近三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析：专题08+直线与圆(原卷版)
三年高考(2014-2016)数学(理)真题分项版解析_专题06数列
三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第六章 数列一、选择题1. 【2014高考理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当01<a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则}{n a 满足01<a 且10<<q ，故当“1>q ”是”数列}{n a 为递增数列的既不充分也不必要条件.故选C.考点：等比数列的性质，充分条件与必要条件的判定，容易题.【名师点睛】本题考查充要条件，本题属于基础题，充要条件问题主要命题方法有两种，一种为判断条件是结论的什么条件？第二种是寻求结论成立的某种条件是什么？近几年高考充要条件命题以选填题为主，表面看很简单。
但由于载体素材丰富，几何、代数、三角可以随意选材，所以涉及知识较多，需要扎实的基本功，本题以数列有关知识为载体，考查了数列的有关知识和充要条件.2. 【2015高考，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和比较法，本题属于基础题，由于前两个选项无法使用公式直接做出判断，因此学生可以利用举反例的方法进行排除，这需要学生不能死套公式，要灵活应对，作差法是比较大小常规方法，对判断第三个选择只很有效.3.【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,则100a = （ ）（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】试题分析：由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=故选C.考点：等差数列及其运算【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.4. 【2016高考理数】如图，点列{A n}，{B n}分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）.若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则（ ）A ．{}n S 是等差数列B ．2{}nS 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列D ．2{}nd 是等差数列 【答案】A 【解析】考点：等差数列的定义．【思路点睛】先求出1n n n +∆A B B 的高，再求出1n n n +∆A B B 和112n n n +++∆A B B 的面积n S 和1n S +，进而根据等差数列的定义可得1n n S S +-为定值，即可得{}n S 是等差数列．5. 【2016年高考理数】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） （ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年 【答案】B 【解析】试题分析：设第n 年的研发投资资金为n a ，1130a =，则1130 1.12n n a -=⨯，由题意，需1130 1.12200n n a -=⨯≥，解得5n ≥，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，选B.考点：等比数列的应用.【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论．6. 【2015高考，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B.140,0a d dS <<C.140,0a d dS ><D.140,0a d dS <> 【答案】B.【解析】∵等差数列}{n a ，3a ，4a ，8a 成等比数列，∴d a d a d a d a 35)7)(2()3(11121-=⇒++=+，∴d d a a a a S 32)3(2)(211414-=++=+=，∴03521<-=d d a ，03224<-=d dS ，故选B.【考点定位】1.等差数列的通项公式及其前n 项和；2.等比数列的概念【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的概念等知识点，同时考查了学生的运算求解能力，属于容易题，将1a d ，4dS 表示为只与公差d 有关的表达式，即可求解，在解题过程中要注意等等差数列与等比数列概念以及相关公式的灵活运用.7.【2014高考理第2题】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列【答案】D 【解析】试题分析：因为数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则()22852391116a a a q a q a q a ⋅=⋅⋅⋅=⋅= 所以，369,,a a a 一定成等比数列，故选D.考点：1、等比数列的概念与通项公式；2、等比中项.【名师点睛】本题考查了等比数列的概念与通项公式，等比数列的性质，本题属于基础题，利用下标和相等的两项的积相等更能快速作答.8. 【2015高考，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =（）A 、-1B 、0C 、1D 、6【答案】B【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B .【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题.9.【2014，理3】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D【答案】C 【解析】试题分析：假设公差为d ,依题意可得1323212,22d d ⨯+⨯⨯=∴=.所以62(61)212a =+-⨯=.故选C.考点：等差数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及简单的计算问题，等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.10.【2015高考，理8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．11. 【2014理8】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}na a 为递减数列，则（ ）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >【答案】C 【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，则2(1)1111(1)22a a a a n dnna a n d +-=+-∴=，又由于1{2}n a a 为递减数列，所以1-01111221202a a na da a n a d +=>=∴<，故选C .考点：1.等差数列的概念；2.递减数列.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式、数列的性质等，解答本题的关键，是写出等差数列的通项，利用1{2}na a 是递减数列，确定得到1-011122122a a na da a n +=>=，得到结论.本题是一道基础题.在考查等差数列等基础知识的同时，考查考生的计算能力.12. 【2015课标2理4】已知等比数列{}n a 满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++=( )A ．21B ．42C ．63D ．84 【答案】B【解析】设等比数列公比为q ，则2411121a a q a q ++=，又因为13a =，所以4260q q +-=，解得22q =，所以2357135()42a a a a a a q ++=++=，故选B ．【考点定位】等比数列通项公式和性质．【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式和性质，通过求等比数列的基本量，利用通项公式求解，若注意到项的序号之间的关系，则可减少运算量，属于基础题．二、填空题1. 【2016高考理数】设数列{a n}的前n 项和为S n.若S 2=4，an +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1=，S 5=.【答案】1121 【解析】试题分析：1221124,211,3a a a a a a +==+⇒==，再由111121,21(2)23(2)n n n n n n n n n a S a S n a a a a a n +-++=+=+≥⇒-=⇒=≥，又213a a =，所以515133(1),S 121.13n n a a n +-=≥==-考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前n 项和．【易错点睛】由121n n a S +=+转化为13n n a a +=的过程中，一定要检验当1n =时是否满足13n n a a +=，否则很容易出现错误．2. 【2014高考理第12题】若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =时，{}n a 的前n 项和最大.【答案】8考点：等差数列的性质，前n 项和的最值，容易题.【名师点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列的通项公式及前n 项和公式，本题属于基础题，由于题目提供a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，推出890,0a a ><，从而说明数列{a n }的前8项和最大.这个题目命题角度新颖，不需死套公式，重视对知识的理解和对知识本质的考查.3.【2016年高考理数】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______.【答案】6【解析】试题分析：∵{}n a 是等差数列，∴35420a a a +==，40a =，4136a a d -==-，2d =-，∴616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=，故填：6．考点：等差数列基本性质.【名师点睛】在等差数列五个基本量1a ，d ，n ，n a ，n S 中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n 项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用.4. 【2014高考卷.理.13】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++=.【答案】50.【解析】由题意知51011912101122a a a a a a e +==，所以51011a a e =，因此()()()()()101055012201202191011101110a a a a a a a a a a a e e ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅===对，因此()1250122020ln ln ln ln ln 50a a a a a a e ⋅⋅⋅+=++==.【考点定位】本题考查等比数列的基本性质与对数的基本运算，属于中等偏难题. 【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的性质和对数的基本运算，属于中等偏难题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比数列的性质和对数的基本运算，即等比数列{}n a 中，若m n p q +=+（m 、n 、p 、q *∈N ），则m n p q a a a a =，()log log log a a a MN =M +N （0a >，1a ≠，0M >，0N >）．5. 【2015高考，理10】在等差数列中，若，则=.【答案】． 【解析】因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．【考点定位】等差数列的性质．【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及其简单运算和运算求解能力，属于容易题，解答{}n a 2576543=++++a a a a a 82a a +10{}n a 37462852a a a a a a a +=+=+=345675525a a a a a a ++++==55a =285210a a a +==10此题关键在于熟记，及其熟练运用．6.【2016高考新课标1卷】设等比数列{}na满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为．【答案】64考点：等比数列及其应用【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.7.【2016高考卷】已知{}na是等差数列，{S}n是其前n项和.若21253,S=10a a+=-，则9a 的值是▲ .【答案】20.【解析】由510S=得32a=，因此2922(2d)33,23620.d d a-+-=-⇒==+⨯=考点：等差数列性质【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如*1()(),(1,)22n m tnn a a n a aS m t n m t n N++==+=+∈、、及等差数列广义通项公式().n ma a n m d=+-8.【2014，理7】在各项均为正数的等比数列{}na中，若21a=，8642a a a=+，则6a的值是.【答案】4．【解析】设公比为q，因为21a=，则由8642a a a=+得6422q q a=+，4220q q--=，()*,,,m n p qa a a a m n p q N m n p q+=+∈+=+且()*2,,2m n pa a a m n p N m n p+=∈+=且解得22q =，所以4624a a q ==．【考点定位】等比数列的通项公式．【名师点晴】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．9. 【2015高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011【解析】由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++ 【考点定位】数列通项，裂项求和【名师点晴】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，转化为特殊数列求通项．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.10. 【2015高考，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为． 【答案】5【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．【考点定位】等差中项．【名师点晴】本题主要考查的是等差中项，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“中位数”和“等差数列”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等差中项的概念，即若a ，A ，b 成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项，即2a b A =+．11.【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 【答案】1n-【考点定位】等差数列和递推关系．【名师点睛】本题考查数列递推式和等差数列通项公式，要搞清楚项n a 与n S 的关系，从而转化为1n S +与n S 的递推式，并根据等差数列的定义判断1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，属于中档题． 12. 【2014，理12】数列{}n a 是等差数列，若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，则q =________． 【答案】1． 【解析】试题分析：∵1351,3,5a a a +++成等比，∴2111(1)[14(1)][12(1)]a a d a d ++++=+++，令11,1a x d y +=+=，则2(4)(2)x x y x y +=+，即222444x xy x xy y +=++，∴0y=，即10d +=，∴1q =．考点：1．等差，等比数列的性质．【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+（等差数列），m n p q a a a a ⋅=⋅（等比数列）；②注意在平时提高自己的运算求解能力，尤其是换元法在计算题中的应用；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前n 项和公式等.13. 【2015高考，理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于. 【答案】21n-【考点定位】1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+（等差数列），m n p q a a a a ⋅=⋅（等比数列）；②注意题目给定的限制条件，如本题中“递增”，说明1q >；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前n 项和公式等.14. 【2014，理11】设na 是首项为1a ，公差为1的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________．【答案】12-． 【解析】试题分析：依题意得2214S S S ，∴21112146a a a ，解得112a ． 考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前n 项和公式．【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，本题属于基础题，利用等差数列的前n 项和公式表示出，，，421S S S 然后依据，，，421S S S 成等比数列，列出方程求出首项.这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识，大多利用通项公式和前n 项和公式通过列方程或方程组就可以解出.15. 【2015理14】设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a =. 【答案】13-n .【解析】试题分析：∵13S ，22S ，3S 成等差数列，∴333)(2223321121=⇒=⇒+++=+⨯q a a a a a a a a ， 又∵等比数列}{n a ，∴1113--==n n n q a a . 【考点定位】等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量q 的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.三、解答题 1.【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =，1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项n a ，再根据已知条件[]x 表示不超过x 的最大整数，求111101b b b ，，；（Ⅱ）对n 分类讨论，再用分段函数表示n b ，再求数列{}n b 的前1 000项和．试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======（Ⅱ）因为0,110,1,10100,2,1001000,3,1000.n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪=⎩所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯= 考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.于是，B m ＝A m －d m ＞2－1＝1，B m －1＝min{a m ，B m }≥2. 故d m －1＝A m －1－B m －1≤2－2＝0，与d m －1＝1矛盾．所以对于任意n ≥1，有a n ≤2，即非负整数列{a n }的各项只能为1或2. 因为对任意n ≥1，a n ≤2＝a 1， 所以A n ＝2.故B n ＝A n －d n ＝2－1＝1.因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且a m ＝1，即数列{a n }有无穷多项为1. 考点定位：本题考查新定义信息题，考查学生对新定义的理解能力和使用能力。
四年高考(2016-2019)数学(理)试题分项版解析——直线与圆(解析版)
直线与圆 2019年高考全景展示1．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________． 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===2．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小. 由2411y x'=-=-，得)x x ==，y =Q ， 则切点Q 到直线x +y =04=，故答案为4．20188年高考全景展示1．【2018年理北京卷】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d 的最大值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．2．【2018年全国卷Ⅲ理】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线分别与轴，轴交于，两点，,则，点P在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线距离，故点P到直线的距离的范围为，则，故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题。
3．【2018年理数天津卷】已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B 两点，则的面积为___________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.详解：由题意可得圆的标准方程为：，直线的直角坐标方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，则.点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．4．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.5．【2018年理数全国卷II】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．【答案】(1) y=x–1,(2)或．【解析】分析：(1)根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程；（2）先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程.（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则解得或因此所求圆的方程为或．点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．2017年高考全景展示1.【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是【答案】[-【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应。
14年高考数学真题及解析--圆和直线的位置关系
1、[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＝2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝02．[2014·浙江卷] 已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－83．[2014·安徽卷] 过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π34．[2014·北京卷] 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．45、[2014·福建卷] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．496．[2014·湖南卷] 若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－117．[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．8、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．9、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )A. [－1，1]B. ⎣⎡⎦⎤－12，12 C. [－2，2] D. ⎣⎡⎦⎤－22，2210．[2014·山东卷] 圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．11．[2014·重庆卷] 已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．1、D 2．B 3．D 4．B 5 C6．C [解析] 依题意可得C 1(0，0)，C 2(3，4)，则|C 1C 2|＝33＋42＝5.又r 1＝1，r 2＝25－m ，由r 1＋r 2＝25－m ＋1＝5，解得m ＝9.7、25 55 [解析] 由题意可得，圆心为(2，－1)，r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2－2－3|12＋22＝35 5，所以弦长为2r 2－d 2＝2 4－95＝2555 . 8、439、A10．(x －2)2＋(y －1)2＝411．0或6。
专题16 选修部分-三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析(原卷版) 缺答案
三年高考（2014—2016）数学（理）试题分项版解析第十六章 选修部分一、选择题1。
【2014，安徽理4】以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数),圆C的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l被圆C截得的弦长为（ )A ．14B ．142C ．2D ．222。
【2014高考北京理第3题】曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩,（θ为参数）的对称中心（ )A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上3。
【2014湖北卷10】已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-,则实数a 的取值范围为（ ）A.]61,61[- B.]66,66[-C. ]31,31[- D 。
]33,33[-二、填空题1。
【2015高考安徽,理12】在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 。
2。
【2014高考广东卷.理.14】 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sincos ρθθ=和sin 1ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________。
3。
【2014高考广东卷.理。
15】 （几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中,点E 在AB 上且AE EB 2=,AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF.图3FEDCBA4。
【2016年高考北京理数】在极坐标系中,直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点,则||AB =______。
三年高考2014_2016高考数学试题分项版解析专题15选修部分文(含解析)
三年高考（2014-2016）数学（文）试题分项版解析第十六章 选修部分二、填空题1. 【 2014湖南文12】在平面直角坐标系中，曲线22:12x C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）的普通方程为___________. 【答案】10x y --=【解析】联立2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消t 可得110x y x y -=⇒--=,故填10x y --=.【考点定位】参数方程【名师点睛】本题主要考查了只需的参数方程，解决问题的关键是根据直线的参数方程联立消去参数t 即可，难度不大，属于基础题目，属于对基本运算能力的考查.2. 【2016高考天津文数】如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE =2AE =2，BD =ED ，则线段CE 的长为__________.【答案】3【解析】试题分析：设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅=⋅，2DE x=，又2B D D E x==，所以1AC AE ==，因为AB是直径，则BC =AD =BCE DAE ∆∆:，则BC EC AD AE =1x=，解得x =考点：相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．3.【2015高考湖南，文12】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为_____. 【答案】2211x y +-=（）【考点定位】圆的极坐标方程【名师点睛】1.运用互化公式：222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．4.【2014高考陕西版文第15题】（不等式选做题）设R n m b a ∈,,,，且5,522=+=+nb ma b a ，则22n m +的最小值为______.【解析】试题分析：由柯西不等式得：22222()()()a b m n ma nb ++≥+，所以2225()5m n +≥，得225m n +≥≥考点：柯西不等式.【名师点晴】本题主要考查的是柯西不等式，属于容易题,解题时关键是充分利用已知条件225,5a b ma nb +=+=，结合柯西不等式可得22222()()()a b m n ma nb ++≥+，则问题可解5. 【2014高考陕西版文第15题】（几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6=BC ，以BC 为直径的半圆分别交AC AB ,于点F E ,，若AE AC 2=，则EF =_______.【答案】3 【解析】试题分析：由四边形BCFE 为圆内接四边形AEF C ⇒∠=∠，AFE B ∠=∠AEF ACB ⇒∆∆ ⇒12AE EF AC BC ==，又因为6BC =，所以3EF =，故答案为3. 考点：几何证明；三角形相似.【名师点晴】本题主要考查的是几何证明，属于容易题.此类问题一般都综合了有关圆的相关定理，同时又考察相似三角形有关定理，但难度一般都不大，解题注意整合已知条件，严密推理. 凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识．6. 【2014高考陕西版文第15题】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点)6,2(π到直线1)6sin(=-πθρ的距离是_______.【答案】1考点：极坐标方程；点到直线距离.【名师点晴】本题主要考查的是极坐标系与参数方程及点到直线距离，属于容易题.此类问题一般主要是极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，解题时主要是熟记有关互化公式，有的题目会考察到其中参数实际的几何意义7. 【2014高考广东卷.文.14】(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分 别为22cossin ρθθ=和cos 1ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________. 【答案】()1,2.【解析】曲线1C 的极坐标方程为()22cos sin ρθρθ=,化为普通方程得22y x =,曲线2C 的普通方程为1x =,联立曲线1C 和2C 的方程得221y x x ⎧=⎨=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩,因此曲线1C 和2C 交点的直角坐标为()1,2.【考点定位】本题考查极坐标与参数方程的相互转化以及曲线的交点坐标求解,属于中等题. 【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程和两曲线的交点，属于中等题．解决此类问题的关键是极坐标方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化． 8. 【2014高考广东卷.文.15】(几何证明选讲选做题)如图1,在平行四边形ABCD 中,点E 在AB 上且AE EB 2=,AC 与DE 交于点F ,则CDF AEF ∆=∆的周长的周长.图1FEDCBA【答案】3【解析】由于四边形ABCD 为平行四边形,则//AB CD ,因此CDF AEF ∆∆ ,由于2EB AE =,所以1133AE AB CD ==,因此3CD AE =,故3CDF CD AEF AE∆==∆的周长的周长. 【考点定位】本题考查相似三角形性质的应用,属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是相似三角形的性质定理，属于中等题．解题时一定要抓住重要字眼“周长”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是相似三角形的性质定理，即相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于相似比．9.【2015高考广东，文14】（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4-【考点定位】1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程和两曲线的交点，属于容易题．解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化．10. 【2015高考广东，文15】（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C E =D A = ．【答案】3【解析】连结C O ，则C D O ⊥E ，因为D D A ⊥E ，所以C//D O A ，所以C D O OE=A AE，由切割线定理得：2C E =BE⋅AE ，所以()412BE BE+=，即24120BE +BE-=，解得：2BE =或6BE =-（舍去），所以C 26D 34O ⋅AE ⨯A ===OE ，所以答案应填：3．【考点定位】1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．【名师点晴】本题主要考查的是切线的性质、平行线分线段成比例定理和切割线定理，属于容易题．解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误．凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识． 三、解答题1. 【2015高考陕西，文22】选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C . (I)证明：CBD DBA ∠=∠(II)若3,AD DC BC ==O 的直径.【答案】(I)证明略，详见解析； (II)3.试题解析：(I)因为DE 是O 的直径，则90BED EDB ∠+∠=︒又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒ 又AB 切O 于点B ， 得DBA BED ∠=∠ 所以CBD DBA ∠=∠(II)由(I)知BD 平分CBA ∠， 则3BA ADBC CD==，又BC =，从而AB =所以4AC =所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅即26AB AE AD==， 故3DE AE AD =-=，即O 的直径为3.【考点定位】1.几何证明；2.切割线定理.【名师点睛】（1）近几年高考对本部分的考查主要是围绕圆的性质考查考生的推理能力、逻辑思维能力，试题多是运用定理证明结论，因而圆的性质灵活运用是解题的关键；（2）在几何题目中出现求长度的问题，通常会使用到相似三角形.全等三角形.切割线定理等基础知识；（3）本题属于基础题，要求有较高分析推理能力. 2. 【2015高考陕西，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标版权法xOy 吕，直线l的参数方程为132(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=.(I)写出C 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 【答案】(I) (223x y +=； (II) (3,0).【解析】试题分析：(I)由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以(223x y +=(II)设13,22P t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又(0,3)C ，则PC ==0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).【考点定位】1. 极坐标系与参数方程；2.点与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查极坐标系与参数方程，解决此类问题的关键是如何正确地把极坐标方程或参数方程转化平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化.本题属于基础题，注意运算的准确性.3. 【2015高考陕西，文24】选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{|24}x x << (I)求实数,a b 的值；(II)的最大值. 【答案】(I) 3,1a b =-=；(II)4. 【解析】试题分析：(I)由x a b +<，得b a x b a --<<-，由题意得24b a b a --=⎧⎨-=⎩，解得3,1a b =-=；(II)柯西不等式得=≤4===1t=时等号成立，故min4 =.【考点定位】1.绝对值不等式；2.柯西不等式.【名师点睛】（1）零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间.去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值；（2）要注意区别不等式与方程区别；（3）用柯西不等式证明或求值事要注意两点：一是所给不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致，若不一致，需要将所给式子变形；二是注意等号成立的条件.4. 【2016高考新课标1文数】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,12OA为半径作圆.(I)证明：直线AB与 O相切；(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.OD CBA【答案】(I)见解析(II)见解析【解析】试题分析：(I)设E 是AB 的中点,先证明60AOE ∠=︒,进一步可得12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切．(II) 设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ,证明'OO AB ⊥,'OO CD ⊥．由此可证明//AB CD ． 试题解析：（Ⅰ）设E 是AB 的中点,连结OE ,因为,120OA OB AOB =∠=︒,所以OE AB ⊥,60AOE ∠=︒．在Rt AOE ∆中,12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切． E O'DC OBA（Ⅱ）因为2OA OD =,所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又'O 在线段AB 的垂直平分线上,所以'O O A B ⊥．同文可证,'OO CD ⊥．所以//AB CD ．考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定文与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定文；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定文.5. 【2016高考新课标1文数】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ.（I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1【解析】试题分析：⑴先把cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩化为直角坐标方程,再化为极坐标方程； ⑵2C ：()2224x y -+=,3C ：2y x =,1C ,2C 方程相减得24210x y a -+-=,这就是为3C 的方程,对照可得1a =.考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.6．【2014全国2，文22】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（Ⅰ）BE EC =；（Ⅱ）22AD DE PB ⋅=P【解析】（Ⅰ）连接,AB AC ．由题设知，PA PD =,故PAD PDA ∠=∠．因为=PDA DAC DCA ∠∠+∠,=PAD ∠BAD PAD ∠+∠,=DCA PAB ∠∠,所以=DAC BAD ∠∠，从而⌒BE =⌒EC．因此BE EC =． （Ⅱ）由切割线定理得2PA PB PC =⋅．因为PA PD DC ==,所以2,DC PB BD PB ==，由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，所以22AD DE PB ⋅=．P【考点定位】基本不等式.【名师点睛】本题考查了基本不等式的性质，证明不等式的方法综合法，计算能力，逻辑推理能力，属于基础题．7. 【2014全国2，文23】(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.（Ⅰ）求C 得参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【解析】（Ⅰ）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤．可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）． （Ⅱ）设(1cost,sint)D +．由（Ⅰ）知，C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同．tan 3t t π==．故D 的直角坐标为(1cos ,sin )33ππ+，即3(2． 【考点定位】1.极坐标方程；2.参数方程；3.普通方程.【名师点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程的运用，学生分析解决问题的能力，正确运用参数方程是解决问题的关键．8. 【2014全国2，文24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （Ⅰ）证明：()2f x ≥；（Ⅱ）若(3)5f <，求a 的取值范围.【考点定位】绝对值函数及不等式.【名师点睛】本题考查了绝对值函数，绝对值的性质，解绝对值不等式的方法，计算能力，逻辑推理能力，属于基础题．9. 【2016高考新课标1文数】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲已知函数()123f x x x =+--.（I ）在答题卡第（24）题图中画出()y f x =的图像；（II ）求不等式()1f x >的解集．【答案】（I ）见解析（II ）()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，， 【解析】试题分析：（I ）取绝对值得分段函数()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥,然后作图；（II ）用零点分 区间法分1x -≤,312x -<<,32x ≥,分类求解,然后取并集 试题解析：⑴如图所示：⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥ ()1f x >,当1x -≤,41x ->,解得5x >或3x <,1x -∴≤当312x -<<,321x ->,解得1x >或13x < 113x -<<∴或312x << 当32x ≥,41x ->,解得5x >或3x <,332x <∴≤或5x > 综上,13x <或13x <<或5x >,()1f x >∴,解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，，， 考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式.10.【2014全国1，文22】如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（I ）证明：D E ∠=∠；（II ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE ∆为等边三角形.【解析】（1）由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D CBE ∠=∠，由已知得CBE E ∠=∠，故D E ∠=∠.（2）设BC 的中点为N ，连结MN ，则由MB MC =知MN BC ⊥，故O 在直线MN 上.又AD 不是圆O 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，即MN AD ⊥.所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠，又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠.由（1）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形.考点：1.圆的几何性质;2.等腰三角形的性质【名师点睛】本题考查圆的内接四边形性质，第一问 利用四边形ABCD 是O 的内接四边形，可得D CBE ∠=∠，由C B CE =，可得E CBE ∠=∠，即可证 明：DE ∠=∠；第二问设BC 的中点为N ，连接MN ，证明 AD BC //，可得A CBE ∠=∠，进而可得A E ∠=∠，即可证明ADE ∆ 为等边三角形，本题考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12. 【2014全国1，文23】已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=ty t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.考点：1.椭圆的参数方程;2.直线的参数方程;3.三三角函数的有界性【名师点睛】本题考查普通方程与参数方程的互化,考查了点到直线的距离公式,熟练掌握普通方程与参数方程的互化公式是解决本题的关键，体现了数学转化思想和方法，同时考查了学生的综合分析问题的能力和计算能力.13. 【2014全国1，文24】若,0,0>>b a 且ab ba =+11 （I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.考点：1.基本不等式的应用;2.代数式的处理【名师点睛】本题主要考查基本不等式在求函数最值中的应用,在使用基本不等式时一定要注意不等式成立的条件，要注意检验等号成立条件是否具备, 本题考查了考生的计算能力和化归和转化问题的能力.14. 【2015高考新课标1，文22】选修4-1：几何证明选讲如图AB 是 O 直径，AC 是 O 切线，BC 交 O 与点E .（I ）若D 为AC 中点，求证：DE 是 O 切线；（II ）若OA = ，求ACB ∠的大小.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60°【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，由直角三角形中线性质知DE =DC ，OE =OB ，利用等量代换可证∠DEC +∠OEB =90°，即∠OED =90°，所以DE 是圆O的切线；（Ⅱ）设CE =1,由OA =得，AB =设AE =x ，由勾股定理得BE =，由直角三角形射影定理可得2AE CE BE = ，列出关于x 的方程，解出x ，即可求出∠ACB 的大小.试题解析：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，在Rt△AEC 中，由已知得DE =DC ，∴∠DEC =∠DCE ，连结OE ，∠OBE =∠OEB ，∵∠ACB +∠ABC =90°，∴∠DEC +∠OEB =90°，∴∠OED =90°，∴DE 是圆O 的切线. ……5分（Ⅱ）设CE =1，AE =x ,由已知得AB =BE =，由射影定理可得，2AE CE BE = ，∴2x x ACB =60°. ……10分考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理【名师点睛】在解有关切线的问题时，要从以下几个方面进行思考：①见到切线，切点与圆心的连线垂直于切线；②过切点有弦，应想到弦切角定理；③若切线与一条割线相交，应想到切割线定理；④若要证明某条直线是圆的切线，则证明直线与圆的交点与圆心的连线与该直线垂直.15. 【2016高考新课标2文数】如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ．(Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆ 因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=考点： 三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．16. 【2016高考新课标2文数】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||AB l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）3±. 【解析】试题分析：（I ）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（II ）先求直线l 的极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得到关于ρ的一元二次方程212cos 110.ρρα++=，再根据韦达定理，弦长公式求出cos α，进而求得tan α，即可求得直线l 的斜率．考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.17. 【2016高考新课标2文数】已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+．【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（I ）分12x <-，1122x -≤≤和12x >三种情况去掉绝对值，再解不等式()2f x <，即可得集合M ；（Ⅱ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，确定21a -和21b -的符号，从而证明不等式1a b ab +<+成立.试题解析：（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时， ()2f x <； 当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此|||1|.a b ab +<+考点：绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用||||(0)x a x b c c -+->>的几何意义：数轴上到点1x a =和2x b =的距离之和大于c 的全体，|||||()|||x a x b x a x b a b -+-≥---=-.(3)图象法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解．18. 【2015高考新课标1，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2CM N ∆ 的面积. 【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4s i n 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ|MN|=1ρ－2ρ因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 11sin 452⨯=12. 考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以ρ，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决.19. 【2015高考新课标1，文24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+--> .（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f (x )>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当a =1时，不等式f (x )>1化为|x +1|-2|x-1|＞1，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<， 所以不等式f (x )>1的解集为2{|2}3x x <<. ……5分 （Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +. 由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >. 所以a 的取值范围为（2，+∞）. ……10分【考点定位】含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法【名师点睛】对含有两个绝对值的不等式问题，常用“零点分析法”去掉绝对值化为若干个不等式组问题，原不等式的解集是这些不等式组解集的并集；对函数多个绝对值的函数问题，常利用分类整合思想化为分段函数问题，若绝对值中未知数的系数相同，常用绝对值不等式的性质求最值，可减少计算.20.【2014年．浙江。
近三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析：专题04+三角函数与解三角形(解析版)
三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第四章 三角函数与解三角形一、选择题1. 【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( ) （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.2. 【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 考点：三角函数图像的平移.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，在函数()sin()f x A ωx φ=+的图象平移变换中要注意人“ω”的影响，变换有两种顺序：一种y sin x =的图象向左平移φ个单位得sin()y x φ=+，再把横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin()y ωx φ=+的图象，另一种是把y sin x =的图象横坐标变为原来的1ω倍，纵坐标不变，得sin y ωx =的图象，向左平移φω个单位得sin()y ωx φ=+的图象．3. 【 2014湖南9】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( ) A.56x π=B.712x π=C.3x π=D.6x π= 【答案】A【考点定位】三角函数图像 辅助角公式 定积分【名师点睛】有关定积分的题目主要是根据定积分的有关公式结合定积分的几何性质进行正确求解即可，有关三角函数对称轴的求解主要是根据整体方法求解对称轴，三角函数辅助角公式化简三角函数问题是主要是根据有关辅助角具体形式进行恰当的变换即可.4. 【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）（A （B （C ）- （D ）-【答案】C 【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC ==，AB =．由余弦定理，知222222cos210AB AC BC A AB AC +-===-⋅，故选C ． 考点：余弦定理．【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．5.【2015高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象，只需将函数sin 4y x = 的图象向右平移12π个单位.故选B. 【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.6. 【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.考点：三角恒等变换.【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示： (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．7. 【2014高考陕西版理第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π 【答案】B 【解析】试题分析：由周期公式2T w π=，又2w =,所以函数()cos(2)6f x x π=-的周期22T ππ==，故选B .考点：三角函数的最小正周期.【名师点晴】本题主要考查的是余弦函数的最小正周期，属于容易题.解题时只要正确记忆正弦函数、预先函数的最小正周期周期公式2T wπ=，就不会出现错误 8. 【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C【考点定位】三角函数的图象与性质．【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin 16x πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，y 取得最小值，进而求出k 的值，当sin 16x πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，y 取得最大值． 9. 【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2s i n 2()2s i n (2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.考点： 三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．10.【2014新课标，理4】钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 1【答案】B【名师点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，本题属于基础题，解决本题的关健在于公式的准确与熟练，注意题目条件：三角形是钝角三角形.11. 【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ）(A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．12. 【2014四川，理3】 为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A 【解析】试题分析：1sin(21)sin 2()2y x x =+=+，所以只需把sin 2y x =的图象上所有的点向左平移12个单位.选A. 【考点定位】三角函数图象的变换.【名师点睛】本题考查三角函数图象变换、性质、辅助角公式和诱导公式等基础知识，纵向伸缩或平移是对于y 而言，即 ()()g x kg x →或()()g x g x k →+；横向伸缩或平移是相对于x 而言，即()()g x g x ω→（纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍），()()g x g x a →+(0a >时，向左平移a 个单位；0a <时，向右平移a 个单位)．13. 【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）()cos(2)2A y x π=+ ()s i n (2)2B y x π=+ ()s i n 2c o s 2C y xx =+ ()s i n c o sD y x x =+【答案】A【解析】对于选项A ，因为2sin 2,2y x T ππ=-==，且图象关于原点对称，故选A. 【考点定位】三角函数的性质.【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显，C 、D 选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B 选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.14.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A ） （B （C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.15. 【2014课标Ⅰ，理6】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）【答案】C【解析】如图所示，当02x π≤≤时，在Rt OPM ∆中，cos cos OM OP x x ==．在Rt O M D ∆中，MD =sin OM x 1cos sin sin 22x x x ==；当2x ππ<≤时，在Rt OPM∆中，c o s ()O M O P x xπ=-=-，在R t∆中，MD =s i OM xπ-1c o s s i n s i n2x x x =-=-，所以当0x π≤≤时，()y f x =的图象大致为C ．【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质和二倍角公式的运用，正确表示函数的表达式是解题的关键，本题很好的考查了考生的利用数形结合综合分析问题的能力，和计算能力.16. 【2014课标Ⅰ，理8】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） （A ） 32παβ-= （B ）32παβ+=（C ）22παβ-=（D ）22παβ+=【答案】C【名师点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式以及诱导公式的应用，本题在解答过程中一定要注意22ππαβ-<-<， 022ππα<-<，本题考查了考生的对公式的记忆能力，以及运算能力.17.【2015高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】本题考查函数cos()y A x ωϕ=+的图像与性质，先利用五点作图法列出关于ωϕ，方程，求出ωϕ，，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求ωϕ，使解题的关键.18.【2014年.浙江卷.理4】为了得到函数x x y 3co s 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位答案：Ｄ解析：sin 3cos334y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故只需将y x 向左平移4π个单位．考点：三角函数化简,图像平移.【名师点睛】三角函数图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．19. 【2016高考浙江理数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B 【解析】 试题分析：21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ，其中当0=b 时，cos 21()22=-++x f x c ，此时周期是π；当0≠b 时，周期为2π，而c 不影响周期．故选B ．考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期．【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数()f x ，再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期．20. 【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.t =，s 的最小值为3π 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，1sin(2)432t ππ=⋅-=，故此时'P 所对应的点为1(,)122π，此时向左平移-4126πππ=个单位，故选A.考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换21.【2016高考山东理数】函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B 【解析】试题分析：()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.22.【2014重庆10】已知A B ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S 满足 C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A.8)(>+c b bcB.()ac a b +>C.126≤≤abcD.1224abc ≤≤【答案】A 【解析】考点：1、两角和与差的三角函数；2、正弦定理；3、三角形的面积公式.【名师点睛】本题考查了综合应用正弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的三角函数，属于难题，根据题目条件熟练运用正弦定理将三角形的边与角互化是解决问题的关键.23. 【2015高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C 【解析】 由已知，3co s(10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin1010sin cos cos sin55ππααππαα+-33costan sin1010tan cossin55ππαππα+=-33cos 2tan sin105102tan cossin555ππππππ+=- 33cos cos2sin sin 510510sincos55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )210101010sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==，选C .【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．24.【2015高考安徽，理10】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 【答案】A【解析】由题意，()()sin (0,0,0)f x x A ωϕωϕ=A +>>>，22||T πππωω===，所以2ω=，则()()sin 2f x x ϕ=A +，而当23x π=时，2322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,6k k Zπϕπ=+∈，所以()si n 2(0)6fx x A π⎛⎫=A +> ⎪⎝⎭，则当2262x k πππ+=+，即,6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值.要比较()()()2,2,0f f f -的大小，只需判断2,2,0-与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0,2与6π比较近，2-与56π-比较近，所以，当0k =时，6x π=，此时|0|0.526π-，|2| 1.476π-，当1k =-时，56x π=-，此时5|2()|0.66π---，所以(2)(2)(0)f f f <-<，故选A.【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出ω，通过最值判断出ϕ，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.25.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ，120C ∠=,则AC = （ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】A 【解析】试题分析：由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A. 考点：余弦定理【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．29．【2014辽宁理9】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 【答案】B考点：函数sin()y A x ωϕ=+的性质.【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换、三角函数图象和性质、复合函数的单调性.其易错点是平移方向与“+、-”混淆.本题是一道基础题，重点考查三角函数图象的变换、三角函数图象和性质等基础知识，同时考查考生的计算能力. 本题是教科书及教辅材料常见题型，能使考生心理更稳定，利于正常发挥.30. 【2015湖南理2】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512π B.3π C.4π D.6π【答案】D. 【解析】试题分析：向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-，故选D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(ϕω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.31. 【2015陕西理6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【考点定位】1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．二、填空题.1. 【2014高考北京理第14题】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 . 【答案】π 【解析】试题分析：由)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且)6()2(ππf f -=知，函数)(x f 的对称中心为)0,3(π，由)32()2(ππf f =知函数)(x f 的对称轴为直线127)322(21πππ=+=x ，设函数)(x f 的最小正周期为T ， 所以，6221ππ-≥T ，即32π≥T ，所以43127T =-ππ，解得π=T . 考点：函数)sin()(ϕω+=x A x f 的对称性、周期性，容易题.【名师点睛】本题考查三角函数图象与性质，本题属于中等难度选填题，有关三角函数图象与性质及三角函数图像变换问题常在高考题目中出现，但本题重点考查函数图像的对称轴和对称中心以及对称轴和对称中心与周期性的关系，这样的考法并不多见，事实上，函数图象有两轴、两心、或一轴一心都会联想到函数的周期性，备考模拟题经常见到，但高考题偶尔遇到，不是很多.2. 【2015高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A C=．【答案】1【解析】222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.【名师点睛】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于基础题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值.3. 【2014高考广东卷.理.12】在ABC ∆中，角A .B .C 所对应的边分别为a .b .c ，已知b Bc C b 2cos cos =+，则=ba. 【答案】2.【解析】cos cos 2b C c B b += ，由边角互化得sin cos sin cos 2sin B C C B B +=， 即()sin 2sin B C B +=，即sin 2sin A B =，所以22aa b b=⇒=. 【考点定位】本题考查正弦定理中的边角互化思想的应用以及两角和的三角函数，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是正弦定理和两角和的正弦公式，属于中等题．解题时要弄清楚是求边还是求角， 否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是正弦定理、两角和的正弦公式和三角函数的诱导公式，即2R sin sin sin Ca b c===A B （其中R 为C ∆AB 外接圆的半径），()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+，()sin sin παα-=．4. 【2015高考广东，理11】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =1sin 2B =，6C =π，则b = . 【答案】1． 【解析】因为1sin 2B =且()0,B π∈，所以6B π=或56B π=，又6C π=，所以6B π=，23A B C ππ=--=，又a =由正弦定理得sin sin a bA B=sin sin36bπ=解得1b =，故应填入1．【考点定位】三角形的内角和定理，正弦定理应用．【名师点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、运用正弦定理解三角形，属于容易题，解答此题要注意由1sin 2B =得出6B π=或56B π=时，结合三角形内角和定理舍去56B π=． 5. 【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则t a nt a n t a nA B C的最小值是 ▲ . 【答案】8.考点：三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识6. 【2014江苏，理5】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 . 【答案】6π． 【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．【名师点晴】从交点得到等量关系：关于ϕ的复角的三角函数式的值．由于值是特殊角的三角函数值，所以本题“给值求角”，根据角的范围，确定角．7. 【2015江苏高考，8】已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 【考点定位】两角差正切公式【名师点晴】善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，完成统一角和角与角转换的目的是三角函数式的求值的常用方法. 三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．8. 【2014江苏，理14】若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 .【答案】4．【名师点晴】如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的条件.9. 【2014新课标，理14】函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.【答案】1 【解析】由题意知：()()()s i n 22s i n cf x xx ϕϕϕ=+-+=()()sin[]2sin cos x x ϕϕϕϕ++-+ =()sin cos x ϕϕ++()cos sin x ϕϕ+-()2sin cos x ϕϕ+=()cos sin x ϕϕ+-()sin cos x ϕϕ+=()sin[]x ϕϕ+-=sin x ，即()sin f x x =，因为x R ∈，所以()f x 的最大值为1. 【名师点睛】本题考查了三角恒等变形公式，三角函数sin()y A x B ωφ=++的性质，属于基础题目，根据三角恒等变形公式将已知函数的解析式化为sin()y A x B ωφ=++的形式即可.10. 【2016高考江苏卷】定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 ▲ . 【答案】7【解析】由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或，因为[0,3x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=共7个 考点：三角函数图像【名师点睛】求函数图像交点个数，可选用两个角度：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解，二是数形结合，分别画出函数图像，数交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其明确增长幅度.11.【2016高考新课标3理数】函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x=的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．12. 【2014四川，理13】如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67 ，30 ，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈ ，cos670.39≈ ，sin 370.60≈ ，cos370.80≈ ，1.73≈）【答案】60 【解析】试题分析：92AC =，46cos 67AB = ，sin 37,60sin 30sin 37sin 30AB BC AB BC =∴=≈. 【考点定位】解三角形.【名师点睛】在三角形中，已知两角一边时可以使用正弦定理解三角形.13. 【2015高考四川，理12】=+ 75sin 15sin .【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.有sin cos )a b αααϕ+=+.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有sin cos )a b αααϕ+=+.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.14. 【2014课标Ⅰ，理16】已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________．【解析】由2=a ，且()C b c B A b s i n )()s i n (s i n 2-=-+，故(ab)(s i n A+-=-，又根据正弦定理，得(a b)()(c b)a b c +-=-，化简得，222b c a bc +-=，故222b c a 1cosA 2bc 2+-==，所以0A 60=，又22b c 4bc bc +-=≥，故1S bcsinA 2BAC ∆=≤ 【名师点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，以及基本不等式的应用，熟练掌握正弦定理和余弦定理的应用，以及基本不等式的应用是解决这类问题的关键，本题主要考查考生的计算能力.15.【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB的取值范围是 .【答案】【考点定位】正余弦定理；数形结合思想【名师点睛】本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边BC 长定，平移AD ，当AD 重合时，AB 最长，当CD 重合时AB 最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是AB 的长，即可求出AB 的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键.16. 【2014年.浙江卷.理17】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值答案：9解析：由勾股定理可得，20BC =，过P 作'PP BC ⊥，交BC 于'P ，连结'AP ，则'tan 'PP AP θ=，设'BP x =，则'20CP x =-，由30BCM ∠=︒得，)''tan 30203PP CP x =︒=-，在直角'ABP中，'AP =)2020tan 3x x θ--==，令20x y -=，()()21225202'x x x y -+--⋅⋅===，令'0y =得，454x =-，代入20tan x θ-=得，20tan x θ-==tan θ． 考点：解三角形,求最值.【名师点睛】本题主要考查了解直角三角形的有关问题，根据所给条件构造直角三角形，运用勾股定理求解直角边长，然后运用导数有关性质解决所求角正切的最值问题.17.【2016高考新课标2理数】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A B A C A C π=-+=+=+=，又因为s i n s i na bA B =， 所以sin 21sin 13a Bb A ==. 考点： 三角函数和差公式，正弦定理.【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．。
三年高考(2019-2021)数学(理)试题分项汇编——专题08 平面解析几何(解答题)(教师版)
专题08 平面解析几何（解答题）1．【2021·北京高考真题】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为45． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．【答案】（1）22154x y +=；（2）[3,1)(1,3]--⋃． 【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b ，从而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，求出直线,AB AC 的方程后可得,M N 的横坐标，从而可得PM PN +，联立直线BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN +，从而可求k 的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =， 因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故122452a b ⨯⨯=，即5a =， 故椭圆的标准方程为：22154x y +=.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠， 故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N xx y =-+. 直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=， 故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >，所以0M N x x > 又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++ ()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤，综上，31k -≤<-或13k <≤.2．【2021·全国高考真题】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0. 【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；（2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线AB 与曲线C 的方程，列出韦达定理，求出TA TB ⋅的表达式，设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得出TP TQ ⋅的表达式，由TA TB TP TQ ⋅=⋅化简可得12k k +的值.【详解】因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点， 不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-， 联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+=⎪⎝⎭， 设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >. 由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 所以，()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭， 设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616t k t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=. 因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．3．【2021·浙江高考真题】如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RNPN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围.【答案】（1）24y x =；（2）()(),743743,11,⎡-∞---++∞⎣.【分析】（1）求出p 的值后可求抛物线的方程.（2）设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ，联立直线AB 的方程和抛物线的方程后可得12124,4y y y y t =-+=，求出直线,MA MB 的方程，联立各直线方程可求出,,P Q R y y y ，根据题设条件可得()222134121n t n t ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-，从而可求n 的范围.【详解】（1）因为2MF =，故2p =，故抛物线的方程为：24y x =.（2）设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ， 所以直线:2y l x n =+，由题设可得1n ≠且12t ≠.由214x ty y x=+⎧⎨=⎩可得2440y ty --=，故12124,4y y y y t =-+=， 因为2RN PN QN =⋅，故2R P Q y ⎫=⎪⎪⎭，故2R P Q y y y =⋅. 又()11:11y MA y x x =++，由()11112y y x x y x n⎧=+⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩可得()1112122P n y y x y +=+-，同理()2222122Q n y y x y +=+-，由12x ty yx n =+⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()2121R n y t -=-， 所以()()()2212211212121=212222n n y n y t x y x y -++⎡⎤⨯⎢⎥-+-+-⎣⎦， 整理得到()()()2212221112112222y y n t n x y x y -⎛⎫=- ⎪++-+-⎝⎭， ()22221214212222t y y y y -=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2222222121212112214212134+++2+442t t t y y y y y y y y y y y y --==+--⨯-+故()222134121n t n t ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-，令21s t =-，则12s t +=且0s ≠，故()22222234242411331+444421t s s s s s s t +++⎛⎫==+=++≥ ⎪⎝⎭-， 故213141n n n ⎧+⎛⎫≥⎪ ⎪-⎨⎝⎭⎪≠⎩即214101n n n ⎧++≥⎨≠⎩，解得7n ≤--71n -+≤<或1n >.故直线l 在x轴上的截距的范围为7n ≤--71n -+≤<或1n >.【点睛】方法点睛：直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题. 4．【2021·全国高考真题（理）】在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为()2,1C ，半径为1．（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点()4,1F 作C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． 【答案】（1）2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）；（2）2cos()43πρθ+=-2cos()43πρθ-=+【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可. 【详解】（1）由题意，C 的普通方程为22(2)(1)1x y -+-=，所以C 的参数方程为2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为1(4)y k x -=-，即140kx y k -+-=，由圆心到直线的距离等于11=，解得k =330y -+-=330y +--=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入化简得2cos()43πρθ+=-2cos()43πρθ-=【点晴】本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.5．【2021·全国高考真题（理）】已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值． 【答案】（1）2p =；（2）【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于p 的等式，即可解出p 的值；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，利用导数求出直线PA 、PB ，进一步可求得直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求出AB 以及点P 到直线AB 的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得PAB △面积的最大值. 【详解】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，42pFM =+， 所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =； （2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ， 直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=， 同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=， 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ===，点P 到直线AB的距离为d =所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△， ()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．6．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）. 则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线PA 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.7．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且43CD AB =． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【解析】（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12. （2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.8．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．【解析】（1=22516m =， 所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ的距离为2，故11APQ △的面积为15222⨯=. 22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52. 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9．【2020年高考北京】已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值． 【解析】 (1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭，而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB y PQy ==. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．10．【2020年高考浙江】如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【解析】（Ⅰ）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32．（Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标22M mty m =-+．将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m+=，因此22022(2)p m x m +=．由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当2m ，10t =时，p 10． 【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.11．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．【解析】（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=. （2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根据213S S =推出95d =是解答本题的关键. 12．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【解析】（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++．① 由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， 可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++． 整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠． 于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠.所以直线MN 过点21(,)33P -.若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=.又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -.令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q .若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线MN 经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.13．【2020年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y . 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=， 解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d==由两点之间距离公式可得||AM==.所以△AMN的面积的最大值：1182⨯=.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．14．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C 的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若3AP PB=，求|AB|．【答案】（1）3728y x=-；（2）3.【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y=+．（1）由题设得3,04F⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x+=++，由题设可得1252x x+=．由2323y x ty x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t+-+=，则1212(1)9tx x-+=-．从而12(1)592t--=，得78t=-．所以l的方程为3728y x=-．（2）由3AP PB=可得123y y=-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||3AB =． 【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.15．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）169. 【解析】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =||PG =△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812tS t=+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． 【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.16．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】（1）见详解；（2）3或【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- .整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则12d d ==因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE 的面积为3或【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.17．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【答案】（1）抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =；（2）见解析.【解析】（1）由抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =. （2）抛物线C 的焦点为(0,1)F -. 设直线l 的方程为1(0)y kx k =-≠.由21,4y kx x y=-⎧⎨=-⎩得2440x kx +-=. 设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =-. 直线OM 的方程为11y y x x =. 令1y =-，得点A 的横坐标11A x x y =-. 同理得点B 的横坐标22B x x y =-. 设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21212(1)x x DA DB n y y ⋅=++2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 21216(1)n x x =++ 24(1)n =-++.令0DA DB ⋅=，即24(1)0n -++=，则1n =或3n =-. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-.【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4（1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．【答案】（1）22154x y +=；（2或． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，24,c b a ==222a b c =+，可得a =2,b =1c =．所以，椭圆的方程为22154x y +=．（2）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠， 又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k-=+， 进而直线OP 的斜率24510P p y k x k-=-． 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-． 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -． 由OP MN ⊥，得2451102k k k-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而k =所以，直线PB或． 【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．19．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c . 因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2−c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(−1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.20．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【答案】（1）p =2，准线方程为x =−1；（2）最小值为31，此时G （2，0）． 【解析】（1）由题意得12p=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t -+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t-=-，得()21,0Q t-.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A ct t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t =-，则m >0，1221222134342S m S m m m m m=-=--=+++++当m =时，12S S 取得最小值1G （2，0）． 【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.。
三年高考2014_2016高考数学试题分项版解析专题08直线与圆文(含解析)
三年高考（2014-2016）数学（文）试题分项版解析第八章 直线与圆一、选择题1. 【2014高考北京文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4【答案】B考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.2. 【2015高考北京，文2】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）A ．()()22111x y -+-=B ．()()22111x y +++=C ．()()22112x y +++=D ．()()22112x y -+-=【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为r =()()22112x y -+-=，故选D.【考点定位】圆的标准方程.【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“过原点”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程，即圆心(),a b ，半径为r 的圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=． 3.【 2014湖南文6】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=相外切，则m =（ ） .21A .19B .9C .11D -【答案】C【解析】因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-,所以250m ->25m ⇒<且圆2C 的圆心为()3,4,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得1=+9m ⇒=,故选C.【考点定位】圆与圆之间的外切关系与判断【名师点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解决问题的关键是根据条件得到圆的半径及圆心坐标，然后根据两圆满足的几何关系进行列式计算即可.4. 【2014全国2，文12】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C）⎡⎣（D）,22⎡-⎢⎣⎦【答案】A【考点定位】直线与圆的位置关系【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．5. 【2014四川，9文】设m R ∈，过定点A 的动直线0xmy +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A、B 、C 、D 、【答案】B【解析】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||||10PA PB AB +==，令||0s i n ,|10c o sP A P θθ=，则||||)4PA PB πθθθ+=+=+.因为||0,||0P A P B ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()124πθ≤+≤||||PA PB ≤+≤选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.【名师点睛】||||PA PB +在几何意义上表示P 点到A 与B 的距离之和，解题的关键是找P点的轨迹和轨迹方程；也可以使用代数方法，首先表示出||||PA PB +，这样就转化为函数求最值问题了.6. 【2015高考四川，文10】设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )(A )(1，3) (B )(1，4) (C )(2，3) (D )(2，4)【答案】D【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x ＝ty ＋m ，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r 的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t ＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r 取值范围即可.属于难题.7.【2014年.浙江卷.文5】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-【答案】B考点：直线与圆相交，点到直线的距离公式的运用，容易题.【名师点睛】本题主要考查直线与圆相交的弦长问题，解决问题的关键点在讨论有关直线与圆的相交弦问题时，如能充分利用好平面几何中的垂径定理，并在相应的直角三角形中计算，往往能事半功倍．8. 【2014，安徽文6】过点(P 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π， 【答案】D ．【解析】试题分析：如下图，要使过点P 的直线l 与圆有公共点，则直线l 在PA 与PB 之间，因为1sin 2α=，所以6πα=，则23A O B πα∠==，所以直线l 的倾斜角的取值范围为]30[π，.故选D.考点：1.直线的倾斜角；2.直线与圆的相交问题. 【名师点睛】研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半弦长2l 、弦心距d 和半径长r 之间形成的数量关系为222()2l d r +=.但在具体做题过程中，常利用数形结合的方程进行求解，通过图形会很快了解具体的量的关系.另外，直线的倾斜角和斜率之间的关系也是重要考点，告知斜率的范围要能求出倾斜角的范围，反之一样.当90α=，斜率不存在.9. 【2015高考安徽，文8】直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ） （A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12【答案】D【解析】∵直线b y x =+43与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴224343+-+b ＝1⇒2=b 或12,故选D .【考点定位】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.【名师点睛】在解决直线与圆的位置关系问题时，有两种方法；方法一是代数法：将直线方程与圆的方程联立，消元，得到关于x （或y ）的一元二次方程，通过判断0;0;0<∆=∆>∆来确定直线与圆的位置关系；方法二是几何法：主要是利用圆心到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ，然后再将d 与圆的半径r 进行判断，若r d >则相离；若r d =则相切；若r d <则相交；本题考查考生的综合分析能力和运算能力.10. 【2015高考天津，文6】如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N ,若CM =2,MD =4,CN =3,则线段NE 的长为（ ） (A) 83 (B) 3 (C) 103 (D) 52【答案】A【考点定位】本题主要考查圆中的相交弦定理.【名师点睛】平面几何中与圆有关的性质与定理是高考考查的热点,解题时要充分利用性质与定理求解,本部分内容中常见的命题点有:平行线分线段成比例定理;三角形的相似与性质;圆内接四边形的性质与判定;相交弦定理与切割线定理.11. 【2014天津，文7】如图，ABC ∆是圆的内接三角行，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②FA FD FB ⋅=2；③DE BE CE AE ⋅=⋅；④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是（ ）A.①②B.③④C.①②③D. ①②④【答案】D【解析】试题分析：因为,,FBD BAD DBC DAC ∠=∠∠=∠而BAD DAC ∠=∠,所以,FBD DBC ∠=∠故①BD 平分CBF ∠正确，因为,,FBD FBA BFD AFB ∠=∠∠=∠所以,FBD FBA ∆∆即2AF BF AF DF BF BF DF =⇒⋅=,②正确，AB AF AF DB AB DF DB DF=⇒⋅=⋅,④正确，由EBD EAC ∆∆得：EB EA EB EC ED EA ED EC=⇒⋅=⋅,③不对，选D. 考点：三角形相似【名师点睛】本题考查平面几何中圆的内接四边形问题及及三角形相似问题，本题属于小型综合问题，涉及到弦切角定理，同弧所对的圆周角相等，推导角相等或判断三角形相似，借助三角形相似得出比例式，从而证明等积式，平面几何选讲内容是必考内容，有的省份考选填题，有的省份考解答题，主要涉及平行线截线段成比例，全等三角形、相似三角形的判定及性质，圆的切线的性质，与圆有关的比例线段，圆的内接四边形等有关知识.12.【2014上海,文18】 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解（C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解【答案】B【考点】向量的平行与二元一次方程组的解．【名师点睛】可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y 的二元一次方程组：ax by c dx ey f +=⎧⎨+=⎩,当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。
三年高考(2014-2016)数学(理)真题分项版解析—— 专题10 立体几何(选择填空)
三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析第十章 立体几何一、选择题1. 【2014高考北京理第8题】如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F 在棱A 1B 1上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上．若EF ＝1，A 1E ＝x ，DQ ＝y ，DP ＝z (x ，y ，z 大于零)，则四面体P —EFQ 的体积( )A ．与x ，y ，z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关，与x ，z 无关D ．与z 有关，与x ，y 无关 【答案】D考点：点到面的距离;锥体的体积.【名师点睛】本题考查空间下几何体中相应点的坐标以及四面体的体积，点到面的距离，本题属于基础题，要准确确定三角形的底和高，利用锥体的体积求出多面体的体积.2.【2014高考北京理第7题】在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D A B C 在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D 【解析】试题分析：三棱锥ABC D -在平面xoy 上的投影为ABC ∆，所以21=S ，设D 在平面yoz 、zox 平面上的投影分别为2D 、1D ，则ABC D -在平面yoz 、zox 上的投影分别为2OCD ∆、1OAD ∆，因为)2,1,0(1D ，)2,0,1(2D ，所以212=-S S ， 故选D.考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.【名师点睛】本题考查空间直角坐标系下几何体的位置和相应点的坐标以及正投影的概念，正投影的位置、形状和面积，本题属于基础题，要准确写出点的坐标，利用坐标求出三角形的面积.3. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A 【解析】试题分析： 该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ． 考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.4. 【2014高考广东卷.理.7】若空间中四条直线两两不同的直线1l .2l .3l .4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是( )A .14l l ⊥B .14//l lC .1l .4l 既不平行也不垂直D .1l .4l 的位置关系不确定 【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，D 1C 1B 1A 1DCBA14//l l ；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此1l .4l 的位置关系不确定，故选D .【考点定位】本题考查空间中直线的位置关系的判定，属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于中等题．解题时一定要注意选“正确”还是选“错误”， 否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理．5.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为122416S ππ=⋅⋅=，圆锥的侧面积为2122482S ππ=⋅⋅⋅=，圆柱的底面面积为2324S ππ=⋅=，故该几何体的表面积为12328S S S S π=++=，故选C.考点： 三视图，空间几何体的体积. 【名师点睛】由三视图还原几何体的方法:5.【 2013湖南7】已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于A ．1BC ．2D ．2【答案】 C【解析】试题分析： 由题知，正方体的棱长为1，水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为. 【考点定位】三视图【名师点睛】本题主要考查了简单空间图形的三视图，解决问题的关键是正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键．6.【 2014湖南7】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【考点定位】三视图 内切圆 球 三棱柱【名师点睛】解决有关三视图的题目，主要是根据三视图首先得到几何体的空间结构图形，然后运用有关立体几何的知识进行发现计算即可，问题在于如何正确的判定几何体的空间结构，主要是根据“长对正，高平齐，宽相等”进行判断.7.【2015高考山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）（A ）23π （B ）43π （C ）53π （D ）2π 【答案】C【解析】直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为：2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.【考点定位】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.【名师点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查，此题属中档题.8. 【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16 B.13 C.12D.1 【答案】A 【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P ABC -，其体积111111326V =⋅⋅⋅⋅=，故选A.考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算.【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.9.【2014高考陕西版理第5题】已知底面边长为1在同一个球面上，则该球的体积为（ ）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】D 【解析】试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故22R ==，即得1R =，所以该球的体积224441333V R πππ===，故选D .考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.【名师点晴】本题主要考查的是正四棱柱的几何特征；球的体积，属于容易题．解题时一定要注意正四棱柱的几何特征（实际上是一个特殊的长方体），求出球的直径，进而得到半径，然后利用球的体积公式直接运算即可10. 【2015高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 【考点定位】1、三视图；2、空间几何体的表面积．【名师点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的表面积，属于容易题．解题时要看清楚是求表面积还是求体积，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可．11. 【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18+（B ）54+（C ）90 （D ）81 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积2362332354S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．考点：空间几何体的三视图及表面积．【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．基本性质及推论，线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．12. 【2015高考新课标2，理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．1B ．1C ．61D ．51【答案】D【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A BC D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ．A1【考点定位】三视图．【名师点睛】本题以正方体为背景考查三视图、几何体体积的运算，要求有一定的空间想象能力，关键是能从三视图确定截面，进而求体积比，属于中档题．13. 【2014新课标，理6】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13【答案】C【考点定位】1.三视图；2.简单几何体的体积.【名师点睛】本题考查了三视图，直观图，组合体的体积，属于中档题，注意由三视图还原几何体的解题的关键，注意计算的准确性．14. 【2015高考新课标2，理9】已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．【考点定位】外接球表面积和椎体的体积．【名师点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算，要明确球的截面性质，正确理解四面体体积最大时的情形，属于中档题．15. 【2014新课标，理11】直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25C.D. 【答案】C【解析】以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线1CC 为z 轴，则设CA=CB=1，则(0,1,0)B ，11(,,1)22M ，A （1，0，0），1(0,1)2N ，故11(,,1)22BM =-uuu r ，1(,0,1)2AN =-uuu r ，所以 cos ,||||BM AN BM AN BM AN ⋅==⋅uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur 3=C. 【考点定位】异面直线所成的角. 【名师点睛】本题考查了空间几何体棱柱的性质，异面直线所成角，空间直角坐标，空间向量的数量积，本题属于中档题，要求学生根据根据已知建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的知识求异面直线所成角的余弦值，注意由已知准确写出所需点的坐标.16. 【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）1233+π （B ）13+ （C ）13+ （D ）1+ 【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知,上面是半径为2的半球,体积为311423V π=⨯⨯=⎝⎭下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积2111133V =⨯⨯=,故选C. 考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等. 17. 【2014四川，理8】如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则s i n α的取值范围是（ ）A ．3B ．[3C ．[33D ．[3【答案】B【考点定位】空间直线与平面所成的角.【名师点睛】通过证明直线与平面垂直，构造得到直线与平面所成角的平面角，利用解三角形的知识计算得到其正弦值.本题属于中等题，主要考查学生基本的运算能力以及空间想象能力，考查学生空间问题转化为平面问题的转化与化归能力.18【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥，则（ ） A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥lD ．m ⊥n【答案】C【解析】试题分析：由题意知,l l αββ=∴⊂ ，,n n l β⊥∴⊥ ．故选C ．考点：空间点、线、面的位置关系．【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．19. 【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
2013~2019年各省市高考真题：解析几何—直线与圆(附详细答案 老师和学生通用)
2 39．（2011 新课标）在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 y x2 6x 1与坐标轴的交点都在圆 C 上．
（I）求圆 C 的方程；
（II）若圆 C 与直线 x y a 0 交于 A，B 两点，且 OA OB, 求 a 的值．
32．（2014 湖北）已知圆 O : x2 y2 1和点 A(2, 0) ，若定点 B(b, 0) (b 2) 和常数 满足：对圆 O 上任
意一点 M ，都有 | MB | | MA | ，则
（Ⅰ） b
；
（Ⅱ）
.
33．（2013 浙江）直线 y 2x 3 被圆 x2 y2 6x 8y 0 所截得的弦长等于__________.
D． 4 或 3 34
8．（2015 广东）平行于直线 2x y 1 0 且与圆 x2 y2 5 相切的直线的方程是
A． 2x y 5 0 或 2x y 5 0
B． 2x y 5 0 或 2x y 5 0 C． 2x y 5 0 或 2x y 5 0
D． 2x y 5 0 或 2x y 5 0 9．（2015 新课标 2）过三点 A(1,3) ， B(4, 2) ， C(1, 7) 的圆交于 y 轴于 M 、 N 两点，则 MN =
18．（2014 江西）在平面直角坐标系中， A, B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线
2x y 4 0 相切，则圆 C 面积的最小
C． (6 2 5)
D． 5 4
19．（2013 山东）过点(3，1)作圆 x 12 y2 1的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为
三年高考(2014-2016)数学(理)试题分项版解析专题08直线与圆解析版Word版含解析
三年高考(2014-2016 )数学(理)试题分项版解析第八章直线与圆、选择题程是(【答案】D •【考点定位】直线与圆的位置关系，直线的方程.距离等于半径求得，属于容易题.距离为1，则a=(【解析】试題分折；圈的方程可化为(x-l>1+(y-4)1 = 4,所法固心坐标为(1.4),由点到直线的距离公式衛考点：圆的方程、点到直线的距离公式 . 【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法1.【2015高考广东，理5】平行于直线2x0且与圆x 2 y 2 5相切的直线的方A . 2x y .5 0 或 2x B. 2x C. 2x y 50 或 2x yD. 2x5 0 或 2x y 5 0【解析】依题可设所求切线方程为 2x y0,则有,5，解得c 5，所以所求切线的直线方程为 2x y5 0 或 2x【名师点睛】 本题主要考查直线与圆的位置关系,利用点到直线距离求直线的方程及转化与化归思想的应用和运算求解能力，根据题意可设所求直线方程为 2x y c 0，然后可用代数方法即联立直线与圆的方程有且只有一解求得,也可以利用几何法转化为圆心与直线的2.【2016咼考新课标2理数】 圆x 22x 8y 13 0的圆心到直线ax y 1 0的(A ) 43【答案】A(B )(C ) 3(D ) 2-(1) 几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断.若d>r，则直线与圆相离；若d = r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交.(2) 代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断.如果A<0,方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果A= 0,方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果A>0,方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交.提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法.3.【2015高考山东，理9】一条光线从点2, 3射出，经y轴反射后与圆x 32y221相切，则反射光线所在直线的斜率为( )5亠33亠2 5 44(A) _或(B) 或 _ (C) 或(D)-35 2 3 4 53或34【答D案】【解析】由光的反射厚理知，反射光绒的反问延长线必过点(2.-3),设反射光线所在直线的斜率为上「则反身光线所在直线方程再；p+3二忍工-2),即；k-y-2k-3=0又因为光线与圆相切丿匕43『+(卩-2『"所儿「整理：12^+25^12=0 ?解得：血二一一,或盘二一一，故选LL3 斗【考点定位】1、圆的标准方程；2、直线的方程；3、直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查了圆与直线的方程的基础知识，重点考查利用对称性解决直线方程的有关问题以及直线与圆的位置关系的判断，意在考查学生对直线与直线、直线与圆的位置关系的理解与把握以及学生的运算求解能力•4. 【2015高考新课标2,理7】过三点A(1,3) , B(4,2) , C(1, 7)的圆交y轴于M , N两点，则|MN | ( )【答案】A3 2 12 7【解析】由已知得k AB ——一，k C B —— 3，所以k AB k CB 1，所以AB CB ,1 43 4 1即 ABC 为直角三角形，其外接 圆圆心为(1, 2),半径为5，所以外接圆方程为(x 1)2 (y 2)2 25，令 x 0，得 y2应 2，所以 MN 4血，故选 C.【考点定位】圆的方程.【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出 ABC 是直5. 【2015高考重庆，理8】已知直线l: x+ay-1=0( a R )是圆C : x 2的对称轴•过点A (-4, a )作圆C 的一条切线，切点为 B ,则| AB|= ( )A 、2B 、4.2C 、6D 、2,10【答案】C【解析】圆 C 标准方程为(x 2)2 (y 1)2 4，圆心为C(2,1)，半径为r2 a 1 1 0,a 1, 即A( 4, 1)AB| J|AC 『r 2 7( 4 2)2 ( 1 1)2 4 6.选 C.【考点定位】直线与圆的位置关系 .【名师点晴】 首先圆是一个对称图形， 它关于圆心成中心对称,判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长| - d 2 r 2 .6.【2014福建，理6】直线| : y kx 1与圆O:x 2 y 2 1相交于A,B 两点，则"k 1"是1“ OAB 的面积为一 ”的()2A 充分而不必要条件B.必要而不充分条件A . 2 .6 【答案】CB . 8C. 4-6D . 10C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题.是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心,其次直线与圆有相交、 相切、相离三种位置关系, 2y 4x 2y 12，因此关于每一条直径所在直线都【解析】 试西分析：由^ = 1时，甌剧肓线厂7 = x+l 的距高丑二丰廝|次弦灶血•所以ii£r氐細=卜血£ = £ •所以充井性成立，由團形的对成性当血=-1时，的面积湖| .所以不更性 j£r£ 二 上不成立-加选4考点：1.直线与圆的位置关系 2充要条件.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、 三角形的面积及充分条件与必要条件等基 础知识，意在考查转化划归能力及运算能力，充分条件与必要条件多以客观题形式出现 •相关结论是：若p q ,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件两点间的最大距离是( )A5 2 B. 46、2 C.7- 2 D.6 2【答案】D【解析】试題分析：依题意AP 两点.间的最大距离可味訛为圜心到稱圆上的点的最尢距离再扣上圆的半^血・ 设e (^y ＞一圆心到椭圆的最大距离d = Jd+b-硏=Ab_ 12尸佔=心孑亠50＜止一所 以P.Q 两点间的最尢距禽是6血一故选D.考点：1.直线与圆的位置关系.2.数形结合的思想.【名师点睛】本题主要考查圆与椭圆的基础知识，及划归思想 .本题解法的关键是把两点间 的最大距离转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径， 注意与圆锥曲线有关的试题，一般运算量比较大，要注意运算的准确性.二、填空题1.【2014江苏，理9】在平面直角坐标系 xoy 中，直线x 2y 30被(x 2)2 (y 1)2 4圆截得的弦长为 ________ .7.【2014福建,理9】设P,Q 分别为x 222xy 62和椭圆 y 21上的点，则P,Q10x【答案】1,1【答案】彳更5【解析】圆(x 2)2 (y 1)24的圆心为C(2, 1)，半径为r 2，点C 到直线x 2y 3 0 的距离为 dl 2、口 2 .厂 2^ .V 55【考点】直线与圆相交的弦长问题. 【名师点晴】求圆的弦长的常用方法(1) 几何法：设圆的半径为 r ，弦心距为d ，弦长为I ，贝U 2 2= r 2-d 2. (2) 代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB|=＜』1 + k 2|x i - X 2|= 1 + k 2[x i + X 2 2— 4X I X2]. 注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题.2.【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系 xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx y 2m 10(m R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ________________【答案】(x 1)2 y 22.【解析】由题意得：半径等于|m 11 ，(叮'.1餌.122|m|■■ 2，当且仅pm 2 1 Y m 1 S m 1 Y m 1 当m 1时取等号，所以半径最大为 r 2，所求圆为(x 1)2 y 2 2.【考点定位】直线与圆位置关系【名师点晴】利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 .圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题•当半径表示为关于 m的函数后，利用基本不等式求最值，需注意一正二定三相等的条件13.【2015高考陕西，理15】设曲线y e x 在点(0,1)处的切线与曲线y —(X 0)上点处的切线垂直，则的坐标为 ________3=, 所求弦长为52 2(1) J 2 22【解析】因为尸所次務尸/在点©1)处的切?员饷率耐二州“之―I,设F的坐标为(心能)〈吃“h 5My0 =丄，因为孑=丄，所以^My = -在点P址的切线忑X X X的糾率^=y 因为百焉=一1,所以一=7』即於=1」解簿兀=±1,因为^>0a^=U所次此=1,即P的坐标圧(14).所以答案应填：(L1).【考点定位】1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系.【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和两条直线的位置关系，属于容易题.解题时一定要注意考虑直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误.解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率.4. 【2014高考陕西版文第12题】若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y x对称，则圆C的标准方程为________ .【答案】x2 (y 1)2 1【解析】试题分析：因为圆心与点(1,0)关于直线y x对称，所以圆心坐标为(0,1)，所以圆的标准方程为：x2 (y 1)2 1，故答案为x2 (y 1)2 1考点：圆的标准方程•【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，点关于直线的对称，，属于容易题•解题时利用对称性求出圆心坐标，就可以写出圆的标准方程.5. 【2014新课标，理16】设点M ( x0,1),若在圆O：x2 y2 1上存在点N,使得/OMN=45°，贝U X。
高考数学分项汇编 专题08 直线与圆(含解析)
专题8 直线与圆一．选择题1. 【2007年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷8】由直线y=x +1上的一点向圆(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为（ ） A.1B.22C.7D.32.【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷9】若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是（ ） A.[122-,122+] B.[12-,3] C.[-1,122+]D.[122-,3]3.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷5】过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ） A ．20x y +-= B ．10y -= C ．0x y -=D ．340x y +-=二．填空题1.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷13】若直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 【答案】)34,0( 【解析】试题分析：由直线y ＝kx ＋2与圆(x －2)2＋(y －3)2＝1有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径，即2|232|1k k -++<1，解得k ∈(0，34). 2. 【2008年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷15】圆34cos ,()24sin x C y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数的圆心坐标为 ，和圆C 关于直线0x y -=对称的圆C ′的普通方程是 . 【答案】15．（3，－2），（x ＋2）2＋（y －3）2＝16（或x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0） 【解析】试题分析：将圆的参数方程转化为标准方程为:22(3)(2)4x y -++=,可知圆C 的圆为（3，－2）;要求关于直线对称的圆,关键在求圆心的坐标,显然（3，－2）关于直线0x y -=对称的点的坐标是（－2，3）,所以要求的圆的方程是（x ＋2）2＋（y －3）2＝16（或x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0）.3. 【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷14】过原点O 作圆x 2+y 2-－6x －8y ＋20=0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为 . 【答案】4 【解析】试题分析：可得圆方程是22(3)(4)5x y -+-=又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得4PQ =.4. 【2011年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷14】过点)2,1(--的直线l 被圆012222=+--+y x y x 截得的弦长为2，则直线l 的斜率为 ．5. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷14】已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = . 【答案】1 【解析】试题分析：由题意圆心到该直线的距离为1，而圆半径为5＞2，故圆上有4个点到该直线的距离为1.6. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则:（1）=b ； （2）=λ .【答案】（1）21-；（2）21【解析】7. 【2015高考湖北，文16】如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =. （Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________. 【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y -+-=；（Ⅱ）12--.【解析】设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T 知，点C 的横坐标为1，即01x =，半径0r y =.又因为2AB =，所以222011y +=，即02y r =，所以圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y -+=，令0x =得：21)B .设圆C 在点B 处的切线方程为(21)kx y -=，则圆心C 到其距离为：xO yTCAB第16题图222121k d k -++==+，解之得1k =.即圆C 在点B 处的切线方程为x (21)y =++，于是令0y =可得x 21=--，即圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为12--，故应填22(1)(2)2x y -+-=和12--.【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题。
专题08 圆与圆的位置关系(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题08圆与圆的位置关系【知识梳理】1、圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．2、圆与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离．（2）几何法：设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d ．当1212r r d r r -<<+时，两圆相交；当12r r d +=时，两圆外切；当12r r d +<时，两圆外离；当12r r d -=时，两圆内切；当12r r d ->时，两圆内含．3、两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．4、两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．5、圆系方程（1）过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=（2）以(),a b 为圆心的同心圆系方程是：()()222(0)x a y b λλ-+-=≠；（3）与圆220x y Dx Ey F ++++=同心的圆系方程是220x y Dx Ey λ++++=；（4）过同一定点(),a b 的圆系方程是()()2212()()0x a y b x a y b λλ-+-+-+-=．【专题过关】【考点目录】考点1：圆与圆的位置关系考点2：两圆的公共弦问题考点3：公切线问题考点4：圆系方程的应用【典型例题】考点1：圆与圆的位置关系1．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知两圆分别为圆221:49C x y +=和圆2226890C x y x y +--+=:，这两圆的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切【答案】B【解析】由题意得，圆1C 圆心()0,0，半径为7；圆()()222:3416C x y -+-=，圆心()3,4，半径为4，5=，因为74574-<<+，故这两圆的位置关系是相交.故选：B.2．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）圆224x y +=与圆2286160x y x y +--+=的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．内含D ．外切【答案】D【解析】由题，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2；圆2286160x y x y +--+=，即()()22439x y -+-=，所以圆心为()4,3，半径为3；523==+，所以两圆外切.故选：D3．（2021·吉林油田高级中学高二期中）圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切【答案】D【解析】圆2264120x y x y +-++=的圆心坐标是()3,2-，半径是1；圆22142140x y x y +--+=的圆心坐标是()7,1，半径是6，561==-，故两个圆内切.故选：D.4．（2021·安徽滁州·高二期中）已知圆1C ：()()22225x a y -++=，圆2C ：()()2214x y a +++=，若圆1C 与圆2C 内切，则实数a 的值是（）A ．2-B ．2C ．1-或2D ．1或2-【答案】C【解析】由题可知圆心()1,2C a -，半径15r =，圆心()21,C a --，半径22r =，因为圆1C 与圆2C 内切，所以12123C C r r ==-=，解得1a =-或2a =．故选：C ．5．（多选题）（2021·辽宁大连·高二期中）点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A ．PQ 的最小值为3B ．PQ 的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为43-D ．两个圆相交【答案】ABC【解析】根据题意，圆221:1C x y +=，其圆心1(0,0)C ，半径1R =，圆222:68240C x y x y +-++=，即22(3)(4)1x y -++=，其圆心2(3,4)C -，半径1r =，圆心距125C C ==>R +r ，故两圆外离，故D 错误；则PQ 的最小值为123C C R r --=，最大值为127C C R r ++=，故A 正确，B 正确；对于C ，两个圆心所在的直线斜率404303k --==--，故C 正确.故选：ABC.6．（2020·江西·宜春九中高二期中（文））已知圆C ：22680x y x y m +--+=，其中R m ∈．(1)已知圆C 与圆：221x y +=外切，求m 的值；(2)如果直线30x y +-=与C 相交所得的弦长为m 的值．【解析】（1）由圆22:680C x y x y m +--+=，可得22(3)(4)25x y m -+-=-，则圆心(3,4)C ，半径r =由圆221x y +=，可得圆心(0,0)，半径1R =，因为两圆外切，1=，解得9m =．（2）圆C 的圆心坐标为(3,4)圆心到直线的距离d ==又直线30x y +-=与圆C 相交所得的弦长为∴2225m +=-，解得3m =-．m ∴的值为3-．7．（2021·辽宁·辽河油田第二高级中学高二期中）已知圆1C 的圆心在x 轴上，且过()5,2，()0,3两点．(1)求圆1C 的方程；(2)若圆1C 与圆()()()2222:120C x y r r +++=>有公共点，求r 的取值范围．【解析】(1)由题意，设()()222111:0C x a y r r -+=>，由圆1C 过()5,2，()0,3两点可得()()2222215203a r a -+==-+，解得2a =，1r =所以圆1C 的方程为()22213x y -+=．(2)()()2222:12C x y r +++=(r ＞0)的圆心为()21,2C --，半径为r ，因为圆1C 与圆2C 有公共点，所以两圆外切、相交或内切，所以1121r r C C r r -≤≤+，又21C C =r r +，0r ≤≤又0r >，所以(0,r ∈.8．（2018·湖北·葛洲坝中学高二期中（理））如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+y 2-4x =0及点A （-1，0），B （1，2）．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =AB ，求直线l 的方程；(2)圆C 上是否存在点P ，使得PA 2+PB 2=12?若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．【解析】（1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心C （2，0），半径为2．因为l ∥AB ，且A （-1，0），B （1，2），所以直线l 的斜率为2011(1)-=--．设直线l 的方程为x -y +m =0，则圆心C 到直线l 的距离为|20|2|22d ==因为222222MN AB =+而2222MN CM d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2(2)422m +=+，解得m =0或m =-4，所以直线l 的方程为x -y =0或x -y -4=0．（2）假设圆C 上存在点P ，设P （x ，y ），则22(2)4x y -+=，所以PA 2+PB 2=2222(1)(0)(1)(2)12x y x y ++-+-+-=，整理得x 2+y 2-2y -3=0，即x 2+（y -1）2=4．因为22|22|(20)(01)22-<-+-<+，所以圆（x -2）2+y 2=4与圆x 2+（y -1）2=4相交，所以点P 的个数为2．9．（2021·广东番禺中学高二期中）已知圆C 1:(x -1)2+(y +5)2=50，圆C 2:(x +1)2+(y +1)2=10.（1）证明圆C 1与圆C 2相交；（2）若圆C 3经过圆C 1与圆C 2的交点以及坐标原点，求圆C 3的方程.【解析】（1）证明:依题意得，C 1(1，-5)，r 1，C 2(-1，-1)，r 2，因此，C 1C 2|=C 1与C 2相交.（2）设圆C 1与圆C 2的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).联立2222(1)(5)50(1)(1)10x y x y ⎧-++=⎨+++=⎩，，两式相减得x -2y +4=0，即x =2y -4，代入第一个式子得，(2y -5)2+(y +5)2=50，解得12120240y y x x ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，，，，∴圆C 3过A (-4，0)，B (0，2)，原点O (0，0).易得△ABO 为直角三角形，∴r=1||2AB =AB 的中点(-2，1)，∴圆C 3的方程为(x +2)2+(y -1)2=5.10．（2017·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）在平面直角坐标系xoy 中，(0,0)O ，(0,3)A -，动点M 满足2AM MO =，M 的轨迹方程为____，M 的轨迹与圆()()22241,(0)x y r r -+-=>有公共点，则实数r 的取值范围是____．【答案】22(1)4x y +-=[2,6]【解析】设(,)M x y ，由2AM MO =得()()222234x y x y ++=+，化简得22(1)4x y +-=；M 的轨迹与圆()()22241,(0)x y r r -+-=>有公共点，两圆心分别为(0,1),(4,1)，圆心之间的距离为4，故242r r -≤≤+，解得26r ≤≤.故答案为：22(1)4x y +-=；[2,6].考点2：两圆的公共弦问题11．（多选题）（2021·福建宁德·高二期中）（多选）下列命题正确的有（）A ．直线()()34330R m x y m m ++-+=∈恒过定点()33-，B ．已知圆2214C x y +=：与圆2222210C x y x y +--+=：相交于A B ，两点，则直线AB 的方程为2250x y ++=.C ．圆()2211x y ++=与圆()()222420x y m -+-=-恰有三条公切线，则4m =D ．已知点P Q ，分别为圆()()22121x y -++=与直线3450x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为3.【答案】AC【解析】对于A ，直线()()34330R m x y m m ++-+=∈化为：()33430m x x y +++-=，令303430x x y +=⎧⎨+-=⎩，解得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线()()34330R m x y m m ++-+=∈恒过定点()33-，，故A 正确；对于B ，两圆的方程相减得2214x y +-=，所以直线AB 的方程为2250x y +-=，故B 错误；对于C ，若圆()2211x y ++=与圆()()222420x y m -+-=-恰有三条公切线，所以两圆外切，圆()2211x y ++=的圆心为()1,0-，半径为1，圆()()222420x y m -+-=-圆心为()2,41=4m =，故C 正确；对D ，已知点P Q ，分别为圆()()22121x y -++=与直线3450x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，圆心()1,2-到直线3450x y +-=2=，所以PQ 的最小值为211-=，故D 错误.故选：AC.12．（2022·上海市控江中学高二期中）已知圆222450x y x y ++--=与22210x y x ++-=相交于A B ､两点，则公共弦AB 的长是___________.【答案】2【解析】由题意AB 所在的直线方程为：()()2222245210x y x y x y x ++---++-=，即1y =-，因为圆22210x y x ++-=的圆心()1,0O -，半径为r =所以，圆心()1,0O -到直线1y =-的距离为1，所以2AB ==.故答案为：213．（多选题）（2021·湖北十堰·高二期中）已知两圆221:210240C x y x y +-+-=，222:2280C x y x y +++-=，则下列结论正确的是（）A ．两圆外离B ．两圆有3条公切线C ．两圆相交，且两圆的公共弦长为D ．两圆的公共弦方程为240x y -+=【答案】CD【解析】由题得221:(1)(5)50C x y -++=，圆心1C 坐标为1(1,5),r -=222:(1)(1)10C x y +++=,圆心2C 坐标为2(1,1),r --=.所以12||C C ==所以121212||r r C C r r -<<+，所以两圆相交.所以选项AB 错误.两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程240x y -+=；所以圆心1C 到公共弦所在直线的距离d =∴公共弦的长为=．所以选项CD 正确.故选：CD14．（多选题）（2021·湖北十堰·高二期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为22D ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+【答案】AD【解析】由2220x y x +-=与22240x y x y ++-=作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=，故A 正确，B 错误；对于C ，圆心1(1,0)O 到直线0x y -=的距离为2d ==，圆1O 的半径1r =，所以AB ==C 错误；对于D ，点P 为圆1O 上一动点，则点P 到直线AB 距离的最大值为12d r +=+，故D 正确.故选：AD.15．（多选题）（2021·山东·菏泽一中高二期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:460O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．线段AB 中垂线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．两圆圆心距12OO =【答案】ABD【解析】2220x y x +-=①，22460x y x y ++-=②，用①减去②即得到公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=，故A 正确；把圆221:20x y x O +-=化为标准方程得22(1)1x y -+=，圆心1O 为(1,0)，半径为11r =，把圆222:460O x y x y ++-=化为标准方程为22(2)(3)13x y ++-=，圆心2O 为(2,3)-，2r 线段AB 中垂线即为圆心1O 与圆心2O 两点构成的直线为10x y +-=，故B 正确；圆心1O 到公共弦所在直线0x y -=的距离为22d ==，故公共弦AB 的长为，故C 错误；圆心1O 到圆心2O 的距离12O O ==，故D 正确.故选：ABD.16．（2022·全国·高二期中）已知圆221:210240 C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度.【解析】(1)将两圆方程化为标准方程为221:(1)(5)50C x y -++=，222:(1)(1)10C x y +++=,则圆1C 的圆心为(1,5)-，半径1r =圆2C 的圆心为(1,1)--，半径2r =.12C C =12r r +=12r r -=121212r r C C r r ∴-<<+，∴两圆相交.(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为240x y -+=.(3)由22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩,解得40x y =-⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴两圆的交点坐标为(4,0)-和(0,2).∴=17．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知圆M 经过点(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C .(1)求圆M 的一般方程；(2)求圆M 与圆222x y +=的公共弦长.【解析】(1)设圆M ：220x y Dx Ey F ++++=，把(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C 三点坐标代入圆M得：042044220F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得：220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以圆M 的一般方程为22220x y x y +--=(2)联立22220x y x y +--=与222x y +=得：1x y +=，即1y x =-，代入到圆222x y +=中，解得：112x =，212x +=，分别代入1y x =-，求出112y +=，212y =，所以两交点的坐标为11,22⎛+ ⎝⎭，1122⎛+- ⎝⎭，则公共弦长等于=18．（2021·黑龙江·牡丹江一中高二期中）已知圆2222122610:1012450C x y x y C x y x y +---=+--+=：，(1)求证：12,C C 相交；(2)求圆12,C C 的公共弦所在的直线方程．【解析】(1)圆221:2610C x y x y +---=的圆心1(1,3)C，半径1r =222:1012450C x y x y +--+=的圆2(5,6)C，半径24r ==，12||5C C，124||54C C =<+，∴圆1C 和圆2C 相交．(2)两圆221:2610C x y x y +---=，222:1012450C x y x y +--+=，∴两圆相减，得圆1C 和圆2C 的公共弦所在直线方程为：86460x y +-=，即43230x y +-=．19．（2021·湖北省广水市实验高级中学高二期中）已知线段AB 的端点B 的坐标是(5,2)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动．(1)求线段AB 的中点M 的轨迹方程；(2)求曲线M 与22(1)(2)2x y -+-=的公共弦长．【解析】(1)设(,)M x y ，00(,)A x y ，则0052,,22x x y y +=+=，即025x x =-，022y y =-，又00(,)A x y 在已知圆上，所以2200(1)4x y ++=，即22(251)(22)4x y -++-=，化简得22(2)(1)1x y -+-=．即为点M 的轨迹方程；(2)由（1）知点M 的轨迹是圆，与已知圆22(1)(2)2x y -+-=方程相减得：2210x y -++=，即2210x y --=．圆22(2)(1)1x y -+-=的圆心为(2,1)C ，半径为1r =，C 到直线2210x y --=的距离为24d =，所以公共弦长为l ===考点3：公切线问题20．（2021·安徽·池州市第一中学高二期中）已知圆221:(1)(2)9C x y -+-=，222:(2)(3)4C x y -+-=(1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长；(2)若动直线l 与圆1C 交于P ，Q ，且线段PQ 的长度为C ，直线l 总与之相切.【解析】（1）由圆221:(1)(2)9C x y -+-=可得()11,2C ，半径13r =，由圆222:(2)(3)4C x y -+-=可得()22,3C ，半径22r =，12C C =所以12121215r r C C r r =-<<+=，所以圆12,C C 相交.设直线RS 分别与圆12,C C 切于R ，S ，连接12,C R C S ，在直角梯形12C C SR 中，12123,2,C R C S C C ===所以||1RS =，即它们的公切线之长为1；（2）设线段PQ 的中点为D ，则1C D PQ ⊥，因为动直线l 与圆1C 交于P ，Q ，且线段PQ 的长度为所以1C D =又因为1C D PQ ⊥，所以点()11,2C 到直线l 所以直线l 总与圆22(1)(2)3x y -+-=相切，所以存在一个定圆22:(1)(2)3C x y -+-=，直线l 总与之相切.21．（2021·福建·厦门双十中学高二期中）已知两圆221:1C x y +=，222:68110C x y x y +---=，则两圆的位置关系为___________，两圆的公切线方程为___________.（用一般式表示）【答案】内切3450x y ++=【解析】由圆221:1C x y +=可得圆心()10,0C ，半径1r =，由222:68110C x y x y +---=可得()()223436x y -+-=，可得圆心()23,4C ，半径6R =，因为圆心距125C C ==，5R r -=，所以12C C R r =-，所以两圆的位置关系为内切，设公切线方程为：y kx b =+，由题意可得16==，因为两圆圆心所在直线12C C 垂直于公切线，且1243C C k =，所以34k =-1=可得54b =，经检验54b=6=，所以54b =-，所以两圆的公切线方程为3544y x =--即3450x y ++=.故答案为：内切；3450x y ++=.22．（2022·甘肃·天水市第一中学高二期中）已知两圆方程分别为224x y +=和()()22349x y -+-=．则两圆的公切线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C 【解析】两圆的圆心分别为(0,0)和(3,4)，半径分别为2和3523==+，则两圆外切，公切线有3条．故选：C23．（2022·上海·格致中学高二期中）已知圆221:4O x y +=，圆()222:22400O x y mx my m +---=≠，则同时与圆1O 和圆2O 相切的直线有（）A ．4条B ．2条C ．1条D ．0条【答案】B【解析】由221:4O x y +=，得圆()10,0O ，半径为12r =，由()222:22400O x y mx my m +---=≠，得()2,O m m ，半径为2r ==所以210O O >，2120r r ->，122r r +=+所以121212O O r r r r -<<+，所以圆1O 与圆2O 相交，所以圆1O 与圆2O 有两条公共的切线.故选：B.24．（2021·天津市嘉诚中学高二期中）两圆221:1C x y +=，222:(3)(4)16C x y -+-=的公切线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C 【解析】圆221:1C x y +=的圆心1(0,0)C ，半径11r =，圆222:(3)(4)16C x y -+-=的圆心2(3,4)C ，半径24r =，而1212||5C C r r ==+，即圆1C 与2C 外切，它们有3条公切线，所以圆1C 与2C 的公切线有3条.故选：C25．（2021·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期中（文））圆221:20O x y y +-=和圆222:8120O x y y +-+=的公切线的条数为______．【答案】3【解析】由题知圆1O ：2220x y y +-=的圆心()10,1O ，半径11r =，圆2O ：228120x y y +-+=的圆心()20,4O ，半径22r =，所以123O O =，123r r +=，所以两圆外切，所以两圆共有3条公切线.故答案为：326．（2021·湖南·高二期中）若圆221:20C x y x m +--=与圆222:40C x y y m +++=恰有2条公切线，则m 的取值范围为（）A ．()0,4B ．()1,4-C ．()1,0-D ．[)0,4【答案】B【解析】因为圆221:(1)1C x y m -+=+与圆222:(2)4C x y m ++=-恰有2条公切线，所以10,40,m m ⎧+>⎪⎪->⎨解得1 4.m -<<故选：B ．考点4：圆系方程的应用27．过圆22240x y y +--=与22420x y x y +-+=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程是_______．【答案】22310x y x y +-+-=【解析】设圆的方程为()222242(1)240x y x y x y y λλ+-+++--=≠-，则()()()221412240x x y y λλλλ+-+++--=，即2242240111x y x y λλλλλ-+-+-=+++，所以圆心坐标为21,11λλλ-⎛⎫ ⎪++⎝⎭，把圆心坐标21,11λλλ-⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入2410x y +-=，可得13λ=，所以所求圆的方程为22310x y x y +-+-=．故答案为：22310x y x y +-+-=．28．已知圆221:230C x y x +--=与圆222:4230C x y x y +-++=相交于A 、B 两点．（1）求公共弦AB 所在直线方程；（2）求过两圆交点A 、B ，且过原点的圆的方程．【解析】（1）22230x y x +--=，①224230x y x y +-++=，②①-②得2260x y --=即公共弦AB 所在直线方程为30x y --=．（2）设圆的方程为()2222234230x y x x y x y λ+--++-++=即22(1)(1)(24)2330x y x y λλλλλ+++-++-+=因为圆过原点，所以330λ-+=，1λ=所以圆的方程为2230x y x y +-+=29．已知圆222212:6160,:450C x y x C x y x ++-=+--=．求证：对任意不等于1-的实数λ，方程()2222616450x y x x y x λ++-++--=是通过两个已知圆交点的圆的方程．【解析】若(,)m n 是圆1C 、圆2C 的交点坐标，则226160m n m ++-=且22450m n m +--=，所以(,)m n 必在()2222616450x y x x y x λ++-++--=上，又()22222261645(1)(1)(64)1650x y x x y x x y x λλλλλ++-++--=++++---=，所以2222329925(1(1)x y λλλλλ+=-+++++，则在1λ≠-时221919()240(1)λλ++>+，方程表示圆，综上，对任意不等于1-的实数λ，方程()2222616450x y x x y x λ++-++--=是通过两个已知圆交点的圆的方程．30．已知圆221:4440C x y x y ++-+=和圆222:20C x y x ++=．（1）求证：两圆相交；（2）求过点()2,3-，且过两圆交点的圆的方程．【解析】（1）证明：∵圆221:4440C x y x y ++-+=，即()()22224x y ++-=，表示以()12,2C -为圆心，半径等于2的圆，圆222:20C x y x ++=，即()2211x y ++=，表示以()21,0C -为圆心，半径等于1的圆，所以两圆的圆心距12C C =，大于两圆的半径之差且小于两圆的半径之和，故两圆相交．（2）设过两圆交点的圆的方程为()222244420x y x y x y x λ++-++++=．把点()2,3-代入，求得13λ=．故所求圆的方程为()22221444203x y x y x y x ++-++++=，即2273302x y x y ++-+=．31．（2021·北京通州·高二期中）经过点(2,2)M -以及圆2260x y x +-=与圆22240x y x y +--=交点的圆的方程为________．【答案】2250x y x y +--=【解析】设过圆2260x y x +-=与圆22240x y x y +--=交点的圆的方程为：22226(24)0x y x x y x y λ+-++--=①把点M 的坐标(2,2)-代入①式得13λ=，把13λ=代入①并化简得2250x y x y +--=，∴所求圆的方程为：2250x y x y +--=，故答案为：2250x y x y +--=．。
高考数学专题08直线与圆-高考数学试题分项版解析(解析版).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作专 题8 直线与圆1. 【2014高考安徽卷文第6题】过点(3,1)P -的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π，2. 【2014高考北京卷文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >， 若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.3. 【2014高考大纲卷文第16题】直线l 1和l 2是圆222x y +=的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1,3），则l 1与l 2的交角的正切值等于 .4.【2014高考福建卷文第6题】已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=5. 【2014高考湖北卷文第17题】 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则（1）=b ；（2）=λ .【答案】（1）21-；（2）21 【解析】试题分析：设),(y x M ，因为||||MA MB λ=，所以])2[()(22222y x y b x ++=+-λ，6.【2014高考湖南卷文第6题】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .8. 【2014高考全国2卷文第12题】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）2,2⎡⎤-⎣⎦ （D ）22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.【2014高考四川卷文第9题】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）学科网A 、[5,25]B 、[10,25]C 、[10,45]D 、[25,45]11.【2014高考浙江卷文第5题】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-【答案】B12.【2014高考重庆卷文第14题】已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.【答案】0或6【解析】试题分析：圆C 的标准方程为：()()22129x y ++-=,所以圆C 的圆心在()-12，，半径3r =又直线0x y a -+=与圆C 交于,A B 两点，且AC BC ⊥,所以圆心C 到直线0x y a -+=的距离322d =.所以，()221232211a --+=+-，整理得：33a -=解得：0a =或6a =. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、点到直线的距离公式.13. 【2014高考江苏第18题】如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=. （1）求新桥BC的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？yx14.【2014高考全国1文第20题】已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积。
高考数学分项版解析 专题08 直线与圆 文3
【十年高考】（浙江专版）高考数学分项版解析 专题08 直线与圆 文一．基础题组1. 【2014年.浙江卷.文5】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8- 【答案】B 【解析】考点：直线与圆相交，点到直线的距离公式的运用，容易题.2. 【2013年.浙江卷.文13】直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于__________．【答案】：【解析】：圆的圆心为(3,4)，半径是5，圆心到直线的距离d ==，可知弦长l ==.3. 【2012年.浙江卷.文4】设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】l 1与l 2平行的充要条件为a (a ＋1)＝2×1且a ×4≠1×(－1)，可解得a ＝1或a ＝－2，故a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．4. 【2011年.浙江卷.文12】若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______ 【答案】1【解析】：121212,,12k k k k m ==-∴⋅=-Q 直线互相垂直,，即12()1,12m m⋅-=-∴= 5. 【2005年.浙江卷.文3】点()1,1-到直线10x y -+=的距离是( )(A)12 (B)32【答案】D【解析】：点()1,1-到直线10x y -+=的距离2=,选(D) 6.【2016高考浙江文数】已知a ∈R ，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______. 【答案】(2,4)--，5【考点】圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得a 的方程，解得a 的值，一定要注意检验a 的值是否符合题意，否则很容易出现错误． 二．能力题组1. 【2012年.浙江卷.文17】定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝__________．【答案】94【解析】x 2＋(y ＋4)2＝2到直线y ＝x=y ＝x 2＋a 到y ＝x 的距离为，而与y ＝x 的直线有两条，分别是y ＝x ＋2与y ＝x －2，而抛物线y ＝x 2＋a 开口向上，所以y ＝x 2＋a 与y ＝x ＋2相切，可求得94a =．2. 【2009年.浙江卷.文9】已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C3. 【2007年.浙江卷.文4】直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是(A)x ＋2y －1＝0 (B)2 x ＋y －1＝0 （C ）2 x ＋y －3＝0 (D) x ＋2y －3＝4. 【2007年.浙江卷.文5】要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 【答案】CDC BA。
高考数学专题08直线与圆-高考数学试题分项版解析(解析版)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作专 题8 直线与圆1. 【2014高考安徽卷文第6题】过点(3,1)P -的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A.]60π，（ B.]30π，（ C.]60[π， D.]30[π，2. 【2014高考北京卷文第7题】已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >， 若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.3. 【2014高考大纲卷文第16题】直线l 1和l 2是圆222x y +=的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1,3），则l 1与l 2的交角的正切值等于 .4.【2014高考福建卷文第6题】已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=5. 【2014高考湖北卷文第17题】 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则（1）=b ；（2）=λ .【答案】（1）21-；（2）21 【解析】试题分析：设),(y x M ，因为||||MA MB λ=，所以])2[()(22222y x y b x ++=+-λ，6.【2014高考湖南卷文第6题】若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=，则m =（ ）.21A .19B .9C .11D -7.【2014高考江苏卷第9题】在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .8. 【2014高考全国2卷文第12题】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1-- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）2,2⎡⎤-⎣⎦ （D ）22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.【2014高考四川卷文第9题】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）学科网A 、[5,25]B 、[10,25]C 、[10,45]D 、[25,45]11.【2014高考浙江卷文第5题】已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 4-C. 6-D.8-【答案】B12.【2014高考重庆卷文第14题】已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.【答案】0或6【解析】试题分析：圆C 的标准方程为：()()22129x y ++-=,所以圆C 的圆心在()-12，，半径3r =又直线0x y a -+=与圆C 交于,A B 两点，且AC BC ⊥,所以圆心C 到直线0x y a -+=的距离322d =.所以，()221232211a --+=+-，整理得：33a -=解得：0a =或6a =. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、点到直线的距离公式.13. 【2014高考江苏第18题】如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=. （1）求新桥BC的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？yx14.【2014高考全国1文第20题】已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积。
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三年高考（2014-2016）数学（理）试题分项版解析
第八章 直线与圆
一、选择题
1. 【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（ ）
A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x
C. 052=+-y x 或052=--y x
D. 052=++y x 或052=-+y x
2. 【2016高考新课标2理数】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）
（A ）43- （B ）34
- （C （D ）2 3.【2015高考山东，理9】一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=错误！未找到
引用源。
相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
（A ）53-或35- （B ）32- 错误！未找到引用源。
或23- 错误！未找到引用源。
（C ）54-或45- （D ）43-或34- 4.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( )
A ．26
B ．8
C ．46
D ．10
5. 【2013高考重庆理第7题】已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2
＝9，M ，N 分别是圆C 1
，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )．
A ．4
B 1
C ．6-
6 【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ）
A 、2
B 、
C 、6
D 、
7.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为
12
”的（ ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件
.C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件
8. 设Q P ,分别为()262
2=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ） A.25 B.246+ C.27+ D.26
二、填空题
1.在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被22(2)(1)4x y -++=圆截得的弦长为 .
2. 【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切
的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
3. 【2015高考陕西，理15】设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x
=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．
4. 若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.
5. 设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.
6. 【2014四川，理14】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 .
7.【2014高考重庆理第13题】已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________.
8.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷12】直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1
C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += .
9. 【2015高考湖北，理14】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方）， 且2AB =．
（Ⅰ）圆C 的标准．．
方程为 ； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：
①NA
MA
NB MB =； ②2NB
MA
NA MB -=； ③NB
MA
NA MB +=
其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）
10.【2016高考新课标3理数】已知直线l ：30mx y m ++=错误！未找到引用源。
与圆2212x y +=错误！
未找到引用源。
交于,A B 两点，过,A B
分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =错误！未找到引用源。
，则||CD =错误！未找到引用源。
__________________.
11.【2016高考上海理数】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.
三、解答题
1. 【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．
（1）求圆1C 的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．
2. 【2013江苏，理17】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.
(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；
(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
3. 【2013课标全国Ⅰ，理20】(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2
＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.
4.【2013天津，理18】设椭圆2222=1x y a b +(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为3
，过点F 且与x 轴垂直的直线被
椭圆截得的线段长为
3
. (1)求椭圆的方程； (2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC ·
DB ＋AD ·CB ＝8，求k 的值．
5. 【2014天津，理18】设椭圆22221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ．已
知12AB F =． （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．
6. 【2015高考天津，理19】（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为(,0)F c -,，
点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422
+4b x y =截得的线段的长为c ，. (I)求直线FM 的斜率；(II)求椭圆的方程；
(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP OP （O 为原点）的斜率的取值范围.
7. 【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A
（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程；
（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；
（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ += ,求实数t 的取值范围。