3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
隐函数与参数方程确定的函数的导数
sin t cos t
) )
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解
dy dx
dt dx
a sin t sin t a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
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解法2
设 arctan y ln
x2
y2
,求 dy
d2y ,
x
dx dx2
arctan y ln x2 y2 1 ln x2 y2
x 方程两边对x求导得
1
2
1
y
2
y x
1 2
x2
1
y2
(x2
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当 t 时, x a( 1), y a.
2
2所求切线方程为来自ya
x
a(
1)
2
即 y x a( 2 ) 2
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x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x 2)
2
4
即
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3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
解
视 y y( x ) , 方程两边对 x 求导, 得 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy,
y
3 3 ( , ) 2 2
y x2 2 y x
3 3 ( , ) 2 2
1.
3 3 于是,所求切线方程为 y ( x ) , 即 x y 3 0 . 2 2
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例7 解
设 y x
sin x
( x 0), 求y.
ln y sin x ln x
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求 由 方 程 xy e x e y 0 所 确 定 的 隐 函 数y y( x )
dy dy 的导数 , x 0 . dx dx 解 视 y y( x), 方程两边对 x 求导 , 得
2 2 3 12x 2 y xy 12 y ( y ) 4 y y 0, 2
代入 x 0、 y 1 及
y x 0
y 1
1 得 4
y x 0
y 1
1 . 16
四、对数求导法
观察函数 方法:
( x 1)3 x 1 y , 2 x ( x 4) e
注意 y = y (x)
解得
dy 1 dy x cos y 0 dx 2 dx dy 2 dx 2 cos y
上式两边在对 x 求导,得
高等数学 第三章 第4节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数(中央财经大学)
例
d y 设 x + x y + y = 4, 求 . 2 dx
2 2
2
解
对方程两边关于 x 求导:
2 x + y + x y′ + 2 y y ′ = 0
故 2x + y y′ = − x + 2y
想想如何求二阶导数?
解
(
)
1 2 1+ t 2 d y = 2 = = 2 2t 2 ′ 4t dx (ln(1 + t ) ) 1 + t 2
⎛ t ⎞′ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
⎛ 1 + t 2 ⎞′ 2t 2 − 1 − t 2 ⎜ 3 ⎜ 4t ⎟ ⎟ 2 t 4 −1 d y 4t ⎝ ⎠ = = = 3 3 ′ 2t 8t dx (ln(1 + t 2 ) ) 1+ t 2
故
1 (1 − x)(1 − 2 x)(1 + x ) y′ = 3 3 (1 + 5 x)(1 + 8 x)(1 + x 4 )
⎧ −1 −2 2x 5 8 4 x3 ⎫ − − − ⎨1 − x + 1 − 2 x + 2 1 + 5x 1 + 8 x 4⎬ 1+ x 1+ x ⎭ ⎩
2
四、 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数
F ( x, f (x) ) ≡ 0
对上式两边关于 x 求导:
d F ( x , y) = 0 dx
然后, 从这个式子中解出 y ′, 就得到隐函数的导数.
例
求由方程 F ( x , y ) = xy − e x + e y = 0 ( x ≥ 0 ) 所确定的隐函数的导数 y′, 并求 y′
理学求导法则续课隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
解法二:方程两边对 x 求导,注意到 y 是 x 的函数
得: 1 3y2 dy 0 dx
即:
dy 1 dx 3y2
由此可以看出,不管是否化为显函数,求 导结果都是一样的.
5
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例2 求由方程 ex e y xy3 (1 e) 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dx
dy dx
2t 3t
t3 t3
在t
0
处的切线方程和法线方程
解:
dy dy dt 3(1 t2 ) 3 (1 t)
dx dx 2(1 t) 2
dt
dy dx
t0
3 (1 0) 2
3 2
29
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当t 0时, x 0, y 0.
所求切线方程为
y 0 3 (x 0)
2
即
y3x 2
返回
二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d 2 y : dx 2
1、y 1 xe y ; 2、 y tan( x y); 3、x y y x ( x 0,y 0) .
三、用对数求导法则求下列函数的导数: 1、y x x2 ;
2、y x 2(3 x)4 ; ( x 1)5
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
25
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例9.
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
3.4 隐函数及其参变量函数的求导方法_修改
r
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式
2
2
3 3 故切线方程为 y 3 = (x 2) 2 4 即
练习: 求由方程 x y2 e y ln x = 0所确定的隐函 练习: dy 数y = y( x)的导数 . dx
例3. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
∴
1 ′ = cos x ln x + sin x y y x sin x sin x y′ = x (cos x ln x + ) x
′(t) ≠ 0时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且 可求二阶导数 .
x = (t) 利用新的参数方程 dy ψ ′(t) ,可得 = dx ′(t) d2 y d (dy) d dy dx = ( ) = 2 dx dx dt dx dt dx ψ′′(t)′(t) ψ′(t)′′(t) = ′(t) 2 ′ (t)
故
dx = 2(t +1) dt dy 2t = dt 1ε cos y
t dy dy dx = = dt (t +1)(1 ε cos y) dx dt
三、相关变化率
为两可导函数 之间有联系 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率
隐函数及参数方程所确定的函数的导数
解 等式两边取自然对数:
ln y =lnx(1)2ln(3x1)1ln(x2)
3
3
上式两边 x求 对导:
1 y
y =
1 2 31 1 1 x 1 3 3x 1 3 x 2
y =(x 1 )3(3 x 1 )2(x 2 )x1 13x213(x12)
练习
1.设y=(x(x 1)43)2xe x1,求 y.
在参数方程
x = (t)
y
=
(t)
(t)中,如果
x=(t)存在t反 = ~(x 函 ), 则参数 数方程所确定的
函数y可看成由y =( t)t= ,~ (x )复合而成的函数,
即 y= [ ~ (x ).]如y= 果 (t)和 t= ~(x)均可导
且 (t)0 运用复合函数求导法则 ,
则 dy dx
并求 dy
dx
dx x=0
解 e y可以看作 y为中间变量的复合函数,
在方程两边对 x 求导,运用复合函数求导法则 ,
(x yexey)=0 (xy) (ex ) (e y ) =0
y xyx
ex
ey
yx
=0
yx
ex =
xe
y
y
,(xey
0)
为求ddxy|x=0, 先 x= 把 0 代入 x ye 方 xey程 =0 ,
解 等式两边取自然对数得 ln y=x la ntra x cn 上式两边 x求 对导:
(l y ) n = (x la n tra x ) c n
1 y
y
=ln artc axn x 1 arctan x
1
1 x
2
y=yln arcxta(1n x2)x arcxtan
第三节 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
三、相关变化率
一、隐函数的导数
定义:若由方程 F(x,y)=0 可确定 y 是 x 的函数 ,
则称此函数为隐函数. 由 y=f (x) 表示的函数称为显函数.
F ( x, y) 0 y f ( x)
解 等式两边取对数得
a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b y a a b ln 上式两边对 x 求导得 y b x x
x
a
b
a b x a a b ln . y b x a b x x
相关变化率问题:
研究两个变化率之间的关系,以便已知其中一个 变化率时求出另一个变化率 .
相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
例1 一汽球从离开观察员 500 米处离地面铅直 上升 , 其速率为 140米 / 秒 . 当气球高度为 500 米 时 , 观察员视线的仰角增加 率是多少 ?
解 方程两边对x求导得
4 x 3 y xy 4 y 3 y 0
代入 x 0, y 1得
y
x0 y 1
(1)
1 ; 4
二、对数求导法
( x 1) 3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e
对数求导法:
yx
sin x
.
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
dy dx
t 0
例3
不计空气的阻力 以初速度v0 , 发射角 ,
经济数学微积分隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
d 1 d 又 ln f ( x ) f ( x) dx f ( x ) dx
d f ( x ) f ( x ) ln f ( x ) dx
代入 x 0, y 1, y x 0
y 1
1 得 y 4
x0 y 1
1 . 16
★ 对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x sin x .
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. ——对数求导法 适用范围:
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
※二、由参数方程所确定的函数的导数 (differentiation of functions represented parametrically)
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数. x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例5 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解
方程 .
解
dy a sin t sin t dy dt dx dx a a cos t 1 cos t dt π sin dy 2 1. π dx t π 2 1 cos 2
高等数学上24隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数
3、由参数方程所确定的函数的导数 P107
若参数方 xy 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由参数 定方 的程 函 . 所 数确
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
yt2 (x)2 x 2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
例4 设y(x1)3 x1,求 y. (x4)2ex
解 等式两边取对数得
ly n ln x 1 ) ( 1 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x 3
上式两边 x求对导得 y1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
y (x (x 1 ) 4 3 )2 x e x 1 [x 1 1 3 (x 1 1 ) x 2 4 1 ]
在方程 xy ((tt))中,
设函x数 (t)具有单调连续 t的 1(x反 ), 函
y[1(x)]
再设 x ( t)y 函 , ( t) 都 数 ,且 可 ( t) 0 ,导
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dx dt dx
解 方程两x边 求对 导得
4 x 3 y x y 4 y 3 y 0
( 1 )
代x入 0, y1 得y
x0 y1
1 4
;
将方 (1)两 程边x求 再导 对得
1 x 2 2 2 y x y 1 y 2 ( y ) 2 2 4 y 3 y 0
代x 入 0 ,y 1 ,y
x0 y1
1 4
得
y
隐函数及由参数方程所确定函数的导数
d2 y d x2
d dx
(dy) dx
d dt
(dy) dx
ddtx ddxt
(t)(t) (t)(t)
2 (t)
(t )
(t
)
(t) (t) 3 (t )
(t)
注意 : 已知
对谁求导?
?
例6
{ xt2 1
求曲线 yt t 3 在t =1处的切线方程
3.4 隐函数及由参数方程所确定的 函数的导数
一、隐函数的导数
二、由参数方程所 确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
例5 设y ( x2 1)(3x 4)( x 1),求y
解: 将函数取自然对数得
ln y 1 ln( x 2 1) 1 ln( 3x 4) 1 ln( x 1)
2
2
2
两边对x求导得
1 y x 3 1 y x 2 1 2(3x 4) 2( x 1)
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
例3 设y arctan( x 2 y),求 dy dx
解: 两边对x求导得
y
1
(1 2 y)
1 (x 2y)2
解出y, 得
y
1
(x 2y)2 1
隐函数与参数方程确定函数的求导方法
x2 求椭圆
4
y2 3
1上点
(1,
3 2
)
处的切线方程.
解 在方程两边同时对 x 求导,有 x 2yy 0 ,
23
解得 y 3x 。从而椭圆 x2 y2 1在点(1, 3 ) 处的切线
4y
43
2
斜率为 k 3x 1 ,故所求切线方程为
4y
x1 y3
2
2
y 3 1 x 1 ,即 x 2 y 4 。
2
sin y ( 1 )
1 cos y (1 cos y)2
sin y (1 cos y)3
。
18-8
方法二 在等式1+ dy cos y dy 0 两边同时对 x 求导,
dx
dx
得
0
d2 y dx2
sin
y
dy dx
dy dx
cos
y
d2 y dx2
0,
解得
d2 y dx2
sin y (dy )2 dx
(y
0)
。
18-13
如果不能从中消去参数,问如何求其导数?
设(t), (t) 均可导,且 x (t) 在 t 的某个区间内单
调,则由反函数存在定理知,存在连续、可导的反函数
t 1(x) ,这样 y (t) 与 t 1(x) 就构成了复合函数
y [ 1(x)]。则
dy
dy dx
dy dt
22
18-6
例 3.4.4 设 y y(x) 是由方程 x2 xy 1 ey 所确定的
隐函数,则 dy dx x0
解 在方程两边同时对
x
0。
求导,得
2x
3.4 隐函数
假定方程 F ( x , y ) 0 隐函数
能够确定
y f ( x ), 并且函数 f 可导.
问题:在不解出显式 y f ( x ) 的情况下, 如何求出导数?
隐函数求导法
在方程 F ( x, y ) 0中, 把 y 看成 x 的函数: y y ( x), 于是方程可看成 关于 x 的恒等式: F ( x, y ( x)) 0 两边对 x 求导, 解出 y . x
按幂函数求导公式
按指数函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
y [ ( x )]
利用复合函数和反函数微分法, 得
dy dy dt dy dx dt dx dt
dx ( t ) dt ( t )
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
(sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
1 x
ln x 3
3 x x 2x 2 1 2 ln x 3(2 x) 3(2 x) (2 x)
3. 设
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数(3)
称为 隐函数(implicit function). y = f (x)的形式称为 显函数.
F(x, y) 0 例
y f ( x) 隐函数的 显化. 可确定显函数
开普勒方程
y关于x
的隐函数客观存在, 但无法将y表达成x的显式表
达式.
2021/4/22
2
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
5
考研(数学二) 填空, 4分
隐函数
设函数y=f (x)由方程 xy 2ln x y4所确定,
则曲线y=f (x)在点(1,1)处的切线方程是( x y )0. 解 将方程两边求微分, 得 ydx xdy 2 dx 4 y3dy x
再将点(1,1)代入上方程, 得 dy 1 dx (1,1)
2021/4/22
11
设 y xsinx ( x 0), 求y.
解2
等式两边取对数, 得 ln y sin x ln x
再将上式两边求微分, 得 d(u v) vdu udv
1 dy ln x (cos xdx) sin x ( 1 dx), y [cos x ln x sin x]dx, x
23
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
星形线
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
y
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin2 t cos t 3a cos2 t( sin t)
dt
a
aa
O
x
a
tan t,
d2 y dx 2
d (dy ) dx dx
隐函数及参数方程所确定的函数的求导法
谢谢聆听
一、隐函数的导数
把一个隐函数化成显函数,叫作隐函数的显化.例如, 从方程3x+y2+5=0解出y=± √ -5-3x,就把隐函数化成显函 数.隐函数的显化有时是有困难的,甚至是不可能的.例如, ey=y+x在x的一定变化范围内虽然也能确定一个隐函数y=f (x),却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数的求导方法.
设y=f(x)是由F(x,y)=0所确定的隐函数,则F(x, f(x))=0.由于此式左端是将y=f(x)代入F(x,y)所 得到的复合函数,因此,根据链式法则将等式两边对x求导, 便可得到所求的导数.
我们通过几个例子来说明这种方法.
一、隐函数的导数
【例1】
求方程xy-ex+ey=0所确定的隐函数y=f(x)的导数 . 解 方程两端同时对x求导,并注意到y是x的函数,得
下面举几个例子.
一、隐函数的导数
【例4】
求函数y=xx(x>0)的导数. 解 这是幂指函数,求导数时,既不能用幂函数的导数 公式,也不能用指数函数的导数公式. 对等式两边取对数,得
lny=xlnx, 两边对x求导,得
一、隐函数的导数
【例5】
二、由参数方程所确定的函数的导数
函数关系除了用显式和隐式表示外,还可以用参数 方程来表示.
一般的,如果参数方程x=φ(t), 确定y与x之间的函数关系,则称此函数关系所表示的函 数为由参数方程所确定的函数.
对于参数方程所确定的函数的求导,通常不需要由 参数方程消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求 导.
二、由参数方程所确定的函数的导数
如果函数φ(t)和ψ(t)都可导,φ′(t)≠0且x=φ(t) 存在反函数t=φ-1(x),则y为x的复合函数.根据复合函数求 导法则,得
高等数学 导数与微分 (3.4.1)--隐函数与参数方程求导法
ᄁ(t) ᄁ(t)
.
例2
已
知
星
形
线
的
参
数
方
Байду номын сангаас
x 程为y
= =
a a
cos3 sin 3
t t
(a
0)
, 试证 : 其上任一点处的切线被坐
标 轴曲所线截的得的斜线率段是的y长对度为x 的定导值 数. , 而非 y 对 t 的导数 .
3.4.3 极坐标方程表示的函数的导数
设曲线的极坐标方程为 r = r(), 化为参数方
Chap3 ― 4
隐函数与参数方程求导 法
3.4.1 隐函数的导数
原则 方程 F(x, y) = 0 两端对 x 求导 , 视 y 为隐函 数 y(x), 再解出 y'(x).
例 1 设 y = f (x) 是由方程 xy +ln y = 1 所确定的
隐函数
(1y)' g'(1).
求
= -1
yf2 '(x);
程 x = r()cos, y = r()sin, 极角为的点处切
线斜率
dy dx
=
rᄁ( ) sin rᄁ( ) cos
+ r( ) cos - r( ) sin
.
例 3 求曲线 r = asin2 (a 为常数 ) 在 = /4 处的切线和法线方程 .
切线x + y = 2a,法线x - y = 0
+ xy
(2)
若
g(x)
=
f
(gln'(1x) )=e-f (ex2),� � �e求+
1 2
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第4节--隐函数及由参数方程确定的函数的导数--相关变化率
第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 相关变化率 教学目的: 熟悉隐函数的概念;掌握隐函数的求导法则;掌握由参数方程所确定的函数的求导方法.教学重点:隐函数的导数;由参数方程所确定的函数的导;相关变化率;对数求导法 教学难点:隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法,幂指函数的求导法教学内容:一、隐函数的导数显函数: 形如y f (x )的函数称为显函数. 例如y sin x , y ln x +e x . 隐函数: 由方程F (x , y )0所确定的函数称为隐函数.例如, 方程x y 3 10确定的隐函数为y 31x y -=. 如果在方程F (x , y )0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )0在该区间内确定了一个隐函数.把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.例1.求由方程e y xy e 0 所确定的隐函数y 的导数.解: 把方程两边的每一项对x 求导数得(e y )¢(xy )¢(e )¢(0)¢,即 e y y ¢y xy ¢0,从而 ye x y y +-='(x e y 0). 例2.求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数yf (x )在x =0处的导数y |x 0.解: 把方程两边分别对x 求导数得5y ×y 2y 121x 60,由此得 2521146++='y x y . 因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以21|25211|0460=++='==x x y x y . 例3. 求椭圆191622=+y x 在)323 ,2(处的切线方程. 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得0928='⋅+y y x . 从而 yx y 169-='. 当x 2时, 323=y , 代入上式得所求切线的斜率42=x 所求的切线方程为 )2(43323--=-x y , 即03843=-+y x . 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得0928='⋅+y y x . 将x 2, 323=y , 代入上式得 03141='⋅+y , 于是 k y |x 243-=. 所求的切线方程为)2(43323--=-x y , 即03843=-+y x . 例4.求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数.解: 方程两边对x 求导, 得0cos 211=⋅+-dx dy y dx dy , 于是 ydx dy cos 22-=. 上式两边再对x 求导, 得3222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dx dyy dx y d --=-⋅-=. 隐函数求导方法小结:(1)方程两端同时对x 求导数,注意把y 当作复合函数求导的中间变量来看待.(2)从求导后的方程中解出y '来.(3)隐函数求导允许其结果中含有y .但求某一点的导数时不但要把x 值代进去,还要把对应的y 值代进去.对数求导法: 这种方法是先在y f (x )的两边取对数, 然后再求出y 的导数. 设y f (x ), 两边取对数, 得ln y ln f (x ),两边对x 求导, 得y y f (x )×[ln f (x )]. 对数求导法适用于求幂指函数y [u (x )]v (x )的导数及多因子之积和商的导数.例5.求y x sin x (x >0)的导数.解法一: 两边取对数, 得ln y sin x ln x ,上式两边对x 求导, 得 xx x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=', 于是 )1sin ln (cos xx x x y y ⋅+⋅=' )sin ln (cos sin xx x x x x +⋅=. 解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:y x sin x e sin x ·ln x ,)sin ln (cos )ln (sin sin ln sin xx x x x x x e y x x x +⋅='⋅='⋅. 例6. 求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y 的导数. 解: 先在两边取对数(假定x >4), 得ln y 21=[ln(x 1)ln(x 2)ln(x 3)ln(x 4)],上式两边对x 求导, 得)41312111(211-----+-='x x x x y y , 于是 )41312111(2-----+-='x x x x y y . 当x <1时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 当2<x <3时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 用同样方法可得与上面相同的结果.注 严格来说, 本题应分x 4, x 1, 2x3三种情况讨论, 但结果都是一样的.二、由参数方程所确定的函数的导数 设y 与x 的函数关系是由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数.设x (t )具有单调连续反函数t (x ), 且此反函数能与函数y (t )构成复合函数y [(x ) ], 若x (t )和y (t )都可导, 则)()(1t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=,即 )()(t t dx dy ϕψ''=或dt dx dt dy dx dy =. 若x (t )和y (t )都可导, 则)()(t t dx dy ϕψ''=. 例7. 求椭圆⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 在相应于4 π=t 点处的切线方程. 解: t ab t a t b t a t b dx dy cot sin cos )cos ()sin (-=-=''=. 所求切线的斜率为ab dx dyt -==4π. 切点的坐标为224 cos 0a a x ==π, 224sin 0b b y ==π. 切线方程为)22(22a x a b b y --=-, 即 bx ay 2-ab 0.例8.抛射体运动轨迹的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==22121gt t v y t v x , 求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向. yv 2t g t 2解: 先求速度的大小.速度的水平分量与铅直分量分别为x ¢(t )v 1, y ¢(t )v 2gt ,所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为22)]([)]([t y t x v '+'=2221)(gt v v -+=. 再求速度的方向,设是切线的倾角, 则轨道的切线方向为12)()(tan v gt v t x t y dx dy -=''==α. 已知x(t ), y (t ), 如何求二阶导数y ? 由x(t ), )()(t t dx dy ϕψ''=, dxdt t t dt d dx dy dx d dx y d ))()(()(22ϕψ''== )(1)()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'⋅''''-'''=)()()()()(3t t t t t ϕϕψϕψ''''-'''=. 例9.计算由摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 所确定 的函数y f (x )的二阶导数.解: )()(t x t y dx dy ''=)cos 1(sin ])sin ([])cos 1([t a t a t t a t a -='-'-= 2cot cos 1sin t t t =-=(t 2n , n 为整数). dxdt t dt d dx dy dx d dx y d ⋅==)2(cot )(22 22)cos 1(1)cos 1(12sin 21t a t a t --=-⋅-= (t 2n , n 为整数).三、相关变化率设xx (t )及y y (t )都是可导函数 而变量x 与y 间存在某种关系 从而变化率dt dx 与dtdy 间也存在一定关系 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系 以便从其中一个变化率求出另一个变化率例10一气球从离开观察员500f 处离地面铅直上升 其速度为140m/min(分) 当气球高度为500m 时 观察员视线的仰角增加率是多少?解 设气球上升t (秒)后 其高度为h 观察员视线的仰角为 则500tan h=α其中及h 都是时间t 的函数 上式两边对t 求导 得dt dhdt d ⋅=⋅5001sec 2αα已知140=dt dh (米/秒) 又当h 500(米)时 tan1 sec2 2 代入上式得 14050012⋅=dt d α所以 14.050070==dt d α(弧度/秒) 即观察员视线的仰角增加率是每秒0 14弧度小结:本节讲述了隐函数和参数方程确定的函数的求导方法,利用取对数的方法解决了幂指函数的求导问题.思考:对幂指数函数()()(()0)v x y u x u x => 你有几种求导方法?作业:见习题册 (注:可编辑下载,若有不当之处,请指正,谢谢!)。
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d y ψ ′( t ) = d x ϕ ′( t )
ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) 1 ⋅ = 2 ϕ ′ (t ) ϕ ′( t )
1 1 2 1 dx + dx − dx − dx dy = x +1 3( x − 1) x+4 y 1 1 2 =[ + − − 1]dx x + 1 3( x − 1) x + 4
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3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
例 设 y = x sin x ( x > 0), 求y′. 等式两边取对数, 解 等式两边取对数 得 ln y = sin x ⋅ ln x 再将上式两边求微分, 再将上式两边求微分 得 d(u⋅ v) = vdu + udv
隐函数 设函数y=f (x)由方程 xy + 2 ln x = y 4所确定, 设函数 由方程 所确定 则曲线y=f (x)在点 则曲线 在点(1,1)处的切线方程是 x − y = 0). 处的切线方程是( 在点 处的切线方程是 解 将方程两边求微分 得 将方程两边求微分, 2 ydx + xdy + dx = 4 y 3dy x dy =1 再将点(1,1)代入上方程 得 代入上方程, 再将点 代入上方程 d x ( 1 ,1 ) 切线方程为 即
y − 1 = 1 ⋅ ( x − 1)
x− y =0
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3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
1 d2 y 例 设 x − y + sin y = 0, 求 2 . 2 dx
将方程两边求微分, 解 将方程两边求微分 得 1 d( x − y + sin y ) = d( 0) = 0, 2 1 dx − dy + cos ydy = 0, 2 2 dy = dx , 2 − cos y dy 2 复合函数求导法则, 用复合函数求导法则 , = 解得 注意变量 变量y是 的函数 的函数. d x 2 − cos y 注意变量 是x的函数
x = 0 ⇒ t = 0;
x = 2 πa ⇒ t = 2 π .
2π
0
A= ∫
2 πa
0
ydx = ∫ a (1 − cos t ) a (1 − cos t ) dt
16 16
= 3πa 2 .
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
考研数学二, 填空4分 考研数学二 填空 分
ln y = ln x sin x − ln(1 + x 2 ) = sin x ln x − ln(1 + x 2 )
上式两边对x求导 得 上式两边对 求导, 求导
y′ sin x 2x = cos x ln x + − y x 1 + x2
sin x 2x y′ = y(cos x ln x + − 2 ). x 1+ x
d y ψ ′( t ) ψ ′( t ) dx , 即 , = 所以 dy = ϕ ′( t ) d x ϕ ′( t ) dy dy dt 或者 = . 参数方程的求导公式. 参数方程的求导公式. dx dx dt
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3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
π x = a ( t − sin t ) 在t = 处的切线方程 . 例 求摆线 2 y = a (1 − cos t ) dy dy dt a sin t = = 解 dx a − a cos t y dx a a dt sin t a a , = 2πa x πa O 1 − cos t π sin dy 2 = 1. 当 t = π 时, x = a ( π − 1), 所以 π = 2 dx t = 2 1 − cos π y = a. 2 2 π 所求切线方程为 y − a = x − a ( − 1) 2 π 即 y = x + a ( 2 − ). 2 15
F ( x, y) = 0
例
y = f ( x ) 隐函数的 显化. 显化. 可确定显函数
y关于 关于x 关于 开普勒方程 的隐函数客观存在, 但无法将y表达成 表达成x的显式表 的隐函数客观存在 但无法将 表达成 的显式表 达式. 达式.
2
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
隐函数不易显化或不能显化 如何求导 2. 隐函数求导法
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3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
2. 设x = y , 求y′.
y x
等式两边取对数, 解 等式两边取对数 得 y ln x = x ln y , 上式两边对x求导 得 上式两边对 求导, 求导 y x y′ ln x + = ln y + y′, x y
xy ln y − y 2 y′ = . 2 xy ln x − x
将y = x sin x ( x > 0), 改写成 y = esin x ln x , 则
y′ = e
sin x ln x
sin x (cos x ⋅ ln x + ). x
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3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
x sin x 1. 设 y = , 求y ′ . 2 1+ x 等式两边取对数, 解 等式两边取对数 得
x = cos t + cos 2 t , π 曲线 上对应于 t = 4 y = 1 + sin t 的点处的法线斜率为 + 的点处的法线斜率为 1+ 2 dy dy dt cos t = = 解 dx dx − sin t − 2 cos t sin t dt
dy 所以 d x
t= π 4
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3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
(parametric equation)
参数方程 二、由参数方程所确定的函数的导数
x = ϕ(t ) 若参数方程 确定y与 间的函数关系 间的函数关系, 确定 与x间的函数关系 y =ψ (t ) 称此为由参数方程所确定的函数 参数方程所确定的函数. 称此为由参数方程所确定的函数
1 = =− π π π 1+ 2 − sin − 2 cos sin
4 4 4
π cos 4
1 故曲线在切线斜率为 故曲线在切线斜率为 − . 1+ 2
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3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
x = ϕ (t ) 若函数 二阶可导 , y = ψ (t )
d 2 y d dy d ψ ′( t ) dt ⋅ = 2 = dx dx dx dt ϕ ′( t ) dx
相关变化率
注 虽然隐函数没解出来, 但它的导数求出来了, 虽然隐函数没解出来 但它的导数求出来了 当然结果中仍含有变量 y. 一般来说 隐函数求导 一般来说, 允许在 y′ 的表达式中含有变量 y.
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3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率 考研(数学二 填空, 分 考研 数学二) 填空 4分 数学二
1 ln | y | = ln | + 1)3 |x − 1 | x − 1 | − 21 | x + 42 − x x + 1 + ln 1 ln | (x 3 所以 y′ = + − − 1]. 2 x [ ( x + 4) e 再将上式两边求微分, x 再将上式两边求微分 得 + 1 3( x − 1) x + 4
3.4 隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数 相关变化率
隐函数的导数 ห้องสมุดไป่ตู้参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 小结 思考题 作业
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第3章 导数与微分
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
开普勒( 开普勒 ) 一、隐函数的导数(J.Kepler)1571-1630 德国数学家,天文学家 天文学家. 德国数学家 天文学家. 1. 隐函数的定义 所确定的函数y 由二元方程 F (x, y) = 0 所确定的函数 = f (x) 隐函数(implicit function). 称为 隐函数 y = f (x)的形式称为 显函数 的形式称为 显函数.
隐函数求导法则
利用函数的微分法则 将方程两边求微分. 利用函数的微分法则, 将方程两边求微分 函数的微分法则
求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数 y 例
dy dy . x = 0, y = 1 的导数 , dx dx x = 0 解 将方程两边求微分 得 将方程两边求微分,
d(u ± v) = du ± dv
d(u⋅ v) = vdu + udv
d(e y + xy − e) = d( 0) = 0 ⇒ e y dy + xdy + ydx = 0 dy 1 dy y y = . ⇒ dy = − y ⇒ =− y dx ⇒ dx e + x dy x = 0 e e +x
3
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
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3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
注 幂指函数也可以利用对数性质化为: 幂指函数也可以利用对数性质化为 复合函数 再求导 只要将 再求导,
y = u( x)v( x) , (u( x) > 0, u( x), v( x)都可导)改写成
y =e
v( x)ln u( x)
.
y = x sin x ( x > 0), 求y′. 如上例
幂指函数