子空间的和与直和

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子空间的直和

§6.7 子空间的直和
2、和 V1 V2是直和 V1 V2 0.
证：“ ”
若 1 2 0, 1 V1, 2 V2 .
则有 1 2 V1 V2 0
1 2 0,
即V1 V2 是直和.
§6.7 子空间的直和
“”
任取 V1 V2 ,
0 ( ), V1, V2 .
由于V1 V2 是直和，零向量分解式唯一，
又 V1 V2是 Pn的子空间， P n V1 V2 .
§6.7 子空间的直和
再证 Pn V1 V2 .
任取 V1 V2, 即 V1且 V2 . 由 V1, 必有 Pn, 使A . 由 V2 , 有A 0. 从而 A A2 A( A ) A 0.
V1 V2 0
所以 Pn V1 V2 .
A(k ) kA k0 0 V2 , k V2
故 V2 是 Pn的子空间.
§6.7 子空间的直和
（2）先证 P n V1 V2 .
任取 Pn, 有 A ( A ),
其中 A V1, 又 A( A ) A A2 A A 0 A V2 . 于是有 V1 V2 . Pn V1 V2 .
4、(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间，则必存在一个子空间W，使 V U W .称这样的W 为U的一个余子空间（complementary subspace）.
证：取U的一组基 1 ,2 , ,m 把它扩充为V的一组基 1 ,2 , ,m ,m1 , ,n 令 W L(m1 ,m2 , ,n ),

线性子空间的和与直和

有
线性空间与欧几里得空间
所以
有
back
15
定理 2.6 的证明
证明：由维数公式可以得到(2)与(3)的等价性。下面证明(1)与(2)的等价性。
18.07.2020
线性空间与欧几里得空间
back
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定理 2.7 的证明
back
由于基的扩充是不唯一的，所以当W是不平凡子空间时，它的补子空间是不唯一的。
如果这个向量组不是W的基, 则用同样的方法扩充线性无关的向量组, 直到不能扩充为止．
最后得到W的一组基.
18.07.2020
线性空间与欧几里得空间
back
13
定理2.4的证明
证明:
注意到
只要证明线性无关
18.07.2020
线性空间与欧几里得空间
14
定理 2.4 的证明(2)
设
即
18.07.2020
proof
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命题2.1的证明
证明：
所以 W 是线性子空间。
18.07.2020
线性空间与欧几里得空间
back
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命题 2.2 的证明
证明: 由定义, 有
18.07.2020
线性空间与欧几里得空间
back
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引理２.３的证明
引理 2.3: 线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩充成该子空间的一组基。证明:

子空间的和与直和

授课题目：

子空间的和与直和. 教学目标：

1．理解并掌握子空间的概念.

2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 授课时数：3学时教学重点：子空间的判别. 教学难点：子空间的交与和．教学过程：一子空间的的和回忆:

令W 是数域F 上向量空间V 的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W 是V 的一个子空间. 一个向量空间V 本身和零空间叫做V 的平凡子空间。V 的非平凡子空间叫做V 的真子空间。

1. 定义：设12,W W V ⊆，则称V 的子集{}121122/,W W αααα+∈∈ 为1212w w W W +与的和，记为即12W W +={}121122/,W W αααα+∈∈

定理5.5.1：若12,W W 均为V 的两个子空间，则12W W +仍然是子空间.

证明：12,W W θθθθθ∈∈∴=+∈12W W +故12W W +≠φ 对121212,,,,a b F W W αβαααβββ∀∈∉+=+=+有，

111222,,,W W αβαβ∈∈ 12W W +均为v 子空间.

∴

111222,a b W a b W αβαβ+∈+∈

于是

()()()()1212112212a b a b a b a b W W αβααββαβαβ+=+++=+++∈+

∴

12W W +是V 的子空间。

推广：12,,

,n W W W V n 为的个子空间，则

{}12121122/,,

,n n n n W W W W W W αααααα++

6.7子空间的直和

§7. 子空间的直和

一直和的定义

引入

设为线性空间V 的两个子空间，由维数公式有两种情形：

此时即，必含非零向量. 此时不含非零向量，即情形2）是子空间的和的一种特殊情况

直和

一、直和的定义

设为线性空间V 的两个子空间，若和

中每个向量的分解式

是唯一的，和就称为直和，记作注: ① 分解式唯一的，意即 121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++ 1212

1)dim()dim dim V V V V +<+12dim()0,

V V > 12V V

1212

2)dim()dim dim V V V V +=+12dim()0,

V V = 12V V {}

120V V = 12,V V 12V V +12112,,V V ααααα=+∈∈12.V V ⊕12

,V V a 12V V +12

ααα=+

若有则 ② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中

都成立. 例如，，3R 的子空间

这里，在和中，向量的分解式不唯一，如所以和不是直和. 而在和中，向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的，事实上，对都只有唯一分解式：

故是直和.

二、直和的判定

1、(定理8) 和是直和的充要条件是零向量分解式唯一，即若

则必有证：必要性. 是直和,

的分解式唯一. ,,,1212111222

,V V αααββαβαβ=+=+∈∈1122,.

αβαβ==11222333(,),(,),()

V L V L V L εεεεε===123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

167;5子空间的交与和直和

16
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定理 4 设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一
个 m 维子空间, 1 , 2 , … , m 是 W 的一ห้องสมุดไป่ตู้基 ,那么
这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就是说在V
中必定可以找到 n - m 个向量m +1 , m + 2 , …, n , 使得 1 , 2 , … , n 是 V 的一组基 .
的一组基，就有
W = L (1 , 2 , … , r ) .
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定理3 1) 两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价.
2) L(1 , 2 , … , r )的维数等于向量组1, 2 , … , r 的秩.
证 1) 设 1 , 2 , … , r 与 1 , 2 , … , s是两
15
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为 1 , 2 , … , r 与 1 , 2 , … , s 等价，所以 L(1 , 2 , … , r ) = L(1 , 2 , … , s ).
由定理11 , 2 , … , s 就是 L(1 , 2 , … , r ) 的一组基，因而 L (1 , 2 , … , r ) 的维数就是 s .
任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数.
5

关于子空间的直和的证明

设V1和V2是V的两个子空间，n(V)表示V的维数，则有公式n(V1)+n(V2)=n(V)-n(V1∩V2)，如果这两个子空间之交的维数等于0，即n(V1∩V2)=0，有n(V1)+n(V2)=n(V)，就是说子空间的维数之和等于V的维数，这样的子空间之和就是直和。例如三维欧式空间V中，取过原点的一直线记为V1，再取过原点且垂直于该直线的平面记为V2，则V1和V2的和即为直和，结果就等于V。

51-子空间直和的判定与证明

子空间直和的判定与证明

一、直和的定义：

设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式

α=α1+α2，α1V1，α2V2，

是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.

二、判定定理：

1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式

α1+α2=0，αiVi （i=1,2）

只有在αi全为零向量时才成立.

证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。

必要性：显然成立；

充分性：设αV1+V2，它有两个分解式

α=α1+α2=β1+β2，αi,βiVi （i=1,2）

于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.

其中αi-βiVi （i=1,2）.由定理的条件，应有

α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.

这就是说，向量α的分解式是唯一的。

2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是V1∩V2={0}.

证明：充分性：假设α1+α2=0，αiVi （i=1,2）

那么α1=-α2 V1∩V2.

由假设α1=α2=0.

这就是证明了V1+V2是直和。

必要性：任取向量αV1∩V2，于是零向量可以表成

0=α+（-α），αV1，—αV2.

因为是直和，所以α=-α=0，

这就证明了V1∩V2={0}.

3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必

要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.

证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，

维（V1∩V2）=0，则V1∩V2={0}，

由定理2得，V1+V2是直和。

必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），

线性子空间的和与直和

如果这个向量组不是W的基, 则用同样的方法扩充线性无关的向量组, 直到不能扩充为止．
最后得到W的一组基.
06.06.2020
线性空间与欧几里得空间
back
13
定理2.4的证明
证明:
注意到
只要证明线性无关
06.06.2020
线性空间与欧几里得空间
14
定理 2.4 的证明(2)
设
即
06.06.2020
§2 线性子空间的和与直和
线性子空间的和线性子空间的和的维数公式线性子空间的和的基的求法线性子空间的直和
06.06.2020
线性空间与欧几里得空间
1
线性子空间的和
两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间的并集一般不是线性子空间。
也是一个线性子空间，
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线性空间与欧几里得空间
back
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线性空间与欧几里得空间
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命题 2.8 的证明
证明:
06.06.2020
线性空间与欧几里得空间
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命题 2.8 的证明(2)
所以
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线性空间与欧几里得空间
=0
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命题 2.8 的证明(3)
其中于是
06.06.2020

6.7 子空间的直和

第六章线性空间

学习单元7：子空间的直和

_________________________________________________________

● 导学

学习目标：

了解子空间的直和的概念；理解子空间的直和的判别；掌握证明线性空间V 是两个子空间的直和的证明方法。

学习建议：

本学习单元的理论比较抽象，建议大家认真看书，深刻理解概念及定理的条件与结论，通过例题掌握证明方法。

重点难点：

重点：深刻理解子空间的直和的概念与判别法。

难点：线性空间分解成两个子空间的直和的证明。

_________________________________________________________

● 学习内容

一、直和的概念

观察两个子空间的和的特点

例 212,{(,,0)|,},{(0,,)|,}V P V a b a b P V x y x y P ==∈=∈，

则12V V V +=，但V 中向量表为1V 与2V 中向量的和时表法不唯一，如

(1,7,4)(1,2,0)(0,5,4)(1,3,0)(0,4,4)

=+=+ 又12{(,,0)|,},{(0,0,)|}V a b a b P V x x P =∈=∈。

则12V V V +=，而V 中向量表为1V 与2V 中向量的和时表法唯一。

定义 V 为P 上线性空间，12,V V V ≤，如果12V V +中向量表为1V 与2V 中向量的和时，

表法唯一，即由

1212111222,,,,V V αααββαβαβ=+=+∈∈

可推出1122,αβαβ==，则称这个和为直和，记为12V V ⊕。

线性代数中的子空间与直和

线性代数中的子空间与直和在线性代数中，子空间是指由向量空间中的一部分向量所组成的空间。子空间在线性代数中起着重要的作用，它们可以帮助我们理解向量空间的结构以及解决许多实际问题。本文将介绍子空间的概念、性质以及与之相关的直和运算。

一、子空间的定义与性质

子空间是指一个向量空间中的一个非空子集合，且满足以下三个条件：（1）零向量属于该子集合；（2）对于该子集合中的任意两个向量，它们的线性组合仍然属于该子集合；（3）该子集合对于向量的加法和标量的乘法封闭。简而言之，子空间就是一个满足向量空间的定义的向量集合。

对于子空间，有一些重要的性质需要注意。首先，子空间的交集仍然是一个子空间，即两个子空间的交集是一个子空间。其次，子空间的和也是一个子空间，即两个子空间的和是一个子空间。最后，子空间的维数不超过父空间的维数，即子空间的维数小于等于父空间的维数。

二、直和的定义与性质

在了解了子空间的基本概念后，我们可以介绍直和的概念。直和是指将多个子空间进行合并得到的新的子空间。具体来说，给定两个子空间U和V，它们的直和表示为U⊕V，定义为所有可以写成u+v的形式的向量的集合，其中u属于U，v属于V。

直和有一些重要的性质。首先，直和的维数等于所有子空间维数的和，即dim(U⊕V) = dim(U) + dim(V)。其次，子空间U和V的直和

U⊕V是直和的充要条件是U和V的交集只包含零向量。

三、子空间与直和的应用

子空间与直和的概念在线性代数中具有广泛的应用。在实际问题中，我们经常需要将一个向量空间分解成几个子空间的直和，以便更好地

子空间的直和与因子空间

子空间是线性代数中的重要概念，它在研究向量空间时起着关键的

作用。子空间的直和和因子空间是子空间的重要衍生概念，它们在向

量空间的分割和表示上发挥着重要的作用。

一、子空间的直和

子空间的直和是指由两个或多个子空间组成的全新子空间。设V是

向量空间，W1和W2是V的两个子空间。如果V中的任意一个向量

既可以表示为W1中的一个向量和W2中的一个向量之和，又可以唯一地这样表示，那么我们就称V是W1和W2的直和，记作V=W1⊕W2。

例如，若V=R3，W1是R3中所有满足x1+x2+x3=0的向量构成的

子空间，W2是R3中所有满足2x1-3x2+x3=0的向量构成的子空间。则

V是W1和W2的直和。

直和的概念可以推广到多个子空间的情况。设V是向量空间，W1、W2、...、Wn是V的n个子空间。如果V中的任意一个向量既可以表

示为W1、W2、...、Wn中的向量之和，又可以唯一地这样表示，那么

我们就称V是W1、W2、...、Wn的直和，记作V=W1⊕W2⊕...⊕Wn。

子空间的直和具有以下性质：

1. 若V=W1⊕W2，则V中的任意一个向量都可以唯一地表示为W1中的一个向量和W2中的一个向量之和。

2. 若V=W1⊕W2⊕...⊕Wn，则V中的任意一个向量都可以唯一地

表示为W1、W2、...、Wn中的向量之和。

二、因子空间

因子空间（也称为商空间）是指用一个向量空间V的子空间W对

V进行分割而得到的新的向量空间。设V是向量空间，W是V的子空间，我们记为V/W。在V/W中，等价类[x]代表了所有形如x+w的向

子空间的和与直和的区别

构成。
子空间和的物理应用例子
要点一
量子力学
在量子力学中，波函数是一种重要的物理量，它描述了粒子的状态。波函数可以定义在一个无限维的函数空间中，而这个空间的子空间可以用来描述不同的物理状态。
要点二
信号处理
在信号处理中，常常需要将信号投影到一个低维子空间中以实现信号的压缩和降噪。例如，在主成分分析中，原始数据可以被投影到一个由数据的主要成分构成的子空间中。
叠加。
在电磁学中，直和可以用于描述两个或多个电磁波的叠加。
在机械力学中，直和可以用于描述两个或多个物体的叠加。
03 子空间和与直和的区别
定义上的区别
子空间和
子空间和指的是给定一个向量空间V ，选取V中的某些子空间，并将这些子空间合并成一个新的空间，称为子空间和。
直和
直和指的是将两个或多个向量空间中的所有元素逐一对应起来，形成一个新的向量空间，称为这些空间的直和。
无限维空间中的直和
定义
对于无限维空间，直和的定义与有限维空间类似，只是基的数量必须是无限的。
例子
例如，$H^1 \oplus H^2$ 表示在基 {e_n(x)=exp(2πnix)|n=0,±1,±2,...} 下，$H^1$ 由 {e_n(x)|n=0,±1,±2,...} 中所有奇数序号的向量生成， $H^2$ 由 {e_n(x)|n=0,±1,±2,...} 中所有偶数序号的向量生成，那么 $H^1 \oplus H^2$ 就是由这四个向量生成的子空间。

直和与直和分解的概念与性质

直和与直和分解的概念与性质直和和直和分解是线性代数中的基础概念，它们在向量空间和代数

结构中有重要的应用。本文将介绍直和和直和分解的概念及其性质。

一、直和的概念

直和是指将两个或多个子空间直接相加所得到的新的子空间。设V

是一个向量空间，U和W是V的两个子空间，如果对于V中的任意一

个向量x，都可以唯一地写成x=u+w的形式，其中u∈U，w∈W，那

么我们称V是U和W的直和，记作V=U⊕W。

二、直和的性质

1. 直和的存在唯一性：如果向量空间V可以分解为两个子空间U

和W的直和，那么这个直和分解是唯一的。

2. 直和与子空间的交：设V是一个向量空间，U和W是V的两个

子空间，如果U∩W={0}，那么V的子空间U和W的直和等于U+W。

3. 直和与维数：设V是一个有限维向量空间，U和W是V的两个

子空间，那么V是U和W的直和的充分必要条件是

dimV=dimU+dimW。换句话说，如果一个向量空间可以分解为两个子

空间的直和，那么向量空间的维数等于两个子空间的维数之和。

4. 直和与基与坐标：设V是一个向量空间，U和W是V的两个子

空间，如果B1是U的一组基，B2是W的一组基，那么B1∪B2是V

的一组基，且V关于B1∪B2的坐标就是U和W的坐标的联合。

三、直和分解的概念

直和分解是指将一个向量空间分解为多个子空间的直和的过程。设

V是一个向量空间，U1，U2，…，Un是V的n个子空间，如果V是

U1，U2，…，Un的直和，那么我们称V是U1，U2，…，Un的直和

分解。

四、直和分解的性质

1. 直和分解的存在性：对于给定的向量空间V和它的子空间U1，

子空间直和的判定与证明

子空间的直和是指两个或多个子空间的并等于它们的直和。在线性代数中，我们经常需要判断两个子空间的直和关系，并且需要给出证明。下面将详细介绍子空间直和的判定和证明方法。

首先，我们先回顾子空间的定义。设V是一个线性空间，U和W是V 的两个非空子集。如果U和W都是V的子空间，并且U和W的和空间等于V，即U+W=V，则称U和W是V的一个直和，记作V=U⊕W。

接下来我们来讨论子空间直和的判定方法。设V是一个线性空间，U 和W是V的两个子空间。要判断U和W是否是V的直和，我们需要验证以下三个条件：

1.U+W=V：也就是说，对于V中的任意一个向量v，都可以表示为

v=u+w的形式，其中u属于U，w属于W。

2.U∩W={0}：也就是说，U和W的交集只包含零向量。

3.U和W的交集只有零向量时，任意向量u+w=0的表示方式唯一、也就是说，如果u1+w1=u2+w2，其中u1和u2属于U，w1和w2属于W，则

u1=u2，w1=w2

当满足上述三个条件时，我们可以得出结论，U和W是V的直和。

接下来我们来看一个具体的例子，并给出证明。

例子：设V=R^3，U和W是V的两个子空间，其中

U={(x,y,z)，x+y+z=0}

W={(x,y,z)，x=y=z}

我们需要判断U和W是否是V的直和。

首先，我们验证条件1：对于V中的任意一个向量(x,y,z)，是否都

可以表示为v=u+w的形式，其中u属于U，w属于W。

可以取一个任意向量(x,y,z)，我们需要找到u和w，使得x=u+w满足。

观察U的定义可以得到，当x+y+z=0时，向量(x,y,z)属于U。同理，当x=y=z时，向量(x,y,z)属于W。

§5子空间的交与和直和

1) (W对加法封闭) 设 , W , 则 W ; 2) (W对数量乘积封闭) 设 W , k P , 则k W . 则W是V的一个子空间. 4
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定理2可改写成:
线性空间V 的一个非空子集W 作成V 的子空间 , W , k , l P , 都有k l W .
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结束
2
二、非空子集构成子空间的条件设 W 是 V 的子集合. 因为 V 是线性空间. 所以对于原有的运算，W 中的向量满足线性空间定义中的八条规则中的规则 1) , 2) , 5) , 6) , 7) ,8)是显
然的. 为了使 W 自身构成一线性空间, 主要的条件是要求 W 对于 V 中原来运算的封闭性, 以及规则 3) 与 4) 成立.即 1. W 对数量乘法运算封闭，即若 W, k P, 则 k W . 2. W 对加法运算封闭，即若 W, W，则 + W.
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3
3. 0 W. 4. 若 W, 则 - W. 不难看出 3, 4 两个条件是多余的, 它们已经包含在条件 1 中, 作为 k = 0 与 -1 这两个特殊情形. 因此, 我们得到定理 2 如果线性空间 V 的非空子集合 W 对于 V 的数量乘法和加法两种运算是封闭的，那么 W就是一个子空间. 即：设W是线性空间V的一个非空子集. 如果

子空间直和的判定与证明

一、直和的定义：

设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式

α=α1+α2，α1∊V1，α2∊V2，

是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.

二、判定定理：

1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式

α1+α2=0，αi∊Vi （i=1,2）

只有在αi全为零向量时才成立.

证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。

必要性：显然成立；

充分性：设α∊V1+V2，它有两个分解式

α=α1+α2=β1+β2，αi,βi∊Vi （i=1,2）

于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.

其中αi-βi∊Vi （i=1,2）.由定理的条件，应有

α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.

这就是说，向量α的分解式是唯一的。

2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是 V1∩V2={0}.

证明：充分性：假设α1+α2=0，αi∊Vi （i=1,2）

那么α1=-α2∊ V1∩V2.

由假设α1=α2=0.

这就是证明了V1+V2是直和。

必要性：任取向量α∊V1∩V2，于是零向量可以表成

0=α+（-α），α∊V1，—α∊V2.

因为是直和，所以α=-α=0，

这就证明了V1∩V2={0}.

3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必

要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.

证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，

维（V1∩V2）=0，则 V1∩V2={0}，

由定理2得，V1+V2是直和。

必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），