maple在微积分求积分中的应用
MAPLE在微积分教学中的应用
目
国传 统 的 高等 数 学教 学重视 演 绎及 推 版 本 不断 升级 ，功 能 不 断强 大 。２ ０年 １ ，在 与 ００ 月 英 国剑桥 的 “ｔｅ Ｎｕ ｒ ａ Ａｌｏｉ ｍｓ Ｇ ｏ ｐ ｈ ｍｅｉ ｌ ｇ ｒ ｈ ｒ ｕ ｓ ｃ ｔ 理 ，重视 定理 的 严 格 论证 ，这 对培 养
－
ｎ ｒ ａｃ ｌｓ，ｔ ｉ ａ ｔ ｌ ｕ ａ ｙｃ ｌｕｕ ｈ ｓ ｒｉ ｅｓ ｍｍ ａ ｉｅ ｐ ｉａｉｎｍ ａｈ ｍａ ｉｓ ｏ ｔ ｒ ＡＰＬ ｃ ｒｚ ｓ ｐｌ ｔｏ ｔ ｅ ｔｃ ｆ ａ ｃ ｓ ｗａ ｅ Ｍ Ｅ
ｎ ｈ ｍ ｔ ｃ ｉ ｉ ｔｅｌ ｉｔａ ｈ ｇ． ｉ ｅ ｎ Ｋ ｅ ｒ ｓｃ ｌｕｕ ：ｉ ｔ ａ ￣ｎ ； ＡＰ ｙｗＯ ｄ ：ａｃ ｌｓ ｌ ｍｉ ｔ ｃ ｇ Ｍ ｅ ＬＥ
Ｔｃｎ ｌ ｙ ｈｊ ｎ ｎ ｅ ｉ ，ｉ ｂ ，ｈｊ ｎ ， １１０ ｈ ａ ｅｈ ｏ ｇ ｅ ａｇ ｉ ｒ ｔＮ ｎ ｏＺ ｅａｇ３ ５０ ， ｉ ） ｏ Ｚ ｉ Ｕ ｖ ｓｙ ｇ ｉ Ｃ ｎ
Ａｂ ｔ ａ ｔＴｈ ｍｉ ｗａ ｅｋ ｙｐ ｉｔ ｎ ｅ ｉ ｉｕｔ ｆ ｈ ａ ｈ ｎ ｆ ｕ ｉ ｓｒ ｃ ： ｅｌ ｔ ｓ ｈ ｅ ｏｎ ｄｔ ｆ ｃ ｌ ｏ ｔ ｅｔ ｃ ｉ ｇｏ ｆ ｘｏ ｉ ｔ ａ ｈ ｄ ｙ ｅ ｌ
Ｍａ ｌ是加 拿 大教 授Ｋｅｔ ｄ ｅ与Ｇａｔｎ ｐｅ ｉ Ｇｅ ｄ ｓ ｈ ｏ ｇ
第二章 Maple微积分运算
true > iscont(1/x,x=-1..1,closed); false > iscont(1/(x+a),x=0..1); FAIL > iscont(ln(x),x=10..1); true
1.2.2 间断 函数 discont 可以寻找函数或表达式在实数域的间断点, 当间断点周期或成对出现
第二章
微积分运算
微积分是数学学习的重点和难点之一, 而微积分运算是 Maple 最为拿手的计算之一, 任何解析函数, Maple 都可以求出它的导数来, 任何理论上可以计算的积分, Maple 都可 以毫不费力的将它计算出来. 随着作为数学符号计算平台的 Maple 的不断开发和研究, 越来越多的应用程序也在不断地创设.
> fdiscont(round(3*x-1/2),x=-1..1);
[ -1.00003155195758886 .. -.999634596231187556, -.667056666250248842 .. -.666327819216380068, -.333731406929595187 .. -.333002495225188489, -.000262904384890887231 .. .000298288004691702826 , .332976914927844203 .. .333778498831551751, .666340020328179072 .. .667141797110034518, .999646728223793524 .. 1.00008356747731275]
maple在微积分求积分中的应用
Maple 在 微积分中的应用(三)
不定积分
命令：int
调用格式：int（f(x)，x） 功能：求函数f(x)的不定积分，即 如：
f ( x)dx
注：命令Int，只给出不定积分的形式
不进行计算；若要计算，可用 value（%），或
则用Int（f(x)，x）= int（f(x)，x） 如：
f ( பைடு நூலகம்)dx ，
定积分
命令：int
调用格式：int（f(x)，x=a..b） 功能：求函数f(x)在区间[a,b]上的定积分， 即 b 如：
a
f ( x)dx
注：命令Int，只给出定积分的形式
不进行计算；若要计算，可用 value（%），
a
b
f ( x)dx，
或则用Int（f(x)，x=a..b）= int（f(x)，x=a..b） 如：
计算机数学软件Maple概述
图形与可视化
二维图形
支持绘制函数图像、参数曲线、极坐标图形等。
三维图形
支持绘制三维曲面、空间曲线等，支持多种视角和色彩效果。
数据可视化
提供数据分析和可视化工具，支持散点图、柱状图、饼图等多种图表 类型。
04
Maple在物理和工程中的应用
物理问题的建模与仿真
经典力学
Maple可用于解决经典力学问题，如质点和刚体的运动、 振动和波动等。通过Maple，可以方便地建立运动方程， 并进行数值求解和可视化分析。
统计分析
Maple支持多种统计分析方法，如描述性统计、回归分析、时间序列分析等，可以对数据进行深 入挖掘和解读。
06
Maple的扩展功能与应用
Maple的扩展包与工具箱
符号计算扩展包
提供高级符号计算功能，如积分变换、特殊 函数处理等。
图形与可视化工具包
支持二维和三维图形绘制、动画制作等可视 化功能。
界面组成
01
Maple界面主要包括菜单栏、工具栏、命令窗口、工作区等部
分。
基本操作
02
启动Maple，打开或创建工作表，输入命令或表达式，执行计
算，查看结果。
帮助系统
03
Maple提供了全面的帮助系统，包括在线文档、教程和示例，
方便用户学习和使用。
Maple的数据类型与运算
maple数学软件4
(2) 统计字符 可以通过stats[transform,tally](data)加载程序包 可以通过 加载程序包 transform 及其子程序包 及其子程序包stats, 调用 调用tally来统计字符出现的 来统计字符出现的 频度。 频度。 如: A:=[seq(sin(x*Pi/6),x=0..30); stats[transform,tally](A);
2. 函数 函数limit求导法 求导法 求函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的导数。 的导数。 例 求函数 ≠ 的导数 f:=x->a^x; g:=(f(x+h)-f(x))/h; df:=limit(g,h=0); 例 求函数 求函数f(x)=xn(n为正整数 在x=a处的导数。 为正整数)在 处的导数 为正整数 处的导数。 f:='f':g:='g': f:=x->x^n; g:=(f(a+h)-f(a))/h; df:=limit(g,h=0); simplify(df);
(3) 函数化列表 函数化列表是指列表中的元素可以是列表、集合、 函数化列表是指列表中的元素可以是列表、集合、数 学表达式及函数等。 学表达式及函数等。 L:=[sin,cos,exp,x->2*x+1,y->y^2]; L(Pi/2); L[1..3](Pi/2);
4、数据结构类型的转换 、 集合可以转化为列表，但不能转化为数组。 集合可以转化为列表，但不能转化为数组。 A:={1,x,2,y,b}; A1:=convert(A,list); A2:=convert(A,array);#Error 列表可以转化成集合、数组。 列表可以转化成集合、数组。 B:=[1,3,3,x,x,a]; B1:=convert(B,set); convert[B,array]; c:=array(1..4,[1,2,3,4]); c1:=convert(c,set); c2:=convert(c,list);
Maple在微积分上的应用
EX:
第三章 導數的應用
3.1 函數圖形的判別 3.2 極大值與極小值
3.1 函數圖形的判別
函數圖形的外觀可以簡單藉由函數的導函數來判別。下面介紹(1)函數的 遞增遞減(2)函數圖形的凹向性。 (1)函數的遞增遞減：
若含數定義於某區間，設x1與x2為該區間內的任意兩點，且x1<x2。若f(x1)<f(x2) ，則 f在該區間為遞增(increasing) ，反之，若f(x1)>f(x2) ，則f 在該區間為遞減(decreasing) 。 函數的遞增與遞減區間可由該函數的一階導函數的正負值來判斷。
函數與極限 導數與導函數 導數的應用 積分 積分應用與技巧
第一章 函數與極限
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 函數 函數的運算 極限的基本概念 Maple的極限計算法 函數的連續性
1.1 函數
(1)偶函數與奇函數：
如果 f ( x) f ( x，則稱f為偶函數(even function)。若 f ( x) f ( x)，則稱f ) 為奇函數(odd function)。偶函數的圖形對稱於y軸，而奇函數的圖形對稱 於原點。 EX:
f ( a h) f ( a ) f ( a h) f ( a ) lim L h 0 h 0 h h 則稱f在x=a可微分(differentiable)。 ● 一般而言，函數f(x)於x=a不可微分通常發生於下面三種情況: 1. 函數的圖形於x=a為一尖角或折點。EX: 2. 函數於x=a不連續(斷點)。 3. 函數於x=a的切線為一垂直線(斜率為 )。EX: EX:可微分例子。 f '(a) lim
Maple 在微积分中的应用(一).
sin( x) lim 1 x 0 x
极限
使用函数limit也能返回极限不存在的信息，如 > Limit(1/(x-1),x=1)=limit(1/(x-1),x=1); 1 lim undefined x 1 x 1 > limit(sin(1/x),x=0); -1..1 (表明在x=0附近函数值在[-1，1]间振荡) > limit(1/x^2,x=0);
连续
格式：singular(<函数>,[变量]). 功能：判断函数间断点 > singular(sin(1/x)); {x=0} 注意：有时需要先读入函数 > readlib(iscont):readlib(singular):
导数及其应用
导数是变换率这一概念的精确描述，定义式可有几种，求导 的 方法也有一下几种： （1）函数逼近求导法 （2）函数limit求导法 （3）函数diff求导法 函数diff只给出求导的数学表达式，结果可用eval或value得到 diff的调用形式为 ： diff（<表达式>,[变量]） diff(f,x$n) 表示对自变量x求n次导数，即f的n阶导数 Diff 为求导符号,可用value显示值
1 1x 2
导数及其应用
复合函数求导 如果使用函数diff对复合函数求导，处理方式与普通的数学 处理一样 >Diff(ln(ln(ln(x))),x)=diff (ln(ln(ln(x))),来自百度文库);
maple工程计算
maple工程计算
Maple是一款强大的数学软件，提供了丰富的工程计算功能。在工程计算中，Maple可以帮助我们进行各种数学计算、模拟实验、数据分析等任务。本文将介绍Maple在工程计算中的应用，并根据不同的应
用场景，总结了一些使用Maple进行工程计算的常用方法和技巧。
一、Maple在工程计算中的应用
1.数学建模：Maple是一个非常强大的数学计算软件，它可以帮助我们进行各种数学建模工作。通过Maple，我们可以建立各种数学模型，如微分方程模型、优化模型等。利用Maple的求解器，我们可以方便
地求解这些数学模型，并得到准确的结果。
2.仿真实验：Maple提供了强大的仿真功能，可以帮助我们进行各种仿真实验。例如，我们可以用Maple建立电路模型，并模拟电路的
运行情况；或者我们可以用Maple建立机械系统模型，并模拟机械系
统的运动轨迹。通过仿真实验，我们可以快速了解系统的性能特点，
并进行参数优化。
3.数据分析：Maple也是一款强大的数据分析工具。它提供了丰富的数据处理和分析函数，可以帮助我们对大量的数据进行快速的计算
和分析。例如，我们可以用Maple进行数据的统计分析、拟合曲线、
数据可视化等工作。通过数据分析，我们可以深入了解数据的规律和
特点，并对数据进行更加准确的分析和预测。
4.优化设计：Maple还提供了优化算法，可以帮助我们进行优化设计。例如，我们可以利用Maple进行参数优化，找到系统的最优解。
通过优化设计，我们可以提高系统的性能，降低成本，提高效率。
二、使用Maple进行工程计算的常用方法和技巧
Maple的一个非常实用的功能就是微积分计算它能求导数,作积分,作级数
第3章微积分
Maple 的一个非常实用的功能就是微积分计算.它能求导数，作积分，作级数展开，作无穷求和，还有很多很多功能.在这一章，我们关注最基本的功能.极限
极限思想是微积分学中最基本的思想，而Maple 知道怎么计算它们.例如，要求lim x →0sin 3x x 的极限值，可以使用Maple 的limit 命令，表达式如下所示：>limit(sin(3*x)/x,x=0);
3
当然你也可以使用Maple 函数来求解
>y:=x->sin(3*x)/x;limit(y(x),x=0);
y :=x →
sin (3x )x
3
您可以输入?limit 来查看这条命令的详细说明，但这并不是命令的全部说明.问题3.1
尝试着练习这个问题：lim x →0cos (x )−1
x 2微分
导数相对来说是容易的，所以这一节也一样.Maple 对初等函数和特殊函数的求导是同样容易的，所以这一节只是展示两条Maple 的微分命令，一条用于表达式，一条用于函数.
首先，我们对表达式进行微分.我建议你使用下面说明正切函数用法的形式来求一阶导数，二阶导数和三阶导数.你也可以使用diff命令，它直接求出导数，或者Diff和value 命令，给出所求表达式的导数，并计算其值.Diff命令的用途实际上超出你的想像，因为它给你一个机会查看你要Maple 求的导数是不是你所想要的.>diff(tan(x),x);
1+tan (x )2
>diff(tan(x),x\$2);
2tan (x )(1+tan (x )2)
maple中d的用法
Maple中d的用法及常见组合应用
在Maple中，"d"是一个微分符号，用于表示对某个变量的导数。具体用法如下：
1.单个的"d"：表示对一个变量的微分，如d(x)表示x的微分。
2."d"后跟括号，括号内为变量：表示对特定变量的微分，如d(x)表示对x的
微分，d(y)表示对y的微分。
3."d"后跟积分符号"∫"：表示对某个函数进行不定积分，如d/dx ∫ f(x) dx =
f(x)。
4."d"后跟变量和积分符号"∫"：表示对某个函数进行定积分，如d/dx ∫f(x)
dx = f(x) + C，其中C为积分常数。
此外，"d"还可以与其他符号组合使用，如"diff"、"D"等，用于表示对多个变量的微分、偏微分等。具体使用方法可以参考Maple的官方文档或相关教程。
b6浙江省宁波市高中数学教学论文 Maple在微积分中的应用
本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考
本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！
Maple 在微积分中的应用
摘要：Maple 被称为当今世界上最流行的符号计算软件之一，它具有强大的交互式工程数学计算功能；其丰富的函数包能满足用户在各方面的需求；简单灵活的平面和立体作图技术使得它成为当前最普及的数学教学软件；它在统计学、经济结算方面的程序库被广泛应用于很多领域。本文通过Maple9.5软件分六个部分：1. Maple 在极限中的应用；2.Maple 在求导中的应用；3. Maple 在积分中的应用；4.Maple 在级数中的应用；5.Maple 在积分变换中的应用；6.Maple 中通过菜单的工具选项操作实现相关微积分的功能对Maple 在微积分中应用进行了系统的研究与说明。
关键字：Maple ；微积分；应用研究
一、Maple 在极限中的应用
1 数列的极限 例1．设222
11112n u n =
+++ ，求lim n n u →∞。
首先可以通过Maple 绘制散点图得到这个数列是收敛的，如图1：
> with(plots);
> plot(sum('1/k^2','k'=1..n),n=1..1000);
（图1 数列{}n u 散点图） 进一步用maple 计算得到该数列的极限为2
16
π，其中命令为： > limit(sum('1/k^2','k'=1..n),n=infinity); 例2．1
0110,1,,lim 2
n n n n n x x x x x x -+→∞+===
maple在微积分求导中的应用
Maple 在 微积分中的应用( 微积分中的应用(二)
导数
1、求导数 、 命令： 命令：diff 调用格式：diff（f(x)，x） 调用格式： （ ， ） 功能：求函数 关于x的导数 功能：求函数f(x)关于 的导数 关于 的导数. 如：>diff（x^2，x）； （ ， ）； 2x
注：命令Diff，只给出求导数的表达式，不计算导 命令 ，只给出求导数的表达式， 若要计算导数， ），或则 数；若要计算导数，可用 value（%），或则 （ ）， 用Diff（f(x)，x）= diff（f(x)，x） （ ， ） （ ， ） 如：
2、求高阶导数 、 调用格式： 调用格式：diff（f(x)，x$n） （ ， ） 功能：求函数 关于x的 阶导数 阶导数. 功能：求函数f(x)关于 的n阶导数 关于 如：>diff（x^2+cos(x)-x*sin(x)，x$3）; （ ， ） 4sin(x)+xcos(x)
3、求隐函数的导数 、 命令： 命令：implicitdiff 调用格式： 调用格式：implicitdiff（F（x，y）=0，y，x） （ （ ， ） ， ， ） 功能： 功能：求由方程 F（x，y）=0 所确定的隐函数 （ ， ） y=f(x)关于 的导数. y=f(x)关于x的导数. 关于x的导数 如：
Fra Baidu bibliotek
Maple6-ch3-微积分运算解读
1
第三章 微积分运算
在student 库。
§3.1 极 限
3.1.1 一元函数的极限
在Maple 中，求极限的函数是limit(或Limit)，完整的函数表达式是：
limit(f(x),x=a[,dir]);
Limit(f(x),x=a[,dir]);
其中，a 为极限点或无穷，dir 极限方向（left 、right ）或real(实)和complex （复）。 参数空时，系统自动取实。
EX.1
> f:=x*sin(1/x);
:= f x ⎛⎝ ⎫⎭
⎪⎪sin 1 > limit(f,x=0);
> plot(f,x=-0.1..0.1);
> limit(f,x=0,left);
> limit(f,x=0,real);
2
> limit(f,x=0,complex); 由于复数不能求三角函数，故以复数趋于0极限不存在
lim → ,complex x 0x ⎛⎝ ⎫⎭
⎪⎪sin 1x Ex.2
> f:='f':
f:=(sqrt(1+x^4)-(x^6-2*x^2)^(1/3))/(x^2*tan(1/x)*sin(1/x)*(1-cos(1/x))); := f - + 1x 4()
- x 62x 2()
/13x 2⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪tan x ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪sin x ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ - 1⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪cos x > limit(f,x=infinity);
73
也可用求极限的另一形式：
> f:='f':
f:=x->(sqrt(1+x^4)-(x^6-2*x^2)^(1/3))/(x^2*tan(1/x)*sin(1/x)*(1-cos(1/x)));
MAPLE软件简介及其应用
总之，Maple是一个功能强大、容易掌 握、不断发展的数学解析软件。有了良好 的数学基础加上Maple就能使你如虎添翼， 有能力和信心去解决各种各样的数学计算 问题。
第一章 Maple初步
1.1 Maple 的安装与启动 不同版本Maple的安装过程略有不同， 有的版本需要序列号。 Maple的工作环境是典型的 windows 界 面，下面给出Maple7的经典界面和Maple11 的新界面。
1. 标准库
标准库分为内部函数、外部函数和惰 性函数三类。 内部函数在 Maple 的内核中，不能查 看其代码。外部函数和惰性函数可以查看
其代码。惰性函数主要用来显示函数名。
2. 混合库
混合库中存放的是不太常用的函数， 系统启动时不自动调入内存。需要用时需 用命令readlib(函数名)调入 。
3. 专用软件包
1.2 Maple 命令的输入与显示 1. > 命令提示符；大小写敏感。
2. Maple命令以；或：结尾，以；结尾 显示结果，而以：结尾则不显示结果。 3. Maple的赋值号为：=。
4. 光标放在命令行的任意位置，然后 回车即可运行此命令；在书写命令时如需 换行，须按Shift+回车。
1.3 Maple 的数值与解析计算
n 1 n 1 ba Sn f (a) 4 f ( xk 1 ) 2 f ( xk ) f (b) 6n 2 k 0 k 1
maple 牛顿-莱布尼茨公式
《探寻maple 牛顿-莱布尼茨公式》
一、引言
maple 牛顿-莱布尼茨公式，作为微积分中的经典公式，是描述求导和积分的关系的重要定理。它由两位伟大的数学家牛顿和莱布尼茨分别独立发现，并且在实际应用和理论探讨中发挥着重要作用。本文将从浅入深地探讨maple 牛顿-莱布尼茨公式，希望能为读者深入理解这一数学定理的内涵和应用。
二、maple 牛顿-莱布尼茨公式的基本概念
1. maples 的概念
在微积分中，maple 是代表一个函数的导数。它描述了函数在某一点的瞬时变化率，是微积分中非常重要的概念之一。
2. 牛顿-莱布尼茨公式的表达
maple 牛顿-莱布尼茨公式由以下表达式所描述：
∫(a, b) f(x)dx = F(b) - F(a)
其中，∫代表积分，f(x)是函数，F(x)是f(x)的不定积分函数，a和b是积分的上下限。
三、maple 牛顿-莱布尼茨公式的探讨
1. 证明方法
maple 牛顿-莱布尼茨公式的证明可以通过利用极限的性质，结合微分
学和积分学的知识进行推导。基于导数和积分的定义，可以清晰地展
示maple 牛顿-莱布尼茨公式的成立过程。
2. 函数的连续性和可导性
maple 牛顿-莱布尼茨公式适用于连续函数和可导函数。在进行积分操作时，对函数连续性和可导性的要求是必不可少的。
3. 应用场景
maple 牛顿-莱布尼茨公式在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。在物理学中，可以利用maple 牛顿-莱布尼茨公式求解曲线
下的面积和质心等问题。
四、个人理解和观点
作为一名数学爱好者，我深刻理解maple 牛顿-莱布尼茨公式的重要
maple 序列 运算
maple 序列运算
1.引言
1.1 概述
在撰写本文之前，我们首先需要了解什么是Maple序列运算。Maple 序列运算是指在Maple软件中使用序列进行数学运算的一种方法。Maple 是一款强大的数学软件，它提供了丰富的数学函数和算法，可以在各种领域进行高效的数学计算和研究。
Maple序列运算能够对序列进行各种数学操作，包括求和、求积、求导、求极限等。同时，它还能够处理复杂的序列变换和序列递推关系，并通过符号计算的方式帮助用户找到序列的通项公式。
本文将主要探讨Maple序列运算的基本概念和应用场景。我们将通过介绍Maple序列运算的基本操作和常用函数，以及通过实例演示其在数学问题求解和分析中的应用。通过深入学习和理解Maple序列运算，我们可以更好地利用这一工具解决实际问题，并为数学研究提供更为便捷和高效的方法。
接下来，我们将通过介绍Maple序列运算的基本概念和应用场景来详细阐述其重要性。同时，我们也将展望Maple序列运算的未来发展，探讨其在数学和科学领域的潜在应用价值。
通过本文的阅读，读者将能够对Maple序列运算有更深入的理解，并能够灵活运用该工具解决实际问题。让我们开始探索Maple序列运算的世界吧！
1.2文章结构
文章结构部分是对整篇文章的组织和框架进行介绍，是为了帮助读者更好地理解以下正文内容。本文的结构分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个方面。首先，概述部分将简要介绍maple序列运算的背景和重要性。其次，文章结构部分将说明本文的组织结构和各个章节的名称及内容概要，从而为读者提供整篇文章的整体框架。最后，目的部分将明确本文撰写的目的和意义，指导读者对文章内容进行理解和使用的方向。
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数学实验
Maple 在 微积分中的应用(三)
不定积分
命令：int 调用格式：int（f(x)，x）
功能：求函数f(x)的不定积分，即 f (x)dx
如：
ห้องสมุดไป่ตู้
注：命令Int，只给出不定积分的形式 f (x)dx ， 不进行计算；若要计算，可用 value（%），或 则用Int（f(x)，x）= int（f(x)，x）
如：
定积分
命令：int
调用格式：int（f(x)，x=a..b）
功能：求函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，
即 如：
b
a f (x)dx
注：命令Int，只给出定积分的形式 b f (x)dx， 不进行计算；若要计算，可用 vaalue（%）， 或则用Int（f(x)，x=a..b）= int（f(x)，x=a..b）