哈工大大学物理题库

0 r1 r 2 S 1 1 1 1 1 C 或 等效串联 S S C1 C 2 U r1d 2 r 2d1 C 0 r1 0 r2
Q
d1 d2
（2）介质1中的电场强度
0 0 1 1 E1 , 1 ( 1 ) 0 0 r 1 0 r1 d1
2
【答】正确。
类似的问题，作业6.18，请认真思考！
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例 5. 如图所示，平行板电容器两极板相距 d ，面积 为S，电势差为U，其中放有一块厚为t，面积为S， 相对电容率为 r 的介质板，介质板上下两边都是空 气， 忽略边缘效应。求： (1)介质中的电场强度E，极化强度P 和电位移D (2)极板上的电量Q (3)极板和介质间隙的场强 (4)电容C
4 0 r q1
2

R2 B U A E dr E dr E dr U B

dr
q1 q q1 1 1 ( ) 4 0 R1 R2 4 0 R3
1
A
B
A
R1
1 4 0 R1 R2 1 1 q1 ( ) C R2 R1 U AB 4 0 R1 R2
U
r
d

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解:(1)空气平板电容器的电容 U d 0S C0 d 充电后，极板上的电荷、极板间的电场强度E0为 0S U Q0 U E0 d d (2)平行插入一块面积相同、厚度为 ( d ) 、相对电容
为求介质中的E ，可作图右边的圆柱形高斯 面，由D的高斯定理
D dS DS S
D
故
D 0 r E介质
E介质
0 r 0 r
D
d
r
t
代入U的表达式，得
U E介质t E空气 (d t ) E介质t r E介质 (d t ) E介质 [(1 r )t r d ]
q3 q2
R1
解：设导体球壳B内外表面上的总电量为q2 ,q3 在导体球壳内作一个包围其内腔的高斯面， 由高斯定理可得
q1 q2 0
再由导体球壳上电荷守恒，可得电荷分布为
R2，R3
q2 q1 , q3 q q2 q q1
6
以过场点的同心球面作为高斯面，可求出导体内外的场强分布 为：
由电量守恒 S S 1 2 0 S , 1 2 2 0 (2) 2 2 5 1 解得 1 0 , 2 0 1 3 3 E1 0 5 r D1 电位移 D1 1 0 , D2 2 ; 电场强度
介质2中的电场强度
+ + + + + + + + + + +0
0 0 2 1 (1 E2 , 2 ) 0 0 r 2 0 r2
介质分界面处的束缚电荷密度为
d2
E1 + + + + + 1' - ' - - - E 2 2 + + + + + 2' - - - - - - - - -- 0
r
t
方向垂直于极板，由正极板指向负极板
0 r S Q C U (1 r )t r d
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d 例6 一平行平板电容器充满两层厚度各为 d 和 的电介质， 2 1 它们的相对电容率分别为 r1 和 r2 , 极板面积为 S . 求（1） 电容器的电容；（2）当极板上的自由电荷面密度的值为 0 时， 两介质分界面上的极化电荷面密度.
- - - - -

1'
r1 r 2 2 ( 1 ) 0 ( 1 1 ) 0 0 r1 r2 r1 r 2
1 1
例7 两块靠近的平行金属板间原为真空。使两板分 别带上面电荷密度为σ0 的等量异号电荷，这时两板间 电压U0=300V。保持两板上电量不变，将板间一半空 间充以相对电容率 εr =5 的电介质，求： （1）金属板间有电介质部分和无电介质部分的 E, D 和板上自由电荷密度σ； （2）金属板间电压变为多少？电介质上下表面束 缚电荷密度多大？ 1 2 σ0 S
- - - - -
S1

1'
0 d1 d 2 Q d1 d2 U E dl E1d1 E2 d 2 ( ) ( ) l 0 S r1 r2 0 r1 r2
U E dl E1d1 E2 d 2 Q ( d1 d2 ) l 0 S r1 r 2

r
t
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解:
(1)设电容器介质中和空气中的场强分别为
E介质，E空气 ，则
U E介质t E空气 (d t )
为求 E ，作如图所示左边的圆柱形高斯面，由 E
的高斯定律
式中 是极板面自由电荷面密度，故
S E dS E空气 S 0
E空气
0
d
r
t
12
7
（ 2 ） 如果将金属球壳 B 接地，则 UB =0，B 的外表面 电荷为 0；如果用导线将 A和 B 连接一下，则球壳 B的外表面 上的电荷仍保持为 q1 +q，它外面的场强和电势均保持不变，
但其内表面上的电荷都将变为 0，内部场强也将变为 0。
q2
R1
B
A
R2，R3
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4. 一平行板电容器极板面积为 S ，分别带± Q 的两极板的间距 为d 。若将一厚度为 d ，电容率为ε的电介质插入极板间隙，试求： （1）静电能的改变；（2）电场力对电介质所做得功。
5
+Q
-Q
Q f 2 4 π 0d
2
S
3 一个半径为 R1 的金属球 A 带有总电量 q1 ，在它外面有 一个同心的金属壳 B，其内外半径分别为 R2 和 R3 ，带有总电量q （ 1） 求此系统的电荷，场强和电势的分布及其电容。
（ 2 ） 如果将金属求壳 B 接地，或者用导线将 A 和 B 连接 一下，结果又如何？
E介质 、P 、 D 的方向垂直于极板，由带正电荷的极板
指向带负电荷的极板。极板上的电量、空气间隙中的场 强、电容分别是
0 rUS Q S DS (1 r )t r d
E空气
rU D 0 0 (1 r )t r d
d
电容器静电能的增量
Q2 1 Q2d 1 1 W W W ( 1) ( ) 2C0 r 2S 0
（2）电场力作的功等于电场能量的减少量
Q2d 1 1 A W ( ) 2S 0
静电能和电场力！
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（B）根据电场力的定义两板间的作用力大小为
2
E2 D2
2 0 E1 E2 0 3 0
3
3

U
1
2
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（2）插入电介质前电压
0 U 0 E0 d d 300(V ) 0 插入电介质后电压
电介质中电场强度
0 U E2 d d 100(V ) 3 0
1 1 E1 0 r 0
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故介质中的场强、极化强度、电位移分别为
E介质
U (1 r )t r d
P e 0 E介质 D r 0 E介质
0 ( r 1)U (1 r )t r d
0 rU (1 r )t r d
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(2)极板上的电量,(3)极板和介质间隙的场强,(4)电容？
且同时应满足
1 2 3 4 5 6
d1
d2
EAB d1 EAC d2
B
A
C
3
即
3 4 d1 d2 0 0
联立求解得
d2Q 2 3 (d1 d 2 ) S d1Q 4 5 (d1 d 2 ) S
4
2. 如图所示在真空中有两块相距为 d，面积均为 S， 带电量 分别为 +Q 和 -Q 的 平行板。 两板的线度 远大于 d，因此可忽略边缘效应。（作业6.2） 对下面几种说法你认为对还是错？ 为什么？ （A）根据库仑定律， 两板间的作用力大小为 d 【答】 错。 （不是点电荷间的作用力）
E
4 0 r 2 ( R1 r R2 )
q1
E
q1 q 4 0 r
2
(r R3 )
场强方向均沿半径方向；导体内场强均为 0 。 以无穷远处为电势零点，导体球壳和导体球的电势分别为
UB E dr
B
q1 q q1 q dr 2 4 0 r 4 0 R3 R3
(2)若C板接地，则 6 0 。所以
1 6 0 2 0
Q 4 S Q 5 S
1 2 3 4 5 6
d1
d2
B
A
C
(3)若B、C板接地，则
1 6 0 2 3 4 5 ( 3 4 )S Q
A
C
1
解: (1)由静电平衡条件，可得 1 6
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5
同时，由电荷守恒，有
d1
d2
B
A
C
(1 2 )S 0 ( 3 4 )S Q ( 5 6 )S 0
可解出
Q Q Q Q Q 1 6 , 4 , 5 4 , 3 , 2 2S 2S 2S 2S 2S 2