§15.5-6 速度变换、多普勒效应

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一遥远的河外星系以很高的速率离开地球退行而去， 例 一遥远的河外星系以很高的速率离开地球退行而去，其谱线 发生红移。 发生红移。与固有频率 ν0 相对应的波长为λ 0 = 434 nm 的谱 线，地面上观测记录的该谱线的波长λ = 600 nm。 。 此河外星系的退行速率。 求 此河外星系的退行速率。 表示本题所求的退行速率， 对应的频率， 解 以v 表示本题所求的退行速率，以ν 表示与波长λ 对应的频率， 代入纵向多普勒效应式， 则有ν0 = c/λ0 和 ν = c/λ ，代入纵向多普勒效应式，有
选飞船参考系为S'系 解：选飞船参考系为 系 地面参考系为S系 地面参考系为S系
S S′
u
υ′ x
x x′
u = 0.80c
逆 变 换
υ′ = 0.90c x
0.90c + 0.80c υx = = = 0.99c < c u 1+ 0.80× 0.90 ′ 1+ 2 υx c
υ′ + u x
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§15.6 光的多普勒效应
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例
设想一飞船以0.80 的速度在地球上空飞行， 设想一飞船以0.80c 的速度在地球上空飞行，如果这时从
飞船上沿速度方向发射一导弹，导弹相对飞船速度为0.90c 。 飞船上沿速度方向发射一导弹，导弹相对飞船速度为0.90 问：从地面上看，导弹速度为多少？ 从地面上看，导弹速度为多少？
0.80c＋ 0.90c＝1.7c ＋ ＝
经典多普勒效应： 经典多普勒效应： 对于光波， 对于光波，有 λ ν = c
u +v0 ν= ν0 u −vs
经典多普勒效应 对光是不正确的
λ 与空间有关 ν 与时间有关
在相对论中， 在相对论中，不同的惯性系中波长和 频率将不同，但两者的乘积恒为 c 频率将不同，
一. 相对论多普勒频移公式
1−β 2 ν =ν 0 u 1+ cosθ c
=?
1
整理得
vx − u v′ = x u 1− 2 vx c
速度的逆变换式
v y 1−β v′ = y u 1− 2 v x c
2
vz 1−β 2 v′ = z u 1− 2 vx c
v′ 1 − β 2 vz = z u 1 + 2 v′ x c
一物 两系 三速度
2
v′ + u vx = x u 1 + 2 v′ x c
x u dt* = (1+ 2 )dt 2 x +y c
c(t * −t) = x2 + y2
dt* = (1+ u cosθ )dt c
dt∗ =
dt 1− β 2
u (1+ cosθ) dt * T * ν0 c = = = 2 dt T0 ν 1− β
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1. 光的纵向多普勒效应
θ =0
ν l =ν 0
1−β 1+β
1−β 2 ν =ν 0 u 1+ cosθ c
(1) 若光源离开观察者，上式中β 取正号，这时νl <ν0 ，实测 若光源离开观察者， 取正号， “红移 “红移 ” (2) 若光源趋近观察者，上式中β 取负号，这时νl >ν0 ，实测 若光源趋近观察者， 取负号， 频率 νl 大于光源固有频率ν0 2. 光的横向多普勒效应 “蓝移 蓝移 ” 频率 νl 小于光源固有频率ν0
1− β c 1− β = ν = ν0 = ⋅ λ 1+ β λ0 1+ β c
代入题给数据， 代入题给数据，解得
λ =λ 0
1+v / c 1−v / c
v = 0.31c ≈ 0.93×108 m s
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速度飞行的宇宙飞船上的乘客， 例 以 0.6 c 速度飞行的宇宙飞船上的乘客，通过电磁波收看来 自地球的物理讲座。对地球上报告厅里的学生来说， 自地球的物理讲座。对地球上报告厅里的学生来说，该讲座 持续了50分钟 分钟。 持续了 分钟。 飞船处于下列情况下， 求 飞船处于下列情况下，飞船上的乘客要用多长时间看完整个 讲座。 飞船离开地球远去时 飞船离开地球远去时； 飞船向着地球返回时 飞船向着地球返回时。 讲座。(1)飞船离开地球远去时；(2)飞船向着地球返回时。 解： 以一堂课为一个周期，远离地球飞行，频率发生“红移” 以一堂课为一个周期，远离地球飞行，频率发生“红移”
S'
r u
S''
r v
O''
O
O'
x
l′ l0 = 1−v′2 / c2
(1−v 2 / c2 ) l = l0 1−v 2 / c2 = l' (1−v′2 / c2 )
l′ 1− u2 / c2 l= 1+v′u/c2
由速度逆变换 逆变换式有 由速度逆变换式有 v = v′ + u 1+v′u/c2
ν = ν0 1− β 1+ β
∆t′ = τ ′ = τ 0
1+ β 1+ 0.60 （分钟） = 50× = 100 分钟） 1− β 1− 0.60
向着地球运动，频率发生“蓝移” 向着地球运动，频率发生“蓝移”
ν = ν0
1+ β 1− β
∆t′ = τ ′ = τ 0
1− β 1− 0.60 （分钟） = 50× = 25 分钟） 1+ β 1+ 0.60
ν0 为光源的固有频率 ν 为观察者实测到的光频率
θ 为光源对观察者的倾角
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*推导
1−β 2 ν =ν 0 u 1+ cosθ c
y
光源
r u
(x, y, z , t ) 观察者
θ
x
x2 + y2 = c2 (t * −t)2
O (0, 0, 0, t* )
xdx = xudt = c2 (t * −t)(dt * −dt)
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v′ 1 − β 2 y vy = u 1 + 2 v′ x c
vx、vy、vz 分别是物体相对于 S 系的速度 v′ 、v′、v′ 分别是物体相对于 S′系的速度 系的速度 x y z
u
是 S′系相对于 S 系的速度 系相对于
轴方向飞行， 例 一宇宙飞船以速度 u 远离地球沿 x 轴方向飞行，发现飞船 前方有一棒形不明飞行物， 前方有一棒形不明飞行物，平行于 x 轴。飞船上测得此物 长为l 轴正向。 长为 ' ，速度大小为 v ' ，方向沿 x 轴正向。 地面上的观测者测得此物长度。 求 地面上的观测者测得此物长度。 S 解 令地球参照系为 S 系，飞船为 S ' 不明飞行物为S'' 则在S'' 系，不明飞行物为 系，则在 系中测得不明飞行物的长度为原 长 l 0 ，由长度收缩公式有
θ =π 2
ν t =ν0 1−β
2
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二.机械波和光的多普勒效应的区别
(1) 机械波无横向多普勒效应；而光波具有横向多普勒效应。 机械波无横向多普勒效应；而光波具有横向多普勒效应。 (2) 光的多普勒频移与波源对于观察者运动，还是观察者 光的多普勒频移与波源对于观察者运动， 对于波源运动无关， 对于波源运动无关，而机械波的多普勒频移在这两种情 况下是不同的。 况下是不同的。 (3) 波的传播媒质运动不影响光的多普勒频移，但却影响机 波的传播媒质运动不影响光的多普勒频移， 械波的多普勒频移。 械波的多普勒频移。
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的速度相向而行。 相向而行 例 飞船 A , B 相对于地面分别以 0.6 c 和 0.8 c 的速度相向而行。 上测得地球的速度； 求 (1) 飞船 A 上测得地球的速度； (2) 飞船 A 上测得飞船 B 的速度； 的速度； (3) 地面上测得飞船 A 和飞船 B 的相对速度。 的相对速度。 上测得地球的速度为: 根据运动的相对性， 解 (1) 根据运动的相对性，飞船 A 上测得地球的速度为 －0.6c (2) 设地面为 S 系，飞船 A 为 S' 系， S'系相对与 S 系的速度 系相对与 为 u = 0.6 c。 依题意飞船 B 在 S 系中的速度 v = -0.8 c， 。 ， 由洛仑兹速度变换， 由洛仑兹速度变换，S' 系(飞 飞 r r S S' u v 船 A)测得飞船 B 的速度为 测得飞船
§15.5 狭义相对论的速度变换定理
由洛仑兹坐标和时间变换
dx − udt dx′ = 1−β 2 定义 vx = dx dt
dy′ = dy dz′ = dz
v y = dy dt v' y = dy' dt'
u dt − 2 dx c dt' = 1−β 2
vz = dz dt
v'x = dx' dt'
v'z = dz' dt'
vx − u dx′ dx − udt = = 得 v′ = x dt′ dt − u dx 1− u v 2 x 2 c c dy′ dy 1−β 2 dz′ dz 1−β 2 v′ = = y = ? v′z = dt′ = u dt′ dt − u dx dt − 2 dx 2 c c
v −u v' = 1−vu/c2
A O O'
B
− 0.8c − 0.6c = = −0.94c 2 1+ 0.8× 0.6c / c
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(3) 地面上测得飞船 A 和飞船 B 的相对速度为
0.6c + 0.8c = 1.4c
在相对论中， 在相对论中，物质的运动速度不会超过真空中的光 观察者看到的物体相对于它的速度不 ，是指某观察者看到的物体相对于它 速 c，是指某观察者看到的物体相对于它的速度不 会超过 c。在地面上观测飞船 A 和飞船 B 的相对速 。 度是地面看到的其它两物体的相对速度， 度是地面看到的其它两物体的相对速度，它不是某 一物体对地面的速度，因此不受极限速度的限制。 一物体对地面的速度，因此不受极限速度的限制。