2020届高中数学一轮复习人教B版9.7 离散型随机变量及其分布列 学案Word版

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离散型随机变量及分布列(一轮复习)

离散型随机变量及分布列(一轮复习)

答案:D
离散型随机变量分布列
[例2] 袋中有4个红球,3个黑球,从袋中随机取球,设 取到1个红球得2分,取到1个黑球得1分,从袋中任取4个球.
(1)求得分X的分布列; (2)求得分大于6分的概率.
[自主解答] (1)从袋中随机取 4 个球的情况为 1 红 3 黑, 2 红 2 黑,3 红 1 黑,4 红四种情况,分别得分为 5 分,6 分, 7 分,8 分,故 X 的可能取值为 5,6,7,8.
[易误辨析] (1)本题由于离散型随机变量ξ的取值情况较多,极易 发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误. (2)此类问题还极易发生如下错误:虽然弄清随机变 量的所有取值,但对某个取值考虑不全而导致解题错 误. (3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的 概率和是否为1.
1-2q≥0, q2≥0, 12+1-2q+q2=1,
解得
q=1-
2 2.
或由 1-2q≥0⇒q≤12,可排除 A、B、C.
(2)由分布列的性质知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解
得m=0.3.首先列表为:
ξ
01234
2ξ+1 1 3 5 7 9
|ξ-1| 1 0 1 2 3
离散型随机变量分布列的性质
[例1] (1)设ξ是一个离散型随机变量,其分布列为:
ξ -1
0
1
P
1 2
1-2q
q2
则q的值为
()
A.1
B.1±
2 2
C.1+
2 2
D.1-
2 2
(2)设离散型随机变量ξ的分布列为: ξ0 1 2 34 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求:①2ξ+1的分布列;②|ξ-1|的分布列. [自主解答] (1)由分布列的性质,有

2022年高三数学一轮复习检测第9章第七讲离散型随机变量及其分布列

2022年高三数学一轮复习检测第9章第七讲离散型随机变量及其分布列

第七讲 离散型随机变量及其分布列A 组基础巩固一、单选题1.设随机变量X 的概率分布列如下表所示:X 0 1 2 Pa1316F (x )=P (X ≤x ),则当x D ) A .13B .16C .12D .56[解析] ∵a +13+16=1,∴a =12.∵x ∈[1,2),∴F (x )=P (X ≤x )=12+13=56.2.(2019·合肥模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍,试验一次要么成功要么失败,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P (X =0)等于( C )A .0B .12C .13D .23[解析] X 可能取值为0或1,而P (X =1)=2P (X =0),且P (X =1)+P (X =0)=1.所以P (X =0)=13.故选C.3.(2019·陕西西安高三检测)已知随机变量ξ的分布列为P (ξ=k )=12k ,k =1,2,…,则P (2<ξ≤4)等于( A )A .316B .14C .116D .15[解析] P (2<ξ≤4)=P (ξ=3)+P (ξ=4)=123+124=316.故选A.4.(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球,2个红球,现从中随机取出3个球,其中取出1个白球计1分,取出1个红球计2分,记X 为取出3个球的总分值,则E (X )=( B )A .185B .215C .4D .245[解析] 由题意知,X 的所有可能取值为3,4,5,且P (X =3)=C 33C 35=110,P (X =4)=C 23·C 12C 35=35,P (X =5)=C 13·C 22C 35=310,所以E (X )=3×110+4×35+5×310=215. 5.(2020·安徽六校联考)2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行;长三角城市群包括:上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市,简称“三省一市”.现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游,假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为( B )A .2764B .916C .81256D .716[解析] 4名同学去旅游的所有情况有:44=256种,恰有一个地方未被选中共有:C 14·C 24·A 33=144种情况,∴恰有一个地方未被选中的概率:P =144256=916.故选B. 二、填空题6.(2019·吉林质检)设随机变量的概率分布为则ξ的数学期望的最小值是 12.[解析] E (ξ)=0×p 3+1×p 3+2×(1-2p3)=2-p ,又∵1>p 3≥0,1≥1-23p ≥0,∴0≤p ≤32.∴当p =32时,E (ξ)的值最小,E (ξ)=2-32=12.7.(2019·泉州模拟)在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再取一球,又记下它的颜色,写出这两次取出白球数η的分布列为__________.[解析]8.从一批含有13只正品,23件,则取得次品数为ξ的分布列为____________.[解析]设随机变量ξN =15,M =2,n =3.它的可能的取值为0,1,2,相应的概率依次为P (ξ=0)=C 02C 313C 315=2235,P (ξ=1)=C 12C 213C 315=1235,P (ξ=2)=C 22C 113C 315=135.三、解答题9.(2019·湖北模拟)随着网络营销和电子商务的兴起,人们的购物方式更具多样化.某调查机构随机抽取10名购物者进行采访,5名男性购物者中有3名倾向于网购,2名倾向于实体店购物,5名女性购物者中有2名倾向于网购,3名倾向于实体店购物.(1)若从这10名购物者中随机抽取2名,其中男、女各一名,求至少有1名倾向于实体店购物的概率;(2)若从这10名购物者中随机抽取3名,设X 表示抽到倾向于网购的男性购物者的人数,求X 的分布列和数学期望.[解析] (1)设“随机抽取2名,其中男、女各一名,至少有1名倾向于实体店购物”为事件A ,则A 表示“随机抽取2名,其中男、女各一名,都倾向于网购”,则P (A )=1-P (A )=1-C 13×C 12C 15×C 15=1925.(2)X 所有可能的取值为0,1,2,3,且P (X =k )=C k 3C 3-k7C 310,则P (X =0)=724,P (X =1)=2140,P (X =2)=740,P (X =3)=1120.所以X 的分布列为E (X )=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910.10.(2019·山东临沂模拟)甲、乙两人轮流射击,每人每轮射击一次,先射中者获胜,射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为23,乙每次射击命中的概率为25,且每次射击互不影响,约定甲先射击.(1)求甲获胜的概率;(2)求射击结束时甲的射击次数X 的分布列和数学期望E (X ). [解析] (1)记甲第i 次射击中获胜的事件为A i (i =1,2,3), 则A 1,A 2,A 3彼此互斥,甲获胜的事件为A 1+A 2+A 3, P (A 1)=23,P (A 2)=13×35×23=215,P (A 3)=(13)2×(35)2×23=275.故P (A 1+A 2+A 3)=P (A 1)+P (A 2)+P (A 3)=23+215+275=6275.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. P (X =1)=23+13×25=45,P (X =2)=13×35×23+13×35×13×25=425,P (X =3)=(13)2×(35)2×1=125.X 的分布列为:X 1 2 3 P45425125故E (X )=1×45+2×425+3×125=3125.B 组能力提升1.(2019·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下:ξ 0 1 2 Pabc其中a ,b ,c ( B ) A .16B .13C .12D .56[解析] 由题意知a ,b ,c ∈[0,1],且⎩⎪⎨⎪⎧2b =a +c ,a +b +c =1,解得b =13,又函数f (x )=x 2+2x +ξ有且只有一个零点,故对于方程x 2+2x +ξ=0,Δ=4-4ξ=0,解得ξ=1, 所以P (ξ=1)=13.2.(2019·长沙模拟)一只袋内装有m 个白球,n -m 个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了X 个白球,下列概率等于(n -m )A 2mA 3n的是( D )A .P (X =3)B .P (X ≥2)C .P (X ≤3)D .P (X =2)[解析] 由超几何分布知P (X =2)=(n -m )A 2mA 3n,故选D.3.(2019·吉林模拟)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球,设ξ为取出的4个球中红球的个数,则P (ξ=2)=310. [解析] P (ξ=2)=C 11C 13C 12C 14+C 23C 22C 24C 26=310. 4.设离散型随机变量X 的分布列为则|X -1|的分布列为________.[解析] ∵0.2+0.1+0.1+0.3+m =1,∴m =0.3, |X -1|的取值为0,1,2, P (|X -1|=0)=P (X =1)=0.1,P (|X -1|=1)=P (X =0)+P (X =2)=0.4, P (|X -1|=2)=P (X =-1)+P (X =3)=0.5, ∴|X -1|的分布列为5.(2019·海南模拟)4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X ,求随机变量X 的分布列. [解析] (1)由题意知,在7张卡片中,编号为3的卡片有2张,故所求概率为P =1-C 45C 47=1-535=67.(2)由题意知,X 的可能取值为1,2,3,4,且 P (X =1)=C 33C 47=135,P (X =2)=C 34C 47=435,P (X =3)=C 35C 47=27,P (X =4)=C 36C 47=47.所以随机变量X 的分布列是6.(2019·名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其中7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列.[解析] (1)所求概率P =C 13C 27+C 37C 310=4960;(2)X 的取值为0,1,2,3,P (X =0)=C 36C 310=16,P (X =1)=C 14C 26C 310=12,P (X =2)=C 24C 16C 310=310,P (X =3)=C 34C 310=130,∴随机变量X 的分布列为7.(2020·喜迎国庆”歌咏比赛活动,《歌唱祖国》《精忠报国》《我和我的祖国》等一系列歌曲深受同学们的青睐,高二某班就是否选择《精忠报国》作为本班参赛歌曲进行投票表决,投情况如下表.(1)若从第14人中至少有2人赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的概率;(2)若从第五组和第七组的同学中各随机选取2进行调查,选取的4人中不赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的人数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望.[解析] (1)P 1=1-C 23C 23+C 14C 13C 23+C 23C 13C 13C 27C 26=2735. (2)各小组人员情况:X P (X =0)=C 25C 24C 27C 26=421,P (X =1)=C 12C 15C 24+C 25C 14C 12C 27C 26=49, P (X =2)=C 22C 24+C 25C 22+C 15C 12C 14C 12C 27C 26=32105, P (X =3)=C 22C 12C 14+C 15C 12C 22C 27C 26=235, P (X =4)=C 22C 22C 27C 26=1315,随机变量X 的分布列为E (X )=0+49+2×32105+3×235+4×1315=2621.。

2025年高考数学一轮复习-7.2-离散型随机变量及其分布列【导学案】

2025年高考数学一轮复习-7.2-离散型随机变量及其分布列【导学案】

2025年高考数学一轮复习-7.2-离散型随机变量及其分布列学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系. 3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.4.理解两点分布.知识点一随机变量的概念、表示及特征1.概念:一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.2.表示:用大写英文字母表示随机变量,如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,如x,y,z.3.特征:随机试验中,每个样本点都有唯一的一个实数与之对应,随机变量有如下特征:(1)取值依赖于样本点.(2)所有可能取值是明确的.知识点二离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称之为离散型随机变量.知识点三离散型随机变量的分布列及其性质1.定义:一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,x n,我们称X取每一个值x i的概率P(X=x i)=p i,i=1,2,3,…,n为X的概率分布列,简称分布列.2.分布列的性质(1)p i≥0,i=1,2,…,n.(2)p1+p2+…+p n=1.知识点四两点分布如果P(A)=p,则P(A)=1-p,那么X的分布列为X01P1-p p我们称X服从两点分布或0-1分布.思考随机变量X只取两个值,该分布是两点分布吗?答案不一定,如果X只取0和1,则是两点分布,否则不是.1.离散型随机变量的取值是任意的实数.(×)2.随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个.(√)3.离散型随机变量是指某一区间内的任意值.(×)4.手机电池的使用寿命X是离散型随机变量.(×)一、随机变量的概念及分类例1下列变量中,哪些是随机变量,哪些是离散型随机变量?并说明理由.(1)某机场一年中每天运送乘客的数量;(2)某单位办公室一天中接到电话的次数;(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数;(4)一瓶果汁的容量为500±2mL.解(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量,也是离散型随机变量.(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量,也是离散型随机变量.(3)明年5月1日到10月1日期间,所查酒驾的人数可能为0,1,2,3,…,是随机变化的,因此是随机变量,也是离散型随机变量.(4)由于果汁的容量在498mL~502mL之间波动,是随机变量,但不是离散型随机变量.反思感悟判断离散型随机变量的方法(1)明确随机试验的所有可能结果;(2)将随机试验的结果数量化;(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出,如能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是.跟踪训练1指出下列随机变量是不是离散型随机变量,并说明理由.(1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张,被取出的卡片的号数;(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数;(3)某林场的树木最高达30m,则此林场中树木的高度;(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差.解(1)只要取出一张,便有一个号码,因此被取出的卡片号数可以一一列出,符合离散型随机变量的定义.(2)从10个球中取3个球,所得的结果有以下几种:3个白球;2个白球和1个黑球;1个白球和2个黑球;3个黑球,即其结果可以一一列出,符合离散型随机变量的定义.(3)林场树木的高度是一个随机变量,它可以取(0,30]内的一切值,无法一一列举,不是离散型随机变量.(4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出,不是离散型随机变量.二、求离散型随机变量的分布列例2一个箱子里装有5个大小相同的球,有3个白球,2个红球,从中摸出2个球.(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率;(2)用X 表示摸出的2个球中的白球个数,求X 的分布列.解一个箱子里装有5个大小相同的球,有3个白球,2个红球,从中摸出2个球,有C 25=10(种)情况.(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A ,P (A )=C 13C 1210=35,即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为35.(2)用X 表示摸出的2个球中的白球个数,X 的所有可能取值为0,1,2.P (X =0)=C 2210=110,P (X =1)=C 13C 1210=35,P (X =2)=C 2310=310.故X 的分布列为X 012P11035310反思感悟求离散型随机变量的分布列关键有三点(1)随机变量的取值.(2)每一个取值所对应的概率.(3)用所有概率之和是否为1来检验.跟踪训练2袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一个球,每次取出的黑球不再放回,直到取出白球为止,求取球次数X 的分布列.解X 的可能取值为1,2,3,4,5,则第1次取到白球的概率为P (X =1)=15,第2次取到白球的概率为P (X =2)=4×15×4=15,第3次取到白球的概率为P (X =3)=4×3×15×4×3=15,第4次取到白球的概率为P (X =4)=4×3×2×15×4×3×2=15,第5次取到白球的概率为P (X =5)=4×3×2×1×15×4×3×2×1=15,所以X 的分布列为X 12345P1515151515三、分布列的性质及应用例3设随机变量X 的分布列ak (k =1,2,3,4,5).(1)求常数a 的值;(2)求解由题意,所给分布列为X 152535451Pa2a3a4a5a(1)由分布列的性质得a +2a +3a +4a +5a =1,解得a =115.(2)方法一P (X =1)=315+415+515=45.方法二1-1=45.延伸探究本例条件不变,求X 解∵110<X <710,∴X =15,25,35.∴X+=115+215+315=25.反思感悟分布列的性质及其应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列,将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.跟踪训练3若离散型随机变量X 的分布列为X 01P9c 2-c3-8c试求出离散型随机变量X 的分布列.解由已知可得9c 2-c +3-8c =1,∴9c 2-9c +2=0,∴c =13或23.检验:当c =13时,9c 2-c =9-13=23>0,3-8c =3-83=13>0;当c =23时,9c 2-c =9-23>1,3-8c =3-163<0(不适合,舍去).故c =13.故所求分布列为X 01P23131.下列表格中,不是某个随机变量的分布列的是()A.X 012P 0.70.150.15B.X -2024P 0.50.20.3C.X123P-131223D.X 123P lg 1lg 2lg 5答案C解析C 项中,P (X =1)<0不符合P (X =x i )≥0的特点,也不符合P (X =1)+P (X =2)+P (X =3)=1的特点.所以C 项不是随机变量的分布列.2.(多选)下列变量中,不是离散型随机变量的是()A .到2020年5月1日止,我国被确诊的患新型冠状病毒肺炎的人数B .一只刚出生的大熊猫,一年以后的身高C .某人在车站等出租车的时间D .某人投篮10次,可能投中的次数答案ABC3.设离散型随机变量X 的分布列如下:X 1234P161316p则p 的值为()A.12B.16C.13D.14答案C解析由分布列的性质可知p =1-16-13-16=13.4.已知X ,Y 均为离散型随机变量,且X =2Y ,若X 的所有可能取值为0,2,4,则Y 的所有可能取值为________.答案0,1,2解析由题意Y =12X 且X ∈{0,2,4},得Y ∈{0,1,2}.5.若随机变量X 服从两点分布,且P (X =0)=0.8,P (X =1)=0.2.令Y =3X -2,则P (Y =-2)=________.答案0.8解析因为Y =3X -2,所以当Y =-2时,X =0,所以P(Y=-2)=P(X=0)=0.8.1.知识清单:(1)随机变量的概念、特征.(2)离散型随机变量的概念.(3)离散型随机变量的分布列的概念及其性质.(4)两点分布.2.方法归纳:转化化归.3.常见误区:随机变量的取值不明确导致分布列求解错误.1.(多选)下面是离散型随机变量的是()A.某机场候机室中一天的游客数量XB.某外卖员一天内收到的点餐次数XC.某水文站观察到一天中长江的最高水位XD.某立交桥一天经过的车辆数X答案ABD解析ABD中随机变量X所有可能取的值我们都可以按一定次序一一列出,因此它们都是离散型随机变量,C中X可以取某一区间内的一切值,无法一一列出,故不是离散型随机变量.2.设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m若随机变量Y=X-2,则P(Y=2)等于()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7答案A解析由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3.所以P(Y=2)=P(X=4)=0.3.3.某人进行射击,共有5发子弹,击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ,则“ξ=5”表示的试验结果是()A.第5次击中目标B.第5次未击中目标C.前4次均未击中目标D .第4次击中目标答案C解析ξ=5表示前4次均未击中目标,故选C.4.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ描述一次试验的成功次数,则P (ξ=0)等于()A .0 B.13C.12D.23答案B解析设P (ξ=1)=p ,则P (ξ=0)=1-p .依题意知,p =2(1-p ),解得p =23.故p (ξ=0)=1-p=13.5.离散型随机变量X 的分布列中部分数据丢失,丢失数据以x ,y (x ,y ∈N )代替,分布列如下:X 123456P0.200.100.x 50.100.1y0.20则P X ()A .0.25B .0.35C .0.45D .0.55答案B解析根据分布列的性质,知随机变量的所有取值的概率之和为1,可解得x =2,y =5,故X P (X =2)+P (X =3)=0.35.6.一用户在打电话时忘记了最后3个号码,只记得最后3个数两两不同,且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同),设他拨到正确号码所用的次数为X ,随机变量X 的可能值有________个.答案24解析后3个数是从6,7,8,9四个数中取3个组成的,共有A 34=24(个).7.设随机变量X 等可能取值1,2,3,…,n ,如果P (X <4)=0.3,那么P (X =1)=________,n =________.答案0.110解析由题意知P (X <4)=3P (X =1)=0.3,∴P (X =1)=0.1,又nP (X =1)=1,∴n =10.8.把3个骰子全部掷出,设出现6点的骰子个数是X ,则P (X <2)=________.答案2527解析P (X <2)=P (X =0)+P (X =1)=C 15C 15C 15C 16C 16C 16+C 23C 15C 15C 16C 16C 16=200216=2527.9.一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值;(2)若规定抽取3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果都加上6分.求最终得分η的可能取值,并判定η的随机变量类型.解(1)ξ0123结果取得3个黑球取得1个白球,2个黑球取得2个白球,1个黑球取得3个白球(2)由题意可得η=5ξ+6,而ξ可能的取值为0,1,2,3,所以η对应的各值是5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.故η的可能取值为6,11,16,21,显然η为离散型随机变量.10.从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动,记女生入选的人数为ξ,求ξ的分布列.解ξ的所有可能取值为0,1,2,“ξ=0”表示入选3人全是男生,则P (ξ=0)=C 38C 310=715,“ξ=1”表示入选3人中恰有1名女生,则P (ξ=1)=C 12C 28C 310=715,“ξ=2”表示入选3人中有2名女生,则P (ξ=2)=C 22C 18C310=115.因此ξ的分布列为ξ012P71571511511.已知随机变量X 的分布列如下:X 12345678910P23232233234235236237238239m则P (X =10)等于()A.239B.2310C.139D.1310答案C 解析P (X =10)=1-23-…-239=139.12.一木箱中装有8个同样大小的篮球,编号为1,2,3,4,5,6,7,8,现从中随机取出3个篮球,以ξ表示取出的篮球的最大号码,则ξ=8表示的试验结果数为()A .18B .21C .24D .10答案B解析ξ=8表示3个篮球中一个编号是8,另外两个从剩余7个号中选2个,有C 27种方法,即21种.13.(多选)已知随机变量X 的分布列如下表所示,其中a ,b ,c 成等差数列,则()X -101Pa bcA.a =13B .b =13C .c =13D .P (|X |=1)=23答案BD解析∵a ,b ,c 成等差数列,∴2b =a +c .由分布列的性质得a +b +c =3b =1,∴b =13.∴P (|X |=1)=P (X =1)+P (X =-1)=1-P (X =0)=1-13=23.14.若随机变量X 的分布列如下表所示:X 0123P14a14b则a 2+b 2的最小值为________.答案18解析由分布列的性质,知a +b =12,而a 2+b 2≥(a +b )22=18(当且仅当a =b =14时等号成立).15.已知随机变量ξ只能取三个值x 1,x 2,x 3,其概率依次成等差数列,则该等差数列公差的取值范围是()A.0,13 B.-13,13C .[-3,3]D .[0,1]答案B 解析设随机变量ξ取x 1,x 2,x 3的概率分别为a -d ,a ,a +d ,则由分布列的性质得(a -d )+a +(a +d )=1,故a =13,13-d ≥0,13+d ≥0,解得-13≤d ≤13.16.设S 是不等式x 2-x -6≤0的解集,整数m ,n ∈S .(1)设“使得m +n =0成立的有序数组(m ,n )”为事件A ,试列举A 包含的基本事件;(2)设ξ=m 2,求ξ的分布列.解(1)由x 2-x -6≤0得-2≤x ≤3,即S ={x |-2≤x ≤3}.由于m ,n ∈Z ,m ,n ∈S 且m +n =0,所以A 包含的基本事件为(-2,2),(2,-2),(-1,1),(1,-1),(0,0).(2)由于m 的所有不同取值为-2,-1,0,1,2,3,所以ξ=m 2的所有不同取值为0,1,4,9,且有P (ξ=0)=16,P (ξ=1)=26=13,P (ξ=4)=26=13,P (ξ=9)=16.故ξ的分布列为ξ0149P 16131316。

人教版高中数学高考一轮复习--离散型随机变量及其分布列(课件 共32张PPT)

人教版高中数学高考一轮复习--离散型随机变量及其分布列(课件 共32张PPT)

机变量的取值,例如x,y,z.
3.离散型随机变量的散布列
(1)定义
一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值
xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率散布列,简称散布列.
(2)性质
①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=1.
4.两点分布
由题意知P(X<1)=P(X=0)+P(X=-1)+P(X=-2)=0.2+0.2+0.1=0.5.

3.(多选)设随机变量X的散布列为 P = =ak(k=1,2,3,4,5) ,则(ABC)
5
A.15a=1
B.P(0.5<X<0.8)=0.2
C.P(0.1<X<0.5)=0.2
D.P(X=1)=0.3
①求此人到达当日空气重度污染的概率.
②设X是此人停留期间空气质量良好的天数,求X的散布列.
解 ①设 Ai 表示“此人于 3 月 i 日到达该市”,i=1,2,…,13,
1
根据题意,P(Ai)= ,且
13
Ai∩Aj=⌀,i≠j,
设 B 表示“此人到达当日空气重度污染”,则 B=A5∪A8,
故此人到达当日空气重度污染的概率
均失败,第三次实验无论成功与否,之后都停止实验.而错误解法误认为X=3
表示前两次实验均失败,第三次实验成功.
正确解法
依题意,X的可能取值为1,2,3,
2
1 2 2
则 P(X=1)=3,P(X=2)=3 × 3 = 9,
1 1
2 1
1
P(X=3)= × × + = .

新高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布:离散型随机变量及其分布列pptx课件人教B版

新高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布:离散型随机变量及其分布列pptx课件人教B版

【解析】选B.由分布列的性质知2q2+ 11 -3q+ 1 =1,解得q=1或q= 1 ,
6
6
2
又因为2q2<1,0< 11 3q <1,所以舍去q=1,
6
所以q= 1 .
2
3.(选修2-3 P47习题2-1BT2改编)设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P
1
m
1
1
3
4
6
则P(|X-3|=1)=________.
④一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机 变量的是 ( ) A.①② B.①③ C.①④ D.①②④
2.若随机变量X的概率分布列为
X
x1
x2
P
p1
p2
且p1=
1 2
p2,则p1等于
(
)
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
2
3
4
6
3.某学习小组共12人,其中有五名是“三好学生”,现从该小组中任选5人参加
n
pi
=1.
i1
2.常见的两类分布列 (1)两点分布: 若随机变量X服从两点分布,即其分布列为
X
0
1
P
_1_-_p_
p
其中p= _P_(_X_=_1_)_称为成功概率.
(2)超几何分布
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=
C C k nk M NM

CnN
k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.
【解析】选C.因为P(X=1)= 1 ,所以A,B不正确;

【B版】人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的分布列》导学案

【B版】人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的分布列》导学案

2.1.2 离散型随机变量的分布列【学习要求】1.在对具体问题的分析中,理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识分布列对于刻画随机现象的重要性。

2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质。

【学法指导】离散型随机变量的分布列可以完全描述随机变量所刻画的随机现象,利用分布列可以计算随机变量所表示的事件的概率。

【知识要点】1.定义:一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…,x n ,X 取每一个值x i (i =1,2,…,n )的概率P (X =x i )= ,以表格的形式表示如下:此表称为离散型随机变量X 的概率分布列,简称为X 的 。

2.离散型随机变量的分布列的性质:(1)p i 0,i =1,2,3,…,n ;(2)∑ni =1p i = 。

【问题探究】探究点一 离散型随机变量的分布列的性质问题1 对于一个随机试验,仅知道试验的可能结果是不够的,还要能把握每一个结果发生的概率。

请问抛掷一枚骰子,朝上的一面所得点数有哪些值?取每个值的概率是多少?问题2 离散型随机变量X 的分布列刻画的是一个函数关系吗?有哪些表示法? 问题3 离散型随机变量的分布列有哪些性质?例1 设随机变量X 的分布列P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X =k 5=ak (k =1,2,3,4,5)。

(1)求常数a 的值; (2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35;(3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X <710。

小结 离散型随机变量的分布列的性质可以帮助我们求题中参数a ,然后根据互斥事件的概率加法公式求得概率。

跟踪训练1 (1)下面是某同学求得的离散型随机变量X 的分布列:试说明该同学的计算结果是否正确。

(2)设ξ是一个离散型随机变量,其分布列为①求q 的值; ②求P (ξ<0),P (ξ≤0)。

探究点二 求离散型随机变量的分布列例2 将一颗骰子掷两次,求两次掷出的最大点数ξ的分布列。

2020年高考数学专题复习离散型随机变量及其分布列

2020年高考数学专题复习离散型随机变量及其分布列

离散型随机变量及其分布列1.随机变量的有关概念(1)随机变量:随着试验结果的变化而变化的变量,常用字母X ,Y ,ξ,η,…表示. (2)离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念:一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…,x n ,X 取每一个值x i (i =1,2,…,n )的概率P (X =x i )=p i ,则下表称为离散型随机变量X 的概率分布列,简称为X 的分布列,有时为了表达简单,也用等式P (X =x i )=p i ,i =1,2,…,n 表示X 的分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i =1,2,…,n );②∑ni =1p i =1. 3.常见的离散型随机变量分布列 (1)两点分布若随机变量X 服从两点分布,则其分布列为其中p =P (X =1)称为成功概率. (2)超几何分布一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P (X =k )=C k M C n -kN -MC n N,k =0,1,2,…,m ,即:其中m =min{M ,n },且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式,则称随机变量X 服从超几何分布.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映射为实数.( ) (2)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( )(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人,其中女演员的人数X 服从超几何分布.( ) (6)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布.( )答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×(教材习题改编)设随机变量X 的分布列如下表所示,则p 4的值是( )A.1 B .12 C .14D .18解析:选D.由分布列的性质,得12+14+18+p 4=1,所以p 4=18.设随机变量X 的分布列为P (X =k )=k 15,k =1,2,3,4,5,则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52=________.解析:P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52=P (X =1)+P (X =2)=115+215=15. 答案:15在含有3件次品的10件产品中任取4件,则取到次品数X 的分布列为________. 解析:由题意知,X 服从超几何分布,其中N =10,M =3,n =4,所以分布列为P (X =k )=C k3·C 4-k7C 410,k =0,1,2,3.答案:P(X =k )=C k 3·C 4-k7C 410,k =0,1,2,3离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X 的分布列为求:(1)2X +1的分布列; (2)|X -1|的分布列.【解】 由分布列的性质知:0.2+0.1+0.1+0.3+m =1, 解得m =0.3. (1)2X +1的分布列为(2)|X -1|的分布列为在本例条件下,求P (1<X ≤4). 解:由本例知,m =0.3,P (1<X ≤4)=P (X =2)+(X =3)+P (X =4)=0.1+0.3+0.3=0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负值;(2)若X 为随机变量,则2X +1仍然为随机变量,求其分布列时可先求出相应的随机变量的值,再根据对应的概率写出分布列.1.设随机变量X 等可能地取1,2,3,…,n ,若P (X <4)=0.3,则n 的值为( ) A .3 B .4 C .10D .不确定解析:选C.“X <4”的含义为X =1,2,3,所以P (X <4)=3n=0.3,所以n =10.2.随机变量X 的分布列如下:其中a ,b ,c 成等差数列,则P (|X |=1)=________,公差d 的取值范围是________. 解析:因为a ,b ,c 成等差数列,所以2b =a +c . 又a +b +c =1,所以b =13,所以P (|X |=1)=a +c =23.又a =13-d ,c =13+d ,根据分布列的性质,得0≤13-d ≤23,0≤13+d ≤23,所以-13≤d≤13. 答案:23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-13,13离散型随机变量的分布列(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点,多以解答题的形式出现,试题难度不大,多为容易题或中档题.主要命题角度有:(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列; (2)古典概型的离散型随机变量的分布列;(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法.(下一讲内容)角度一 用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天,获得如下数据:试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率;(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数,求X 的分布列. 【解】 (1)P (当天商店不进货)=P (当天商品销售量为0件)+P (当天商品销售量为1件)=120+520=310.(2)由题意知,X 的可能取值为2,3.P (X =2)=P (当天商品销售量为1件)=520=14;P (X =3)=P (当天商品销售量为0件)+P (当天商品销售量为2件)+P (当天商品销售量为3件)=120+920+520=34.所以X 的分布列为角度二 古典概型的离散型随机变量的分布列(2019·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球,其中有红色球4个,编号分别为1,2,3,4;白色球2个,编号分别为4,5,从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同).(1)求取出的3个小球中,含有编号为4的小球的概率;(2)在取出的3个小球中,小球编号的最大值设为X ,求随机变量X 的分布列. 【解】 (1)“设取出的3个小球中,含有编号为4的小球”为事件A , P (A )=C 12C 24+C 22C 14C 36=45,所以取出的3个小球中,含有编号为4的小球的概率为45. (2)X 的可能取值为3,4,5.P (X =3)=1C 36=120;P (X =4)=C 12C 23+C 22C 13C 36=920; P (X =5)=C 35C 36=12,所以随机变量X 的分布列为离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值:明确随机变量的可能取值有哪些,且每一个取值所表示的意义. (2)求概率:要弄清楚随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率. (3)画表格:按规范要求形式写出分布列.(4)做检验:利用分布列的性质检验分布列是否正确.[提醒] 求随机变量某一范围内取值的概率,要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和.某校校庆,各届校友纷至沓来,某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *),其中女校友6位,组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出2位校友代表,若选出的2位校友是一男一女,则称为“最佳组合”.(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12,求n 的最大值;(2)当n =12时,设选出的2位校友代表中女校友人数为X ,求X 的分布列. 解:(1)由题意可知,所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n -6C 16C 2n =12(n -6)n (n -1),则12(n -6)n (n -1)≥12,化简得n 2-25n +144≤0,解得9≤n ≤16, 故n 的最大值为16.(2)由题意得,X 的可能取值为0,1,2,则P (X =0)=C 26C 212=522,P (X =1)=C 16C 16C 212=611,P (X =2)=C 26C 212=522,X 的分布列为超几何分布一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个.已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数;(2)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X ,求随机变量X 的分布列. 【解】 (1)记“从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球”为事件A ,设袋中白球的个数为x ,则P (A )=1-C 210-x C 210=79,得到x =5.故白球有5个.(2)X 服从超几何分布,其中N =10,M =5,n =3, P (X =k )=C k 5C 3-k5C 310,k =0,1,2,3.于是可得其分布列为在本例条件下,若从袋中任意摸出4个球,记得到白球的个数为X ,求随机变量X 的分布列.解:X 服从超几何分布,其中N =10,M =5,n =4, P (X =k )=C k 5C 4-k5C 410,k =0,1,2,3,4,于是可得其分布列为超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量,其分布列可直接应用公式给出.(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数,随机变量取值的概率实质上是古典概型.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A 发生的概率;(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X 的分布列. 解:(1)由已知,有P (A )=C 22C 23+C 23C 23C 48=635. 所以,事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X =k )=C k 5C 4-k3C 48(k =1,2,3,4).所以,随机变量X 的分布列为对于随机变量X 的研究,需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率,对于离散型随机变量,它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率.求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定X 的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率.易错防范(1)确定离散型随机变量的取值时,易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的. (2)对于分布列易忽视其性质p 1+p 2+…+p n =1及p i ≥0(i =1,2,…,n ),其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确.[基础达标]1.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P (X =0)等于( )A .0B .12C .13D .23解析:选C.设X 的分布列为即“X =0”表示试验失败,“X =1”表示试验成功.由p +2p =1,得p =13,故应选C.2.(2019·绍兴调研)在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,则下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A .P (X =2)B .P (X ≤2)C .P (X =4)D .P (X ≤4)解析:选C.X 服从超几何分布,P (X =k )=C k 7C 10-k8C 1015,故k =4,故选C.3.设随机变量Y 的分布列为则“32≤Y ≤72”的概率为( )A .14B .12C .34D .23解析:选C.依题意知,14+m +14=1,则m =12.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤Y ≤72=P (Y =2)+P (Y =3)=12+14=34.4.设随机变量X 的概率分布列如下表所示:若F (x )=P (X ≤x ),则当x 的取值范围是[1,2)时,F (x )等于( ) A .13 B .16 C .12D .56解析:选D.由分布列的性质,得a +13+16=1,所以a =12.而x ∈[1,2),所以F (x )=P (X ≤x )=12+13=56.5.已知离散型随机变量X 的分布列为则P (X ∈Z )=( ) A .0.9 B .0.8 C .0.7D .0.6解析:选A.由分布列性质得0.5+1-2q +13q =1,解得q =0.3,所以P (X ∈Z )=P (X =0)+P (X =1)=0.5+1-2×0.3=0.9,故选A.6.抛掷2颗骰子,所得点数之和X 是一个随机变量,则P (X ≤4)=________. 解析:抛掷2颗骰子有36个基本事件,其中X =2对应(1,1);X =3对应(1,2),(2,1);X =4对应(1,3),(2,2),(3,1).所以P (X ≤4)=P (X =2)+P (X =3)+P (X =4)=136+236+336=16.答案:167.已知随机变量ξ只能取三个值:x 1,x 2,x 3,其概率依次成等差数列,则公差d 的取值范围是________.解析:设ξ取x 1,x 2,x 3时的概率分别为a -d ,a ,a +d ,则(a -d )+a +(a +d )=1,所以a =13,由⎩⎪⎨⎪⎧13-d ≥0,13+d ≥0,得-13≤d ≤13.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤-13,138.若离散型随机变量X 的分布列为则常数c =________,P (X =1)=________. 解析:依分布列的性质知,⎩⎪⎨⎪⎧9c 2-c ≥0,3-8c ≥0,9c 2-c +3-8c =1,解得c =13,故P (X =1)=3-8×13=13.答案:13 139.在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再取一球,又记下它的颜色,则这两次取出白球数X 的分布列为________.解析:X 的所有可能值为0,1,2. P (X =0)=C 11C 11C 12C 12=14,P (X =1)=C 11C 11×2C 12C 12=12,P (X =2)=C 11C 11C 12C 12=14.所以X 的分布列为答案:10.(2019·温州市高考模拟)袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球,这9个球的大小及质地都相同,现从该袋中随机摸取3个球,则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是________,设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ,则P (X =k )取最大值时,k 的值为________.解析:袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球,这9个球的大小及质地都相同,现从该袋中随机摸取3个球,则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是:n =C 26C 13=45.设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ,则X 的可能取值为0,1,2,3, P (X =0)=C 33C 39=184,P (X =1)=C 16C 23C 39=1884,C 984P (X =3)=C 36C 39=2084,所以P (X =k )取最大值时,k 的值为2. 答案:45 211.抛掷一枚质地均匀的硬币3次. (1)写出正面向上次数X 的分布列; (2)求至少出现两次正面向上的概率. 解:(1)X 的可能取值为0,1,2,3. P (X =0)=C 0323=18;P (X =1)=C 1323=38;P (X =2)=C 2323=38;P (X =3)=C 3323=18.所以X 的分布列为(2)至少出现两次正面向上的概率为P (X ≥2)=P (X =2)+P (X =3)=38+18=12. 12.(2019·台州高三质检)在一次购物活动中,假设每10张券中有一等奖券1张,可获得价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获得价值10元的奖品;其余6张没有奖.某顾客从这10张券中任取2张.(1)求该顾客中奖的概率;(2)求该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列. 解:(1)该顾客中奖的概率P =1-C 04C 26C 210=1-1545=23.(2)X 的所有可能取值为0,10,20,50,60,且 P (X =0)=C 04C 26C 210=13,P (X =10)=C 13C 16C 210=25,P (X =20)=C 23C 210=115,P (X =50)=C 11C 16C 210=215,C 1015故X 的分布列为[能力提升]1.(2019·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球,其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5;4个白球编号分别为1,2,3,4,从袋中任意取出3个球.(1)求取出的3个球编号都不相同的概率;(2)记X 为取出的3个球中编号的最小值,求X 的分布列.解:(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ,“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ,则P (B )=C 14C 17C 39=2884=13,所以P (A )=1-P (B )=23.(2)X 的取值为1,2,3,4,P (X =1)=C 12C 27+C 22C 17C 39=4984,P (X =2)=C 12C 25+C 22C 15C 39=2584, P (X =3)=C 12C 23+C 22C 13C 39=984,P (X =4)=1C 39=184. 所以X 的分布列为2.(2019·惠州市第三次调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列.解:(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ,则P (A )=C 13·C 27+C 03·C 37C 310=4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3. P (X =k )=C k4·C 3-k6C 310(k =0,1,2,3). 所以随机变量X 的分布列为3.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,A 7,A 8(如图),这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若X =0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.(1)求小波参加学校合唱团的概率; (2)求X 的分布列.解:(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28=28(种),当X =0时,两向量夹角为直角,共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为P (X =0)=828=27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为-2,-1,0,1,X =-2时,有2种情形;X =1时,有8种情形;X =-1时,有10种情形.所以X 的分布列为4.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球为止,每个球在每一次被取出的机会是相等的,用X 表示终止时所需要的取球次数.(1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量X 的分布列; (3)求甲取到白球的概率. 解:(1)设袋中原有n 个白球,由题意知17=C 2nC 27=n (n -1)27×62=n (n -1)7×6,所以n (n -1)=6,解得n =3或n =-2(舍去). 即袋中原有3个白球.(2)由题意知X 的可能取值为1,2,3,4,5.P (X =1)=37; P (X =2)=4×37×6=27; P (X =3)=4×3×37×6×5=635;P (X =4)=4×3×2×37×6×5×4=335;P (X =5)=4×3×2×1×37×6×5×4×3=135.所以取球次数X 的分布列为(3)因为甲先取,所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球. 设“甲取到白球”的事件为A , 则P (A )=P (X =1或X =3或X =5).因为事件“X =1”“X =3”“X =5”两两互斥,所以P (A )=P (X =1)+P (X =3)+P (X =5)=37+635+135=2235.。

高考数学一轮复习讲义 第67课时 离散型随机变量及其分布列 理

高考数学一轮复习讲义 第67课时 离散型随机变量及其分布列 理

517课题:离散型随机变量及其分布列考纲要求:①理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性;②理解超几何分布及其推导过程,并能进行简单的应用. 教材复习1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量若ξ是随机变量,a b ηξ=+,其中a 、b 是常数,则η也是随机变量3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出5.离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为1x 、2x 、…、i x 、… ξ为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列6.离散型随机变量分布列的两个性质:任何随机事件发生的概率都满足:0≤()P A ≤1,并且不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质:()1i p ≥0,1,2,i =…;()212p p ++…1=对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+⋅⋅⋅7.两点分布:若随机变量服从两点分布,即其分布列:其中P =(1)P X =称为成功概率(表中01p <<).8.几何分布:在独立重复试验中,某事件第一次发生时,所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量.“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ,()k p A p =, ()(1)k p A q q p ==-,那么 112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q pξ---====(0,1,2,k =…,p q -=1)518称这样的随机变量ξ服从几何分布,记作(,)g k p 1k q p -=,其中0,1,2,k =…,p q -=19.超几何分布:一般地,设有N 件产品,其中有M (M ≤N )件次品,从中任取n (n ≤N )件产品,用X 表示取出的n 件产品中次品的件数,那么()P X k == (其中k 为非负整数).如果一个随机变量的分布列由上式确定,那么称X 服从参数10.求离散型随机变量分布列的步骤:1要确定随机变量ξ的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义;()2分清概率类型,计算ξ取得每一个值时的概率(取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样;()3列表对应,给出分布列,并用分布列的性质验证.11.几种常见的分布列的求法:()1取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布,关键是概率的计算.所用方法主要有化归法、数形结合法、对应法等,对于取球、抽取产品等问题,还要注意是放回抽样还是不放回抽样.()2射击问题:若是一人连续射击,且限制在n 次射击中发生k 次,则往往与二项分布联系起来;若是首次命中所需射击的次数,则它服从几何分布,若是多人射击问题,一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.()3对于有些问题,它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚,此时要仔细审题,明确题中的含义,恰当地选取随机变量,构造模型,进行求解. 典例分析:考点一 由古典概型求离散型随机变量的分布列问题1.(2013天津)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张, 编号分别为2,3,4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张 卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. (Ⅱ) 在取 出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.519考点二 由统计数据求离散型随机变量的分布列问题2.(2010广东)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(]490,495,(]495,500,…,(]510,515,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示. ()1根据频率分布直方图,求重量超过505 克的产品数量.()2在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y 为重量超过505克的产 品数量, 求Y 的分布列.()3从流水线上任取5件产品, 求恰有2件产品合格的重量 超过505克的概率.考点二 两点分布问题3.一个盒子中装有5个白色玻璃球和6红色玻璃球,从中摸出两球.当两球全为红色520玻璃球时,记0X =;当两球不全为红色玻璃球时,记为1X =.试求X 的分布列.考点三 超几何分布问题4.(2012浙江)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X 为取出3球所得分数之和.()1求X 的分布列;()2求X 的数学期望EX .走向高考:1.(2012江苏)设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,0ξ=;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,1ξ=. ()1求概率(0)P ξ=; ()2求ξ的分布列,并求其数学期望()E ξ.2.(2013浙江)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.()1当1b=ca时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,=,2,3=记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,.求ξ分布列;()2略3.(2011江西)某饮料公司招聘一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对,则月工资定为3500元;若4杯选对3杯,则月工资定为2800元;否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力.()1求B的分布列;()2求此员工月工资的期望.5214.(2011广东)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素,x y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:(1已知甲厂生产的产品共98件,求乙厂生产的产品数量;()2当产品中的微量元素,x y满足x≥175且y≥75时,该产品为优等品,用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;()3从乙厂抽出的上述5件产品中,随即抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望).5225.(2013重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一.二.三等奖如下:其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.()1求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;()2求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望()E X.523。

高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布列7离散型随机变量及其分布列数字特征练习含解析

高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布列7离散型随机变量及其分布列数字特征练习含解析

离散型随机变量及其分布列、数字特征考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.知识梳理1.离散型随机变量一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X (ω)与之对应,我们称X 为随机变量;可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列一般地,设离散型随机变量X 的可能取值为x 1,x 2,…,x n ,称X 取每一个值x i 的概率P (X =x i )=p i ,i =1,2,…,n 为X 的概率分布列,简称分布列. 3.离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i =1,2,…,n ); ②p 1+p 2+…+p n =1.4.离散型随机变量的均值与方差 一般地,若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x n Pp 1p 2…p n(1)均值则称E (X )=x 1p 1+x 2p 2+…+x n p n = i =1nx i p i 为随机变量X 的均值或数学期望,数学期望简称期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差称D (X )=(x 1-E (X ))2p 1+(x 2-E (X ))2p 2+…+(x n -E (X ))2p n =i =1n (x i -E (X ))2p i 为随机变量X 的方差,并称D X 为随机变量X 的标准差,记为σ(X ),它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度. 5.均值与方差的性质 (1)E (aX +b )=aE (X )+b .(2)D (aX +b )=a 2D (X )(a ,b 为常数).常用结论均值与方差的四个常用性质(1)E (k )=k ,D (k )=0,其中k 为常数. (2)E (X 1+X 2)=E (X 1)+E (X 2). (3)D (X )=E (X 2)-(E (X ))2.(4)若X 1,X 2相互独立,则E (X 1X 2)=E (X 1)·E (X 2). 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷一枚质地均匀的硬币,出现正面的次数是随机变量.( √ )(2)在离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( √ ) (4)方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.( √ ) 教材改编题1.设随机变量X 的分布列如下:X 1 2 3 4 5P112161316p则p 为( ) A.16B.13C.14D.112 答案 C解析 由分布列的性质知, 112+16+13+16+p =1, ∴p =1-34=14.2.若随机变量X 满足P (X =c )=1,其中c 为常数,则D (X )的值为________. 答案 0解析 因为P (X =c )=1, 所以E (X )=c ×1=c , 所以D (X )=(c -c )2×1=0. 3.已知随机变量X 的分布列如下:X -1 0 1P12 13 16若Y =2X +3,则E (Y )的值为________. 答案 73解析 E (X )=-12+16=-13,则E (Y )=E (2X +3)=2E (X )+3=-23+3=73.题型一 分布列的性质例1 (1)设X 是一个离散型随机变量,其分布列为X -1 0 1P121-qq -q 2则q 等于( ) A .1 B.22或-22 C .1+22D.22答案 D解析 由离散型随机变量分布列的性质得⎩⎪⎨⎪⎧12+1-q +q -q 2=1,0≤1-q ≤12,0≤q -q 2≤12,解得q =22. (2)(多选)设随机变量ξ的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ=k 5=ak (k =1,2,3,4,5),则( )A .a =115B .P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<45=15C .P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<ξ<12=215D .P (ξ=1)=310答案 AB解析 对于选项A , ∵随机变量ξ的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ=k 5=ak (k =1,2,3,4,5),∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ=15+P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ=25+P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ=35+P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ=45+P (ξ=1) =a +2a +3a +4a +5a =15a =1, 解得a =115,故A 正确;对于B ,易知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<45=P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ=35=3×115=15,故B 正确; 对于C ,易知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<ξ<12=P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ=15+P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ=25=115+2×115=15, 故C 错误;对于D ,易知P (ξ=1)=5×115=13,故D 错误. 教师备选1.设X 是一个离散型随机变量,其分布列为X 0 1 P9a 2-a3-8a则常数a 的值为( ) A.13B.23C.13或23 D .-13或-23答案 A解析 由分布列的性质可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤9a 2-a ≤1,0≤3-8a ≤1,9a 2-a +3-8a =1,解得a =13.2.离散型随机变量X 的概率分布列为P (X =n )=an n +1(n =1,2,3,4),其中a 是常数,则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( ) A.23B.34C.45D.56 答案 D解析 因为P (X =n )=an n +1(n =1,2,3,4),所以a 2+a 6+a 12+a 20=1,所以a =54,所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52=P (X =1)+P (X =2)=54×12+54×16=56.思维升华 离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.跟踪训练1 (1)若随机变量X 的分布列如下表,则mn 的最大值是( )X 0 2 4Pm 0.5nA.116 B.18 C.14 D.12答案 A解析 由分布列的性质, 得m +n =12,m ≥0,n ≥0,所以mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m +n 22=116,当且仅当m =n =14时,等号成立.(2)随机变量X 的分布列如下:其中a ,b ,c 成等差数列,则P (|X |=1)=______,公差d 的取值范围是______. 答案 23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-13,13解析 因为a ,b ,c 成等差数列,所以2b =a +c . 又a +b +c =1,所以b =13,所以P (|X |=1)=a +c =23.又a =13-d ,c =13+d ,根据分布列的性质,得0≤13-d ≤23,0≤13+d ≤23,所以-13≤d ≤13.题型二 离散型随机变量的分布列及数字特征 例2 (1)(多选)设离散型随机变量X 的分布列为若离散型随机变量Y 满足Y =2X +1,则下列结果正确的有( ) A .q =0.1B .E (X )=2,D (X )=1.4C .E (X )=2,D (X )=1.8 D .E (Y )=5,D (Y )=7.2 答案 ACD解析 因为q +0.4+0.1+0.2+0.2=1, 所以q =0.1,故A 正确;由已知可得E (X )=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D (X )=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,故C正确;因为Y =2X +1,所以E (Y )=2E (X )+1=5,D (Y )=4D (X )=7.2,故D 正确.(2)(2022·昆明模拟)从1,2,3,4,5这组数据中,随机取出三个不同的数,用X 表示取出的数字的最小数,则随机变量X 的均值E (X )等于( ) A.32B.53C.74D.95 答案 A解析 由题意知,X 的可能取值为1,2,3,而随机取3个数的取法有C 35种, 当X =1时,取法有C 24种, 即P (X =1)=C 24C 35=35;当X =2时,取法有C 23种, 即P (X =2)=C 23C 35=310;当X =3时,取法有C 22种, 即P (X =3)=C 22C 35=110;∴E (X )=1×35+2×310+3×110=32.教师备选1.已知随机变量X ,Y 满足Y =2X +1,且随机变量X 的分布列如下:X 0 1 2P1613a则随机变量Y 的方差D (Y )等于( ) A.59 B.209 C.43 D.299答案 B解析 由分布列的性质,得a =1-16-13=12,所以E (X )=0×16+1×13+2×12=43,所以D (X )=⎝ ⎛⎭⎪⎫0-432×16+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-432×13+⎝ ⎛⎭⎪⎫2-432×12=59,又Y =2X +1,所以D (Y )=4D (X )=209.2.已知m ,n 为正常数,离散型随机变量X 的分布列如表:若随机变量X 的均值E (X )=712,则mn =________,P (X ≤0)=________. 答案118 13解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m +n +14=1,n -m =712,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =112,n =23,所以mn =118,P (X ≤0)=m +14=13.思维升华 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义,写出ξ可能的全部值. (2)求ξ取每个值的概率. (3)写出ξ的分布列.(4)由均值、方差的定义求E (ξ),D (ξ).跟踪训练2 (2022·邯郸模拟)小张经常在某网上购物平台消费,该平台实行会员积分制度,每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等)的金额分别进行积分,详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示,并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立.表1表2(1)求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率; (2)求小张一个月积分不低于8分的概率;(3)若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品,消费均低于100元,求他这个月的积分X 的分布列与均值.解 (1)小张一个月购买实物商品不低于100元的概率为12+14=34,购买虚拟商品不低于100元的概率为16,因此所求概率为34×16=18.(2)根据条件,积分不低于8分有两种情况:①购买实物商品积分为6分,购买虚拟商品的积分为2,3,4分; ②购买实物商品积分为4分,购买虚拟商品的积分为4分, 故小张一个月积分不低于8分的概率为 14×⎝⎛⎭⎪⎫1-13+12×16=14.(3)由条件可知X 的可能取值为3,4,5. P (X =3)=1313+14+14=25,P (X =4)=P (X =5)=1413+14+14=310,即X 的分布列如下:E (X )=3×25+4×310+5×310=3910.题型三 均值与方差中的决策问题例3 (12分)(2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A ,B 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B 类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8,能正确回答B 类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A 类问题,记X 为小明的累计得分,求X 的分布列;[切入点:X 的取值情况] (2)为使累计得分的均值最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.[关键点:均值大小比较]高考改编某班体育课组织篮球投篮考核,考核分为定点投篮与三步上篮两个项目.每个学生在每个项目投篮5次,以规范动作投中3次为考核合格,定点投篮考核合格得4分,否则得0分;三步上篮考核合格得6分,否则得0分.现将该班学生分为两组,一组先进行定点投篮考核,一组先进行三步上篮考核,若先考核的项目不合格,则无需进行下一个项目,直接判定为考核不合格;若先考核的项目合格,则进入下一个项目进行考核,无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8,三步上篮考核合格的概率为0.7,且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.(1)若小明先进行定点投篮考核,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的均值最大,小明应选择先进行哪个项目的考核?并说明理由.解(1)由已知可得,X的所有可能取值为0,4,10,则P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=4)=0.8×(1-0.7)=0.24,P(X=10)=0.8×0.7=0.56,所以X的分布列为(2)小明应选择先进行定点投篮考核,理由如下:由(1)可知小明先进行定点投篮考核,累计得分的均值为E(X)=0×0.2+4×0.24+10×0.56=6.56,若小明先进行三步上篮考核,记Y为小明的累计得分,则Y的所有可能取值为0,6,10,P(Y=0)=1-0.7=0.3,P(Y=6)=0.7×(1-0.8)=0.14,P(Y=10)=0.7×0.8=0.56,则Y的均值为E(Y)=0×0.3+6×0.14+10×0.56=6.44,因为E(X)>E(Y),所以为使累计得分的均值最大,小明应选择先进行定点投篮考核.思维升华随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.跟踪训练3 (2021·北京)为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测,若为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人,已知其中2人感染病毒.(1)①若采用“10合1检测法”,且两名患者在同一组,求总检测次数;②已知10人分成一组,分10组,两名感染患者在同一组的概率为111,定义随机变量X为总检测次数,求检测次数X的分布列和均值E(X);(2)若采用“5合1检测法”,检测次数Y的均值为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果).解(1)①对每组进行检测,需要10次;再对结果为阳性的一组每个人进行检测,需要10次,所以总检测次数为20.②由题意,X可以取20,30,P(X=20)=111,P(X=30)=1-111=1011,则X 的分布列为X 20 30 P1111011所以E (X )=20×111+30×1011=32011.(2)由题意,Y 可以取25,30,两名感染者在同一组的概率为P 1=C 120C 22C 398C 5100=499,不在同一组的概率为P 1=9599,则E (Y )=25×499+30×9599=295099>E (X ).课时精练1.一串钥匙有6枚,只有一枚能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X 的最大可能取值为( ) A .6B .5C .4D .2 答案 B解析 由于是逐次试验,可能最后一枚钥匙才能打开锁,即前5次都打不开锁,所以试验次数X 的最大可能取值为5. 2.若随机变量X 的分布列为X 1 2 3Pa b a则X 的均值E (X )等于( ) A .2a +b B .a +2b C .2D .3 答案 C解析 E (X )=1×a +2×b +3×a =2(2a +b ),由分布列的性质可知2a +b =1,所以E (X )=2. 3.已知随机变量X 的分布列是X 1 2 3P1213a则E (2X +a )等于( ) A.53B.73C.72D.236 答案 C解析 由分布列的性质可得12+13+a =1,解得a =16,所以E (X )=1×12+2×13+3×16=53,因此E (2X +a )=E ⎝⎛⎭⎪⎫2X +16=2E (X )+16=2×53+16=72.4.(2022·南平模拟)某企业计划加大技改力度,需更换一台设备,现有两种品牌的设备可供选择,A 品牌设备需投入60万元,B 品牌设备需投入90万元,企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查:更换设备技改后,每年估计可增加效益100万元,从年均收益的角度分析( ) A .不更换设备 B .更换为A 设备 C .更换为B 设备 D .更换为A 或B 设备均可 答案 C解析 设更换为A 品牌设备使用年限为X ,则E (X )=2×0.4+3×0.3+4×0.2+5×0.1=3,更换为A 品牌设备年均收益为3×100-60=240(万元);设更换为B 品牌设备使用年限为Y ,则E (Y )=2×0.1+3×0.3+4×0.4+5×0.2=3.7,更换为B 品牌设备年均收益为3.7×100-90=280(万元).280>240,所以更换为B 品牌设备.5.(多选)(2022·烟台模拟)中华人民共和国第十四届运动会于2021年9月在陕西省举办.为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍,向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会,第十四届全国运动会组织委员会欲从4名男志愿者,3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长.下列说法正确的有( )A .设事件A :“抽取的三人中既有男志愿者,也有女志愿者”,则P (A )=67B .设事件A :“抽取的3人中至少有一名男志愿者”,事件B :“抽取的3人中全是男志愿者”,则P (B |A )=217C .用X 表示抽取的三人中女志愿者的人数,则E (X )=127D .用Y 表示抽取的三人中男志愿者的人数,则D (Y )=2449答案 ABD解析 对于A ,所有可能的情况有C 37=35(种),其中既有男志愿者,也有女志愿者的情况有C 14C 23+C 24C 13=30(种), 故P (A )=3035=67,故A 正确;对于B ,P (AB )=C 34C 37=435,P (A )=C 14C 23+C 24C 13+C 34C 37=3435, 所以P (B |A )=P AB P A =434=217,故B 正确;对于C ,X 的所有可能取值为0,1,2,3, 则P (X =0)=C 34C 37=435,P (X =1)=C 13C 24C 37=1835,P (X =2)=C 23C 14C 37=1235,P (X =3)=C 33C 37=135,所以E (X )=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97,故C 错误;对于D ,Y 的所有可能取值为0,1,2,3, 则P (Y =0)=C 33C 37=135,P (Y =1)=C 23C 14C 37=1235,P (Y =2)=C 13C 24C 37=1835,P (Y =3)=C 34C 37=435,则E (Y 2)=0×135+1×1235+4×1835+9×435=247,E (Y )=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127,则D (Y )=E (Y 2)-(E (Y ))2=247-⎝ ⎛⎭⎪⎫1272=2449, 故D 正确.6.(多选)(2022·永州模拟)已知14<p <1,随机变量X 的分布列如下,则下列结论正确的有( )A .P (X =2)的值最大B .P (X =0)<P (X =1)C .E (X )随着p 的增大而减小D .E (X )随着p 的增大而增大 答案 BD解析 当p =12时,P (X =2)=14,P (X =1)=1-12=12>14,A 错误;因为14<p <1,所以p -p 2=p (1-p )<1-p , 即P (X =0)<P (X =1),B 正确;E (X )=1-p +2p 2=2⎝⎛⎭⎪⎫p -142+78,因为14<p <1,所以E (X )随着p 的增大而增大,C 错误,D 正确.7.(2022·无锡质检)设X 是一个离散型随机变量,其分布列为则X 的均值为__________. 答案 1+22解析 由12+1-q +q -q 2=1得,q 2=12,q =22, ∴E (X )=12+2-2q +3q -3q 2=52+q -3q 2 =52+22-32 =1+22. 8.某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目,假设小张甲科目合格的概率为34,乙、丙科目合格的概率相等,且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X ,若P (X =3)=316,则E (X )=__________.答案 74解析 乙、丙科目合格的概率相等,可设乙、丙科目合格的概率均为p , 则P (X =3)=34p 2=316,解得p =12,故P (X =0)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-34=116,P (X =1)=12×⎝⎛⎭⎪⎫1-12×⎝⎛⎭⎪⎫1-34+12×⎝⎛⎭⎪⎫1-12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-34+⎝⎛⎭⎪⎫1-12×⎝⎛⎭⎪⎫1-12×34=516,P (X =2)=12×12×⎝⎛⎭⎪⎫1-34+12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12×34+⎝⎛⎭⎪⎫1-12×12×34=716,故X 的分布列为E (X )=0×116+1×516+2×716+3×316=74.9.2021年,“十四五”开启全面建设社会主义现代化国家新征程,这一年,中国共产党迎来建党100周年.某企业开展“学党史,颂党恩,跟党走”的知识问答活动,该企业收集了参与此次知识问答活动的员工得分情况,得到如下频率分布表:其中样本的平均数是73.6.(假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替) (1)求a ,b 的值;(2)根据此次知识问答活动的得分,评出四个等级,并根据等级给予如下的奖励:每次抽奖的中奖率均为12,每次中奖的奖金都为100元,求参与此次知识问答活动的某员工所获奖金X 的均值.解 (1)因为样本的平均数是73.6,所以45×0.04+55×0.10+65a +75b +85×0.20+95×0.12=73.6, 即65a +75b =37.9,①又a +b =1-0.04-0.10-0.20-0.12=0.54,② 由①②解得a =0.26,b =0.28.(2)当该员工的评定等级为优秀时,奖金的均值为12×4×100=200,当该员工的评定等级为良好时,奖金的均值为12×2×100=100,当该员工的评定等级为合格时,奖金的均值为12×1×100=50,当该员工的评定等级为不合格时,奖金的均值为12×0×100=0,E (X )=0×0.14+50×0.26+100×0.28+200×0.32=105,故参与此次知识问答活动的某员工所获奖金X 的均值为105元.10.(2022·广州模拟)已知袋中装有大小、形状都相同的小球共5个,其中3个红球,2个白球.(1)若从袋中任意摸出4个球,求恰有2个红球的概率;(2)若每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸到白球即停止摸球,这样的摸球最多四次,η1表示停止时的摸球次数;又若每次随机地摸出一个球,记下颜色后不放回,摸到白球即停止摸球,η2表示停止时的摸球次数.分别求出η1和η2的分布列,并计算η1≠η2的概率. 解 (1)设事件A 为“从袋中任意摸4个球,恰有2个红球”, 则P (A )=C 23C 45=35.(2)η1的所有可能取值为1,2,3,4, 则P (η1=1)=C 12C 15=25,P (η1=2)=3×25×5=625, P (η1=3)=3×3×25×5×5=18125,P (η1=4)=3×3×3×55×5×5×5=27125,η1的分布列为η2的所有可能取值为1,2,3,4,则P (η2=1)=C 12C 15=25,P (η2=2)=3×25×4=310, P (η2=3)=3×2×25×4×3=15,P (η2=4)=3×2×1×25×4×3×2=110,η2的分布列为从而P (η1≠η2)=1-P (η1=η2)=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫25×25+625×310+18125×15+27125×110 =8971 250.11.某公司圆满完成年初制定的生产目标,为答谢各位员工一年来的辛勤工作,公司决定召开年终总结联欢晚会,在联欢晚会上准备举行一个抽奖游戏,规定每位员工从一个装有4张奖券的箱子中,一次性随机摸出2张奖券,奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额.若箱子中所装的4张奖券中有1张面值为80元,其余3张面值均为40元,则每位员工所获得的奖励额的均值是( ) A .80元 B .100元 C .120元 D .140元答案 B解析 设每位员工所获得的奖励额为X 元,则X 所有可能的取值为80,120, 且P (X =80)=C 23C 24=12,P (X =120)=C 13C 11C 24=12,所以每位员工所获得的奖励额的均值E (X )=80×12+120×12=100.12.(2022·榆林模拟)设0<a <12,0<b <12,随机变量的分布列为ξ -1 0 1P12a b则当a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12内增大时,( ) A .E (ξ)增大,D (ξ)增大 B .E (ξ)增大,D (ξ)减小 C .E (ξ)减小,D (ξ)增大 D .E (ξ)减小,D (ξ)减小答案 D解析 由分布列中概率之和为1,可得a +b =12,∴E (ξ)=-12+b =-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-a =-a ,∴当a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12内增大时,E (ξ)减小, 又由D (ξ)=(-1+a )2×12+(0+a )2×a +(1+a )2×b =-⎝ ⎛⎭⎪⎫a +122+54,可知当a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12内增大时,D (ξ)减小.13.(多选)(2022·烟台质检)某学校共有6个学生餐厅,甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同),则下列结论正确的是( ) A .四人去了四个不同餐厅就餐的概率为518B .四人去了同一餐厅就餐的概率为11296C .四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为25216D .四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为23答案 ACD解析 四人去餐厅就餐的情况共有64种,其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有A 46种,则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为A 4664=518,故A 正确;同理,四人去了同一餐厅就餐的概率为664=1216,故B 错误;四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为C 24×5264=25216,故C 正确;设四人中去第一餐厅就餐的人数为ξ, 则ξ=0,1,2,3,4.则P (ξ=0)=5464,P (ξ=1)=C 145364,P (ξ=2)=C 245264,P (ξ=3)=C 34×564,P (ξ=4)=164,则四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为则四人中去第一餐厅就餐的人数的均值E (ξ)=0×5464+1×C 145364+2×C 245264+3×C 34×564+4×164=23,故D 正确. 14.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设ξ为取出的4个球中红球的个数,则P (ξ=2)=______. 答案310解析 由题意可知, P (ξ=2)=C 13C 12C 14+C 23C 22C 24C 26=310.15.(多选)设随机变量ξ的分布列如表:ξ 1 2 3 … 2021 2022Pa 1 a 2 a 3 …a 2021 a 2022则下列说法正确的是( )A .当{a n }为等差数列时,a 2+a 2021=11011B .数列{a n }的通项公式可能为a n =20232022n n +1C .当数列{a n }满足a n =12n (n =1,2,…,2021)时,a 2022=122022D .当数列{a n }满足P (ξ≤k )=k 2a k (k =1,2,…,2022)时,(n +1)a n =(n -1)a n -1(n ≥2) 答案 ABD解析 对于A ,因为{a n }为等差数列, 所以S 2022=2022a 1+a 20222=1,则有a 2+a 2021=a 1+a 2022=11011,故A 正确;对于B ,若数列{a n }的通项公式为a n =20232022n n +1=20232022⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1,则S 2022=20232022⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+12-13+…+12022-12023=20232022⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12023=1, 故B 正确;对于C ,因为a n =12n ,所以S 2022=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1220211-12+a 2022=1-122021+a 2022=1,则有a 2022=122021,故C 错误;对于D ,令S k =P (ξ≤k )=k 2a k , 则a k +1=S k +1-S k =(k +1)2a k +1-k 2a k , 故a k +1a k =k k +2, 所以a n a n -1=n -1n +1(n ≥2), 即(n +1)a n =(n -1)a n -1(n ≥2),故D 正确.16.(2022·莆田质检)某工厂生产一种精密仪器,由第一、第二和第三工序加工而成,三道工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果只有A ,B 两个等级.三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级:三道工序的加工结果均为A 级时,产品为一等品;第三工序的加工结果为A 级,且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为B 级时,产品为二等品;其余均为三等品.每一道工序加工结果为A 级的概率如表一所示,一件产品的利润(单位:万元)如表二所示:表一表二(1)用η表示一件产品的利润,求η的分布列和均值;(2)因第一工序加工结果为A 级的概率较低,工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改良,假如改良过程中,每件产品检测成本增加x (0≤x ≤4)万元(即每件产品利润相应减少x 万元)时,第一工序加工结果为A 级的概率增加19x .问该改良方案对一件产品利润的均值是否会产生影响?并说明理由.解 (1)由题意可知,η的所有可能取值为23,8,5, 产品为一等品的概率为0.5×0.75×0.8=0.3, 产品为二等品的概率为(1-0.5×0.75)×0.8=0.5, 产品为三等品的概率为1-0.3-0.5=0.2, 所以η的分布列为E (η)=23×0.3+8×0.5+5×0.2=11.9.(2)改良方案对一件产品的利润的均值不会产生影响,理由如下:在改良过程中,每件产品检测成本增加x (0≤x ≤4)万元,第一工序加工结果为A 级的概率增加19x , 设改良后一件产品的利润为ξ,则ξ的所有可能取值为23-x,8-x,5-x , 所以一等品的概率为⎝⎛⎭⎪⎫0.5+19x ×0.75×0.8=0.3+x 15, 二等品的概率为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫0.5+x 9×0.75×0.8=0.5-x 15, 三等品的概率为1-⎝⎛⎭⎪⎫0.3+x 15-⎝ ⎛⎭⎪⎫0.5-x 15=0.2,所以E (ξ)=⎝ ⎛⎭⎪⎫0.3+x 15(23-x )+⎝ ⎛⎭⎪⎫0.5-x 15(8-x )+0.2×(5-x ) =6.9-0.3x +2315x -115x 2+4-0.5x -815x +115x 2+1-0.2x =11.9,因为E (ξ)=E (η),所以改良方案对一件产品的利润的均值不会产生影响.。

2020高考数学一轮复习 离散型随机变量课件 新人教版选

2020高考数学一轮复习 离散型随机变量课件 新人教版选
●基础知识
一、期望与方差
若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn …
则称Eξ= x1p1+x2p2+…+xnpn+…
为ξ的数学期
望;
称Dξ= (x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xn-Eξ) 2pn+…为ξ的方差,叫做随机变量ξ的 标准,差记作 δξ .
答案:
●回归教材 1.若随机变量ξ的分布列如下表,则Eξ等于( )
ξ 0 1 2 3 45 P 2x 3x 7x 2x 3x x
解析:由分布列的性质, 可得2x+3x+7x+2x+3x+x=1,∴x= . ∴Eξ = 0×2x + 1×3x + 2×7x + 3×2x + 4×3x + 5x = 40x= . 答案:C
(1)两种大树各成活1株的概率; (2)成活的株数ξ的分布列与期望.
[解析] 设Ak表示甲种大树成活k株,k=0,1,2, Bl表示乙种大树成活l株,l=0,1,2, 则Ak、Bl独立,由独立重复试验中事件发生的概率公 式
综上知ξ有分布列: 从而,ξ的期望为
解法二:分布列的求法同前. 令ξ1、ξ2分别表示甲、乙两种树成活的株数,则
答案:4 4 2
三、期望与方差概念模糊、分布列求错致误 5.把4个球随机的投入4个盒子中去,设ξ表示空盒子 的个数,则Eξ=________;Dξ=________.
答案:
6.一个盒子里有n-1个白球,一个红球,随机地从 中抽取,若抽到白球则被抛弃,抽到红球则停止,被抛弃 次数ξ的期望Eξ=________;Dξ=________.
散的程度

4.若η=aξ+b,其中ξ是离散型随机变量,a,b为常
数,则Eη=
aEξ,+Db η=

届高考数学大一轮总复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 9.7 离散型随机变量及其分布列课

届高考数学大一轮总复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 9.7 离散型随机变量及其分布列课

变式训练1 (1)随机变量X的分布列如下:
X
-1
0
1
P
a
b
c
2 其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=____3____。
解析 由题意知2a+b=b+a+c=c,1,
则 2b=1-b,则 b=31,a+c=23,
所以 P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c=32。
(2)在例1(2)中条件不变的情况下,求Y=2X+1的分布列。 解 列表
X
0
1
2342Fra bibliotek+11
3
5
7
9
∴P(Y=1)=P(X=0)=0.2,
P(Y=3)=P(X=1)=0.1,
P(Y=5)=P(X=2)=0.1,
P(Y=7)=P(X=3)=0.3,
P(Y=9)=P(X=4)=0.3。
因此,Y=2X+1的分布列为
Y
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
考点二 离散型随机变量的分布列
X
1
2
3
4
P
1 6
1
1
3
6
p
则 p=( )
1 A.3
解析
1
1
1
B.2
C.4
D.6
由概率分布列的性质可知16+13+16+p=1,解得 p=13。
答案 A
3.袋中装有10个红球、5个黑球。每次随机抽取1个球后,若取得黑球
则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止。若取球的次数为X,则表示
“放回5个红球”事件的是( )
基础自测

(新课标)高三数学一轮复习 第10篇 离散型随机变量及其分布列学案 理-人教版高三全册数学学案

(新课标)高三数学一轮复习 第10篇 离散型随机变量及其分布列学案 理-人教版高三全册数学学案

第六十五课时离散型随机变量及其分布列课前预习案1.会求与现实生活有密切关系的离散型随机变量的分布列;2.掌握二点分布与超几何分布的特点,并会应用.1.离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能出来,则称X为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列及性质(1)离散型随机变量的分布列:若离散型随机变量X所有可能取的值为x1,x2,…,x i,…,x n,X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率为p1,p2,…,p n,则表称为离散型随机变量X(2)离散型随机变量分布列的性质:①p i 0 , (i=1,2,3,…,n);②p1+p2+…+p n=;③P(x i≤x≤x j)=p i+p i+1+…+p j.3.常见离散型随机变量的分布列(1)二点分布:如果随机变量X的分布列为其中0<p<1,q=,则称离散型随机变量p的二点分布.(2)超几何分布:设有总数为N件的两类物品,其中一类有M件,从所有物品中任取n件(n≤N),这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量,当X=m时的概率为P(X=m)=(0≤m≤l,l为n和M 中较小的一个),称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布,也称X服从参数为N,M,n 的超几何分布.1. 设随机变量X 的分布列如下:则p =________.2. 设某运动员投篮投中的概率为0.3,则一次投篮时投中次数X 的分布列是________.3. 在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再取一球,又记下它的颜色,写出这两次取出白球数η的分布列为_____________.4. 已知随机变量X 的分布列为P (X =k )=12k ,k =1,2,…,则P (2<X ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.5165. 随机变量X 的分布列如下:其中a ,b ,c 成等差数列,则P (|X |=1)等于 ( )A.16 B.13C.12D.23课堂探究案考点1 离散型随机变量的分布列的性质【典例1】设随机变量ξ的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ=k 5=ak (k =1,2,3,4,5),则常数a 的值为________,P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35=________.【变式1】 若离散型随机变量X 的分布列为则常数c =________,P (X =1)=________.考点2 离散型随机变量的分布列的求法及应用【典例2】随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元)为ξ. (1)求ξ的分布列;(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值);【变式2】某商店试销某种商品20天,获得如下数据:试销结束后(3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至...3件,否则不进货...,将频率视为概率. (1)求当天商店不进货...的概率; (2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数,求X 的概率分布列和数学期望.考点3 超几何分步【典例3】一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数;(2)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X ,求随机变量X 的分布列.【变式3】2013年10月1日,为庆祝中华人民共和国成立64周年,来自北京大学和清华大学的6名大学生志愿者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服务,且运送矿泉水岗位至少有1名北京大学志愿者的概率是35.(1)求打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率;(2)设随机变量ξ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数,求ξ的分布列.1.设X 是一个离散型随机变量,其分布列为( )A .1B .1±22C .1-22D .1+222. 某射手射击所得环数X 的分布列为)A .0.28B .0.88C .0.79D .0.513. 设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P (X =0)等于( )A .0B.12 C.13 D.234. 在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A .P (X =2)B .P (X ≤2)C .P (X =4)D .P (X ≤4)5. 设随机变量X 等可能取值为1,2,3,…,n ,如果P (X <4)=0.3,那么n =______.课后拓展案组全员必做题1. 随机变量X 的概率分布规律为P (X =n )=a n (n +1) (n =1,2,3,4),其中a 是常数,则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( )A.23B.34C.45D.562.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则表示“放回5个红球”事件的是( )A.ξ=4 B.ξ=5 C.ξ=6 D.ξ≤53.设随机变量X的概率分布列如下表所示:X 01 2P a 1316F(x)=P(X≤x),则当x的取值范围是[1,2)时,F(x)等于 ( )A.13B.16C.12D.564.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=12k-1,k=1,2,3,…,n,则P(2<ξ≤5)=________. 5.设随机变量X的概率分布列为X 123 4P 13m1416则P(|X-3|=1)=________.6.已知随机变量ξ只能取三个值:x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则公差d的取值范围是________.7.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有X个红球,则随机变量X的概率分布列为X 01 2P8.从一批含有13件正品与2件次品的产品中,不放回地任取3件,求取得次品数的分布列.B组提高选做题1.如图所示,A、B两点5条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ,则P(ξ≥8)=_______.2.某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查.瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为3人.力为中等或中等以上的概率为25.(1)试确定a ,b 的值;(2)从40人中任意抽取3人,求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率; (3)从40人中任意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.参考答案1.【答案】 13【解析】 由分布列的性质知:所有概率之和为1,所以p =13.2. 【答案】30,1,2.P (η=0)=C 11C 11C 12C 12=14,P (η=1)=C 11C 11×2C 12C 12=12,P (η=2)=C 11C 11C 12C 12=14.∴η的分布列为4.【答案】 A【解析】 P (2<X ≤4)=P (X =3)+P (X =4)=123+124=316.5. 【答案】 D【解析】 ∵a ,b ,c 成等差数列,∴2b =a +c . 又a +b +c =1,∴b =13,∴P (|X |=1)=a +c =23.【典例1】【答案】115 45【解析】随机变量ξ的分布列为由a +2a +3a +4a +5a =1,解得a =15.P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35=P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ=35+P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ=45+P (ξ=1)=3a +4a +5a =12a =45⎝ ⎛⎭⎪⎫或P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35=1-P (ξ≤25)=1-3a =45.【变式1】【答案】 13 13【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可知: ⎩⎪⎨⎪⎧9c 2-c +3-8c =10≤9c 2-c ≤10≤3-8c ≤1,解得c =13.P (X =1)=3-8×13=13.【典例2】【解析】 (1)由于1件产品的利润为ξ,则ξ的所有可能取值为6,2,1,-2,由题意知P (ξ=6)=126200=0.63,P (ξ=2)=50200=0.25,P (ξ=1)=20200=0.1,P (ξ=-2)=4200=0.02.故ξ的分布列为(2)1件产品的平均利润为E 4.34(万元). 【变式2】【解析】 (1)P (当天商店不进货)=P (当天商品销售量为0件)+P (当天商品销售量为1件)=120+520=310. (2)由题意知,X 的可能取值为2,3.P (X =2)=P (当天商品销售量为1件)=520=14;P (X =3)=P (当天商品销售量为0件)+P (当天商品销售量为2件)+P (当天商品销售量为3件)=120+920+520=34. 所以X 的概率分布列为故X 的数学期望为E (X )=2×14+3×34=114.【典例3】【解析】 (1)记“从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球”为事件A ,设袋中白球的个数为x ,则P (A )=1-C 210-x C 210=79,得到x =5.故白球有5个.(2)X 服从超几何分布,其中N =10,M =5,n =3, 其中P (X =k )=C k 5C 3-k5C 310,k =0,1,2,3.于是可得其分布列为【变式3】【解析】(1)A ,则事件A的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”,设有北京大学志愿者x 名,1≤x <6,那么P (A )=1-C 26-x C 26=35,解得x =2,即来自北京大学的志愿者有2名,来自清华大学的志愿者有4名.记“打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名”为事件B ,则P (B )=C 12C 14C 26=815,所以打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率是815.(2)在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数ξ服从超几何分布, 其中N =6,M =2,n =2,于是 P (ξ=k )=C k 2C 2-k4C 26,k =0,1,2,∴P (ξ=0)=C 02C 24C 26=25,P (ξ=1)=C 12C 14C 26=815,P (ξ=2)=C 22C 04C 26=115.所以ξ的分布列为1.【答案】 C【解析】 由分布列的性质得: 2211212112010q q q q ⎧+-+=⎪⎪>-≥⎨⎪-≥⎪⎩,∴q =1-22.故选C.2.【答案】C【解析】P (X >7)=P (X =8)+P (X =9)+P (X =10)=0.28+0.29+0.22=0.79. 3.【答案】 C 4.【答案】 C【解析】X 服从超几何分布P (X =k )=C k 7C 10-k8C 1015,故k =4.5.【答案】 10【解析】 由于随机变量X 等可能取值为1,2,3,…,n .所以取到每个数的概率均为1n.∴P (X <4)=P (X =1)+P (X =2)+P (X =3)=3n=0.3,∴n =10.组全员必做题1.【答案】 D 【解析】 ∵P (X =n )=an (n +1)(n =1,2,3,4),∴a 2+a 6+a 12+a 20=1,∴a =54, ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52=P (X =1)+P (X =2)=54×12+54×16=56.2.【答案】C【解析】“放回5个红球”表示前5次摸到黑球,第6次摸到红球,故ξ=6. 3. 【答案】D【解析】∵a +13+16=1,∴a =12,∵x ∈[1,2),∴F (x )=P (X ≤x )=12+13=56.4.【答案】716【解析】P (2<ξ≤5)=P (ξ=3)+P (ξ=4)+P (ξ=5) =14+18+116=716. 5.【答案】512【解析】由13+m +14+16=1,解得m =14,P (|X -3|=1)=P (X =2)+P (X =4)=14+16=512.6.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-13,13 【解析】设ξ取x 1,x 2,x 3时的概率分别为a -d ,a ,a +d ,则(a -d )+a +(a +d )=1,∴a =13,由⎩⎪⎨⎪⎧13-d ≥013+d ≥0得-13≤d ≤13.7.【答案】0.1 0.6 0.3【解析】 P (X =0)=C 22C 25=0.1,P (X =1)=C 13·C 12C 25=610=0.6,P (X =2)=C 23C 25=0.3.8.【解析】设随机变量ξ表示取出次品的个数,则ξ服从超几何分布,它的可能取值为0,1,2,其相应的概率为P (ξ=0)=C 02C 313C 315=2235,P (ξ=1)=C 12C 213C 315=1235,P (ξ=2)=C 22C 113C 315=135.所以ξ的分布列为组提高选做题1. 【答案】 45【解析】 方法一 由已知,ξ的取值为7,8,9,10, ∵P (ξ=7)=C 22C 12C 35=15,P (ξ=8)=C 22C 11+C 22C 12C 35=310, P (ξ=9)=C 12C 12C 11C 35=25,P (ξ=10)=C 22C 11C 35=110,∴ξ的分布列为∴P (ξ≥8)=P (ξ=8)+P (ξ=310+25+110=45.方法二 P (ξ≥8)=1-P (ξ=7)=1-C 22C 12C 35=45.2.【解析】(1)由表格数据可知,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有(10+a )人.记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ,则P (A )=10+a 40=25,解得a =6.所以b =40-(32+a )=40-38=2. 答 a 的值为6,b 的值为2.(2)由表格数据可知,具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人.方法一 记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ,则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B , 所以P (B )=1-P (B )=1-C 332C 340=1-124247=123247.答 从这40人中任意抽取3人,其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247.方法二 记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B , 所以P (B )=C 18C 232+C 28C 132+C 38C 340=123247. 答 从这40人中任意抽取3人,其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247.(3)由于从40位学生中任意抽取3人的结果数为C 340,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人,从40位学生中任意抽取3人,其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为C k 24C 3-k16,所以从40位学生中任意抽取3人,其中恰有k 人具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为P (ξ=k )=C k24C 3-k16C 340(k =0,1,2,3),ξ的可能取值为0,1,2,3,因为P (ξ=0)=C 024C 316C 340=14247,P (ξ=1)=C 124C 216C 340=72247,P (ξ=2)=C 224C 116C 340=5521 235,P (ξ=3)=C 324C 016C 340=2531 235,所以ξ的分布列为。

2020届一轮复习人教B版9.7离散型随机变量及其分布列学案

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第七节 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.(2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.知识点一 离散型随机变量分布列 1.随机变量的有关概念(1)随机变量:随着试验结果变化而变化的变量,常用字母X ,Y ,ξ,η,…表示. (2)离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量. 2.离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念:若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…,x n ,X 取每一个值x i (i =1,2,…,n )的概率P (X =x i )=p i ,以表格的形式表示如下:X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n有时也用等式P (X =x i )=p i ,i =1,2,…,n 表示X 的分布列.(2)分布列的性质①p i ≥0,i =1,2,3,…,n . ②∑ni =1p i =1. 易误提醒 (1)对于分布列易忽视其性质p 1+p 2+…+p n =1及p i ≥0(i =1,2,…,n )其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确.(2)确定离散型随机变量的取值时,易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的.[自测练习]1.设随机变量X 的分布列如下:X 1 2 3 4 P161316p则p 为( ) A.16 B.13 C.23D.12解析:由16+13+16+p =1,∴p =13.答案:B2.已知随机变量X 的分布列为P (X =i )=i2a (i =1,2,3),则P (X =2)=________.解析:由分布列的性质知12a +22a +32a =1,∴a =3,∴P (X =2)=22a =13.答案:13知识点二 常见的离散型随机变量的分布列 1.两点分布列X 0 1 P1-pp若随机变量X p =P (X =1)为成功概率.2.超几何分布列在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P (X =k )=C k M C n -k N -MC n N,k =0,1,2,…,m ,其中m =min{M ,n },且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *.X 01… mPC 0M C n -N -MC n NC 1M C n -1N -MC n N…C m M C n -mN -MC nN易误提醒 对m =min{M ,n }的理解易忽视其含义如下:m 为k 的最大取值,当抽取的产品件数不大于总体中次品件数,即n ≤M 时,k (抽取的样本中次品的件数)的最大值为m =n ;当抽取的产品件数大于总体中次品件数,即n >M 时,k 的最大值为m =M .[自测练习]3.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P (X =0)等于( )A .0 B.12 C.13D.23解析:由已知得X 的所有可能取值为0,1,且P (X =1)=2P (X =0), 由P (X =1)+P (X =0)=1,得P (X =0)=13.答案:C考点一 离散型随机变量分布列的性质|1.已知随机变量X 的概率分布如下:X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P23232233234235236237238239mA.239B.2310C.139 D.1310 解析:由离散型随机变量分布列的性质可知23+232+233+…+239+m =1,∴m =1-⎝⎛⎭⎫23+232+233+…+239 =1-2·13⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫1391-13=⎝⎛⎭⎫139=139.答案:C2.若随机变量X 的分布列为( )X -2 -1 0 1 2 3 P0.10.20.20.30.10.1则当P (X <a )=A .(-∞,2] B .[1,2] C .(1,2]D .(1,2)解析:由随机变量X 的分布列知:P (X <-1)=0.1,P (X <0)=0.3,P (X <1)=0.5,P (X <2)=0.8,则当P (X <a )=0.8时,实数a 的取值范围是(1,2].答案:C(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时,根据分布列,将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.考点二 离散型随机变量分布列的求法|(2018·高考四川卷)某市A ,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了3名男生、2名女生,B 中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X 表示参赛的男生人数,求X 的分布列和数学期望.[解] (1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.代表队中的学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36=1100. 因此,A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99100.(2)根据题意,X 的可能取值为1,2,3.P (X =1)=C 13C 33C 46=15,P (X =2)=C 23C 23C 46=35,P (X =3)=C 33C 13C 46=15.所以X 的分布列为X 1 2 3 P153515因此,X 的数学期望为E (X )=1×15+2×35+3×15=2.离散型随机变量分布列步骤(1)找出随机变量X 的所有可能取值x i (i =1,2,3,…,n ). (2)求出各取值的概率P (X =x i )=p i .(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.1.某学校举行联欢会,所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖.甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张.每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为13,且三人投票相互没有影响.若投票结果中至少有两张“获奖”票,则决定该节目最终获一等奖;否则,该节目不能获一等奖.(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率;(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望. 解:(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A ,则事件A 包括:该节目可以获两张“获奖”票,或者获三张“获奖”票.∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为13,且三人投票相互没有影响, ∵P (A )=C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫231+C 33⎝⎛⎭⎫133=727.(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的值为0,1,2,3.P (X =0)=⎝⎛⎭⎫133=127;P (X =1)=C 13⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫132=627;P (X =2)=C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫131=1227;P (X =3)=⎝⎛⎭⎫233=827. 因此X 的分布列为X 0 1 2 3 11276271227827E (X )=0×127+1×627+2×1227+3×827=2.考点三 超几何分布|(2018·南昌模拟)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.(1)求所选3人中恰有一名男生的概率; (2)求所选3人中男生人数ξ的分布列.[解] (1)所选3人中恰有一名男生的概率P =C 25C 14C 39=1021.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ=0)=C 35C 39=542,P (ξ=1)=C 25C 14C 39=1021,P (ξ=2)=C 15C 24C 39=514,P (ξ=3)=C 34C 39=121.∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P5421021514121对于服从某些特殊分布的随机变量,其分布列可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.2.某校校庆,各届校友纷至沓来,某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *),其中女校友6位,组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出2位校友代表,若选出的2位校友是一男一女,则称为“最佳组合”.(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12,求n 的最大值;(2)当n =12时,设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ,求ξ的分布列.解:(1)由题意可知,所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n -6C 16C 2n =12(n -6)n (n -1),则12(n -6)n (n -1)≥12,化简得n 2-25n +144≤0, 解得9≤n ≤16,故n 的最大值为16.(2)由题意得,ξ的可能取值为0,1,2,则P (ξ=0)=C 26C 212=522,P (ξ=1)=C 16C 16C 212=611,P (ξ=2)=C 26C 212=522,ξ的分布列为ξ 0 1 2 P52261152223.忽视分布列性质致误【典例】 随机变量ξ的分布列如下:ξ -1 0 1 Pabc其中a ,b ,c d 的取值范围是________. [解析] 因为a ,b ,c 成等差数列,所以2b =a +c .又a +b +c =1,所以b =13.所以P (|ξ|=1)=a +c =23.又a =13-d ,c =13+d ,根据分布列的性质,得0≤13-d ≤23,0≤13+d ≤23,所以-13≤d ≤13,此即公差d 的取值范围.[答案] 23 ⎣⎡⎦⎤-13,13 [易误点评] 求解易忽视a ,b ,c 因大于或等于0而致误.[防范措施] 利用分布列的性质解决问题时要注意每一变量对应的概率值0≤P i ≤1. [跟踪练习] 设X 是一个离散型随机变量,其分布列为X 1 2 3 Pq 21-q5q2-1 则q =________;P (X ≤解析:由分布列的性质得:⎩⎪⎨⎪⎧0≤q 2≤1,①0≤1-q ≤1,②0≤52q -1≤1,③q 2+(1-q )+⎝⎛⎭⎫52q -1=1,④由①②③,得25≤q ≤45.由④,得q 2+32q -1=0,即⎝⎛⎭⎫q -12(q +2)=0,解得q =12或q =-2(舍去).故q =12. 由分布列可知X 的可能取值只有1,2,3,故P (X ≤2)=P (X =1)+P (X =2)=q 2+(1-q )=⎝⎛⎭⎫122+⎝⎛⎭⎫1-12=34.答案:12 34A 组 考点能力演练1.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量X ,则X 所有可能取值的个数是( )A .5B .9C .10D .25解析:X 的所有可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10共9个. 答案:B2.已知随机变量X 的分布列为P (X =i )=i2a (i =1,2,3,4),则P (2<X ≤4)等于( )A.910B.710C.35D.12 解析:由分布列的性质,12a +22a +32a +42a=1,则a =5.∴P (2<X ≤4)=P (X =3)+P (X =4)=310+410=710.答案:B3.在15个村庄有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A .P (X =2)B .P (X ≤2)C .P (X =4)D .P (X ≤4)解析:X 服从超几何分布,故P (X =k )=C k 7C 10-k 8C 1015,k =4.答案:C4.(2018·厦门质检)设随机变量X 的分布列为P (X =k )=m ⎝⎛⎭⎫23k(k =1,2,3),则m 的值为( )A.1738B.2738C.1719D.2719解析:由分布列的性质得P (X =1)+P (X =2)+P (X =3)=m ×23+m ⎝⎛⎭⎫232+m ×⎝⎛⎭⎫233=38m 27=1.∴m =2738.答案:B5.一只袋内装有m 个白球,n -m 个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了ξ个白球,下列概率等于(n -m )A 2mA 3n的是( )A .P (ξ=3)B .P (ξ≥2)C .P (ξ≤3)D .P (ξ=2)解析:依题意知,(n -m )A 2mA 3n 是取了3次,所以取出白球应为2个.答案:D6.设随机变量X 的概率分布列为则P (|X -3|=1)=解析:由13+m +14+16=1,解得m =14,p (|X -3|=1)=P (X =2)+P (X =4)=14+16=512.答案:5127.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒子中任取3个球来用,用完即为旧,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,则P (X =4)的值为________.解析:事件“X =4”表示取出的3个球有1个新球,2个旧球,故P (X =4)=C 19C 23C 312=27220.答案:272208.若P (ξ≤x 2)=1-β,P (ξ≥x 1)=1-α,其中x 1<x 2,则P (x 1≤ξ≤x 2)等于________. 解析:由分布列性质可有:P (x 1≤ξ≤x 2)=P (ξ≤x 2)+P (ξ≥x 1)-1=(1-β)+(1-α)-1=1-(α+β).答案:1-(α+β)9.(2018·大连质检)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会,它们获得冠军的概率分别为12,13,23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列;(2)若球队获得冠军,则给其所在学校加5分,否则加2分,求该高中得分Y 的分布列. 解:(1)由题意知X 的可能取值为0,1,2,3, 则P (X =0)=⎝⎛⎭⎫1-12×⎝⎛⎭⎫1-13×⎝⎛⎭⎫1-23=19, P (X =1)=12×⎝⎛⎭⎫1-13×⎝⎛⎭⎫1-23+⎝⎛⎭⎫1-12×13×⎝⎛⎭⎫1-23+⎝⎛⎭⎫1-12×⎝⎛⎭⎫1-13×23=718, P (X =2)=12×13×⎝⎛⎭⎫1-23+⎝⎛⎭⎫1-12×13×23+12×⎝⎛⎭⎫1-13×23=718, P (X =3)=12×13×23=19.∴X 的分布列为(2)该高中得分η的可能取值为6,9,12,15. P (η=6)=19,P (η=9)=718,P (η=12)=718,P (η=15)=19,该高中得分η的分布列为10.(2018·开封模拟)厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素x 、y 的含量(单位:mg),下表是乙厂的5件产品测量数据.(1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;(2)当产品中微量元素x 、y 满足x ≥175,y ≥75时,该产品为优质品,试估计乙厂生产的优质品的数量;(3)从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件,求抽取的3件产品中优质品数ξ的分布列. 解:(1)设乙厂生产的产品为m 件,依题意得1498=5m ,∴m =35.(2)∵上述样本数据中满足x ≥175且y ≥75的只有2件, ∴估计乙厂生产的优质品为35×25=14(件).(3)依题意,ξ可取0,1,2,则P (ξ=0)=C 33C 35=110,P (ξ=1)=C 23C 12C 35=610,P (ξ=2)=C 13C 22C 35=310.∴ξ的分布列为:1.(2018·高考天津卷改编)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列. 解:(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ,则P (A )=C 13C 27+C 03C 37C 310=4960.所以,选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960. (2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3. P (X =k )=C k 4·C3-k 6C 310(k =0,1,2,3). 所以,随机变量X 的分布列是2.(2018·10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X 表示取到的豆沙粽个数,求X 的分布列.解:(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P (A )=C 12C 13C 15C 310=14.(2)X 的所有可能值为0,1,2,且P (X =0)=C 38C 310=715,P (X =1)=C 12C 28C 310=715,P (X =2)=C 22C 18C 310=115.综上可知,X 的分布列为。

2020届高三数学(人教B版)一轮复习离散型随机变量的分布列及均值方差学案

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§11.2 离散型随机变量的分布列及均值、方差1.离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量.所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量.(2)一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…,x n ,X 取每一个值x i (i =1,2,…,n )的概率P (X =x i )=p i ,则称表为离散型随机变量X 的概率分布列,简称为X 的分布列,具有如下性质: ①p i ≥0,i =1,2,…,n ;② i =1np i =1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 2.两点分布如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1,则称离散型随机变量X 服从两点分布. 其中p =P (X =1)称为成功概率. 3.离散型随机变量的均值与方差 一般地,若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值称E (X )=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差称D (X )=∑ni =1 (x i -E (X ))2p i 为随机变量X 的方差,它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度,并称其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差. 4.均值与方差的性质 (1)E (aX +b )=aE (X )+b .(2)D (aX +b )=a 2D (X ).(a ,b 为常数) 概念方法微思考1.随机变量和函数有何联系和区别?提示 区别:随机变量和函数都是一种映射,随机变量是随机试验结果到实数的映射,函数是实数到实数的映射;联系:随机试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域. 2.离散型随机变量X 的每一个可能取值为实数,其实质代表的是什么? 提示 代表的是“事件”,即事件是用一个反映结果的实数表示的. 3.如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确?提示 可用p i ≥0,i =1,2,…,n 及p 1+p 2+…+p n =1检验. 4.随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的?提示 随机变量的均值、方差是一个常数,样本均值、方差是一个随机变量,随观测次数的增加或样本容量的增加,样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.( √ )(2)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.( √ ) (3)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X 服从超几何分布.( √ ) (4)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (5)随机变量的均值是常数,样本的平均数是随机变量,它不确定.( √ )(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量的平均程度越小.( √ ) 题组二 教材改编2.[P77A 组T1]设随机变量X 的分布列如下:则p 为( ) A.16B.13C.14D.112 答案 C解析 由分布列的性质知,112+16+13+16+p =1, ∴p =1-34=14.3.[P68A 组T1]已知X 的分布列为设Y =2X +3,则E (Y )的值为( ) A.73B.4C.-1D.1答案 A解析 E (X )=-12+16=-13,E (Y )=E (2X +3)=2E (X )+3=-23+3=73.4.[P49A 组T1]有一批产品共12件,其中次品3件,每次从中任取一件,在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是____________. 答案 0,1,2,3解析 因为次品共有3件,所以在取到合格品之前取出的次品数X 的可能取值为0,1,2,3.题组三 易错自纠5.袋中有3个白球、5个黑球,从中任取2个,可以作为随机变量的是( ) A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球 C.取到白球的个数D.取到的球的个数 答案 C解析 选项A ,B 表述的都是随机事件;选项D 是确定的值2,并不随机;选项C 是随机变量,可能取值为0,1,2.6.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的、3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,则P (X =4)的值为______. 答案27220解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球, 故P (X =4)=C 23C 19C 312=27220.题型一 离散型随机变量的分布列的性质1.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X =n )=an (n +1)(n =1,2,3,4),其中a 是常数,则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( ) A.23B.34C.45D.56 答案 D。

2020届高中数学一轮复习北师大版第4讲离散型随机变量及其分布列学案Word版

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第4讲离散型随机变量及其分布列[最新考纲]1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单应用.知识梳理1.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,x i,…,x n,X 取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率P(X=x i)=p i,则表的概率分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质①p i≥0(i=1,2,…,n);②p1+p2+…+p n=13.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布:若随机变量X服从两点分布,其分布列为,其中p=P(X=1)(2)超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=C k M C n-kN-MC n N,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称随机变量X服从超几何分布.学生用书第188页辨析感悟1.离散型随机变量(1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.(√)(2)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(√)2.分布列的性质及两个特殊的概率分布(4)如果随机变量X的分布列由下表给出:(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人,其中女演员的人数X服从超几何分布.(√)(6)(教材习题改编)已知随机变量X的分布列为P(X=i)=i2a(i=1,2,3,4),则P(2<X≤4)=0.7.(√)[感悟·提升]1.离散型随机变量的特点一是在试验之前不能断言随机变量取什么值,即具有随机性;二是在大量重复试验中能按一定统计规律取值的变量,即存在统计规律性,如(1)、(3).2.分布列的两条性质离散型随机变量的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取各值的概率,如(6);要理解两种特殊的概率分布——两点分布与超几何分布,如(4)、(5);并善于灵活运用两性质:一是p i≥0(i=1,2,…);二是p1+p2+…+p n=1检验分布列的正误,如(2).考点一离散型随机变量分布列的性质【例1】设离散型随机变量X的分布列为求随机变量Y=|X-1|解由分布列的性质,知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3.列表∴P(Y=1)=P(X=0)+P(Y=0)=P(X=1)=0.1,P(Y=2)=0.3,P(Y=3)=0.3.因此Y=|X-1|的分布列为:规律方法(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.(2)若X是随机变量,则Y=|X-1|仍然是随机变量,求它的分布列可先求出相应随机变量的值,再根据互斥事件概率加法求Y取各值的概率,进而写出分布列.【训练1】随机变量X的分布列如下:其中a ,b ,c 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2b =a +c ,a +b +c =1,则2b =1-b ,则b =13,a +c =23,所以P (|X |=1)=P (X =-1)+P (X =1)=a +c =23. 答案 23考点二 离散型随机变量的分布列【例2】 (2018·天津卷)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X ,求随机变量X 的分布列与数学期望.审题路线 (1)编号为3的卡片来源有两类,利用古典概型求事件的概率.(2)根据任取4张卡片的不同情况确定X 的所有可能取值,然后求出相应的概率,进而确定分布列、计算数学期望.解 (1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A ,则P (A )=C 12C 35+C 22C 25C 47=67. 所以取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为67. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X =1)=C 33C 47=135,P (X =2)=C 34C 47=435,P (X =3)=C 35C 47=27,P (X =4)=C 36C 47=47.所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E(X)=1×135+2×435+3×27+4×47=175.学生用书第189页规律方法(1)求随机变量的分布列的主要步骤:①明确随机变量的取值,并确定随机变量服从何种概率分布;②求每一个随机变量取值的概率;③列成表格.(2)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确.【训练2】(2018·青岛质检)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望E(X).解(1)由题意得X取3,4,5,6,且P(X=3)=C35C39=542,P(X=4)=C14·C25C39=1021,P(X=5)=C24·C15C39=514,P(X=6)=C34C39=121.所以X的分布列为(2)由(1)知E(X)=3P(X=3)+4P(X=4)+5P(X=5)+6P(X=6)=13 3.考点三超几何分布问题【例3】(2018·哈尔滨调研)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095-2018,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:达到一级的概率;(2)从这10天的数据中任取3天数据.记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求X的分布列.审题路线(1)由频数分布表,知10天中仅有3天空气质量达到一级,利用古典概型可求第(1)问中的概率.(2)超标的天数X服从超几何分布.利用超几何分布的概率公式代入求解.解(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中,随机抽出3天,恰有一天空气质量达到一级”为事件A,则P(A)=C13·C27C310=2140.(2)依据条件,X服从超几何分布,其中N=10,M=3,n=3,且随机变量X的可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=C k3·C3-k7C310(k=0,1,2,3),∴P(X=0)=C03C37C310=724,P(X=1)=C13C27C310=2140,P(X=2)=C23C17C310=740,P(X=3)=C33C07C310=1120,因此X的分布列为规律方法(1)求解本题的关键在于:①从统计图表中准确提取信息;②明确随机变量X服从超几何分布.(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体个数X的概率分布,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.【训练3】一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是7 9.(1)求白球的个数;(2)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.解(1)记“从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球”为事件A,设袋中白球的个数为x,则P(A)=1-C210-xC210=79,得到x=5.故白球有5个.(2)X服从超几何分布,其中N=10,M=5,n=3,其中P(X=k)=C k5C3-k5C310,k=0,1,2,3.于是可得其分布列为1.求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率,要注意避免分类不全面或计算错误.2.注意运用分布列的两个性质检验求得分布列的正误.3.求概率分布的常见类型(1)根据统计数表求离散型随机变量的分布列;(2)由古典概型求离散型随机变量的分布列;(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列.学生用书第190页思想方法11——分类讨论思想在概率中的应用【典例】在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记X=|x-2|+|y-x|.(1)求随机变量X的最大值,并求事件“X取得最大值”的概率;(2)求随机变量X的分布列.解(1)∵x,y可能的取值为1,2,3,∴|x-2|≤1,|y-x|≤2,∴X≤3,且当x=1,y=3或x=3,y=1时,X=3.因此,随机变量X的最大值为3.∵有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3=9(种),∴P(X=3)=2 9.故随机变量X的最大值为3,事件“X取得最大值”的概率为2 9.(2)X的所有取值为0,1,2,3.∵X=0时,只有x=2,y=2这一种情况,X=1时,有x=1,y=1或x=2,y=1或x=2,y=3或x=3,y=3四种情况,X=2时,有x=1,y=2或x=3,y=2两种情况.∴P(X=0)=19,P(X=1)=49,P(X=2)=29.则随机变量X的分布列为[反思感悟] (1)解决本题的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率.(2)随机变量X的值是x,y的函数,所以要对x,y的取值进行分类讨论.(3)分类不全面或计算错误是本题易错点.【自主体验】(2018·江苏卷)设X为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,X=0;当两条棱平行时,X的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,X=1.求随机变量X的分布列.解若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8C23对相交棱,因此P(X=0)=8C23C212=411,若两条棱平行,则它们的距离为1或2,其中距离为2的共有6对,故P(X=2)=6C212=111,于是P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-411-111=611,所以随机变量X的分布列是基础巩固题组能力提升题组(建议用时:25分钟)一、选择题1.(2018·兰州模拟)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选3人中女生的人数,则P(X≤1)等于().A.15 B.25C.35 D.45解P(X≤1)=1-P(X=2)=1-C14C22C36=45.答案 D2.设随机变量X的概率分布列如下表所示:F(x)=P(X≤x),则当x x)等于().A.13 B.16C.12 D.56解∵a+13+16=1,∴a=12.∵x∈[1,2),∴F(x)=P(X≤x)=12+13=56.答案 D二、填空题3.(2018·青岛调研)为质检某产品的质量,现抽取5件,测量产品中微量元素x,y的含量(单位:毫克),测量数据如下:从上述5件产品中,随机抽取2件,则抽取的2件产品中优等品数X的分布列为________.解析5件抽测品中有2件优等品,则X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=C23C25=0.3,P(X=1)=C13·C12C25=0.6,P(X=2)=C22C25=0.1.∴优等品数X的分布列为答案三、解答题4.(2018·广州质检)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中x的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为X,求X的分布列与数学期望.解(1)由频率分布直方图知(0.006×3+0.01+x+0.054)×10=1,解得x=0.018.(2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.018+0.006)×10×50=12,成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50=3.因此X可能取0,1,2三个值.P(X=0)=C29C212=611,P(X=1)=C19·C13C212=922,P(X=2)=C23C212=122.X的分布列为故E(X)=0×611+1×922+2×122=12.。

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第七节 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.(2)理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.知识点一 离散型随机变量分布列 1.随机变量的有关概念(1)随机变量:随着试验结果变化而变化的变量,常用字母X ,Y ,ξ,η,…表示. (2)离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量. 2.离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念:若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,x i ,…,x n ,X 取每一个值x i (i =1,2,…,n )的概率P (X =x i )=p i ,以表格的形式表示如下:有时也用等式P (X =x i )=p i ,i =1,2,…,n 表示X 的分布列.(2)分布列的性质①p i ≥0,i =1,2,3,…,n .②∑ni =1p i =1. 易误提醒 (1)对于分布列易忽视其性质p 1+p 2+…+p n =1及p i ≥0(i =1,2,…,n )其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确.(2)确定离散型随机变量的取值时,易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的.[自测练习]1.设随机变量X 的分布列如下:则p 为( ) A.16 B.13 C.23D.12解析:由16+13+16+p =1,∴p =13.答案:B2.已知随机变量X 的分布列为P (X =i )=i2a (i =1,2,3),则P (X =2)=________.解析:由分布列的性质知12a +22a +32a =1,∴a =3,∴P (X =2)=22a =13.答案:13知识点二 常见的离散型随机变量的分布列 1.两点分布列若随机变量X p =P (X =1)为成功概率.2.超几何分布列在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则P (X =k )=C k M C n -k N -MC n N,k =0,1,2,…,m ,其中m =min{M ,n },且n ≤N ,M ≤N ,n ,M ,N ∈N *.易误提醒 对m =min{M ,n }的理解易忽视其含义如下:m 为k 的最大取值,当抽取的产品件数不大于总体中次品件数,即n ≤M 时,k (抽取的样本中次品的件数)的最大值为m =n ;当抽取的产品件数大于总体中次品件数,即n >M 时,k 的最大值为m =M .[自测练习]3.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P (X =0)等于( )A .0 B.12 C.13D.23解析:由已知得X 的所有可能取值为0,1,且P (X =1)=2P (X =0), 由P (X =1)+P (X =0)=1,得P (X =0)=13.答案:C考点一 离散型随机变量分布列的性质|1.已知随机变量X 的概率分布如下:A.239B.2310C.139 D.1310 解析:由离散型随机变量分布列的性质可知23+232+233+…+239+m =1,∴m =1-⎝⎛⎭⎫23+232+233+…+239 =1-2·13⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫1391-13=⎝⎛⎭⎫139=139.答案:C2.若随机变量X 的分布列为( )则当P (X <a )=A .(-∞,2] B .[1,2] C .(1,2]D .(1,2)解析:由随机变量X 的分布列知:P (X <-1)=0.1,P (X <0)=0.3,P (X <1)=0.5,P (X <2)=0.8,则当P (X <a )=0.8时,实数a 的取值范围是(1,2].答案:C(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时,根据分布列,将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.考点二 离散型随机变量分布列的求法|(2018·高考四川卷)某市A ,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了3名男生、2名女生,B 中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X 表示参赛的男生人数,求X 的分布列和数学期望.[解] (1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.代表队中的学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36=1100. 因此,A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99100.(2)根据题意,X 的可能取值为1,2,3.P (X =1)=C 13C 33C 46=15,P (X =2)=C 23C 23C 46=35,P (X =3)=C 33C 13C 46=15.所以X 的分布列为X123P15 35 15因此,X 的数学期望为E (X )=1×15+2×35+3×15=2.离散型随机变量分布列步骤(1)找出随机变量X 的所有可能取值x i (i =1,2,3,…,n ). (2)求出各取值的概率P (X =x i )=p i .(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.1.某学校举行联欢会,所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖.甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张.每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为13,且三人投票相互没有影响.若投票结果中至少有两张“获奖”票,则决定该节目最终获一等奖;否则,该节目不能获一等奖.(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率;(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的分布列及数学期望. 解:(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为A ,则事件A 包括:该节目可以获两张“获奖”票,或者获三张“获奖”票.∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为13,且三人投票相互没有影响, ∵P (A )=C 23⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫231+C 33⎝⎛⎭⎫133=727.(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X 的值为0,1,2,3.P (X =0)=⎝⎛⎭⎫133=127;P (X =1)=C 13⎝⎛⎭⎫231⎝⎛⎭⎫132=627;P (X =2)=C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫131=1227;P (X =3)=⎝⎛⎭⎫233=827. 因此X 的分布列为X1231127 627 1227 827E (X )=0×127+1×627+2×1227+3×827=2.考点三 超几何分布|(2018·南昌模拟)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.(1)求所选3人中恰有一名男生的概率; (2)求所选3人中男生人数ξ的分布列.[解] (1)所选3人中恰有一名男生的概率P =C 25C 14C 39=1021.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ=0)=C 35C 39=542,P (ξ=1)=C 25C 14C 39=1021,P (ξ=2)=C 15C 24C 39=514,P (ξ=3)=C 34C 39=121.∴ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P5421021514121对于服从某些特殊分布的随机变量,其分布列可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.2.某校校庆,各届校友纷至沓来,某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *),其中女校友6位,组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出2位校友代表,若选出的2位校友是一男一女,则称为“最佳组合”.(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12,求n 的最大值;(2)当n =12时,设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ,求ξ的分布列.解:(1)由题意可知,所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n -6C 16C 2n =12(n -6)n (n -1), 则12(n -6)n (n -1)≥12,化简得n 2-25n +144≤0,解得9≤n ≤16,故n 的最大值为16. (2)由题意得,ξ的可能取值为0,1,2,则P (ξ=0)=C 26C 212=522,P (ξ=1)=C 16C 16C 212=611,P (ξ=2)=C 26C 212=522,ξ的分布列为23.忽视分布列性质致误【典例】 随机变量ξ的分布列如下:其中a ,b ,c d 的取值范围是________. [解析] 因为a ,b ,c 成等差数列,所以2b =a +c .又a +b +c =1,所以b =13.所以P (|ξ|=1)=a +c =23.又a =13-d ,c =13+d ,根据分布列的性质,得0≤13-d ≤23,0≤13+d ≤23,所以-13≤d ≤13,此即公差d 的取值范围.[答案] 23 ⎣⎡⎦⎤-13,13 [易误点评] 求解易忽视a ,b ,c 因大于或等于0而致误.[防范措施] 利用分布列的性质解决问题时要注意每一变量对应的概率值0≤P i ≤1. [跟踪练习] 设X 是一个离散型随机变量,其分布列为则q =________;P (X ≤解析:由分布列的性质得:⎩⎪⎨⎪⎧0≤q 2≤1,①0≤1-q ≤1,②0≤52q -1≤1,③q 2+(1-q )+⎝⎛⎭⎫52q -1=1,④由①②③,得25≤q ≤45.由④,得q 2+32q -1=0,即⎝⎛⎭⎫q -12(q +2)=0,解得q =12或q =-2(舍去).故q =12. 由分布列可知X 的可能取值只有1,2,3,故P (X ≤2)=P (X =1)+P (X =2)=q 2+(1-q )=⎝⎛⎭⎫122+⎝⎛⎭⎫1-12=34.答案:12 34A 组 考点能力演练1.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量X ,则X 所有可能取值的个数是( )A .5B .9C .10D .25解析:X 的所有可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10共9个. 答案:B2.已知随机变量X 的分布列为P (X =i )=i2a (i =1,2,3,4),则P (2<X ≤4)等于( )A.910B.710C.35D.12解析:由分布列的性质,12a +22a +32a +42a =1,则a =5.∴P (2<X ≤4)=P (X =3)+P (X =4)=310+410=710. 答案:B3.在15个村庄有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A .P (X =2)B .P (X ≤2)C .P (X =4)D .P (X ≤4)解析:X 服从超几何分布,故P (X =k )=C k 7C 10-k 8C 1015,k =4.答案:C4.(2018·厦门质检)设随机变量X 的分布列为P (X =k )=m ⎝⎛⎭⎫23k(k =1,2,3),则m 的值为( )A.1738B.2738C.1719D.2719解析:由分布列的性质得P (X =1)+P (X =2)+P (X =3)=m ×23+m ⎝⎛⎭⎫232+m ×⎝⎛⎭⎫233=38m 27=1.∴m =2738.答案:B5.一只袋内装有m 个白球,n -m 个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了ξ个白球,下列概率等于(n -m )A 2mA 3n的是( ) A .P (ξ=3) B .P (ξ≥2) C .P (ξ≤3)D .P (ξ=2)解析:依题意知,(n -m )A 2mA 3n 是取了3次,所以取出白球应为2个. 答案:D6.设随机变量X 的概率分布列为则P (|X -3|=1)=解析:由13+m +14+16=1,解得m =14,p (|X -3|=1)=P (X =2)+P (X =4)=14+16=512.答案:5127.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒子中任取3个球来用,用完即为旧,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,则P (X =4)的值为________.解析:事件“X =4”表示取出的3个球有1个新球,2个旧球,故P (X =4)=C 19C 23C 312=27220.答案:272208.若P (ξ≤x 2)=1-β,P (ξ≥x 1)=1-α,其中x 1<x 2,则P (x 1≤ξ≤x 2)等于________. 解析:由分布列性质可有:P (x 1≤ξ≤x 2)=P (ξ≤x 2)+P (ξ≥x 1)-1=(1-β)+(1-α)-1=1-(α+β).答案:1-(α+β)9.(2018·大连质检)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会,它们获得冠军的概率分别为12,13,23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列;(2)若球队获得冠军,则给其所在学校加5分,否则加2分,求该高中得分Y 的分布列. 解:(1)由题意知X 的可能取值为0,1,2,3, 则P (X =0)=⎝⎛⎭⎫1-12×⎝⎛⎭⎫1-13×⎝⎛⎭⎫1-23=19, P (X =1)=12×⎝⎛⎭⎫1-13×⎝⎛⎭⎫1-23+⎝⎛⎭⎫1-12×13×⎝⎛⎭⎫1-23+⎝⎛⎭⎫1-12×⎝⎛⎭⎫1-13×23=718, P (X =2)=12×13×⎝⎛⎭⎫1-23+⎝⎛⎭⎫1-12×13×23+12×⎝⎛⎭⎫1-13×23=718, P (X =3)=12×13×23=19.∴X 的分布列为(2)该高中得分η的可能取值为6,9,12,15. P (η=6)=19,P (η=9)=718,P (η=12)=718,P (η=15)=19,该高中得分η的分布列为10.(2018·开封模拟)厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素x 、y 的含量(单位:mg),下表是乙厂的5件产品测量数据.(1)(2)当产品中微量元素x 、y 满足x ≥175,y ≥75时,该产品为优质品,试估计乙厂生产的优质品的数量;(3)从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件,求抽取的3件产品中优质品数ξ的分布列. 解:(1)设乙厂生产的产品为m 件,依题意得1498=5m ,∴m =35.(2)∵上述样本数据中满足x ≥175且y ≥75的只有2件, ∴估计乙厂生产的优质品为35×25=14(件).(3)依题意,ξ可取0,1,2,则P (ξ=0)=C 33C 35=110,P (ξ=1)=C 23C 12C 35=610,P (ξ=2)=C 13C 22C 35=310.∴ξ的分布列为:1.(2018·高考天津卷改编)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列. 解:(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ,则P (A )=C 13C 27+C 03C 37C 310=4960.所以,选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3. P (X =k )=C k 4·C3-k 6C 310(k =0,1,2,3). 所以,随机变量X 的分布列是2.(2018·10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X 表示取到的豆沙粽个数,求X 的分布列.解:(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P (A )=C 12C 13C 15C 310=14.(2)X 的所有可能值为0,1,2,且P (X =0)=C 38C 310=715,P (X =1)=C 12C 28C 310=715,P (X =2)=C 22C 18C 310=115.综上可知,X 的分布列为。

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