高考全程复习构想高三文科科一轮第六章不等式1.6.4

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【2022高考数学一轮复习(步步高)】目录

第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合§1.2 充分条件与必要条件§1.3 全称量词与存在量词§1.4 不等关系与不等式§1.5 一元二次不等式及其解法§1.6 基本不等式强化训练1不等式中的综合问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念及其表示第1课时函数的概念及其表示第2课时函数的定义域与值域§2.2 函数的基本性质第1课时单调性与最大(小)值第2课时奇偶性、对称性与周期性第3课时函数性质的综合问题§2.3 幂函数与二次函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程强化训练2函数与方程中的综合问题§2.8 函数模型及其应用第三章导数及其应用§3.1 导数的概念及运算§3.2 导数与函数的单调性§3.3 导数与函数的极值、最值强化训练3导数中的综合问题高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题第2课时利用导函数研究函数的零点第3课时利用导数证明不等式第四章三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3 简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时简单的三角恒等变换§4.4 三角函数的图象与性质§4.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用强化训练4三角函数中的综合问题§4.6 解三角形高考专题突破二高考中的解三角形问题第五章平面向量、复数§5.1 平面向量的概念及线性运算§5.2 平面向量基本定理及坐标表示§5.3 平面向量的数量积强化训练5平面向量中的综合问题§5.4 复数第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法§6.2 等差数列及其前n项和§6.3 等比数列及其前n项和强化训练6数列中的综合问题高考专题突破三高考中的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1空间几何体及其表面积、体积强化训练7空间几何体中的综合问题§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系§7.3 直线、平面平行的判定与性质§7.4 直线、平面垂直的判定与性质强化训练8空间位置关系中的综合问题§7.5 空间向量及其应用高考专题突破四高考中的立体几何问题第八章解析几何§8.1直线的方程§8.2 两条直线的位置关系§8.3 圆的方程§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系强化训练9直线与圆中的综合问题§8.5 椭圆第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆§8.6 双曲线§8.7 抛物线强化训练10圆锥曲线中的综合问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题第2课时定点与定值问题第3课时证明与探索性问题第九章统计与统计案例§9.1 随机抽样、用样本估计总体§9.2 变量间的相关关系、统计案例强化训练11统计中的综合问题第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理§10.2 排列、组合§10.3 二项式定理§10.4 随机事件的概率与古典概型§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差§10.6 二项分布与正态分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题。

高考一轮总复习高考数学(文科,新课标版)一轮总复习课件+训练手册+阶段测试卷：第6章+不等式(9

第六章不等式(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1. 已知集合M＝{y|y＝2x，x>0}，N＝{x|y＝lg(2x－x2)}，则M∩N等于(A)A. (1，2)B. (1，＋∞)C. [2，＋∞)D. [1，＋∞)集合M为函数y＝2x，x>0的值域，故M＝(1，＋∞)；集合N为函数y＝lg(2x －x2)的定义域，由不等式2x－x2>0，解得0<x<2，故集合N＝(0，2)，∴M∩N＝(1，2)．2. 在所给的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，能推出1 a <1b成立的有(C)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个1a<1b成立，即b－aab<0成立，逐个验证可得①②④满足题意．3. (2013·济南调研)设a>1，且m＝log a(a2＋1)，n＝log a(a－1)，p＝log a(2a)，则m，n，p的大小关系为(B)A. n>m>pB. m>p>nC. m>n>pD. p>m>n∵a>1，∴a2＋1－2a＝(a－1)2>0，即a2＋1>2a，又2a>a－1，∴由对数函数的单调性可知log a(a2＋1)>log a(2a)>log a(a－1)，即m>p>n.4. 已知(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集是R，则实数a的取值范围是(D)A. a<－35或a>1B. －35<a<1C. －35<a≤1或a＝－1D. －35<a≤1a＝1显然满足题意，若该不等式为一元二次不等式，则必有a2<1，由Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)<0，解得－35<a<1.综上可知－35<a≤1.5. (2013·北京海淀测试)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y －4≤0，kx －y≤0 表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为(D)A. －2B. －1C. 0D. 1注意到直线kx －y ＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kx －y ＝0与直线x ＋y －4＝0垂直时满足题意，于是有k×(－1)＝－1，由此解得k ＝1，选D.6. 已知圆x 2＋y 2＋4x －8y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋8＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则8a ＋2b的最小值是(D)A. 4B. 6C. 8D. 9由圆的对称性可得，直线2ax －by ＋8＝0必过圆心(－2，4)，∴a ＋b ＝2.∴8a ＋2b ＝4（a ＋b ）a＋a ＋b b ＝4b a＋ab＋5≥24b a ·a b ＋5＝9，由4b a ＝ab，得a 2＝4b 2，又由a ＋b ＝2，故当且仅当a ＝43，b ＝23时取等号，故选D.7. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，x 12，x>0，若f(x 0)>1，则x 0的取值范围是(C)A. (－1，1)B. (－1，＋∞)C. (－∞，－1)∪(1，＋∞)D. (－∞，－2)∪(0，＋∞)由f(x 0)>1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0≤0，2－x 0－1>1 或⎩⎪⎨⎪⎧x 0 >0，x 120>1，解得x 0<－1或x 0>1，故选C.8. 已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为(A)A. 32 B. 53C. 256D. 不存在由题意可知，a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，化简得q 2－q －2＝0，解得q ＝－1(舍去)或q ＝2，又由已知条件a m a n ＝4a 1，得 a 1q m －1·a 1q n －1＝16a 21，qm ＋n －2＝16＝24，∴m ＋n ＝6.∴1m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m ＋4n ·m ＋n 6＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5＋4m n ＋n m ≥16·⎝⎛⎭⎪⎪⎫5＋ 24m n ×n m ＝32，当且仅当4m n ＝nm，即n ＝2m 时取“＝”． 9. (2013·河北质检)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≥2，2x ＋y≤4，4x －y≥－1，则目标函数z ＝3|x|＋|y －3|的取值范围是(A)A. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，9B. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，6 C. [－2，3] D. [1，6]作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，可知三个交点分别为(0，1)，(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，3，且x≥0, y ≤3.则z ＝3|x|＋|y －3|＝3x －(y －3)＝3x －y ＋3，它在点(2，0)处有最大值9，在点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，3处有最小值32，即32≤z≤9.10. (2013·临沂质检)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若目标函数z ＝y－ax 取得最大值时的唯一最优解是(1，3)，则实数a 的取值范围为(D)A. (－∞，－1)B. (0，1)C. [1，＋∞)D. (1，＋∞)本题考查线性规划问题．作出不等式组表示的平面区域△BCD，由z ＝y －ax 得y ＝ax ＋z ，要使目标函数y ＝ax ＋z 仅在点(1，3)处取最大值，则只需直线y ＝ax ＋z 在点B(1，3)处的截距最大，由图像可知a ＞k BD ，∵k BD ＝1，∴a ＞1，即a 的取值范围为(1，＋∞)，故选D.11. 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且ab ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为(A)A. 1＋22 B.3 C. 3 D. 4依题意，4－c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝2，0＜c 2≤2，c 2(a ＋b)2＝c 2(6－c 2)＝－(c 2－3)2＋9≤8，c(a ＋b)≤22，因此ab ＋bc ＋ac ＝1＋c(a ＋b)≤1＋22(当且仅当a ＝b ＝1，c ＝2时等号成立)，故选A.12. 设x ，y ，z 为正实数，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为(C) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4由已知条件得y ＝x ＋3z 2，∴y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x z ＋9z x ＋6≥14×⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x z ×9z x ＋6＝3，当且仅当x ＝y ＝3z 时，y 2xz 取得最小值3.二、填空题(每小题5分，共20分)13. 若a 1<a 2，b 1a 1b 2＋a 2b 1__．作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，∵a 1<a 2，b 10，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.14. (2013·湖北八校联考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥－1，x －y≤1，|x ＋y|≤1，则z ＝x ＋2y 的最小值为__－2__．作出可行域，如图阴影部分所示，由图可知，z ＝x ＋2y 在(0，－1)处取得最小值－2.15. 设x ，y 为实数，若x 2＋y 2＋xy ＝1，则x －y 的最大值是__2__．设t ＝x －y ，则y ＝x －t ，代入x 2＋y 2＋xy ＝1中，得3x 2－3tx ＋t 2－1＝0，由于x 为实数，故Δ＝(－3t)2－4×3×(t 2－1)≥0，即t 2≤4，解得－2≤t≤2，故t 的最大值，即x －y 的最大值为2.16. 已知函数f(x ＋1)是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x 1，x 2，不等式(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]＜0恒成立，则不等式f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－32x ＜0的解集为__⎝⎛⎭⎪⎪－∞，－12∪(2，＋∞)__．∵f(x＋1)是定义在R 上的奇函数，∴f(－x ＋1)＝－f(x ＋1)，令x ＝0，则f(1)＝0.又(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]＜0，∴f(x)在R 上单调递减，∵f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－32x ＜0＝f(1)，∴x 2－32x ＞1，解得x ＜－12或x ＞2，∴不等式 f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－32x ＜0的解集为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12∪(2，＋∞)．三、解答题(共70分)17. (10分)围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为 180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． (1)如图，设矩形的另一边长为a m ．则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a＝225x ＋360a －360，(2分)由题意得xa ＝360，得a ＝360x .(3分)∴y ＝225x ＋3602x－360(x>0)．(5分)(2)∵x>0，∴225x ＋3602x≥2225×3602＝10 800，(7分)∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440，当且仅当225x ＝3602x 时，等号成立，(9分)即当x ＝24 m 时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．(10分)18. (10分)已知函数f(x)＝|x 2－1|＋x 2＋kx. (1)若k ＝2，求方程f(x)＝0的解；(2)若关于x 的方程f(x)＝0在(0，2)上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明1x 1＋1x 2<4.(1)当k ＝2时，f(x)＝|x 2－1|＋x 2＋2x ， ①当x 2－1≥0，即x≥1或x≤－1时，方程化为2x 2＋2x －1＝0，解得x ＝－1±32，∵0<－1＋32<1，故舍去，∴x ＝－1－32.(2分)②当x 2－1<0，即－1<x<1时，方程化为2x ＋1＝0，解得x ＝－12.(3分)由①②可知，当k ＝2时，方程f(x)＝0的解为x ＝－1－32或x ＝－12.(4分)(2)不妨设0<x 1<x 2<2，∵f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋kx －1，|x|>1，kx ＋1，|x|≤1，∴f(x)在(0，1]上是单调函数，故f(x)＝0在(0，1]上至多有一个解．(6分) 若1<x 1<x 2<2，则x 1x 2＝－12<0，故不符合题意，因此0<x 1≤1<x 2<2.由f(x 1)＝0得k ＝－1x 1，∴k ≤－1；由f(x 2)＝0得k ＝1x 2－2x 2，∴－72<k<－1.故当－72<k<－1时，方程f(x)＝0在(0，2)上有两个解；(8分)当0<x 1≤1<x 2<2时，k ＝－1x 1，2x 22＋kx 2－1＝0，消去k 得2x 1x 22－x 1－x 2＝0，即1x 1＋1x 2＝2x 2，∵x 2<2，∴1x 1＋1x 2<4.(10分)19. (12分)某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A ，B ，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：收益是多少？设搭载x 件产品A ，y 件产品B ，预计总收益z ＝80x ＋60y ，则⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y≤300，10x ＋5y≤110，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域，如图．(6分)作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图像得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝4，即M(9，4)． ∴z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)．(10分)即应搭载9件产品A ，4件产品B ，可使得总预计收益最大，为 960万元．(12分) 20. (12分)已知不等式ax 2＋(a －1)x ＋a －1<0对于所有的实数x 都成立，求a 的取值范围．若a ＝0，原不等式为一次不等式可化为－x －1<0，显然它对于任意的x 不都成立．∴a＝0不符合题目要求．(3分)若a≠0，原不等式为二次不等式，由于所给不等式对所有实数x 都成立，∴对应二次函数的图像抛物线必须开口向下，且判别式Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a<0， ①（a －1）2－4a （a －1）<0. ②(6分)整理②，得3a 2－2a －1>0，解得a<－13或a>1.(8分)∴⎩⎪⎨⎪⎧a<0，a<－13或a>1. ∴a<－13.(10分)∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－13.(12分)21. (12分)将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．(1)根据历年统计数据，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时，应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？(2)在按(1)分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调 6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间．(1)设A 组人数为x ，且0<x<52，x ∈N *，则A 组活动所需时间f(x)＝150×25x ＝60x；(1分)B 组活动所需时间g(x)＝200×1252－x＝10052－x.(2分) 令f(x)＝g(x)，即60x ＝10052－x ，解得x ＝392.∴两组同时开始的植树活动所需时间F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，x ≤19，x ∈N *，10052－x ，x ≥20，x ∈N *，(4分)而F(19)＝6019，F(20)＝258，故F(19)>F(20)．∴当A ，B 两组人数分别为20，32时，植树活动持续时间最短． (6分) (2)A 组所需时间为1＋150×25－20×120－6＝277(h)，(8分)B 组所需时间为1＋200×23－32×132＋6＝113(h)，(10分)∵113<277，∴植树活动所持续的时间为277h ．(12分) 22. (14分)(2013·广东四校联考)已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足： ①对于任意x∈(0，1)，总有f(x)>0； ②f(1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f(x 1＋x 2)≥f(x 1)＋f(x 2)． (1)证明：f(x)在[0，1]上为增函数；(2)若对于任意x∈[0，1]，总有4f 2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0，求实数a 的取值范围；(3)比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋223＋…＋n 2n ＋1与1的大小，并给予证明．(1)设0≤x 1<x 2≤1，则x 2－x 1∈(0，1]， ∴f(x 2)－f(x 1)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]－f(x 1) ≥f(x 2－x 1)＋f(x 1)－f(x 1) ＝f(x 2－x 1)>0，即f(x 2)>f(x 1)．故f(x)在[0，1]上是增函数．(4分)(2)由(1)知f(x)在x∈[0，1]上是增函数，则f(x)≤f(1)＝1，∴1－f(x)≥0，当f(x)＝1时，容易验证不等式成立；当f(x)<1时，则 4f 2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0⇒a ≤4f 2（x ）－8f （x ）＋54－4f （x ）对 x ∈[0，1]恒成立，(6分)设y ＝4f 2（x ）－8f （x ）＋54－4f （x ）＝1－f(x)＋14[1－f （x ）]≥1，从而则 a ≤1，综上，a 的取值范围为(－∞，1]．(8分) (3)令S n ＝122＋223＋324＋…＋n2n ＋1，则 12S n ＝123＋224＋325＋…＋n2n ＋2，(10分)∴12S n ＝122＋123＋124＋…＋12n ＋1－n2n ＋2， ∴S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1<1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋223＋…＋n 2n ＋1<1.(14分)。

高三数学一轮复习第六章不等式不等式的综合应用课件文

高三数学一轮复习课件第六章不等式不等式的综合应用
考 1
点
考纲解读会利用不等式求函数定义域,能利用函数比较两数大小,了解不等式与函数之间的转化.
不等式与函数的综合
2
不等式与数列的综合
能利用不等式知识证明关
于数列的不等式,以及关于不等式的最值问题.
3
不等式与导数的综合
会利用不等式研究函数的单调性问题,能将不等式问题转化为函数,然后利用导数求解.
(A)充分不必要条件. (C)充要条件.
(D)既不充分也不必要条件.
【解析】<x>=<y>⇒|x-y|<1,而令x=1.9,y=2.1时,|x-y|<1,但<x>≠<y>. 【答案】B
1, x 0 2.(2011年福建莆田质检)已知函数f(x)= 1 ,则使方程x+f(x)=m有 , x 0 x
4.(2011年山东山师附中月考)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产
每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1 吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得
利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料
不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 (A)12万元. (C)25万元. (B)20万元. (D)27万元. ( )
【答案】D
【答案】D
3.(2011年辽宁锦州月考)设0<a<1,函数f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使f(x)<0
的x的取值范围是 (A)(-∞,0). (C)(-∞,loga3). ( )
(B)(0,+∞). (D)(loga3,+∞).

高考数学文科一轮复习(课件+习题)：第六章不等式、推

第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式1．设b ＜a ，d ＜c ，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a －c ＜b －dB ．ac ＜bdC ．a ＋c ＞b ＋dD ．a ＋d ＞b ＋c解析：由同向不等式具有可加性可知C 正确．答案：C 2．(2013·汕头检测)已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是( )A ．a>ab>ab 2B ．ab 2>ab>aC ．ab>a>ab 2D ．ab>ab 2>a解析：∵a <0，－10，ab －ab 2＝ab (1－b )>0，∴ab >ab 2>a .也可利用特殊值法，取a ＝－2，b ＝－12，则ab 2＝－12，ab ＝1，从而ab >ab 2>a .故选D.答案：D3．(2013·东北三校高三第四次联考)若p ⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1， q ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞2，xy ＞1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＞1且y ＞1时，由不等式的基本性质，能推出x ＋y ＞2，且xy ＞1.反过来取x ＝12，y ＝3，满足x ＋y ＞2，且xy ＞1，但推不出x ＞1且y＞1.所以p 是q 成立的充分不必要条件.答案：A4．若a ＞1＞b ，下列不等式中不一定成立的是( )A ．a －b ＞1－bB ．a －1＞b －1C ．a －1＞1－bD ．1－a ＞b －a解析：由a ＞1知a －b ＞1－b ，故A 正确；由a ＞b 知a －1＞b －1，故B 正确；由1＞b 知1－a ＞b －a ，故D 正确，C 项错误，如当a ＝3，b ＝－3时，不成立．答案：C5．(2014·梅州模拟)已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( )A .c a ＜b aB .b －a c＞0 C .b 2c ＜a 2c D .a －c ac＜0 解析：因为c ＜b ＜a ，且ac ＜0，所以c ＜0，a ＞0，所以c a ＜b a ，b －a c ＞0，a －c ac ＜0，但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c ＜a 2c不一定成立．答案：C6．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c答案：C7．甲、乙两人同时驾车从A 地出发前往B 地，他们都以速度v 1或v 2行驶，在全程中，甲的时间速度关系如图甲，乙的路程速度关系如图乙，那么下列说法中正确的是( )A ．甲先到达B 地 B ．乙先到达B 地C ．甲乙同时到达B 地D ．无法确定谁先到达B 地答案：A8．如果a ＞b ，则下列各式正确的是________(填序号)．①a·lg x ＞b·lg x(x ＞0)；②ax 2＞bx 2；③a 2＞b 2；④a·2x ＞b·2x .解析：当lg x ≤0时①错，当x ＝0时②错，当b ＜a ＜0时a 2＜b 2，③错，只有④正确．答案：④9．(2013·临沂模拟)若x>y ，a>b ，则在①a －x>b －y ，②a ＋x>b ＋y ，③ax>by ，④x －b>y －a ，⑤a y >b x这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝b x，因此⑤不正确．由不等式的性质可推出②④成立．答案：②④10．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a ，b ，c 之间的大小关系为______________．解析：a ＝2－5＝4－5＜0，∴b ＞0.c ＝5－25＝25－20＞0.b －c ＝35－7＝45－49＜0.∴c ＞b ＞a .答案：c ＞b ＞a11．已知a ＞2，b ＞2，试比较a ＋b 与ab 的大小．解析：∵ab －(a ＋b )＝(a －1)(b －1)－1，又a ＞2，b ＞2，∴a －1＞1，b －1＞1.∴(a －1)(b －1)＞1，(a －1)(b －1)－1＞0.∴ab ＞a ＋b .12．(2013·大庆调研)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时比较c n 与a n ＋b n 的大小．解析：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a n ，b n ，c n >0，而a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n . ∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1， ∴0<a c <1，02，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2， ∴a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <a 2＋b 2c 2＝1， ∴a n ＋b n <c n .。

高三数学高考一轮复习系列教案第六章不等式大纲版

第六章不等式知识结构高考能力要求1．理解不等式的性质及其证明．2．掌握两个（注意不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用．3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．4．掌握简单不等式的解法．5．理解不等式| a |－| b| ≤| a＋b |≤| a |＋| b |．高考热点分析不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点，考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用．高考试题中有以下几个明显的特点：1．不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数、实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的问题很少，尤其是不等式的证明题．2．选择题，填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和综合题几乎都与不等式有关．3．不等式的证明考得比较频繁，所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视．高考复习建议1．复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据．2．不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、放缩法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度．3．解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来．4．注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用．5．利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、二定、三相等”.6．对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义．7．要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系．6．1 不等式的概念和性质知识要点1、实数的大小比较法则：设a，b∈R，则a>b⇔；a＝b⇔；a<b⇔ .实数的大小比较法则，它是比较两个实数大小的依据，要比较两个实数的大小，只要考察它们的就可以了.实数的大小比较法则与实数运算的符号法则一起构成了证明其它不等式性质的基础.2、不等式的5个性质定理及其3条推论定理1（对称性）a>b ⇔定理2（同向传递性）a>b，b>c定理3 a>b⇔a＋c > b＋c推论a>b，c>d⇒定理4 a>b，c>0⇒a>b，c<0⇒推论1 (非负数同向相乘法)a>b≥0，c>d≥0⇒推论2 a>b＞0⇒nn ba>(n∈N且n>1)定理5 a>b＞0⇒>n a n b(n∈N且n>1)例题讲练【例1】(1) 若x＜y＜0. 试比较(x2－y2)(x＋y)与(x2＋y2)(x－y)的大小.(2) 设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较a a b b与a b b a的大小.【例2】设f (x )＝1＋log x 3，g(x )＝2log x 2，其中x ＞0，x ≠1．比较f (x )与g(x )的大小. ．【例3】函数)(x f ＝ax 2＋bx 满足：1≤)1(-f ≤2，2≤)1(f ≤4，求)2(-f 的取值范围．【例4】已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，当p 、q 满足p ＋q ＝1时，试证明：pf (x )＋qf (y )≥f (px ＋qy )对于任意实数x 、y 都成立的充要条件是o ≤p ≤1.小结归纳 1．不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论．注意条件的放宽和加强，条件和结论之间的相互联系．2．使用“作差”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判断差式的符号．3．关于数(式)比较大小，应该将“相等”与“不等”分开加以说明，不要笼统地写成“A ≥B(或B ≤A)”．基础训练题一、选择题1．设a 、b ∈+R 且a ≠b ，x ＝a 3＋b 3，y ＝a 2b ＋ab 2；则x与y 的大小关系为（） A ．x >y B ．x ＝y C ．x < y D ．不能确定 2．如果－1<a <b <0，则有（）A ．a b 11<<b 2<a 2B ．a b 11<<a 2<b 2 C ．ba 11<<b 2<a 2D ．ba 11<<a 2<b 23．下列判断：① a 1＞b ，a 2＞b ，则a 1＞a 2；② 若ac ＞bc ，则c ＞0；③ 由lg 41＞lg 51，2＞1；有2lg 41＞lg 51；④ a ＞b ，则a 1＜b1，其中不能成立的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若p ＝a ＋21-a （a ＞2），q ＝2242-+-a a ，则（）A ．p ＞qB ．p ＜qC ．p ≥qD ．p ≤q5．已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，a c－bd ＞0（其中a 、b 、c 、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．36．若a ，b ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是（）A ．a 1＜b 1B ．a 2＞b 2C ．12+c a ＞12+c bD ．a | c |＞b | c |二、填空题7．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是 .8. a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则a b ，ba ，m a mb ++，n b na ++的由大到小的顺序是 .9．使不等式a 2＞b 2，ba ＞1，lg(a －b )＞0，2a ＞2b －1都成立的a 与b 的关系式是 .10．若不等式(－1)na ＜2＋nn 1)1(+-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题11．已知a ＞2，b ＞2，试比较a ＋b 与ab 的大小. ．12．设a 1≈2，令a 2＝1+111a +. (1) 证明2介于a 1、a 2之间； (2) 求a 1、a 2中哪一个更接近于2；(3) 你能设计一个比a 2更接近于2的一个a 3吗？并说明理由．13．某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠．如果甲、乙两家旅行社的原价(一张票)相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？提高训练题14．已知a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根为x 1、x 2．(1)证明：－21＜a b＜1；(2)若x 21＋x 1x 2＋x 22＝1，求x 21－x 1x 2＋x 22； (3)求| x 21－x 22|．15．函数f （x ）＝x 2＋（b －1）x ＋c 的图象与x 轴交于（x 1，0）、（x 2，0），且x 2－x 1＞1. 当t ＜x 1时，比较t 2＋bt ＋c 与x 1的大小.6．2 算术平均数与几何平均数知识要点1．a >0，b >0时，称为a ，b 的算术平均数；称为a ，b 的几何平均数．2．定理1 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 2ab （当且仅当时取“＝”号）3．定理2 如果a 、b ∈+R ，那么2ba +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题： (1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值．(2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值．例题讲练【例1】设a 、b ∈R +，试比较2ba +，ab ，222b a +，ba 112+的大小．【例2】已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），1=+y b x a ，求x ＋y 的最小值.【例3】在某两个正数x 、y 之间，若插入一个正数a ，使x ，a ，y 成等比数列，若插入两个正数b 、c ，使x 、b 、c 、y 成等差数列，求证：(a ＋1)2≤(b ＋1)(c ＋1).【例4】甲、乙两地相距S （千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c （千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b ；固定部分为a 元．(1) 试将全程运输成本Y (元)表示成速度V(千米/小时)的函数.(2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？小结归纳1．在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成立的条件．2．在使用“和为常数、积有最大值”和“积为常数、和有最小值”这两个结论时，必须注意三点：“一正”——变量为正数，“二定”——和或积为定值，“三相等”——等号应能取到，简记为“一正二定三相等”．基础训练题一、选择题1．设,b ,a 00>>则以下不等式中不恒成立．．．．的是（） A ．4)11)((≥++ba b aB ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++D ．b a |b a |-≥- 2．若x 2log＋y 2log≥4，则x ＋y 的最小值为（）A ．8B ．42C ．2D ．43．设a 、b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题q ：(2b a +)2≤222b a +（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．给出四个命题：(1)1222++x x 的最小值为2；(2)xx 432--的最大值为342- (3) x x lg 10log +的最小值为2；(4) xx 22sin 4sin +的最小值为4. 其中正确命题的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．设x ，y ∈R +，且xy －(x ＋y )＝1，则（）A ．x ＋y ≥2(2＋1)B ．xy ≤2＋1C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥2(2＋1) 6．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 等于（）A ．20吨B ．15吨C ．25吨D ．40吨二、填空题7．设0<x <2，则x (8－3x )的最大值为____________，相应的x 为____________. 8．要使不等式x ＋y ≤k y x +对所有正数x ，y 都成立，试问k 的最小值是．9．若a ＞b ＞0，则a 2＋)(16b a b -的最小值是________．10．已知0,0>>b a 且1222=+b a ，则21b a +的最大值________.三、解答题11．设实数x ，y ，m ，n 满足条件122=+n m ，922=+y x ，求ny mx +的最大值．12．若a ，b ，c 是互不相等的正数，求证：a 4＋b 4＋c 4)(222222c b a abc a c c b b a ++>++>13．已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），a ＋b ＝10，1=+y bx a ，若 x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．提高训练题 14．已知a 、b 、c ∈R ，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++15．某单位决定投资3200元建一长方体状仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁珊，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，计算：（1）仓库面积S 的最大允许值是多少？（2）为了使仓库面积S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面用铁珊应设计为多长？6．3 不等式证明（一）知识要点 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式．(1)作差比较法，它的依据是： ⎪⎩⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-b a b a b a b a b a b a 000它的基本步骤：作差——变形——判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等．(2) 作商比较法，它的依据是：若a >0，b >0，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⇔<=⇔=>⇔>b a b ab a b ab a b a111 它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到．2．综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论．3．分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立．例题讲练【例1】已知0,0>>b a ，求证：b a ab b a +≥+【例2】已知a 、b ∈R +，求证：)(22)1)((a b b a b a b a +≥+++【例3】已知△ABC 的外接圆半径R ＝1，41=∆ABC S ，a 、b 、c 是三角形的三边，令c b a s ++=，cb a t 111++=．求证：s t >【例4】设二次函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，方程0)(=-x x f 的两个根1x 、2x 满足ax x 1021<<<． (1) 当x ∈(0，x 1)时，证明：x <f (x )<x 1(2) 设函数f (x )的图象关于直线x ＝x 0对称，证明：x 0<21x ．小结归纳 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，而又以作差比较最为常见．作差比较的关键在于作差后如何变形来达到判断差值符号之目的，变形的方向主要是因式分解和配方．2．综合法证明不等式要找出条件和结论之间的内在联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式左右两端的差异和联系，合理进行变换，去异存同，恰当选择已知不等式，找到证题的突破口．3．分析法是“执果索因”重在对命题成立条件的探索，寻求不等式成立的充分条件，因此有时须先对原不等式化简．常用的方法有：平方，合并，有理化去分母等．但要注意所有这些变形必须能够逆推，书写格式要严谨规范．4．分析法和综合法是对立统一的两个方法．在不等式的证明中，我们常用分析法探索证明的途径后，用综合法的形式写出证明过程．这种先分析后综合的思路具有一般性，是解决数学问题的一种重要数学思想．基础训练题一、选择题1．已知∈b a 、+R 则下列各式中不成立的是（）A ．221≥++ab b aB ．4)11)((≥++ba b aC ．ab ab b a 222≥+ D ．ab ba ab≥+2 2．设0＜2a ＜1，M ＝1－a 2，N ＝1＋a 2，P ＝a-11，Q ＝a+11，那么（） A ．Q ＜P ＜M ＜N B ．M ＜N ＜Q ＜P C ．Q ＜M ＜N ＜P D ．M ＜Q ＜P ＜N3．设a ＞0，且 a ≠1，P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，则P ，Q 的大小关系是（） A ．P ＞Q B ．P ＝Q C ．P ＜Q D ．P 与Q 的大小与a 有关4．设a 、b 、c 是△ABC 的三边，且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ca bc ab ++，则（） A ．S ≥2P B ．P ＜S ＜2P C ．S ＞P D ．P ≤S ＜2P 5．已知∈b a 、+R ，那么“122<+b a ”是“b a ab +>+1”的（） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知p 、q 是两个正数，且关于x 的方程022=++q px x 和022=++p qx x 都有实根，则q p +的最小可能值是（） A ．5 B ．6 C ．8 D ．16二、填空题7．若1>a ，10<<b ，则abb a l o g l o g +的范围是．8．若1=++c b a ，则222c b a ++的最小值为．9．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0有_______个实根．10．若x 、y 满足2x y =，则代数式87)22(log 2-+y x 的符号是．三、解答题11．已知a 、b 、x 、y ∈R +且a 1＞b1，x ＞y .求证：a x x +＞by y+．12．已知a 、b 、c ∈R ，求证：c b ab c b a 234222++≥+++13．已知a ＋b ＋c ＝0，求证：ab ＋bc ＋ca ≤0提高训练题14．已知正数a 、b 、c 满足c b a 2<+，求证：(1) ab c >2 (2) ab c c a ab c c -+<<--2215．是否存在常数C ，使得不等式y x x +2+yx y2+≤C ≤y x x 2++y x y+2对任意正数x 、y 恒成立?试证明你的结论.6．4 不等式证明（二）知识要点证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等．反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的证明方法．换元法：对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式的证明方法．放缩法：为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数项，使不等式的一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法叫放缩法．判别式法：根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函数的性质等特征，确定其判别式所应满足的不等式，从而推出所证的不等式成立．例题讲练【例1】已知f (x )＝x 2＋px ＋q ， (1) 求证：f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2) 求证：｜f (1)｜、｜f (2)｜、｜f (3)｜中至少有一个不小于21．【例2】（1）已知x 2＋y 2＝1，求证:2211a ax y a +≤-≤+-. （2）已知a 、b ∈R ，且a 2＋b 2≤1，求证:2222≤-+b ab a .【例3】若2≥∈n N n ，且，求证：1131211121222<+⋅⋅⋅++<+-n n【例4】证明：23112122≤+++≤x x x ．小结归纳 1．凡是含有“至少”，“至多”，“唯一”，“不存在”或其它否定词的命题适宜用反证法．2．在已知式子中，如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数，可进行三角变换，换元法证明不等式时，要注意换元的等价性．3．放缩法证题中，放缩必须有目标，放缩的途径很多，如用均值不等式，增减项、放缩因式等．4．含有字母的不等式，如果可以化成一边为零，另一边是关于某字母的二次三项式时，可用判别式法证明不等式成立，但要注意根的范围和题设条件的限制．基础训练题一、选择题1．设∈c b a 、、+R ，那么三个数b a 1+、c b 1+、ac 1+ （）A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 2．已知∈d c b a 、、、+R ，S ＝c b a a ++＋db a b++＋a d c c ++＋b dc d++，则有（）A ．20<<sB ．21<<sC ．32<<sD ．43<<s3．若122=++y xy x 且R y x ∈、，则22y x n +=的取值范围是（） A.10≤<n B.32≤≤nC.2≥nD.232≤≤n4．已知函数f (x )＝(21)x ，a 、b +∈R ，A ＝f (2b a +)，B＝f (ab )，C ＝f (ba ab+2)，则A 、B 、C 的大小关系是（）A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A 5．设x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，则a y x ≤+恒成立的a的最小值是（）A ．22B ．2C ．2D ．226．设实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，当x ＋y ＋c ≥0时，c 的取值范围是（）A .)12[∞+-，，B . ]12(--∞，，C .)12[∞++，， D .]12(+-∞，，二、填空题 7．设00>>y x 、，y x y x A +++=1，yyx x B +++=11，则A 、B 大小关系为．8．实数y x yx-=，则x 的取值范围是． 9．若f (n )＝12+n －n ，g (n )＝n －12-n ，ϕ(n )＝n21，则f (n )，g (n )，ϕ(n )的大小顺序为____________． 10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1； ②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④ a 2＋b 2 >2；⑤ab >1，其中能推出：“a 、b 中至少有一个实数大于1”的条件是____．三、解答题11．设二次函数)0()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f 且、、，若函数)(x f y =的图象与直线x y =和x y -=均无公共点．(1) 求证：142>-b ac(2) 求证：对于一切实数x 恒有||41||2a c bx ax >++12．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(且0)1(=-f ，问是否存在实数c b a 、、使不等式)1(21)(2x x f x +≤≤对一切实数都成立，并证明你的结论．13．已知f (x ) ＝12+x ，且a ≠b 求证： | f (a )－f (b ) | <| a －b |．提高训练题14．设f (x )＝| x 3－1|，实数a 、b 满足f (a )＝f (b )且a )0()0(0)0(x x x x x② | x |≥0③ | |a |－|b ||≤|a ±b |≤| a |＋| b |④| ab |＝，ba＝ (b ≠0)特别：ab ≥0，|a ＋b |＝，|a －b |＝． ab ≤0，|a －b |＝，|a ＋b |＝． 2、最简绝对值不等式的解法．① | f (x ) |≥a ⇔ ； ② | f (x ) |≤a ⇔ ； ③ a ≤| f (x ) |≤b ． ④ 对于类似a | f (x ) |＋b | g (x ) | > c 的不等式，则应找出绝对值的零点，以此划分区间进行讨论求解．例题讲练【例1】解不等式：| x 2－3x －4|> x ＋1【例2】设f(x)＝x2－x＋b，| x－a |<1，求证：| f(x) －f(a) |<2(| a |＋1).【例3】已知f(x)＝x，g(x)＝x＋a(a>0)，⑴当a＝4时，求)() ()(xfx gaxf-的最小值；⑵若不等式) () ()(xfx gaxf->1对x∈[1, 4]恒成立，求a的取值范围．【例4】设a、b∈R，已知二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c，g(x)＝cx2＋bx＋a，当｜x｜≤1时，｜f(x)｜≤２⑴求证：｜g(1)｜≤２；⑵求证：当｜x｜≤1时，| g(x)|≤4.小结归纳1．利用性质｜|a|－|b|｜≤｜a＋b｜≤|a|＋|b|时，应注意等号成立的条件．2．解含绝对值的不等式的总体思想是：将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式求解．3．绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新，教学中，应注意绝对值与函数问题的结合．基础训练题一、选择题1．方程132+-xxx＝132+-xxx的解集是（）A．(][)∞+⋃-,30,1B．)3,0()1,(⋃--∞C．),3()1,1(∞+⋃-D．),3()1,(∞+⋃--∞2．x∈R，则(1＋x)(1－|x|)>0的解集为（）A．{x|－1<x<1} B．{x|x<1}C．{x| x<－1或x>1} D．{x| x<1且x≠－1} 3．f(x)为R上的增函数，y＝f(x)的图象过点A(0,－1)和下面哪一点时，能确定不等式｜f(x－1)｜<1的解集为{x｜1<x<4} （）A．(3, 1) B．(4, 1)C．(3, 0) D．(4, 0)4．若不等式|x－4|－|x－3|≤a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1C．a≤1 D．a≥15．下面四个式子中：⑴ |b－a|＝| a－b |，⑵| a＋b |＋| a －b|≥2|a|，⑶aa=-2)(，⑷|)||(|21ba+≥||ab成立的有几个（）A．1 B．2C．3 D．46．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1，2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，| f(x1)－f(x2)|＜| x1－x2|恒成立”的只有（）A．f(x)＝x1B．f(x)＝| x |C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2二、填空题7．已知| a |≠| b |，m＝||||||baba--，n＝||||||baba++，则m，n的大小关系是．8．不等式x2－4| x |＋3＜0的解集为．9．设|x－2|＜a时，不等式|x2－4|＜1成立，则正数a的取值范围是．10．已知方程| x |＝ax＋1有一个负根且无正根，则实数a 的取值范围是．三、解答题11．解不等式：|2x＋1|＋| x－2 |＋| x－1 |＞4．12．若a、b∈R，α, β是方程x2＋a x＋b＝0的两根，且|a|＋| b |＜1，求证：| α |＜1且|β|＜1．13．已知适合不等式| x 2－4x ＋p |＋| x －3 |≤5的x 的最大值是3，求p 的值．提高训练题14．(1) 已知：| a |＜1，| b |＜1，求证：|b a ab--1|＞1； (2) 求实数λ的取值范围，使不等式|ba ab --λλ1|＞1对满足| a |＜1，| b |＜1的一切实数a 、b 恒成立；(3) 已知| a |＜1，若|abba ++1|＜1，求b 的取值范围.15．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 定义在区间[－1，1]上，且f (0)＝f (1)，又P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是其图象上任意两点(x 1≠x 2)．(1)设直线PQ 的斜率为k ，求证：| k |＜2； (2)若0≤x 1<x 2≤1，求证：| y 1－y 2 |＜1．6．6 含参数的不等式知识要点含有参数的不等式可渗透到各类不等式中去，在解不等式时随时可见含参数的不等式．而这类含参数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点．解含参数的不等式往往需要分类讨论求解，寻找讨论点（常见的如零点，等值点等），正确划分区间，是分类讨论解决这类问题的关键．在分类讨论过程中要做到不重，不漏．例题讲练【例1】已知A ＝{x | 2ax 2＋(2－ab )x －b >０}，B ＝{x | x <－2或x >３}，其中b >0，若A ⊇B ，求a 、b 的取值范围．【例2】已知关于x 的不等式ax ax --25<0的解集为M ，(1) 当a ＝4时，求集合M ；(2) 若3∈M 且5∉M ，求实数a 的取值范围．【例3】若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围．【例4】解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R)．小结归纳解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行讨论求解．能避免讨论的应设法避免讨论．基础训练题一、选择题1．如果 a >0，b >0，则不等式－b <x1<a 的解集是（） A ．{x |－b 1<x <0或0<x <b1} B ．{x | x <－b1或x >a 1}C ．{x |－a 1<x <0或0<x c > f (－1)B ．f (1)< c < f (－1)C ．f (1)<f (－1) < cD ．f (1)> f (－1)> c3．设关于x 的不等式ax >b 的解集中有一个元素是3，则（）A ．a >0且3a >bB ．a <0且3a <bC ．a >0且b <0D ．以上都不对4．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，21)成立，则a 的取值范围是（） A ．[0，＋∞) B ．[－2，2]C ．[－25，＋∞) D ．[－25，－2] 5．设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为集合M和N ，那么“212121c cb b a a ==”是“M ＝N ”的（）A ．充要条件B ．必要非充分条件C ．充分非必要条件D ．既非充分也非必要条件6．已知a ＞0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜21，则实数a 的取值范围是（）A ．]21,0(∪[)∞+,2 B ．)1,21[∪(]2,1C ．)1,41[∪(]4,1 D ．]41,0(∪[)∞+,4二、填空题7．不等式11<-x ax的解集是{x | x <1或x >2}，则a ＝． 8．设f (x )＝3ax －2a ＋1，若存在x 0∈(－1，1)，使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是．9．若不等式122)31(3+->x ax x 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是．10．若关于x 的不等式组 ⎩⎨⎧>+->01a x ax 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是．三、解答题11．对于任意的x ∈R ，均有x 2－4ax ＋2a ＋30≥0(a ∈R)，求关于x 的方程3+a x＝| a －1|＋1的根的范围．12．解关于x 的不等式01224222>+--a a ax x ．13．已知函数f (x )＝bax x +2(a 、b 为常数)，且方程f (x )－x＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4． (1)求函数f (x )的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )＜xkx k --+2)1(．提高训练题14．设函数f (x )＝| x －a |，g (x )＝ax (a ＞0)．(1)解关于x 的不等式| x －a |＜ax ；(2)设F(x )＝f (x ) －g (x )，若F(x )在(0，＋∞)上有最小值，求出这个最小值．15．已知f (x )＝lg(x ＋1)，g (x )＝2lg(2x ＋t )( t ∈R ，t 是参数) (1) 当t ＝－1时，解不等式：f (x ) ≤ g (x )(2) 如果当x ∈[0，1]时，f (x ) ≤ g (x )恒成立，求参数t 的取值范围.6．7 不等式的应用知识要点 1．不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系．2．能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布，解决涉及不等式的应用例题讲练【例1】若关于x 的方程4x ＋a ·2x ＋a ＋1＝0有实数解，求实数a 的取值范围. ．【例2】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．【例3】已知二次函数y＝ax2＋2bx＋c，其中a＞b ＞c且a＋b＋c＝0.（1）求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点.（2）设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：3＜l＜23.【例4】一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲乙两地相距S(千米)，水速为常量p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为q(千米/小时)(q＞p)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为k．⑴把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v的函数，并求出这个函数的定义域．⑵为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？小结归纳不等式的应用主要有两类：⑴一类是不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化．注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通．⑵一类是解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决．基础训练题一、选择题1．设M＝(a1－1)(b1－1)(c1－1)，若a＋b＋c＝1，(a，b，c∈R+)则M的取值范围是（）A．[)8,0B．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,81C．[)8,1D．[)∞+,82．已知方程sin2x－4sin x＋1－a＝0有解，则实数a的取值范围是（）A．[－3，6] B．[－2，6]C．[－3，2] D．[－2，2]3．点P(x，y)在椭圆92x＋42y＝1上移动，则x＋y的最大值等于（）A．5 B．3C．6 D．134．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是（）A．(－∞，－1) B．(－∞，22－1)C．(－1，22－1) D．(－22－1，22－1) 5．一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v千米/小时，两车的距离不能小于(10v)2千米，运完这批物资至少需要（）A．10小时B．11小时C．12小时D．13小时6．设函数是定义在R上的奇函数，若f (x)的最小正周期为3,且f (1)>1，f (2)＝132+-mm，则m的取值范围是（）A．m<32B．m<32且m≠－1C．－1< m<32D．m>32且m<－1二、填空题7．如果对任意实数x，不等式| x+1 |≥kx恒成立，则实数k的范围是 .8．已知f (x)＝⎩⎨⎧<-≥11xx，则不等式x＋(x＋2)f (x＋2)≤5的解集是．9．一个盒中装有红球、白球和黑球，黑球的个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的31，白球与黑球的个数之和至少是55，则红球个数的最小值为 . 10．船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度V 1和在静水中的速度V 2的大小关系是．三、解答题11．已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程Z 2－2Z ＋5－p 2＝0有无实根，并给出证明．12．已知二次函数f （x ）＝x 2＋bx ＋c （b 、c ∈R ），不论α、β为何实数，恒有f (sin α)≥0，f (2＋cos β)≤0. (1) 求证：b +c ＝－1； (2) 求证：c ≥3；(3) 若函数f (sin α)的最大值为8，求b 、c 的值.13．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名同学，老师们打算组织同学们集体去游泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，若使每个同学游泳8次，每人最少交多少钱？提高训练题14．设函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c ＜b ＜1)，f (1)＝0，且方程f (x )＋1＝0有实根．(1)证明：－3＜c ≤－1且b ≥0；(2)若m 是方程f (x )＋1＝0的一个实根，判断f (m －4)的正负，并加以证明．15．已知定义域为[0，1]的函数f (x )同时满足：① 对于任意x ∈[0，1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③ 若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)． ⑴ 求f (0)的值．⑵ 求函数f (x )的最大值．⑶ 证明：① 当x ∈(21，1]时，有f (x )＜2x 成立．② 当x ∈[0，21]时，有f (x )≤21f (2x )成立．单元测试一、选择题1. 关于x 的不等式|x －1|>m 的解集为R 的充要条件是（）A ．m ＜0B ．m ≤－1C ．m ≤0D ．m ≤1 2. 若a 、b 是任意实数，且b a >，则（）A ．22b a >B ．1<abC ．0)lg(>-b aD ．b a )21()21(<3．若,,h a y h a x <-<-则下列不等式一定成立的是（）A ．h y x <-B ．h y x 2<-C ．h y x >-D ．h y x 2>-4．欲证7632-<-，只需证（）A ．22)76()32(-<-B ．22)73()62(-<-C ．22)63()72(+<+D ．22)7()632(-<--5. 设x 1，x 2是方程x 2＋px ＋4＝0的两个不相等的实根，则（） A ．| x 1 |＞2且| x 1 |＝2 B ．| x 1＋x 2|＞4 C ．| x 1＋x 2|＜4 D ．| x 1 |＝４且| x 2 |＝16. 对一切正整数n ，不等式211++<-n n b b 恒成立，则b 的范围是（）A ．(0, 32) B ．(32,0]C ．(52,∞-)),1(∞+⋃D ．(52, 1)7. 已知函数f (x )＝ ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-)0()0(22x x x x x x ，则不等式f (x )＋2>0的解区间是（） A ．(－2，2) B ．(－∞, －2)∪(2, ＋∞) C ．(－1，1) D ．(－∞, －1)∪(1, ＋∞) 8. 在R 上定义运算⊗．(1)x y x y ⊗=-若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则（） A ．11a -<< B ．02a <<C ．3122a -<< D ．1322a -<< 9．某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）（） A ．5 B ．10 C ．14 D ．1510.（理）集合1{|0}1x A x x -=<+、{}a b x x B <-=，若"1"a =是""Φ≠⋂B A 的充分条件，则b 的取值范围可以是（）A ．20b -≤<B ．02b <≤C ．31b -<<-D ．12b -≤< （文）集合1{|0}1x A x x -=<+、{}a x x B <-=1，则"1"a =是""Φ≠⋂B A 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件二、填空题11．若y x y x 2,2416,4230-<<<<则的取值范围是 . 12．若不等式02<--b ax x 的解集为{32<<x x }，则=+b a .13．实数x 满足θsin 1log 3+=x ，则91-+-x x 的值为 .14．已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三条边长，c 为斜边，若点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值是．15．对a ，b ∈R ，记max| a ，b |＝ ⎩⎨⎧<≥ba b ba a ，函数f (x )＝max| | x ＋1 |，| x －2 | | (x ∈R )的最小值是．三、解答题16. 若a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc ．17．已知函数f (x )＝xax x ++22，x ∈[)∞+,1．(1) 当a ＝21时，求函数f (x )的最小值；(2) 若对任意x ∈[)∞+,1，f (x )＞0恒成立，求实数a的取值范围．18．（理）解关于x 的不等式222(1)21x a x x ax+--≥+（文）解关于x 的不等式：2(1)10,(0)ax a x a -++<>19．设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对任意x 、y∈R ＋，f (xy )＝f (x )＋f (y )恒成立，已知f (8)＝3，且当x ＞1时，f (x )＞0．(Ⅰ)证明：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(Ⅱ)对一个各项均正的数列{a n }满足f (S n )＝f (a n )＋f (a n＋1)－1 (n ∈N *)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，求数列{a n }的通项公式； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，是否存在正整数p 、q ，使不等式)1(211121-+>+++q pn a a a n对n ∈N *恒成立，求p 、q 的值．20．对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1－)(含污物物体质量污物质量）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a (1≤a ≤3)．设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是18.0++x x (x ＞a －1)，用y 质量的水第二次清洗后的清洁度是ay acy ++，其中c (0.8＜c ＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度．(Ⅰ) 分别求出方案甲以及c ＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；(Ⅱ) 若采用方案乙，当a 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a 取不同数值对最少总用水量多少的影响．21. 已知条件p ：|5x －1|>a 和条件01321:2>+-x x q ，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.。

高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第六节对数与对数函数(课件)

(2)对有关对数型函数的作图问题，一般是从基本初等函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所要求的函数图象．特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)与对数型函数有关的方程或不等式问题常常结合对数函数的图象来解决，即数形结合法．
【对点训练】 1．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
常借助1，0等中间量进行比较
答案：B
反思感悟求解对数不等式的两种类型及方法
类型形如
logax>logab 形如
logax>b
方法
借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax 的单调性求解
角度3 对数型函数性质的综合应用
[例4] 已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
反思感悟求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤
一求求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．
判断对数函数的底数与1的关系，分a>1与0<a<1两种情
二判
况判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同
增异减”原则判断函数的单调性
答案：B
2．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2] 上恒成立，则实数a的取值范围是________．
微专题❾ 巧借运算性质拟合函数破压轴
答案：C 解析：函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B项；函数y＝2log4(1 －x)在定义域上单调递减，排除D项，故选C项．

高考数学一轮复习第6章不等式课件理

－z＝0，则当xzy取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为(
)．
9
A．0
B．1
C.4
D．3
由 x2－3xy＋4y2－z＝0 可得 z＝x2－3xy＋4y2，
xy
xy
1
1
故
z
＝
x2－3xy＋4y2＝x 4y ≤ y＋ x －3
2
4－3＝1，当且仅
当xy＝4xy即 x＝2y 时等号成立，这时 z＝x2－3xy＋4y2＝2y2.
利用排除法，
设 x＝3.2，则[－x]＝[－3.2]＝－4，而－[x]＝－[3.2]
ab C．若c2<c2，则 ab，c>d，则 a－c>b－d
由不等式的性质知 C 正确．
C
2．已知 x，y 都为正实数，且 3x＋y＝1，则 xy 的最大
值为( )．
1
1
A.12
B.3
C. 3
D．2 3
∵x，y 都为正实数，∴3x＋y＝1≥2 3x·y，得 xy
1 ≤12，故
xy
1 的最大值为12.
四、极值定理
1．若 x，y∈R＋，积 x·y＝p(定值)，则和 x＋y 有最小
值__2 p__，当且仅当__x＝y__时，取“＝”；
2．若 x，y∈R＋，和 x＋y＝s(定值)，则积 x·y 有最大
值__s42__，当且仅当__x＝y__时，取“＝”．
即：“积为常数，和有最小值；和为常数，积有最大值”．
a －b ＝ log36－ log510＝ 1＋ log32－ (1 ＋ log52) ＝ log32－log52＞0，∴a＞b.
b－c＝log510－log714＝1＋log52－(1＋log72)＝log52 －log72＞0，∴b＞c.∴a＞b＞c.

年高考全程复习构想第六章不等式

解析：原不等式⇔ 2 ≤2－1⇔x2＋2x－4≤－1，即 x2＋2x－3≤0，解之得－3≤x≤1，解集为[－3,1]．答案：[－3,1]
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零． (2)计算相应的判别式； (3)当 Δ＞0 时，求出相应的一元二次方程的两根； (4)根据一元二次不等式解的结构，写出其解．
2．一元二次不等式的解法技巧 (1)解一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(或＜0)，当 a＞0 时，其相应一元二次方程的判别式 Δ＞0，则求两根或分解因式，根据“大于在两边，小于夹中间”写出解；若 Δ＝0 或 Δ＜0，这是特殊情形，利用相应一元二次函数的图象写出不等式的解． (2)当含有参数时，必须要分类讨论．分类是由不确定和不统一而引起的，分类标准是根据需要而设定的，这种“需要” 可能是：是什么不等式(一元一次？一元二次？)；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等． (3)要特别注意三个“二次”之间的联系，重视数形结合的思想和分类讨论思想的应用.
4． a＜0 时，不等式 x2－2ax－3a2＜0 的解集是__________．
解析：∵x2－2ax－3a2＝0，∴x1＝3a，x2＝－a.又 a＜0， ∴不等式的解集为{x|3a＜x＜－a}．答案：{x|3a＜x＜－a}
5．不等式 2
x2＋2x－4
1 ≤2的解集为__________．
x2＋2x－4
③______ ⑥______
①{x|x＜x1 或 x＞x2} ②{x|x≠x1} ③R ④{x|x1＜x＜x2} ⑤∅ ⑥∅
2.用一个流程图来描述一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a ＞0)的求解的算法过程． ⑦{x|x≠x1} ⑧{x|x＜x1 或 x＞x2} ⑨R

高考复习方案(新课标)高考数学一轮复习第6单元不等

4y≤200，故请工人所满足的不等式组为
x5≥x＋0，4y≤200， y≥0
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第32讲不等关系与不等式
基
础自
2．[教材改编] 某高速公路要求行驶车辆的速度v的最大
主值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等
梳理
式表示为________．
[答案]
0≤v≤120， d≥10
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使用建议
(2)从高考的客观情况看，二元一次不等式(组)所表示的平面区域和简单的线性规划问题，是高考必考的两个知识点，我们把探究点并不是设置为简单的线性规划问题，而是设置为目标函数的最值(这样可以涵盖线性规划和非线性规划)、含有参数的平面区域以及生活中的优化问题，这样该讲就覆盖了高考考查的基本问题．
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基础自主梳理
考第32讲不等关系与不等式
点互动探究
易错易混透析
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考试说明
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式 (组)的实际背景．
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第32讲不等关系与不等式
基
础自
—— 知识聚焦 ——
主
梳
理
1．两个实数大小的比较方法
(1)差值比较原理：设a，b∈R，则a＞b⇔a－b＞0，a＝ b⇔a－b＝0，a＜b⇔__a_－__b_<_0_．
(3)在各个讲次穿插了不等式的应用，但不涉及过度综合的题目，其目的是使学生认识不等式应用的广泛性，不等式更多的、更综合的应用我们留在其余各讲中．
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使用建议
2．教学建议不等式是知识和应用的结合体，在复习中既要照顾到其基础性，也要照顾到其应用性，因此在教学中要注意以下几点： (1)在各讲的复习中首先要注意基础性，这是第一位的复习目标．由于各讲的选题偏重基础，大多数例题、变式题学生都可以独立完成，在基础性复习的探究点上要发挥教师的引导作用，引导学生独立思考完成这些探究点，给予适度的指导和点评． (2)要重视实际应用问题的分析过程、建模过程．应用问题的难点是数学建模，本单元涉及了较多的应用题，在这些探究点上教师的主要任务就是指导学生如何通过设置变量把实际问题翻译成数学问题，重视解题的过程．

高考数学一轮总复习第六章不等式第4讲简单的线性规划课件理

答案：A
x＋y－2≥0， (2)(2014 年安徽)不等式组x＋2y－4≤0，
x＋3y－2≥0
表示的平面区
域的面积为________.
解析：不等式组表示的平面区域是如图 D25 所示的阴影部分，则其表示的面积 S△ACD＝S△ABD＋S△BCD＝12×2×2＋12×2×2 ＝4.
答案：4
第4讲简单的线性规划
考纲要求
考点分布
考情风向标
1象.会出从二实元际一情次境不中抽等2划0求11年截距新的课最标小卷值考；查简单线性规1重.线点性和规热划点是，高本考的节
式2式.了组的解.几二何元意一义次，不等能2求0截12距年的大取纲值卷范考围查；简单线性规划复时
习要
过注
程重
中目
，标
பைடு நூலகம்
A
B
C
D
思维点拨：由三角形的三边关系(两边之和大于第三边)来确定二元一次不等式组，然后求可行域.
解析：由于 x，y,1－x－y 是三角形的三边长，
x＋y＞1－x－y，故有x＋1－x－y＞y，
y＋1－x－y＞x
x＋y＞12， ⇒y＜12，
x＜12.
再分别在同一坐标系中作直线 x＝12，y＝12，x＋y＝12. 故选 A.
元线性规划问题，
2015年新课标卷Ⅰ考查简单线性图，这是解答正确
规划求截距的最大值
的前提
并能加以解决
1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，直线 l：Ax＋By＋C＝0 把直角坐标平面分成三个部分： ①直线 l 上的点(x，y)的坐标满足__A_x_＋__B_y_＋__C_＝__0__； ②直线 l 一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足 Ax＋By ＋C＞0；

2019版数学一轮高中全程复习方略课件：第六章不等式

4．若 a， b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 ab 1 1 2 C.a＋b> ab b a D.a＋b≥2
)
解析：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A 错误．对于 B、C，当 a<0，b<0 时，明显错误． b a ba 对于 D，∵ab>0，∴a＋b≥2 a· b＝2. 答案：D
注意 (1)在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三相等 ——等号能取得”，这三个方面缺一不可． (2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件是否一致.
考讲练型] [例 1] “节能减排，绿色生态”是当今世界各国所倡导，某公司在科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该公司每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 1 2 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝2x －200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元． (1)该公司每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该公司每月能否获利？
[知识重温] 一、必记 3●个知识点 a＋b 1．基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号． a＋b (3)两个平均数： 2 称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正数 a，b 的几何平均数．
2．几个重要不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． a＋b 2 (2)ab≤ 2 (a，b∈R)． 2 2 a＋b a ＋ b 2 (3) 2 ≤ 2 (a，b∈R)． b a (4)a＋b≥2(a· b＞0)． a＋ b a2＋b2 2 (5)1 1≤ ab≤ 2 ≤ 2 (a＞0，b＞0)． a＋b

高考数学一轮总复习第六章不等式课堂过关理

第六章不等式第1课时一元二次不等式及其解法(对应学生用书(文)、(理)84～86页)掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系并能灵活运用．① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解程序框图．1. (必修5P77练习2(2)改编)不等式3x2－x－4≤0的解集是__________.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43解析：由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤43.2. (必修5P75例1(1)改编)不等式2x2－x－1>0的解集是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)解析：由2x2－x－1>0，∴ (2x＋1)(x－1)>0，∴ x>1或x<－12.3. (必修5P79习题1(3)改编)不等式8x－1≤16x2的解集是________．答案：R解析：原不等式转化为16x2－8x＋1≥0，即(4x－1)2≥0，则x∈R，故不等式的解集为R.4. (必修5P80习题9改编)已知不等式x2－2x＋k2－3>0对一切实数x恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案：k>2或k<－2解析：由Δ＝4－4(k2－3)<0，知k>2或k<－2.5. (必修5P80习题8(2)改编)关于x的不等式x2＋(a＋1)x＋ab>0的解集是{x|x<－1或x>4}，则a＋b＝________．答案：－3解析：由题意知，－1，4为方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的两根，∴ a＋1＝－3，ab＝－4.∴ a＝－4，b＝1.∴ a＋b＝－3.1. 一元二次不等式的解法在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，令y＝0，得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．若将等号“＝”改为不等号“＞”或“＜”，便得到一元二次不等式ax2＋bx＋c ＞0(或＜0)．因此，可以通过y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与x轴的交点求得一元二次不等式的解，具体如下表：二次函数一元二次方程一元二次不等式一般式y＝ax2＋bx＋c(a>0)Δ＝b2－4acax2＋bx＋c＝0(a＞0)ax2＋bx＋c＞0(a＞0)ax2＋bx＋c＜0(a＞0)图象与解Δ>0 x＝x1，x＝x2x<x1或x>x2x1< x<x2Δ＝0 x＝x0＝－b2ax≠－b2aÆΔ<0 无解RÆ2. 用一个流程图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解的算法过程[备课札记]题型1 一元二次不等式的解法例1 解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x－ax(a∈R )．解：原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.① 当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x≤－1.② 当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x≥2a 或x≤－1. ③ 当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x≤2a ；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a ＜－1，即a ＞－2，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥2a ，或x≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{x|x ＝－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x≤2a .变式训练已知函数f(x)＝ax 2＋bx －a ＋2.(1) 若关于x 的不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，求实数a 、b 的值； (2) 若b ＝2，a>0，解关于x 的不等式f(x)>0. 解：(1) ∵ 不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，∴ －1，3是方程ax 2＋bx －a ＋2＝0的两根， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a －b －a ＋2＝0，9a ＋3b －a ＋2＝0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. (2) 当b ＝2时，f(x)＝ax 2＋2x －a ＋2＝(x ＋1)(ax －a ＋2)，∵ a>0，∴ (x ＋1)(ax －a ＋2)>0(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a －2a >0，① 若－1＝a －2a ，即a ＝1，解集为{x|x≠－1}；② 若－1>a －2a ，即0<a<1，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<a －2a 或x>－1； ③ 若－1<a －2a ，即a>1，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<－1或x>a －2a . 题型2 由二次不等式的解求参数的值或范围例2 已知不等式mx 2－2x ＋m －2＜0.(1) 若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2) 设不等式对于满足|m|≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．解：(1) 对所有实数x ，都有不等式mx 2－2x ＋m －2<0恒成立，即函数f(x)＝mx 2－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方，当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立；当m≠0时，由二次函数的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝4－4m （m －2）<0，解得m<1－ 2.综上可知m 的取值范围是(－∞，1－2)．(2) 设g(m)＝(x 2＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2＋1>0知g(m)在[－2，2]上为增函数，则由题意只需g(2)<0即可，即2x 2＋2－2x －2<0，解得0<x<1.所以x 的取值范围是(0，1)．备选变式（教师专享）已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋3.(1) 当x∈R 时，f (x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(2) 当x∈[－2，2]时，f (x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 当x∈R 时，f (x)≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a≥0对任意实数x 恒成立，则Δ＝a 2－4(3－a)≤0，解得－6≤a ≤2，∴ a 的范围是{a|－6≤a≤2}．(2) 当x∈[－2，2]时，f (x)≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a≥0对任意x∈[－2，2]恒成立，∴ Δ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a 2<－2，f （－2）≥0.或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a2>2，f （2）≥0.解得－7≤a≤2.∴ a 的范围为{a|－7≤a≤2}．题型3 三个二次之间的关系例3 若关于x 的不等式(2x －1)2<kx 2的解集中整数恰好有2个，求实数k 的取值范围．解：因为原不等式等价于(－k ＋4)x 2－4x ＋1<0，从而方程(－k ＋4)x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ＝4k>0，且有4－k>0，故0<k<4.又原不等式的解集为12＋k <x<12－k，且14<12＋k <12，则1，2一定为所求的整数解，所以2<12－k≤3，得k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤94，259. 备选变式（教师专享）关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，求a 的取值范围．解：原不等式可能为(x －1)(x －a)＜0，当a ＞1时得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4＜a≤5，当a ＜1时得a ＜x ＜1，则－3≤a＜－2，故a∈[－3，－2)∪(4，5]．题型4 一元二次不等式的应用例4 一个服装厂生产风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x(元)．(1) 该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？(2) 当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？解：(1) 由题意知，月利润y ＝px －R ，即y ＝(160－2x)x －(500＋30x)＝－2x 2＋130x －500.由月利润不少于 1 300元，得－2x 2＋130x －500≥1 300.即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x≤45.故该厂月产量在20～45件时，月利润不少于1 300元．(2) 由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －6522＋3 2252，由题意知，x 为正整数．故当x ＝32或33时，y 最大为1 612. 所以当月产量为32或33件时，可获最大利润1 612元．备选变式（教师专享）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R(x)(万元)满足：R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8，0≤x ≤5，10.2，x>5，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律求下列问题．(1) 要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2) 工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？解：依题意，G(x)＝x ＋2，设利润函数为f(x)，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ，x>5.(1) 要使工厂有赢利，即解不等式f(x)>0，当0≤x≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0，即x 2－8x ＋7<0，得1<x<7， ∴1<x≤5.当x>5时，解不等式8.2－x>0，得 x<8.2， ∴5<x<8.2.综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x<8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2)0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x －4)2＋3.6，故当x ＝4时，f(x)有最大值3.6；而当x>5时，f(x)<8.2－5＝3.2.所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．1. (2014·江苏)已知函数f(x)＝x 2＋mx －1，若对于任意的x∈[m，m ＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1<0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22＜m ＜0.2. (2014·北京东城模拟)定义在R 上的运算：x*y ＝x(1－y)，若不等式(x －y)*(x ＋y)＜1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析：∵ (x－y)×(x ＋y)＝(x －y)(1－x －y)＝x －x 2－y ＋y 2＜1.∴ －y ＋y 2＜x 2－x ＋1，要使该不等式对一切实数x 恒成立，则需有－y ＋y 2＜(x 2－x ＋1)min ＝34，解得－12＜y ＜32.3. (2014·南京二模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x<0，则不等式f(x 2)＞f(3－2x)的解集是________．答案：(－∞，－3)∪(1，3)解析：当x≤32时，原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x≤32；当x ＞32时，原不等式化为x 2＞(3－2x)2，解得32＜x ＜3.综上，x ＜－3或1＜x ＜3.4. (2014·盐城二模)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是________．答案：(4，＋∞)解析：由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x>0，f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1>0，即f(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x>1，所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋2>－x ＋4，x ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋4>－x ＋4，x>1，解得x ＞4.1. 解关于x 的不等式(1－ax)2<1.解：由(1－ax)2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1，即ax(ax －2)<0. ① 当a ＝0时，不等式转化为0<0，故x 无解．② 当a<0时，不等式转化为x(ax －2)>0，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a <0.∵ 2a <0，∴ 不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a <x<0. ③ 当a>0时，原不等式转化为x(ax －2)<0，又2a >0，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x<2a .综上所述，当a ＝0时，原不等式解集为；当a<0时，原不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a <x<0；当a>0时，原不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x<2a .2. 函数f(x)＝x 2＋ax ＋3.(1) 当x∈R 时，f (x)≥a 恒成立，求a 的取值范围；(2) 当x∈[－2，2]时，f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：(1) ∵ x∈R ，f (x)≥a 恒成立，∴ x 2＋ax ＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a 2－4(3－a)≤0，得－6≤a≤2.∴ 当x∈R 时，f (x)≥a 恒成立，则a 的取值范围为[－6，2]．(2) f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a 24.讨论对称轴与[－2，2]的位置关系，得到a 的取值满足下列条件：⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤－2，f （－2）≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧－2＜－a2＜2，3－a 24≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥2，f （2）≥a，即⎩⎪⎨⎪⎧a≥4，7－2a≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧－4＜a ＜4，a 2＋4a －12≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a≤－4，7＋2a≥a.解得－7≤a≤2.∴ 当x∈[－2，2]时，f (x)≥a 恒成立，则a 的取值范围为[－7，2]． 3. 某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价，减少进货量的办法来增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，问该商场将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所赚的利润最多？销售价每件定为多少元时，才能保证每天所赚的利润在300元以上？解：设每件提高x 元(0≤x≤10)，即每件获利润(2＋x)元，每天可销售(100－10x)件，设每天获得总利润为y 元，由题意有y ＝(2＋x)(100－10x)＝－10x 2＋80x ＋200＝－10(x －4)2＋360.所以当x ＝4时，y max ＝360元，即当定价为每件14元时，每天所赚利润最多．要使每天利润在300元以上，则有－10x 2＋80x ＋200＞300，即x 2－8x ＋10＜0，解得4－6＜x ＜4＋ 6.故每件定价在(14－6)元到(14＋6)元之间时，能确保每天赚300元以上．4. 设函数f(x)＝x 2－1，对任意x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析：由题意得：x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x－1)2－1＋4(m 2－1)在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．即⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－4m 2≤(－3x 2－2x ＋1)min ，当x ＝32时函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m≤－32或m≥32. 1. 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c>0，ax 2＋bx ＋c<0的解就是使二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值大于0或小于0时x 的范围，应充分和二次函数图象结合去理解一元二次不等式的解集表．2. 解含参数的不等式(x －a)(x －b)>0，应讨论a 与b 的大小再确定不等式的解，解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程的根的情况)，三写(写出不等式的解集)．3. 应注意讨论ax 2＋bx ＋c>0的二次项系数a 是否为0. 4. 要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想．分类讨论要做到“不重”、“不漏”、“最简”的三原则．请使用课时训练(A )第1课时(见活页)．[备课札记]第2课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划(对应学生用书(文)、(理)87～88页)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．1. (必修5P83练习1改编)若点P(a，3)在2x＋y<3表示的区域内，则实数a的取值范围是________．答案：a<0解析：点P(a，3)在2x＋y<3表示的区域内，则2a＋3<3，解得a<0.2. (必修5P86练习2(1)改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋4≥0，x＋y≥0，x≤3所表示的平面区域的面积是________．答案：25解析：直线x－y＋4＝0与直线x＋y＝0的交点为A(－2，2)，直线x－y＋4＝0与直线x＝3的交点为B(3，7)，直线x＋y＝0与直线x＝3的交点为C(3，－3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A(－2，2)、B(3，7)、C(3，－3)为顶点的三角形，所以其面积为S △ABC＝12×5×10＝25.3. (2014·南通期末)设实数x、y满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x＋y≤3，2x＋y≤4，则z＝3x＋2y的最大值是________．答案：7解析：由题设可知可行域的四个顶点坐标分别为(0，0)，(2，0)，(0，3)，(1，2)．从而(3x＋2y)max＝3×1＋2×2＝7.4. (必修5P 34练习7改编)设变量x 、y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y≥x，x ＋2y≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为________．答案：－8解析：画出可行域与目标函数线，如图可知，目标函数在点(－2，2)处取最小值－8.5. (2014·湖南)若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，x ＋y≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k＝________．答案：－2解析：画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z ＝2x ＋y 在点A(k ，k)处取最小值，即3k ＝－6，解得k ＝－2.1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1) 二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线y ＝kx ＋b 把平面分成两个区域， y>kx ＋b 表示直线y ＝kx ＋b 上方的平面区域， y<kx ＋b 表示直线y ＝kx ＋b 下方的平面区域． (2) 选点法确定二元一次不等式表示的平面区域 ① 任选一个不在直线上的点；② 检验它的坐标是否满足所给的不等式；③ 若适合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的平面区域，否则，直线的另一侧区域为不等式所表示的平面区域．(3) 二元一次不等式组表示的平面区域不等式组中各个不等式表示平面区域的公共区域． 2. 线性规划中的基本概念名称定义约束条件变量x 、y 满足的一次不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的线性函数可行域约束条件所表示的平面区域称为可行域最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题题型1 二元一次不等式表示的平面区域例1 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3表示的平面区域．解：不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合，x ＋y≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y≥0，x ≤3表示的平面区域如下图所示．变式训练在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a ＝________．答案：3解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0，所围成的区域如图所示．则A(1，0)，B(0，1)，C(1，1＋a)，且a>－1， ∵ S △ABC ＝2，∴ 12(1＋a)×1＝2，解得a ＝3.题型2 线性规划问题例2 已知关于x 、y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤4，x －y≤1，x ＋2≥0.(1) 求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值；(2) 求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．解：(1) 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤4，x －y≤1，x ＋2≥0表示的平面区域，如图所示．由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x ＋2＝0，得C(－2，3)，∴u min ＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x －y ＝1，得B(2，1)，∴ u max ＝3×2－1＝5.∴ u＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9.(2) 作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤4，x －y≤1，x ＋2≥0表示的平面区域，如图所示．由z ＝x ＋2y ＋2，得y ＝－12x ＋12z －1，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z －1，随z 变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z －1最小，即z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2＝0，得A(－2，－3)，∴ z min ＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12z－1最大，即z 最大，∴ z max ＝4＋2＝6. ∴ z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6，最小值是－6.变式训练若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是________．答案：(－4，2)解析：可行域为△ABC，如图，当a ＝0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率k ＝－a 2＞k AC ＝－1，a ＜2.当a ＜0时，k ＝－a2＜k AB ＝2，∴ a ＞－4.综上可得－4＜a＜2.题型3 线性规划的实际应用例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1 kg 、B 原料2 kg ；生产乙产品1桶需耗A 原料2 kg ，B 原料1 kg.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12 kg.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解：设公司每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，公司共可获得利润为z 元/天，则由已知，得z ＝300x ＋400y ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤12，2x ＋y≤12，x ≥0，y ≥0，画可行域如图所示，目标函数z ＝300x ＋400y 可变形为y ＝－34x＋z400，这是随z 变化的一族平行直线，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，x ＋2y ＝12，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即A(4，4)， ∴ z max ＝1 200＋1 600＝2 800(元)．故公司每天生产甲产品4桶、生产乙产品4桶时，可获得最大利润为2 800元．备选变式（教师专享）某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间，油漆时间及有关数据如下：工艺要求产品甲产品乙生产能力/(台/天) 制白坯时间/天 6 12 120 油漆时间/天 8 4 64产量可获最大利润，并且最大利润是多少？解：设x ，y 分别为甲、乙两种柜的日产量，可将此题归纳为求如下线性目标函数z ＝20x ＋24y 的最大值．其中线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋12y≤120，8x ＋4y≤64，x ≥0，y ≥0，由图可得最优解为(4，8)，z max ＝272.答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台可获最大利润272元．1. 已知0＜a ＜1，log a (2x －y ＋1)＞log a (3y －x ＋2)，且λ＜x ＋y ，则λ的最大值为答案：－2解析：2x －y ＋1<3y －x ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －1<0，2x －y ＋1>0，作出可行域，则z ＝x ＋y 经过点(－1，－1)时最小，故x ＋y>－2，所以λ的最大值为－2.2. (2014·常州期末)已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥3，y ≤3，x ≤3，则z ＝5－x 2－y 2的最大值为________．答案：12解析：目标函数z ＝5－(x 2＋y 2)最大值，即求x 2＋y 2最小值．由几何意义知在可行域中找点P(x ，y)使得点P 离原点距离最小．点P 到直线l 距离为322时最短，则z max ＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝12. 3. (2014·南师附中冲刺)设实数x 、y 、b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为________．答案：94解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b对应的平面区域，可见当直线y ＝－2x ＋z 经过两条直线y ＝2x 与y ＝－x ＋b 的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3，2b 3时，直线y ＝－2x ＋z 的截距z 取最小值4b 3，所以4b 3＝3，解得b ＝94.4. (2014·无锡期末)已知变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y ≤－x ＋3，y ≥2x 则yx －2的取值范围是________．答案：[－2，0]解析：画出可行域如图，yx －2等价于点(x ，y)到点(2，0)连线的斜率；又k AB ＝－2，k BO＝0，从而yx －2∈[－2，0]．5. (2014·徐州二模)已知实数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，x ＋y≥0，x ≤1，则y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的最大值为答案：12解析：令z ＝y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，作出不等式组对应的区域，作出指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，平移函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，如图可见当函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋z 的图象经过点A 时z 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＝1，得A(1，1)，所以x ＝y ＝1时y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x取最大值12.1. (2014·浙江)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1所表示的区域，由1≤ax＋y≤4得，由图可知，a≥0，且在(1，0)点取得最小值，在(2，1)取得最大值，故a≥1，2a ＋1≤4，故a 取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.2. (2014·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为________．答案：4 解析：画出约束条件表示的可行域(如图所示)．当目标函数z ＝ax ＋by 过点A(2，1)时，z 取得最小值，即25＝2a ＋b ，所以25－2a ＝b ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a)2＝5a 2－85a ＋20，构造函数m(a)＝5a 2－85a ＋20(5>a>0)，利用二次函数求最值，函数m(a)＝5a2－85a ＋20的最小值是4×5×20－（85）24×5＝4，即a 2＋b 2的最小值为4.3. (2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k ＝________．答案：－12解析：若k≥0, z ＝y －x 没有最小值；当k<0时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，kx －y ＋2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0，故z min ＝0＋2k ＝－4，即k ＝－12.4. 制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？解：设分别向甲、乙两项目投资x 万元、y 万元，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤10，0.3x ＋0.1y≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y ，作出可行域，作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，解得x ＝4，y ＝6，此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元) ∵ 7>0，∴ 当x ＝4，y ＝6时z 取得最大值．答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．1. 确定不等式Ax ＋By ＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax ＋By ＋C ＝0的哪一侧区域，常用两种方法：一是在直线的某一侧取一特殊点；二是将不等式化为y>kx ＋b(<，≥，≤)．2. 在线性约束条件下，当b>0时，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最值的求解步骤 (1) 作出可行域；(2) 作出直线l 0：ax ＋by ＝0；(3) 平移直线l 0：ax ＋by ＝0，依可行域判断取得最值的最优解的点； (4) 解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最值． 3. 常见的非线性目标函数的几何意义(1) x 2＋y 2表示点(x ，y)与原点(0，0)的距离；(2) （x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y)与点(a ，b)的距离；(3) yx 表示点(x ，y)与原点(0，0)连线的斜率值；(4) y －b x －a表示点(x ，y)与点(a ，b)连线的斜率值．请使用课时训练(B )第2课时(见活页)．[备课札记]第3课时基本不等式(对应学生用书(文)、(理)89～90页)掌握基本不等式，能利用基本不等式推导不等式，能利用基本不等式求最大(小)值．① 了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1. (必修5P99练习4改编)若实数a、b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是________．答案：6解析：由基本不等式，得3a＋3b≥23a·3b＝23a＋b＝6，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以3a＋3b的最小值是6.2. (必修5P105复习题9改编)若f(x)＝x＋1x－2(x＜0)，则f(x) 的最大值为________．答案：－4解析：∵ x＜0，∴ f(x)＝－[(－x)＋1（－x）]－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝1－x，即x＝－1时取等号．3. (必修5P105复习题10改编)若x>－3，则x＋2x＋3的最小值为________．答案：22－3解析：∵ x＋3>0，∴ x＋2x＋3＝(x＋3)＋2x＋3－3≥2（x＋3）×2x＋3－3＝22－3.4. (必修5P107测试3改编)对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则实数a的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞解析：由xx2＋3x＋1≤a恒成立，所以a≥⎝⎛⎭⎪⎫xx2＋3x＋1max，而xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12x·1x＋3＝15，当且仅当x＝1x时等号成立，∴ a≥15.5. (必修5P106复习题10改编)已知a>0，b>0，若不等式2a＋1b≥m2a＋b恒成立，则m的最大值等于________．答案：9解析：原不等式恒成立等价于m≤⎝⎛⎭⎪⎫2a＋1b(2a＋b)的最小值，而⎝⎛⎭⎪⎫2a＋1b(2a＋b)＝5＋2ba＋2ab≥5＋22ba·2ab＝9，所以m≤9，即m的最大值为9.1. 算术平均数与几何平均数对于正数a、b，我们把a＋b2称为a、b的算术平均数，ab a、b的几何平均数．2. 基本不等式ab≤a＋b2(1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0；(2) 等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号；(3) 结论：两个非负数a，b的算术平均数不小于其几何平均数．3. 拓展：若a＞0，b＞0，21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22，当且仅当a＝b时等号成立．[备课札记]题型1 利用基本不等式证明不等式例1 已知x>0，y>0，求证：1x ＋1y ≥4x ＋y.证明：(证法1)作差法．(证法2)等价于(x ＋y)2≥4xy. 变式训练(1) 若a>b>c ，求证：1a －b ＋1b －c ≥4a －c ；(2) 若a>b>c ，求使得1a －b ＋1b －c ≥ka －c恒成立的k 的最大值．提示：(1) 令a －b ＝x ，b －c ＝y 后同例1 (2) 4 题型2 利用基本不等式求最值例2 过点(1，2)的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，当OA ＋OB 最小时，求直线l 的方程．解：(解法1)设点A(a ，0)，B(0，b)(a ，b>0)，则直线l 的方程为x a ＋yb＝1.由题意知，点(1，2)在此直线上，所以1a ＋2b ＝1.OA ＋OB ＝a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝1＋2＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ×2a b ＝3＋2 2.当且仅当b a ＝2a b 时取“＝”. 又1a ＋2b＝1，解得a ＝2＋1，b ＝2＋ 2. 因此，当OA ＋OB 最小时，直线l 的方程为x 2＋1＋y2＋2＝1，即2x ＋y －2－2＝0.(解法2)直线l 过点(1，2)且斜率存在，设其方程为y －2＝k(x －1). 令y ＝0得x ＝1－2k ；令x ＝0得y ＝2－k ，故得点A ，B 坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k ，0，B(0，2－k). 因A ，B 分别在x ，y 轴正半轴上，故⎩⎪⎨⎪⎧1－2k >0，2－k>0，解得k<0.OA ＋OB ＝1－2k ＋2－k≥3＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ×（－k ）.当且仅当－2k ＝－k 时取“＝”. 由于k<0解得k ＝－2，所以直线l 的方程为2x ＋y －2－2＝0.备选变式（教师专享）正数x ，y 满足1x ＋9y＝1.(1) 求xy 的最小值； (2) 求x ＋2y 的最小值．解：(1) 由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y 得xy≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2) 由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋22y x ·9x y ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9x y，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.题型3 利用基本不等式解应用题例3 (2014·苏北三市期末)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30 m ，其中大圆弧所在圆的半径为10 m ．设小圆弧所在圆的半径为x m ，圆心角为θ(弧度)．(1) 求θ关于x 的函数关系式；(2) 已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？解：(1) 设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝10＋2x10＋x.(2) 花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x)(10－x)＝－x 2＋5x ＋50(0<x<10)．装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x ，所以花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2－5x －5010（17＋x ）.令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎪⎫t ＋324t ≤310，当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211.答：当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．备选变式（教师专享）如图，在C 城周边已有两条公路l 1，l 2在点O 处交汇，且它们的夹角为90°.已知OC ＝4 km ，OC 与公路l 1夹角为60°.现规划在公路l 1，l 2上分别选择A ，B 两处作为交汇点(异于点O)直接修建一条公路通过C 城，设OA ＝x km ，OB ＝y km.(1) 求出y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2) 试确定点A ，B 的位置，使△AOB 的面积最小．解：(1) ∵ S △AOC ＋S △BOC ＝S △AOB ， ∴ 12x·4sin60°＋12y ·4sin30°＝12xy ，整理得y ＝23x x －2，过C 作OB 平行线与OA 交于D ，OA>OD ，故x>2.定义域为{x|x>2}．(2) S △AOB ＝12xy ＝3x2x －2，(x>2)，S △AOB ＝3x 2x －2＝3（x －2）2＋4（x －2）＋4x －2＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋4x －2＋4. ∵ x －2>0，∴ x －2＋4x －2≥4，当且仅当()x －22＝4即x ＝4时取等号．所以当x ＝4时，S △AOB 有最小值为8 3.答：当OA ＝4 km ，OB ＝4 3 km 时，使△AOB 的面积最小．1. (2014·苏锡常镇一模)已知正数x 、y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy的最小值为________．答案：9解析：x ＋8y xy ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x (x ＋2y)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋8＋x y ＋y x ·16≥12(10＋216)＝12×18＝9，当且仅当x y ＝4，x ＋2y ＝2，即y ＝13，x ＝43时“＝”成立．2. (2014·苏州期末)已知正实数x 、y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．答案：26－3解析：由xy ＋2x ＋y ＝4，解得y ＝4－2x x ＋1，则x ＋y ＝x －2＋6x ＋1＝(x ＋1)＋6x ＋1－3≥26－3，当且仅当x ＋1＝6时“＝”成立．3. (2014·镇江期末)已知x>0，y>0，若不等式x 3＋y 3≥kxy(x ＋y)恒成立，则实数k 的最大值为________．答案：1解析：由题设知k≤（x ＋y ）（x 2－xy ＋y 2）（x ＋y ）（xy ），∴ k ≤x 2－xy ＋y 2xy ＝x y ＋y x－1恒成立．∵ x y ＋yx－1≥2－1＝1，当且仅当x ＝y 时“＝”成立，从而k≤1，即k 的最大值为1. 4. (2014·南通一模)设实数a 、b 、c 满足a 2＋b 2≤c ≤1，则a ＋b ＋c 的最小值为________．答案：－12解析：由题意知a ＋b ＋c≥a＋b ＋a 2＋b 2，∵ a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，∴ a 2＋b 2≥（a ＋b ）22，从而a ＋b ＋c≥（a ＋b ）22＋(a ＋b)＝12(a ＋b ＋1)2－12≥－12，“＝”当且仅当c ＝a 2＋b 2，a ＝b ，a ＋b ＝－1即a ＝b ＝－12，c ＝12时成立．5. (2014·江苏)若△ABC 的内角满足sinA ＋2sinB ＝2sinC ，则cosC 的最小值是________．答案：6－24解析：由已知sinA ＋2sinB ＝2sinC 及正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，cosC ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab ＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立，所以cosC 的最小值为6－24.1. 设a>0，b>0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b≥0恒成立，则实数k 的最小值为________．答案：－4解析：由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0得k≥－（a ＋b ）2ab ，而（a ＋b ）2ab ＝b a ＋ab＋2≥4(a＝b 时取等号)，所以－（a ＋b ）2ab ≤－4，因此要使k≥－（a ＋b ）2ab恒成立，应有k≥－4，即k 的最小值等于－4.2. 已知x>0，y>0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案： (－4，2)解析：由x>0，y>0，且2x ＋1y ＝1，得x ＋2y ＝(x ＋2y)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8.当且仅当4y x ＝x y 时，即x ＝2y 时取等号．又2x ＋1y ＝1，此时x ＝4，y ＝2，所以(x ＋2y)min＝8.要使x ＋2y>m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y)min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4<m<2.3. (2014·镇江期末)过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只．(1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润＝月销售总收入－月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x≥9)元，并投入265(x －9)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2（x －8）2万只．则当每只售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．解：(1) 设每只售价为x 元，则月销售量为⎝ ⎛⎭⎪⎫5－x －80.5×0.2万只，由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫5－x －80.5×0.2(x －6)≥(8－6)×5，∴ 25x 2－535x ＋2965≤0，即2x 2－53x ＋296≤0，解得8≤x ≤372，即每只售价最多为18.5元． (2) 下月的月总利润y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－x －80.5×0.2（x －8）2(x －6)－265(x －9)＝2.4－0.4x x －8－15x ＋234－1505＝－0.4（x －8）－0.8x －8－15x ＋845＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45（x －8）＋x －85＋745.∵ x ≥9，∴ 45（x －8）＋x －85≥2425＝45，当且仅当45（x －8）＝x －85，即x ＝10，y max ＝14.答：当x ＝10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元． 4. 某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD ＝60 m ，AB ＝40 m ，且△EFG 中，∠EGF ＝90°，经测量得到AE ＝10 m ，EF ＝20 m ．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G 作一直线交AB ，DF 于M ，N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设DN ＝x(m)．(1) 将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；(2) 当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．解：(1) 作GH⊥EF，垂足为H ，因为DN ＝x ，所以NH ＝40－x ，NA ＝60－x.因为NH HG ＝NAAM，所以40－x 10＝60－x AM，所以AM ＝600－10x40－x.过M 作MT∥BC 交CD 于T ，则S MBCDN ＝S MBCT ＋S MTDN ＝(40－AM)×60＋12(x ＋60)×AM ，所以y ＝⎝⎛⎭⎪⎫40－600－10x 40－x ×60＋12×（x ＋60）（600－10x ）40－x ＝2 400－5()60－x 240－x.由于N 与F 重合时，AM ＝AF ＝30适合条件，故x∈(]0，30.(2) y ＝2 400－5()60－x 240－x ＝2 400－5[(40－x)＋40040－x＋40]．所以当且仅当40－x ＝40040－x，即x ＝20∈(]0，30时，y 取得最大值2 000.答：当DN ＝20 m 时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2 000 m 2.5. 设正项等差数列{a n }的前2 011项和等于2 011，则1a 2＋1a 2 010的最小值为________．答案：2解析：由题意得S 2 011＝2 011（a 1＋a 2 011）2＝2 011，∴ a 1＋a 2 011＝2.又a 2＋a 2 010＝a 1＋a 2 011＝2，∴ 1a 2＋1a 2 010＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 2 010(a 2＋a 2 010)＝12(a 2 010a 2＋a 2a 2 010)＋1≥2.1. a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，而a ＋b 2≥ab 成立的条件是a≥0，b ≥0，使用时要注意公式成立的前提条件．2. 在运用基本不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“一正”(即条件中字母为正数)，“二定”(不等式的另一边必须为定值)，“三相等”(等号取得的条件)．3. 正确理解定理：“和一定，相等时积最大；积一定，相等时和最小”．4. 连续使用公式两次或以上，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．5. 函数y ＝ax ＋bx(a>0，b>0)的单调性要掌握，特别是运用基本不等式不能满足“三相等”时．请使用课时训练(A )第3课时(见活页)．[备课札记]。

高考数学(文)一轮复习 6-4基本不等式

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又 a>0，b>0，a≠b，ab＝1，因此 a＋b>2 ab＝2，即 a ＋b 的取值范围是(2，＋∞)．
解法二：由题意，关于 x，y 的方程组ax＋x＋byy＝＝11，无解，则直线 ax＋y＝1 与 x＋by＝1 平行且不重合，从而可得 ab＝ 1，且 b≠1.
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高考一轮总复习 ·数学（文）
证法二：1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b. 由(1)知，1a＋1b＋a1b≥8，故1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b≥9.
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触类旁通利用基本不等式证明不等式的技巧
利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有 1 时，要注意 1 的代换．另外，解题中要时刻注意等号能否取到．
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第6章不等式、推理与证明第4讲基本不等式
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高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关第六章不等式学案

—————————— 新学期新成绩新目标新方向 ——————————第六章不等式第1课时一元二次不等式及其解法1. (必修5P 77练习2(2)改编)不等式3x 2－x －4≤0的解集是__________.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－1≤x≤43 解析：由3x 2－x －4≤0，得(3x －4)(x ＋1)≤0，解得－1≤x ≤43.2. (必修5P 75例1(1)改编)不等式2x 2－x －1>0的解集是________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<－12或x>1解析：∵ 2x 2－x －1>0，∴ (2x ＋1)(x －1)>0，∴ x>1或x<－12.3. (必修5P 77练习3(1)改编)不等式－x 2－2x ＋3>0的解集为__________．答案：{x|－3<x<1}解析：原不等式可化为x 2＋2x －3<0，得－3<x<1.4. (必修5P 80习题8(2)改编)已知不等式x 2－2x ＋k 2－3>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案：k>2或k<－2解析：由Δ＝4－4(k 2－3)<0，解得k>2或k<－2.5. 已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．答案：{x|2<x<3}解析：由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解得2<x<3.1. 一元二次不等式的解法在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，令y＝0，得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．若将等号“＝”改为不等号“＞”或“＜”，便得到一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或＜0)．因此，可以通过y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与x轴的交点求得一元二次不等式的解，具体如表所示：2. 用一个流程图来描述求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的算法过程1 一元二次不等式的解法1 解关于x 的不等式：ax 2＋(a －2)x －2≥0. 解：① 当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x≤－1.② 当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x≥2a 或x≤－1. ③ 当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x≤2a ；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1；当2a ＜－1，即a ＞－2时，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≥2a 或x≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2a ≤x≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{x|x ＝－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－1≤x≤2a . 变式训练解关于x 的不等式：ax 2－ax ＋1＜0.解：当0≤a≤4时，解集为；当a ＞4时，a －a 2－4a 2a ＜x ＜a ＋a 2－4a2a ；当a ＜0时，x ＜a －a 2－4a 2a 或x>a ＋a 2－4a2a., 2 一元二次不等式的恒成立问题), 2) 设函数f(x)＝mx 2－mx －1.(1) 若对于一切实数x ，f(x)<0恒成立，求m 的取值范围； (2) 若对于x∈[1，3]，f(x)<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：(1) 要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m<0，Δ＝m 2＋4m<0，解得－4<m<0，综上，－4<m≤0.(2) 要使f(x)<－m ＋5在x∈[1，3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x∈[1，3]上恒成立． (解法1)令g(x)＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]．当m>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max ＝g(3)⇒7m －6<0，所以m<67，所以0<m<67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max ＝g(1)⇒m －6<0，所以m<6，所以m<0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. (解法2)因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，m(x 2－x ＋1)－6<0，所以m<6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m<67即可，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 变式训练已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋3.(1) 当x∈R 时，f (x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(2) 当x∈[－2，2]时，f (x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 当x∈R 时，f (x)≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a≥0对任意实数x 恒成立，则Δ＝a 2－4(3－a)≤0，解得－6≤a ≤2，∴ 实数a 的取值范围是[－6，2]．(2) 当x∈[－2，2]时，f (x)≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0对任意x∈[－2，2]恒成立，令g(x)＝x 2＋ax ＋3－a ，∴ Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a 2＜－2，g （－2）≥0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，－a2＞2，g （2）≥0，解得－7≤a≤2.∴ 实数a 的取值范围是[－7，2]．, 3 三个二次之间的关系), 3) (1) 已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为{x|m<x<m ＋6}，则实数c 的值为__________；(2) 已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax.若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a 的取值范围是_________．答案：(1) 9 (2) {a|a>－3}解析：(1) 由题意知f(x)＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵ f(x)的值域为[0，＋∞)，∴ b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴ f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22. ∵ f(x)<c ，∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c<x<－a2＋ c.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－a2－c ＝m ①，－a2＋c ＝m ＋6 ②.②－①，得2c ＝6，∴ c ＝9.(2) ∵ x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，即x 2＋2x ＋a>0恒成立，即当x≥1时，a>－(x 2＋2x)＝g(x)恒成立．而g(x)＝－(x 2＋2x)＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴ g(x)max ＝g(1)＝－3，故a>－3. ∴ 实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．备选变式（教师专享）已知x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12<x<13，则不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为________．答案： {x|－2＜x ＜3}解析：∵ x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12<x<13，∴ －12，13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.∴ 不等式qx 2＋px ＋1＞0可化为－16x 2＋16x ＋1>0，即x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3，∴ 不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x|－2＜x ＜3}．, 4 一元二次不等式的应用), 4) 一个服装厂生产风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x(元)．(1) 该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？(2) 当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？解：(1) 由题意知，月利润y ＝px －R ，即y ＝(160－2x)x －(500＋30x)＝－2x 2＋130x －500.由月利润不少于 1 300元，得－2x 2＋130x －500≥1 300，即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x≤45，故该厂月产量在20～45件时，月利润不少于1 300元．(2) 由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －6522＋3 2252，由题意知，x 为正整数，故当x ＝32或33时，y 最大为1 612，所以当月产量为32或33件时，可获得最大利润，最大利润为1 612元．备选变式（教师专享）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，总成本为G(x)(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R(x)(万元)满足：R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8，0≤x ≤5，10.2，x>5，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律求下列问题． (1) 要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2) 工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？解：依题意，G(x)＝x ＋2，设利润函数为f(x)，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ，x>5.(1) 要使工厂有赢利，即解不等式f(x)>0，当0≤x≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>0，即x 2－8x ＋7<0，得1<x<7，∴ 1<x ≤5.当x>5时，解不等式8.2－x>0，得 x<8.2，∴ 5<x<8.2.综上所述，要使工厂赢利，x 应满足1<x<8.2，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内．(2) 当0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x －4)2＋3.6，故当x ＝4时，f(x)有最大值3.6；而当x>5时，f(x)<8.2－5＝3.2，所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．1. (2017·苏州期中)函数y ＝1－xx ＋2的定义域为________．答案：(－2，1]解析：由1－xx ＋2≥0⇒－2<x≤1，得函数的定义域为(－2，1]．2. (2017·苏锡常镇一模)已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，M ＝{x|x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z }，则∁U M ＝________．答案：{6，7}解析：M ＝{x|1≤x≤5，x ∈Z }＝{1，2，3，4，5}，而U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，则∁U M ＝{6，7}．3. 函数f(x)＝lg （5－x 2）的定义域是________．答案：[－2，2]解析：因为lg(5－x 2)≥0，所以5－x 2≥1，x 2≤4，则－2≤x ≤2.4. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x<0，则不等式f(f(x))≤3的解集为________．答案：{x|x≤3}解析：当x≥0时，f(f(x))＝f(－x 2)＝(－x 2)2－2x 2≤3，即(x 2－3)(x 2＋1)≤0，解得0≤x≤3；当－2＜x ＜0时，f(f(x))＝f(x 2＋2x)＝(x 2＋2x)2＋2(x 2＋2x)≤3，即(x 2＋2x －1)(x 2＋2x ＋3)≤0，即－2＜x ＜0；当x≤－2时，f(f(x))＝f(x 2＋2x)＝－(x 2＋2x)2≤3，解得x≤－2.综上，不等式的解集为{x|x≤3}．1. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f(3－a 2)＜f(2a)，则实数a 的取值范围是________．答案：(－3，1)解析：如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R 上单调递减．∵ f(3－a 2)＜f(2a)，∴ 3－a 2＞2a ，解得－3＜a ＜1.2. 定义在R 上的运算：x*y ＝x(1－y)，若不等式(x －y)*(x ＋y)＜1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析：∵ (x－y)*(x ＋y)＝(x －y)(1－x －y)＝x －x 2－y ＋y 2＜1，∴ －y ＋y 2＜x 2－x ＋1，要使该不等式对一切实数x 恒成立，则需有－y ＋y 2＜(x 2－x ＋1)min ＝34，解得－12＜y ＜32.3. 已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－4x ，那么不等式f(x ＋2)<5的解集是________．答案：{x|－7<x<3}解析：令x<0，则－x>0，∵ x≥0时，f(x)＝x 2－4x ，∴ f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x 2＋4x.又f(x)为偶函数，∴ f(－x)＝f(x)，∴ x<0时，f(x)＝x 2＋4x ，故有f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f(x)<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x 2－4x<5，得0≤x＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x<0，x 2＋4x<5，得－5<x<0，即f(x)<5的解集为(－5，5)．由于f(x)向左平移两个单位即得f(x ＋2)，故f(x ＋2)<5的解集为{x|－7<x<3}．4. 已知函数f(x)＝x 3＋3ax －1，g(x)＝f′(x)－ax －5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a 的值，都有g(x)<0，则实数x 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 解析：由题意，知g(x)＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a)＝(3－x)a ＋3x 2－5，－1≤a≤1.对－1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）<0，φ（－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x<1.1. 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c>0，ax 2＋bx ＋c<0的解就是使二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值大于0或小于0时x 的范围，应充分和二次函数图象结合去理解一元二次不等式的解集．2. 解含参数的不等式(x －a)(x －b)>0，应先讨论a 与b 的大小再确定不等式的解，解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程的根的情况)，三写(写出不等式的解集)．3. 应注意讨论ax 2＋bx ＋c>0的二次项系数a 是否为0. 4. 要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想．分类讨论要做到“不重”“不漏”“最简”的三原则．[备课札记]第2课时二元一次不等式(组)与简单的线性规划(对应学生用书(文)、(理)95～96页)1. (必修5P 84练习3改编)点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是________．答案：－7＜a ＜24解析：点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，说明将这两点坐标代入3x －2y ＋a 后，符号相反，所以(9－2＋a)(－12－12＋a)＜0，解得－7＜a ＜24.2. (必修5P 86练习2(1)改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0，x ＋y≥0，x ≤3所表示的平面区域的面积是________．答案：25解析：直线x －y ＋4＝0与直线x ＋y ＝0的交点为A(－2，2)，直线x －y ＋4＝0与直线x ＝3的交点为B(3，7)，直线x ＋y ＝0与直线x ＝3的交点为C(3，－3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A(－2，2)，B(3，7)，C(3，－3)为顶点的三角形，所以其面积为S △ABC＝12×5×10＝25. 3. 设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y ≥0，x ＋y≤3，2x ＋y≤4，则z ＝3x ＋2y 的最大值是________．答案：7解析：由题设可知可行域的四个顶点坐标分别为(0，0)，(2，0)，(0，3)，(1，2)．因此(3x ＋2y)max ＝3×1＋2×2＝7.4. (必修5P 89练习2改编)设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y≥x，x ＋2y≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为________．答案：－8解析：画出可行域与目标函数线，如图可知，目标函数在点(－2，2)处取最小值－8.5. 已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥0，y ≤x ，x ＋y －4≤0，则z ＝2x －y 的最大值为________．答案：8解析：画出可行域，如图中阴影部分所示．由图可知z ＝2x －y 在点A(4，0)处取最大值，即z max ＝8.1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1) 二元一次不等式表示的平面区域一般地，直线y ＝kx ＋b 把平面分成两个区域， y>kx ＋b 表示直线y ＝kx ＋b 上方的平面区域， y<kx ＋b 表示直线y ＝kx ＋b 下方的平面区域． (2) 选点法确定二元一次不等式表示的平面区域 ① 任选一个不在直线上的点；② 检验它的坐标是否满足所给的不等式；③ 若满足，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的平面区域，否则，直线的另一侧区域为不等式所表示的平面区域．(3) 二元一次不等式组表示的平面区域不等式组中各个不等式表示平面区域的公共区域． 2. 线性规划中的基本概念名称定义约束条件变量x ，y 满足的一次不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的线性函数可行域约束条件所表示的平面区域称为可行域最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题, 1 二元一次不等式表示的平面区域), 1) 在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤x＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为________．答案：1解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤x＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B(t ，t ＋1)．在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C(0，1)．由平面区域的面积S ＝（1＋t ＋1）×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)．变式训练若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m ＝________．答案：1解析：如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，m ＞－1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A(1－m ，1＋m)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－43m ，23＋23m .所围成的区域为△ABC，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m)(1＋m)－12(2＋2m)·23(1＋m)＝13(1＋m)2＝43，解得m ＝－3(舍去)或m ＝1., 2 线性规划问题), 2) (1) 设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________；(2) 变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝________．答案：(1) 7 (2) 1解析：(1) 作出可行域如图所示，目标函数z ＝2x ＋3y 的几何意义是直线y ＝－23x ＋z3在y 轴上的截距为z 3，因此z 的最小值也就是直线截距的最小值，平移直线y ＝－23x ，经过点B(2，1)时，z min ＝2×2＋3×1＝7.(2) 如图所示，目标函数z ＝2x －y 取最大值2，即y ＝2x －2时，画出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥0，x －2y ＋2≥0表示的区域，由于mx －y ≤0过定点(0，0)，要使z ＝2x －y 取最大值2，则目标函数必过两直线x －2y ＋2＝0与y ＝2x －2的交点A(2，2)，因此直线mx －y ＝0过点A(2，2)，故有2m －2＝0，解得m ＝1.变式训练已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＞0，y ≤2.(1) 若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2) 若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x>0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1) z＝yx 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B(1，2)，∴ k OB＝21＝2，即z min ＝2，∴ z 的取值范围是[2，＋∞)． (2) z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的值最小为OA 2(取不到)，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A(0，1)，∴ OA 2＝02＋12＝1，OB 2＝12＋22＝5. ∴ z max ＝5，z 无最小值． ∴ z 的取值范围是(1，5]．, 3 线性规划的实际应用), 3) 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨，生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，求该企业可获得的最大利润．解：设甲、乙两种产品分别需生产x ，y 吨，利润为z 万元，则z ＝5x ＋3y.由题意可得，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y≤13，2x ＋3y≤18，x ≥0，y ≥0.作出可行域如图所示．由图可知当z ＝5x ＋3y 经过可行域中的点(3，4)时，直线z ＝5x ＋3y 在y 轴上的截距最大，故该企业可获得的最大利润z max ＝5×3＋3×4＝27(万元)．1. (2017·课标Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．答案：－15解析：目标函数即y ＝－2x ＋z ，其中z 表示斜率为k ＝－2的直线系与可行域有交点时直线的截距值，数形结合可得目标函数在点B(－6，－3)处取得最小值z ＝－12－3＝－15.2. (2017·南京、盐城)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＋y≤7，x ＋2≤2y，则yx的最小值是________．答案：34解析：yx表示可行域内的点与原点连线的斜率，作出可行域，发现可行域内的点(4，3)为最优解，代入可得y x 的最小值是34.3. (2017·课标Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤1，2x ＋y≥－1，x －y≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．答案：－5解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，易求得A(－1，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－13，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2在y 轴上的截距越大，z 就越小，所以当直线z ＝3x －2y 过点A 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为3×(－1)－2×1＝－5.4. (2017·无锡期末)设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x －y≤0，x ＋y≤4表示的平面区域为M.若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是________．答案：[2，5]解析：由约束条件作出可行域，如图阴影部分所示．因为函数y ＝kx －2的图象是过点A(0，－2)，且斜率为k 的直线l ，由图知，当直线l 过点B(1，3)时，k 取最大值5，当直线l 过点C(2，2)时，k 取最小值2，故实数k 的取值范围是[2，5]．1. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≤x－1，x ≤3，x ＋y≥4，则z ＝2x －y 的最大值是________．答案：5解析：作出可行域如图阴影部分所示，发现当直线z ＝2x －y 过点C(3，1)时，目标函数z 取最大值，且最大值为5.2. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，y －x －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________．答案：8解析：由约束条件作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点分别为(0，1)，(1，0)，(1，2)，由图可得，目标函数过点(1，2)时，z 取最大值，故z ＝2x ＋3y 的最大值为8.3. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤0，x ＋y －5≥0，y －4≤0.若不等式4x 2＋y 2－axy≤0恒成立，则实数a 的最小值为________．答案：5解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≤0，x ＋y －5≥0，y －4≤0，得2≤y x ≤4.由已知得a≥y x ＋4xy，则实数a 的最小值为5.4. 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤0，2y －x ＋1≥0，x ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y)使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.答案：1解析：作出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意；若m≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋zm.若m<0，则－1m>0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m>0，则－1m<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y)在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m＝－1，则m ＝1.综上可知，m ＝1.1. 确定不等式Ax ＋By ＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax ＋By ＋C ＝0的哪一侧区域，常用两种方法：一是在直线的某一侧取一特殊点；二是将不等式化为y>kx ＋b(<，≥，≤)．2. 在线性约束条件下，当b>0时，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最值的步骤： (1) 作出可行域；(2) 作出直线l 0：ax ＋by ＝0；(3) 平移直线l 0：ax ＋by ＝0，依可行域判断取得最值的最优解的点； (4) 解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最值． 3. 常见的非线性目标函数的几何意义：(1) x 2＋y 2表示点(x ，y)与原点(0，0)的距离；(2) （x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y)与点(a ，b)的距离；(3) yx 表示点(x ，y)与原点(0，0)连线的斜率值；(4) y －b x －a 表示点(x ，y)与点(a ，b)连线的斜率值．[备课札记]第3课时基本不等式(对应学生用书(文)、(理)97～98页)1. (必修5P 99练习4改编)若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b的最小值是________．答案：6解析：由基本不等式，得3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b＝6，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以3a ＋3b的最小值是6.2. (必修5P 105复习题9改编)若f(x)＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f(x)的最大值为________．答案：－4解析：∵ x＜0，∴ f(x)＝－[(－x)＋1（－x ）]－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．3. (必修5P 105复习题10改编)若x>－3，则x ＋2x ＋3的最小值为________．答案：22－3解析：∵ x＋3>0，∴ x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3≥2（x ＋3）×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＋3＝2x ＋3，即x ＝－3＋2时取等号．4. (原创)若对任意x>0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 解析：因为x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以a≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max .又x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，所以a≥15. 5. (原创)已知a>0，b>0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b恒成立，则m 的最大值为________．答案：9解析：原不等式恒成立等价于m≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b （2a ＋b ）min ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (2a ＋b)＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ·2ab＝9，当且仅当a ＝b 时等号成立．所以m ≤9，即m 的最大值为9.1. 算术平均数与几何平均数对于正数a ，b ，我们把a ＋b2称为a ，b a ，b 的几何平均数．2. 基本不等式ab ≤a ＋b2(1) 基本不等式成立的条件：a≥0，b ≥0；(2) 等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号；(3) 结论：两个非负数a ，b 的算术平均数不小于其几何平均数． 3. 几个重要的不等式(1) 重要不等式：a 2＋b 2≥2ab(a ，b ∈R )．当且仅当a ＝b 时取等号．(2) ab≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3) a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．[备课札记], 1 通过配凑法利用基本不等式求最值), 1) (1) 已知x<54，则f(x)＝4x －2＋14x －5的最大值为________；(2) 若函数f(x)＝x ＋1x －2(x>2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________．答案：(1) 1 (2) 3解析：(1) 因为x<54，所以5－4x>0，则f(x)＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时等号成立．故f(x)＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(2) 因为x>2，所以x －2>0，则f(x)＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．所以当f(x)取最小值时，x ＝3，即a ＝3. 变式训练若－4＜x ＜1，求x 2－2x ＋22x －2的最大值．解：x 2－2x ＋22x －2＝12·（x －1）2＋1x －1＝12[(x －1)＋1x －1]＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－（x －1）＋1－（x －1）.∵ －4＜x ＜1，∴ －(x －1)＞0，1－（x －1）＞0.从而⎣⎢⎡⎦⎥⎤－（x －1）＋1－（x －1）≥2，－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－（x －1）＋1－（x －1）≤－1，当且仅当－(x －1)＝1－（x －1），即x ＝0时取等号．即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋22x －2max＝－1.备选变式（教师专享）正数x ，y 满足1x ＋9y＝1.(1) 求xy 的最小值； (2) 求x ＋2y 的最小值．解：(1) 由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y 得xy≥36，当且仅当1x ＝9y，即x ＝2，y ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2) 由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋22y x ·9x y ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9x y，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2., 2 通过常数代换法或消元法利用基本不等式求最值), 2) (1) 已知x>0，y>0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y的最小值为________；(2) 已知x>0，y>0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案：(1) 18 (2) 6 解析：(1) (常数代换法)∵ x>0，y>0且x ＋y ＝1，∴ 8x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y)＝10＋8y x ＋2x y ≥10＋28y x ·2xy＝18.当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y 时等号成立，∴ 当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y有最小值18.(2) 由已知得x ＝9－3y1＋y.(解法1：消元法)∵ x>0，y>0，∴ y<3，∴ x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y ＋(3y ＋3)－6≥2121＋y·（3y ＋3）－6＝6，当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y)min ＝6.(解法2)∵ x>0，y>0，∴ 9－(x ＋3y)＝xy ＝13x ·(3y)≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t>0，则t 2＋12t －108≥0， ∴ (t －6)(t ＋18)≥0. 又t>0，∴ t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y)min ＝6.变式训练(1) 已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________； (2) 若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．答案：(1) 26－3 (2) 18解析：(1) 由xy ＋2x ＋y ＝4，解得y ＝4－2x x ＋1，则x ＋y ＝x －2＋6x ＋1＝(x ＋1)＋6x ＋1－3≥26－3，当且仅当x ＝6－1时等号成立．(2) 由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴ 2y ＋8x＝1，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y ≥10＋2×24y x ·x y ＝18，当且仅当4y x ＝xy，即x ＝2y 时取等号．又2x ＋8y －xy ＝0，∴ x ＝12，y ＝6，即当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18., 3 基本不等式与函数的综合应用), 3) 已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a∈R )，若对于任意x∈N *，f (x)≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ 解析：对任意x∈N *，f (x)≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，可得a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g(x)＝x ＋8x，x ∈N *.∵ g(x)在(0，22]上单调递减，在[22，＋∞)上单调递增，而x∈N *，∴ g(x)在x 取距离22较近的整数值时达到最小，而距离22较近的整数为2和3，且g(2)＝6，g(3)＝173. ∵ g(2)>g(3)，∴ g(x)min ＝173.∴ －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴ a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞. 变式训练要制作一个如图的框架(单位：m)，要求所围成的总面积为19.5 m 2，其中四边形ABCD是一个矩形，四边形EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h ＝12AB ，tan ∠FED ＝34，设AB ＝x m ，BC＝y m.(1) 求y 关于x 的函数解析式；(2) 怎样设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？解：(1) 如图，作DH⊥EF 于点H.依题意，DH ＝12AB ＝12x ，EH ＝DH tan ∠FED ＝43×12x ＝23x ，∴ 392＝xy ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋43x 12x ＝xy ＋56x 2，∴ y ＝392x －56x.∵ x ＞0，y ＞0， ∴ 392x －56x ＞0，解得0＜x ＜3655， ∴ 所求解析式为y ＝392x －56x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜3655.(2) 在Rt △DEH 中，∵ tan ∠FED ＝34，∴ sin ∠FED ＝35，∴ DE ＝DH sin ∠FED ＝12x ×53＝56x ，设框架的周长为l m.则l ＝(2x ＋2y)＋2×56x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×23x ＋x ＝2y ＋6x ＝39x －53x ＋6x＝39x ＋133x ≥2 39x ×13x 3＝26. 当且仅当39x ＝133x ，即x ＝3时取等号，此时y ＝392x －56x ＝4，∴ AB ＝3 m ，BC ＝4 m 时，能使整个框架所用材料最少．, 4 基本不等式的实际应用), 4) 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成的．按设计要求扇环面的周长为30 m ，其中大圆弧所在圆的半径为10 m ．设小圆弧所在圆的半径为x m ，圆心角为θ(弧度)．(1) 求θ关于x 的函数解析式；(2) 已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数解析式，并求出x 为何值时，y 取得最大值．解：(1) 由题意可得，30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝10＋2x10＋x(0＜x ＜10)．(2) 花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x)(10－x)＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10)．装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x ，所以花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2－5x －5010（17＋x ）.令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎪⎫t ＋324t ≤310，当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211.所以当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．备选变式（教师专享）去年冬季，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只．(1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润＝月销售总收入－月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x≥9)元，并投入265(x －9)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2（x －8）2万只．则当每只售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．解：(1) 设每只售价为x 元(x>8)，则月销售量为⎝ ⎛⎭⎪⎫5－x －80.5×0.2万只，由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫5－x －80.5×0.2(x －6)≥(8－6)×5，∴ 25x 2－535x ＋2965≤0，即2x 2－53x ＋296≤0，解得8≤x≤372，即每只售价最多为18.5元．(2) 下月的月总利润y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－x －80.5×0.2（x －8）2(x －6)－265(x －9)＝2.4－0.4x x －8－15x ＋234－1505＝－0.4（x －8）－0.8x －8－15x ＋845＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45（x －8）＋x －85＋745.∵ x ≥9，∴45（x －8）＋x －85≥2425＝45，当且仅当45（x －8）＝x －85，即x ＝10时取等号，y max ＝14.答：当x ＝10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．1. (2017·苏北四市模拟)若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值是________．答案：8解析：由已知得x ＝3y ＋3，而0＜x ＜12，所以y ＞3.则3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥8，当且仅当y ＝4，x ＝37时等号成立．即⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1y －3min＝8.2. (2017·苏州期末)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________．答案：94解析：由x ＋y ＝1，得x ＋2＋y ＋1＝4，4x ＋2＋1y ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1(x ＋2＋y ＋1)＝14[4＋1＋4（y ＋1）x ＋2＋x ＋2y ＋1]≥14(5＋4)＝94，当且仅当4（y ＋1）x ＋2＝x ＋2y ＋1，即x ＝23，y ＝13时取等号．即⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1min ＝94. 3. (2017·泰州、南通模拟)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则y x ＋4y的最小值是________．答案：8解析：y x ＋4y ＝1－x x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y)－1＝y x ＋4x y ＋4≥8.当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝13，y ＝23时取等号． 4. (2017·苏锡常镇二模)已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，则a 24－2a ＋b 2－1b的最小值为________．答案：7解析：∵ a，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，即a ＋2b ＝ab ，∴ 2a ＋1b＝1.则a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1. a 2＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ＝2b a ＋a2b＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号． ∴ a 24＋b 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22≥8，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴ a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1≥7.5. (2016·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin Bsin C ，则tan Atan Btan C 的最小值是__________．答案：8解析：(解法1)∵ sin A ＝2sin Bsin C ，sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ， ∴ sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bsin C ，两边同除以cos Bcos C ，可得tan B ＋tan C ＝2tan Btan C ，tan Atan Btan C ＝－tan(B ＋C)tan Btan C ＝－tan B ＋tan C1－tan Btan C·tan Btan C ＝2（tan Btan C ）2tan Btan C －1，由三角形为锐角三角形得tan B>0，tan C>0，tan A ＝tan B ＋tan Ctan Btan C －1>0，即tan Btan C－1>0.令tan Btan C －1＝t(t>0)，则tan Atan Btan C ＝2（t ＋1）2t ＝2t ＋2t＋4≥8，当且仅当t ＝1，即tan Btan C ＝2时取等号．(解法2)同解法1可得tan B ＋tan C ＝2tan Btan C ，又tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋(1－tan Btan C )·tan(B ＋C)＝tan A －tan A ＋tan Atan Btan C ＝tan A ·tan Btan C ，∴ tan Atan Btan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan Btan C ≥22tan Atan Btan C ⇒tan Atan Btan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan Btan C ＝4时取等号．, 7. 忽视最值取得的条件致误)典例 (1) 已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________；(2) 函数y ＝1－2x －3x (x ＜0)的最小值为________．易错分析：(1) 多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：∵ 1＝1x ＋2y ≥22xy，∴ xy ≥22，∴ x ＋y≥2xy ≥42，∴ (x ＋y)min ＝4 2.(2) 没有注意到x ＜0这个条件，误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.解析：(1) ∵ x＞0，y ＞0，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，∴ 当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y)min ＝3＋2 2.(2) ∵ x＜0，∴ y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ≥1＋2（－2x ）·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6. 答案：(1) 3＋2 2 (2) 1＋2 6特别提醒：(1) 利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2) 尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．1. 已知正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，则ab 的最小值为________．答案：36解析：由1a ＋9b ＝ab －5≥29ab，得ab －5ab －6≥0，解得ab ≥6，ab ≥36.2. 已知a ＋b ＝2，b ＞0，当12|a|＋|a|b取最小值时，实数a 的值是________．答案：－2解析：12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥－14＋214＝34，当且仅当a ＝－2，b ＝4时等号成立．3. (2017·南京三模)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b≤8c，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8bc的取值范围是________．答案：[27，30]解析：因为a ，b ，c 为正实数，对a ＋2b≤8c 的左右两边同除以c ，得a c ＋2b c ≤8；对2a＋3b ≤2c 的左右两边同乘c ，得2c a ＋3c b ≤2；令x ＝a c ，y ＝bc，则条件可转化为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，x ＋2y≤8，2x ＋3y ≤2，再进行化简，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，x ＋2y≤8，y ≥32＋32x －2，即求z ＝3a ＋8bc＝3x ＋8y 的取值范围，转化为线性规划的问题，画出可行域，对y ＝32＋32x －2求导，并令导函数值为－38，可得切点横坐标为3，代入曲线，计算出切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94，利用线性规划，可知z ＝3x ＋8y 分别在(2，3)和⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94处取最值，可得3a ＋8b c 的取值范围是[27，30]． 4. (2017·无锡期末)已知a>0，b>0，c>2，且a ＋b ＝2，则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________．答案：10＋ 5解析：由a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，得ac b ＋c ab －c 2＋5c －2＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋1ab －12＋5c －2＝c （2a 2＋2－ab ）2ab ＋5c －2.由2＝（a ＋b ）22，可得2a 2＋2－ab 2ab ＝2a 2＋（a ＋b ）22－ab 2ab ＝5a 2＋b24ab≥25ab 4ab ＝52，当且仅当b ＝5a 时等号成立，则原式≥52c ＋5c －2＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －2）＋1c －2＋1≥5·⎣⎢⎡⎦⎥⎤212（c －2）·1c －2＋1＝10＋ 5.当且仅当c ＝2＋2时等号成立．1. a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，而a ＋b 2≥ab 成立的条件是a≥0，b ≥0，使用时要注意公式成立的前提条件．2. 在运用基本不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中的“一正”(即条件中字母为正数)“二定”(不等式的另一边必须为定值)“三相等”(等号取得的条件)．3. 正确理解定理：“和一定，相等时积最大；积一定，相等时和最小”．4. 连续使用公式两次或以上，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．5. 掌握函数y ＝ax ＋bx(a>0，b>0)的单调性，特别是当运用基本不等式不能满足“三相等”时．[备课札记]第4课时不等式的综合应用(对应学生用书(文)、(理)99～100页)1. (必修5P 102习题7改编)函数y ＝x ＋4x(x≠0)的值域是________．答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析：当x>0时，y ＝x ＋4x ≥2x·4x ＝4；当x<0时，y ＝x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2（－x ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4. 2. (必修5P 102习题9改编)某种产品按下列三种方案两次提价．方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；方案丙：第一次提价p ＋q2%，第二次提价p ＋q 2%.其中p>q>0，上述三种方案中提价最多的是________．答案：方案丙解析：设原来价格为A ，方案甲：经两次提价后价格为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 100＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 100＋pq 10 000；方案乙：经两次提价后价格为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 100；方案丙：经两次提价后价格为A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2002＝A[1＋p ＋q 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋q 22·110 000]．因为p ＋q 2>pq ，所以方案丙提价最多．3. 设x∈R ，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|，若不等式f(x)＋f(2x)≤k 对于任意的x∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案：k≥2解析：不等式转化为k≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|2x|，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x|∈(0，1]，所以k≥2. 4. (必修5P 106复习题16改编)已知x>0，y>0且满足2x ＋8y＝1，则x ＋y 的最小值是________ .答案：18解析：∵ x>0，y>0，∴ x ＋y ＝(x ＋y)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y ＝2＋8＋2y x ＋8x y ≥10＋216＝18，当且仅当2y x ＝8x y 时等号成立．又2x ＋8y＝1，∴ 当x ＝6，y ＝12时，x ＋y 有最小值18.5. 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．答案：[9，＋∞)解析：由a>0，b>0，得a＋b≥2ab，则ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，即ab－2ab－3≥0⇒(ab－3)(ab＋1)≥0⇒ab≥3，∴ ab≥9.[备课札记], 1 含参数的不等式问题), 1) 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋（5＋2k ）x ＋5k ＜0的解集中所含整数解只有－2，求k 的取值范围．解：由x 2－x －2>0得x ＜－1或x ＞2，由2x 2＋(5＋2k)x ＋5k ＜0得(2x ＋5)(x ＋k)＜0，因为－2是原不等式组的解，所以k ＜2.由(2x ＋5)(x ＋k)＜0有－52＜x ＜－k.因为原不等式组的整数解只有－2，所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2，故k 的取值范围是[－3，2)．变式训练解关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0 (a∈R )．解：原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)＞0.① 当a ＝0时，由－(x ＋1)＞0，得x ＜－1；② 当a ＞0时，不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＞0，解得x ＜－1或x ＞1a ； ③ 当a ＜0时，不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＜0；若1a ＜－1，即－1＜a ＜0，则1a ＜x ＜－1；若1a ＝－1，即a ＝－1，则不等式解集为空集；若1a ＞－1，即a ＜－1，则－1＜x ＜1a. 综上所述，a ＜－1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－1<x<1a ；a ＝－1时，原不等式无解；－1＜a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1a <x<－1；a ＝0时，解集为{x|x ＜－1}；a ＞0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<－1或x>1a ., 2 不等式在实际问题中的应用), 2) 某辆汽车以x km/h 的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为15⎝⎛⎭⎪⎫x －k ＋4 500x L ，其中k 为常数，且60≤k≤100.(1) 若汽车以120 km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L ，欲使每小时的油耗不超过9 L ，求x 的取值范围；(2) 求该汽车行驶100 km 的油耗的最小值．解：(1) 由题意，当x ＝120时，15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k ＋4 500x ＝11.5，所以k ＝100.由15⎝⎛⎭⎪⎫x －100＋4 500x ≤9，得x 2－145x ＋4 500≤0， ∴ 45≤x ≤100.∵ 60≤x ≤120，∴ 60≤x≤100.(2) 设该汽车行驶100 km 的油耗为y L ，则y ＝100x ·15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k ＋4 500x ＝20－20k x ＋90 000x2(60≤x≤120)．令t ＝1x ，则t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1120，160， ∴ y ＝90 000t 2－20kt ＋20＝90 000⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 9 0002＋20－k 2900.对称轴为直线t ＝k 9 000.∵ 60≤k ≤100，∴ k 9 000∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1150，190.① 若k 9 000≥1120，即75≤k≤100，则当t ＝k 9 000，即x ＝9 000k 时，y min ＝20－k2900；② 若k 9 000＜1120，即60≤k＜75，则当t ＝1120，即x ＝120时，y min ＝1054－k6.答：当75≤k≤100时，该汽车行驶100 km 的油耗的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫20－k 2900L ；当60≤k＜75时，该汽车行驶100 km 的油耗的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫1054－k 6L. 备选变式（教师专享）现有一占地1 800 m 2的矩形地块，中间三个矩形设计为花圃(如图)，种植不同品种的观赏花卉，周围则均是宽为1 m 的赏花小径，设花圃占地面积为S m 2，设矩形一边的长为x(如图所示)．(1) 试将S 表示为x 的函数；(2) 问应该如何设计矩形地块的边长，使花圃占地面积S 取得最大值？解：(1) 由题知S ＝a(x －2)＋2a(x －3)＝a(3x －8)，又3a ＋3＝1 800x ，则a ＝600x－1，所以S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫600x －1(3x －8)＝1 808－3x －4 800x . (2) S ＝1 808－3x －4 800x ＝1 808－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x ≤1 808－240＝1 568(当且仅当x ＝40时取等号)，此时另一边长为45 m .答：当x ＝40 m ，另一边长为45 m 时花圃占地面积S 取得最大值1 568 m 2., 3 基本不等式的灵活运用), 3) 设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为__________．答案：16解析：由32＋x ＋32＋y＝1，得xy ＝8＋x ＋y.。

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