认识定义与命题

合集下载

北师大版数学八年级上册《认识定义与命题》教学设计2

北师大版数学八年级上册《认识定义与命题》教学设计2一. 教材分析《认识定义与命题》是北师大版数学八年级上册的一章内容。

这一章主要让学生理解定义与命题的概念，学会如何阅读和理解数学定义和命题，并能够运用它们解决实际问题。

本章内容是学生学习更高级数学知识的基础，因此，对这部分内容的理解和掌握十分重要。

二. 学情分析八年级的学生已经有一定的数学基础，他们对数学概念和运算规则有一定的了解。

但是，对于抽象的数学定义和命题，他们的理解可能还不够深入。

此外，学生可能对数学阅读和理解存在一定的恐惧感，因此，教师需要通过生动有趣的例子和实际问题，激发学生的学习兴趣，帮助他们克服这种恐惧感。

三. 教学目标1.让学生理解定义与命题的概念，知道它们的区别和联系。

2.培养学生阅读和理解数学定义和命题的能力。

3.培养学生运用定义和命题解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：让学生理解定义与命题的概念，知道它们的区别和联系。

2.难点：培养学生阅读和理解数学定义和命题的能力，以及运用定义和命题解决实际问题的能力。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过生动有趣的例子和实际问题，引导学生理解和掌握定义与命题的概念。

2.使用小组合作学习的方式，让学生在讨论中加深对定义与命题的理解。

3.采用循序渐进的教学方式，从简单的定义和命题开始，逐步引导学生理解和掌握更复杂的概念。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括定义与命题的概念、例子和实际问题。

2.准备小组讨论的素材，包括一些相关的数学题目和问题。

3.准备一些练习题，用于巩固学生对定义与命题的理解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）使用一个生动有趣的例子，引出定义与命题的概念。

例如，可以讲一个关于“平行线”的笑话，让学生思考：为什么两条直线平行时，它们的斜率相等？这个问题的答案就是一个命题。

通过这个例子，激发学生的学习兴趣，引导学生思考定义与命题的关系。

2.呈现（10分钟）讲解定义与命题的概念，给出它们的定义和例子。

浙教版八上第一章1.2定义与命题

1.2 定义与命题知识点梳理1、命题与定理1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．2、角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE3、三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．题型梳理题型一真假命题的辨析1．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a＝3，b＝2B．a＝﹣3，b＝2C．a＝3，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝3 2．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F，三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．33．下列命题中，真命题的个数是（）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短A．3B．2C．1D．04．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形6．下列命题中是假命题的是（）A．两直线平行，同位角互补B．对顶角相等C．直角三角形两锐角互余D．平行于同一直线的两条直线平行7．下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形8．下列哪一个是假命题（）A．五边形外角和为360°B．切线垂直于经过切点的半径C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）D．抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝29．下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等B．邻补角一定互补C．相等的角是对顶角D．有且只有一条直线与已知直线垂直10．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A．∠1＝50°，∠2＝40°B．∠1＝50°，∠2＝50°C．∠1＝∠2＝45°D．∠1＝40°，∠2＝40°11．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．−12C．0D．1212．下列命题中，是假命题的是（）A．两点之间，线段最短B．同旁内角互补C．直角的补角仍然是直角D．垂线段最短13．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（）A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形D．如果a：b；c＝3：4：√7，则△ABC是直角三角形14．下列命题中，不正确的是（）A．对角线相等的矩形是正方形B．对角线垂直平分的四边形是菱形C．矩形的对角线平分且相等D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形题型二寻找“条件”与“结论”1．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：．2．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是．3．命题“对顶角相等”的逆命题是．4．命题“对顶角相等”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．5．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：．6．把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为．题型三角平分线性质的应用1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10B．7C．5D．42．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD ＝8，则点P到BC的距离是（）A．8B．6C．4D．23．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：54．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（）A．√3B．2C．3D．√3+25．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线P A、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC＝180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；④∠BAC＝2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③6．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD ＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24B．30C．36D．427．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54°B．50°C．48°D．46°8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是．9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是．10．已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB是度．11．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC＝36cm2；，AB＝12cm，BC ＝18cm，则DE的长为cm．题型四“燕尾模型”与三角形的外角性质1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④4．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝°．5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是．6．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为．7．如图，在△ABC中，∠A、∠B的平分线相交于点I，若∠C＝70°，则∠AIB＝度，若∠AIB＝155°，则∠C＝度．8．已知：如图，在△ABC中，∠A＝55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC＝度．9．如图，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠A＝40°，∠B＝30°，∠D＝104°，则∠BEC 的度数为．10．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．11．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+12∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A∴∠1+∠2=12(180°−∠A)=90°−12∠A∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°−12∠A）=90°+12∠A探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC 与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC 与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：．12．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．13．如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度数．题型五“拐点模型”与三角形的外角性质1．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）A．30°B．40°C．60°D．70°2．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠D 的度数是（）A．24°B．59°C．60°D．69°3．如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（）A．20°B．30°C．50°D．70°4．如图，AB∥CD，∠B＝68°，∠E＝20°，则∠D的度数为度．答案和解析题型一真假命题的辨析1．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A．a＝3，b＝2B．a＝﹣3，b＝2C．a＝3，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝3【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足a2＞b2，但a＞b不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可．【解答】解：在A中，a2＝9，b2＝4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在B中，a2＝9，b2＝4，且﹣3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；在C中，a2＝9，b2＝1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；在D中，a2＝1，b2＝9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题；故选：B．2．如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F，三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用平行线的判定与性质分别判断得出各结论的正确性．【解答】解：如图所示：当①∠1＝∠2，则∠3＝∠2，故DB∥EC，则∠D＝∠4，当②∠C＝∠D，故∠4＝∠C ，则DF ∥AC ，可得：∠A ＝∠F ，即①②}⇒③；当①∠1＝∠2，则∠3＝∠2，故DB ∥EC ，则∠D ＝∠4，当③∠A ＝∠F ，故DF ∥AC ，则∠4＝∠C ，故可得：∠C ＝∠D ，即①③}⇒②；当③∠A ＝∠F ，故DF ∥AC ，则∠4＝∠C ，当②∠C ＝∠D ，则∠4＝∠D ，故DB ∥EC ，则∠2＝∠3，可得：∠1＝∠2，即②③}⇒①，故正确的有3个．故选：D ．3．下列命题中，真命题的个数是（）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短A．3B．2C．1D．0【分析】根据平行公理、图形的平移、平行线的性质定理判断即可．【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②是假命题；图形平移的方向不一定是水平的，③是假命题；两直线平行，内错角相等，④是假命题；相等的角不一定是对顶角，⑤是假命题；垂线段最短，⑥是真命题，故选：C．4．有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③若一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角一定相等；④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中是真命题的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①根据对顶角的定义进行判断；②根据同位角的知识判断；③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；根据点到直线的距离的定义对④进行判断．【解答】解：①对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，①假命题；②两直线平行，同位角相等；②假命题；③一个角的两边与另一个角的两边分别互相平行，这两个角相等或互补；③假命题；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④假命题；真命题的个数为0，故选：A．5．下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B、正确；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．故选：B．6．下列命题中是假命题的是（）A．两直线平行，同位角互补B．对顶角相等C．直角三角形两锐角互余D．平行于同一直线的两条直线平行【分析】根据平行线的判定和性质、对顶角的性质、直角三角形的性质判断即可．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题；B、对顶角相等，本选项说法是真命题；C、直角三角形两锐角互余，本选项说法是真命题；D、平行于同一直线的两条直线平行，本选项说法是真命题；故选：A．7．下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形【分析】根据矩形的判定方法判断即可．【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题；B、四条边相等的四边形是菱形，是假命题；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题；D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；故选：A．8．下列哪一个是假命题（）A．五边形外角和为360°B．切线垂直于经过切点的半径C．（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）D．抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、五边形外角和为360°是真命题，故A不符合题意；B、切线垂直于经过切点的半径是真命题，故B不符合题意；C、（3，﹣2）关于y轴的对称点为（﹣3，2）是假命题，故C符合题意；D、抛物线y＝x2﹣4x+2017对称轴为直线x＝2是真命题，故D不符合题意；故选：C．9．下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等B．邻补角一定互补C．相等的角是对顶角D．有且只有一条直线与已知直线垂直【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故此选项错误；B、根据邻补角的定义，故此选项正确；C、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，故此选项错误．故选：B．10．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A．∠1＝50°，∠2＝40°B．∠1＝50°，∠2＝50°C．∠1＝∠2＝45°D．∠1＝40°，∠2＝40°【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．【解答】解：A、满足条件∠1+∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；B、不满足条件，故B选项错误；C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．故选：C．11．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．−12C．0D．12【分析】反例中的n满足n＜1，使n2﹣1≥0，从而对各选项进行判断．【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．12．下列命题中，是假命题的是（）A．两点之间，线段最短B．同旁内角互补C．直角的补角仍然是直角D．垂线段最短【分析】根据线段、垂线段的公理、平行线的性质以及直角的概念判断即可．【解答】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；C、直角的补角仍然是直角，是真命题；D、垂线段最短，是真命题；故选：B．13．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的（）A．如果∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是直角三角形B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形C．如果a：b：c＝1：2：2，则△ABC是直角三角形D．如果a：b；c＝3：4：√7，则△ABC是直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答即可．【解答】解：A、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A≈98°，错误不符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝75°，错误不符合题意；C、如果a：b：c＝1：2：2，12+22≠22，不是直角三角形，错误不符合题意；D、如果a：b；c＝3：4：√7，32+(√7)2=42，则△ABC是直角三角形，正确；故选：D．14．下列命题中，不正确的是（）A．对角线相等的矩形是正方形B．对角线垂直平分的四边形是菱形C．矩形的对角线平分且相等D．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形【分析】根据矩形的性质和正方形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B 进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据三角形中位线的性质和矩形的判定方法对D进行判断．【解答】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，所以A选项为假命题；B、对角线垂直平分的四边形是菱形，所以B选项为真命题；C、矩形的对角线平分且相等，所以C选项为真命题；D、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以D选项为真命题．故选：A．题型二寻找“条件”与“结论”1．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．2．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：它们相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．3．命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角．【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．故答案为：相等的角为对顶角．4．命题“对顶角相等”的逆命题是假命题（填“真”或“假”）．【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．故答案为假．5．把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”．故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．6．把命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线相互平行．【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【解答】解：命题可以改写为：“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线相互平行”．题型三角平分线性质的应用1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10B．7C．5D．4【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝2，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE=12BC•EF=12×5×2＝5，故选：C．2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD ＝8，则点P到BC的距离是（）A．8B．6C．4D．2【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得P A＝PE，PD＝PE，那么PE＝P A＝PD，又AD＝8，进而求出PE＝4．【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，P A⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴P A＝PE，PD＝PE，∴PE＝P A＝PD，∵P A+PD＝AD＝8，∴P A＝PD＝4，∴PE＝4．故选：C．3．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵点O是内心，∴OE＝OF＝OD，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=12•AB•OE：12•BC•OF：12•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝（）A．√3B．2C．3D．√3+2【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝1，又∵直角△BDE中，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．故选：C．5．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线P A、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC＝180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；④∠BAC＝2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③【分析】过点P分别作AB、BC、AC的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到AC、BC的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于360°可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用△ABC 与△PBC 写出关系式整理即可得到④正确．【解答】解：如图，过点P 作PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，PD ⊥AC ，垂足分别为M 、N 、D ， ①∵PB 平分∠ABC ，P A 平分∠EAC ，∴PM ＝PN ，PM ＝PD ，∴PM ＝PN ＝PD ，∴点P 在∠ACF 的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），故本小题正确；②∵PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，∴∠ABC +90°+∠MPN +90°＝360°，∴∠ABC +∠MPN ＝180°，很明显∠MPN ≠∠APC ，∴∠ABC +∠APC ＝180°错误，故本小题错误；③在Rt △APM 与Rt △APD 中，{AP =AP PM =PD， ∴Rt △APM ≌Rt △APD （HL ），∴AD ＝AM ，同理可得Rt △CPD ≌Rt △CPN ，∴CD ＝CN ，∴AM +CN ＝AD +CD ＝AC ，故本小题正确；④∵PB 平分∠ABC ，PC 平分∠ACF ，∴∠ACF ＝∠ABC +∠BAC ，∠PCN =12∠ACF ＝∠BPC +12∠ABC ，∴∠BAC ＝2∠BPC ，故本小题正确．综上所述，①③④正确．故选：B ．6．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD ＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24B．30C．36D．42【分析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD=12AB•DH+12BC•CD=12×6×4+12×9×4＝30，故选：B．7．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（）A．54°B．50°C．48°D．46°【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE＝DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12∠ACB．【解答】解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF＝DE，又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，∴CD平分∠BCF，又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∴DF＝DG，∴DE＝DG，∴BD平分∠CBE，∴∠DBE=12∠CBE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC，∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD=12（∠CBE﹣∠BAC）=12∠ACB=12×92°＝46°，故选：D．8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是3．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∴S △ABC =12×4×2+12AC •2＝7，解得AC ＝3．故答案为：3．9．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD ＝3，BC ＝10，则△BDC 的面积是 15 ．【分析】过D 作DE ⊥BC 于E ，根据角平分线性质求出DE ＝3，根据三角形的面积求出即可．【解答】解：过D 作DE ⊥BC 于E ，∵∠A ＝90°，∴DA ⊥AB ，∵BD 平分∠ABC ，∴AD ＝DE ＝3，∴△BDC 的面积是12×DE ×BC =12×10×3＝15，故答案为：15．10．已知如图，∠B ＝∠C ＝90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ，∠CED ＝35°，则∠EAB 是 35 度．【分析】过点E作EF⊥AD，证明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE＝90°﹣35°＝55°，进而得到∠CDA和∠DAB的度数，即可求得∠EAB的度数．【解答】解：过点E作EF⊥AD，∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，∴CE＝EB＝EF，又∵∠B＝90°，且AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠EAB＝∠EAF．又∵∠CED＝35°，∠C＝90°，∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，∴∠CDA＝110°，∵∠B＝∠C＝90°，∴DC∥AB，∴∠CDA+∠DAB＝180°，∴∠DAB＝70°，∴∠EAB＝35°．故答案为：35．11．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC＝36cm2；，AB＝12cm，BC ＝18cm，则DE的长为 2.4cm．【分析】过点D作DF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△BCD列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∴DE＝DF，S△ABC＝S△ABD+S△BCD，=12AB•DF+12BC•DE，=12×12•DE+12×18•DE，＝15DE，∵△ABC＝36cm2，∴15DE＝36，解得DE＝2.4cm．故答案为：2.4．题型四“燕尾模型”与三角形的外角性质1．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70°B．80°C．90°D．100°【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P 的度数，即可求出结果．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故选：C．2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】根据角平分线的定义得到∠EBM=12∠ABC、∠ECM=12∠ACM，根据三角形的外角性质计算即可．【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBM=12∠ABC，∵CE是外角∠ACM的平分线，∴∠ECM=12∠ACM，则∠BEC＝∠ECM﹣∠EBM=12×（∠ACM﹣∠ABC）=12∠A＝30°，故选：B．3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+12∠1，∠BOC＝90°+∠2．【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，∴∠DCE=12∠ACD，∠DBE=12∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，=12（∠ACD﹣∠ABC）=12∠1，故①正确；∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=12ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠1）＝90°+12∠1，故②、③错误；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACE=12ACD，∴∠OCE=12（∠ACB+∠ACD）=12×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；故选：C．4．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝30°．【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，故答案为：30°．5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是75°．【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，∠1＝90°﹣60°＝30°，∴∠α＝30°+45°＝75°．故答案为：75°．6．如图，∠BCD＝150°，则∠A+∠B+∠D的度数为150°．。

定义与命题知识点总结

定义与命题知识点总结一、定义定义是指为了明确定义某个概念或事物而进行的陈述。

在数理逻辑中，定义是指明确了某种概念，或使某种概念的内涵与外延得以确定的陈述，其中内涵给出了概念的本质属性，而外延则描述了这些属性的外在表现。

定义的形式可以分为以下几种：1. 指明方式：即通过列举此概念所属的具体事物来说明此概念。

2. 转换方式：即通过把此概念与其他概念或更一般的概念相比来界定。

3. 操作方式：即通过规则方式来确定此概念，如定义加法、乘法等。

4. 过程方式：即通过列出生成此概念的生成规则来定义此概念，如定义自然数的方式。

二、命题命题是陈述或陈述句的全体。

在逻辑术语中，命题是陈述语言中真假可判断的完整句子。

命题是一个陈述或陈述句的全体。

其实就是一个明确的陈述，可以是真的或者是假的。

例如："圆周率是一个无理数"这是一个命题。

因为它是一个明确的陈述，值要么是真，要么是假。

命题通常用P、Q、R等字母来表示。

在命题中，真实情况下，命题是真的，通常用P；假如命题是假的，通常用Q。

命题的分类：1.原命题2.复合命题3.合取命题或联结命题4.析取命题或联结命题5.条件命题或联结命题6.双条件命题到联结命题7.否定命题细分：1.原命题它是可以判断真假的命题。

例如：等角三角形的对边也相等。

2.复合命题从原命题通过逻辑联结或者通过否定联结、连词联结而构成的、仍能形成真假的命题。

例如 A:8 能被2 整除B:4 能被2 整除那么由A&B构成的命题是8能被2整除，并且4能被2整除。

3.合取命题或联结命题即同时包含两个或者多个声明的命题例如：今天下雨且我不想出门== (1)4.析取命题或联结命题即包含多个命题中的最少一个的命题。

例如 : 此数是3的倍数或者是5的倍数== (2)5.条件命题或联结命题即条件联结的意思。

例如: 如地面湿润，则一定下雨 == (3)6.否定使命题通常用来否定一个关于实体的东西的存在性。

2019年初中数学-八年级知识点解读：定义与命题

知识点解读：定义与命题同学们，我们在日常生活中会遇到许多概念，假如不对这些概念下定义，别人就无法理解这些概念，以至不能进行正常的交流；同样，在数学学习中，要进行严格的推理证明，也必须首先对涉及的概念下定义，下面我就给同学们聊一聊数学中的“定义与命题”，供同学们参考．一、学会准确地下定义何谓“定义”呢？就是对某事物的名称和术语的含义加以描述，做出明确的规定就是对该事物的定义．例如一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，这就是给一元一次不等式组的解集下的定义．特别要注意：在定义中，必须揭示事物与其它事物的本质属性的区别，人们正是利用这种本质的区别才能分清甲和乙．例如“一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形”就是“梯形”的定义，其中“另一组对边不平行”就是它与“平行四边形”的本质区别，因此，在对某事物下定义时一定要体现出其本质的属性．二、正确地理解“命题”的含义1．对事物进行判定的句子叫做命题，如“人是高等动物”；“对应角相等的两个三角形一定全等”；反之，如果一个句子没有对某一事物做出任何判断，那么它就不是命题，如“你爱好什么运动？”等．2．每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果…… ，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论，但有些命题的条件、结论不太分明，可先写成“如果…… ，那么……”的形式，再找条件和结论．3．命题概念辨析三、分清命题的真与假（1）正确的命题称为真命题；（2）不正确的命题称为假命题．注意：要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例；要说明一个命题是真命题需根据公理和定理证明．例1．判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题还是假命题？（1）作线段AB =CD ；（2）小鸟没有翅膀；（3）你喜欢数学吗？；（4）三角形内角和是180°．分析：本题就是以命题的概念为依据来解决，（1）中的句子没有判断，（3）是个问句，所以（1）（3）都不是命题；（2）（4）中有判断句，所以它们都是命题，其中（2）是假命题，（4）是真命题．例2．阅读下列语句，完成后面的题目（1）同类项的数字系数必须相同；（2）数轴上的点与实数是一一对应的；（3）若a b =，则a b =；（4）响应党中央号召，开发大西南；（5）台湾是中华人民共和国不可分割的领土；（6）“法轮功”是邪教；（7）改革开放是社会发展的动力；（8）今晚你去看电影吗？（9）鸦片战争是中国近代史的开端；（10）两点之间的线段叫做这两点之间的距离．①其中属于命题的是，不属于命题的是；②其中属于真命题的是；③对于每个假命题，你是怎样判断的？解：①属于命题的有：（1）（2）（3）（5）（6）（7）（9）（10），不属于命题的有：（4）（8）；②属于真命题的有：（2）（5）（6）（7）；③为说明命题是假命题，可采用举反例的方法，如：（1）中a 和－a 是同类项，但系数不同；（3）中77=-，但7≠－7；（10）中两点之间的距离是指两点之间的线段的“长度”．四、掌握公理、定理，学会推理、证明（1）公理是人们公认的真命题，公理不需要证明，而是作为证明其他命题的起始依椐．（2）有些命题的正确性是通过推理证实的，这样的真命题叫定理．（3）推理的过程叫证明．（4）推理必须做到步步有椐，条条有理．例3．判断下列命题真假，并证明假命题（1）坐标平面内点与有序实数对一一对应（2）若22a b =，则a b =（3）两个锐角之和一定是钝角解：（1）真命题；（2）假命题，因为当a ＝3，b ＝－3时，22a b =，但a ≠b ；（3）假命题，因为40°＋30°＝70°＜90°，所以两个锐角之和不一定是钝角．五、记住几个常用的公理（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．（2）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．（3）两边及夹角对应相等的两个三角形全等．（4）两角及夹边对应相等的两个三角形全等．（5）三边对应相等的两个三角形全等．（6）全等三角形对应边相等，对应角相等．。

《定义与命题》

理解和处理。
它是一种形式化的语言，能够将自然语言中的命题转化为计算机
可读的形式。
符号化表示能够将复杂的命题简化，提高表达的精度和效率。
符号化表示的方法
1 2 3
使用逻辑符号
逻辑符号是表示逻辑关系的符号，如“∧”（与）、“∨”（或）、“¬”（非）等。
使用集合论符号
集合论符号是表示集合及其关系的符号，如“A ⊆ B”（A是B的子集）、“A ∩ B”（A与B的交集）等。
直接定义是指直接描述事物的本质特征，它是一种常见的定义方式。直接定义通常比较明确、简洁，能够准确地表达事物的本质特征。
间接定义
间接定义是指通过其他概念或事物的说明来解释某个概念或事物，它是一种较为复杂的定义方式。间接定义需要人们进行推理和理解，但它可以提供更深入的解释和理解。
语境定义
学术定义通常是在学术领域中使用的，它对某个专业术语或概念进行精
确的解释和定义。学术定义通常比较严谨和精确，能够确保学术交流的
准确性和一致性。
03
实用定义
实用定义通常是在实际应用中使用的，它对某个实践概念或现象进行解
释和定义。实用定义通常比较具体和详细，能够为实际应用提供指导和
支持。
定义的方法
直接定义
04
命题的逻辑推理
逻辑推理的概念
逻辑推理：根据已知的命题或事实，通过推理得出新的命题或事实的思维过程。
逻辑推理的三个要素：前提、推理和结论。
前提是已知的命题或事实，推理是根据前提进行思维加工，结论是得出的新命题或事实。
逻辑推理的规则
同一律
在推理过程中，所使用的概念和命题必须保持同一，不能随意变换。
论推导。

定义与命题的概念

定义与命题的概念
定义与命题是什么：
定义是结论，是已经下定义的结果，是不可否认的。

一般地能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。

命题是指一个判断（陈述）的语义（实际表达的概念），这个概念是可以被定义并观察的现象。

定义和命题的区别：
不可否认，定义是已经定义的结论和结果。

一般来说，一个能清楚地定义一个名称或术语含义的句子叫做名称或术语的定义。

数学中的定义、公理、公式、性质、规则和定理都是数学命题。

这些都是用推理方法判断命题真实性的基础。

一般来说，在数学中，我们称之为能在一定范围内用语言、符号或公式表达，并能判断命题真假的语句。

命题是一个条件＋一个结论，命题是一个已知的事物，结论是一个从已知事物衍生出来的事物。

这个结论是在上述条件的条件下得出的，但不一定是正确的。

对某一事物作出正确或错误判断的句子称为命题。

初中数学知识点精讲精析定义与命题

1.2 定义与命题学习目标1.了解定义的含义，了解命题的含义。

2.理解真命题、假命题、公理和定义的概念。

3.会判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题。

知识详解1.定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。

定义一般揭示了某一类事物的本质、概括和总结了最具有一般性的本质属性。

注意：定义必须是严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现。

2.命题：一般地，判断某一件事情的句子叫做命题。

3.命题的结构：命题一般由条件和结论两部分组成。

每个命题都有条件和结论两部分组成。

条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。

一般地，命题都可以写出“如果+条件，那么+结论”的形式。

有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。

如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。

4.真命题：正确的命题称为真命题。

假命题：不正确的命题称为假命题。

5.基本事实：人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实。

定理：用推理的方法判断正确的命题叫做定理。

定理也可以作为判断其他命题的依据。

【典型例题】例1：下列语句，属于定义的是( )．A．两点之间线段最短B．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线C．三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半D．三人行则必有我师焉【答案】B【解析】判断是不是定义，关键看是否对名称或术语的含义加以描述，而且作出了规定．很明显，A，C，D没有对名称或术语作出描述，故应选B。

例2：指出下列命题的条件和结论：①平行于同一直线的两条直线互相平行；②若ab＝1，则a与b互为倒数；③同角的余角相等；④矩形的四个角都是直角。

【答案】①条件：两条直线都和第三条直线平行，结论：这两条直线互相平行．②条件：ab＝1，结论：a与b互为倒数．③条件：两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等．④条件：一个四边形是矩形，结论：这个四边形的四个角都是直角．【解析】命题的条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果……，那么……”的形式．“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．例3：下列说法正确的是( )．A．真命题都可以作为定理B．公理不需要证明C．定理不一定都要证明D．证明只能根据定义、公理进行【答案】B【解析】真命题并不都是定理，故选项A不正确；定理必须经过证明，故选项C不正确；证明可以根据定义、公理、定理进行，故选项D不正确；公理是公认的真命题，不需要证明，故选B.【误区警示】易错点1：命题1.下列句子中是命题的有__________（填序号）．①直角三角形中的两个锐角互余．②正数都小于0.③如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1与∠2互补．④太阳不是行星．⑤对顶角相等吗？⑥作一个角等于已知角．【答案】①②③④【解析】判断是否为命题，要根据命题的特征：一是必须为一个完整的句子；二是必须对某件事情做出肯定或否定的判断．所以①②③是命题，它们都对事情作出了肯定回答；④是命题，它对事情作出了否定回答；⑤不是陈述语句；⑥只是描述了一个作图的过程，并未作出判断，不是命题．易错点2：真命题2.下列命题中，真命题是（）．A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝0【答案】D【解析】分析是否为真命题，需要分析各题设能否推出结论，从而利用排除法得出答案．由a·b＞0可得a，b同号，可能同为正，也可能同为负，所以A是假命题；a·b＜0可得a，b异号，所以B是假命题；a·b＝0可得a，b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，所以C是假命题；若a·b＝0，则a＝0，或b＝0，或二者同时为0，所以D是真命题．故选D.【综合提升】针对训练1.已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有__________(填序号)．2.如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD ＝CE.请以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题__________．(用序号⊗⊗⊗⇒⊗的形式写出)3.对同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a ∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，另一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：__________(用序号表示)．1.【答案】③④【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形等腰梯形的对角线相等对角线互相垂直平分的四边形是菱形2.【答案】①③④②【解析】如：由AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，得到△ABD≌△ACE，则AD＝AE.所以①③④⇒②.3.【答案】若①②，则④【解析】根据“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行”，可得出：若①②，则④.【中考链接】（2014年永州）下列命题是假命题的是（）A．不在同一直线上的三点确定一个圆B．矩形的对角线互相垂直且平分C．正六边形的内角和是720°D．角平分线上的点到角两边的距离相等【答案】B【解析】A、不在同一直线上的三点确定一个圆，所以A选项为真命题；B、矩形的对角线互相平分且相等，所以B选项为假命题；C、正六边形的内角和是720°，所以C选项为真命题；D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D选项为真命题．课外拓展在数学里，定理是指在既有命题的基础上证明出来的命题，这些既有命题可以是别的定理，或者广为接受的陈述，比如公理。

定义与命题

定义与命题定义在学习任何一门学科的时候，往往都会遇到很多专业术语和概念。

这些术语和概念都需要严格的定义，以便在学习和研究过程中使用。

同样，数学和逻辑学也有自己的定义，而这些定义是这两门学科中最基础的概念。

数学中的定义在数学中，定义是指对一个概念进行的描述和限定。

在数学中，一个定义通常包括两个部分：名称和描述。

名称是指要定义的概念的名称，而描述则是用来描述这个概念的特征和属性的。

例如，整数的定义是：整数是可以表示为分数的数字。

这个定义中，整数就是名称，而可以表示为分数的数字则是描述。

数学中的定义通常需要满足明确性、无歧义性和简明性。

明确性是指定义必须能够清晰地描述出概念的特征和属性。

无歧义性是指定义不能有歧义，即只有一种理解方式。

简明性则是指定义应该简单明了，不需要过多的描述和解释。

逻辑学中的定义逻辑学中的定义和数学中的定义类似，也是对概念的描述和限定。

但是，逻辑学中的定义通常更加抽象和一般化。

逻辑学中的定义通常包括两部分：定义范畴和定义式。

定义范畴是指要定义的概念所在的范畴，而定义式则是用来描述这个概念的特征和属性的。

逻辑学中的定义也需要满足明确性、无歧义性和简明性。

但是，逻辑学中的定义还需要满足普遍性和必要性的要求。

普遍性是指定义应该具有普遍适用性，即在所有情况下都适用。

必要性则是指定义应该是必要的，即没有这个定义就无法讨论这个概念。

命题在数学和逻辑学中，命题是指能够判断真假的陈述句。

命题可以是真的，也可以是假的，但是不能既是真的又是假的。

也就是说，命题只有两种可能的真值：真或假。

命题和非命题命题可以通过以下方式进行分类：•陈述句：能够判断真假的陈述句是命题；不能判断真假的陈述句是非命题。

•真命题：在给定的条件下能够判断为真的命题是真命题。

•假命题：在给定的条件下能够判断为假的命题是假命题。

•开放命题：包含未知元素或未知条件的命题是开放命题。

开放命题不能判断真假。

•互为矛盾命题：命题和它的否定命题互为矛盾命题。

北师大版数学八年级上册《认识定义与命题》教案

北师大版数学八年级上册《认识定义与命题》教案一. 教材分析北师大版数学八年级上册《认识定义与命题》一课，主要让学生了解数学中的定义与命题的概念，理解命题的题设和结论部分，学会判断一个命题是真命题还是假命题，培养学生逻辑思维能力。

二. 学情分析学生在七年级时已经接触过一些简单的定义和命题，对本节课的内容有一定的认知基础。

但部分学生对定义和命题的概念理解不深，逻辑思维能力有待提高。

三. 教学目标1.让学生了解定义与命题的概念，理解命题的题设和结论部分。

2.培养学生判断命题真假的能力。

3.提高学生逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.教学重点：定义与命题的概念，命题的题设和结论部分。

2.教学难点：判断命题的真假。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究定义与命题的关系。

2.运用案例分析法，让学生通过分析具体例子，理解命题的题设和结论部分。

3.采用小组合作学习法，培养学生团队协作能力和逻辑思维能力。

六. 教学准备1.准备相关定义与命题的案例，用于课堂分析和讨论。

2.设计好针对本节课的练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如“勾股定理”的定义，引导学生思考：什么是定义？什么是命题？2.呈现（15分钟）呈现一组勾股定理的例子，让学生分析其中的题设和结论部分，引导学生理解命题的结构。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给出的几个命题，判断它们是真命题还是假命题。

每组选取一个命题进行分析，并汇报答案。

4.巩固（10分钟）让学生完成教材中的相关练习题，巩固对定义与命题的理解。

教师及时给予反馈，解答学生的疑问。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何证明一个命题是真命题？如何证明一个命题是假命题？让学生举例说明。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调定义与命题的概念，以及判断命题真假的方法。

7.家庭作业（5分钟）布置一道有关定义与命题的家庭作业，让学生课后思考。

8.板书（课后整理）整理本节课的主要内容，包括定义与命题的概念，命题的题设和结论部分，以及判断命题真假的方法。

《定义与命题》证明

归纳法
定义：归纳法是一种通过观察和总结一些特殊情况，然后得出一般结论的推理方法。
在归纳法中，我们首先观察一些特殊情况，然后通过总结这些情况，得出一个一般结论。这种方法通常用于得出一些规律性的结论，例如数学中的公式和定理。
例子：假设我们要证明“1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6”。我们可以从一些特殊情况开始，例如当n=1时，结论成立；当n=2时，结论也成立。然后我们通过观察和总结这些情况，得出一个一般结论：对于任何正整数n，结论都成立。
06
定义与命题证明的应用
在数学中的应用
定理证明
在数学中，定义与命题的证明常用于定理证明，以确认数学结论的正确性。
逻辑推理
数学中的定义与命题证明涉及到逻辑推理，通过已知条件推导出新的结论。
反例构造
当数学中的某个命题无法证明时，可以通过构造反例来否定该命题。
在物理学中的应用
实验验证
物理学中的定义与命题证明通常需要通过实验来验证，以确认物理规律的正确性。
命题在数学中的应用
命题是数学体系的核心，通过命题的证明和验证，可以确定其真假并应用于解决问题。同时，命题还可以帮助人们更好地理解和掌握数学知识。
03
逻辑推理证明方法
直接证明法
定义：直接证明法是一种从已知事实或前提出发，通过一步步的逻辑推理，最终得出结论的证明方法。
在直接证明法中，我们需要根据已知事实或前提，通过逻辑推理，逐步推导出结论。这种方法是最常用的证明方法之一，因为它简单、直观，而且容易理解。
定义与命题的关系
定义和命题都是语言表述的基本单位，它们之间存在着密切的联系。定义是命题的基础，命题是定义的运用。

定义与命题的数学知识点总结

定义与命题的数学知识点总结
关于定义与命题的数学知识点总结
定义与命题：
1.对名称与术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义。

2.对事情进行判断的句子叫做命题(分真命题与假命题)。

3.每个命题是由条件和结论两部分组成。

4.要说明一个命题是假命题，通常举出一个例子，使之具备命题的.条件，而不具有命题的结论，这种例子叫做反例。

5.把原命题的结论作为命题的条件，原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫原命题的逆命题。

只要这样踏踏实实完成每天的计划和小目标，就可以自如地应对新学习，达到长远目标。

定义与命题PPT课件

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理
在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也看作公理,称为“等量代换”.
课内练习：
１、请举两个命题,要求其中一个是真命题, 另一个是假命题.并说明你是用什么方法来判别它们的真假的.
因为两条直线是平行线时同位角才相等。
（3）一个图形经过旋转变换，像和原图形全等。 (真命题)
因为旋转变换不改变图象的形状和大小。
炉火纯青哪些是真命题，哪些是假命题？
1）若a∥b，b∥c，则a∥c 2）如果a是有理数，则 a2 +1＞0 3）若a2＞b2 则 a＞b 4）若 ab=0 则a=0 5）如果两个角的两边互相平行，这两个角一定相等。 6）绝对值等于它本身的数是正数。
2、下列几个命题哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；假命题
（2）如果a＞b,b＞c,那么a=c；假命题
（3）全等三角形的面积相等。真命题
说明假命题的方法：
举反例
使之具有命题的条件，而不具有命题的结论
3.判断下列命题的真假性？并说明为什么？
（1）是如假果命题x 2。5 因 3为3 x当那么x x5<4 3 x
a2
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,
那么这两条直线平行;
(3)对于任何实数 x, x2 ＜0.
上述命题中,哪些正确?哪些不正确?你的理由是什么?
正确的是__(1_)_,(_2_)_ 不正确的是__(3_)___
学到新知: 据此可知,一个命题有正确的和不正确之分.
正确的命题叫做真命题,如命题(1),(2); 不正确的命题叫做假命题,如命题(3).

八年级定义与命题知识点

八年级定义与命题知识点在数学学科中，定义是指对某一概念进行准确、明确的解释，通常采用“定义”这个词语进行提示，并构成一个句子。

而命题是指可判断真假的陈述句，通常由主语和谓语构成，是数学基本思维和判断能力的重要表现。

在八年级数学学科中，定义与命题知识点占据着重要的地位，下面将从具体的知识点进行论述。

1.定义的类型与构成要素在数学学科中，定义可以分为实质定义、规定定义、举例定义三种类型，在构成上一般由“名称”、“概念”、“特征”三个要素组成。

实质定义：直接给出事物的本质特征。

规定定义：根据使用权和传统习惯，一般规定某个概念代表什么。

举例定义：通过具体的举例子或具体事实来定义概念。

例如，在八年级数学中，成等比数列的定义为：若一个数列从第二项开始，每一项都是前一项的公比，则这样的数列称为等比数列。

2. 命题的构成要素和常见形式在数学学科中，命题具有陈述句的形式，一般由主语和谓语等构成，同时命题还有“真命题”和“假命题”的分类，下面将介绍命题的构成要素和常见形式。

构成要素：命题主语、谓语、附加条件、所有限定词等。

常见形式：单句命题：指仅由一个陈述句构成的命题。

复句命题：指由两个或多个单句命题构成的命题。

常见的复句命题有永真命题、永假命题、充分必要命题等。

在八年级数学中，例如“3+4=7”就是一个单句命题，而“若一个数是偶数，则它的平方必定是偶数”则是一个复句命题，同时这个复句命题还是一个充分必要命题。

3. 定义和命题的联系在数学学科中，定义和命题是密不可分的。

作为数学概念的基础，定义能够规定概念的本质特征，从而使得命题得以在严谨性上保证。

同时命题也是在定义的基础上进行推广和应用的主要形式。

例如，在八年级数学中，一个等差数列的定义是指一个数列从第二项开始，每一项依次减去前一项所得到的差值相等。

而由此所引申出的命题包括等差数列项数的计算、等差数列求和公式的推导等等。

综上所述，八年级数学学科的定义和命题知识点是数学学科中的基础和重点，对学生的综合素质具有重要的影响作用。

北师大版数学八年级上册《认识定义与命题》说课稿3

北师大版数学八年级上册《认识定义与命题》说课稿3一. 教材分析《认识定义与命题》是北师大版数学八年级上册的一章，主要向学生介绍定义与命题的概念，性质及应用。

这一章节在整本教材中占据着重要的地位，它既是对学生已有知识的一个巩固，又是引导学生进入深入学习的一个关键点。

通过这一章节的学习，学生能够理解并掌握定义与命题的基本概念，能够运用定义与命题解决一些实际问题。

二. 学情分析在进入八年级的学生中，他们对数学已有一定的认识和理解，具备了一定的逻辑思维能力。

但是，对于定义与命题这一概念，他们可能是第一次接触，可能会感到有些抽象和难以理解。

因此，在教学过程中，我需要注重引导学生从实际问题中抽象出定义与命题的概念，通过大量的例子让学生理解和掌握。

三. 说教学目标根据课程标准和学生的实际情况，我制定了以下教学目标：1.知识与技能：学生能够理解并掌握定义与命题的概念，能够运用定义与命题解决一些实际问题。

2.过程与方法：学生能够通过观察，分析和归纳，理解定义与命题的形成过程。

3.情感态度与价值观：学生能够对数学产生兴趣，培养良好的数学思维习惯。

四. 说教学重难点根据教材内容和学生的实际情况，我确定以下教学重难点：1.重点：学生能够理解并掌握定义与命题的概念。

2.难点：学生能够从实际问题中抽象出定义与命题的概念，能够运用定义与命题解决一些实际问题。

五. 说教学方法与手段为了达到教学目标，突破教学重难点，我计划采用以下教学方法与手段：1.引导发现法：引导学生从实际问题中抽象出定义与命题的概念。

2.案例分析法：通过大量的例子让学生理解和掌握定义与命题的概念。

3.多媒体教学：利用多媒体课件，直观地展示定义与命题的概念和性质。

六. 说教学过程教学过程分为五个环节：导入，新课，练习，小结，作业。

1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学语言来描述这个问题，从而引出定义与命题的概念。

2.新课：介绍定义与命题的概念，性质和运用。

命题的通俗解释

命题的通俗解释【最新版】目录1.命题的定义2.命题的分类3.命题的通俗解释4.命题的逻辑关系5.命题的重要性正文1.命题的定义命题是逻辑学中的一个基本概念，它是一种对事物性质、状态或情况的陈述，可以判断为真或假。

命题通常由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

命题常常可以简化为“如果……那么……”的形式。

2.命题的分类根据题设和结论之间的关系，命题可以分为两种：肯定命题和否定命题。

肯定命题是指题设成立时，结论一定成立的命题，如“如果今天下雨，那么我会带伞”。

否定命题是指题设成立时，结论一定不成立的命题，如“如果今天不下雨，那么我不会带伞”。

3.命题的通俗解释要理解命题的通俗解释，我们可以从日常生活中的例子入手。

例如，我们可以用命题来描述一个人的生日：“如果今天是 1 月 1 日，那么这个人是在新年出生的。

”在这个例子中，题设是“今天是 1 月 1 日”，结论是“这个人是在新年出生的”。

如果今天是 1 月 1 日，那么这个人就是在新年出生的，这个命题就是真的。

如果今天不是 1 月 1 日，那么这个命题就是假的。

4.命题的逻辑关系命题之间存在一定的逻辑关系，包括逻辑蕴含、逻辑矛盾和逻辑独立等。

逻辑蕴含是指一个命题的真能够推出另一个命题的真，如“如果我吃饭，那么我会喝水”。

逻辑矛盾是指两个命题不能同时为真，如“今天下雨”和“今天不下雨”。

逻辑独立是指两个命题之间没有必然的逻辑联系，如“今天下雨”和“他喜欢吃苹果”。

5.命题的重要性命题在人类的思考和交流中具有重要作用。

通过命题，我们可以对事物进行判断、推理和论证，从而更好地认识世界。

同时，命题也是科学研究的基础，科学家们通过建立和验证命题来揭示自然规律。

在日常生活和工作中，我们也常常需要运用命题来进行分析和解决问题。