相似三角形考点分析(三)---相似中常用的辅助线作法

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相似三角形之常用辅助线

在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要

通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。

专题一、添加平行线构造“ A ”“X ”型

定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.

定理的基本图形：

例1、平行四边形ABCD中, E为AB中点，AF: FA 1 : 2,求AG GC

变式练习：

如图，直线交厶ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若—；；=2,求BE:EA的比

值.

例3、BE^ AD,求证：EF- BO AC- DF

变式练习：

已知在△ ABC中，AD是/ BAC的平分线.求证:

AB BD

AC CD

例2、如图，直线交△ ABC的BC,AB两边于D,E,与CA延长线交于F,若 -

=2,求BE:EA的比值.

（本题有多种解法，多想想）

变式1、如图，△ ABC中，AB

上分别截取BD=CE , DE, BC的延长线相交于点F,证明：AB・DF=AC EF。

例4、已知：如图，在△ ABC中，AD为中线，E在AB上, AE=AQ CE交AD于F，EF： FC=3 ： 5，EB=8cm,

求AB AC的长.

AE 1 AF

竺丄，求比。（试用多种方法解）

DE 2 BF

说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧•在解题中方法要灵活，思路要开阔. 总结：（1）遇燕尾，作平行，构造.字一般行。

相似三角形中的辅助线及动点问题(经典题型)

第2讲相似三角形中的辅助线及动点

在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件，

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：

一、作平行线

例1. 如图，∆A B C 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：BF CF BD CE

例2. 如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB ·DF=AC ·EF 。

二、作垂线

例3. 已知：如图两个等积ABC ∆、DBC ∆，若AC 、BD 交于E ，EF ∥AB ，EG ∥CD ，分别交BC 于F 、G ，求证：CF=BG 。

例4. 如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：

⋅。

AB=

⋅

三、作延长线

例5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。

例6. 如图，Rt∆ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG⊥AB 于G，求证：FG2=CF•BF

四、作中线

中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。

例7 如图，ABC

动点题型

1、如图正方形ABCD的边长为2，AE=EB，线段MN的两端点分别在CB、CD上滑动，且MN=1，当CM为何值时△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？

相似三角形的性质典型例题-辅助线的作法

相似三角形的性质--添加辅助线的方法.与相似三角形有关的辅助线

（一）主要是掌握如何根据线段的比例式作平行辅助线

（二）其他辅助线的做法举例

例1 :已知：如图，△ ABC中，AB= AC, BD丄AC于D.

求证：BC2= 2CD- AC.

BC A C

分析：欲证BC= 2CD- AC,只需证-BC二•但因为结论2CD BC

中有“ 2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特

点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造

出单一线段后，再证明三角形相似•由“2”所放的位置

不同，证法也不同.

证法一（构造2CD）:如图，在AC截取DE= DC,

•/ BD丄AC于D,

••• BD是线段CE的垂直平分线,

• BC=BE •/C=/ BEC,

又••• AB= AC,

• / C=/ ABC.

•••△ BCE^A ACB.

• BC _ AC BC AC

"CE BC ，…2CD BC

• B C2= 2CD- AC.

证法二（构造2AC）:如图，在CA的延长线上截取AE= AC,

BE,

•/ AB= AC,

•AB= AC=AE

•••/ EBC=90 , 又••• BD 丄AC.

•••/ EBC=/ BDC=Z EDB=90°, •••/ E=Z DBC,

•△ EB3A BDC

.BC CE BC 2AC

…即

CD BC CD BC

•B C2= 2CD- AC.

证法三（构造一BC ）:如图，取BC的中点E,连结AE,则

EC」BC .

又••• AB=AC,

•AE 丄BC,/ ACE=/ C

相似三角形中的辅助线专题学生版

相似三角形中的辅助线（学生版）

一、作平行线

例1. 如图，∆ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延

长线与BC延长线相交于F，求证：BF

A C

例2. 如图，△ABC中，AB

二、作垂线

3. 如图从ABCD顶点C向AB和AD

E、F，求证：2

AB=

⋅

⋅。

三、作延长线

例5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC

BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21

例6. 如图，Rt∆ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG⊥AB于G，求证：FG2=CF•BF

四、作中线

例7 如图，ABC

∆中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC。

五、综合练习题

1、在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE 交AB于F。

求证：EF×BC=AC×DF

2、ABC

∆中，︒

ACB，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是

∠90

中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：CN

PA:

:=。

22理3、. 如图，中，，，那么吗？试说明

∆ABC AB AC BD AC BC CA CD

=⊥=⋅

由？（用三种解法）

相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)

相似三角形中几种常见的辅助线作法

在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：

一、添加平行线构造“A”“X”型

例1：如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是AD的

中点，求：BE：EF的值.

解法一：过点D作CA的平行线交BF于点P，则

∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE：EF=5：1.

解法二：过点D作BF的平行线交AC于点Q，

∴BE：EF=5：1.

解法三：过点E作BC的平行线交AC于点S，

解法四：过点E作AC的平行线交BC于点T，

∵BD=2DC ∴∴BE：EF=5：1.

变式：如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,求AF：CF的值.

解法一：过点D作CA的平行线交BF于点P，

解法二：过点D作BF的平行线交AC于点Q，

解法三：过点E作BC的平行线交AC于点S，

解法四：过点E作AC的平行线交BC于点T，

，

则2

，

则DC

；

=，

例2：如图，在△ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，

DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：

（证明：过点C 作CG//FD 交AB 于G ）

补充3相似三角形中的辅助线

相似三角形中的辅助线

一、作平行线

例1. 如图，∆A B C

的AB 边和AC 边上各取一点D 和E ，且使AD ＝AE ，DE 延长线与BC 延长线相交于F ，求证：BF CF BD CE =

例2. 如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB ·DF=AC ·EF 。

二、作垂线

例3. 如图从 ABCD F ，求证：AD AE AB ⋅+⋅

D A C

F E

三、作延长线

例4. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。

例5. 如图，Rt∆ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交

BC于F，FG⊥AB于G，求证：FG2=CF•BF

四、作中线

∆中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，例6 如图，ABC

求AC。

五、过渡法（或叫代换法）

有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．

1、等量过渡法（等线段代换法）

遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。

《相似三角形模型》辅助线

相似三角形（模型-辅助线）

一、本章概述

相似作为几何学习的一个重要内容，大量的出现在中考试卷中，它与勾股定理和锐角三角形函数并列为初中几何计算三大工具。本章重点讲解相似的几个模型，如A字形，8字形，一线三等角等模型。

二、知识回顾

1、图形的相似

（1）相似图形：形状相同的图形叫做相似图形

（2）相似多边形：对应角相等，对应边的比相等。相似多边形对应边的比为相似比。

2.相似三角形

（3）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

（4）相似三角形的判定

①预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。

②判定定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

③传递性定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（5）相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等，对应边成比例

②相似三角形的周长的比等于相似比；对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。

3.位似

（6）多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

（7）在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。

1.相似基本模型

一、本节概述

本节重点讲解“A”字形和“8”字形的应用和构造方法，这两个模型是相似三角形中最为基础的两个模型，但应用十分广泛。

相似三角形添加辅助线的方法举例(有答案)

类似三角形添加帮助线的办法举例

例1：已知：如图,△ABC 中,AB ＝AC,BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2

＝2CD ·AC ．

例2

上的一点,

（1

;

（2

值

例3．如图4-1,已知平行四边ABCD 中,E 是

AB 的中点连

E.F 交

AC 于G ．求AG ：AC 的值．

例4.如图4—5,B 为AC 的中点,E 为BD 的中点,则AF ：AE=___________. 例5.如图4-7,已知平行四边形ABCD 中,对角线AC.BD 交于O 点,E 为AB 延伸线上一点,OE 交BC 于F,若AB=a,BC=b,BE=c,求BF 的长．例6.已知在△ABC 中,AD 是∠BAC

类似三角形添加帮助线的办法举例答案

例1：已知：如图,△ABC 中,AB ＝AC,BD ⊥AC 于D ．求证： BC 2＝2CD ·AC ．剖析：欲证

BC 2

＝2CD ·AC,

论中有“2”,无法直接找到它们地点的类似三角形,是以须要联合图形特色及结论情势,经由过程添加帮助线,对个中某一线段进行倍.分变形,结构出单一线段后,再证实三角形类似．由“

2”所放的地位不合,证法也不合．

证法一（结构2CD ）：如图,在AC 截取DE ＝DC, ∵BD ⊥AC 于D,

∴BD 是线段CE 的垂直等分线, ∴BC=BE,∴∠C=∠BEC, 又∵ AB ＝AC, ∴∠C=∠ABC ． ∴△BCE ∽△ACB ．

∴BC 2

＝2CD ·AC ．

证法二（结构2AC ）：如图,在CA 的延伸线上截取AE ＝AC,贯穿连接BE,

相似三角形中的辅助线及动点问题(经典题型)

求出 AP 的长；若不能，请说明理由。
5、如图，矩形 ABCD 中，CH⊥BD，垂足为 H，P 点是 AD 上的一个动点（P 与 A、D 不重合），
60 CP 与 BD 交于 E 点。已知 CH＝ 13 ，DH∶CD＝5∶13，设 AP＝ x ，四边形 ABEP 的面积为 y 。
（1）求 BD 的长；（2）用含 x 的代数式表示 y 。
二、作垂线
例 3. 已知：如图两个等积 ABC 、 DBC ，若 AC、BD 交于 E，EF∥AB，EG∥CD，分别交 BC 于 F、G，求证：CF=BG。
例 4. 如图从
ABCD 顶点 C 向 AB 和 AD 的延长线引垂线 CE 和 CF，垂足分别为 E 、 F ，求证：
AB AE AD AF AC 2 。
2
四、作中线例 7 如图， ABC 中，AB⊥AC，AE⊥BC 于 E，D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求 AC。
动点题型
1、如图正方形 ABCD 的边长为 2，AE=EB，线段 MN 的两端点分别在 CB、CD 上滑动，且 MN=1，当 CM 为何值时△AED 与以 M、N、C 为顶点的三角形相似？
2、如图，正方形 ABCD 的边长为 2，AE＝EB，MN＝1，线段 MN 的两端在 CB、CD 上滑动，当 CM 为何值时，△AED 与以 M、N、C 为顶点的三角形相似？

相似三角形辅助线(教师版)

ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：

〔证明：过点C作CG//FD交AB于G〕

例3：如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF.

分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。.

△EMC∽△ABC〔两角对应相等，两三角形相似〕.

例4：在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。求证：EF×BC=AC×DF

证明：过D作DG∥BC交AB于G，那么△DFG和△EFB相似，

∴∵BE＝AD,∴

由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，∴即

∴EF×BC＝AC×DF.

例5：点D是BC的中点，过D点的直线交AC于E,交BA的延长线于F,求证：

分析：利用比例式够造平行线，通过中间比得结论 .

〔或利用中点〞倍长中线〞的思想平移线段EC,使得所得四条线段分别构成两个三角形.〕

例6：：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求证：BC2=2AC·CD

分析：此题的重点在于如何解决“2”倍的问题；让它归属一条线段，找到这一线段2倍是哪一线段.

例7:：从直角三角形ABC的直角顶点A向斜边BC引垂线，垂足为D，边AC的中点为E,直线ED与边AB的延长线交于F，求证：AB:AC=DF:AF

分析：找到后以比例式所在三角形与哪个三角形相似.

相似三角形常用辅助线

相似三角形之常用辅助线

在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。专题一、添加平行线构造“A ”“X ”型

定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

定理的基本图形：

例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC

变式练习：

已知在△ABC 中，AD 是∠BAC

的平分线．求证：．

（本题有多种解法，多想想）

G F E

BD AC AB

例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若

＝=2,求BE:EA 的比DC BD FA

值.

变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若＝ =2,求BE:EA 的比BD DC FE

ED 值.

例3、BE ＝AD ，求证：EF·BC ＝AC·DF

变式1、如图，△ABC 中，AB<AC ，在AB 、AC 上分别截取BD=CE ，DE ，BC 的延长线相交于点F ，证明：AB·DF=AC·EF 。

牁

D 牁

B D E

例4、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF∶FC=3∶5，EB=8cm,求AB 、AC 的长.

相似三角形常用辅助线

相似三角形之常用辅助线

在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。

专题一、添加平行线构造“A”“X”型

定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

定理的基本图形：

例1、平行四边形ABCD中，E为AB中点，AF：FD＝1：2，求AG：GC

变式练习：

已知在△ABC中，AD是∠BAC

的平分线．求证：．

（本题有多种解法，多想想）G

D C

例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若

DC BD ＝

=2,求BE:EA 的比值.

变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE

ED =2,求BE:EA 的比

值.

例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF

变式1、如图，△ABC 中，AB

B D A

B D E

例4、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF ∶FC=3∶5，EB=8cm, 求AB 、AC 的长.

变式：如图，21==DE AE CD BD ，求

。（试用多种方法解）

说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．总结：

相似三角形之常用辅助线-精选.pdf

CD
例 2、如图，直线交△ ABC的 BC,AB两边于 D,E, 与 CA延长线交于 F, 若 BD ＝ FC =2, 求 BE:EA 的比值 . DC FA
F
A E
B
D
C
BD FE
变式练习：如图，直线交△
ABC的 BC,AB 两边于 D,E, 与 CA延长线交于
F, 若 DC ＝
=2, ED
求 BE:EA 的比
A
D
3. 已知： AM： MD=4： 1， BD： DC=2： 3，求 AE： EC。
B
C F
E
A
E M
B
D
C
4、如图， ABC 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E，且使 AD ＝AE ，DE 延长线与 BC
BF BD 延长线相交于 F，求证： CF CE
B D
A
C
E
F
解法）
v
变式练习：平行四边形 ABCD中， CE⊥AE， CF⊥AF，求证： AB· AE＋ AD· AF＝ AC2 F
D
C
A
B
E
例 2、如图， Rt ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高， E 为 CD 的中点， AE 的延长线交 BC 于 F，FG AB 于 G，求证： FG 2 =CF BF
相似三角形之常用辅助线

相似形中常用的辅助线

山东程方岩

添加辅助线实际上就是构造出某种图形，构造哪些图形？这就需要掌握一些基本图形．相似三角形中的基本图形如下图所示：

这些基本图形可以把它们当作一种数学模型，在解决问题时就可以去观察，看看能不能运用上它们，这就是建模的思想方法．

1、添加平行线构造平行线型基本图形，我们称之为“A”、“X”型．

例1、已知：如图，过△ABC 的顶点C 任作一条直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ，求证:AE:ED=2AF:FB ．

分析：要证线段成比例，而题中没有平行条件，故无法证

明，所以想到引平行线，构建基本图形“A”、“X”型.

证明：过B 作BN ∥CF 交AD 的延长线于N ，

∴.,BD

CD DN

ED EN AE FB

AF ==

∵BD=CD ，∴2ED=2DN=EN ， ∴,2ED

AE FB AF =∴AE:ED=2AF:FB ．注意：引平行线时注意以下几点：（1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项（或后项）在同一直线的线段的端点作为引平行线的点；（2）引平行线时尽量使较多已知线段来求证线段成比例；（3）引平行线的实质是构造“A”、“X”型基本图形，在上例中过每个已知点均可引平行线构造“A”型或“X”型，进而使结论获证，故本题有多种证法，仅过E 点就有四种方法，都能证明结认正确，有兴趣的读者可以去研究．

2、根据条件，构造相似三角形的基本图形．

例2、在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别用a 、b 、c 表示．

（1）如图，在△ABC 中，

平行线型

相似三角形之常用辅助线

定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

定理的基本图形：

例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC

变式练习：已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：．（本题有多种解法，多想想）

G F E

D C

F E

BD AC AB

例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若

BD ＝FA FC

=2,求BE:EA 的比值.

变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE

ED =2,求BE:EA 的比

值.

例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF

变式1、如图，△ABC 中，AB

B D A

B D E

例4、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF ∶FC=3∶5，EB=8cm, 求AB 、AC 的长.

变式：如图，21==DE AE CD BD ，求

。（试用多种方法解）

说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．总结：