maple在微积分求积分中的应用
第二章 Maple微积分运算
1 函数的极限和连续
1.1 函数和表达式的极限
在 Maple 中, 利用函数 limit 计算函数和表达式的极限. 如果要写出数学表达式, 则 用惰性函数 Limit. 若 a 可为任意实数或无穷大时, 求 lim f ( x) 命令格式为: limit(f,x=a);
xa
f ( x ) 时的命令格式为 limit(f, x=a, right); 求 lim f ( x ) 时的命令格式为 limit(f, 求 lim
- 37 -
x 2 y 20 otherwise
4 2 2 4 x 6 x y y 3 ( x 2 y 2 ) 0
x 2 y 20 otherwise
函数 diff 求得的结果总是一个表达式, 如果要得到一个函数形式的结果, 也就是求 导函数, 可以用 D 算子. D 算子作用于一个函数上, 得到的结果也是一个函数. 求 f 的导 数的命令格式为: D(f); 值得注意的是, f 必须是一个可以处理为函数的代数表达式, 它可以包含常数、已知 函数名称、未知函数名称、箭头操作符、算术和函数运算符. 复 合 函 数 表 示 为 f@g, 而 不 是 f(g), 因 此 D(sin(y)) 是 错 误 的 , 正 确 的 应 该 是 D(sin@y). D 运算符也可以求高阶导数, 但此时不用$, 而用两个@@. D 运算符并不局限于单变量函数, 一个带指标的 D 运算符 D[i](f)可以用来求偏导函 数, D[i](f)表示函数 f 对第 i 个变量的导函数, 而高阶导数 D[i,j](f)等价于 D[i](D[j](f)). > g:=x->x^n*exp(sin(x));
2 x 2 y
> f(x,y):=piecewise(x^2+y^2<>0,x*y/(x^2+y^2));
Maple中微积分与极限的命令介绍
Maple中微积分与极限的命令介绍在使用Maple进行计算时，对于函数的计算是涉及很多的，但是在计算函数的过程中，有很多需要用到高等数学中的微积分与极限。
而这些计算的命令构成了复杂函数的命令。
下面就对Maple微积分和命令和极限的命令做一些基本介绍。
一、极限Limit（f（x），极限点，选项），Limit为极限号（可用value看值）。
选项有：左left、右right，省略则为普通极限。
注：不能对过程函数直接计算。
1.x=a点极限，limit（f（x），x=a）。
2.x趋向无穷极限，limit(f(x),x=infinity)。
3.x趋向正负无穷大极限，在infinity前直接加+、-号即可。
注：函数若由箭头算子、过程、转换法定义，求极限函数要用f（x）形式。
二、导数。
1.diff(f,x1,x2,…) x1,x2,…为各次求混合导数的自变量。
diff(f,x$m,y$n) m，n 分别为对自变量x、y 求导阶数。
Diff 为求导符号,可用value 显示值。
注：不能对过程函数直接使用。
注：函数若由箭头算子、过程、转换法定义，求导函数要用f（x）形式。
2.隐函数导数：diff（方程，自变量及阶数）；（1）将方程中函数变量全部写成自变量函数形式(如y(x))，再求导。
（2）用别名命令alias将函数变量先定义为自变量的函数，如alias（y=y（x））再对方程求导。
3.导数算子：D(函数)，D[i$m,j$n,…](函数) i,j 整数表示,对第i、第j 个变量求导。
注：只有箭头算子、过程、转换法定义函数，才能使用求导算子。
三、积分1.一元积分int（f，x）不定积分，int（f，x=a..b）定积分，int为积分符号，用value 显示值。
注：不能对过程函数使用。
注：箭头算子、过程、转换法定义函数要用int(f(x)，x)。
2.二重积分，int(int(f(x,y),y=y1(x)..y2(x)),x=a..b)以上内容向大家介绍了Maple微积分和极限的一般使用命令，命令格式相对来说比较简单，只需要进行相应的变量输入就可以了，Maple函数包的数量很多，功能非常齐全。
计算机数学软件Maple概述
控制系统分析与设计
系统建模
Maple可用于建立控制系统的数学模型，包括传递函数、状态 空间表示和频率响应等。它支持控制系统的时域和频域分析。
稳定性分析
Maple提供了多种稳定性分析方法，如劳斯判据、奈奎斯特图和根轨 迹等。它可用于评估控制系统的稳定性，并指导控制器的设计。
控制器设计
Maple支持多种控制器设计方法，如PID控制、最优控制和鲁棒控制等。 它可以帮助工程师设计高效且稳定的控制系统，以满足不同的工程需求。
控制结构
Maple提供条件语句（如if-else）、 循环语句（如for、while）等控制结 构，用于实现复杂的逻辑功能。
函数定义与调用
用户可以自定义函数，并在程序中调 用这些函数。函数可以接受参数，并 返回计算结果。
03
Maple在数学计算中的应用
符号计算
代数运算
Maple可以进行各种代数运算，如多项式运算、因式分解、求根 等。
方面更具优势。此外，Maple的编程语言相对更简单易用。
03
与Python的比较
Python是一种通用编程语言，通过安装额外的库（如NumPy、SciPy
等）可以实现数学计算功能。然而，与Maple相比，Python在符号计
算和图形可视化方面功能相对较弱。
02
Maple基础知识
Maple的界面Maple与MATLAB之间的数据交换和算 法调用。
与其他科学计算软件的接口
如与Mathematica、SageMath等软件的互 操作性。
Maple在科研与教学中的应用案例
数学研究
用于解决复杂数学问题，如微分方程求解、符号积分等。
物理工程
在物理模拟、工程设计等领域进行数学建模和仿真。
Maple在微积分上的应用
EX:
f(x)=xsinx
2.6 隱微分法
如果方程式f(x,y)=0無法表示成y=f(x)的形式，則前幾節所介紹的微分法 便不適用，因此必須嘗試隱微分法來求得函數f的微分。
f ( a h) f ( a ) f ( a h) f ( a ) lim L h 0 h 0 h h 則稱f在x=a可微分(differentiable)。 ● 一般而言，函數f(x)於x=a不可微分通常發生於下面三種情況: 1. 函數的圖形於x=a為一尖角或折點。EX: 2. 函數於x=a不連續(斷點)X: EX:可微分例子。 f '(a) lim
2 3 前EX: x y 2 x y
EX:
第三章 導數的應用
3.1 函數圖形的判別 3.2 極大值與極小值
3.1 函數圖形的判別
函數圖形的外觀可以簡單藉由函數的導函數來判別。下面介紹(1)函數的 遞增遞減(2)函數圖形的凹向性。 (1)函數的遞增遞減：
若含數定義於某區間，設x1與x2為該區間內的任意兩點，且x1<x2。若f(x1)<f(x2) ，則 f在該區間為遞增(increasing) ，反之，若f(x1)>f(x2) ，則f 在該區間為遞減(decreasing) 。 函數的遞增與遞減區間可由該函數的一階導函數的正負值來判斷。
(1)微分指令diff:
diff(f(x),x) Diff(f(x),x) d f(x) dx 保留微分的原式，不對微分式求值。 計算微分式
EX1: diff指令的用法 EX2: Diff指令的用法 d p.s:數學上慣用以 dx f 來表示單變數函數f對x微分。若f為多變數函 數，則習慣上以 f 來表示f對x的偏微分(partial differentiation)。 x d Maple的輸出是以較廣義的偏微分符號 來取代慣用的 。
maple工程计算
maple工程计算Maple是一款强大的数学软件，提供了丰富的工程计算功能。
在工程计算中，Maple可以帮助我们进行各种数学计算、模拟实验、数据分析等任务。
本文将介绍Maple在工程计算中的应用，并根据不同的应用场景，总结了一些使用Maple进行工程计算的常用方法和技巧。
一、Maple在工程计算中的应用1.数学建模：Maple是一个非常强大的数学计算软件，它可以帮助我们进行各种数学建模工作。
通过Maple，我们可以建立各种数学模型，如微分方程模型、优化模型等。
利用Maple的求解器，我们可以方便地求解这些数学模型，并得到准确的结果。
2.仿真实验：Maple提供了强大的仿真功能，可以帮助我们进行各种仿真实验。
例如，我们可以用Maple建立电路模型，并模拟电路的运行情况；或者我们可以用Maple建立机械系统模型，并模拟机械系统的运动轨迹。
通过仿真实验，我们可以快速了解系统的性能特点，并进行参数优化。
3.数据分析：Maple也是一款强大的数据分析工具。
它提供了丰富的数据处理和分析函数，可以帮助我们对大量的数据进行快速的计算和分析。
例如，我们可以用Maple进行数据的统计分析、拟合曲线、数据可视化等工作。
通过数据分析，我们可以深入了解数据的规律和特点，并对数据进行更加准确的分析和预测。
4.优化设计：Maple还提供了优化算法，可以帮助我们进行优化设计。
例如，我们可以利用Maple进行参数优化，找到系统的最优解。
通过优化设计，我们可以提高系统的性能，降低成本，提高效率。
二、使用Maple进行工程计算的常用方法和技巧1.符号计算：Maple可以进行符号计算，这对工程计算非常有帮助。
符号计算可以处理包含未知变量的表达式，并进行符号化简、方程求解、微分计算等。
利用Maple的符号计算功能，我们可以得到更加精确的结果。
2.数值计算：Maple也可以进行数值计算，这对于处理大规模的数据和复杂的计算任务非常有效。
在进行数值计算时，我们可以设置合适的计算精度，提高计算速度。
Maple 在微积分中的应用(一).
diff得到的结果总是一个表达式，要得到函数形式结果，即 求导函数 ，可用函数D 格式为：D(f)(x) 对复合函数要表示为D(f@g)(x)
导数及其应用
隐函数求导 1．将方程中函数变量全部写成自变量函数形式(如y(x))，再 求导 2. 直接调用函数implicitdiff(f,y,x)求由f确定的y对x的导数 > f:=x^2-x^2*y^3+4*y=6: > implicitdiff(f,y,x);
2 x 2 x y 3 3 x 2 y 2 4
导数及其应用
判断函数单调性 求函数极值与最值 判断函数凹凸性与拐点
f : x x3 x2 x 1
一元函数及其图像
3、通过过程定义函数 其格式为： <函数名>:=proc（<自变量>）<表达式> end > f:=proc(x) x^3-x^2-x+1 end;
f := proc(x) x^3 x^2 x 1 end proc
> f(1); 0 4、定义向量函数 f(t)=<x(t),y(t)> 格式为：f:=t->[x(t),y(t)]
>plot([4*x-x^2+2,x^2,3*x+1],x=-2..5, color=[red,blue,green],linestyle=[20,20]);
极限
极限的计算 函数 limit
调用形式：limit(f,x=a)，其中f为表达式，a为任意实数或无穷 功能：求f在x=a处的极限 Limit(f,x=a)，是 limit的 另外一种形式，只给出极限的表达式， 不计算极限值. >Limit(sin(x)/x, x=0)=limit(sin(x)/x, x=0);
Maple的一个非常实用的功能就是微积分计算它能求导数,作积分,作级数
第3章微积分Maple 的一个非常实用的功能就是微积分计算.它能求导数，作积分，作级数展开，作无穷求和，还有很多很多功能.在这一章，我们关注最基本的功能.极限极限思想是微积分学中最基本的思想，而Maple 知道怎么计算它们.例如，要求lim x →0sin 3x x 的极限值，可以使用Maple 的limit 命令，表达式如下所示：>limit(sin(3*x)/x,x=0);3当然你也可以使用Maple 函数来求解>y:=x->sin(3*x)/x;limit(y(x),x=0);y :=x →sin (3x )x3您可以输入?limit 来查看这条命令的详细说明，但这并不是命令的全部说明.问题3.1尝试着练习这个问题：lim x →0cos (x )−1x 2微分导数相对来说是容易的，所以这一节也一样.Maple 对初等函数和特殊函数的求导是同样容易的，所以这一节只是展示两条Maple 的微分命令，一条用于表达式，一条用于函数.首先，我们对表达式进行微分.我建议你使用下面说明正切函数用法的形式来求一阶导数，二阶导数和三阶导数.你也可以使用diff命令，它直接求出导数，或者Diff和value 命令，给出所求表达式的导数，并计算其值.Diff命令的用途实际上超出你的想像，因为它给你一个机会查看你要Maple 求的导数是不是你所想要的.>diff(tan(x),x);1+tan (x )2>diff(tan(x),x\$2);2tan (x )(1+tan (x )2)>d:=Diff(tan(x),x\$3);>d:=value(d);d :=∂3∂x3tan (x )d :=2(1+tan (x )2)2+4tan (x )2(1+tan (x )2)>d:=simplify(d);d:=2+8tan(x)2+6tan(x)4下面让我们看一下如何对函数进行微分.>f:=x->tan(x)/x;f:=x→tan(x)xDiff命令不能对函数进行微分，因此我们要使用Maple的D命令.这是一条体积小但功能非常强的命令.它能求复合函数的多阶导数（查看所有用法请输入?D），但我们只能对单一函数求一阶导数.求一阶导数是非常容易的fp:=D(f);f p:=x→1+tan(x)2x−tan(x)x2注意，指定D(f)对f p的结果产生函数f p(x).求高阶导数的方法有很多种，这是最通用的一种.>fpp:=D[1$2](f);f pp:=x→2tan(x)(1+tan(x)2x−2(1+tan(x)2)x2+2tan(x)x3方括号里的“1”表示关于参数列表里的第一个变量（这里只有一个）求微分，“$2”表示相当于执行diff命令两次.好了，内容就这么多.这里有一些练习需要训练.问题3.2求下列函数的形式导数.大部分使用表达式形式，(a)和(d)使用函数形式.如果得到混乱的结果，尝试使用simplify命令化简它.你会发现simplify命令对函数无效，为了使结果更好看，用鼠标把你想要化简的混乱结果复制到剪贴板，把它赋给一个新的变量，删除无关的内容，然后再执行化简命令.然后再使用剪切和粘贴命令重建求导函数.Maple的这个组合及编辑是做无错误代数的好方法.(a)∂3∂x3√1+x3(b)∂∂xJ0(x)(c)∂∂xI1(x)(d)∂2∂x2e tan(x)(e)∂∂xΓ(x)(f)∂∂xerf(x)(g)∂∂kK(k)（(g)是第一种形式的完全椭圆积分，使用Maple的EllipticK命令.）问题3.3这是一个你在大学里也使用的求最大最小问题.考虑函数ln(x)J0(x)（我用词“函数”是数学意义的，而不是Maple意义的.如果你仅仅使用一个Maple表达式来定义上面的函数，这个问题是很简单的.）(a)首先画出函数在区间[0,10]上的图像.(b)观察图像，找出并估摸函数取得最大最小值时x的值.接着对函数求导，然后使用fsolve 命令求出x的精确值.假若求导后的表达式为f，如果你想求出1.1附近的零点，你可以这样做：fsolve(f,x=1.1);在量子力学中，你会遇到近似我们已经见过的勒让德函数P n (x ).这些新函数叫做联合勒让德函数P m n .对于每一个整数n ，在区间[0..n ]上，函数由m 的值定义，当m =0时，函数等价于P n (x ).这些函数由勒让德函数的导数的项定义：P m n =(−1)m (1−x 2)(m 2),diff (P n (x ),x $m )这个定义对于大多数的计算机语言来说是累赘的，但是Maple 操控它很容易，因为Maple 用符号化代替数值化.这里有个函数评价它>with(orthopoly);[G,H,L,P,T,U ]>Pnm:=(n,m,x)->(-1)^m*(1-x^2)^(m/2)*diff(P(n,x),x$m);P nm:=(n,m,x )→(−1)m (1−x 2)(12m ),diff (P (n,x ),x $m )在做任何花哨的事情之前我们测试它，因此让我们为n,m 和x 输入数字.>Pnm(3,1,.5);Error,(in Pnm)wrong number (or type)of parameters in function diff 好了，我们又遇到麻烦了.这个问题是P (n,x )返回了什么.如同我们在第2章一个节中看到的这个函数，它不返回数字，而是返回多项式.当我们把0.5赋给x 时，它进入到上面定义的函数Pnm ，并代替x ，然后diff命令尝试关于0.5求导数，而这是没有意义的.观察当我们用一个变量而不是数字来代替x 时发生什么.>Pnm(3,1,t);−√1−t 2(152t 2−32)倘若你想要一个数值结果你可以这样做>a:=Pnm(3,1,t);t:=0.5;a;a :=−√1−t 2(152t 2−32)t :=.5−.3247595264这是很烦人的，另一方面，仅仅考虑它；总之，为什么在Maple 里需要一个数字呢？你要画函数图像，微分，求积，在微分方程里使用，等等.有什么事情比得到一个明确的表达式更好呢？Maple 认为这不是一个问题；而是一个特性.而且这个特性为你使用with(orthopoly)想要得到的所有正交函数所享有.这里还有另一个关于函数Pnm 更烦人的事情.观察当我们尝试用m =0执行时发生什么.>Pnm(5,0,x);Error,(in Pnm)wrong number (or type)of parameters in function diff 当m =0时它假想返回Pn(x)的结果，但事与愿违.不工作的原因是因为我们要求它求一个函数的0阶导数，而Maple 的diff命令应付不了.稍后学习程序之后我们返回这个问题并修复它，使得当m =0时也工作.好了，我已经演示怎样做了.现在请你结合P (5,x )作5个联合勒让德函数的图像，例如，n =5及m =1,2,3,4,5.图像从x =−1画到x =1.用不同的颜色把5个图像画在同一轴上，当m 的范围从1变化到n =5时发生了什么.看过图片之后你可能想要重新缩放函数图像使得它们看起来大小相同.在下一节积分中，我们会重新绘制并用一种自然的方式让函数图像接近相同的尺寸.这是下一节积分中引过来的一个电学问题.电势函数z ，电荷球半径为R ，电荷面密度为σ，其中z 上升到半球的对称轴，表达式如下>V:=-1/2*sigma*R*(-sqrt(R^2+z^2)+sqrt((z-R)^2))/(z*e0);V :=−12σR (−√R 2+z 2+√(z −R )2)ze 0其中e 0表示电荷常数ε0.电场分量E z 可以通过电势V 微分得到：E z =−(∂∂zV ).使用Maple 对这个求导可以得到一个关于E z （繁杂）的表达式.化简它.你会看到一个叫csgn 的陌生函数，输入?csgn 查看函数说明以确保你知道它是做什么的.然后令σ=1,R =1及e 0=1，然后从z =−4到z =4同时画V 和E z 的图像.这是一个电磁定律关于跨表面电荷密度，电场区域通过σε0变化.（你可能注意到上面定义的V 我用e 0代替ε0.这是故意的.尽可能是避免变量下标，因为Maple 中的下标引用矩阵元素.）验证你的图像以获得正确的跳跃.在图像中，负z 在半球圆缘的下方，正z 从0到R 在半球内部，且正z 从R 到无穷在圆顶之上.想像你的图像并说服你自己使它有意义.问题3.6这是一类花俏的微分叫做隐式微分，且Maple 可能求解.假设你有一个方程涉及x 和y ，像这个x 2+y 2=3.你想要解出dy dx 而不求解y (x ).这种方式求隐式方程的微分得2x +3y 2(∂∂x y )=0，然后求解dy dx .Maple 知道如何求解，规定你告诉它y 依赖于x ，像这样.>restart;>eq:=x^2+y(x)^3=3;eq :=x 2+y (x )3=3>deq:=diff(eq,x);deq :=2x +3y (x )2(∂∂x y (x ))=0>dydx:=solve(deq,diff(y(x),x));dydx :=−23xy (x )2如果你任何时候都不想输入y (x )，你可以使用Maple 的alias 命令告诉它把y 变为y (x )（只适用Maple 的内部进程）当遇到的时候.>restart;允许我们使用y 代替y (x )>alias(y=y(x));y>eq:=x^2+y^3=3;eq :=x 2+y 3=3>deq:=diff(eq,x);deq :=2x +3y 2(∂∂x y )=0>dydx:=solve(deq,diff(y,x));dydx :=−23xy 2这是一个物理学中的例子.等离子体电磁波的分散关系是ω2=wp 2+k 2c 2，其中wp 是一个频率叫做等离子体频率.波的相对速度由ωk 给出，群速度由dωdk 给出.首先用Maple 求出相对和群速度的公式，在wp ,k 及c 的条件下求解ω(k )并微分.然后在k ,c 及ω的条件下用隐式微分得到群速度.最后，Maple 也知道怎样求解偏导数.考虑关于x 和y 的函数f (x,y )=cos (xy )y .这是关于x ,y ,以及x 和y 的导数，用表达式形式>restart;f:=cos(x*y)/y;f :=cos (xy )y>diff(f,x);diff(f,y);diff(f,x,y);−sin (xy )−sin (xy )x y −cos (xy )y 2−cos (xy )x也可以通过Maple 的符号函数来做相同的事情>restart;f:=(x,y)->cos(x*y)/y;f :=(x,y )→cos (xy )y>D[1](f);D[2](f);D[1,2](f);(x,y )→−sin (xy )(x,y )→−sin (xy )x y −cos (xy )y 2(x,y )→−cos (xy )x问题3.7求出下面这个函数的一阶导数及三个二阶导数（两个x ，两个y 以及xy ）K (√4xy (x +y )2)其中K 是完全椭圆积分EllipticK .使用符号表达式并用diff命令求解.尝试使用expand 和simplify 命令清除杂乱的东西以得到结果.积分你使用Maple做得最多的简单事情就是积分.事实上，你没有更多的思想比较积分表和计算尺.大多数都是可以的，因为你很容易获得Maple并且它是不错的.但是它不会做任何事情（就如果你在这一节看到的一些例子一样），所以你需要知道当Maple 失败的时候该怎么做.最好的做法是看一本由Gradshteyn和Ryzhik编写的一本名为《A Table of Series and Integrals》的数学参考书.你可以从图书馆的数学参考书部分找到它，或者在我们系图书室，如果没有教员把它借走.初等积分Maple可以求解你在第一节积分课里遇到的所有积分问题.实现这个功能的命令叫做int，你可以像这样使用表达式>int(sin(x),x);−cos(x)或者>f:=sin(x)*x;int(f,x);f:=sin(x)xsin(x)−x cos(x)注释：不要使用f(x)作为参数如果f是一个表达式.倘若是函数，积分命令这样用：>g:=(x,y)->sin(x*y)*x;g:=(x,y)→sin(xy)x>int(g(x,y),x);sin(xy)−xy cos(xy)y2这有一个int的简化形式，叫做Int，用来显示积分.这个形式你可以用于记录表.尝试这个：>s1:=Int(exp(x),x);s1:=∫e x dx请注意：Int命令只显示，并不做数学运算.也许你会问，“但如果它不做任何事，我为什么要用它呢？”因为它能帮助查看你是否输入正确的积分，Int命令是很有价值的调试工具.当显示形式你看起来对之后，使用value(s1)得到结果.因此正确求解上面的简单积分并取得结果是这样的：>s1:=Int(exp(x),x);>s1:=value(s1);s1:=∫e2dxs1:=e2我建议你总是使用Int和value组合的方式求解积分.这是一个好习惯，可以减少你查看愚蠢错误的时间.当然，你也可以像这样求解定积分：>s2:=Int(tan(x),x=0..1);>s2:=value(s2);s 2:=∫10tan (x )dxs 2:=−ln (cos (1))如果想要求积分值，你可以这样做：>evalf(s2);.6156264703噢，如果你仅仅是想要数值结果而不通过evalf 命令，只需给int 命令浮点极限你就可马上得到结果.>s2:=Int(tan(x),x=0..1.);>value(s2);s 2:=∫10tan (x )dx当然你也知道Maple 可以对无穷极限求积分，但你需要通过assume 命令做一些引导.好了，你要了解的Maple 求解积分的东西就这么多.输入?int 获取更多Maple 提供的积分选项.下面让我们做些练习.问题3.8用Maple 求解下列积分，其中(a)-(d)用表达式符号，(e)-(g)用函数符号.求出(e)和(f)的积分值.求解(g)时你会遇到麻烦，你得到的结果看起来很繁杂，试着用simplify 命令化简.(a )∫ln (x )dx (b )∫√1−x 2dx (c )∫x 1+x 3dx (d )∫cos h (x )dx (e )∫10√1+x 1−x dx (f )∫120x x 3−1dx (尝试使用1/2和1./2.作为积分上限)(g )∫∞e −ax cos (x )dx (不知道如何输入∞，输入?使用联机帮助.)。
maple在微积分求导中的应用
2、求高阶导数 、 调用格式： 调用格式：diff（f(x)，x$n） （ ， ） 功能：求函数 关于x的 阶导数 阶导数. 功能：求函数f(x)关于 的n阶导数 关于 如：>diff（x^2+cos(x)-x*sin(x)，x$3）; （ ， ） 4sin(x)+xcos(x)
3、求隐函数的导数 、 命令： 命令：implicitdiff 调用格式： 调用格式：implicitdiff（F（x，y）=0，y，x） （ （ ， ） ， ， ） 功能： 功能：求由方程 F（x，y）=0 所确定的隐函数 （ ， ） y=f(x)关于 的导数. y=f(x)关于x的导数. 关于x的导数 如：
数学实验
Maple 在 微积分中的应用( 微积分中的应用(二)
导数
1、求导数 、 命令： 命令：diff 调用格式：diff（f(x)，x） 调用格式： （ ， ） 功能：求函数 关于x的导数 功能：求函数f(x)关 的导数 关于 的导数. 如：>diff（x^2，x）； （ ， ）； 2x
注：命令Diff，只给出求导数的表达式，不计算导 命令 ，只给出求导数的表达式， 若要计算导数， ），或则 数；若要计算导数，可用 value（%），或则 （ ）， 用Diff（f(x)，x）= diff（f(x)，x） （ ， ） （ ， ） 如：
Maple在高等数学教学中的应用
作者简介 : 王剑侠 ( 1966 - ) , 男 , 讲师 , 硕士 ; 主要研究方向 : 偏微分方程 .
70
广州大学学报 ( 自然科学版) 第1卷
z ( s , t ) ] , s = a. . b , t = c ( s ) . . d ( s ) , opts ) . (3) 函数 spacecurve 用于作空间曲线图形 , 该
( 1) 关于无界量与无穷大量 , 通过图形演示加
( 4) 关于旋转曲面和柱面生成过程的动态演示
例如 : xoz 面上的曲线 y =
1
x
( 0 . 3 < x < 1) 绕 z
以区别 . 例如 :在 x ϖ + ∞ 时 , x sin ( x ) 是无界量 , 而 x + sin ( x ) 是无穷大量 . animatecurve ( x 3 sin ( x ) , x = 0. . 10 3 Pi ) ; animatecurve ( x + sin ( x ) , x = 0. . 40 3 Pi ) ;plot ( x 3 sin ( x ) , x = 0. . infinity) ; plot ( x + sin ( x ) , x = 0. . infinity) . (2) 关于振荡间断点 , 利用 Maple 的动画功能 展示振荡过程 . 例 : x = 0 是 y = sin
a. . b , opts ) : q : = plot ( g ( x ) , x = c. . d , opts ) : dis2
1 Maple 5. 5 使用介绍 [2 ]
Maple 是由加拿大 Waterloo University 发展起来
的一种数学软件 , 它提供了范围广泛的符号计算 、 数值计算 、 函数作图功能 . Maple 的使用相当简单 , 在 Maple 工作区内出现提示符号 “> ” 后 , 输入命 令 ,结尾用分号 “ ;” 或冒号 “ : ” , 并按回车键即可 . 现介绍它在高等数学教学中一些命令的使用格式 . 1. 1 Maple 用于求极限 、 微分 、 积分 、 级数与求和 ( 1) limit 函数求表达式的极限 . x 趋向于 a 时 表达式 f ( x ) 的极限 , 调用格式 : limit ( f ( x ) , x = a ) 和 limit ( f ( x ) , x = a , dir) . dir 为可选项 , 取 left 或
maple 牛顿-莱布尼茨公式
《探寻maple 牛顿-莱布尼茨公式》一、引言maple 牛顿-莱布尼茨公式，作为微积分中的经典公式，是描述求导和积分的关系的重要定理。
它由两位伟大的数学家牛顿和莱布尼茨分别独立发现，并且在实际应用和理论探讨中发挥着重要作用。
本文将从浅入深地探讨maple 牛顿-莱布尼茨公式，希望能为读者深入理解这一数学定理的内涵和应用。
二、maple 牛顿-莱布尼茨公式的基本概念1. maples 的概念在微积分中，maple 是代表一个函数的导数。
它描述了函数在某一点的瞬时变化率，是微积分中非常重要的概念之一。
2. 牛顿-莱布尼茨公式的表达maple 牛顿-莱布尼茨公式由以下表达式所描述：∫(a, b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，∫代表积分，f(x)是函数，F(x)是f(x)的不定积分函数，a和b是积分的上下限。
三、maple 牛顿-莱布尼茨公式的探讨1. 证明方法maple 牛顿-莱布尼茨公式的证明可以通过利用极限的性质，结合微分学和积分学的知识进行推导。
基于导数和积分的定义，可以清晰地展示maple 牛顿-莱布尼茨公式的成立过程。
2. 函数的连续性和可导性maple 牛顿-莱布尼茨公式适用于连续函数和可导函数。
在进行积分操作时，对函数连续性和可导性的要求是必不可少的。
3. 应用场景maple 牛顿-莱布尼茨公式在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
在物理学中，可以利用maple 牛顿-莱布尼茨公式求解曲线下的面积和质心等问题。
四、个人理解和观点作为一名数学爱好者，我深刻理解maple 牛顿-莱布尼茨公式的重要性和美妙之处。
它不仅揭示了导数和积分之间的奇妙关系，还为我们解决实际问题提供了强大的工具。
maple 牛顿-莱布尼茨公式的深入理解不仅有助于提高数学水平，还能拓展思维，对于培养逻辑思维和解决实际问题具有重要意义。
五、总结本文从maple 牛顿-莱布尼茨公式的基本概念出发，深入探讨了其证明方法、适用条件和应用场景，同时结合个人观点和理解进行了阐述。
maple 序列 运算
maple 序列运算1.引言1.1 概述在撰写本文之前，我们首先需要了解什么是Maple序列运算。
Maple 序列运算是指在Maple软件中使用序列进行数学运算的一种方法。
Maple 是一款强大的数学软件，它提供了丰富的数学函数和算法，可以在各种领域进行高效的数学计算和研究。
Maple序列运算能够对序列进行各种数学操作，包括求和、求积、求导、求极限等。
同时，它还能够处理复杂的序列变换和序列递推关系，并通过符号计算的方式帮助用户找到序列的通项公式。
本文将主要探讨Maple序列运算的基本概念和应用场景。
我们将通过介绍Maple序列运算的基本操作和常用函数，以及通过实例演示其在数学问题求解和分析中的应用。
通过深入学习和理解Maple序列运算，我们可以更好地利用这一工具解决实际问题，并为数学研究提供更为便捷和高效的方法。
接下来，我们将通过介绍Maple序列运算的基本概念和应用场景来详细阐述其重要性。
同时，我们也将展望Maple序列运算的未来发展，探讨其在数学和科学领域的潜在应用价值。
通过本文的阅读，读者将能够对Maple序列运算有更深入的理解，并能够灵活运用该工具解决实际问题。
让我们开始探索Maple序列运算的世界吧！1.2文章结构文章结构部分是对整篇文章的组织和框架进行介绍，是为了帮助读者更好地理解以下正文内容。
本文的结构分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个方面。
首先，概述部分将简要介绍maple序列运算的背景和重要性。
其次，文章结构部分将说明本文的组织结构和各个章节的名称及内容概要，从而为读者提供整篇文章的整体框架。
最后，目的部分将明确本文撰写的目的和意义，指导读者对文章内容进行理解和使用的方向。
正文部分是文章的主体部分，主要介绍maple序列运算的基本概念和应用场景。
在2.1节中，将详细解释maple序列运算的基本概念，包括序列的定义、特性和常用操作等内容。
在2.2节中，将探讨maple序列运算的应用场景，包括数学建模、数据分析和算法设计等方面。
Maple微积分计算步骤
Maple微积分计算步骤首先这个貌似要在Maple13版本以上才有。
准备工作：首先打开Maple。
再打开菜单工具栏中的工具——调用程序包。
在调用程序包中找到Student:-Calculus1。
并点击它，则Maple中出现。
当然也可以自己输入with(Student[Calculus1]):。
并按enter结束方法一：例如我想用Maple求一下三个积分的求解步骤：有了以上的准备工作后，在面板中输入。
然后鼠标右键—2-D数学—转换为—惰性形式。
转换为惰性形式之后的式子为。
（在点击右键的时候鼠标要在虚线框内。
）然后再鼠标右键—solve—Show Solution Steps。
即求解完毕。
完毕之后的内容为：这两个的方法也是同上面一样。
过程在“Maple步骤程序”中。
方法二：还是同样计算上面的三个式子。
在面板中直接输入。
然后也是鼠标右键——2-D ——转换为——惰性形式。
再按Enter就行了。
过程为：其它两个也一样。
Maple中的步骤不仅对以上三种有用。
对极限和偏导也可以。
具体的可以试试。
我在“Maple步骤程序”中也举了例子。
至于其它的，有兴趣的可以自己去研究。
但并不是每个微分里面的Maple都会有步骤显示。
而且如果你们自己试过Maple里面的步骤之后会看到，它里面的步骤是一步一步来的。
有些明明自己做起来很简单的步骤，Maple也许会很复杂。
我们自己做的时候并不需要那么多步骤。
有些还要自己省。
而且有些步骤不一定适合我们自己。
毕竟Maple不是人，它的步骤是唯一的。
但那些步骤或许会给我们点启发。
所以我们只能做参考。
Maple软件动态可视化功能在大学数学教学中的应用
Maple软件动态可视化功能在大学数学教学中的应用【摘要】本文探讨了Maple软件动态可视化功能在大学数学教学中的重要应用。
首先介绍了Maple软件在数学课堂中的应用，包括解方程、绘制图形等。
其次分析了Maple软件动态可视化功能的优势，如直观展示数学概念、增强学生理解能力等。
接着以具体案例展示了Maple软件在大学数学教学中的应用，强调其在提高学生学习效果方面的作用。
最后展望了Maple软件在数学教学中的未来发展，指出其对提升教学质量具有重要意义。
结论部分强调了Maple软件动态可视化功能在大学数学教学中的重要性，并呼吁更多教育机构积极推广运用该软件。
通过本文的研究，可以看出Maple软件在数学教学中具有巨大潜力，将会在未来发挥更加重要的作用。
【关键词】Maple软件、动态可视化、大学数学教学、应用、优势、具体案例、学习效果、未来发展、重要性、结语1. 引言1.1 Maple软件动态可视化功能在大学数学教学中的应用Maple软件在大学数学课堂中的应用非常广泛，教师可以利用其丰富的数学函数和绘图功能展示各种数学概念和定理，帮助学生更好地理解抽象的数学概念。
而Maple软件的动态可视化功能则可以让学生通过实时的动态图像和动画，直观地理解数学问题的解决过程，加深对数学知识的理解和记忆。
这种直观的学习方式可以激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性和学习效果。
Maple软件的动态可视化功能在大学数学教学中的应用不仅可以丰富教学内容，提升教学效果，还可以帮助学生更好地掌握数学知识，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
在未来，随着科技的进一步发展，Maple软件在数学教学中的应用前景将更加广阔，为大学数学教学带来更多的创新和可能性。
2. 正文2.1 Maple软件在数学课堂中的应用Maple软件在数学课堂中的应用非常广泛，它可以帮助教师和学生更直观地理解数学概念和解决问题。
Maple可以用来进行数学公式的推导和计算，让学生更好地理解抽象的数学概念。
Maple软件在高等数学定积分教学的应用
Maple软件在高等数学定积分教学的应用摘要：高等数学是每一位大一新生都要面对的一门非常重要的公共基础课，因此如何让学生们能够直观，形象地理解高等数学中的众多定理和计算就成为了我们高等数学任课老师的教学关键所在。
我们都知道，高等数学是研究变量与变量之间关系的一门学科，而定积分则是一元函数微积分中的重点。
Maple一款非常强大的数值计算软件。
因此本文从如何使用Maple对定积分教学进行辅助教学的角度出发，通过两个例子，形象而直观地演示了如何对定积分的定义，面积和体积等内容进行教学的关键。
最后，在总结中，我们给出了在高等数学定积分教学中使用Maple软件的前景和未来的趋势。
关键词：高等数学；定积分；Maple；辅助教学我们都知道，高等数学是研究变量与变量之间关系的一门学科。
其主要内容包括：一元函数微积分，多元函数微积分，无穷级数，向量与空间解析几何以及常微分方程。
简言之，就是微分，积分，级数，向量和方程[1]。
因此，在国外的很多教材中都把高等数学称之为微积分(Calculus)。
从这个意义上来说，积分学无疑在整个高等数学教学中占有非常重要的地位。
而学生们初次接触积分就是不定积分和定积分，从一般意义上讲，定积分应该属于一元函数积分学。
因此，如何让学生们更好的理解并学好定积分就是我们高校老师的重要任务所在。
一高等数学定积分教学的重点与难点很多高数教材在讲解定积分的定义的时候，都会用曲边梯形的面积这个经典例子作为案例引入来开始定积分课程的教学。
但是如何能用最直观的形式教会学生定积分并不是一件容易的事[2]。
首先，定积分的概念的引入一般会有两个：①曲边梯形求面积；②变速直线运动求路程。
这两个问题看似风马牛不相及，但是研究思路却有着异曲同工之处，那就是：分割，近似，求和和取极限。
也就是其和式极限可以写成下面的样子：01lim()niiiAfxλξ→==∑∆。
因此我们可以看到，这里的iii1xxx−∆=−是第i个小区间的长度，()iifξ∆x使用来近似第i…个小区间上的矩形的面积，12max{,,...}nλ=∆x∆x∆x是所有小区间上的间距的最大值。
数学软件 Maple 在常微分方程教学中的应用
数学软件Maple在常微分方程教学中的应用闻小永（北京信息科技大学数学系，北京 100192）摘 要：本文讨论了数学软件Maple在常微分方程教学中的运用，总结了教学实践经验，并结合具体实例，说明数学软件Maple是提高学生分析和解决问题能力的有效工具。
关键词：数学软件Maple；常微分方程；教学一、引言数学软件是大学生数学建模竞赛以及数学实验的有力工具，也是培养学生应用数学以及实践数学能力的有效工具。
高等学校工科数学课程教学指导委员会在1996年提出的《关于工科数学系列课程教学改革的建议》[1]中指出：计算机的广泛使用和计算技术、软件包的高速发展，正在改变着人们对数学知识的需求，冲击着传统的观念和方法。
该建议将利用计算机进行数学实验包括数学建模、实用数值方法、常用软件包的使用、数据处理作为基本知识之一，要求各校根据自身的条件，开展计算机数学软件辅助教学，努力探索将计算机数学软件引入课堂教学，促进教学内容课程体系改革的途径。
随着计算机技术的深入发展及计算机的日益普及，计算机的应用已渗透到国民经济和科学研究的各个领域，工科数学的教学也不例外。
近年来，国外不少数学教材（如微积分、线性代数、概率与统计、常微分方程、数值计算等）都增加了应用数学软件的内容。
数学软件 Maple [2-4]是加拿大滑铁卢大学（University of Waterloo）和 Waterloo Maple Software 公司设计的一套为微积分、线性代数、微分方程等高等数学使用的软件包，Maple软件适用于解决微积分、解析几何、线性代数、微分方程、计算方法、概率统计等数学分支中的常见计算问题，它以良好的使用环境、强有力的符号计算、高精度的数值计算、灵活的图像显示和高效的编程功能，为越来越多的教师、学生以及科研人员所喜爱，并且成为他们数学处理的重要工具。
现在越来越多的教师和科研人员利用Maple软件来处理教学和科研中所遇到的数学问题，已取得一定的教学和科研成果[5-7]。
用Maple学习微积分2
用Maple学习微积分理解导数函数f(x)在x处的导数☐“工具”→“Math Apps”→“Calculus”→“Derivative Definition”计算导数命令行☐单变元函数一阶导diff(f(x), x)☐单变元函数n阶导diff(f(x), x$n)☐右键→“Differentiate”→“With Respect To”→选择变量不支持高阶导计算导数命令行☐多变元函数f对x1,x2,x3依次求偏导diff(f, x1,x2,x3) ☐右键→“Differentiate”→“With Respect To”→选择变量☐连续对某个变元求偏导diff(f, x1,x2$2,x3)导数做图利用Student[Calculus1]软件包的DerivativePlot☐DerivativePlot(f,x=a..b)在区间[a,b]做出f及其导数的图像☐DerivativePlot(f,x=a..b,order=1..n)做出f及其直至n阶导数的图像注意：首先用with命令调用软件包导数做图利用plot函数☐设F=[f1,f2,f3]为函数序列，则plot(F,x=a..b)做出函数f1,f2和f3在区间[a,b]上的一幅图像☐:= ：赋值语句☐for：循环语句☐op(S)：返回集合或序列S中的所有元素☐“:”VS“;”用Maple 学习微积分：for 循环和if 语句for 循环☐变量i 以间隔c 从a 变至b ☐对于每个i ，执行“命令行”for i from a to b by cdo命令行end do:if 语句if 表达式then命令行1else命令行2end if:☐如果表达式成立则执行“命令行1”，否则执行“命令行2”利用for 循环和if 语句计算100内可以被3整除的奇数之和（mod 求模运算）泰勒展开利用泰勒级数f n近似函数f(x)☐“工具”→“Math Apps”→“Calculus”→“Taylor's Theorem”计算泰勒展开☐taylor(f,x=a,n)计算f在点a处的n阶泰勒展开☐convert(t,polynom)将泰勒展开转化为泰勒多项式convert命令可以实现各种数据格式的可行转换用Maple学习微积分：牛顿迭代法牛顿迭代法☐NewtonsMethodTutor()调用牛顿迭代法演示小程序☐NewtonsMethod(f,x=a,output=sequence)调用牛顿迭代法以初始点a计算方程f=0的一个解用Maple学习微积分小结☐导数的理解、计算与做图☐for循环与if语句☐泰勒展开☐牛顿迭代法自己试一试：1000000以内的素数有多少？并计算这些素数的和。