高一数学教案:4_10正切函数的图象和性质(1)

合集下载

正切函数的性质与图象教案

正切函数的性质与图象教案

正切函数的性质与图象教案一、教学目标:1. 理解正切函数的定义,掌握正切函数的性质。

2. 能够绘制正切函数的图象,理解正切函数图象的特点。

3. 能够运用正切函数的性质与图象解决实际问题。

二、教学重点:1. 正切函数的定义。

2. 正切函数的性质。

3. 正切函数图象的特点。

三、教学难点:1. 正切函数的性质的理解与运用。

2. 正切函数图象的绘制与分析。

四、教学准备:1. 教学课件。

2. 练习题。

五、教学过程:1. 导入:利用正切函数的实际应用情境,引导学生思考正切函数的定义,激发学生的学习兴趣。

2. 新课:讲解正切函数的定义,通过示例让学生理解正切函数的概念。

讲解正切函数的性质,让学生通过观察、实验、探究等方式,理解正切函数的性质。

讲解正切函数图象的特点,让学生通过观察、实验、探究等方式,掌握正切函数图象的特点。

3. 练习:让学生独立完成练习题,巩固所学知识。

5. 作业布置:布置相关作业,让学生进一步巩固正切函数的性质与图象。

六、教学反思:本节课通过引导学生思考正切函数的定义,讲解正切函数的性质与图象,让学生掌握了正切函数的基本知识。

在教学过程中,注意调动学生的积极性,引导学生通过观察、实验、探究等方式,理解正切函数的性质与图象。

但在教学中也存在一些问题,如部分学生对正切函数的理解不够深入,需要在今后的教学中加强引导和讲解。

六、教学拓展:1. 讲解正切函数的周期性,引导学生理解正切函数周期性的含义。

2. 讲解正切函数的奇偶性,引导学生理解正切函数奇偶性的含义。

3. 讲解正切函数的单调性,引导学生理解正切函数单调性的含义。

七、课堂小结:2. 强调正切函数在实际应用中的重要性。

八、课后作业:1. 巩固正切函数的性质与图象,完成课后练习题。

2. 搜集正切函数在实际应用中的例子,加深对正切函数的理解。

1. 课后对学生进行提问,了解学生对正切函数性质与图象的掌握情况。

2. 分析学生的练习作业,评估学生对正切函数性质与图象的掌握程度。

高一数学教案《4.10 正切函数的图象和性质》

高一数学教案《4.10  正切函数的图象和性质》

教学设计(主备人:闫定芳) 教研组长审查签名: 高中课程标准∙数学必修第一册(下) 教案执行时间:4.10 正切函数的图象和性质教学设计一、内容及其解1、内容:本节主要学习利用正切线画正切函数的图象及正切函数的图象和性质.2、解析:通过本节的学习能理解并掌握作正切函数的图象的方法,能用正切函数的图象解决有关问题.二、目标及其解析 1、目标:①使学生会利用正切线画出正切函数的图象,并通过图象了解正切函数的性质. ②培养学生应用类比的方法进行学习. ③会求与正切函数相关的简单函数的定义域,值域2、解析:正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数.它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性.为了更好研究其性质,首先讨论y=tanx 的作用.三、教学问题诊断分析本节的重点是正切函数的图象和性质.难点是利用正切线画正切函数y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图象.四、教学支撑条件分析为了加强学生对正切函数的图象和性质的理解,用类比的方法利用几何眼画板动态的研究图象,体会数行结合的优点.五、教学过程设计 (一)教学基本流程复习正弦曲线的作法→作厂作出正切函数的图象→对比正、余弦函数的性质得到正切函数的性质→小结.(二)教学情景 1、问题及例题:问题1:回忆正弦曲线的作图法,由此法能否作出正切函数y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图象.设计意图:帮助学生回顾旧知识、同时获得新知识. 问题2: y=tanx (x ∈R,且x ≠2π+k π,k ∈Z)的周期为什么是π.利用这一性质如何作出此函数的完整图象?对比正、余弦函数的性质得到正切函数的哪些性质?设计意图:让学生知道正切函数的周期并在最小周期内进行分析. 问题3:对于无数条互相平行的直线x=K π+2π,(k ∈Z)在正切函数的图象中有何特点?设计意图:让学生知道无数条互相平行的直线x=K π+2π,(k ∈Z)与y=tanx 的图象无交点,且任意两条平行线间的图象均相同.问题5:回忆y=Asin(ωx+ϕ)的周期,类似地考虑: y=Atan(ωx+ϕ)是周期函数吗?若是如何求?设计意图:让学生对比分析,易于得出正切函数T=πω问题6:如何判断函数的单调性?正切函数有减区间吗?若没有,能否说正切函数在整个定义域内是增函数?式说明理由.设计意图:让学生利用定义法判断函数的单调性正切函数无减区间, 因为正切函数具有周期性,只能在每一个区间内谈单调性.问题7:如何判断函数的奇偶性,其图象有何特点?设计意图:让学生回忆奇偶性的定义,即f(-x)=-f(x)则为奇函数,图象关于原点对称. 例1 求函数y=tan(x+4π)的定义域.解:令Z=x+4π、那么y=tanz 的定义域是{Z ∣Z ≠K π+2π,(k ∈Z.)}由Z=x+4π、Z=x+4π可得X= K π+2π-4π=4π+ K π. 所以函数y=tan(x+4π)的定义域是{X ∣X ≠K π+4π(k ∈Z.)}例2: 求函数y=tan(2x+3π)的周期.解:T=πω=2π例3:判断下列函数的奇偶性 ①y=tanx-sinx. ②y=lg1tan 1tan xx-+解: ①令f(x)= tanx-sinx,则f(-x)=tan(-x)-sin(-x)=-tanx+sinx=-f(x) 所以f(x)=tanx-sinx 为奇函数, ① 令f(x)=lg1tan 1tan x x -+ .则f(-x)= lg 1tan()1tan()x x --+- =lg 1tan 1tan x x +- = - lg 1tan 1tan xx -+=-f(x)所以y=lg 1tan 1tan xx-+是奇函数.例4:求函数F(x)=44tan (3)1tan (3)1x x ππ---+的周期与单调区间. 解: f(x)=44tan (3)1tan (3)1x x ππ---+=tan(4x ππ-)=tan 4x π.周期T= πω= 4ππ=4, K π-2π<4x π.< K π+2π,4k-2<x<4k+2,所以函数F(x)的单调区间是(4k-2,4k+2)(k ∈Z). 目标检测 第一课时(1) 求下列函数的定义域: ①②(2) 求下列函数的单调区间及周期 ①y=tan x ;②y=3tanx(6π-4x )(3) 判断下列函数的奇偶性; ①y=tanx(-4π≤x ≤3π); ②y=tanx+1tan 2x小结:本节主要用到数形结合的思想,即把数量关系转化为图形性问,或把图形性问题转化为数量关系的问题来研究.配餐作业 A 组:教材P79 页第1、2、3、4题设计意图:让学生对正切函数性质灵活运用. B 组:教材P79页5、6题设计意图:加强知识的综合性应用. C 组:教材P80页第6题设计意图:此题是综合性比较强的题目,让学生自己选择. 目标检测 第二课时(1)、求下列函数的定义域:①-tanx), ②(2)求y=-tanx ²+10tanx-1的值域.(3)已知 f(x)=tan ²x+tanx(x+3∏/2).求:①f(x)的周期. ②f(x)的单调区间.设计意图:掌握正切函数的图象和性质,并能正确运用它的性质去解决一些实际问题. 小结:本节主要用到数行结合的思想.既把数量关系问题转化为图象性质问题,或把图形性问题转化为数量关系问题来研究,借助单位圆或正切函数的图象对问题直观、迅速作出判断.配餐作业 A 组:1、要得到y=tan(2x-3π)的图象,只需将函数y=tan2x 的图象 ( D )A 、向左平移3π个单位 B 、向右平移3π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、 向右平移6π个单位.2、当-π/2<x <2π时,函数y=tan ∣x ∣的图象是 ( C )A 、关于园点对称.B 、关于x 轴对称.C 、关于y 轴对称.D 、不是对称图象. 设计意图:让学生对正切函数性质加深认识并灵活运用。

高中数学必修四《正切函数的性质和图象》优秀教学设计

高中数学必修四《正切函数的性质和图象》优秀教学设计

1.4.3 正切函数的性质和图象一.学习目标1、掌握正切函数的性质及其应用2、理解并掌握作正切函数图象的方法;3二、复习引入 (1)画出下列各角的正切线:三.探究新知 探究一 )1、利用正切函数的定义xy=αtan 2、正切函数的周期性:由诱导公式()=+πx tanx R ∈且,2x k k Z ππ≠+∈, 可知 ,函数tan y x =(,2x k k Z ππ≠+∈)是 函数,且它的周期是 .3、正切函数的奇偶性:由诱导公式tan()x -= x R ∈且,2x k k Z ππ≠+∈,所以正切函数tan y x =(,2x k k Z ππ≠+∈)是 函数.4、正切函数的单调性由图(Ⅰ)、(Ⅱ)正切线的变化规律可以得出,正切函数在(,)22ππ-内是 函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间 内都是增函数. 5、 正切函数的值域由图(Ⅰ)可知,当x 大于2π-且无限接近于2π-时,正切线AT 向y 轴的负方向无限延伸;由图(Ⅱ)可知,当x 小于2π且无限接近于2π时,正切线AT 向y 轴的正方向无限延伸.因此,tan y x =在(,)22ππ-内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是 .探究二 正切函数的图像1.复习如何用正弦线作正弦函数图象,类比可不可以用正切线作正切函数tan y x = 的图象?2.利用正切线画出tan y x =,x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的图象:3.根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数tan y x =,x R ∈且()z k k x ∈+≠ππ2的图象,称“正切曲线”.4、如何快速作出正切函数的简图?(三点两线法)5、根据图像讨论验证正切函数的性质。

四、新知运用例1.求函数tan()23y x ππ=+的定义域、值域、周期和单调区间. 例2.比较下列每组数的大小(1)tan138与tan143 (2)tan (411π-)与tan (513π-) 例3.解不等式3tan ≥x五、课堂练习1、求函数y=tan3x 的定义域,值域,周期,单调区间。

最新人教版高中数学必修4第一章《正切函数的性质与图象》教案

最新人教版高中数学必修4第一章《正切函数的性质与图象》教案

《正切函数的性质与图象》教案教学目标: 知识目标:1.会用单位圆中的正切线作正切函数的图象; 2.会用正切函数图象解决函数有关的性质. 能力目标:1.理解并掌握作正切函数图象的方法; 2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法. 情感态度与价值观:培养认真学习的精神;激发学生学习数学的兴趣. 教学重点难点:1.重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象; 2.难点:正切函数的性质. 教法与学法:1.教法选择:研究性学习方式——“设置问题情境,探索辨析,归纳应用,延伸拓展”; 2.学法指导:类比、联想,知识迁移;观察、实验,体验知识的形成过程;猜想、求证,达到知识的延展. 教学过程:一、设置情境,激发探索 我们能否做出正切函数tan y x =的图象?并回答下列问说明:(1)正切函数的最小正周期不能比ππ三、归纳小结,课堂延展教学设计说明1.教材地位分析:《正切函数的性质与图象》前承正、余弦函数,后启直线斜率问题.研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现,更是一种提升,同时又为后续的学习奠定了基石.2.学生现实分析:通过前面对函数的学习,学生已经具备了一定的绘图技能,而对正弦函数和余弦函数的研究又再一次做了一个模板,类比推理画出图象,并通过观察图象,总结性质的能力.但在画正切函数图象时,还有许多需要注意的地方,这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度.高一学生已经初步形成了是非观,具备了分辨是非的能力及语言表达能力.能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识.但在处理问题时学生往往考虑问题不深入,会造成错误的结果.3.不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法.课堂教学最终是为了让学生摆脱课堂,独立学习,所以不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法.本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的一般思路,让学生逐步领悟这种科学的研究方法,有利于他们今后能够更好地开展研究性学习活动.4.让计算机和多媒体真正走入数学课堂,发挥它们的辅助作用.但是如何真正让多媒体在数学学习中发挥积极的作用却是我们一直在探索的问题.本节课有较广的延展面,是培养学生发现、探索、创新能力的很好素材,但是要在一节课45分钟时间内实现构想,对课的安排提出了非常高的要求.课堂交流可以让他们充分交流,相互学习.为此,教学上充分发挥多媒体的优势,培养了学生发现问题、解决问题的能力,探索精神、创新意识也有了相应的提高.。

高中数学必修四《正切函数的图像和性质》优秀教学设计

高中数学必修四《正切函数的图像和性质》优秀教学设计

附件:教学设计方案模板给学生充足的时间与空间,发挥学生的主动性,这样不仅提高了学生的动手实践能力,还培养了学生对数学的兴趣。

注: 有的学生可能会想到利用函数的奇偶性来画图,教师暂时不予评价,等待学生形成图象。

②教师用投影仪展示作图结果,学生之间相互评价,指出优点和不足之处,并鼓励学生阐述自己的观点。

教师直接在投影仪上纠正学生错误的图像; 进行比较来说明只是周期的选择不同,拓展到整个定义域上也是一致的。

通过学生之间的点评与总结,引出渐近线,并请同学们总结出: 要画出一个周期内的图象,首先,选择哪段区间较好,其次,在画图象的过程中应该注意什么?③投影仪展示完整图像。

目的是规范作图,理顺思路的作用,并画出在定义域上的图象。

(设计意图: 在做好整体知识方法的铺垫后,学生完全有能力自己得到图象,并且通过交流发现自己的问题,所以整体做了一个这样的处理。

而根据知识的发生发展和获得结论这个过程,在最后给学生展示标准的图象以留下正确和深刻的印象)④总结正切函数的性质。

分小组根据正切函数图象去验证正切函数已有的性质,并找出其它的性质(主要就指单调性,若学生提及对称性就一起分析,若学生不提也不加以讨论,因为高考要求没有对对称性的涉及) 。

一组总结后,其它各小组补充或改正。

培养学生之间的团结协作能力及勇于探索的精神。

有部分学生会得到正切函数在定义域上是单调增函数的结论,所以为了突破这个难点,另外又设计了三道判断题让学生小组讨论形成结果。

判断下列语句是否正确: (1) y=tanx 在定义域上是单调增函数; (2) y=tanx 在在整体形成应该如何理解正切函数的单调性的基础上,再完成两个比大小的问题。

不求值,判断下列各式的大小①tan1380 tan1430,②tan(—13π4 ) tan(53) 引导学生从数和形两个角度来完成,可以直接看图象,可以转化到同一个单调区间,也可以利用三角函数线来比大小。

(设计意图: 根据原来的教学经验,学生在后续使用这个性质的时候经常会认为正切在定义域上是单调增函数,或者对第一象限的认识就认为是 0~2缩短这个反复讲解的过程,留下正确的印象,而比较大小是检验能否认识三角单调性的一个很好的工具,诱导公式的使用又将前后内容联系起来)3.例题分析例 1: 求函数tan 23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域、周期和单调区间 解:定义域:⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,312| 周 期:2T =单调区间:51(2,2)33k k -+k z ∈ 例2不求值,比较下列函数值的大小(1)tan138与0tan 143 2) 与由学生分析, 得到结论, 其他学生帮助补充、 纠正完成。

高一数学《正切函数的图象和性质(一)》教案

高一数学《正切函数的图象和性质(一)》教案

正切函数的图象和性质(一)教学目标(一) 知识与技能目标(1)了解正切函数的图像特征;(2)初步了解正切函数的性质.(二) 过程与能力目标了解利用正切和画出正切函数图像的方法.(三) 情感与态度目标渗透数形结合思想,提高学生的数学修养.教学重点正切函数图像的画法.教学难点2π±=y 是)2,2(,tan ππ-∈=x x y 的图像的两条渐近线的理解. 教学过程复习1. 正切函数的定义?定义域?定义域: 2. 正切函数是否是一个周期函数?若是,最小正周期是多少?周 期 :正切函数的图象:由于正切函数是周期函数,且它的最小正周期为π,因此可以考虑先在一个 周期内作出正切函数的图象 。

正切函数周期的确定:)Z ( 2∈+≠k k x ππ)( T Z),2R,( tan Z),2R,( tan cos sin )cos()sin()tan(最小正周期的周期为且且ππππππππ=∈+≠∈=∴∈+≠∈=--=++=+k k x x x y k k x x x x x x x x . )2,2( )},Z ( ,2|{ tan ππππ-∈+≠=为所以可以确定一个周期的定义域为:因为k k x x x y 上的图象:在区间作出)2,2(tan ππ-=x y正切曲线的性质:应用:x y 2π2π-o6π4π6π-4π-. ,))Z (2R,( tan 称“正切曲线”的图象且得到正切函数右扩展,把上述图象向左、,根据正切函数的周期性∈+≠∈=k k x x x y ππy o x 2ππ23π2π-23π-π-. )Z (2成所隔开的无穷支曲线组直线正切曲线是被一组平行∈+=k k x ππ定义域}Z ,2|{∈+≠k k x x ππ值域R 周期π=T 奇偶性奇函数x x tan )tan(-=-单调性内,函数单调递增在开区间Z )2,2(∈++-k k k ππππ.)4tan(.1的定义域求函数例π+=x y解:令4π+=x z ,那么函数z y tan =的定义域是 }.,2|{Z k k z z ∈+≠ππ由,24πππk z x +==+可得 ,442πππππk k x +=-+= 所以函数)4tan(π+=x y 的定义域是}.,4|{Z k k x x ∈+≠ππ解:,27013813590︒<︒<︒<︒ 且)上为增函数,,在(232tan ππx y = .138tan 135tan ︒<︒∴解:(1)当)(2622Z k k x k ∈+<-<-πππππ 即)(342322Z k k x k ∈+<<-ππππ时, )62tan(π-=x y 单调递增, ∴所求单调区间是))(342,322(Z k k k ∈+-ππππ (2)⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈-∈+∈==))(,2(,tan ))(2,(,tan |tan |Z k k k x x Z k k k x x x y ππππππ 可知函数|tan |x y =的单调递减区间为))(,2(Z k k k ∈-πππ,单调递增区间为 ))(2,(Z k k k ∈+πππ 课堂小结:1. 正切函数的图像.2. 正切函数的特征与性质.作业:1.阅读教材第76~79页; 2.教材第80页习题4.10第1、2、4、5题. . 138tan 135tan .2的大小与不通过求值,比较例︒︒.|tan |2 );62tan(1.3x y x y =-=)()(间:写出下列函数的单调区例π。

【精品】高一数学 4.10正切函数的图象和性质(第一课时) 大纲人教版必修

【精品】高一数学 4.10正切函数的图象和性质(第一课时) 大纲人教版必修

●课题§4.10.1 正切函数的图象和性质(一)●教学目标(一)知识目标1.正切函数的图象;2.正切函数的性质.(二)能力目标1.会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象;2.理解正切函数的性质.(三)德育目标1.用数形结合的思想理解和处理有关问题;2.发现数学规律;3.提高数学素质,培养实践第一观点.●教学重点正切函数的图象和性质●教学难点正切函数的性质的简单应用●教学方法引导学生用数形结合的思想理解和处理有关问题.(启发引导式)●教具准备幻灯片一张内容:课本P 69图4-27,§4.10.1●教学过程Ⅰ.课题导入[师]常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,今天我们来探讨一下正切函数的图象,以及它具有哪些性质?Ⅱ.讲授新课[师]为了精确,我们还是利用单位圆中的正切线来画一下正切曲线.∵tan(π+x )=xx x x cos sin )cos()sin(--=++ππ=tan x (其中x ∈R ,且x ≠2π+k π,k ∈Z ) 根据周期函数定义,可知正切函数也是周期函数,且π是它的周期.现在利用正切线画出函数y =tan x ,x ∈(-2π,2π)的图象 [师]引导学生完成.[生]在教师指导下完成.[师]打出幻灯片§4.10.1,让学生对照然后说明可将所得图象向左、右平移,即可得到y =tan x ,x ∈R 且x ≠2π+k π,(k ∈Z )的图象,叫做正切曲线.[师]引导学生观察得出正切曲线的特征:正切曲线是被相互平行的直线x =2π+k π(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成的.[师]现在我们根据正切曲线来看一下正切函数有哪些主要性质.(师生共同完成以下活动)(1)定义域:{x |x ≠2π+k π,k ∈Z } (2)值域:R(3)周期性:正切函数是周期函数,且周期T =π(4)奇偶性:∵tan(-x )=-tan x∴正切函数是奇函数∴正切曲线关于原点O 对称(5)单调性:正切函数在开区间(-2π+k π,2π+k π),k ∈Z 内都是增函数. 注意:①正切函数在整个定义域上不具有单调性,因为它的定义域不连续,所以不能说它在整个定义域内是增函数.②正切函数在每个单调区间内都是增函数下面,来看性质的简单应用.[例1]求函数y =tan2x 的定义域.解:由2x ≠k π+2π,(k ∈Z ) 得x ≠2πk +4π,(k ∈Z ) ∴y =tan2x 的定义域为: {x |x ∈R 且x ≠2πk +4π,k ∈Z } [例2]观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围:tan x >0解:画出y =tan x 在(-2π,2π)上的图象,不难看出在此区间上满足tan x >0的x 的范围为:0<x <2π 结合周期性,可知在x ∈R ,且x ≠k π+2π上满足的x 的取值范围为(k π,k π+2π)(k ∈Z ) [例3]不通过求值,比较tan135°与tan138°的大小.解:∵90°<135°<138°<270°又∵y =tan x 在x ∈(90°,270°)上是增函数,∴tan135°<tan138°Ⅲ.课堂练习[生](板演练习)课本P 71 2.(3)、3、62.(3)tan x <0的x 的取值范围为:{x |k π-2π<x <k π,k ∈Z } 3.y =tan3x 的定义域为{x |x ≠3πk +6π,k ∈Z } 6.tan(-413π)=-tan 4π3=tan 4π tan(-517π)=-tan 517π=-tan 52π∴tan(-413π)>tan(-517π) Ⅳ.课时小结[师]通过本节学习,要掌握正切函数的图象,理解它具有的主要性质,并会应用它 解决一些较简单问题.Ⅴ.课后作业(一)课本P 72,习题4.10 1、4、5(二)1.预习内容正切函数的性质的应用2.预习提纲(1)y =tan(x + )的单调性如何?(2)y =tan ωx 的周期又如何?(1) 例1(2) (3)例2 单调性3。

正切函数的性质与图象教案

正切函数的性质与图象教案

正切函数的性质与图象教案一、教学目标:1. 让学生理解正切函数的定义,掌握正切函数的性质,能够运用正切函数的性质解决问题。

2. 让学生通过观察正切函数的图象,加深对正切函数性质的理解。

3. 培养学生的数学思维能力,提高学生的数学素养。

二、教学重点:1. 正切函数的性质。

2. 正切函数的图象特征。

三、教学难点:1. 正切函数性质的推导。

2. 正切函数图象的绘制。

四、教学方法:1. 采用问题驱动的教学方法,引导学生主动探究正切函数的性质。

2. 利用数形结合的方法,让学生直观地理解正切函数的图象特征。

3. 通过小组讨论,培养学生的合作能力。

五、教学准备:1. 教师准备正切函数的图象和性质的PPT。

2. 学生准备笔记本和文具。

教案内容:一、导入(5分钟)1. 复习正切函数的定义:正切函数是指在直角三角形中,对边与邻边的比值。

2. 提问:正切函数有什么性质呢?它的图象又是怎样的呢?二、探究正切函数的性质(15分钟)1. 引导学生观察正切函数的图象,发现正切函数的周期性。

2. 引导学生观察正切函数的图象,发现正切函数的奇偶性。

3. 引导学生观察正切函数的图象,发现正切函数的单调性。

三、总结正切函数的性质(5分钟)1. 总结正切函数的周期性。

2. 总结正切函数的奇偶性。

3. 总结正切函数的单调性。

四、绘制正切函数的图象(15分钟)1. 引导学生利用函数图象绘制工具,绘制正切函数的图象。

2. 引导学生观察正切函数的图象,验证正切函数的性质。

五、巩固练习(10分钟)1. 让学生完成正切函数性质的练习题。

2. 让学生绘制正切函数的图象,并分析图象的性质。

六、课堂小结(5分钟)1. 回顾本节课学习的内容,总结正切函数的性质。

2. 强调正切函数的性质在实际问题中的应用。

七、作业布置(5分钟)1. 完成正切函数性质的相关练习题。

2. 绘制正切函数的图象,并分析图象的性质。

八、课后反思(教师)1. 反思本节课的教学效果,调整教学方法。

人教课标版高中数学必修四《正切函数的图象与性质》教案(1)-新版

人教课标版高中数学必修四《正切函数的图象与性质》教案(1)-新版

1.4.3正切函数的性质与图象一、教学目标(一)核心素养通过这节课的学习,了解研究正切函数图象的方法,掌握正切函数的图象特征与性质,并运用性质解决一定的实际问题.(二)学习目标学生已经有了研究正弦函数余弦函数的图象与性质的经验,正切函数在研究方法与研究内容上与前者类似,但某些性质有所不同,这就养成学生在画图时必须全面考虑问题.本着课改理念,养成学生对知识的勇于探索精神,学生亲自体会正切曲线的获得过程,这样学生的动手实践能力有了提高,又体会到学习数学的乐趣,根据教学要求及学生现有的认知水平,现制定以下教学目标:1.知识目标:1)能用单位圆中的正切线画出正切函数的图象.2)熟练根据正切函数的图象推导出正切函数的性质.3)掌握利用数形结合思想分析问题解决问题的技能.2.能力目标:1)通过类比,联系正弦函数图象的作法.2)能学以致用,结合图象分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质.(三)学习重点正切函数的图象及其主要性质(包括周期性单调性奇偶性值域);深化研究函数性质的思想方法.(四)学习难点正切函数图象与性质的应用二、教学设计(一)课前设计1.预习任务(1)读一读:阅读教材第48页至第51页,填空.正切函数的周期是_2π_,是 增 函数,在开区间,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内都是 增函数,它的值域是__R __. 2.预习自测(1)画出下列各角的正切线:【知识点】正切线 【数学思想】数形结合【思路点拨】注意第二、三象限正切线的变化,投影到第四、一象限做正切线. 【解题过程】【答案】略 (2)复习相关诱导公式tan(x+π)= x tan ;tan(-x )= x tan - . 【知识点】任意角三角函数诱导公式 【数学思想】转化思想【思路点拨】“奇变偶不变,符号看象限”【解题过程】tan(x+π)中,根据=22ππ⋅,系数为偶数2,三角函数名不变.假定x为锐角,x π+为第三象限角,其正切为正,∴()tan tan x x π+=.同理,()tan tan x x -=-.【答案】tan(x+π)= x tan ;tan(-x )= x tan - . (二)课堂设计 1.知识回顾(1)任意角α的终边与单位圆交于点()P x y ,(0x ≠),则α的正切tan α=yx tan y xα=. (2)下图1中,有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.图1.三角函数线(3)正弦函数sin y x =的图象如图2,其最小正周期为2π,是奇函数,在每一个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ 上都是增函数,其值从-1到1;在每一个闭区间()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦都是减函数,其值从1到-1;余弦函数cos y x =的图象如图3,它是偶函数,在每一个闭区间[]()2,22k k k Z ππππ++∈ 上都是增函数.图2.正弦函数图象 图3.余弦函数图象2.问题探究探究一:正切函数有哪些性质? (1)定义域:回顾正切的定义,其中角是任意角吗?由正切函数定义,若角x 的终边过点(),a b ,则tan bx a=知,当0a =,即,2x k k Z ππ=+∈时,tan x 无意义,故正切函数tan y x =的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.(2)周期性结合周期函数的定义,由诱导公式()tan tan x x π+=,能得出什么样的结论? 根据()tan tan x x π+=,可得出正切函数tan y x =的一个周期为π,且由单位圆中正切线的变化情况可知,π为该函数的最小正周期. (3)奇偶性结合奇偶函数的定义,由诱导公式()tan tan x x -=-,能得出什么样的结论?正切函数tan y x =为奇函数,函数图象关于原点对称. (4)单调性由正切线的变化规律,正切函数tan y x =具有怎样的单调性?正切函数在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(k Z ∈)内都是增函数.(5)值域由正切线的变化规律,分析正切函数tan y x =的值域是多少.由图1(Ⅰ)可知,当x 大于2π-且无限接近于2π-时,正切线AT 向y 轴的负方向无限延伸;由图1(Ⅱ)可知,当x 小于2π且无限接近于2π时,正切线AT 向y 轴的正方向无限延伸.故,x y tan =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是R .探究二:由正切函数的性质和单位圆中正切线如何得出正切函数图象? (1)类比已经学习的正弦函数、余弦函数的图象与性质,应该按照怎样的步骤研究正切函数?正切函数的是最小正周期为π的周期函数,所以只需画出它在一个周期内的图象,然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图象,可先选择区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭;而正切函数又是奇函数,所以只需要画出在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象即可.研究正切函数图象的步骤如下:0,,|,2222x x k k Z πππππ⎡⎫⎛⎫⎧⎫−−−−→-−−−−→≠+∈⎨⎬⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭⎩⎭奇函数周期性对称变换左右平移【设计意图】理清思路,学习分析问题的方法.(2)类别正弦函数、余弦函数,应该怎样画正切函数的图象?根据正切函数的定义域、周期性和奇偶性,选择先在区间0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上作出它的图象: ①作平面直角坐标系,并在直角坐标系中y 轴左侧作单位圆; ②把单位圆第一象限分成4等份,分别在单位圆中作出正切线;③描点(横坐标是半周期4等分点对应的值,纵坐标是相应的正切线的终点对应的值); ④连线.再根据奇函数图象关于原点对称,画出,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内的图象.(如图4)图4.由正弦线画正切函数tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内图象图5.正切函数tan y x =图象最后由正切函数的周期性,只要把图4中的图象向左、向右扩展,就可以得到正切函数tan y x =(|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭)的图象,称之为正切曲线(如图5所示). 【设计意图】实际操作,锻炼动手能力. (3)观察正切曲线,分析正切函数的性质①定义域:函数在,2x k k Z ππ=+∈处无定义,符合先前分析的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.②单调性:对于每一个k Z ∈,在开区间,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内,正切函数图象从左往右升高,正切函数单调递增. ③值域:靠近2k ππ-时,函数图象向下无限逼近直线2x k ππ=-,靠近2k ππ+时,函数图象向上无限逼近直线2x k ππ=+,能够取到R 上任意实数,值域为R .④渐近线:正切曲线不限逼近的直线()2x k k Z ππ=+∈称之为正切曲线各支的渐近线.正切曲线是由被渐近线隔开的无穷多支曲线组成的,且在渐近线处无取值,即函数无定义.⑤对称性:正切曲线关于每一段图象与x 轴的交点(),0k π对称,且关于渐近线与x 轴交点,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称,但正切曲线不关于任何直线对称.即,正切曲线不是轴对称图形,而是中心对称图形,其对称中心为,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭. 【设计意图】前后呼应,扩展延伸,加深对正切函数性质的理解. 探究三:应用例1.求函数tan 23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域、周期和单调区间.【知识点】正切函数的定义域、周期和单调性. 【数学思想】换元思想,整体思想. 【思路点拨】把23x ππ+看作整体,利用正切函数的定义域、周期和单调性知识求解.【解题过程】 令,232x k k Z ππππ+≠+∈,得12,2x k k Z ≠+∈,所以函数tan 23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域1{|2,}2x x k k Z ≠+∈. 周期22T ππ==. 令-,2232k x k k Z ππππππ+++∈<<,得5122,22k x k k Z -++∈<<,所以函数tan 23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为51(2,2),22k k k Z -++∈. 【答案】定义域:1{|2,}2x x k k Z ≠+∈;周期T =2;单调递增区间51(2,2),22k k k Z -++∈. 例2.求函数的定义域. (1)y (2)y =.【知识点】函数的定义域,解不等式,正切函数的性质.【数学思想】换元思想、整体思想.【思路点拨】先求不等式在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的解集,再根据正切函数的周期性求解出所有范围. 【解题过程】(1)由题意,tan x ≠,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内,tan 3π=,∴3x π≠,又因为y=tan x 是周期为π的周期函数,所以函数的定义域为|32x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠+≠+∈⎨⎬⎩⎭,且,.(2)因为tan x ≥错误!未找到引用源。

高中数学必修精选优课教案正切函数的性质与图象_1

高中数学必修精选优课教案正切函数的性质与图象_1

高中数学《正切函数的图像与性质》教学设计一、教学内容分析:三角函数是函数这个系统中的一个小分支,而正切函数又是三角函数这个小分支中的一个内容节点。

让学生能清晰地认识到所研究的内容与方法:在内容上主要研究函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性;在方法选择上,数形结合应是对其性质研究的主要途径。

正切函数除了一般函数的研究内容外,还要针对其图象的特点,特别地要研究其渐近线。

在此也向学生进一步说明华罗庚教授的“数缺形少直观,形少数难入微”的精妙,借助一切机会向学生渗透数学文化观念,让学生体会到:数学的美无处不在,数学无处不美。

二、学情分析:本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书》(人教A 版)数学必修四第一章《三角函数》第1.4.3节《正切函数的图像与性质》。

本节课是研究了正弦、余弦函数的图象与性质之后,又一具体的三角函数。

教材首先根据单位圆得到正切函数的定义,给出正切线的概念,并类比画正弦函数图象的方式,利用正切线画正切函数)2,2(,tan ππ-∈=x x y的图象,根据图象,研究正切函数的性质。

体现了类比思想的应用,体现出数形结合思想在研究函数性质中的重要作用。

学生已经掌握了正弦函数图像的画法和利用正弦函数的图象研究函数性质的方法,这为本节课的学习提供了知识的保障,这是有利的因素;但不足之处在于学生不能独立地运用数形结合的思想来研究正切函数的相关问题。

三、教学目标:1. 知识与技能目标:① 在对正切函数已有认知的基础上,分析正切函数的性质。

② 通过已知的性质,利用正切线画出正切函数在(,)22ππ-上的图像,得到正切曲线。

③ 根据正切曲线,完善正切函数的性质。

2. 过程与方法目标:在探究正切函数基本性质和图像的过程中,渗透数形结合的思想,形成发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的自主探索的学习习惯和学习能力,养成良好的数学学习习惯。

3. 情感态度价值观目标:在教学中使学生了解问题的来龙去脉;强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透;突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成。

正切函数的图像与性质教案

正切函数的图像与性质教案

正切函数的图像与性质教案一、教学目标1. 知识与技能:(1)理解正切函数的定义,掌握正切函数的图像与性质;(2)学会运用正切函数解决实际问题。

2. 过程与方法:(1)通过观察正切函数的图像,探索正切函数的性质;(2)利用数形结合思想,研究正切函数的单调性、周期性等性质。

3. 情感态度与价值观:(1)培养学生的数学审美观,感受数学的对称美;(2)激发学生对数学学习的兴趣,培养学生的探究精神。

二、教学重点与难点1. 教学重点:(1)正切函数的定义;(2)正切函数的图像与性质。

2. 教学难点:(1)正切函数的单调性;(2)正切函数的周期性。

三、教学准备1. 教师准备:(1)正切函数的图像与性质的相关知识;(2)教学课件或黑板。

2. 学生准备:(1)掌握锐角三角函数的基本概念;(2)了解正切函数的定义。

四、教学过程1. 导入新课(1)复习锐角三角函数的基本概念,引导学生回顾正切函数的定义;(2)提问:你们认为正切函数的图像会是什么样的呢?2. 探究正切函数的图像与性质(1)教师展示正切函数的图像,引导学生观察并描述正切函数的图像特点;(2)学生分组讨论,探索正切函数的单调性和周期性;3. 应用拓展(1)教师提出实际问题,引导学生运用正切函数解决问题;(2)学生独立解答,分享解题思路和方法。

五、课堂小结本节课我们学习了正切函数的定义、图像与性质,通过观察图像、探索性质,我们了解了正切函数的特点。

我们还学会了如何运用正切函数解决实际问题。

希望同学们在课后继续深入学习和思考,掌握更多的数学知识。

六、教学反馈与评价1. 课堂提问:在教学过程中,教师应根据学生的回答情况,及时给予评价和反馈,鼓励学生积极参与课堂讨论。

2. 课后作业:布置有关正切函数图像与性质的练习题,要求学生在课后巩固所学知识,提高解题能力。

3. 学习评价:通过课堂表现、课后作业和小组讨论,评价学生在正切函数图像与性质方面的掌握程度。

七、教学改进1. 针对学生的掌握情况,调整教学进度和难度,以便更好地满足学生的学习需求;2. 在教学中,注重引导学生运用数形结合思想,提高学生解决问题的能力;3. 加强与学生的互动,鼓励学生提问、发表见解,提高课堂氛围。

正切函数的性质与图象教案

正切函数的性质与图象教案

一、教学目标:1. 让学生理解正切函数的定义,掌握正切函数的性质和图象。

2. 培养学生运用正切函数解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过观察、分析、归纳等方法,探索正切函数的性质和图象。

二、教学内容:1. 正切函数的定义:正切函数是直角三角形中,对边与邻边的比值,用符号tan 表示。

2. 正切函数的性质:(1)正切函数是周期函数,周期为π。

(2)正切函数是奇函数,即f(-x)=-f(x)。

(3)正切函数在区间(-π/2, π/2)上单调递增。

(4)正切函数的图象是一条连续的曲线。

3. 正切函数的图象:正切函数的图象是一条从第二象限到第四象限的曲线,经过点(π/4, 1)和(-π/4, -1)。

三、教学重点与难点:1. 教学重点:正切函数的定义、性质和图象。

2. 教学难点:正切函数的性质和图象的深入理解与应用。

四、教学方法:1. 采用问题驱动的教学方法,引导学生通过观察、分析、归纳等方法,探索正切函数的性质和图象。

2. 利用多媒体课件,展示正切函数的图象,帮助学生直观地理解正切函数的性质。

3. 结合具体的例子,引导学生运用正切函数解决实际问题。

五、教学步骤:1. 引入:通过讲解正切函数的定义,引导学生理解正切函数的概念。

2. 探索正切函数的性质:让学生观察正切函数的图象,引导学生发现正切函数的周期性、奇偶性和单调性。

4. 应用正切函数解决实际问题:给出具体的例子,引导学生运用正切函数解决实际问题。

六、教学评估:1. 课堂练习:设计一些有关正切函数性质和图象的练习题,让学生在课堂上完成,以检验他们对知识的掌握程度。

2. 课后作业:布置一些有关正切函数的应用题,让学生课后思考和解答,以巩固所学知识。

3. 小组讨论:组织学生进行小组讨论,让他们分享自己在学习正切函数性质和图象过程中的心得体会,以培养他们的合作能力和交流能力。

七、教学反思:在课后,对本次教学进行反思,分析学生在学习正切函数性质和图象过程中遇到的问题,以及自己的教学方法和策略是否得当。

高一数学教案下学期 4.10 正切函数的图象和性质1_0294文档

高一数学教案下学期 4.10 正切函数的图象和性质1_0294文档

2020高一数学教案下学期 4.10 正切函数的图象和性质1_0294文档EDUCATION WORD高一数学教案下学期 4.10 正切函数的图象和性质1_0294文档前言语料:温馨提醒,教育,就是实现上述社会功能的最重要的一个独立出来的过程。

其目的,就是把之前无数个人有价值的观察、体验、思考中的精华,以浓缩、系统化、易于理解记忆掌握的方式,传递给当下的无数个人,让个人从中获益,丰富自己的人生体验,也支撑整个社会的运作和发展。

本文内容如下:【下载该文档后使用Word打开】正切函数的图象和性质第一课时(一)教学具准备直尺、投影仪.(二)教学目标1.会用“正切线”和“单移法”作函数的简图.2.掌握正切函数的性质及其应用.(三)教学过程1.设置情境正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数,它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性,为了更好研究其性质,我们首先讨论的作图.2.探索研究师:请同学们回忆一下,我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出图像的.生:在单位圆上取终边为(弧度)的角,作出其正弦线,设,在直角坐标系下作点,则点即为图像上一点.师:这位同学讲得非常好,本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制图像.(1)用正切线作正切函数图像师:首先我们分析一下正切函数是否为周期函数?生:∵∴是周期函数,是它的一个周期.师:对,我们还可以证明,是它的最小正周期.类似正弦曲线的作法,我们先作正切函数在一个周期上的图像,下面我们利用正切线画出函数,的图像.作法如下:①作直角坐标系,并在直角坐标系轴左侧作单位圆.②把单位圆右半圆分成8等份,分别在单位圆中作出正切线.③找横坐标(把轴上到这一段分成8等份).④找纵坐标,正切线平移.⑤连线.图1根据正切函数的周期性,我们可以把上述图像向左、右扩展,得到正切函数,且()的图像,并把它叫做正切曲线(如图1).图2(2)正切函数的性质请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质:定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性.①定义域:②值域由正切曲线可以看出,当小于()且无限亲近于时,无限增大,即可以比任意给定的正数大,我们把这种情况记作(读作趋向于正无穷大);当大于且无限接近于,无限减小,即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大,我们把这种情况记作(读作趋向于负无穷大).这就是说,可以取任何实数值,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集.③周期性正切函数是周期函数,周期是.④奇偶性∵,∴正切函数是奇函数,正切曲线关于原点对称.⑤单调性由正切曲线图像可知:正切函数在开区间(,),内都是增函数.(3)例题分析【例1】求函数的定义域.解:令,那么函数的定义域是由,可得所以函数的定义域是【例2】不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小:(1)与;(2)与.解:(1)∵又∵,在上是增函数∴(2)∵又∵,函数,是增函数,∴即.说明:比较两个正切型实数的大小,关键是把相应的角诱导到的同一单调区间内,利用的单调递增性来解决.3.演练反馈(投影)(1)直线(为常数)与正切曲线(为常数且)相交的相邻两点间的距离是()A.B.C.D.与值有关(2)是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角集合①②参考答案:(1)C.注:与相邻两点之间距离即为周期长(2)D.注:由,但,反之,但(3)①②4.总结提炼(1)的作图是利用平移正切线得到的,当我们获得上图像后,再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。

高中数学 第一章 正切函数的图像与性质教案 北师大版必修4

高中数学 第一章 正切函数的图像与性质教案 北师大版必修4

正切函数的图像与性质一、教学目标:1、知识与技能(1)了解任意角的正切函数概念;(2)理解正切函数中的自变量取值范围;(3)掌握正切线的画法;(4)能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像;(5)熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质;(6)能熟练掌握正切函数的图像与性质;(7)掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

2、过程与方法类比正、余弦函数的概念,引入正切函数的概念;在此基础上,比较三个三角函数之间的关系;让学生通过类比,联系正弦函数图像的作法,通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像;能学以致用,结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。

3、情感态度与价值观使同学们对正切函数的概念有一定的体会;会用联系的观点看问题,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题三、学法与教学用具我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来的,从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较,得出正切函数的概念;同样地,可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式;通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像,并从图像观察总结出正切函数的性质。

教学用具:投影机、三角板第一课时 正切函数的定义、图像及性质一、教学思路【创设情境,揭示课题】常见的三角函数还有正切函数,在前两次课中,我们学习了任意角的正、余弦函数,并借助于它们的图像研究了它们的性质。

今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法,在直角坐标系内学习任意角的正切函数,请同学们先自主学习课本P35。

【探究新知】1.正切函数的定义在直角坐标系中,如果角α满足:α∈R ,α≠2π+kπ(k ∈Z),那么,角α的终边与单位圆交于点P (a ,b ),唯一确定比值a b .根据函数定义,比值ab 是角α的函数,我们把它叫作角α的正切函数,记作y =tanα,其中α∈R ,α≠2π+kπ,k ∈Z.比较正、余弦和正切的定义,不难看出:tanα=ααcos sin (α∈R ,α≠2π+kπ,k ∈Z).由此可知,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,我们统称为三角函数。

湖南师范大学附属中学高一数学教案:正切函数的图象与性质(1)

湖南师范大学附属中学高一数学教案:正切函数的图象与性质(1)

目的:学会画出正切函数的图象,并掌握正切函数的性质。

过程:一、课题:正切函数的图象和性质。

二、正切函数x y tan =的图象。

1.首先考虑定义域:()z k k x∈+≠2ππ 2.为了研究方便,再考虑一下它的周期: ()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈=--=++=+z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且Θ ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈=∴z k k x R x x y ,2,tan ππ且的周期为π=T (最小正周期) 3.因此我们可选择⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象。

根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数R x x y ∈=tan ,且()z k k x ∈+≠ππ2的图象,称“正切曲线”三、正切函数的性质 引导学生观察,共同获得: π23-π-π2π-2ππ230 yx1、 定义域:⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ, 2、 值域:R观察:当x 从小于()z k k ∈+2ππ,2π+π−→−k x 时,∞−→−x tan 当x 从大于()z k k ∈+ππ2,ππk x +−→−2时,-∞−→−x tan 。

3、 周期性:π=T4、 奇偶性:()x x tan tan -=-奇函数。

5、 单调性:在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内,函数单调递增。

四、例题: 例一、比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π的大小。

解:tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πΘ4π,52tan 517tan ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-, 又:⎪⎭⎫ ⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增, ⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan 4tan 即。

人教版高一数学正切函数的图象和性质 教案

人教版高一数学正切函数的图象和性质 教案

高一数学正切函数的图象和性质课题:§4.10正切函数的图象和性质 (一)课题教材分析:学习正切函数的图象和性质,主要包括:定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等,渐进性和连续性,以及具体的应用。

(二)素质教育目标: 1. 知识目标:2. (1)用单位圆中的正切线作正切函数的图象;3. (2)用正切函数图象解决函数有关的性质;4. 能力目标:5. (1)理解并掌握作正切函数图象的方法;6. (2)理解用函数图象解决有关性质问题的方法;7. 德育目标:培养认真学习的精神; (三)课型课时计划: 1. 课题类型:新授课; 2. 教具使用:常规教学;3. 课时计划:本课题共安排1课时; (四)教学三点解析:1. 教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象;2. 教学难点:性质的研究;3. 教学疑点:正切函数在每个单调区间是增函数,并非整个定义域内的增函数; (五)教学过程设计 一.温故知新,引入课题 1. 求函数y=3six (2x-3π)的对称轴。

2. 求函数|)32sin(5|π+=x y 的周期; 3. 求函数|4)32sin(5|++=πx y 的周期;二.新课教学1.作出函数x y tan =的图象,由诱导公式x x tan )tan(=+π,且x ∈R ,x ≠k π+π/2可得:正切函数是周期函数,最小正周期是π,用单位圆作出它的图象是:根据正切函数的周期性,我们可以把图象向左、右扩展,得到整个函数的图象——正切曲线。

2.可以看出,正切曲线是由相互平行的直线x=k π+π/2隔开的无穷多支曲线组成的 3.正切函数x y tan =的性质: (1)定义域},2,|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ(2)值域:实数集R ,没有最大值,也没有最小值; (3)周期性:正切函数是周期函数,最小正周期是π;(4)奇偶性:由x x tan )tan(-=-可得,正切函数是奇函数,它的图象关于原点对称。

高一数学正切函数的图象和性质教案 苏教版 必修四

高一数学正切函数的图象和性质教案 苏教版 必修四

高一数学正切函数的图象和性质教案(一)教材分析:学习正切函数的图象和性质,主要包括:定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等,以及具体的应用。

(二)素质教育目标: 1. 知识目标:(1)用单位圆中的正切线作正切函数的图象; (2)用正切函数图象解决函数有关的性质; 2. 能力目标:(1)理解并掌握作正切函数图象的方法;(2)理解用函数图象解决有关性质问题的方法; 3. 德育目标:培养研究探索问题的能力; (三)课型课时计划: 1. 课题类型:新授课; 2. 教具使用:电脑多媒体3. 课时计划:本课题共安排2课时; (四)教学三点解析:1. 教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象;2. 教学难点:性质的研究;3. 教学疑点:正切函数在每个单调区间是增函数,并非整个定义域内的增函数; (五)教学过程设计第一课时 1.设置情境前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,但常见的三角函数还有正切函 数,今天我们来探讨一下正切函数的图象,以及它具有哪些性质。

2.探索研究由研究正、余弦函数的图象和性质的方法引出正切函数的图象和性质。

下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制tan y x =图象. (1)用正切线作正切函数图象○1分析一下正切函数tan y x =是否为周期函数? sin()sin ()tan()tan ()cos()cos x xf x x x f x x xππππ+-+=+====+-∴tan y x = 是周期函数,π是它的一个周期.我们还可以证明,π是它的最小正周期.类似正弦曲线的作法,我们先作正切函数在一个周期上的图象,下面我们利用正切线画出函数tan y x =,,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭的图象.作法如下:①作直角坐标系,并在直角坐标系轴左侧作单位圆.②把单位圆右半圆分成8等份,分别在单位圆中作出正切线. ③描点。

(横坐标是一个周期的8等分点,纵坐标是相应的正切线). ④连线.图1根据正切函数的周期性,我们可以把上述图象向左、右扩展,得到正切函数tan y x = ,(,,)2x R x k k Z ππ∈≠+∈的图象,并把它叫做正切曲线(如图1).图2(2)正切函数的性质请同学们结合正切函数图象研究正切函数的性质:定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性. ①定义域:|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭②值域:R③周期性:正切函数是周期函数,周期是π.④奇偶性:tan()tan x x -=-,∴正切函数是奇函数,正切曲线关于原点O 对称.⑤单调性:由正切曲线图象可知:正切函数在开区间(,),22k k k Z ππππ-++∈内都是增函数.强调:a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数 b.正切函数在每个单调区间内都是增函数c. 每个单调区间都包括两个象限:四、一或二、三 3.例题分析【例1】求函数tan()4y x π=+的定义域.分析:我们已经知道了tan y z =的定义域,那么tan()4y x π=+与tan y z =有什么关系呢?令4z x π=+,我们把tan()4y x π=+说成由tan y z =和4z x π=+复合而成。

“正切函数的图像和性质”的教学设计

“正切函数的图像和性质”的教学设计

“正切函数的图像和性质”的教学设计“正切函数的图像和性质”是全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第一册(下)第四章第十节的内容,也是普通高中课程标准试验教科书(必修)《数学》4 §1.4.3的内容.正切函数的图像和性质的学习是正弦、余弦函数的图像和性质知识的延续和深化,也是数形结合等重要数学思想方法的基础.本节课的教学不但能使学生在原有知识和经验的基础上进一步体会数形结合思想,而且可以提高观察、比较、概括等能力的发展.但对图像的认识学生始终有些难以理解,因此,本节课力争使用多媒体教学,使学生从理性和感性两方面去认识,从而达到预期的效果.一、教学目标1.知识目标通过本节的学习能理解并掌握作正切函数图像的方法,能用正切函数的图像解决有关问题.2.能力目标经历正切函数图像的作法过程,发展学生运用类比的方法分析问题和解决问题的能力,并让学生进一步体会数形结合思想方法的重要性.3.情感目标培养学生积极参与、合作交流的主体意识和主动探索、勇于发现的科学精神.在知识的探索和发现的过程中,使学生感到数学学习的意义,从而产生良好的数学学习态度.4.重点和难点重点:正切函数的图像形状及其主要性质.难点:利用正切线画出正切函数y=tanx,x∈-π2,π2的图像.为了突出重点、突破难点,在教学中采取以下措施:(1)采用类比的方法,让学生在正弦函数图像画法的基础上研究正切函数图像的画法.(2)从学生已有的知识出发,利用数形结合的思想,逐步引导学生通过自主探索、合作交流的形式,观察、归纳出正切函数的主要性质.二、教法探索1.教法分析针对高一年级学生的年龄特点和心理特征,结合他们的认知水平,在遵循启发式教学原则的基础上,本节课我主要采用以“情境――问题”教学法为主,以类比法、讨论法、练习法为辅的教学方法,意在通过教师的引导,调动学生的积极性,让学生多交流、多讨论,主动参与到教学活动中来.“情境――问题”教学法是贵州师范大学数学系的教授和研究生们,从跨文化数学教育研究的结果出发,为改变由教师单向灌输书本知识、学生被动接受学习的模式,提出了旨在培养创新意识和创新能力的基本教学模式,表示为:设置数学情境→提出数学问题→解决数学问题→注重数学应用(引导观察分析)(猜想探究)(正面求解或反例反驳)(学做学用)2.学法指导现代教育理论认为,教师的“教”不仅要让学生“学会知识”,更主要的是要让学生“会学知识”,而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键,因此在本节课的教学中,教会学生能用“类比”的学习方法学习正切函数的图像和性质,体会数形结合解决问题的好处,使传授知识与培养能力融为一体,真正实现本节课的教学目标.3.教学手段为了更形象、直观地突出重点、突破难点,增大教学容量,提高教学效率,本节课采用多媒体辅助教学,以加深学生对图像的认识,尤其使用几何画板的功能,让学生用动态的观点分析问题和解决问题.三、教学环节设计为了达到预期的教学目标,对整个教学过程进行了系统的规划,主要设计了以下五个教学环节(诸环节的标题与顺序见下面的各个小标题):1.创设情境,导入新课引入新课:正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数,它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性,为了更好地研究其性质,我们首先讨论y=tanx的图像.利用多媒体展示正弦函数的图像:y=sinx,x∈(0,2π).2.自主探索,归纳新知(本环节主要引导学生探索研究,得出新知.引导学生由正弦函数图像,通过类比作出正切函数图像,并让学生通过对图像的观察,自主探索、合作交流,归纳出正切函数性质.)师生互动:活动一:采用类比的方法,让学生通过正弦函数图像的作法探索如何利用正切线作出正切函数的y=tanx,x∈-π2,π2图像.在学生合作交流、共同探讨后利用多媒体课件展示正切函数的图像(如图示).活动二:利用几何画板的强大功能展示正切函数图像的动态画法,让学生在动态中享受数学知识带来的乐趣.活动三:引导学生通过函数的周期性作出函数y=tanx在整个定义域内的函数图像.(此环节让学生通过正弦函数的画法,通过类比的方式,根据正切函数的周期性得出.)活动四:引导学生通过对图像的研究,分析归纳出正切函数的性质.(本环节中,通过设计“问题串”、作类比等方式,使学生对于知识的理解不仅仅停留在表面,而是抓住了其实质,从而轻松地掌握本节的教学重点.)3.巩固练习,深化知识适当的巩固性、应用性练习是学习新知识、巩固新知识所必不可少的.为了促进学生对新知识的理解和掌握,及时安排学生完成以下练习.1.求函数y=tanx+π4的定义域.2.不求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小:(1)tan167°与tan173°;(2)tan-11π4与tan-13π5.4.归纳小结,反思提高小结以提问的方式出现.问题1:通过本节课的学习,你学会了什么知识?问题2:在解决问题的过程中,你掌握了哪些数学思想方法?5.布置作业,分层落实为培养学生良好的学习习惯,巩固所学内容,提高学生的探究能力和自主学习能力,让学生完成下列练习:1.证明函数f(x)=tanx在-π2,π2是增函数.2.课后习题(习题4.10).四、反思研究作为一节新知识课,在教法上,我打破了传统的教学模式,精心设计问题情境,积极引导、启发学生,经过类比、观察、归纳,最终得出.本节课在设计和教学过程中,留下了一些遗憾.比如,想让学生了解的内容过多,而对学生的估计不足,使得在教学过程中,未能充分发挥学生的主观能动作用,教学中未能完全放开.附:板书设计4.10正切函数的图像和性质1.正切函数的图像2.正切函数的性质:(1)定义域:(2)值域:(3)周期性:(4)奇偶性:(5)单调性:3.练习巩固.【参考文献】[1]马复.设计合理的数学教学[M].北京:高等教育出版社,2003.[2]教育部.普通高中数学课程标准(实验).北京:人民教育出版社,2003.[3]吕传汉,汪秉彝.中小学数学情景与提出问题数学探究[M].贵阳:贵州人民出版社,2002.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

课 题:410正切函数的图象和性质(1)
教学目的:
1.理解并掌握作正切函数和余切函数图象的方法.
2.理解并掌握用正切函数和余切函数的图象解最简三角不等式的方法.
教学重点:勇单位圆中的正切线作正切函数的图象.
教学难点:作余切函数的图象.
授课类型:新授课
课时安排:1课时
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
正切线:
首先练习正切线,画出下列各角的正切线:
正切线是AT .
现在我们来作正切函数和余切函数的图象.
二、讲解新课:
正切函数x y tan =的图象:
1.首先考虑定义域:()z k k x ∈+≠2π
π
2.为了研究方便,再考虑一下它的周期:
()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈=--=++=+z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∈+≠∈=∴z k k x R x x y ,2,tan ππ且的周期为π=T (最小正周期) 3.因此我们可选择⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象
根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数
R x x y ∈=tan ,且()z k k x ∈+≠ππ
2的图象,称“正切曲线”
正切函数的性质:
1.定义域:⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠
z k k x x ,2|ππ, 2.值域:R
3.观察:当x 从小于()z k k ∈+
2ππ,2π+π−→−k x 时,∞−→−x tan 当x 从大于
()z k k ∈+ππ2,ππk x +−→−2时,-∞−→−x tan
4.周期性:π=T
5.奇偶性:()x x tan tan -=-奇函数6.单调性:在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内,函数单调递增余切函数y=cotx 的图象及其性质(要求学生了解):
⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2tan 2tan cot ππx x x y ——即将x y tan =的图象,向左平移2π个单位,再以x 轴为对称轴上下翻折,即得x y cot =的图象
定义域:
z k k x R x ∈≠∈,π且
值域:R , 当z k k k x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛
+∈2,πππ时0>y ,当z k k k x ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈πππ,2时0<y 周期:π=T
奇偶性:奇函数
单调性:在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减
三、讲解范例:
例1比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭
⎫ ⎝⎛-517tan π的大小 解:tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 4π,52tan 517tan ππ-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-, 又:⎪⎭
⎫ ⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增, ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ
517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan
4tan 即 例2讨论函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=4tan πx y 的性质 略解:定义域:⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且
值域:R 奇偶性:非奇非偶函数 单调性:在⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-4,43ππππk k 上是增函数 图象:可看作是x y tan =的图象向左平移
4
π单位 例3求函数y =tan2x 的定义域解:由2x ≠k π+2
π,(k ∈Z ) 得x ≠2πk +4
π,(k ∈Z ) ∴y =tan2x 的定义域为:{x |x ∈R 且x ≠2πk +4
π,k ∈Z } 例4观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围:tan x >0
解:画出y =tan x 在(-
2π,2π)上的图象,不难看出在此区间上满足tan x >0的x 的范围为:0<x <2
π 结合周期性,可知在x ∈R ,且x ≠k π+2π上满足的x 的取值范围为(k π,k π+2
π)(k ∈Z ) 例5不通过求值,比较tan135°与tan138°的大小
解:∵90°<135°<138°<270°
又∵y =tan x 在x ∈(90°,270°)上是增函数
∴tan135°<tan138°
四、课堂练习: 1函数y =tan (ax +6π
)(a ≠0)的最小正周期为( )
a
a a a ππππ D. ||C. ||2B. 2A. 2以下函数中,不是..
奇函数的是( ) A y =sin x +tan x B.y =x tan x -1 C.y =x x x cos 1tan sin +- D.y =lg x
x tan 1tan +- 3下列命题中正确的是( )
A .y =cos x 在第二象限是减函数 B.y =tan x 在定义域内是增函数
C.y =|cos (2x +3π)|的周期是2π
D.y =sin |x |是周期为2π的偶函数 4函数y =sin x +tan x ,x ∈[-4π,4π]的值域为
5函数y =cot x -tan x 的周期为
6函数y =x
x 22tan 1tan 1+-的周期为
7作出函数y =|tan x |的图象,并观察函数的最小正周期和单调区间 8试证cot x =-tan (2π
+x ),并指出通过怎样的图象变换可由y =tan x 的图象得到y =cot x 的图象 9作出函数y =x
x 2tan 1tan 2-的图象,并观察函数的周期 参考答案:
1C 2B 3C 412
2,122+-] 5 2
π 6π 7函数y =|tan x |的图象如下图:
函数y =|tan x |的周期为π
单调递增区间为[k π,
2π+k π],k ∈Z 单调递减区间为(-
2
π+k π,k π],k ∈Z 8(略)
9函数y =x
x 2tan 1tan 2-的图象如下图: 周期为π
五、小结 本节课我们研究了正切函数和余
切函数
的图象和性质,并能在解题中应用
六、课后作业: 1正切函数在其定义域上有最值吗? 答:没有,因为正切函数的值域为R 且不等于k π+
2
π (k ∈Z ). 2在下列函数中,同时满足的是( ) ①在(0,2
π)上递增;②以2π为周期;③是奇函数 A y =tan x B y =cos x C y =tan 2
1x D y =-tan x 答案:C 3函数y =tan(2x +4
π)的图象被平行直线)(82Z ∈+=k k x ππ隔开,与x 轴交点的坐标是))(0,82(Z ∈-k k ππ与y 轴交点的坐标是(0,1),周期是2π,定义域的集合是},82|{Z R ∈+≠
∈k k x x x ππ且,值域的集合是R ,它是非奇非偶函数
4函数y =x sin -+x tan 的定义域是( ) A (2k +1)π≤x ≤(2k +1)π+2
π
,k ∈Z B (2k +1)π<x <(2k +1)π+2
π,k ∈Z C (2k +1)π≤x <(2k +1)π+2
π,k ∈Z D (2k +1)π<x <(2k +1)π+2π或x =k π,k ∈Z
解:由⎩⎨⎧≥≤0
tan 0sin x x ,得(2k +1)π≤x <(2k +1)π+2π 答案:C 5已知y =tan 2x -2tan x +3,求它的最小值
解:y =(tan x -1)2+2
当tan x =1时,y min =2
七、板书设计(略)
八、课后记:
\\教务处1\本地磁盘 (g)。

相关文档
最新文档