相似三角形考点分析(三)---相似中常用的辅助线作法

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2023年沪科版九年级上册数学第22章相似形方法技巧专题相似三角形的辅助线添作技巧

A.
6 3
B.
5 3
C.236
D.235
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【方法技巧专题】相似三角形的辅助线添作技巧
4.把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在
一起，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，则AAFC
＝
3 5.-7- Nhomakorabea【方法技巧专题】相似三角形的辅助线添作技巧
类型3 巧添垂线段构造相似三角形 5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为边AB的中点，M，N分别为边AC，BC上的点，且DM⊥DN. (1)求证：DDMN ＝ BACC； (2)若BC＝6，AC＝8，CM＝5，求CN的长.
解：过点C作CP∥AB，交FD于点P.
∵CD＝BC，CP∥AB，∴CP＝12BF.
∵F为AB的中点，∴BF＝AF，∴ACFP ＝ 12. ∵CP∥AB，∴△AEF∽△CEP，
∴ACEE
＝
ACFP＝2，∴AACE
＝
AE AE＋CE
＝
23.
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【方法技巧专题】相似三角形的辅助线添作技巧
类型2 巧连(或延长)线段构造相似三角形 3.[2022·芜湖二模]已知正方形ABCD的边长为1，E 为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD 交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则 BG的长为( D )
【方法技巧专题】相似三角形的辅助线添作技巧
【方法技巧专题】相似三角形的辅助线添作技巧
本专题主要通过添加适当的辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的知识来解决数学问题.添作辅助线的方法有：添作平行线、添作垂线、连接线段等.
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【方法技巧专题】相似三角形的辅助线添作技巧
类型1 巧添平行线构造相似三角形

相似三角形之常用辅助线

相似三角形之常用辅助线在与相似有关得几何证明、计算得过程中,常常需要通过相似三角形,研究两条线段之间得比例关系,或者转移线段或角。

而有些时候,这样得相似三角形在问题中,并不就是十分明显、因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需得结论。

专题一、添加平行线构造“Ａ"“X”型定理:平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。

定理得基本图形:例1、平行四边形AＢCD中,E为ＡＢ中点,AF:ＦD＝1:2,求ＡＧ:GＣ变式练习:已知在△ABC中,AD就是∠BAＣ得平分线.求证:、(本题有多种解法,多想想)例2、如图,直线交△AＢＣ得BC,ＡＢ两边于D,E,与ＣA延长线交于F,若==2,求BE:EＡ得比值、变式练习:如图,直线交△ABC得ＢC,ＡＢ两边于D,E,与CA延长线交于F,若错误!= 错误!=2,求BＥ:E Ａ得比值。

例3、BE=AD,求证:EF·BC＝AC·DF变式1、如图,△ABＣ中,AB<AC,在AB、ＡC上分别截取BD=ＣE,ＤE,ＢC得延长线相交于点F,证明:ＡB·DF=AC·EF。

例4、已知:如图,在△AＢＣ中,AD为中线,Ｅ在AＢ上,ＡE=AC,CＥ交AD于F,ＥＦ∶FＣ=３∶5,EB=8cm，求AB、AC得长、变式:如图,,求。

(试用多种方法解)说明:此题充分展示了添加辅助线,构造相似形得方法与技巧.在解题中方法要灵活,思路要开阔.总结:(1)遇燕尾,作平行,构造字一般行。

(2)引平行线应注意以下几点:1)选点:一般选已知(或求证)中线段得比得前项或后项,在同一直线得线段得端点作为引平行线得EF EF EFEF点。

2)引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。

专题二、作垂线构造相似直角三角形一、基本图形例1、，，那么吗？试说明AC BD AC BC CA CD ⊥=⋅22理由？(用多种解法)v变式练习:平行四边形ABC Ｄ中,ＣE ⊥A Ｅ,ＣF ⊥AF,求证:A Ｂ·AE+AD ·AF=AC 2例２、如图,RtA ＢC 中,ＣD 为斜边ＡB 上得高,E 为CD 得中点,AE 得延长线交B Ｃ于Ｆ,ＦG ＡB 于G,求证:FG ＝ＣFBF【练习】1.如图,一直线与△ABC 得边AB,AC 及BC 得延长线分别交于D,Ｅ,F 。

(完整版)初中相似三角形基本知识点和经典例题

初三相似三角形知识点与经典题型知识点 1 相关相似形的看法(1) 形状同样的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 .(2) 若是两个边数同样的多边形的对应角相等，对应边成比率，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比( 相似系数 ) ．知识点 2 比率线段的相关看法（ 1）若是采用同一单位量得两条线段a,b 的长度分别为 m, n ，那么就说这两条线段的比是a mbn ，或写成 a : bm : n ．注：在求线段比时，线段单位要一致。

的比，那么这四条线段a,b,c, d 叫做成比率线段，（）在四条线段a, b, c, d 中，若是a 和b 的比等于c 和d 2简称比率线段．注：①比率线段是有次序的，若是说 a 是 b, c, d 的第四比率项，那么应得比率式为：bd ．②在比率式ac(a ： bcac ： d)中，a 、d 叫比率外项， b 、c 叫比率内项 , a 、c 叫比率前项， b 、d 叫比率后b d此时有 b 2项， d 叫第四比率项，若是 b=c ，即a ：b b ：d 那么 b 叫做 a 、 d 的比率中项， ad 。

（ 3）黄金切割：把线段AB 分成两条线段 AC , BC ( AC BC ) ，且使 AC 是 AB 和 BC 的比率中项，即AC 2AB BC ，叫做把线段 AB 黄金切割，点 C 叫做线段 AB 的黄金切割点，其中AC5 1 AB ≈20.618 AB ．即ACBC 5 1 简记为：长＝短＝5 1ABAC 2全长2注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点 3比率的性质（注意性质立的条件：分母不能够为0）（ 1）基本性质：① a : b c : d adbc ；② a : b b : c b 2a c ． ad bc ，除注：由一个比率式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比率式，如了可化为 a : b c : d ，还可化为 a : c b : d ， c : d a : b ， b : d a : c ， b : ad : c ， c : a d : b ，d : c b : a ， d : b c : a ．a b，交换内项 )cd（ 2）更比性质 ( 交换比率的内项或外项) ：ac d()c ，交换外项b db ad b．同时交换内外项)ca（ 3）反比性质 ( 把比的前项、后项交换) ：ac bd ．b dac（ 4）合、分比性质：a c ab cd ．b d bd注：实质上，比率的合比性质可扩展为：比率式中等号左右两个比的前项，后项之间b ad c发生同样和差变化比率仍建立．如：a cac 等等．b da b c da bc d（ 5）等比性质：若是ac e m(bdfn 0) ，那么 acem a ．b d fnb d f nb注：①此性质的证明运用了“设 k 法”（即引入新的参数 k ）这样能够减少未知数的个数，这种方法是相关比率计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母可否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也建立．如：a c e a 2c 3e a 2c 3e a；其中 b 2d 3 f 0．b d f b 2d 3 f b 2d 3 fb知识点 4比率线段的相关定理1. 三角形中平行线分线段成比率定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边( 或两边的延长线) 所得的对应线段成比率 .A由 DE ∥ BC 可得：ADAE 或 BD EC 或 ADAE DB ECADEAABACDE注：BC①重要结论：平行于三角形的一边, 而且和其他两边订交的直线, 所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比．．．．．．．．．．．．例 .②三角形中平行线分线段成比率定理的逆定理：若是一条直线截三角形的两边( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比率 . 那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法 , 即：利用比率式证平行线 .③平行线的应用：在证明相关比率线段时，辅助线经常做平行线, 但应依照的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比 .2. 平行线分线段成比率定理: 三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比率 .A D 已知 AD ∥ BE ∥CF,B E可得AB DE AB DE BC EFBC EFAB BCCFBC EF或DF或或AC 或DE 等.AC AB DE DFEF注：平行线分线段成比率定理的推论：平行线均分线段定理：两条直线被三条平行线所截，若是在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。

《相似三角》要点回顾与考点分析

《相似图形》要点回顾与考点透视告诉你一个事实：给我一块巴掌大的玉石，我能在上面雕刻出古典名著《红楼梦》，也许你会觉得太离谱了，也许你会瞠目结舌：那样的话所写的字该有多小啊？这太难了！但我可以借助于放大镜.其实在放大镜下的玉石和实际的玉石只是大小不同，然而形状却完全相同.你看这是多么神奇啊！为了能弄清问题的本质，让我和同学们一起走进相似的图形世界吧. 希望同学们能感兴趣.一、知识网络二、要点回顾1.在同一单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比，求线段的比时，两条线段的长度单位一定要统一，不过在同一单位下的线段长度的比与选用的单位又无关.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.就是说在四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，那么，这四条线段叫做成比例线段或简称比例线段.2.式子b a ＝dc ，或a ∶b ＝c ∶d 叫做比例式.即比例式是由两个比值相等的比用等号连接而成的，并且在比例式b a ＝dc，或a ∶b ＝c ∶d 中，a 、b 、c 、d 称为比例的项.其中，a 、d叫做比例外项；b 、c 叫做比例内项；d 叫做第四比例项.特别地，若比例中两个比例内项相等时，我们把这一项叫做另外两项的比例中项。

即若a ∶b ＝c ∶d ，则b 叫做a 、c 的比例中项.比例的基本性质是：如果a ∶b ＝c ∶d ，那么ad ＝bc .比例的基本性质反过来也成立，即：如果ad ＝bc ，那么a ∶b ＝c ∶d (ad ≠0)；特别地，如果a ∶b ＝b ∶c ，那么b 2＝ac ；反过来也有如果b 2＝ac ，那么a ∶b ＝b ∶c (bc ≠0).3.把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点.此时还有215-=AB AC ，即AC ∶AB ≈0.618∶1.黄金分割在自然、社会、生活等多方面有着重要的应用，同学们在复习时应注意理解.4.对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.其中对应边的比叫做相似比.相似比应讲究一个顺序性.5.识别两个三角形相似常有以下几种方法：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；②如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；③如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且这两条边的夹角也对应相等，那么这两个三角形相似；④如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；⑤平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）截得的三角形与原三角形相似.特别地对于直角三角形相似，除了运用一般地三角形相似的判定方法外，还有其特殊的判定方法，即：①如果一个直角三角形的一个锐角与另一个直角三角形的一个锐角边对应相等，那么这两个直角三角形相似；②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原直角三角形相似.6.相似三角形有以下几个重要性质：①相似三角形的对角相等，对应边成比例；②相似三角形对应线段的比等于它们的相似比，即相似三角形对应边的比、对应中线、对应角平分线、对应高、对应周长的比都等于相似比；③相似三角形的对应面积的比等于相似比的平方.7.利用相似三角形的有关知识可以测量一些建筑物的高度.如测量旗杆的高度：方法1：利用太阳光的影子.即如图1，让一名同学站立于旗杆的影子的末端D 处，测出旗杆影长BD ，再测出这名同学的高度C 和影长在BD ，由于此时△ABD ∽△CDE ，即可求出旗杆高AB .图1D图2DE图3D M方法2：利用标杆.即如图2，选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆，当旗杆的顶部、标杆的顶端与人的眼睛恰好在一条直线上时，分别测出观测者的脚到标杆底部的距离DE和到旗杆底部的距离BE，再测出标杆的高CD，利用相似三角形的知识即可求出旗杆的高AB.方法3：利用镜子的反射.即如图3，选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，当观测者看到旗杆的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测出观测者的脚到镜子的距离DM和旗杆底部到镜子的距离BM，再测出观测者的高CD，由于∠AMB=∠CMD，易得△AMB∽△CMD，即可求出旗杆高AB.8.相似多边形的周长比等于它们的相似比，相似多边形的面积比等于它们的相似比的平方，相似多边形对应对角线的比也等于它们的相似比.9.两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小，在作位似变换时，可以把位似中心取在多边形的外部、内部、多边形的边或顶点上.三、方法导引1.比例的基本性质是比例式变形、求值、证明的重要依据．在比例式变形、求值、证明中，引人参数k的方法能化繁为简、化难为易.2.灵活运用相似三角形的判定条件解决有关问题，关键是确定相似三角形，通常按下列思路分析：①若已有一组角相等，可再找另一组角相等；或者再找这组角的两边对应成比例.②若已有两组边对应成比例，可再找夹角相等；或者再找第三组边也对应成比例.难点在于找准对应关系.一般地图形中的对顶角、公共角、同角（等角）的余角（或补角）相等或者已知相等的两个角，可能是对应角.最大的边（角）的对角（边）可能是对应角（边），最小的边（角）的对角（边）可能是对应角（边），余下的第三对边（角）的对角（边）可能是对应角（边）.3.由待求的比例式可按如下步骤分析：“横找三角形，竖找对应边，再找对应角”.或也可按“竖找三角形，横找对应边，再找对应角”的方法分析，找出待证的相似三角形.在应用上述方法无法解决时，可利用中间量（中间线段、中间比、中间积等）进行代换，转化为容易解决的问题.四、考点解析所选例题均出版2009年全国部分省市中考试卷. 考点1 线段成比例例1（上海市)如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（） A .AD DF ＝BCCEB .BC CE ＝DFADC .CD EF ＝BCBED .CD EF ＝ADAF分析由平行线分线段成比例的意义逐一对照即求. 解因为AB ∥CD ∥EF ，所以AD DF ＝BCCE.故应选A . 说明由平行线写出的成比例线段时，一定要对照图形，按照一定的顺序进行，切不可以随便乱写一通，从而造成错误.考点2 黄金分割例2（孝感市）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A .4cmB .6cmC .8cmD .10cm分析若设出穿的高跟鞋的高度为acm ，由条件可先求出x 的值，进而利用黄金分割的意义列式求解.解若设出穿的高跟鞋的高度为acm ，因为某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，所以165x＝0.60，解得x ＝0.60×165. 又由黄金分割的意义，得x a l a ++＝0.618，即0.60165165aa⨯++＝0.618，解得a ≈8.故应选C .说明求解本题时除了要能灵活运用黄金分割的概念外，还必须弄清楚各个量的意义，不能弄错.考点3 相似三角形的性质例3（凉山州）已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且S △ABC ∶S △A ′B ′C ′＝1∶2，则AB ∶A ′B ′＝＿＿＿. 分析已知两个三角形相似，且知道面积之比，要求对应边的比，于是可利用相似三角形的性质使线段之比转化成面积比即可求解.A B D C EF解因为△ABC ∽△A ′B ′C ′，且S △ABC ∶S △A ′B ′C ′＝1∶2，所以ABC A B C S S ''' ＝2AB A B ⎛⎫⎪''⎝⎭＝12，即ABA B ''，所以AB ∶A ′B ′＝1. 说明本题是逆用相似三角形的性质求解. 考点4 相似三角形的判定例4（滨州市）如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③ACCD＝ABBC；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为（） A .1B .2C .3D .4分析利用相似三角形的判定，结合图形特征求解.解由相似三角形的条件，并由图形特征可知①∠B＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；④AC 2＝AD ·AB ；都能单独判定△ABC ∽△ACD .故应选C .说明求解此类问题一定要注意从图形中及时发现隐含条件.如，本题中的∠A 是两个三角形的公共角.考点5 相似三角形的实际应用例5（陕西省）小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同.此时，测得小明落在墙上的影子高度CD ＝1.2m ，CE ＝0.8m ，CA ＝30m （点A 、E 、C 在同一直线上）.已知小明的身高EF 是1.7m ，请你帮小明求出楼高AB （结果精确到0.1m ）.分析要求楼高AB ，由太阳光所成影子的特点，可通过辅助线构造出三角形，加上人和大楼都垂直于地面，可得到相关的三角形相似，从而列式求解.ACDB解过点D 作DG ⊥AB ，分别交AB 、EF 于点G 、H ，则EH ＝AG ＝CD ＝1.2，DH ＝CE ＝0.8，DG ＝CA ＝30，FH ＝EF －EH ＝1.7－1.2＝0.5.因为EF ∥AB ，所以△DHF ∽△DGB ，所以FH BG ＝DHDG，即0.5BG ＝0.830，解之，得BG ＝18.75.所以AB ＝BG +AG ＝18.75+1.2＝19.95≈20.0. 答：楼高AB 约为20.0米.说明本题是利用相似三角形的知识解决生活中的高度测量问题，求解时应通过适当的辅助线将问题及时转化，从而运用相似三角形的性质列式求解.考点6 相似多边形例6（济宁市）如图，在长为8cm 、宽为4cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A .2cm 2B .4cm 2C .8cm 2D .16cm 2分析依题意，原矩形的面积等于8×4＝32（cm 2），留下的矩形长刚好是原矩形的宽，即两个矩形的相似比等于4∶8，此时，要求阴影部分的面积，利用相似多边形的面积比等于相似比的平方求得.解设图中阴影部分的面积为xcm 2，因为两个矩形相似，所以32x ＝248⎛⎫⎪⎝⎭，解得x ＝8.故应选C .说明研究相似多边形时，应注意哪是对应边，哪是对应角，否则就容易出现错误. 考点7 图形的位似例7（宁德市）如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2∶3，已知AB ＝4，则DE 的长为＿＿＿.分析利用位似图形对应边的比等于位似比列式求解.解因为△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2∶3，所以AB ∶DE ＝2∶3，而AB ＝4，所以4∶DE ＝2∶3，解得DE ＝6.说明本题考查位似图形，解题时，可通过观察图形结合所给数据和位似比直接计算结CODEFA B果.考点8 动点与图形的相似例8（上海市）已知∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，AD ∥BC ，P 为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足ABADPC PQ（如图1所示）. （1）当AD ＝2，且点Q 与点B 重合时（如图2所示），求线段PC 的长；（2）在图1中，联结AP .当AD ＝32，且点Q 在线段AB 上时，设点B 、Q 之间的距离为x ，APQ PBCS S △△＝y ，其中S △APQ 表示△APQ 的面积，S △PBC 表示△PBC 的面积，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD ＜AB ，且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图3所示），求∠QPC 的大小.分析（1）由题意，结合图形容易知道∠D ＝45°，进而求解.（2）从APQ PBCS S △△＝y 出发，可引进参数，将这两个三角形的面积都用k 来表示，从而求解.（3）易得Rt △ABD ∽Rt △EPB ，进而得到Rt △PQF ∽Rt △PCE ，于是可得∠QPC ＝90°.解（1）如图2，因为Rt △ABD 中，AB ＝2，AD ＝2，所以PQ PC ＝ADAB ＝1，∠D ＝45°，所以PQ ＝PC ，即PB ＝PC ，过点P 作PE ⊥BC ，则BE ＝12BC ＝32.而∠PBC ＝∠D ＝45°，所以PC ＝PB ＝223. （2）在图1中，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥AB 于点F . 因为∠A ＝∠PEB ＝90°，∠D ＝∠PBE ，所以Rt △ABD ∽Rt △EPB ，所以EB EP＝AD AB ＝32÷2＝34.设EB ＝3k ，则EP ＝4k ，PF ＝EB ＝3k ， A D PCBQ 图1DAPCB（Q ）图2图3CADPB QF FEE所以S △BPC ＝12×BC ×PE ＝12×3×4k ＝6k ， S △APQ ＝AQ AB ×S △APB ＝22x -×12×AB ×PF ＝22x -×12×2×3k ＝()232x k -⋅，所以y ＝APQ PBCS S △△＝()1223k x k -⋅＝42x-，函数定义域为0≤x ＜2.（3）答：90°.证明：在图3中，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥AB 于点F . 因为∠A ＝∠PEB ＝90°，∠D ＝∠PBE ，所以Rt △ABD ∽Rt △EPB ，所以EB EP＝ADAB ，所以PQ PC ＝AD AB ＝EB PE ＝PFPE，所以Rt △PQF ∽Rt △PCE ，所以∠FPQ ＝∠EPC ，所以∠EPC +∠QPE ＝∠FPQ +∠QPE ＝90°.说明本题意在考查对等腰直角三角形、相似三角形、共高三角形的面积、直角三角形相似的判定等知识的理解与运用.相似考点例析相似变换是图形的一种变换，是初中数学中最基础、最重要的一部分内容，也是中考数学中的重要内容。

小专题(六) 相似三角形的辅助线添作技巧

小专题(六) 相似三角形的辅助线添作技巧本专题主要通过添加适当的辅助线构造相似三角形,运用相似三角形的知识来解决数学问题.添作辅助线的方法有:添作平行线、添作垂线、连接线段等.类型1 巧添平行线求线段的比1.如图,在△ABC 中,点D ,E 分别在BC ,AC 上,BE 与AD 交于点F ,且BD=DC ,AE ∶AC=1∶3,求AFFD 的值.解:过点A 作AG ∥BC 交BE 的延长线于点G ,那么△AEG ∽△CEB ,△AFG ∽△DFB ,∴AG BC =AE EC =12,又BD=DC , ∴AG=BD ,∴AFFD =AGBD =1.2.如图,在▱ABCD 中,E 是BC 的中点,在AB 上截取BF=12FA ,EF 交BD 于点G ,求BG ∶GD 的值.解:过点E 作EM ∥AB 交BD 于点M ,那么△BFG ∽△MEG ,∴BGGM =BFEM .∵AB ∥CD ,∴EM ∥CD ,∵BE=EC ,∴BM=MD ,∴EM=12CD ,∵BF=12FA ,∴BF=13AB , ∵AB=CD ,∴BFEM =BGGM =23,∵BM=MD ,∴BG ∶GD=2∶8=1∶4.类型2 巧连线段证线段之间的关系3.如图,在正方形ABCD 中,M 为AD 中点,以M 为顶点作∠BMN=∠MBC ,MN 交CD 于点N. 求证:DN=2NC.解:延长MN ,BC 交于点E ,连接MC ,设AB=2a ,那么AM=a ,BM=√5a.由△BAM≌△CDM,那么BM=MC,且∠BCM=∠CBM=∠BMN.∴△BMC∽△BEM.∴BMBE =BCBM,即√5aBE=√5a,∴BE=52a,∴CE=BE-BC=52a-2a=12a.∵四边形ABCD为正方形,∴∠D=∠DCB=90°,即∠D=∠NCE=90°.∵∠DNM=∠CNE,∴△MDN∽△ECN,∴DNNC =MDCE=a12a=2,即DN=2NC.4.如图,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处(AE为折痕,点E在CD上),在AD上截取DG,使DG=CF.求证:(1)△ABF∽△FCE;(2)BD⊥GE.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABF=∠C=∠ADC=90°,∴∠BAF+∠BFA=90°,由折叠的性质可得∠AFE=∠ADC=90°,∴∠CFE+∠BFA=90°,∴∠BAF=∠CFE,∴△ABF∽△FCE.(2)由(1)知EFAF =FCAB,又EF=ED,AF=AD,FC=GD,∴DEAD=GDAB.又∵∠BAD=∠GDE=90°,∴△BAD∽△GDE,∴∠ADB=∠DEG,又∠ADB+∠BDC=90°,∠DEG+∠BDC=90°,∴BD⊥GE.类型3巧添垂线求线段的长5.如图,矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点,点F在边BC上,且BF=2FC,AF分别与DE,DB相交于点M,N,求MN的长.解:过点F作FH⊥AD于点H,交ED于点O,那么FH=AB=2,∵BF=2FC,BC=AD=3,∴BF=AH=2,FC=HD=1,∴AF=√FH 2+AH 2=√22+22=2√2,∵OH ∥AE ,∴HO AE =DH AD =13,∴OH=13AE=13,∴OF=FH-OH=2-13=53,∵AE ∥FO ,∴△AME ∽FMO ,∴AM FM =AE FO ,即AM FM =153=35,∴AM=38AF=3√24,∵AD ∥BF ,∴△AND ∽△FNB ,∴ANFN =AD BF =32,∴AN=35AF=6√25,∴MN=AN-AM=6√25−3√24=9√220. 类型4 巧添垂线求线段的比6.如图,在△ABC 中,AB=AC ,E ,F ,G 分别是BC ,AB ,AC 上一点,∠FEG=2∠B. (1)求证:∠BFE=∠AGE ; (2)假设BECE =12,求EFEG 的值.解:(1)∵2∠B+∠A=180°,∴∠FEG+∠A=180°,∴∠BFE=∠AGE. (2)过点E 作EM ⊥AB 于点M ,作EN ⊥AC 于点N ,∴△EMF ∽△ENG ,∴EFEG =EM EN ,易证△EBM ∽△ECN ,∴EM EN=BECE=12,∴EF EG=12.7.如图,△ABC 中,AB=AC ,∠BAC<60°,D 为BC 延长线上一点,E 为∠ACD 内部一点,且∠ABE=∠ECD=45°,求BE AC的值.解:作AF ⊥BC 于点F ,BG ⊥CE 交EC 的延长线于点G.∵AB=AC ,∴BF=FC=12BC.∵∠ABE=∠ECD=∠BCG=45°,∴∠CBG=45°,BG=√22BC=√2BF.又∵∠ABF=∠EBG ,∴Rt △ABF ∽Rt △EBG ,∴BEAB =BGBF =√2,∴BEAC =√2.8.如图,将一个直角三角板的直角顶点P 放在矩形ABCD 的对角线BD 上滑动,并使其一条直角边始终经过点A ,另一条直角边与BC 相交于点E ,且AD=10,DC=8,求AP ∶PE 的值.解:过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,易证△APM∽△EPN,那么AP∶PE=PM∶PN=AD∶DC=10∶8=5∶4.。

相似三角形证明技巧(整理)

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似三角形(1)三角形相似的条件：①；② ；③ . 二、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.三、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理2 找顶角对应相等判定定理1找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3四、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。

例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE（判断“横定”还是“竖定”？）a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。

相似三角形的判定方法总结

相似三角形的判定方法总结相似三角形是指具有相同形状但不一定相等的三角形，它们对应角相等，对应边成比例。

相似三角形的判定方法是数学中的重要知识点，下面将对相似三角形的判定方法进行总结。

一、AA判定法AA判定法是指当两个三角形的两个对应角分别相等时，这两个三角形相似。

具体来说，如果两个三角形有两对对应角相等，则这两个三角形相似。

这是由于相等的对应角可以确定相似三角形的对应边成比例。

二、SAS判定法SAS判定法是指当两个三角形的一个对应边成比例，同时夹在这两个边之间的两个对应角分别相等时，这两个三角形相似。

具体说来，如果两个三角形有一个对应边成比例，且夹在这两个边之间的两个对应角分别相等，则这两个三角形相似。

三、SSS判定法SSS判定法是指当两个三角形的三对对应边成比例时，这两个三角形相似。

具体说来，如果两个三角形的三对对应边长度成比例，则这两个三角形相似。

四、辅助线法辅助线法是指通过引入辅助线，使得两个三角形之间存在相等的对应角或对应边长度成比例的关系来判定相似。

常用的辅助线有角平分线、中位线、高、垂线等。

五、等角三角形判定法等角三角形是指拥有相同大小的三个角的三角形，对应的边长成比例。

如果两个三角形中有一个角相等，且另两个角分别相等，则这两个三角形相似。

六、勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理也可以用来判定两个三角形是否相似。

勾股定理指出若两个三角形的两条直角边比例相等，则这两个三角形相似；逆定理则指出若两个三角形相似，则它们的两条直角边比例相等。

七、相似三角形的性质相似三角形具有一些特殊的性质，包括对应角相等、对应边成比例、周长比例相等、面积比例相等等。

通过以上总结，我们可以看到不同的判定方法适用于不同的情况。

在解决问题时，我们可以根据已知条件选择合适的判定方法，从而得出结论。

熟练掌握相似三角形的判定方法，对于解决相关的几何问题具有重要的指导意义。

相似形中常用的辅助线

相似形中常用的辅助线山东程方岩添加辅助线实际上就是构造出某种图形，构造哪些图形？这就需要掌握一些基本图形．相似三角形中的基本图形如下图所示：这些基本图形可以把它们当作一种数学模型，在解决问题时就可以去观察，看看能不能运用上它们，这就是建模的思想方法．1、添加平行线构造平行线型基本图形，我们称之为“A”、“X”型．例1、已知：如图，过△ABC 的顶点C 任作一条直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ，求证:AE:ED=2AF:FB ．分析：要证线段成比例，而题中没有平行条件，故无法证明，所以想到引平行线，构建基本图形“A”、“X”型.证明：过B 作BN ∥CF 交AD 的延长线于N ，∴.,BDCD DNED EN AE FBAF ==∵BD=CD ，∴2ED=2DN=EN ， ∴,2EDAE FB AF =∴AE:ED=2AF:FB ．注意：引平行线时注意以下几点：（1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项（或后项）在同一直线的线段的端点作为引平行线的点；（2）引平行线时尽量使较多已知线段来求证线段成比例；（3）引平行线的实质是构造“A”、“X”型基本图形，在上例中过每个已知点均可引平行线构造“A”型或“X”型，进而使结论获证，故本题有多种证法，仅过E 点就有四种方法，都能证明结认正确，有兴趣的读者可以去研究．2、根据条件，构造相似三角形的基本图形．例2、在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别用a 、b 、c 表示．（1）如图，在△ABC 中，平行线型CCBNEFDCBA图（2）图（1）a baCBACBA∠A=2∠B ，且∠A=600，求证：a 2=b （b+c ）；（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．（1）中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC ，其中∠A=2∠B ，关系式a 2=b （b+c ）是否仍然成立？并证明你的结论．分析：（1）由∠A=2∠B ，且∠A=600，易得∠C=900．所以在Rt △ABC 中，三边a 、b 、c 之间的关系为，c=2b ，a=3b ．所以a 2=3b 2，b （b+c ）=3b 2，则a 2=b （b+c ）．（2）要证a 2=b （b+c ），则需构造有关a 、b 与（b+c ）的相似的三角形，且a 为公共边．对照基本图形，有类似的图形，这提醒我们延长BA 到D ，使AD=b ，则∠D=∠ACD ，又∠BAC=∠D+∠ACD ，所以∠BAC=2∠D ，得到∠B=∠D ，DC=BC （如图）．于是构造出了有关a 、b 与（b+c ）的三角形，易证△BCD ∽△CAD 相似，于是得到a 2=b （b+c ）．a D CB。

相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结

一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质知识点睛中考要求相似三角形的性质及判定1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）．图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H====''''''''（k 为相似比）．图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D====''''''''（k 为相似比）．图34．相似三角形周长的比等于相似比．如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++．图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△． 2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

相似三角形证明技巧_专题

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形(1)三角形相似的条件：① ；② ；③ .三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等判定定理1 找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题b)己知两边对应成比c)己知一个直角d)有等腰关a)已知一对等例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证: BAAC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？说明理由。

中考相似三角形之常用辅助线

相似三角形之常用辅助线在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。

而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。

因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。

专题一、添加平行线构造“A”“X”型定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：例1、平行四边形ABCD中，E为AB中点，AF：FD＝1：2，求AG：GCG FE D CBAGFED CBA变式练习：已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．求证：．（本题有多种解法，多想想）例2、如图，直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若DCBD＝FAFC=2,求BE:EA的比值. 变式练习：如图，直线交△ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若BDDC＝FEED=2,求BE:EA的比值.例3、BE＝AD，求证：EF·BC＝AC·DFCDBDACABACFEB DACFEB D变式1、如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB·DF=AC·EF。

例4、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF ∶FC=3∶5，EB=8cm, 求AB 、AC 的长.变式：如图，21==DE AE CD BD ，求BFAF。

（试用多种方法解）EDCBAA B CEF A B C EF A BCEF A BC EF说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．总结：（1）遇燕尾，作平行，构造字一般行。

（2）引平行线应注意以下几点：1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。

相似三角形证明技巧_专题

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形(1)三角形相似的条件：① ；② ；③ .三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等判定定理1 找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

模型总结：相似三角形模型解析及辅助线作法梳理

相似三角形（模型-辅助线）一、本章概述相似作为几何学习的一个重要内容，大量的出现在中考试卷中，它与勾股定理和锐角三角形函数并列为初中几何计算三大工具。

本章重点讲解相似的几个模型，如A字形，8字形，一线三等角等模型。

二、知识回顾1、图形的相似（1）相似图形：形状相同的图形叫做相似图形（2）相似多边形：对应角相等，对应边的比相等。

相似多边形对应边的比为相似比。

2.相似三角形（3）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

（4）相似三角形的判定①预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。

②判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

③传递性定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（5）相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例②相似三角形的周长的比等于相似比；对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。

3.位似（6）多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

（7）在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。

1.相似基本模型一、本节概述本节重点讲解“A”字形和“8”字形的应用和构造方法，这两个模型是相似三角形中最为基础的两个模型，但应用十分广泛。

1.“A”字形相似2. ”8”字形相似二、典例精析能力目标：1.熟练掌握正A型相似和正8型相似模型：2.借助平行线构造正A型相似和正8型相似模型解决相关问题。

【例1】已知：图下图，AD（1）若E为AD的中点，射线CE交AB于F，则（2）若E为AD上一点，且,射线CE交AB于F，则思维探究：方法一：通过平行线构造相似解析：过A点作A P//BC交CF于点P,“8”字模型A P CD方法二：过A作A H//CF交BC延长线于H，则方法三：作DK//CF交AB于K,则方法四：作DM//AB交CF于M，则AF=DM,( 2 ) 构造平行线，通过线段比解决问题作B P//AD交CF于点P,大家可尝试过其他点作平行线，解答中用了A点和D点，其它的同学们自己尝试。

相似三角形证明技巧-专题

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形(1)三角形相似的条件：① ；② ；③ . 三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等判定定理1找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BAAC AF AE例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？说明理由。

分析方法：1）先将积式______________2）______________（ “横定”还是“竖定”？）a)已知一角等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关例1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。

相似三角形考点分析(三)---相似中常用的辅助线作法

2023年沪科版九年级上册数学第22章相似形方法技巧专题 相似三角形的辅助线添作技巧

相似三角形之常用辅助线

(完整版)初中相似三角形基本知识点和经典例题

《相似三角》要点回顾与考点分析

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