且0b ≠，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故D 对；故选：ABD ．【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查充分条件与必要条件的判断，考查不等式的性质与分式不等式的解法，属于易错的基础题． 11．ACD 【解析】【分析】由3()g x ax bx =+是奇函数，()f x 的图像是()g x 的图像向上或向下平移得到的，可知A不可能；分别讨论0a >和0a <，根据0ac <，结合函数的图象，可知C 、D 不可能. 【详解】设3()g x ax bx =+，()g x 是奇函数，其图像关于原点对称，∵()()f x g x c =+，∴()f x 的图像是()g x 的图像向上或向下平移得到的，∴A 项不可能，符合题意；由2()3f x ax b '=+，知当0a >，x →+∞时，()0f x '>，函数单调递增，又0ac <， ∴0c <，即(0)0f c =<，∴D 项不可能，符合题意；当0a <，x →+∞时，()0f x '<，函数单调递减，又0ac <，∴0c >，即(0)0f c =>，∴C 项不可能，符合题意；结合以上几种情况可判断B 可能，不符合题意. 故选：ACD. 【点睛】本题考查了三次函数图象的性质，考查了数形结合思想和逻辑推理能力，属于基础题目. 12．ACD 【解析】【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性分别判断即可. 【详解】因为函数()ln f x x x =，定义域{}|0x x >，所以()'ln 1f x x =+，则()()'ln 1f x x g x x x+==，()2ln 'xg x x =-，对于A ，()0g x >，即ln 10x x+>， ln 10x +>，即1x e>，故A 正确；对于B ，()2ln 'xg x x=-，当()0,1x ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增，故B 错误；对于C ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-，在()0,∞+上恒成立，即maxln (0)2m x x x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，令()()ln 0x h x x x=>，则()21ln 'xh x x -=，令()'0h x =，解得x e =，故()h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，故()()max 112h x h e e ==<，因为m 1≥，所以122m ≥，故m 1≥成立，C 正确对于D ，函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()()''2F x f x ax =-有两个零点，即ln 120x ax +-=，则ln 12x a x +=，令()ln 1x G x x+=，则()2ln 'x G x x =-，()G x 在()0,1递增，在()1,+∞单调递减，()11G =，即()20,1a ∈，10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，D 正确，. 故选：ACD. 【点睛】此题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于较难题. 13．26- 【解析】试题分析：设()53()8g x f x x ax bx =+=++，则()()g x g x -=-，所以函数()g x 为奇函数，由()210f -=，则()()22818g f -=-+=，则()218g =-，则()()22818g f =+=-，所以()226f =-．考点：函数奇偶性应用． 14．2-. 【解析】【分析】由已知函数解析式，结合奇函数的定义可知()()f x f x -=-，代入即可求解. 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且2log (1),0,()(),0,x x f x g x x +≥⎧=⎨<⎩所以2(7)(7)log 83f f -=-=-=-，则2[(7)](3)(3)(3)log 42g f g f f -=-=-=-=-=-. 故答案为：2- 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答熟练应用函数的奇偶性，结合分段函数的分段条件是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 15．[13，38] 【解析】【分析】根据命题p 、q 分别求出m 的范围，再根据p 是q 的充分不必要条件列出关于m 的不等式组，解不等式组即可【详解】解：由227120(0)m am a a -+<>，则34a m a << 即命题:34p a m a <<由22112x y m m +=--表示焦点在y 轴上椭圆可得：210m m ->->，∴312m << 即命题3:12q m <<p 是q 的充分不必要条件从而有：31342a a ⎧⎪⎨⎪⎩∴1338a【点睛】本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，椭圆的定义等相关知识，要求对基础知识有比较好的把握．属简单题16．2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】【分析】由已知可知2x =是0fx唯一的根，进而可转化为2e xk x-=在0x >时没有变号零点，构造函数()()2e 0xg x x x=>，结合导数及函数的性质可求．【详解】解：函数定义域0,，()()()2243e 2e 2e 2x x x kx x x x kf x k x x x+--'=-+=，由题意可得，2x =是0fx 唯一的根，故20x e kx +=在0,上没有变号零点，即2e xk x-=在0x >时没有变号零点，令()2e xg x x =，0x >，则()()3e 2x x g x x-'=，当2x >时，0g x，函数单调递增，当02x <<时，0g x，函数单调递减，故当2x =时，()g x 取得最小值()2e 24g =，故2e 4k -≤即2e 4k ≥-．故答案为：2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查根据极值点以及极值点个数求解参数范围，其中涉及到利用参变分离法求解参数范围，难度较难.参变分离法求解参数范围的主要过程：构造新函数，分析新函数的单调性以及值域从而求解出参数的范围. 17．答案不唯一,具体见解析【解析】【分析】（1）选①222b a c +=+,先用余弦定理求出角B ,根据三角形内角和为π可算出角C ,再由正弦定理求出a 边,最后用三角形的面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=求面积即可. （2）选②,先用正弦定理的推论将cos sin a B b A =边化角,整理得角B ,根据三角形内角和为π可算出角C ,再由正弦定理求出a 边,最后用三角形的面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=求面积即可. 【详解】解：（1）若选择①222b a c +=+,由余弦定理222cos 2a c b B ac +-===, 因为(0,)B π∈,所以4B π=;由正弦定理sin sin a b A B=,得sin sin sin 2b Aa Bπ===因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,所以113sin 2244ABC S ab C ∆+===. （2）若选择②cos sin a B b A =, 则sin cos sin sin A B B A =, 因为sin 0A ≠,所以sin cos B B =, 因为(0,)B π∈,所以4B π=;由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin sin 2b Aa Bπ===因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,所以11sin 22ABC S ab C ∆===（3）若选择③sin cos B B +=4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,因为(0,)B π∈,所以5,444B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, 所以42B ππ+=,所以4B π=;由正弦定理sin sin a b A B=,得sin sin sin b Aa Bπ===因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,所以11sin 22ABC S ab C ∆===【点睛】本题考查用正弦、余弦定理解三角形,熟记公式是解题的关键.18．（1）()35f x x x =-+；（2）增区间为,3⎛-∞ ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）求出()f x 的导数，则=(1)k f '切，即可求出a ，求出切点，将点代入函数即可求出b ，继而得出解析式；（2）根据()f x 的导数的正负即可得出单调区间. 【详解】（1）由()3f x ax x b =-+，得()231f x ax '=-，所以()1312f a '=-=，所以1a =．把1x =代入230x y -+=，得切点为()1,5，所以()1115f b =-+=，得5b =，所以()35f x x x =-+．（2）由（1）知，()231f x x '=-，令()2310f x x '=->，解得x >x <；令()2310f x x '=-<，解得x <<．所以()f x 的增区间为,3⎛-∞ ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭,+，减区间为,33⎛- ⎝⎭．【点睛】本题考查已知切线求参数，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题. 19．（1）见解析；（2）0.4 【解析】【分析】(1)根据独立性检验求出()221406020402071.167 3.8418060100406K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，即得不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（2）利用古典概型求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率．【详解】（1）假设：观众性别与喜爱该演讲无关，由已知数据可求得，()221406020402071.167 3.8418060100406K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ∴ 不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（2）抽样比为616010=，样本中喜爱的观众有40×110=4名，不喜爱的观众有6﹣4=2名．记喜爱该演讲的4名男性观众为a ，b ，c ，d ，不喜爱该演讲的2名男性观众为1，2，则基本事件分别为：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，1），（a ，2），（b ，c ），（b ，d ），（b ，1），（b ，2），（c ，d ），（c ，1），（c ，2），（d ，1），（d ，2），（1，2）．其中选到的两名观众都喜爱该演讲的事件有6个，故其概率为P （A ）=60.415= 【点睛】本题主要考查独立性检验和古典概型，意在考查学生对这些知识的理解能力，掌握水平和应用能力.20．（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取AP 的中点E ，可证得四边形BCME 为平行四边形，从而得到//MC BE ，由线面平行判定定理可证得结论；（2）根据垂直关系可以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）如图，取AP 的中点E ，连接,BE EM .,E M 分别为,PA PD 的中点，1//2EM AD ∴，又//BC AD 且2AD BC =，//EM BC ∴，∴四边形BCME 为平行四边形，//BE CM ∴，又CM ⊄平面PAB ，BE ⊂平面PAB ，//MC ∴平面PAB .（2）由题意知：,,PA AB AD 两两垂直，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0A ，()0,2,0D，)C，0,1,2M ⎛ ⎝⎭，(P ， ()2,1,0AC ∴=，0,1,2AM ⎛= ⎝⎭，(AP =，设平面MAC 的法向量(),,n x y z =，则2020AC n x yAM n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令y =，则1x =-，2z =-，()1,2,2n ∴=--. PA ⊥平面ABCD ，AP ∴为平面ACD 的一个法向量，cos ,2AP nAP n AP n ⋅∴<>===⋅，二面角M AC D --为锐二面角，∴二面角M AC D --的余弦值为7. 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；考查学生的逻辑推理、运算和求解能力，属于常考题型.21．（1）x y c d =⋅适宜；（2）0.253.4710x y =⨯；（3）12千件产品．【解析】【分析】（1）根据散点图判断，x y c d =⋅适宜；（2）由x y c d =⋅，两边同时取常用对数得()lg lg lg lg x y c d c x d =⋅=+．设lg y v =，可得lg lg v c x d =+，根据表格数据、参考数据和参考公式求出y 关于x 的回归方程；（3）生产总成本=非原料总成本+原料总成本.写出生产总成本为()g x 的解析式，根据()g x 的单调性，可求产品数量x 的最大值.【详解】（1）根据散点图判断，x y c d =⋅适宜作为非原料总成本y 关于生产该产品的数量x 的回归方程类型．（2）由x y c d =⋅，两边同时取常用对数得()lg lg lg lg x y c d c x d =⋅=+．设lg y v =，∴lg lg v c x d =+，∵7214, 1.54,140i i x v x ====∑，∴7172221750.1274 1.547lg 0.2514074287i ii i i x v xv d xx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑．把(4,1.54)代入lg lg v c x d =+，得lg 0.54c =，∴ˆ0.540.25vx =+，∴ˆlg 0.540.25y x =+， ∴0.540.250.25ˆ10 3.4710x x y +⨯==，即y 关于x 的回归方程为0.25ˆ 3.4710x y =⨯．（3）设生产了x 千件该产品.则生产总成本为0.25() 3.4710101000x g x x =⨯+⨯⨯．又0.25() 3.471010000x g x x =⨯+在其定义域内单调递增，且3(12) 3.4710120000123470g =⨯+=，故最多能生产12千件产品．【点睛】本题考查非线性回归方程的求法，属于较难的题目.22．（Ⅰ）；（i ）98y x =-；（ii ）单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）（i ）把6k =代入函数解析式，求导，即可根据切点和斜率写出切线方程.（ii ）根据（i ）写出函数323()6ln 3g x x x x x=+-+()0x > ，求导判断函数的单调性和极值即可. （Ⅱ）欲证()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-，即证 ()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以把3()ln f x x k x =+及其导数代入并化简，再利用（i ）（ii ）中的结论即可.【详解】（Ⅰ）（i ）当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-．（ii ）依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x=-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x '=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x '-+=．令()0g x '>，解得1x >，令()0g x '<，解得01x <<，所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+．对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--⎡⎤⎣⎦()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭，① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--∈+∞．当1x >时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0t t t-->，因为21x ≥，323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-，所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-． ② 由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故32336ln 10t t t t-++->，③ 由①②③可得()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．所以，当3k ≥-时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．【点睛】本题考查了利用导数求切线方程，求函数的单调区间和极值，以及不等式恒成立问题，属于较难题.。

江苏省扬州中学2020届高三数学上学期11月考试试题

江苏省扬州中学2020届高三数学上学期11月考试试题一、填空题（每小题5分，计70分）1．已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则AB = ．2.设幂函数αkx x f =)(的图像经过点），（24，则=+αk ．3.已知复数2i 12++=i z （i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为 . 4. 若双曲线1422=+-my m x 的虚轴长为2，则实数m 的值为________． 5. 已知,x y R ∈,则“1a =”是直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行的条件（从“充分不必要"、“必要不充分”、“充分必耍”、“既不充分也不必要“中选择恰当的一个填空）.6. 已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则25+++x y x 的取值范围是__________．7..若5cos 26sin 0,,42ππαααπ⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α= ． 8.设函数()2xxf x e e x -=--，则不等式0)3()12(2≤++x f x f 的解集为 .9.已知直线l 与曲线()s i n f x x =切于点(,sin )(0)2A πααα<<,且直线l 与函数()y f x =的图象交于点(,sin )B ββ.若αβπ-=，则tan α的值为 .10.如图，在圆O ：224x y +=上取一点(1)A ，E F ，为y 轴上的两点，且AE AF =，延长AE ，AF 分别与圆交于点M N ，，则直线MN 的斜率为．11.若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点B A ,，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围（第10题）为 .12.在四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝2，DC →＝13AB →，AC 与BD 相交于点O ，E 是BD 的中点，AO →·AE →＝8，则AC →·BD →＝________．13.若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.14.给出函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，这里R x m b ∈,,，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，且函数⎩⎨⎧>≤=t x x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为________________．二、解答题（共6道题，计90分） 15、（本小题满分14分）如图，已知A 、B 、C 、D 四点共面，且CD =1，BC =2，AB =4，︒=∠120ABC ，772cos =∠BDC . （1）求DBC ∠sin ;（2）求AD.16.（本小题满分14分）已知圆)40(04222222≤<=-+-++a a a ay ax y x 的圆心为C ，直线m x y l +=:. （1）若4=m ，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；（2）若直线l 是圆心下方的切线，当a 在(]0,4的变化时，求m 的取值范围．17. （本小题满分14分）江苏省第十九届运动会在扬州举行，为此，扬州某礼品公司推出一系列纪念品，其中一个工艺品需要设计成如图所示的一个结构(该图为轴对称图形)，其中ABC ∆的支撑杆CD AB ,由长为3的材料弯折而成，AB 边的长为t 2，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,1t (BC AC ,另外用彩色线连结，此处不计)；支撑杆曲线AOB 拟从以下两种曲线中选择一种：曲线1C 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中，其表达式为x y cos 1-=)，此时记结构的最低点O 到点C 的距离为)(1t h ；曲线2C 是一段抛物线，其焦点到准线的距离为98，此时记结构的最低点O 到点C 的距离为)(2t h ．（1）求函数)(1t h ，)(2t h 的表达式；（2）要使得点O 到点C 的距离最大，应选用哪一种曲线？此时最大值是多少？18. （本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN的距离为，求椭圆方程．19. (本小题满分16分）若函数)(x f y =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使1)()(21=x f x f 成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数x x g sin )(=是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数12)(-=x x f 在定义域[m, n](m>0)上为“依赖函数”，求mn 的取值范围：（3）己知函数)34()()(2≥-=a a x x h 在定义域]4,34[上为“依赖函数”，若存在实数]4,34[∈x ，使得对任意的R t ∈,不等式4)()(2+-+-≥x t s t x h 都成立，求实数s 的最大值.20．（本小题满分16分）已知函数21()2ln 2f x x x ax a =+-∈，R ．（1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．数学Ⅱ(附加题)1、已知二阶矩阵A 有特征值4=-λ，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵A 对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵A ．2、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin )ρθθ=，设点P 是曲线22:19y C x +=上的动点，求P 到直线l 距离的最大值.3、现有一款智能学习APP，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频学习积分的概率分布表如表2所示．（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．4、数列满足且.（1）用数学归纳法证明：；（2）已知不等式对成立，证明：（其中无理数）.扬州中学高三数学月考 2019.11.1试题Ⅰ一、填空题（每小题5分，计70分）1.{1,1}-2.23 3.i -1 4.3=m 5.充分必耍6.[2，3]7.1-8.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21-1-，9.2π 10.解析：.由题意，取(0,2)M,kAM =因为AE AF =，所以kAN =，过原点所以1)N -，所以kMN = 11.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3333-，12. －323 解析：由DC →＝13AB →得DC∥AB，且DC ＝2，则△AOB∽△COD，所以AO →＝34AC →＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋13AB →＝34AD →＋14AB →.因为E 是BD 的中点，所以AE →＝12AD →＋12AB →，所以AO →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋12AB →＝38|AD →|2＋18|AB →|2＋12AD →·AB →＝32＋92＋12AD →·AB →＝8，所以AD →·AB →＝4，所以AC →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋13AB →·(AD →－AB →)＝|AD →|2－13|AB →|2－23AD →·AB →＝4－13×36－23×4＝－323.13.解析：()()2222211122x ty t y x y x yxy y ++-+++=≥++()01t <<12=，即15t =时()2212x y x y +++5=14.[－2，0)∪[4，＋∞)二、解答题（共6道题，计90分）15、16. 解析：（1）已知圆的标准方程是（x ＋a ）2＋（y －a ）2＝4a （0＜a ≤4），则圆心C 的坐标是（－a ，a ），半径为. 直线l 的方程化为：x －y ＋4＝0.则圆心C 到直线l |2－a |.设直线l 被圆C 所截得弦长为L ，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L ＝＝＝.∵0＜a ≤4，∴当a ＝3时，L 的最大值为（2）因为直线l 与圆C ＝，即|m －2a |＝又点C 在直线l 的上方，∴a ＞－a ＋m ，即2a ＞m .∴2a －m ＝m ＝)21－1.∵0＜a ≤4，∴0.∴m ∈1,8⎡--⎣17. 解析： (1)对于曲线C 1，因为曲线AOB 的表达式为y ＝1－cos x ，所以点B 的坐标为(t ，1－cos t)，所以点O 到AB 的距离为1－cos t. 因为DC ＝3－2t ，所以h 1(t)＝(3－2t)＋(1－cos t)＝－2t －cos t ＋4⎝⎛⎭⎪⎫1≤t≤32；对于曲线C 2，设C 2：x 2＝2py ，由题意得p ＝98，故抛物线的方程为x 2＝94y ，即y ＝49x 2，所以点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，49t 2，所以点O 到AB 的距离为49t 2.因为DC ＝3－2t ，所以h 2(t)＝49t 2－2t ＋3⎝⎛⎭⎪⎫1≤t≤32. (2)因为h′1(t)＝－2＋sin t<0，所以h 1(t)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上单调递减，所以当t ＝1时，h 1(t)取得最大值2－cos 1.因为h 2(t)＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫t －942＋34，1≤t≤32，所以当t ＝1时，h 2(t)取得最大值为139.因为2－cos 1≈1.46＞139，所以选用曲线C 1，且当t ＝1时，点O 到点C 的距离最大，最大值为2－cos 1.18. （1）因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=，又a 、0c >，所以2a c =，所以12c e a ==；（2）①过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，则11NF MFe NN MM ==，又2NF MF =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=，又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =；②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c cx c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c c x c y c c +=-+=，两式相减得220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =，可得08y c =，故直线MN的斜率为87644k c c ==--，直线MN的方程为4)6y x c =--60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c =2212015x y +=．解法二：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，故1224x x c -=，直线MN 的斜率显然存在，不妨设为k ，故其方程为(4)y k x c =-，与椭圆联立，并消去y 得：22222(4)143x k x c c c -+=，整理得222222(43)3264120k x ck x k c c +-+-=，（*）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，依题意⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ck x x k k c c x x k +=+-=+ 由⎧⎨⎩212212324324ckx x k x x c +=+-=解得⎧⎨⎩ 2122221644316443ck c x k ck cx k +=+-=+ 所以222222221641646412434343ck c ck c k c c k k k +--⨯=+++，解之得2536k =，即k =．直线MN的方程为4)6y x c =--60y +-= 原点O 到直线TMN的距离为d ==，41=，解得c =2212015x y +=． 19．解：(1) 对于函数()sin g x x =的定义域R 内存在16x π=，则2()2g x = 2x 无解故()sin g x x =不是“依赖函数”； …3分(2) 因为1()2x f x -=在[m ，n]递增，故f(m)f(n)=1，即11221,2m n m n --=+= (5)分由n>m>0，故20n m m =->>，得0<m<1，从而(2)mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈，……7分 (3)①若443a ≤<，故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值0，此时不存在2x，舍去；9分②若4a ≥故()()2f x x a =-在4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()4413f f ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得1a =(舍)或133a =……11分从而，存在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t∈R，有不等式()221343x t s t x ⎛⎫-≥-+-+ ⎪⎝⎭都成立，即2226133039t xt x s x ⎛⎫++-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，由22261334039x x s x ⎡⎤⎛⎫∆=--++≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ……13分得2532926433s x x ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭，由4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得265324339s x x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，又53239y x x =+在4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故当43x =时， max 532145393x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，……15分从而，解得，综上，故实数s 的最大值为4112．……16分 20.（1）当3a =时，函数21()2ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，．则2232()3x x f x x x x-+'=+-=，令()f x '0=得，1x =或2x =． ………………………………………………………2分列表：所以函数()f x 的极大值为5(1)2f =-；极小值为(2)2ln 24f =-． (4)分（2）依题意，切线方程为0000()()()(0)y f x x x f x x '=-+>，从而0000()()()()(0)g x f x x x f x x '=-+>，记()()()p x f x g x =-，则000()()()()()p x f x f x f x x x '=---在()0+∞，上为单调增函数，所以0()()()0p x f x f x '''=-≥在()0+∞，上恒成立，即0022()0p x x x x x '=-+-≥在()0+∞，上恒成立． (8)分法一：变形得()002()0x x x x --≥在()0+∞，上恒成立，所以002x x =，又00x >，所以0x = (10)分法二：变形得0022x x x x ++≥在()0+∞，上恒成立，因为2x x+=≥x =，所以002x x +，从而(200x ≤，所以0x = (10)分（3）假设存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点111()T x y ，，222()T x y ，，不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：111()()()y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：222()()()y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以12111222()()()()()().f x f x f x x f x f x x f x ''=⎧⎨''-=-⎩， (12)分即()()11212221111122222122212122ln 2ln .22x a x a x x x x ax x x a x x ax x x a x x ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪+--+-=+--+-⎪⎩，整理得，122211222112ln 2ln .22x x x x x x =⎧⎪⎨-=-⎪⎩， ………………………………………………14分消去2x 得，22112122ln022x x x +-=．① 令212x t =，由120x x <<与122x x =，得(01)t ∈，，记1()2ln p t t t t =+-，则222(1)21()10t p t t t t -'=--=-<，所以()p t 为(01)，上的单调减函数，所以()(1)0p t p >=．从而①式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点． ……………………………………………………………………………16分。

2020-2021学年江苏省扬州中学高三(上)月考数学试卷(10月份)

2020-2021学年江苏省扬州中学高三（上）月考数学试卷（10月份）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A.{1，4}B.{2，3}C.{9，16}D.{1，2}2.（单选题，5分）点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q 点的坐标为（）A. (−12，√32)B. (−√32，−12)C. (−12，−√32)D. (−√32，12)3.（单选题，5分）若幂函数f（x）的图象过点(√22，12)，则函数g(x)=f(x)e x的递增区间为（）A.（0，2）B.（-∞，0）∪（2，+∞）C.（-2，0）D.（-∞，-2）∪（0，+∞）4.（单选题，5分）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）A. f(x)=sin|x|2+cosxB. f(x)=sinx•ln|x|2+cosxC. f(x)=cosx•ln|x|2+cosxD. f(x)=cosxx5.（单选题，5分）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：M1(R+r)2 + M2r2=（R+r）M1R3．设α=rR ．由于α的值很小，因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3，则r的近似值为（）A. √M2M1RB. √M22M1RC. √3M2M13 RD. √M23M13 R6.（单选题，5分）已知函数f(x)={x，0≤x≤1，ln(2x)，1＜x≤2，若存在实数x1，x2满足0≤x1＜x2≤2，且f（x1）=f（x2），则x2-x1的最大值为（）A. e2B. e2−1C.1-ln2D.2-ln47.（单选题，5分）若2x-2y＜3-x-3-y，则（）A.ln（y-x+1）＞0B.ln（y-x+1）＜0C.ln|x-y|＞0D.ln|x-y|＜08.（单选题，5分）设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A，B，若函数y=2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（）A.不存在B.有且只有一条C.至少有两条D.有无数条9.（多选题，5分）5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出做出预测．由如图提供的信息可知（）A.运营商的经济产出逐年增加B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势10.（多选题，5分）下列说法正确的是（）A.“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件＜a＜2”是“（a-1）-2＜（2a-3）-2”的充要条件B.“ 43C.命题“∀x∈R，x2+1＜0”的否定是“∃x∈R，使得 x2+1≥0”D.已知函数 y=f （x）的定义域为 R，则“f （0）=0”是“函数 y=f （x）为奇函数”的必要不充分条件11.（多选题，5分）已知函数y=f（x）是奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=-f （1-x），当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x-1），以下4个结论正确的有（）A.函数 y=f （x）的图象关于点（1，0）成中心对称B.函数 y=f （x）是以2为周期的周期函数C.当x∈（-1，0）时，f （x）=-log2 （1-x）D.函数 y=f （|x|）在（-1，0）上单调递增12.（多选题，5分）关于函数f（x）=alnx+ 2x，下列判断正确的是（）A.当a=1时，f （x）≥ln2+1B.当a=-1时，不等式 f （2x-1）-f （x）＞0 的解集为(12，1)C.当a＞e时，函数 f （x）有两个零点D.当f （x）的最小值为2时，a=213.（填空题，5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（-x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，-3）处的切线斜率是___ ．14.（填空题，5分）函数y=cosx+cos2x的最小值是___ ．15.（填空题，5分）设a=log49，b=2-1.2，c= (827)−13，则将a，b，c按从大到小排序：___ ．16.（填空题，5分）若函数f（x）=x（x-1）（x-a），（a＞1）的两个不同极值点x1，x2满足f（x1）+f（x2）≤0恒成立，则实数a的取值范围为___ ．17.（问答题，10分）在① A⊆B；② ∁R B⊆∁R A；③ A∩B=A；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．问题：已知集合A={x|log2（x-1）＞1，x∈R}，B={x|（x-a）（x-4+a）＞0，x∈R}，是否存在实数a，使得______？18.（问答题，12分）已知f（α）= sin(5π−α)cos(π+α)cos(3π2+α)cos(α+π2)tan(3π−α)sin(α−3π2)．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos(3π2−α)=35，求f（α）的值．19.（问答题，12分）随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增．根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：i i 对应的机动车纯增数量y （单位：万辆）具有线性相关关系．（1）求机动车纯增数量（单位：万辆）关于时间变量x 的回归方程，并预测2025～2030年间该市机动车纯增数量的值；附：回归直线方程 y ̂=b ̂x +a ̂ 中斜和截距的最小二乘估计公式分别为： b̂=∑x i y i −nxyn i=1∑x i 2n i=1−nx2=i −x )i −y n i=1)∑(x −x )2n â=y −b̂x ．（2）该市交通管理部门为广解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：附：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，n=a+b+c+d ．20.（问答题，12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面AA 1C 1C⊥平面AA 1B 1B ，∠BAA 1=45°，CA=CB ，点O 在棱AA 1上，CO⊥AA 1．（1）求证：AA 1⊥BC ；（2）若BB 1= √2 AB=2，直线BC 与平面ABB 1A 1所成角为45°，D 为CC 1的中点，求二面角B 1-A 1D-C 1的余弦值．21.（问答题，12分）已知函数f（x）=x|2a-x|+2x，a∈R．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若存在实数a∈[-2，2]，使得关于x的方程f（x）-tf（2a）=0有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．22.（问答题，12分）若函数f（x）=e x-ae-x-mx（m∈R）为奇函数，且x=x0时f（x）有极小值f（x0）．（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；恒成立，求实数m的取值范围．（3）若f（x0）≥- 2e2020-2021学年江苏省扬州中学高三（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={x|x=n2，n∈A}，则A∩B=（）A.{1，4}B.{2，3}C.{9，16}D.{1，2}【正确答案】：A【解析】：由集合A中的元素分别平方求出x的值，确定出集合B，找出两集合的公共元素，即可求出交集．【解答】：解：根据题意得：x=1，4，9，16，即B={1，4，9，16}，∵A={1，2，3，4}，∴A∩B={1，4}．故选：A．【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.（单选题，5分）点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为（）A. (−12，√32)B. (−√32，−12)C. (−12，−√32)D. (−√32，12)【正确答案】：A【解析】：由题意推出∠QOx角的大小，然后求出Q点的坐标．【解答】：解：点P从（0，1）出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，所以∠QOx= 2π3，所以Q（cos 2π3，sin 2π3），所以Q (−12，√32)．故选：A．【点评】：本题通过角的终边的旋转，求出角的大小是解题的关键，考查计算能力，注意旋转方向．3.（单选题，5分）若幂函数f（x）的图象过点(√22，12)，则函数g(x)=f(x)e x的递增区间为（）A.（0，2）B.（-∞，0）∪（2，+∞）C.（-2，0）D.（-∞，-2）∪（0，+∞）【正确答案】：A【解析】：先求幂函数f（x），再利用导数判定函数g（x）的单调递增区间．【解答】：解：设幂函数f（x）=xα，它的图象过点（√22，12），∴（√22）α= 12，∴α=2；∴f（x）=x2；∴g（x）= x2e x ，g′（x）= x(2−x)e x，令g′（x）＞0，即2-x＞0，解得：0＜x＜2，故g（x）在（0，2）递增，故选：A．【点评】：本题考查了幂函数的定义以及利用导数判定函数的单调区间问题，是中档题．4.（单选题，5分）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（）A. f (x )=sin|x|2+cosx B. f (x )=sinx•ln|x|2+cosxC. f (x )=cosx•ln|x|2+cosx D. f (x )=cosx x【正确答案】：B【解析】：根据题意，依次分析选项中函数是否符合函数的图象，综合即可得答案．【解答】：解：根据题意，依次分析选项：对于A ， f (x )=sin|x|2+cosx，其定义域为R ，不符合题意；排除A ；对于C ，f （x ）= cosx•ln|x|2+cosx，其定义域为{x|x≠0}，有f （-x ）=cos (−x )ln|−x|2+cos (−x ) = cosx•ln|x|2+cosx=f （x ），即函数f （x ）为偶函数，其图象关于y 轴对称，不符合题意；排除C ，对于D ，f （x ）= cosxx，其定义域为{x|x≠0}，有f （-x ）=cos (−x )x =- cosx x=-f （x ），即函数f （x ）为奇函数，其图象关于原点对称，当x→+∞时，f （x ）→0，不符合题意；排除D ；故选：B ．【点评】：本题考查根据函数的图象选择解析式，注意结合函数的奇偶性、定义域等性质运用排除法进行分析，属于基础题．5.（单选题，5分）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： M 1(R+r )2+ M 2r 2 =（R+r ） M1R 3 ．设α= rR ．由于α的值很小，因此在近似计算中 3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3，则r 的近似值为（）A. √M2M1RB. √M22M 1RC. √3M2M 13RD. √M23M 13R【正确答案】：D【解析】：由α= rR．推导出 M 2M 1= 3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3，由此能求出r=αR= √M 23M 13R ．【解答】：解：∵α= rR ．∴r=αR ，r 满足方程： M 1(R+r )2 + M 2r 2 =（R+r ） M1R3 ． ∴11+2•r R +r 2R2•M 1 + R 2r2•M 2 =（1+ r R）M 1，把 α=r R代入，得： 1(1−α)2•M 1+1α2•M 2 =（1+α）M 1， ∴ M 2α2 =[（1+α）- 1(1−α)2 ]M 1=(1+α)3−1(1+α)2•M 1 =α(α2+3α+3)(1+α)2M 1， ∴ M2M 1=3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3， ∴r=αR= √M23M 13R ．故选：D ．【点评】：本题考查点到月球的距离的求法，考查函数在我国航天事业中的灵活运用，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题． 6.（单选题，5分）已知函数 f (x )={x ，0≤x ≤1，ln (2x )，1＜x ≤2，若存在实数x 1，x 2满足0≤x 1＜x 2≤2，且f （x 1）=f （x 2），则x 2-x 1的最大值为（） A. e 2B. e 2−1C.1-ln2D.2-ln4【正确答案】：B【解析】：画出函数图象得到x2-x1=x2-ln（2x2），令g（x）=x-ln（2x），x∈(1，e2]，根据函数的单调性求出其最大值即可．【解答】：解：画出函数f（x）的图象，如图示：结合f（x）的图象可知，因为x1=ln（2x2），所以x2∈(1，e2]，则x2-x1=x2-ln（2x2），令g（x）=x-ln（2x），x∈(1，e2]，则g′(x)=x−1x，所以g（x）在(1，e2]上单调递增，故g(x)max=g(e2)=e2−1，故选：B．【点评】：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，是一道常规题．7.（单选题，5分）若2x-2y＜3-x-3-y，则（）A.ln（y-x+1）＞0B.ln（y-x+1）＜0C.ln|x-y|＞0D.ln|x-y|＜0【正确答案】：A【解析】：方法一：由2x-2y＜3-x-3-y，可得2x-3-x＜2y-3-y，令f（x）=2x-3-x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），结合函数的单调性可得x，y的大小关系，结合选项即可判断．方法二：根据条件取x=-1，y=0，即可排除错误选项．【解答】：解：方法一：由2x-2y＜3-x-3-y，可得2x-3-x＜2y-3-y，令f（x）=2x-3-x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），所以x＜y，即y-x＞0，由于y-x+1＞1，故ln（y-x+1）＞ln1=0．方法二：取x=-1，y=0，满足2x-2y＜3-x-3-y，此时ln（y-x+1）=ln2＞0，ln|x-y|=ln1=0，可排除BCD．故选：A．【点评】：本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用，属于基础试题．8.（单选题，5分）设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A，B，若函数y=2x的图象上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则这样的直线l（）A.不存在B.有且只有一条C.至少有两条D.有无数条【正确答案】：B【解析】：设AB方程为y=m，根据△ABC是等边三角形计算m的值，得出结论．【解答】：解：根据题意，设直线l的方程为y=m，则A（log2m，m），B（log2m-1，m），AB=1，设C（x，2x），∵△ABC是等边三角形，∴点C到直线AB的距离为√32，∴m-2x= √32，∴x=log2（m- √32），又x= 12（log2m+log2m-1）=log2m- 12，∴log 2（m- √32 ）=log 2m- 12 =log 2 m √2∴m - √32 = m√2 ，解得m=2√3+√62，故而符合条件的直线l 只有1条．故选：B ．【点评】：本题考查了指数函数图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，属于中档题．9.（多选题，5分）5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出做出预测．由如图提供的信息可知（） A.运营商的经济产出逐年增加B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【正确答案】：ABD【解析】：根据统计图中的信息，逐个分析选项，即可判断出正误．【解答】：解：对于选项A：由图可知，运营商的经济产出逐年增加，所以选项A正确，对于选项B：由图可知，设备制造商的经济产出在2020～2023年间增长较快，后几年增长逐渐趋于平缓，所以选项B正确，对于选项C：由图可知，设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而2029年、2030年信息服务商在总经济产出中处于领先地位，所以选项C错误，对于选项D：由图可知，在2020～2025年间信息服务商与运营商的经济产出的差距不大，后几年中信息服务商的经济产出增长速度明显高于运营商的经济产出增长速度，两种差距有逐步拉大的趋势，所以选项D正确，故选：ABD．【点评】：本题主要考查了简单的合情推理，考查了统计图的应用，考查了学生逻辑思维能力，是基础题．10.（多选题，5分）下列说法正确的是（）A.“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件＜a＜2”是“（a-1）-2＜（2a-3）-2”的充要条件B.“ 43C.命题“∀x∈R，x2+1＜0”的否定是“∃x∈R，使得 x2+1≥0”D.已知函数 y=f （x）的定义域为 R，则“f （0）=0”是“函数 y=f （x）为奇函数”的必要不充分条件【正确答案】：ACD【解析】：直接利用充分条件和必要条件判定A和B的结论，直接利用命题的否定的应用判定C的结论，直接利用奇函数的性质判定D的结论．【解答】：解：对于A：当“a＞1”时，“a2＞1”成立，但是当“a2＞1”时，“a＞1或a＜-1”，故选项A正确．对于B：“（a-1）-2＜（2a-3）-2”的充要条件是：a-1＞2a-3，整理得a＜2，故选项B错误．对于C：命题“∀x∈R，x2+1＜0”的否定是“∃x∈R，使得 x2+1≥0”．故选项C正确．对于D：函数y=f （x）的定义域为R，当“f（0）=0”时，函数f（x）不一定为奇函数，但是，当函数f（x）为奇函数，则f（0）=0，故选项D正确．故选：ACD．【点评】：本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，奇函数的性质，命题的否定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.（多选题，5分）已知函数y=f（x）是奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=-f （1-x），当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x-1），以下4个结论正确的有（）A.函数 y=f （x）的图象关于点（1，0）成中心对称B.函数 y=f （x）是以2为周期的周期函数C.当x∈（-1，0）时，f （x）=-log2 （1-x）D.函数 y=f （|x|）在（-1，0）上单调递增【正确答案】：ABC【解析】：直接利用函数的周期确定B的结论，直接利用函数的对称性判定A的结论，直接利用函数的解析式的求法判定C的结论，直接利用函数的图象和偶函数的性质判定D的结论．【解答】：解：对于B：函数y=f（x）是奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1+x）=-f（1-x），整理得f（x+2）=f（x），所以函数为周期为2的函数，故B正确．对于C：由于0＜x＜1，所以2＜x+2＜3，由于x∈（2，3）时，f（x）=log2（x-1），所以f（x）=f（x+2）=log2（x+1），设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，由于f（x）=-f（-x）=-log2（-x+1），故C正确．对于A：根据函数的性质，函数的图象关于（1，0）对称，故A正确．对于选项D：函数 y=f （|x|）的图象是将函数y=f（x）的图象关于y轴对称，在（-1，0）上单调递减，故D错误．故选：ABC．【点评】：本题考查的知识要点：函数的性质，单调性，周期性，函数的解析式的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．12.（多选题，5分）关于函数f（x）=alnx+ 2，下列判断正确的是（）xA.当a=1时，f （x）≥ln2+1B.当a=-1时，不等式 f （2x-1）-f （x）＞0 的解集为(1，1)2C.当a＞e时，函数 f （x）有两个零点D.当f （x ）的最小值为2时，a=2 【正确答案】：ABD【解析】：对于A ，代入a 的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到函数的最小值即可，对于B ，代入a 的值，求出函数的导数，得到函数的单调性，问题转化为关于x 的不等式组，解出即可，对于C ，求出函数的单调性，求出函数的最小值，根据a 的范围判断最小值的范围即可判断，对于D ，由最小值是2，得到关于a 的方程，解出即可．【解答】：解：对于A ：a=1时，f （x ）=lnx+ 2x ，f′（x ）= x−2x 2 ，令f′（x ）＞0，解得：x ＞2，令f′（x ）＜0，解得：0＜x ＜2，故f （x ）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故f （x ）≥f （2）=ln2+1，故A 正确；对于B ：a=-1时，f （x ）=-lnx+ 2x，f′（x ）= −x−2x 2 ＜0， f （x ）在（0，+∞）递减，不等式f （2x-1）-f （x ）＞0，即f （2x-1）＞f （x ），故 {2x −1＞0x ＞02x −1＜x ，解得： 12＜x ＜1，故B 正确；对于C ：f′（x ）= a x- 2x2 =ax−2x 2， ∵a ＞e ，令ax-2＞0，解得：x ＞ 2a，令ax-2＜0，解得：0＜x ＜ 2a，故f （x ）在（0， 2a ）递减，在（ 2a ，+∞）递增，故f （x ）min =f （ 2a ）=aln 2a+ 22a=a （ln2-lna ）+a=aln 2e a，∵0＜ 2e a ＜2，故1＜ 2e a ＜2时，ln 2ea ＞0，f （x ）min ＞0，函数无零点，故C 错误；对于D ：结合C ，f （x ）min =aln 2e a=2，解得：a=e ，故D 正确；故选：ABD ．【点评】：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.（填空题，5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（-x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，-3）处的切线斜率是___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：由偶函数的定义可求得x＞0时，f（x）的解析式，求得导数，由导数的几何意义，代入x=1，计算可得所求值．【解答】：解：f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（-x）+3x，可得x＞0时，-x＜0，f（x）=f（-x）=lnx-3x，导数为f′（x）= 1x-3，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线斜率是k=1-3=-2．故答案为：-2．【点评】：本题考查函数的奇偶性和解析式的求法，以及导数的运用：求切线的斜率，考查转化思想和运算能力，属于中档题．14.（填空题，5分）函数y=cosx+cos2x的最小值是___ ．【正确答案】：[1]- 54【解析】：利用二倍角公式整理函数解析式，值函数的解析式关于cosx的一元二次函数，设cosx=t，函数的顶点为最低点，此时函数值为最小值．【解答】：解：y=cosx+cos2x=cosx+2cos2x-1，设cosx=t，则-1≤t≤1，函数f（t）min=f（- 14）= 12- 14-1=- 54，故答案为：- 54．【点评】：本题主要考查了二次函数的性质．考查了学生的换元思想的运用．15.（填空题，5分）设a=log49，b=2-1.2，c= (827)−13，则将a，b，c按从大到小排序：___ ．【正确答案】：[1]a＞c＞b【解析】：可以得出 log 49＞32＞1 ， (827)−13=32，2-1.2＜1，然后即可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】：解：∵ log 49＞log 48=log 4432=32＞1 ， (827)−13=32 ，2-1.2＜20=1，∴a ＞c ＞b ．故答案为：a ＞c ＞b ．【点评】：本题考查了对数的运算性质，分数指数幂的运算，对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．16.（填空题，5分）若函数f （x ）=x （x-1）（x-a ），（a ＞1）的两个不同极值点x 1，x 2满足f （x 1）+f （x 2）≤0恒成立，则实数a 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]a≥2【解析】：把x 1，x 2代入到f （x ）中求出函数值代入不等式f （x 1）+f （x 2）≤0中，在利用根与系数的关系化简得到关于a 的不等式，求出解集即可．【解答】：解：因f （x 1）+f （x 2）≤0，故得不等式x 13+x 23-（1+a ）（x 12+x 22）+a （x 1+x 2）≤0．即（x 1+x 2）[（x 1+x 2）2-3x 1x 2]-（1+a ）[（x 1+x 2）2-2x 1x 2]+a （x 1+x 2）≤0．由于f′（x ）=3x 2-2（1+a ）x+a ．令f′（x ）=0得方程3x 2-2（1+a ）x+a=0．因△=4（a 2-a+1）≥4a ＞0，故 {x 1+x 2=23(1+a )x 1x 2=a3 代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得 2a 2-5a+2≥0．解不等式得a≥2或a≤ 12 （舍去）因此，当a≥2时，不等式f （x 1）+f （x 2）≤0成立．【点评】：考查学生求导数及利用导数研究函数极值的能力，灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决数学问题的能力．17.（问答题，10分）在① A⊆B；② ∁R B⊆∁R A；③ A∩B=A；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．问题：已知集合A={x|log2（x-1）＞1，x∈R}，B={x|（x-a）（x-4+a）＞0，x∈R}，是否存在实数a，使得______？【正确答案】：【解析】：由集合知识可以解出集合A，对集合B进行分类求解，再利用集合的子集，交集，补集解出．【解答】：解：由log2（x-1）＞1得x-1＞2即x＞3，故A=（3，+∞）选① ：A⊆B当a＞2时，B=（-∞，4-a）∪（a，+∞），∵A⊆B∴2＜a≤3；当a＜2时，B=（-∞，a）∪（4-a，+∞），∵A⊆B∴4-a≤3即1≤a＜2；当a=2时，B=（-∞，2）∪（2，+∞），此时A⊆B综上：1≤a≤3选② ③ ：答案同①故答案为：1≤a≤3．【点评】：本题属于结构不良试题，补充条件后，试题完整，利用集合的相关知识解决，属于基础题．18.（问答题，12分）已知f（α）= sin(5π−α)cos(π+α)cos(3π2+α)cos(α+π2)tan(3π−α)sin(α−3π2)．（1）化简f（α）；（2）若α是第三象限角，且cos(3π2−α)=35，求f（α）的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用诱导公式，和同角三角函数的基本关系关系，可将f （α）的解析式化简为f （α）=-cosα；（2）由α是第三象限角，且 cos (3π2−α)=35 ，可得cosα=- 45 ，结合（1）中结论，可得答案．【解答】：解：（1）f （α）= sin (5π−α)cos (π+α)cos(3π2+α)cos(α+π2)tan (3π−α)sin(α−3π2)= sinα•(−cosα)•sinα(−sinα)•(−tanα)•cosα =-sinα•cosα•sinαsinα•sinα=-cosα （2）∵ cos (3π2−α) =-sinα= 35，∴sinα=- 35 ，又由α是第三象限角， ∴cosα=- 45 ，故f （α）=-cosα= 45【点评】：本题考查的知识点是三角函数的化简求值，熟练掌握和差角公式，诱导公式，同角三角函数的基本关系关系，是解答的关键．19.（问答题，12分）随着城市规模的扩大和人们生活水平的日益提高，某市近年机动车保有量逐年递增．根据机动车管理部门的统计数据，以5年为一个研究周期，得到机动车每5年纯增数据情况为：i i 对应的机动车纯增数量y （单位：万辆）具有线性相关关系．（1）求机动车纯增数量（单位：万辆）关于时间变量x 的回归方程，并预测2025～2030年间该市机动车纯增数量的值；附：回归直线方程 y ̂=b ̂x +a ̂ 中斜和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑x i y i −nxyni=1∑xi 2n i=1−nx2=i −x )i −y ni=1)∑(x −x )2n a ̂=y −b ̂x ．（2）该市交通管理部门为广解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：附：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，n=a+b+c+d ．【正确答案】：【解析】：（1）由已知求得 b ̂ 与 a ̂ 的值，可得线性回归方程，取x=7求得y 值得结论；（2）求出K 2的值，结合临界值表得结论．【解答】：解：（1） x =1+2+3+4+55=3 ， y =3+6+9+15+275=12 ，∑x i 5i=1y i =1×3+2×6+3×9+4×15+5×27 =237．b ̂=i 5i=1i −5xy∑x 25−5(x )2= 237−5×3×1255−45=5.7 ，a ̂=y −b̂x =12−5.7×3=−5.1 ，则y 关于x 的线性回归方程为 y ̂=5.7x −5.1 ．取x=7，可得 y ̂=5.7×7−5.1=34.8 ．故预测2025～2030年间该市机动车纯增数量的值约为34.8万辆；（2）根据2×2列联表，计算可得 K 2=220×(90×40−20×70)2110×110×160×60=556≈9.167＞6.635， ∴有99%的把握认为“对限行的意见与是拥有私家车”有关．【点评】：本题考查线性回归方程的求法，考查独立性检验的应用，考查计算能力，是中档题． 20.（问答题，12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面AA 1C 1C⊥平面AA 1B 1B ，∠BAA 1=45°，CA=CB ，点O 在棱AA 1上，CO⊥AA 1．（1）求证：AA 1⊥BC ；（2）若BB 1= √2 AB=2，直线BC 与平面ABB 1A 1所成角为45°，D 为CC 1的中点，求二面角B 1-A 1D-C 1的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）由平面AA 1C 1C⊥平面AA 1B 1B ，推出OC⊥平面AA 1B 1B ，故OC⊥OB ；易证Rt△AOC≌Rt△BOC ，故OA=OB ，从而得AA 1⊥OB ，再由线面垂直的判定定理得证；（2）以O 为原点，OA 、OB 、OC 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，由（1）知，OC⊥平面AA 1B 1B ，故∠CBO 为直线BC 与平面ABB 1A 1所成角，可得OA=OB=OC=1，写出B 、A 1、B 1、D 的坐标，根据法向量的性质求得平面A 1B 1D 的法向量 m ⃗⃗ ，由OB⊥平面AA 1C 1C ，知平面A 1C 1D 的一个法向量 n ⃗ = OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由cos ＜ m ⃗⃗ ， n ⃗ ＞= m ⃗⃗⃗ •n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |即可得解．【解答】：（1）证明：∵平面AA 1C 1C⊥平面AA 1B 1B ，平面AA 1C 1C∩平面AA 1B 1B=AA 1，OC⊥AA 1，∴OC⊥平面AA 1B 1B ， ∴OC⊥OB ，∵CA=CB ，OC=OC ，∠COA=∠COB=90°， ∴Rt△AOC≌Rt△BOC ， ∴OA=OB ， ∵∠BAA 1=45°，∴∠ABO=∠BAA 1=45°，∠AOB=90°，即AA 1⊥OB ，又OC⊥AA 1，OB∩OC=O ，OB 、OC⊂平面BOC ， ∴AA 1⊥平面BOC ， ∴AA 1⊥BC ．（2）解：以O 为原点，OA 、OB 、OC 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知，OC⊥平面AA 1B 1B ， ∵直线BC 与平面ABB 1A 1所成角为45°， ∴∠CBO=45°，∵AB= √2 ，∴OA=OB=OC=1，∴B （0，1，0），A 1（-1，0，0），B 1（-2，1，0），D （-1，0，1）， ∴ A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，1）， B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，-1，1），设平面A 1B 1D 的法向量为 m ⃗⃗ =（x ，y ，z ），则 {m ⃗⃗ •A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ •B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即 {z =0x −y +z =0 ，令x=1，则y=1，z=0，所以 m ⃗⃗ =（1，1，0），∵OB⊥平面AA 1C 1C ，∴平面A 1C 1D 的一个法向量 n ⃗ = OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，0）， ∴cos ＜ m ⃗⃗ ， n ⃗ ＞= m⃗⃗⃗ •n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |= √2×1= √22 ，由图可知，二面角B 1-A 1D-C 1为锐角，故二面角B 1-A 1D-C 1的余弦值为 √22 ．【点评】：本题考查空间中线与面的位置关系、二面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）已知函数f （x ）=x|2a-x|+2x ，a∈R ．（1）若函数f （x ）在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若存在实数a∈[-2，2]，使得关于x 的方程f （x ）-tf （2a ）=0有3个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）写出f （x ）的分段函数，求出对称轴方程，由二次函数的单调性，可得a-1≤2a ，2a≤a+1，解不等式即可得到所求范围；（2）方程f （x ）-tf （2a ）=0的解即为方程f （x ）=tf （2a ）的解．讨论 ① 当-1≤a≤1时， ② 当a ＞1时， ③ 当a ＜-1时，判断f （x ）的单调性，结合函数和方程的转化思想，即可得到所求范围．【解答】：解：（1）∵ f (x )={x 2+(2−2a )x ，x ≥2a−x 2+(2+2a )x ，x ＜2a 为增函数，由于x≥2a 时，f （x ）的对称轴为x=a-1； x ＜2a 时，f （x ）的对称轴为x=a+1， ∴ {a −1≤2a 2a ≤a +1解得-1≤a≤1；（2）方程f （x ）-tf （2a ）=0的解即为方程f （x ）=tf （2a ）的解． ① 当-1≤a≤1时，f （x ）在R 上是增函数，关于x 的方程f （x ）=tf （2a ）不可能有3个不相等的实数根． ② 当1＜a≤2时，2a ＞a+1＞a-1，∴f （x ）在（-∞，a+1）上单调递增，在（a+1，2a ）上单调递减，在（2a ，+∞）上单调递增，所以当f （2a ）＜tf （2a ）＜f （a+1）时，关于x 的方程f （x ）=tf （2a ）有3个不相等的实数根，即4a ＜t•4a ＜（a+1）2． ∵a ＞1，∴ 1＜t ＜14(a +1a +2) ．设 ℎ(a )=14(a +1a +2) ，因为存在a∈[-2，2]，使得关于x 的方程f （x ）=tf （2a ）有3个不相等的实数根，∴1＜t ＜h （a ）max ．又h （a ）在（1，2]递增，所以 ℎ(a )max =98，∴ 1＜t ＜98． ③ 当-2≤a ＜-1时，2a ＜a-1＜a+1，所以f （x ）在（-∞，2a ）上单调递增，在（2a ，a-1）上单调递减，在（a-1，+∞）上单调递增，所以当f （a-1）＜tf （2a ）＜f （2a ）时，关于x 的方程f （x ）=tf （2a ）有3个不相等的实数根，即-（a-1）2＜t•4a ＜4a ．∵a ＜-1，∴ 1＜t ＜−14(a +1a−2) ．设 g (a )=−14(a +1a −2) ，因为存在a∈[-2，2]，使得关于x 的方程f （x ）=tf （2a ）有3个不相等的实数根，所以1＜t ＜g （a ）max ．又可证 g (a )=−14(a +1a −2) 在[-2，-1）上单调递减，所以 g (a )max =98 ，所以 1＜t ＜98 ．．综上，1＜t＜98【点评】：本题考查分段函数的单调性的判断和运用，注意运用二次函数的对称轴和区间的关系，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及函数方程的转化思想的运用，考查运算化简能力，属于中档题．22.（问答题，12分）若函数f（x）=e x-ae-x-mx（m∈R）为奇函数，且x=x0时f（x）有极小值f（x0）．（1）求实数a的值；（2）求实数m的取值范围；恒成立，求实数m的取值范围．（3）若f（x0）≥- 2e【正确答案】：【解析】：（1）依题意，f（x）+f（-x）=0在定义域上恒成立，由此建立方程，解出即可；（2）求导后分m≤2及m＞2讨论即可；（3）可知e x0+e−x0=m，进而得到f（x0），研究其单调性，结合已知可得x0≤1，由此可求得实数m的取值范围．【解答】：解：（1）由函数f（x）为奇函数，得f（x）+f（-x）=0在定义域上恒成立，∴e x-ae-x-mx+e-x-ae x+mx=0，化简可得（1-a）（e x+e-x）=0，故a=1；，（2）由（1）可得f（x）=e x-e-x-mx，则f′(x)=e x+e−x−m=e2x−me x+1e x① 当m≤2时，由于e2x-me x+1≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故不存在极小值；② 当m＞2时，令e x=t，则方程t2-mt+1=0有两个不等的正根t1，t2（t1＜t2），故可知函数f（x）=e x-e-x-mx在（-∞，lnt1），（lnt2，+∞）上单调递增，在（lnt1，lnt2）上单调递减，即在lnt2出取到极小值，所以，实数m的取值范围为（2，+∞）；（3）由x0满足e x0+e−x0=m代入f（x）=e x-e-x-mx，消去m得f(x0)=(1−x0)e x0−(1+x0)e−x0，构造函数h（x）=（1-x）e x-（1+x）e-x，则h′（x）=x（e-x-e x），当x≥0时，e−x−e x=1−e2xe x≤0，故当x≥0时，h′（x）≤0恒成立，故函数h（x）在[0，+∞）上单调减函数，其中ℎ(1)=−2e ，则f(x0)≥−2e，可转化为h（x0）≥h（1），故x0≤1，由e x0+e−x0=m，设y=e x+e-x，可得当x≥0时，y′=e x-e-x≥0，∴y=e x+e-x在（0，1]上递增，故m≤e+1e，综上，实数m的取值范围为(2，e+1e]．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，同时也涉及了奇函数的定义，考查转化思想及逻辑推理能力，属于中档题．。

扬州中学2020-2021学年高三年级阶段性测试答案10.5(1)

江苏省扬州中学2020-2021学年高三年级阶段性测试数学1—5.ACABD 6—8.BAB9．ABD 10.ACD 11.ABC 12. ABD 13.2- 14. 98- 15. a ＞c ＞b 16． 2a ≥17.解：由2log (1)1x ->得12x ->即3x >，故()3+A =∞，选①：A B ⊆当2a >时，()(),4,,B a a =-∞-+∞23A B a ⊆∴<≤；当2a <时，()(),4,,B a a =-∞-+∞43A B a ⊆∴-≤即12a ≤<；当2a =时，()(),22,,B =-∞+∞此时A B ⊆综上：13a ≤≤ 选②③：答案同①18．解：（1）()()()()()()()3sin 5cos cos sin cos sin 2cos 3sin tan cos cos tan 3sin 22f ππαπαααααααππααααπαα⎛⎫-++ ⎪-⎝⎭===---⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）α是第三象限角3+22,2k k k Z ππαππ∴<<+∈,7522,663k k k Z πππαππ∴+<+<+∈，又63cos 05πα⎛⎫+=-<⎪⎝⎭，所以7322,662k k k Z πππαππ∴+<+<+∈，所以sin 654πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭故()cos cos 66fππααα⎡⎤⎛⎫=-=-+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3414525210⎛⎫⎛⎫=----⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19. 解：（1）由所以3x =，12y =，51132639415527237i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑.所以1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑()2222222375312575.755451234553-⨯⨯===-++++-⨯. 因为y bx a =+过点(),x y ，所以 5.7y x a =+，5.1a =-，所以 5.7 5.1y x =-.2025~2030年时，7x =，所以 5.77 5.134.8y =⨯-=，所以2025~2030年间，机动车纯增数量的值约为34.8万辆.（2）根据列联表，计算得()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++的观测值为2220(90402070)559.167110110160606k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，556.6356>，所以有99%的把握认为“对限行的意见与是否拥有私家车有关”.20. 解：（1），当时，的对称轴为：；当时，的对称轴为：；∴当时，在R 上是增函数，即时，函数在上是增函数；（2）方程的解即为方程的解．①当时，函数在上是增函数，∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根； ②当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，∵∴．设，∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，∴，又可证在上单调增∴∴；③当时，即，∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，∵∴，设∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，∴，又可证在上单调减∴∴；综上：．21．（1）因为平面平面，所以平面，故，又因为，，，所以，故，11AA C C⊥11AA B B1CO AA⊥CO⊥11AA B B CO OB⊥CA CB=CO CO=90COA COB∠=∠=︒Rt AOC Rt BOC∆≅∆OA OB=因为，所以，又因为，所以平面，故.（2）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，因为平面，所以是直线与平面所成角，故，所以，，，，，，，，设平面的法向量为，则，所以，令，得，因为平面，所以为平面的一条法向量，，，所以二面角的余弦值为. 22. 解：（1）方法一：由（1）可得f (x )＝e x－e －x－mx ，所以f '(x )＝e x＋e －x－m ＝e 2x －m e x ＋1e x．①当m ≤2时，由于e 2x －m e x ＋1≥0恒成立，145A AB ∠=︒1AA OB ⊥1AA CO ⊥1AA ⊥BOC 1AA BC ⊥O OA OB OC x y z O xyz -CO ⊥11AA B B CBO ∠BC 11AA B B 45CBO ∠=︒AB =1AO BO CO ===()1,0,0A ()0,1,0B ()0,0,1C ()11,0,0A -()12,1,0B -()1,0,1D -11A B D ()111,,n x y z =1100n A D n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111100z x y z =⎧⎨-+=⎩11x =()1,1,0n =OB ⊥11AAC C OB 11AC D ()0,1,0OB =2cos ,2n OB n OB n OB⋅==⋅111B A D C --即f '(x )≥0恒成立，故不存在极小值．②当m ＞2时，令e x ＝t ，则方程t 2－mt ＋1＝0有两个不等的正根t 1，t 2 (t 1＜t 2)，故可知函数f (x )＝e x －e －x －mx 在(－∞，ln t 1)，(ln t 2，＋∞)上单调递增，在(ln t 1，ln t 2)上单调递减，即在ln t 2处取到极小值，所以，m 的取值范围是(2，＋∞)．方法二：由（1）可得f (x )＝e x －e －x －mx ，令g (x )＝f '(x )＝e x ＋e －x －m ，则g′ (x )＝e x－e －x＝e 2x －1ex ．故当x ≥0时，g′(x )≥0；当x ＜0时，g′(x )＜0，故g (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，所以g (x )min ＝g (0)＝2－m ． ①若2－m ≥0，则g (x )≥0恒成立，所以f (x )单调递增，此时f (x )无极值点． ②若2－m ＜0，即m ＞2时，g (0)＝2－m ＜0．取t ＝ln m ，则g (t )＝1m ＞0．又函数g (x )的图象在区间[0，t ]上不间断，所以存在x 0∈ (0，t )，使得 g (x 0)＝0．又g (x )在(0，＋∞)上递增，所以x ∈(0，x 0)时，g (x )＜0，即f '(x )＜0；x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )＞0，即f '(x )＞0，所以f (x 0)为f (x )极小值，符合题意．所以，m 的取值范围是(2，＋∞)．（2）由x 0满足e x 0＋e－x 0＝m ，代入f (x )＝e x －e －x －mx ,消去m ，可得f (x 0)＝(1－x 0)e x 0－(1＋x 0)e －x 0．构造函数h (x )＝(1－x )e x －(1＋x )e －x ，所以h′(x )＝x (e －x －e x )．当x >0时，e －x－e x＝1－e 2xex ≤0，所以当x >0时，h′(x )≤0恒成立，故h (x )在(0，＋∞)上为单调减函数，其中h (1)＝－2e ,则f (x 0)≥－2e 可转化为h (x 0)≥h (1)，故0<x 0≤1．由e x 0＋e－x 0＝m ，设y ＝e x ＋e －x ，可得当x >0时，y’＝e x －e －x ≥0，所以y ＝e x ＋e －x 在(0，1]上递增，故m ≤e ＋1e ．综上，m 的最大值为e ＋1e．。

扬州中学高三年级质量检测试题化学

扬州中学高三年级质量检测试题化学 20120902本试卷分试题卷和答题卡两部分。

试题卷1至8页。

共120分。

考试时间100分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共40 分）注意事项:1、答卷前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、学号、考试号填在答题卡的密封线内。

2、将答案填在答题卡相应的位置上。

在试卷上答题无效。

3．考试结束，请将答题卡交给监考人员。

可能用到的相对原子质量：H ：1 C ：12 N ：14 O ：16 Na ：23 P ：31 S ：32 Cl ：35.5 Ca ：40 Br ：80 一、选择题（本题包括10小题，每小题2分，共20分。

每小题只有一个选项符合题意。

）1．为实现“绿色奥运”，下列环保建议中你认为可以采纳的是 ①用天然气代替汽油和柴油作为发动机燃料 ②开发生产无汞电池 ③提倡使用一次性发泡塑料餐具和塑料袋 ④分类回收垃圾 ⑤开发利用无磷洗涤剂A ．①③④B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ．全部2．下列对生产、生活有关化学问题的分析正确的是 A ．医疗上进行胃部造影前，患者服用的“钡餐”是BaCO 3等不溶于水的物质B ．铝合金的大量使用归功于人们能用焦炭等还原剂从氧化铝中获取铝C ．“百炼成钢”的化学含义是使用氧化剂提高生铁中碳的含量D ．液氯罐中的液氯泄漏时，可将其移入水塘中，并向水塘中加入生石灰3．居室装修用石材的放射性常用a 22688R 作为标准，发现Ra 元素的居里夫人(Marie Curie)曾两度获得诺贝尔奖。

下列叙述中正确的是A ．一个a 22688R 原子中含有138个中子B ．Ra 元素位于元素周期表中第六周期ⅡA 族C ．RaCl 2的熔点比CaCl 2高D ．Ra(OH)2是一种两性氢氧化物 4．下列物质提纯的方法正确的是A ．除去混在NO 2中的NO ：将气体与足量O 2混合B ．除去混在CO 2中的SO 2：将气体依次通过足量酸性KMnO 4溶液和浓硫酸C ．除去KCl 溶液中的K 2CO 3：加入过量BaCl 2溶液后过滤D ．除去乙酸中混有的乙醇：加入生石灰后蒸馏 5．下列说法正确的是A ．胶体区别于其他分散系的本质特征是分散质微粒直径在1 nm ～100 nm 之间B ．NH 3的沸点高于PH 3，是因为N －H 键能大于P －H 键能C ．金属阳离子只存在于离子晶体中D ．由非金属元素组成的化合物一定是共价化合物6．阿伏加德罗常数约为6.02×1023 mol -1，下列说法中正确的是 A ．4 g 重水(D 2O)中所含质子数为0.2×6.02×1023 B ．4.48 L N 2与CO 的混合物所含分子数为0.2×6.02×1023 C ．6.2 g 白磷与红磷的混合物中所含磷原子数为0.2×6.02×1023D ．12.5 mL 16 mol·L -1浓硫酸与足量铜反应，转移电子数为0.2×6.02×1023 7．已知25℃、101 kPa 下，石墨、金刚石燃烧的热化学方程式分别为： C(石墨，s)+O 2(g)===CO 2(g)；△H =-393.51 kJ· mol -1 C(金刚石，s)+O 2(g)===CO 2(g)；△H =-395.41 kJ·mol -1 据此推理所得到的下列结论中，正确的是A ．金刚石的燃烧热比石墨的燃烧热小B ．由石墨制备金刚石是吸热反应C ．石墨的能量比金刚石的能量高D ．石墨晶体中碳碳键的强度小于金刚石 8．现有t ℃时质量分数为a %的KNO 3溶液m g ，将其分成质量比为1∶2的甲、乙两份溶液。

2020-2021学年江苏扬州高三上数学月考试卷

2020-2021学年江苏扬州高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知全集U ={x ∈Z|1≤x ≤6}，A ={2,3,4}，B ={1,3,5}，则(∁U A )∩B =( ) A.{1,5} B.{1,5,6} C.{3,6} D.{3,4,5}2. 设a =(13)2，b =213，c =log 213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.b >c >a B.c >b >a C.a >b >c D.b >a >c3. log m 2=a ，log m 3=b ，则m 2a+b的值为( ) A.6 B.7C.12D.184. “b =2”是“函数f (x )=(2b 2−3b −1)x α （α为常数）为幂函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5. 函数f(x)=lg (|x|−1)的大致图象是( )A. B. C. D.6. 设函数f(x)=12x 2−9ln x 在区间[a −1, a +1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.(−∞,2] B.(1,2] C.(0,3] D. (4,+∞)7. 已知函数f (x )对任意的x ∈R 都有f (x +2)−f (x )=f (1)．若函数y =f (x +2)的图象关于x =−2对称，且f (0)=8，则f (99)+f (100)=( ) A.0 B.4 C.5 D.88. 定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足：①对于任意的x ，y ∈(0,+∞)，都有f (x ⋅y )=f (x )+f (y )；②当x >1时，f (x )>0；③f(√6)=1，则关于x 的不等式f (x )−f (15−x )≥2的解集是( )A.[2，3]B.[−√2，−1]∪[0，√2]C.[√2，+∞)D.(0，2]二、多选题若(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，x ∈R ，则( ) A.a 2=180B.|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a 10|=310C.a 1+a 2+⋯+a 10=1D.a 12+a 222+a 323+⋯+a10210=−1已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布N (100,100)，其中90分为及格线，120分为优秀线.下列说法正确的是( )附：随机变量ξ服从正态分布N (μ,σ2)，则P (μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P (μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P (μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974． A.该市学生数学成绩的期望为100 B.该市学生数学成绩的标准差为100 C.该市学生数学成绩及格率超过0.8D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等2020年“七夕”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/ℎ)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是( )A.这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5B.在该服务区任意抽取一辆车，车速超过80km/ℎ的概率为0.35C.若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为1415 D.若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[60,65)内的概率为13下列命题中，正确的命题的是( )A.已知随机变量服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=23B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)=p，则P(−1<ξ≤0)=12−pD.某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X∼B(10,0.8)，则当X=8时概率最大三、填空题设L为曲线C:y=ln xx在点(1, 0)处的切线，则L的方程为________．已知函数f(x)={(1−2a)x+3a,x<1，2x−1，x≥1的值域为R，则实数a的取值范围为________．若函数f(x)=(1−x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=−2对称，则f′(x)=________.给出以下四个结论：①若函数f(2x)的定义域为[1，2]，则函数f(x2)的定义域是[4，8]；②函数f(x)=log a(2x−1)−1（其中a>0，且a≠1）的图象过定点(1，0)；③当a=0时，幂函数y=x a的图象是一条直线；④若log a12>1，则a的取值范围是(12，1)；⑤若函数f(x)=lg(x2−2ax+1+a2)在区间(−∞，1]上单调递减，则a的取值范围是[1，+∞). 其中所有正确结论的序号是________.四、解答题已知函数f(x)=√x+1x−2的定义域为集合A，函数g(x)=√x2−(2a+1)x+a2+a的定义域为集合B．(1)求集合A，B；(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(0, f(0))处的切线是l:2x−y+3=0．(1)求b，c的值；(2)若f(x)在(0, +∞)上单调递增，求a的取值范围．精诚中学团委组织了“古典诗词”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生（男女各30名），将其成绩分成六组[40,50),[50,60），… [90,100]，其部分频率分布直方图如图所示．(1)求成绩在[70,80)的频率，补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的众数和中位数；(2)从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率；(3)我们规定学生成绩大于等于80分时为优秀，经统计男生优秀人数为4人，补全下面表格，并判断是否有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关？K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)如图，已知正方形ABCD和矩形BDEF所在的平面互相垂直，AC交BD于O点，M为EF的中点，BC=√2，BF=1.(1)求证：BM//平面ACE；(2)求二面角B−AF−C的大小．已知a为常数，且a≠0，函数f(x)=−ax+2+ax ln x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a=1时，若直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[1，e])有公共点，求t的取值范围．e+a2x+a ln x，实数a>0．已知函数f(x)=2x(1)讨论函数f(x)在区间(0, 10)上的单调性；(2)若存在x∈(0, +∞)，使得关于x的不等式f(x)<2+a2x成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏扬州高三上数学月考试卷一、选择题 1.【答案】 A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题．【解答】解：依题意得U ={1,2,3,4,5,6}，所以∁U A ={1,5,6}，所以(∁U A )∩B ={1,5}．故选A ． 2.【答案】 D【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】本题考查了利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题．【解答】解：∵ a =(13)2=19， b =213>20=1， c =log 213<log 21=0， ∴ b >a >c ．故选D ． 3. 【答案】 C【考点】对数的运算性质【解析】本题考查指对数互化解决指数幂运算问题.将真数化为底数的指数幂的形式进行运算是解题关键．【解答】解：∵ log m 2=a ，log m 3=b ，∴ m a=2，m b=3，∴ m 2a+b =m 2a m b =(m a )2m b =22×3=12．故选C ．4.【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题．【解答】解：∵ 当函数f (x )=(2b 2−3b −1)x α为幂函数时，2b 2−3b −1=1，解得b =2或−12，∴ “b =2”是“函数f (x )=(2b 2−3b −1)x a 为幂函数”的充分不必要条件．故选A ． 5. 【答案】 B【考点】对数函数的图象与性质【解析】利用特殊值法进行判断，先判断奇偶性；【解答】解：∵ 函数f(x)=lg (|x|−1)，∴ f(−x)=lg (|x|−1)=f(x)，f(x)是偶函数. 又当x =1.1时，y <0，故可排除ACD . 故选B . 6.【答案】 B【考点】已知函数的单调性求参数问题利用导数研究函数的单调性【解析】首先求出函数的单调递减区间，然后结合数轴分析求出m 的范围即可．【解答】解：∵ f(x)=12x 2−9ln x ， ∴ 函数f(x)的定义域是(0, +∞)， f ′(x)=x −9x ， ∵ x >0，∴ 由f ′(x)=x −9x ≤0，得0<x ≤3．∵函数f(x)=12x2−9ln x在区间[a−1, a+1]上单调递减，∴{a−1>0,a+1≤3,解得1<a≤2．故选B．7.【答案】D【考点】抽象函数及其应用【解析】本题主要考查利用函数的奇偶性及周期性，求抽象函数的值，同时考查函数的图象的平移变换，属于中档题．【解答】解：因为y=f(x+2)的图象关于直线x=−2对称，所以y=f(x)的图象关于直线x=0对称，即f(x)为偶函数．因为f(x+2)−f(x)=f(1)，所以f(−1+2)−f(−1)=f(1).又f(−1)=f(1)，所以f(1)=0，可得f(x+2)=f(x)，所以f(x)的最小正周期为2，所以f(99)=f(1)=0，f(100)=f(0)=8，所以f(99)+f(100)=8．故选D．8.【答案】A【考点】函数新定义问题抽象函数及其应用函数单调性的判断与证明【解析】证明函数单调递增，f(6)=f(√6)+f(√6)=2，变换不等式为f(x)≥f(65−x)，利用函数单调性解得答案．【解答】解：设0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)=f(x2x1⋅x1)−f(x1)=f(x2x1)>0，即函数在(0，+∞)上单调递增．∵ f(√6)=1，∴ f(6)=f(√6)+f(√6)=2．∵ f(x)−f(15−x)≥2，∴ f(x)≥f(15−x )+f(6)=f(65−x)，故满足{x>0，65−x>0，x≥65−x，解得x∈[2，3]．故选A．二、多选题【答案】A,B,D【考点】二项展开式的特定项与特定系数二项式系数的性质【解析】本题主要考查二项式的通项，二项式系数的和，还考查了赋值法的应用，属于中档题．【解答】解：A，因为(2x−1)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，所以有C108(2x)2(−1)8=180x2，所以a2=180，故A正确；B，因为(2x+1)10=|a0|+|a1|x+|a2|x2+⋯+|a10|x10，令x=1，得|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a10|=310，故B正确；C，令x=0，得a0=1，令x=1得：a0+a1+a2+⋯+a10=1，所以a1+a2+⋯+a10=0，故C错误，D，令x=12，得a0+a12+a222+a323+⋯+a10210=0，所以a12+a222+a323+⋯+a10210=−1，故D正确．故选ABD．【答案】A,C【考点】正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】解：因为学生的数学成绩X服从正态分布N(100,100)，所以该市学生的数学成绩的期望为100，标准差为10，故A正确，B错误；P(X≥90)=1−P(X<90)=1−12[1−P(90<X<110)]=0.8413，故该市学生数学成绩及格率超过0.8，故C正确；P(X<90)=12[1−P(90<X<110)]=0.1587，P(X≥120)=12[1−P(80<X<120)]=0.0228，故该市学生数学成绩不及格人数和优秀的人数不相等，故D错误.故选AC.【答案】 A,B,C 【考点】用频率估计概率众数、中位数、平均数古典概型及其概率计算公式【解析】众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值可判断A ；用频率估计概率可判断B ；在C 中，由题可知，车速在[60,65)内的车辆数为2，车速在[65,70)内的车辆数为4，运用古典概型的概率计算公式即可判断C 、D ．【解答】解：由题图可知，众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值75+802=77.5，故A 正确；车速超过80km/ℎ的频率为0.05×5+0.02×5=0.35，用频率估计概率知P =0.35，故B 正确；由题可知，车速在[60,65)内的车辆数为2，车速在[65,70)内的车辆数为4，运用古典概型求概率得，至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为P =1−C 22C 62=1−115=1415，所以车速都在[60,65)内的概率为115，故C 正确，D 错误. 故选ABC ．【答案】 B,C,D 【考点】二项分布与n 次独立重复试验的模型正态分布的密度曲线命题的真假判断与应用【解析】由二项分布、独立重复试验、正态分布逐个进行判断. 【解答】解：可得，E (X )=np =30，D (X )=np (1−p )=20，解得p =13，所以A 错误；根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一常数后，方差恒不变，所以B 正确；由正态分布的图象的对称性可得， P (−1<ξ≤0)=1−2P (ξ>1)2=1−2p 2=12−p ，所以C 正确；由独立重复试验的概率计算公式可得，P (X =8)=C 108×(0.8)8×(1−0.8)2，由组合数公式，可得当X =8时取得最大值，所以D 正确. 所以正确命题为BCD .故选BCD . 三、填空题【答案】 x −y −1=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x =1时的导数值，即切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由y =ln x x，得y ′=1−ln x x 2，∴ y ′|x=1=1−ln 112=1，即曲线C:y =ln x x在点(1, 0)处的切线的斜率为1，∴ 曲线C:y =ln x x在点(1, 0)处的切线方程为y −0=1×(x −1)，即x −y −1=0．故答案为：x −y −1=0．【答案】[0, 12) 【考点】分段函数的应用函数的值域及其求法【解析】根据分段函数的表达式，分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可．【解答】解：当x ≥1时，f(x)=2x−1≥1，当x <1时，f(x)=(1−2a)x +3a ， ∵ 函数f(x)={(1−2a)x +3a,x <1，2x−1，x ≥1的值域为R ，∴ (1−2a)x +3a 的取值必须到负无穷，即满足：{1−2a >01−2a +3a ≥1，解得0≤a <12.故答案为：[0, 12)．【答案】−4x 3−24x 2−28x +8 【考点】函数的对称性导数的运算【解析】【解答】解：∵ 函数f (x )=(1−x 2)(x 2+ax +b )的图象关于直线x =−2对称， ∴ f (−1)=f (−3)=0，且f (1)=f (−5)=0，即[1−(−3)2][(−3)2+a ⋅(−3)+b ]=0，且[1−(−5)2][(−5)2+a ⋅(−5)+b ]=0，整理得{9−3a +b =0,25−5a +b =0,解得{a =8,b =15,因此，f (x )=(1−x 2)(x 2+8x +15)=−x 4−8x 3−14x 2+8x +15，求导得f ′(x )=−4x 3−24x 2−28x +8. 故答案为：−4x 3−24x 2−28x +8. 【答案】 ①④⑤ 【考点】已知函数的单调性求参数问题对数函数的图象与性质命题的真假判断与应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域函数的定义域及其求法【解析】无【解答】解：对于①，因为1≤x ≤2，2≤2x ≤4，所以f (x )的定义域为[2，4]，令2≤x2≤4，故4≤x ≤8，即f (x2)的定义域为[4，8]，故①正确；对于②，当x =1，y =−1，图象恒过定点(1,−1)，故②错误；对于③，幂函数要求x ≠0，故y =x 0的图象是两条射线，故③错误；对于④，原不等式等价于log a 12>log a a ，故 {a >1，a <12，（无解）或 {0<a <1，a >12，故12<a <1，故④正确；对于⑤，实数应满足{a ≥1，1−2a +1+a 2>0，解得a ≥1，故⑤正确.综上，正确结论的序号为①④⑤．故答案为：①④⑤. 四、解答题【答案】解：(1)由x+1x−2≥0且x −2≠0可得x >2或x ≤−1，由x 2−(2a +1)x +a 2+a ≥0可得x ≥a +1或x ≤a ， ∴ A =(−∞, −1]∪(2, +∞)，B =(−∞, a]∪[a +1, +∞). (2)∵ A ∩B =A ， ∴ A ⊆B ， ∴ {a ≥−1，a +1≤2，解得−1≤a ≤1.【考点】函数的定义域及其求法集合的包含关系判断及应用【解析】（1）分别解得集合A ，B 即可；（2）根据A ∩B ＝A ，得出A ⊆B ，借助数轴解得即可．【解答】解：(1)由x+1x−2≥0且x −2≠0可得x >2或x ≤−1，由x 2−(2a +1)x +a 2+a ≥0可得x ≥a +1或x ≤a ， ∴ A =(−∞, −1]∪(2, +∞)，B =(−∞, a]∪[a +1, +∞). (2)∵ A ∩B =A ， ∴ A ⊆B ， ∴ {a ≥−1，a +1≤2，解得−1≤a ≤1.【答案】解：(1)∵ f(x)=x 3+ax 2+bx +c ， ∴ f ′(x)=3x 2+2ax +b .∵ 曲线y =f(x)在点P(0, f(0))处的切线是l:2x −y +3=0，即y =2x +3， ∴ f(0)=c =3，f ′(0)=b =2，即b =2，c =3.(2)∵ b =2，c =3，∴ f(x)=x 3+ax 2+2x +3， ∴ f ′(x)=3x 2+2ax +2.∵ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ f ′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立.①当a ≥0时，f ′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，满足条件． ②当a <0时，要使f ′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，则Δ=4a 2−4×3×2≤0，即a 2≤6， ∴ −√6≤a <0. 综上可知a ≥−√6．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）利用导数的几何意义，建立导数和切线之间的关系，求b ，c 的值；（2）利用f(x)在(0, +∞)上单调递增，则f ′(x)≥0恒成立，即可求a 的取值范围．【解答】解：(1)∵ f(x)=x 3+ax 2+bx +c ， ∴ f ′(x)=3x 2+2ax +b .∵ 曲线y =f(x)在点P(0, f(0))处的切线是l:2x −y +3=0，即y =2x +3， ∴ f(0)=c =3，f ′(0)=b =2，即b =2，c =3.(2)∵ b =2，c =3，∴ f(x)=x 3+ax 2+2x +3， ∴ f ′(x)=3x 2+2ax +2.∵ f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ f ′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立.①当a ≥0时，f ′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，满足条件． ②当a <0时，要使f ′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，则Δ=4a 2−4×3×2≤0，即a 2≤6， ∴ −√6≤a <0. 综上可知a ≥−√6．【答案】解：(1)根据频率和为1，计算[70,80)的频率为：1−10(0.01+0.015+0.015+0.025+0.005)=0.3，所以[70,80)对应的频率直方图高度为0.03，如图所示：由频率分布直方图知众数为75；由0.1+0.15+0.15=0.4<0.5，0.4+0.3=0.7>0.5可知，中位数在[70,80)内，计算中位数为70+0.10.03=2203．(2)成绩在[40, 50)内有60×0.1=6人，在[90, 100]内有60×0.05=3人；从这9人中选2人，基本事件为C 92=36（种），其中在同一分数段的基本事件为C 62+C 32=18（种），故所求的概率为P =1836=12.(3)由题意填写列联表如下：计算K 2=60×(4×16−14×26)230×30×18×42≈7.937>6.635，所以有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关．【考点】众数、中位数、平均数频率分布直方图独立性检验古典概型及其概率计算公式【解析】本题主要考查了频率直方图的应用与利用组合求解概率的问题，同时也考查了独立性检验判定事件是否与某变量有关的问题．属于中档题．本题主要考查了频率直方图的应用与利用组合求解概率的问题，同时也考查了独立性检验判定事件是否与某变量有关的问题．属于中档题．本题主要考查了频率直方图的应用与利用组合求解概率的问题，同时也考查了独立性检验判定事件是否与某变量有关的问题．属于中档题．【解答】解：(1)根据频率和为1，计算[70,80)的频率为：1−10(0.01+0.015+0.015+0.025+0.005)=0.3，所以[70,80)对应的频率直方图高度为0.03，如图所示：由频率分布直方图知众数为75；由0.1+0.15+0.15=0.4<0.5，0.4+0.3=0.7>0.5可知，中位数在[70,80)内，计算中位数为70+0.10.03=2203．(2)成绩在[40, 50)内有60×0.1=6人，在[90, 100]内有60×0.05=3人；从这9人中选2人，基本事件为C 92=36（种），其中在同一分数段的基本事件为C 62+C 32=18（种），故所求的概率为P =1836=12. (3)由题意填写列联表如下：计算K 2=60×(4×16−14×26)230×30×18×42≈7.937>6.635，所以有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关．【答案】(1)证明：连接EO ，如图.∵ AC 交BD 于O 点，M 为EF 的中点， ∴ 四边形BMEO 是平行四边形，OE//BM . 又BM ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， ∴ BM//平面ACE ．(2)解：以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，如图，则B(√2,√2,0)，A(√2,0,0)，F(√2,√2,1)，C(0,√2,0)， AB →=(0,√2,0)，AF →=(0,√2,1)，AC →=(−√2,√2,0). 设平面CAF 的法向量n →=(x,y,z )，则{n →⋅AC →=−√2x +√2y =0,n →⋅AF →=√2y +z =0, 取x =√2，得n →=(√2,√2,−2). 又平面ABF 的法向量m →=(1,0,0)， ∴ cos ⟨n →,m →⟩=√2√8=12，而⟨n →,m →⟩∈[0,π]，∴ ⟨n →,m →⟩=60∘，∴ 二面角B −AF −C 的平面角为60∘．【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：连接EO ，如图.∵ AC 交BD 于O 点，M 为EF 的中点， ∴ 四边形BMEO 是平行四边形，OE//BM . 又BM ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， ∴ BM//平面ACE ．(2)解：以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，如图，则B(√2,√2,0)，A(√2,0,0)，F(√2,√2,1)，C(0,√2,0)， AB →=(0,√2,0)，AF →=(0,√2,1)，AC →=(−√2,√2,0).设平面CAF 的法向量n →=(x,y,z )，则{n →⋅AC →=−√2x +√2y =0,n →⋅AF →=√2y +z =0, 取x =√2，得n →=(√2,√2,−2). 又平面ABF 的法向量m →=(1,0,0)， ∴ cos ⟨n →,m →⟩=√2√8=12，而⟨n →,m →⟩∈[0,π]，∴ ⟨n →,m →⟩=60∘，∴ 二面角B −AF −C 的平面角为60∘．【答案】解：(1)∵ f(x)=−ax +2+ax ln x ，定义域为(0,+∞)， ∴ f ′(x )=a ln x ．因为a ≠0，故：①当a >0时，由f ′(x )>0得x >1，由f ′(x )<0得0<x <1； ②当a <0时，由f ′(x )>0得0<x <1，由f ′(x )<0得x >1．综上，当a >0时，函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)；当a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)． (2)当a =1时，f (x )=−x +2+x ln x ，f ′(x )=ln x ．由(1)可得，当x 在区间[1e ，e]内变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)(x ∈[1e ，e])的值域为[1,2]．又∵ 2−2e<2，直线y =t 与曲线y =f (x )[1e，e]总有公共点，∴ t 的取值范围是[1,2]．【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先求导数f (x )然后在函数的定义域内解不等式f (x )>0和f (x )<0，f (x )>0的区间为单调增区间，f (x )<0的区间为单调减区间；（2）要使直线y =t 与曲线y =f(x)（x ∈[1e ,e]）有公共点，只需t 在f (x )在区间[1e ,e]内值域内即可，再利用导数研究函数的最值即可求解．【解答】解：(1)∵ f(x)=−ax +2+ax ln x ，定义域为(0,+∞)， ∴ f ′(x )=a ln x ．因为a ≠0，故：①当a >0时，由f ′(x )>0得x >1，由f ′(x )<0得0<x <1； ②当a <0时，由f ′(x )>0得0<x <1，由f ′(x )<0得x >1．综上，当a >0时，函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)；当a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)． (2)当a =1时，f (x )=−x +2+x ln x ，f ′(x )=ln x ．由(1)可得，当x 在区间[1e ，e]内变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)(x ∈[1e ，e])的值域为[1,2]．又∵ 2−2e <2，直线y =t 与曲线y =f (x )[1e ，e]总有公共点， ∴ t 的取值范围是[1,2]．【答案】解：(1)f ′(x)=−2x 2+a 2+ax =a 2x 2+ax−2x 2=(ax+2)(ax−1)x 2(x >0).令f ′(x)=0，可得x =1a ，x =−2a（舍）．①当a >110时，1a <10．函数f(x)在区间(0, 1a )上单调递减，在区间(1a , 10)上的单调递增； ②当0<a ≤110时，函数f(x)在区间(0, 10)上单调递减．(2)存在x ∈(0, +∞)，使得不等式f(x)<2+a 2x 成立等价于存在x ∈(0, +∞)，使得不等式2x +a ln x −2<0成立，令g(x)=2x +a ln x −2(x >0)， g ′(x)=−2x 2+ax =ax−2x 2.∵ a >0，∴ g ′(x)>0⇒x >2a，g ′(x)<0⇒0<x <2a，第21页共22页 ◎ 第22页共22页∴ g(x)在(0, 2a)上递减，在(2a, +∞)上递增，∴ g(x)min =g(2a )=a +a ln 2a −2，则a +a ln 2a −2<0恒成立．又a >0，所以ln 2a +1−2a <0恒成立．令ℎ(x )=ln x +1−x (x >0)，则ℎ′(x )=1x −1=1−x x ，在(0,1)上，ℎ′(x )>0，ℎ(x )单调递增；在(1,+∞)上，ℎ′(x )<0，ℎ(x )单调递减，所以ℎ(x )≤ℎ(1)=0，因此解ln 2a+1−2a<0可得2a>0，且2a≠1，即a >0且a ≠2，所以实数a 的取值范围是(0,2)∪(2,+∞). 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f ′(x)=−2x 2+a 2+ax =a 2x 2+ax−2x 2=(ax+2)(ax−1)x 2(x >0).令f ′(x)=0，可得x =1a ，x =−2a （舍）． ①当a >110时，1a <10．函数f(x)在区间(0, 1a )上单调递减，在区间(1a , 10)上的单调递增； ②当0<a ≤110时，函数f(x)在区间(0, 10)上单调递减．(2)存在x ∈(0, +∞)，使得不等式f(x)<2+a 2x 成立等价于存在x ∈(0, +∞)，使得不等式2x +a ln x −2<0成立，令g(x)=2x +a ln x −2(x >0)，g ′(x)=−2x 2+a x =ax−2x 2.∵ a >0，∴ g ′(x)>0⇒x >2a ，g ′(x)<0⇒0<x <2a ， ∴ g(x)在(0, 2a)上递减，在(2a, +∞)上递增，∴ g(x)min =g(2a)=a +a ln 2a−2，则a +a ln 2a −2<0恒成立．又a >0，所以ln 2a +1−2a <0恒成立．令ℎ(x )=ln x +1−x (x >0)，则ℎ′(x )=1x −1=1−x x ，在(0,1)上，ℎ′(x )>0，ℎ(x )单调递增；在(1,+∞)上，ℎ′(x )<0，ℎ(x )单调递减，所以ℎ(x )≤ℎ(1)=0，因此解ln 2a+1−2a<0可得2a>0，且2a≠1，即a >0且a ≠2，所以实数a 的取值范围是(0,2)∪(2,+∞).。

2020-2021学年江苏省扬州中学高三(上)月考化学试卷(10月份Word版含答案)

2020-2021学年江苏省扬州中学高三（上）月考化学试卷（10月份）一、单项选择题（本题包括8小题，每题2分，共16分。

每小题只有一个选项符合题意）1．（2分）下列我国科研成果所涉及材料中，主要成分为同主族元素形成的无机非金属材料的是（）A． 4.03米大口径碳化硅反射镜B．2022年冬奥会聚氨酯速滑服C．能屏蔽电磁波的碳包覆银纳米线D．“玉兔二号”钛合金筛网轮2．（2分）下列关于含氮微粒的表述正确的是（）A．N2的电子式为B．N3﹣的最外层电子数为6C．N3﹣的质子数是20D．基态氮原子未成对电子的电子云形状相同3．（2分）下列有关物质性质及其应用的说法正确的是（）A．Na2CO3溶液呈碱性，可用热的纯碱溶液除去矿物油污渍B．次氯酸钙具有强氧化性，可用于消毒杀菌C．Cl2、SO2均有漂白性，可使紫色石蕊溶液褪色D．钠的金属性强于钾，工业上可用钠制取钾：Na+KCl K↑+NaCl4．（2分）常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是（）A．pH＝2的溶液：Na+、Cu2+、NO3﹣、Cl﹣B．使淀粉KI溶液变蓝的溶液：H+、NH4+、Fe2+、Br﹣C．水电离的c（H+）＝1×10﹣13mol•L﹣1的溶液：K+、Mg2+、I﹣、C6H5O﹣D．＝10﹣12mol/L的溶液中：Na+、Ca2+、HCO3﹣、NO3﹣5．（2分）下列实验装置能达到相应实验目的的是（）A．装置①用于验证反应是否有CO2生成B．装置②用于用标准NaOH溶液测定盐酸浓度C．装置③用于制备少量含NaClO的消毒液D．装置④用于比较铜、铁活泼性强弱6．（2分）在给定条件下，下列选项所示的物质间转化均能实现的是（）A．C6H5ONa C6H5OH CO2B．FeS2SO2H2SO4C．Fe Fe2O3FeCl3（aq）D．NH3NO2HNO37．（2分）短周期主族元素X、Y、Z、W原子序数依次增大，Z、W两种元素原子序数之和为X元素原子序数的4倍。

江苏省扬州市2021-2022学年高三上学期期中调研考试数学试题(解析版)

男女患者各 200 名，每位患者患Ⅰ型或 II 型病中的一种，得到下面的列联表：
Ⅰ型病
II 型病
男
150
50
女
125
75
(1)根据列联表，判断是否有 99%的把握认为所患疾病类型与性别有关．
(2)某药品公司欲研发此疾病的治疗药物，现有两种试验方案，每种方案至多安排 2 个接种
周期，且该药物每次接种后出现抗体的概率为 p(0＜p＜1)，每人每次接种的费用为 m 元(m
A．2
B．3
C．4
D．5
2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则 f(9)的值为( )．
A．－3
B． 3
C．－9
D．9
1
3．已知 a＝20222021，b＝log20222021，c＝log2022
1
，则 a，b，c 的大小关系为(
)．
2021
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
答．
已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若
．
(1)求 A；
10
(2)若点 M 在线段 AC 上，∠ABM＝∠CBM，BM＝5 7，且cosB＝1，求 c．
3
7
【解析】
21．(本小题满分 12 分)
某种疾病可分为Ⅰ、II 两种类型．为了解该疾病类型与性别是否有关，在某地区随机抽取了
A．对于一个半径为 1 的圆，其“优美函数”仅有 1 个 B．函数f(x)＝x3－3x可以是某个圆的“优美函数” C．若函数 y＝f(x)是“优美函数”，则函数 y＝f(x)的图象一定是中心对称图形 D．函数y＝2cos(3π－x)可以同时是无数个圆的“优美函数”

2020-2021学年江苏省扬州市蒋王中学高三数学理测试题含解析

2020-2021学年江苏省扬州市蒋王中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列满足则该数列的前18项和为（）A.2101B.1067C.1012D.2012参考答案：B略2. 已知复数z满足，则的共轭复数是（）A． B． C． D．参考答案：B3. 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周六的六天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排放法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种参考答案：C【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：先在周一至周六的六天中任选3天，安排三人参加活动，再安排乙丙三人的顺序，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先在周一至周六的六天中任选3天，安排三人参加活动，有C63=20种情况，再安排甲乙丙三人的顺序，由于甲安排在另外两位前面，则甲有1种情况，乙丙安排在甲的后面，有A22=2种情况，则三人的安排方法有1×2=2种情况，则不同的安排放法共有20×2=40种；故选：C．4. 已知（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虚数单位，a是实数，则|ai|=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2参考答案：B【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．【解答】解：（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虚数单位，a是实数，∴a2﹣1﹣2ai=﹣2i，∴a2﹣1=0，﹣2a=﹣2，∴a=1．则|ai|=|i|=1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为（）A． B．C． D．参考答案：A6. 复数z＝的共轭复数是（）A．2＋i B．2－i C．－1＋i D．－1－i参考答案：D略7. 已知点是双曲线：（，）与圆的一个交点，若到轴的距离为，则的离心率等于（）A．B． C. D．参考答案：D8. 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：C9. 定义两个实数间的一种新运算“*”：.对任意实数，给出如下结论：①；②；③；其中正确的个数是A． 0 B．1 C．2 D．3参考答案：A略10. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．）D．参考答案：A【考点】几何概型．【分析】根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为﹣1，面积为4﹣2故飞镖落在阴影区域的概率为=1﹣．故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是 cm3．参考答案：4012. 若实数集中至少含有两个元素，且中任意两个元素之差的绝对值都大于2，则称为“绝对好集”。

扬州市2020—2021学年度第一学期高三适应性练习试题数学及答案

2020—2021学年度第一学期高三适应性练习试题高三数学 2021.1（全卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的选项中，只有一项符合要求)． 1．已知集合{|(2)(1)0}A x x x =-+≥，{|20}B x x =-<<，则A B =（）A ．[1,0)-B ．(2,1]--C ．(0,2]D ．[1,2]-2．已知复数z 满足(1i)2i z +=，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．()()5212x x -+展开式中，含2x 项的系数为（）A ．70B ．30C ．150-D ．904．如图是某品牌手机的商标图案，制作时以曲线段AB 为分界线，裁去一部分图形而成，已知该分界线是一段半径为R 的圆弧，若圆弧的长度为23Rπ，则A,B 两点间的距离为（） A ．RB ．2RC ．3RD ．2R5．已知正ABC ∆的边长为2，P 是AB 边上一点，且2BP PA =，则)CP CA CB ⋅(+=（）A ．1B ．2C ．4D ．66．过抛物线24=y x 焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点（点A 在第一象限），若直线l 的倾斜角为60，则||||AF BF 的值为（） A ．2 B ．3 C ．32 D ．527．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若325a a -=，则428a a +的最小值为（）A ．40B ．20C ．10D ． 58．已知函数()ln ,024,0>⎧=⎨+≤⎩x x x f x x e x ，若12x x ≠且()()12f x f x =，则12x x -的最大值为（）A ．12-e eB ．21+eC ．5eD ．52e 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9.下列说法中正确的是（）A.“a b >”是“22a b >”的既不充分又不必要条件;B. “2x =”是“1,,4x 成等比数列”的充分不必要条件;C. “0,0m n ><”是“方程221x y m n+=表示双曲线”的必要不充分条件;D. 对于函数()f x ，“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的充要条件. 10. 已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，则下列说法中正确的是（）A. ()()f x f x π=+B. ()()f x f x π=-+C. 2()()3f x f x π=- D.2()()3f x f x π=-- 11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，则下列说法中正确的是（）A ．存在点,E F 使得//AE BFB ．异面直线EF 与1CD 所成的角为60︒ C ．三棱锥B AEF -的体积为定值2 D ．1A 到平面AEF 的距离为3 12．16世纪时，比利时数学家罗门向全世界数学家提出了一个具有挑战性的问题：“45次方程454341534594595364379545x x x x x x C -+-⋅⋅⋅+-+=的根如何求？”，法国数学家韦达利用三角知识成功解决了该问题，并指出当2sin C α=时，此方程的全部根为22sin(),(0,1,2,,44)45k x k πα+==⋅⋅⋅，根据以上信息可得方程4543415345945953643795450x x x x x x -+-⋅⋅⋅+-+=的根可以是（） A ．3 B ．1- C ．3- D ．2 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知长方体的长、宽、高分别为10,8,6()cm ，则该长方体的外接球的半径R = ()cm ． 14．某种型号的机器使用总时间x （年）（其中4,x x N *≥∈）与所需支出的维修总费用y （万元）的统计数据如下表：根据表中数据可得y 与x 之间的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用__________年.（填整数）15．几何学中有两件瑰宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，其中顶角为36的等腰三角形被称为“黄金三角形”.如图，已知五角星是由5个“黄金三角形”与1个正五边形组成，且51BC AC -=. 记阴影部分的面积为1S ，正五边形的面积为2S ，则12=S S ． 16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,M N 两点，若2OM ON =（其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率为．x6 8 10 12 y2356四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，cos sin 2Ba b A =．（1）求B ；（2）若5b =，，求S ．请在①53a =，②tan()234A π+=+，③222b c a bc +=+ 这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112a =，*112,n n S a n N +=-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12log n n b a =，且2141n n c b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是长方形，PAB ABCD ⊥平面平面，PAD ABCD ⊥平面平面，（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若2,3PA AD AB ===，E 为PD 中点，求二面角A BE C --的余弦值.20．（本小题满分12分）为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下的频率分布表：（12人参加体能测试，记推荐的2人中来自[7080)，的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）由频率分布表可认为：周末运动时间t 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ为周末运动时间的平均数t ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得14.6s ≈. 可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生中随机抽取10名学生，记周末运动时间在(43.9,87.7]之外的人数为Y ，求(2)P Y =（精确到0.001）；参考数据1：当2(,)tN μσ时，()0.6827,(22)0.9545,P t P t μσμσμσμσ-<<+=-<<+=(33)0.9973P t μσμσ-<<+=.参考数据2：820.81860.202,0.18140.033 ≈≈21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12,左右顶点分别为,A B ，上下顶点分别为,C D ，四边形ACBD 的面积为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点F 的直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，直线PB 、QB 分别交直线4x =于,M N 两点，判断BM BN 是否为定值，并说明理由.22．（本小题满分12分）已知函数()ln xf x e a x =-，（其中a 为参数）（1）若1a =，且直线1y kx =+与()y f x =的图象相切，求实数k 的值；（2）若对任意(0,)x ∈+∞，不等式()ln f x a a >成立，求正实数a 的取值范围.2020—2021学年度第一学期高三适应性练习高三数学参考答案 2021.1 1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、B 7、A 8、D 9、AB 10、AD 11、BCD 12、AC 13、52 14、20 15、5 16、2317、解：（1）在ABC ∆中，因为cos sin 2B a b A =，所以由正弦定理得sin cos sin sin 2BA B A ⋅=⋅，因为sin 0A ≠，所以cossin 2BB =， ……………2分所以cos 2sin cos 222B B B=因为cos 02B ≠，所以1sin 22B =， ……………4分因为(0,)B π∈，所以3B π=……………5分（2）选①:由正弦定理得53sin sin 3A π=，即1sin 2A =，因为b a >，所以6A π=，所以2C π=，所以ABC ∆是直角三角形，所以11522S ab ===…………10分选②:由tan()24A π+=+tan tantan 1421tan 1tan tan4A A A A ππ++==--tan 3A = 因为(0,)A π∈，所以6A π=，所以2C π=，所以ABC ∆是直角三角形，所以11522S ab ===…………10分选③：因为222b c a bc +=+，所以2221cos 22b c a A bc +-==，因为(0,)A π∈，所以3A π=，又3B π=，所以ABC ∆为正三角形，所以2534S = …………10分18、解：（1）因为112n n S a +=- ，所以112n n S a -=-，(2)n ≥两式相减得12n n a a +=，(2)n ≥ ……………2分因为112a =，112n n S a +=-，所以令1n =，则可得2111(1)24a a =-= 所以2112a a =又1102a =≠，2104a =≠，12n n a a +=，所以0n a ≠（*n N ∈）所以112n n a a +=，（*n N ∈）， ……………5分所以数列{}n a 是首项为12、公比为12的等比数列，所以1()2nn a = ……………6分注：结果1()2nn a =对，但没有说明2112a a =的扣2分（2）因为1()2nn a =，所以12log n n b a n == ………… 7 分所以()22111111(21)(21)221214141n n c n n n n b n ====--+-+-- ……………9分所以123n n T c c c c =++++1111111()()()213352121n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥-+⎣⎦11(1)22121n n n =-=++ ……………12分 19、（1）证明：∵四边形ABCD 为长方形，∴AB AD ⊥，∵PAD ABCD ⊥平面平面，PAD ABCD AD ⋂=平面平面，AB ABCD ⊂平面∴AB ⊥平面PAD ……………3分 ∵PA PAD ⊂平面 ∴AB PA ⊥. 同理AD PA ⊥，又AB AD A ⋂=，,AB ABCD AD ABCD ⊂⊂平面平面∴PA ⊥平面ABCD . ……………5分（2）以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 …6分则()()()()()()0,0,0,3,0,0,0,2,0,3,2,0,0,1,1,0,0,2,A B D C E P 设(),,m x y z =为平面ABE 的法向量，∵00m AB m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴00y z x +=⎧⎨=⎩，令1y =，则1z =-，∴平面ABE 的一个法向量()0,1,1m =-. ……………8分同理可求得平面BCE 的一个法向量()1,0,3n =， ……………10分 ∴320cos ,20m n m n m n ⋅==-. ∵二面角A BE C --的大小为钝角∴二面角A BE C --的余弦值为32020-. ……………12分注：错将二面角的余弦值写成320的扣1分20、解：（1）随机变量X 的可能取值为0,1,2，021120323232222555133(0),(1),(2)10510C C C C C C P X P X P X C C C =========， ……………3分 X 0 1 2 P110 35 310所以()012105105E X =⨯+⨯+⨯= ……………5分（2）35300456005590065450754508530058.53000t μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=== ………7分又43.958.514.6,87.758.514.622μσμσ=-=-=+⨯=+，所以0.68270.9545(43.987.7)(2)0.81862P t P t μσμσ+<≤=-<≤+== ……………9分所以(P t μσ≤-或2)10.81860.1814t μσ>+=-=，所以(10,0.1814)Y B ，所以22810(2)0.18140.8186P Y C ==⨯⨯ ……………11分 450.0330.2020.300≈⨯⨯≈ ……………12分21、解：（1）由题意得222122c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩， ……………….2分解得2a b ==，，所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………….4分（2）方法1：若直线l 的斜率不存在，则直线l 方程为1x =，此时可得33(1)(1)22P Q -,,,，(43)M ,-，(43)N ,，所以5BM BN =-. ……………….5分若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,代入22143x y +=整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，易得0≥∆恒成立.设112212()(),(2)P x y Q x y x x ≠,,,,，则2212122284123434k k x x x x k k-+==++,， ………………7分由直线PB 的方程11(2)2y y x x =--可得点112(4,)2y M x -，由直线QB 的方程22(2)2y y x x =--可得点222(4,)2y N x -，所以121222(2,),(2,)22y y BM BN x x ==-- ……………….8分所以212121212121222()1444222()4y y x x x x BM BN k x x x x x x -++=+⋅=+---++ ……………….9分 222222222412843944445412284(43)4k k k k k k k k k --++-=+=+⨯=---⨯++综上，BM BN 为定值. ……………….12分方法2：显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1+=my x ，代入22143x y +=整理得22(34)690m y my ++-=，易得0≥∆恒成立.设112212()(),(2)P x y Q x y x x ≠,,,,，则121222693434m y y y y m m --+==++,， ………………7分由直线PB 的方程11(2)2y y x x =--可得点112(4,)2y M x -，由直线QB 的方程22(2)2y y x x =--可得点222(4,)2y N x -，所以121222(2,),(2,)22y y BM BN x x ==-- ……………….8分所以121221212122244422()1y y y y BM BN x x m y y m y y =+⋅=+---++ ……………….9分 2223644959634m m m -=+=-=--+++ ……………….12分22、解：（1）若1a =，则()ln (0)xf x e x x =->，，1()x f x e x'=- 设切点000(,ln )x P x e x -，则00000ln 11x x e x e x x --=-，即000(1)ln 0xx e x -+= ……………….2分令()(1)ln (0)xx x e x x ϕ=-+>，，观察得(1)0ϕ=， ……………….4分又1()0x x xe x ϕ'=+>，所以()x ϕ在(0,)+∞上递增，所以方程000(1)ln 0xx e x -+=的根仅有01x =，所以1k e =- ……………….5分注：观察出01x =是000(1)ln 0xx e x -+=的根但没有交待唯一性的扣1分（2）方法1：（直接研究差函数的最小值）令()ln ln (0)xg x e a x a a x =-->，，则()x xa xe ag x e x x-'=-=,令()(0)xx xe a x ϕ=-≥，，则()x ϕ在[0,)+∞上递增，且(0)0a ϕ=-<，()(1)0a a a e ϕ=->，所以存在唯一0(0,)x a ∈，使得000()0xx x e a ϕ=-=，所以当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，故函数()g x 单调递减．当0(,)x x ∈+∞时()0g x '>，故函数()g x 单调递增．所以0min 00()()ln ln xg x g x e a x a a ==-- ……………….7分0001(2ln )a x x x =-- ……………….9分由()0g x >恒成立得0001(2ln )0a x x x -->，即00012ln 0x x x -->，令1()2ln (0)h x x x x x =-->，，则212()10h x x x'=---<，所以()h x 在(0,)+∞上递减．由(1)0h =得()0h x >的解为01x <<，所以001x <<， ……………….11分令()(0,1)xx xe x φ=∈，，则()x φ在(0,1)上递增，所以00(0,)xa x e e =∈，所以0a e <<． ……………….12分方法2：（构建同构式处理不等式）由()ln f x a a >得ln ln xe a x a->，即ln ln x lna e a x -->，两边同时加x 得ln ln ln x lna x x a e x e -+->+令()tt t g e =+,则()()ln ln g g x a x >-， ……………….9分 ∵()g t 为单调增函数 ∴ln ln x a x >-，即ln ln a x x -<，令()ln h x x x -=,则1()x h x x=-'∴()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，∴min ()(1)0h x h ==，∴ln 1a <，解得0a e <<． ……………….12分。

2020—2021学年度2020—2021学年度扬州市第一学期中检测试题高三数学答案

2020—2021学年度第一学期期中检测试题高三数学参考答案1．B 2．D 3．A 4．B 5．C 6．A 7．A 8．C 9． AB 10． AC 11． ABD 12． ACD13．230x y +-= 14．11315．1 16． (0,1)[7,)+∞17．在ABC △cos cos cos A a C c A =+，cos sin cos sin cos B A A C C A =+ ………2分cos sin B A B =,因为sin 0B ≠，所以cos A = ………5分选择①，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得210c -=，解得c = ………10分选择②，1cos sin 22c S B bc A ==，所以cos sin cos()2B A A π==-所以2B A π=-，即2C π=，解得c ………10分选择③，3C π=，因为sin sin()sin cos cos sin 333B A A A πππ=+=+=所以由sin sin c b C B =得sin 4sin b Cc B== ………10分18． (1) 1cos2()sin()sin()2266x f x x x πππ+++--12cos()sin()266x x x ππ+⨯--1sin(2)23x x π+-1111(sin 2cos2(sin 2cos22222x x x x x +⋅-=⋅+ 1sin(2)23x π=+. ………4分所以()f x 的最小正周期22T ππ==. ………5分由2,Z 3x k k ππ+=∈得,Z 26k x k ππ=-∈，所以()f x 的对称中心为(,0),Z 26k k ππ-∈. ……6分 (2) 由1()6f α=得1sin(2)33πα+=，因为(,)123ππα∈，所以2(,)32ππαπ+∈，所以cos(2)3πα+==， ………8分所以cos2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 333333ππππππαααα=+-=+⋅++⋅1123=+=. ………12分19． (1) 方法1：因为()f x 是R 上的奇函数，所以()010k f a =-=，解得0k = ………3分下面检验，此时()x x f x a a -=-，故()()x x f x a a f x --=-=-，所以()f x 为奇函数 ……5分方法2：因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，即++x k x x x k a a a a ---=-， ………1分即)((10)x x k a a a --=+， ………3分所以10k a -=，解得0k = ………5分 (2)由()10f <得10a a-<，解得01a <<， ………6分所以()x x f x a a -=-是R 上的减函数， ………7分因为()f x 为奇函数,所以由()()23+4210f tx f x +-+≤得()()()223+42121f tx f x f x ≤--+=- 因为()f x 是R 上的减函数，所以23421tx x +≥-对任意[1,1]t ∈-成立 ………9分令22()3421352g t tx x tx x =+-+=+-，则()0g t ≥对任意[1,1]t ∈-成立，等价于22(1)3520(1)3520g x x g x x =+-≥-=-+-≥⎧⎪⎨⎪⎩, ………10分解得11x -≤≤，所以x 的取值范围是[11]-，. ………12分 20． (1) 因为平面11ABB A ⊥平面11AA C C ，1BE AA ⊥，BE ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A 平面11AA C C 1=AA ，所以BE ⊥平面11AA C C ， ………4分又因为11C A ⊂平面11AA C C ，所以11BE C A ⊥. ………5分(2)方法1：（综合法）作1EF CC ⊥于F ，因为1BE CC ⊥，,BE EF E BE =⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以1CC ⊥平面BEF ，因为BF ⊂平面BEF ，所以1BF CC ⊥,所以BFE ∠即为二面角1B CC A --的平面角. ………9分（注：对于作出了平面角，但没有证明的给2分）在菱形11ABB A 中，由2AB =、1=4BAA π∠，可求得BE =在菱形11AA C C 中，由2AB =、1=3A AC π∠，可求得EF =分所以在Rt BEF △中，EF =BFcos BFE ∠= 所以二面角1B CC A --. ………12分方法2：（向量法）作1EF CC ⊥于F ，则1EF AA ⊥，因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，EF ⊂平面11AA C C ，平面11ABB A 平面11AA C C 1=AA ，所以EF ⊥平面11ABB A ，以E 为坐标原点，,,EA EB EF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 …6分在菱形11ABB A 中，由2AB =、1=4BAA π∠，可求得AE BE ==.F BC AC 1B 1A 1EEA 1B 1C 1AC B在菱形11AA C C 中，由2AB =、1=3A AC π∠，可求得EF1CF =，所以点B的坐标为()0，点1B的坐标为()2-，点C的坐标为0，.由(1)知BE ⊥平面11AA C C ，所以平面1AC C 的一个法向量()10,1,0n =， .………8分设平面1BC C 的法向量()2,,n x y z =，则21200n BB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取0x y z ===，，则平面1BC C的一个法向量(20,n = .………10分所以113cos ,n n <>==………11分所以二面角1B CC A --. ………12分 21．(1) ()()ii nxx y r y --==∑………3分62467.5155>==>=⨯=， ………5分所以“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关. ………6分注：这里处理方案很多，例如：根据赋分规则可知，7个人赋分为2，4个人赋分为1，9个人赋分为0.所以9222036(0)190C P X C ===，49112203619(1)0C C P X C ===，2112204791609(29)C C C P X C +===，114722023810(9)C C P X C ===，27220(4)21190C P X C ===. 所以X 的分布列为：1所以190190190()012341901901905E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== ……12分 22． (1)方法1：分离参数得当2x π≥时，不等式2x e m x -<恒成立，令2()x e h x x -=，则22(2)(1)2()0x x x e x e e x h x x x---+'==>， ………2分所以()h x 在[,)2π+∞上递增，所以2min 228()()252e h x h ππππ-==≈， ………3分因为28125π<<，所以正整数m 的值为1. ………4分方法2：()x f x e m '=-.① 当2m e π≤时，()0f x '≥，所以()f x 在[,)2π+∞上递增，所以2min ()()2022f x f e m πππ==-⋅->，即222852e m πππ-<≈，又28125π<<，所以正整数m 的值为1. ………2分 ② 当2m e π>时，令()0x f x e m '=-=，则ln x m =.当(,ln )2x m π∈时，()0f x '<，所以()f x 在(,ln )2m π上递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(ln ,)m +∞上递增.所以min ()(ln )ln 2(1ln )20f x f m m m m m m ==--=--<，这与()0f x ≥恒成立矛盾，故不符合. 综上得：正整数m 的值为1. ………4分 (2) 当0x ≥时，函数()g x 有2个零点. ………5分证明如下：显然(0)0g =，所以0是()g x 的一个零点， ………6分 ①当2x π>时，()sin cos 120x x g x e x x x e x =--->-->，所以()g x 无零点； ………7分②当02x π≤≤时，()2cos sin x g x e x x x '=-+，令()()2cos sin x h x g x e x x x '==-+，则()()3sin cos 0x h x g x e x x x '''==++>，所以()g x '在[0,]2π上递增又(0)10,g '=-<2()022g e πππ'=+>，所以存在唯一1(0,)2x π∈使得1()0g x '=. ………9分所以当1(0,)x x ∈时，()0g x '<，故()g x 递减；当1(,)2x x π∈时，()0g x '>，故()g x 递增；因为(0)0g =，所以1()0g x <，又2()202g e ππ=->，所以存在唯一21(,)2x x π∈使得2()0g x =综上得：当0x ≥时，函数()g x 有2个零点. ………12分。

扬州中学2020-2021学年高三年级阶段性测试高三政治月考答题卡

32．（1）（4分）（2）（4分）请勿在此答题！以下为客观题答题区（必须用2B 铅笔将选中项涂满、涂黑，黑度以盖住框内字母为准）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效江苏省扬州中学2020—2021学年第一学期高三政治月考答题卡2020.101.【A 】【B 】【C 】【D 】 6.【A 】【B 】【C 】【D 】11.【A 】【B 】【C 】【D 】2.【A 】【B 】【C 】【D 】7.【A 】【B 】【C 】【D 】12.【A 】【B 】【C 】【D 】3.【A 】【B 】【C 】【D 】8.【A 】【B 】【C 】【D 】13.【A 】【B 】【C 】【D 】4.【A 】【B 】【C 】【D 】9.【A 】【B 】【C 】【D 】14.【A 】【B 】【C 】【D 】5.【A 】【B 】【C 】【D 】10.【A 】【B 】【C 】【D 】15.【A 】【B 】【C 】【D 】16.【A 】【B 】【C 】【D 】21.【A 】【B 】【C 】【D 】26.【A 】【B 】【C 】【D 】17.【A 】【B 】【C 】【D 】22.【A 】【B 】【C 】【D 】27.【A 】【B 】【C 】【D 】18.【A 】【B 】【C 】【D 】23.【A 】【B 】【C 】【D 】28.【A 】【B 】【C 】【D 】19.【A 】【B 】【C 】【D 】24.【A 】【B 】【C 】【D 】29.【A 】【B 】【C 】【D 】20.【A 】【B 】【C 】【D 】25.【A 】【B 】【C 】【D 】30.【A 】【B 】【C 】【D 】二、简析题：本大题共3小题，31题8分，32题8分，33题10分，共计26分。

31.（1）（4分）（2）（4分）注意事项1、请用2B 铅笔填涂选择题答案等选项；注意将所选项涂满涂黑，修改时使用橡皮擦干净；其它题用黑色水笔。

2、此卡不准弄脏、弄皱或弄破，严禁折叠。

扬州中学2020-2021学年高三年级阶段性测试高三月考答题纸

扬州中学高三年级月考试卷
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效题目：
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效▲100字
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
▲200字
▲300字
▲400字
▲600字
▲700字
▲800字
▲900字
▲1000字
▲500字
▲1100字。

江苏省扬州中学2020-2021学年上学期高一数学12月月考答题卡

江苏省扬州中学2020-2021年度第一学期12月月考
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效19.
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
21.22.
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效。

江苏省扬州市宝应县中学2020-2021学年高三数学文测试题含解析

江苏省扬州市宝应县中学2020-2021学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（0，﹣1）B．C．D．参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数===﹣i对应的点的坐标为（0，﹣1），故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．2. 设函数有三个零点、、，且，则下列结论正确的是A. B. C. D.参考答案：D略3. 已知实数，满足．如果目标函数的最大值为4，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．参考答案：D略4. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是（）A．B．C． D.4参考答案：A5. 在△ABC中，，，若，则（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由可知，点是的中点，由，可以确定点是的中点，以为基底，表示出，最后确定的关系.【详解】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的中点，所以有：，因此，故本题选D.【点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、对向量加法的几何意义的理解.6. 设A（1，1）、B（7，4），点C满足=2，则点C的坐标是（）A．（3，2）B．（3，5）C．（5，3）D．（8，5）参考答案：C【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】利用向量的坐标运算性质即可得出．【解答】解：∵ =2，∴ =2，∴===（5，3），故选：C．7. 已知为两个命题,则"是假命题"是"为真命题"的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A8. 在的展开式中，含项的系数是n，若，则(A)0 (B)1 (C) -1 (D)参考答案：B9. 已知全集U=R,集合，则集合等于( )A. B.C. D.参考答案：C略10. 执行如图2所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为参考答案：略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在中，则的值为______________．参考答案：略12. 设函数．若，则a=________.参考答案：13. 若曲线存在斜率为1的切线，则实数的取值范围是________。