对指数函数、对数函数、幂函数交点问题的探究

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指数对数函数与幂函数的性质与应用

指数对数函数与幂函数的性质与应用指数函数、对数函数和幂函数是数学中常见的函数类型，它们具有独特的性质和广泛的应用。

本文将重点探讨指数对数函数与幂函数的性质及其在现实生活和科学研究中的应用。

一、指数函数的性质与应用指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a是常数且不等于1。

指数函数的性质如下：1. 随着x的增大，a^x也呈指数增长。

当a>1时，指数函数递增；当0<a<1时，指数函数递减。

2. 指数函数在x=0时取值恒为1。

3. 指数函数的图像一般呈现出一种指数曲线的形状，具有平移、伸缩和翻折等变换特征。

指数函数在许多领域有广泛的应用。

例如，在经济学中，指数函数可以用来描述货币的贬值或通货膨胀；在生物学中，指数函数可以用来描述细胞的增长与衰亡；在物理学中，指数函数可以用来描述放射性物质的衰变等。

二、对数函数的性质与应用对数函数的一般形式为f(x) = logₐx，其中a是底数，x是函数的自变量。

对数函数的性质如下：1. 对数函数与指数函数是互为反函数的关系，即f(f(x)) = x，其中f(x)为指数函数，f(f(x))为对数函数。

2. 底数大于1时，对数函数递增；底数小于1时，对数函数递减。

3. 对数函数的图像一般呈现出一种特殊的曲线形状，具有平移、伸缩和翻折等变换特征。

对数函数在许多领域也有着广泛的应用。

例如，在金融学中，对数函数可用于计算利息和复利；在通信领域中，对数函数可以用来衡量声音和信号的强度等。

三、幂函数的性质与应用幂函数的一般形式为f(x) = x^a，其中a是常数。

幂函数的性质如下：1. 当a为正数且不等于1时，幂函数递增；当a为负数且不等于-1时，幂函数递减。

2. 幂函数在x为正数时均有定义，在x=0时取值恒为1。

3. 幂函数的图像一般呈现出一种曲线的形状，具有平移、伸缩和翻折等变换特征。

幂函数在许多领域也有着广泛的应用。

例如，在物理学中，幂函数可以用来描述力和速度之间的关系；在经济学中，幂函数可以用来描述成本与产量之间的关系。

幂函数指数函数对数函数总结

幂函数指数函数对数函数总结
幂函数、指数函数和对数函数是数学中常见的函数类型，它们的性质和图像特点有所不同，但也有一些共性。

幂函数的形式为$y=x^a$，其中$a$为常数。

当$a$为正整数时，幂函数的图像经过原点和函数的图像都在第一象限内，且函数值随$x$的增大而增大；当$a$为负整数时，幂函数的图像也经过原点，但它的图像在第二象限内，且函数值随$x$的增大而减小。

当$a$为分数时，幂函数的图像不过原点且不与坐标轴相交。

指数函数的形式为$y=a^x$，其中$a$为常数且$a＞0$。

指数函数的图像经过点$(1,a)$，且函数值随$x$的增大而增大。

指数函数的图像与坐标轴没有交点，且当$a＞1$时，图像向左平移，当$0＜a＜1$时，图像向右平移。

对数函数的形式为$y=log_ax$，其中$a$为常数且$a＞0$，$a\neq1$。

对数函数的图像经过点$(1,0)$，且函数值随$x$的增大而减小。

对数函数的图像与坐标轴没有交点，且当$a ＞1$时，图像向右平移，当$0＜a＜1$时，图像向左平移。

在学习幂函数、指数函数和对数函数时，需要注意它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，以及它们的图像和应用。

这些函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

指数与幂函数的交点问题

关于一道高考题的深入思考王久成1 朱立明2（吉林省长春市东北师大附中 130024 吉林省长春市东北师范大学130024） 2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）中有这样一道问题： 11.函数22xy x =-的图像大致是（）本题比较容易解决，可以通过分析函数2xy =与函数2y x =的交点个数，再考察函数22x y x =-的单调性即可解决。

由此题展开联想，对于任意的指数函数xy a =与幂函数ay x =交点的个数有多少应如何判断，本文主要探究这个问题。

1、对于(0,)x ∀∈+∞令()log a a x x f x a=其中(01)a a >≠且，所以有()log log log a xa a a f x x a x a x =-=-+'()1ln a f x x a =-，令'()0f x =解之得ln ax a=因为1xe x >+，所以有ln(1)ln x x x >+>，即ln a a > （1）若01a <<时，0ln aa< 则函数()log a f x x a x =-+在(0,)+∞上单调递减，并且()0f a =，此时函数xy a =与函数ay x =在(0,)+∞上有一个交点。

（2）若1a >时，1ln aa> 当(0,)ln a x a ∈时，'()0f x >；当(,)ln a x a∈+∞时，'()0f x < 因此函数()log a f x x a x =-+在ln a x a =处取得最大值，()(log )ln ln a a af a a e a=考察()(1)ln xg x x e x=>， 2ln '()(ln )e x eg x e x -=，令'()0g x =解之得x e =当(1,)x e ∈时，'()0g x <；当(,)x e ∈+∞时，'()0g x > 因此函数()ln xg x e x=在x e =处取得最小值，()1g e =（1）若a e =时，()0f e =，此时函数x y a =与函数ay x =在(0,)+∞上有一个交点（2）若(1,)(,)a e e ∈⋃+∞时，恒有()1g a >成立，即1ln ae a>，我们得到()(log )0ln ln a a a f a a e a => 对于(0,)ln a x a ∈时，我们取2x a -=，则221()20f a a a -=--<(,)ln a x a∈+∞时，我们取n x a =，当n 取充分大时，必有()0n n f a na a =-<此时函数xy a =与函数ay x =在(0,)+∞上必有两个交点。

幂函数教案：高中数学必修的章节之一

幂函数教案：高中数学必修的章节之一在高中数学必修的课程中，幂函数是一道重要而又基础的数学知识，更是我们学习其他数学知识的基础。

因此，针对高中数学必修中的幂函数教案，我们需要作出详细的讲解和探究，同时需要结合一些实例和练习来帮助学生更好地理解和掌握这一知识，提高数学素养和解题能力。

一、教学目标1.理解幂函数的定义和性质，知道其图像特征并能用具体实例说明。

2.能变形解决简单的幂函数的运算。

3.能应用指数函数和对数函数的性质，解决幂函数与指数函数、对数函数的联立方程。

二、教学重点1.在数轴上绘制幂函数的图像并分析其特征。

2.掌握幂函数的运算规则，以及幂函数与指数函数、对数函数的联立方程解法。

三、教学难点1.理解并掌握幂函数的定义和性质，知道幂函数的图像特点。

2.掌握幂函数的运算规则，能解决幂函数的简单运算。

3.掌握幂函数和指数函数、对数函数联立方程的解法。

四、教学过程1.幂函数的定义和性质幂函数是形如y=x^a（a为实数）的函数，其中x>0(x=0时，a>0)。

幂函数的图像特征与指数函数相似，是利用对数函数的概念、运算，指数函数的知识，掌握的一个重要的数学工具。

幂函数的图像特征：当a>1时，幂函数y=x^a的图像上升逐渐加速，当a=1时为与x 轴正比例函数y=x，当0<a<1时，幂函数y=x^a的图像上升逐渐减缓，最后趋近于x轴。

当a<0时，幂函数y=x^a的图像下降，且在x轴右侧有垂直渐近线x=0，在x轴左侧有水平渐近线y=0。

2.幂函数的运算规则加减法运算：当幂函数底数相同时，可将其指数相加或相减。

即x^a+x^b=x^(a+b)，x^a-x^b=x^(a-b)。

乘法运算：当幂函数底数相同时，可将其指数乘积。

即x^a*x^b=x^(a+b)。

幂函数的运算可以变形为指数函数和对数函数的运算，如x^a=y，可变形为a=logx(y)或者y=x^a，可变形为a=logy(x)。

高中数学第二章指数函数、对数函数和幂函数 2.2.3 对数函数的图象和性质第1课时反函数及对

2.2.3 对数函数的图象和性质第1课时反函数及对数函数的图象和性质[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质．[知识]1．作函数图象的步骤为列表、描点、连线．另外也可以采取图象变换法．2．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象与性质.a＞10＜a＜1 图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1 单调性是R上的增函数是R上的减函数[预习导引]1．对数函数的概念把函数y＝log a x(x＞0，a＞0，a≠1)叫作(以a为底的)对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1 图象性质定义域(0，＋∞)值域R过点过点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数3.反函数(1)对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．(2)要寻找函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成y＝g(x)的形式，如果这种形式是唯一确定的，就得到f(x)的反函数g(x).要点一对数函数的概念例1 指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝log x3；(4)y＝log2x＋1.解(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.跟踪演练1 若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定答案 A解析设对数函数的解析式为y＝log a x(a＞0且a≠1)，由题意可知log a4＝2，∴a2＝4，∴a ＝2，∴该对数函数的解析式为y＝log2x.要点二对数函数的图象例2 如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35、110，则相应于c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为( )A.3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35 答案 A解析方法一先排c 1、c 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图低的底大，c 1、c 2对应的a 分别为3、43.然后考虑c 3、c 4底的顺序，底都小于1，当x ＜1时底大的图高，c 3、c 4对应的a 分别为35、110.综合以上分析，可得c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为3、43、35、110.故选A.方法二作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c 1、c 2、c 3、c 4对应的a 值分别为3、43、35、110，故选A.规律方法函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的底数变化对图象位置的影响．观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴，0＜a ＜1时a越小，图象向右越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图象与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．跟踪演练2 (1)函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(－2,1) D ．(－1,1)(2)如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1 答案 (1)D (2)B解析 (1)令x ＋2＝1，即x ＝－1，得y ＝log a 1＋1＝1，故函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点(－1,1)．(2)作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0＜b ＜a ＜1. 要点三对数函数的定义域例3 (1)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) (2)若f (x )＝121log (21)x +，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 答案 (1)C (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ≠0，解得x ＞－1且x ≠1.(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0，2x ＋1≠1，解得x ＞－12且x ≠0.规律方法求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．跟踪演练3 (1)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] (2)函数y ＝lgx ＋1x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞) 答案 (1)B (2)C解析 (1)因为y ＝x ln(1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x ＞0，解得0≤x ＜1.(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，解得x ＞－1且x ≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)，故选C. 要点四反函数例4 求下列函数的反函数：(1)y ＝2x －5；(2)y ＝x1－x ；(3)y ＝1＋e 2x . 解 (1)从x ＝2y －5中解得y ＝x ＋52，即为所求；(2)从x ＝y 1－y 中解得y ＝xx ＋1，即为所求；(3)从x ＝1＋e 2y 移项得x －1＝e 2y .两端取自然对数得到ln(x －1)＝y2，解得y ＝2ln(x －1)，即为所求．规律方法要找寻函数y ＝f (x )的反函数，可以先把x 和y 换位，写成x ＝f (y )，再把y 解出来，表示成y ＝g (x )的形式．如果这种形式是唯一确定的，就得到了f (x )的反函数g (x )．既然y ＝g (x )是从x ＝f (y )解出来的，必有f (g (x ))＝x ，这个等式也可以作为反函数的定义．跟踪演练4 y ＝ln x 的反函数是________．答案 y ＝e x解析由y ＝ln x ，得x ＝e y ，所以反函数为y ＝e x.1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝log 22xC ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝lg x 答案 D解析选项A 、B 、C 中的函数都不具有“y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合． 2．函数f (x )＝11－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A ．(－13，＋∞) B．(－∞，－13)C ．(－13，13)D ．(－13，1)答案 D解析由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1.3．函数y ＝a x与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )答案 A解析函数y ＝－log a x 恒过定点(1,0)，排除B 项；当a ＞1时，y ＝a x是增函数，y ＝－log a x 是减函数，排除C 项，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数，y ＝－log a x 是增函数，排除D 项，A 项正确．4．若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点________．答案 (2,1)解析函数图象过定点，则与a 无关，故log a (x －1)＝0，所以x －1＝1，x ＝2，y ＝1，所以y ＝log a (x －1)＋1过定点(2,1)． 5．函数y ＝lg x 的反函数是________．答案 y ＝10x解析由反函数的定义知x ＝10y，故反函数为y ＝10x.1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)这种形式．2．在对数函数y ＝log a x 中，底数a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.一、基础达标1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则a 的值可以是( )A ．0.5B ．2C ．eD ．π 答案 A解析 ∵函数y ＝log a x 的图象单调递减，∴0＜a ＜1，只有选项A 符合题意． 2．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，4－x ≥0，解得1＜x ≤4.3．在同一坐标系中，函数y ＝log 3x 与y ＝13log x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案 B解析 ∵y ＝13log x ＝－log 3x ，∴函数y ＝log 3x 与y ＝13log x 的图象关于x 轴对称．4．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b 答案 D解析 y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log b x ，y ＝log c x 的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b ，c ∈(0,1)，又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b .5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x， x ≤0，log 2x ，x ＞0，那么f (f (18))的值为( )A ．27 B.127C ．－27 D ．－127答案 B解析 f (18)＝log 218＝log 22－3＝－3，f (f (18))＝f (－3)＝3－3＝127.6．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. 答案－32解析设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则－3＝log a 8，∴a ＝12.∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.7．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )．解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，解之得x ＞2且x ≠3.∴函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解之得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. ∴函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．二、能力提升8．设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，且g (a )＝14，则a 等于( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 B解析 ∵函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝2x，即g (x )＝2x. 又∵g (a )＝14，∴2a＝14，∴a ＝－2.9．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致是( )答案 D解析由函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可知，函数f (x )＝log a (x ＋b )在(－b ，＋∞)上是减函数．所以0＜a ＜1且0＜b ＜1.所以g (x )＝a x＋b 在R 上是减函数，故排除A ，B.由g (x )的值域为(b ，＋∞)．所以g (x )＝a x＋b 的图象应在直线y ＝b 的上方，故排除C. 10．若log 2a 1＋a21＋a<0，则a 的取值X 围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析当2a >1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a <1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1.当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a >1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 11．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )＜f (2)，利用图象求a 的取值X 围．解 (1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由图象知：函数f (x )为单调增函数，当0＜a ＜2时，恒有f (a )＜f (2)．∴所求a 的取值X 围为(0,2)．三、探究与创新12．求y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．解因为2≤x ≤4，所以log 122≥log 12x ≥log 124，即－1≥log 12x ≥－2.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，所以y ＝t 2－12t ＋5，其图象的对称轴为直线t ＝14，所以当t ＝－2时，y max ＝10；当t ＝－1时，y min ＝132.13．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的word 11 / 11 表达式，并画出大致图象．解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，－lg 1－x ，x ＜0，∴f (x )的大致图象如图所示：。

幂函数和对数函数的交点

幂函数和对数函数的交点幂函数和对数函数是高中数学中比较重要的两类函数，其中幂函数指的是形如$y=x^a$的函数，对数函数指的是形如$y=log_ax$的函数。

这两类函数的交点是需要我们进行研究的。

我们来看幂函数和对数函数函数的图像。

对于幂函数，当$a>0$时，它的图像如下所示：而对于对数函数，当$a>1$时，它的图像如下所示：从图像上看，这两类函数都可能存在交点，而对于$a=1$的情况，幂函数和对数函数的图像分别为一次函数和常数函数，不存在交点。

接下来，我们来研究幂函数和对数函数的交点的求法。

设幂函数$y=x^a$和对数函数$y=log_ax$相交于点$(x_0,y_0)$，则有：$$\begin{cases}y_0=x_0^a\\y_0=log_ax_0\\\end{cases}$$由第二个式子得到$x_0=a^{y_0}$，代入第一个式子中可得到：$$y_0=(a^{y_0})^a=(a^a)^{y_0}$$对上式两端取对数可得：$$\log_{a^a}y_0=y_0$$我们只需要求出$a^a$的值，然后求解方程$\log_{a^a}y_0=y_0$即可得到交点$(x_0,y_0)$的坐标。

接下来我们举例来说明一下交点的求解过程。

例1：求幂函数$y=x^2$和对数函数$y=log_2x$的交点。

根据上面的公式，我们可以知道：$$a=2$$$a^a=2^2=4$。

对于方程$\log_{4}y=y$，我们可以画出它们的图像来求解：由图可知，方程$\log_{4}y=y$的解为$y=1$和$y=2$，幂函数$y=x^2$和对数函数$y=log_2x$的交点分别为$(1,1)$和$(4,2)$。

例2：求幂函数$y=x^3$和对数函数$y=log_3x$的交点。

根据上面的公式，我们可以知道：$$a=3$$$a^a=3^3=27$。

对于方程$\log_{27}y=y$，我们可以画出它们的图像来求解：由图可知，方程$\log_{27}y=y$的解为$y=1$和$y=3$，幂函数$y=x^3$和对数函数$y=log_3x$的交点分别为$(1,1)$和$(27,3)$。

指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像

指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•指数函数的定义与性质•对数函数的定义与性质•幂函数的定义与性质•指数函数、对数函数与幂函数的比较•指数函数、对数函数与幂函数的应用案例•总结与展望01指数函数的定义与性质指数函数的定义02指数函数：y=f(x)=a^x03a>0时，函数图像过一三象限；a<0时，函数图像过二四象限。

指数函数的性质函数图像恒过(0,1)点值域：R a>1时，函数为单调递增函数；0<a<1时，函数为单调递减函数奇偶性：当a>0时，为奇函数；当a=0时，既不是奇函数也不是偶函数；当a<0时，为偶函数指数函数的图像图像恒过(0,1)点当a>1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐加快；当0<a<1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐减慢。

a>1时，函数为单调递增函数，图像位于一三象限；0<a<1时，函数为单调递减函数，图像位于二四象限。

当a>1时，函数的最大值无限趋近于正无穷大；当0<a<1时，函数的最小值无限趋近于0。

02对数函数的定义与性质1 2 3自然对数：以数学常数e为底数的对数，记作ln(x)。

常用对数：以10为底数的对数，记作lg(x)。

底数为任意正数的对数，记作log(x)。

对数的运算性质log(a*b)=log(a)+log(b)；log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。

对数恒等式log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。

对数的运算律如果a>0且a不等于1，M>0，N>0，那么log(a)(MN)=log(a)M +log(a)N；log(a)(M/N)=log(a)M -log(a)N；log(a)M^n=nlog(a)M。

•对数函数的图像与性质：图像与x轴交点为1，当x>1时，函数值大于0；当0<x<1时，函数值小于0。

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

2．有理数指数幂（1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。

即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数 1、对数的概念（1）对数的定义如果(01)x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N a x =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

（2）几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②lo g 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。

指数函数与幂函数图象的交点的探究性学习

指数函数与幂函数图象的交点的探究性学习作者：邹云来源：《理科考试研究·高中》2014年第03期高三总复习已进行了一段时间.一天，我在做练习时遇到下题：a>1，y=a2与其反函数的图象（）A. 没有交点B.有且只一个交点C.有且只有两个交点D.至多有两个交点我思考：根据反函数的性质，若a>y，y=ax与其反函数的图象有交点，交点个数少于3个，则a>1，y=ax的图象与直线y=x必有交点，且它们的交点相同.试着解方程ax=x，结果无从下手；又试着画函数图象，还是一筹莫展.请教老师，老师提示：取特殊值试试！于是我试着取a=2，y=2x，的图象全在直线y=x的上方，再取a=1.1，发现它们的图象相交了！上题选（D）无疑.高兴之余，我的思考没有止步.因a（a>1）取不同值时，y=ax的图象与直线y=x可以没有交点，也可以有两个交点，那么当a取某个特殊值时，y=ax的图象与直线y=x必然只有一个交点，这个值是多少呢？这个问题引起了我强烈的探究欲望.于是开始了下面的探究之旅.1.y=ax（a>1）的图象与直线y=x有且只有一个交点，求a的值.解设y=ax（a>1）的图象与直线y=x的唯一交点为A（t，at），则y′|x=t=atlna，于是atlna=1，at=t.（1）（2）由（1）得：t=loga1lna，代入（2）得：1lna=loga1lna，a=e1/e.∴y=ax（a>1）的图象与直线y=x，当a=e1/e时，有唯一交点，当1e1/e时没有交点.2.我又想，把直线y=x改成抛物线y=x2情况又如何呢？于是又有了下面的问题：y=ax（a>1）的图象与抛物线y=x2在y轴的右边有且只有一个交点，求a的值.分析设y=ax（a>1）的图象与抛物线y=x2在y轴的右边的交点为A（t，at），有at=t2，但仿前用斜率无法再列出第二个方程.能否换一个思路呢？解当x>0时，ax=x2logax=x2，令f（x）=logax，g（x）=x2x.它们在y轴右边应当有唯一交点.设唯一交点为A（t，at），则：f ′（t）=1tlna=1n，logat=1nt.（1）（2）由（1）得，t=2tlna代入（2）可得：loga2tlna， a=e2/e.∴y=ax（a>1）的图象与抛物线y=x2，当a=e2/e时，在y轴右边有唯一交点，当1e2/e时在y轴右边没有交点.3.一般情况呢？猜想：当a=en/e时，y=ax（a>1）与幂函数y=xn（n∈N*）的图象在y轴右边有且只有一个交点.解当x>0时，ax=xnlogax=1nx，令f（x）=logax，g（x）=1nx，设它们在y轴右边的唯一交点为A（t，at），则：f ′（t）=1tlna=1n，logat=1nt.（1）（2）由（1）得t=ntlna，代入（2）可得：logantlna=1tlna， a=en/e.∴y=ax（a>1）的图象与抛物线y=xn，当a=en/e时，在y轴右边有唯一交点，当1en/e时在y轴右边没有交点.综上，y=ax（a>1）与幂函数y=xn（n∈N*）的图象的交点情况如下：n是奇数时：（y轴左边没有交点）当1当a=en/e时，有一个交点；当a>en/e时，没有交点.n是偶数时：（y轴左边一定有一个交点）当1当a=en/e时，有两个交点；当a>en/e时，有一个交点.总复习时，有好多同学陷在知识与题海中，只见树木，不见森林，被动复习，疲于应付，体会不到数学学习的乐趣，复习效果不好.读数学书与读文学书一样，既要读进去，又要读出来.这读出来的诀巧就是主动思考，探究学习.探究性学习可以提高复习效率，改善所掌握知识的质量，培养数学思维能力和创新能力，体验数学成功，提高决胜高考的把握.他的手机收上来，然后再好好地给他们讲道理，最有效的办法是帮他们补课，学生在这时会非常感动的，真的会大大提高学生的学习动力的.其实学生的学习除了老师的教育外，也非常需要一个良好的家庭环境.仔细观察每年班里的问题学生大多都是再婚家庭或是父母不和的家庭，前几天我班上有一个女生，在做10道填空题时错了8题，上课时总是心不在焉，通过了解原来是她的父亲在前几年病逝了，她母亲再婚后，这几天又在闹离婚所以就没心思学习了.于是我就又和她讲，让她重新恢复了学习的动力.我觉得学校与家庭都应该给学生一个好的学习环境，让学生没有学习的后顾之忧，这样学生才能认真的学习，这就要求我们教师要关心好学生课堂外的时间，去真正地了解学生.作为数学教师我深深地体会到，无论我们面对怎样基础的学生，我们都应该动足脑筋，充分挖掘各方面的因素，去提高学生的学习动力，学生只要有了学习的动力，学习肯定会上去的.。

高中数学论图形计算器指数函数与对数函数交点个数的研究

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文图形计算器应用能
力测试活动学生指数函数与对数函数交点个数的研究
【研究目的】
通过图形计算器精准的图形和函数描画功能，利用代入各种不同的数据描画图像，研究对数函数和指数函数这一对反函数的交点个数。

在研究过程中，增强自己对函数的认识和理解，加深个人对数学的热爱，解决疑难问题。

【研究过程】
1. 上网搜索有关资料，发现有部分老师和同学研究函数x
a y =与x y a log =的交点个数时
出现了少许错误。

2. 代入不同的a 值（10≠>a a 且），用图形计算器描画函数x
a y =与x y a log =的图像，发现新的现象。

3. 通过计算和不断尝试解释各种情况。

4. 整理信息，得出结论。

具体实施步骤如下：
第一步：进入图形功能
1.按O 打开图形计算器。

看到如下画面：
2.通过按导航方向键，选择图形功能，按l 进入，得到画面如下：
、
第二步：输入函数，进行初步探究
1．众所周知，函数x a y =与x y a log =是以1a =为分界线，那就以01a <<和1a >先
进行研究
先以5.0=a 画出两个函数的图像，再加入一条函数x Y =3为参照：
输入x Y x Y Y x
===35.021,log ,5.0
$0.5^fl $iwr0.5$fl $fl
然后画出图像，可见得有一个交点：
2.再代入2.1=a ，画图，出现两个交点:
第三步：深入探究，观察交点个数1.再次代入a值，出现以下情况：
无交点
三个交点。

指数函数对数函数与幂函数指数函数与对数函数的关系

指数函数对数函数与幂函数指数函数与对数函数的关系pptxxx年xx月xx日•指数函数•对数函数•幂函数•指数函数、对数函数与幂函数之间的关系目•应用案例录01指数函数定义与性质函数过点$(0,1)$。

当$0 < a < 1$时，函数在$\mathbf{R}$上单调递减。

当$a > 1$时，函数在$\mathbf{R}$上单调递增。

定义：指数函数是指形式为$y=a^x$ (其中$a > 0$且$a \neq 1$)的函数。

性质图像：指数函数的图像呈现出由$y=x$平移伸缩得到的特点。

性质当$a > 1$时，图像位于$y$轴上方。

当$0 < a < 1$时，图像位于$y$轴下方。

函数的周期性和对称性取决于底数$a$的取值。

指数函数的图像与性质如果函数$y=f(u)$和$u=g(x)$复合而成，则称这个函数为复合指数函数。

定义复合指数函数的性质取决于内层函数和外层函数的性质。

性质复合指数函数02对数函数1对数函数的定义与性质23对数函数是指数函数的反函数，它表示为log(x)，其中x是底数，y是函数的值。

定义对数函数是单调递增的函数，它的定义域为正实数，值域为全体实数。

性质当底数为10时，对数函数表示为log10(x)，当底数为自然常数e时，对数函数表示为ln(x)。

对数函数的特殊点对数函数的图像是一条直线，在定义域内单调递增。

图像对数函数的图像与y轴的交点为1，与x轴的交点为底数的值。

性质对数函数的导数是单调递减的函数，导数值为负值。

对数函数的导数对数函数的图像与性质定义复合对数函数是指数函数和对数函数的组合形式，它表示为log(base) (x) ^ (y)。

性质复合对数函数具有指数函数的性质，当底数为10时，复合对数函数表示为log10(x) ^ (y)，当底数为自然常数e时，复合对数函数表示为ln(x) ^ (y)。

应用复合对数函数在科学计算、统计学、经济学等领域有广泛的应用。

幂函数与指数函数的对数表示与应用

幂函数与指数函数的对数表示与应用幂函数和指数函数是数学中常见且重要的函数形式，它们在许多领域都有广泛的应用。

本文将探讨幂函数与指数函数的对数表示以及它们在实际问题中的应用。

一、幂函数的对数表示与应用幂函数是指形如 y = x^n 的函数，其中 x 是自变量，n 是常数指数。

当幂函数的指数 n 为实数时，可以使用对数来表示。

1. 幂函数的对数表示对于幂函数 y = x^n，其中 n 是实数，它的对数表示形式是：n = logx(y)。

这意味着，如果知道幂函数的底数 x 和函数值 y，就可以通过对数运算找到指数 n。

2. 幂函数的应用幂函数在实际生活和工作中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，功率函数 P = W/t 就是一种幂函数，其中 W 是工作量，t 是时间。

通过对幂函数进行对数变换，可以更方便地处理功率函数的计算和分析。

二、指数函数的对数表示与应用指数函数是指形如 y = a^x 的函数，其中 a 是底数，x 是指数。

当指数函数的底数 a 为常数时，也可以使用对数来表示。

1. 指数函数的对数表示对于指数函数 y = a^x，其中 a 是常数底数，它的对数表示形式是：x = loga(y)。

这意味着，如果知道指数函数的底数 a 和函数值 y，就可以通过对数运算找到指数 x。

2. 指数函数的应用指数函数在金融学、生物学、计算机科学等领域中有重要的应用。

例如，在金融学中，复利计算就是一种指数函数的应用，通过对指数函数进行对数变换，可以更方便地计算利息的增长和投资的收益。

三、对幂函数和指数函数的综合应用幂函数和指数函数的对数表示可以在实际问题中互相转化，并结合其他数学工具来解决复杂的应用问题。

1. 对数函数的性质对数函数具有许多重要的性质，例如对数函数的导数与原函数的关系、对数函数的性质和等式的性质等。

利用这些性质，可以简化对数函数的计算和分析。

2. 应用举例幂函数和指数函数的综合应用非常广泛。

例如，在天文学中，使用对数表示来描述恒星的亮度和星等；在工程学中，使用对数表示来描述震级和声音的强度。

高考数学第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.3 指数函数与对数函数的关系讲义

指数函数与对数函数的关系课标解读课标要求核心素养1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,以及它们的图像间的对称关系.(重点)2.利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异.3.利用指数函数、对数函数的图像性质解决一些简单问题.(难点)1.通过反函数的概念及指数函数与对数函数图像间的关系的学习,培养直观想象的核心素养.2.借助指数函数与对数函数综合应用的学习,提升数学运算、逻辑推理的核心素养.观察下面的变换:y=a x x=log a y y=log a x.问题1:指数函数y=a x的值域与对数函数y=log a x的定义域是否相同?答案相同.问题2:指数函数y=a x的定义域与对数函数y=log a x的值域相同吗?答案相同.1.反函数的概念与记法(1)反函数的概念:一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个y的值,只有①唯一的x与之对应,那么②x是③y的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数,此时,称y=f(x)存在④反函数.(2)反函数的记法:一般地,函数y=f(x)的反函数通常用⑤y=f-1(x)表示.思考:如何准确理解反函数的定义?什么样的函数存在反函数?提示反函数的定义域和值域正好是原函数的值域和定义域,反函数也是函数,因为它符合函数的定义.对于任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数,只有当一个函数是单调函数时,这个函数才存在反函数.2.指数函数与对数函数的关系(1)指数函数y=a x与对数函数y=log a x⑥互为反函数.(2)指数函数y=a x与对数函数y=log a x的图像关于直线⑦y=x对称.探究一求函数的反函数例1 求下列函数的反函数.(1)y=;(2)y=x2(x≤0).解析(1)由y=,得x=lo y,且y>0,所以f-1(x)=lo x(x>0).(2)由y=x2得x=±.因为x≤0,所以x=-.所以f-1(x)=-(x≥0).1.(1)已知函数y=e x的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,则( )A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln2×lnx(x>0)C.f(2x)=2e x(x∈R)D.f(2x)=ln2+lnx(x>0)(2)求函数y=0.2x+1(x≤1)的反函数.答案(1)D解析(1)由题意知函数y=e x与函数y=f(x)互为反函数,y=e x>0,∴f(x)=lnx(x>0),则f(2x)=ln2x=ln2+lnx(x>0).(2)由y=0.2x+1得x=log0.2(y-1),对换x、y得y=log0.2(x-1).∵原函数中x≤1,∴y≥1.2,∴反函数的定义域为[1.2,+∞),因此y=0.2x+1(x≤1)的反函数是y=log0.2(x-1),x∈[1.2,+∞).探究二指数函数与对数函数图像之间的关系例2 (1)已知a>0,且a≠1,则函数y=a x与y=log a x的图像只能是( )(2)当a>1时,函数y=a-x与y=log a x在同一平面直角坐标系中的图像是( )答案(1)C (2)A解析(1)y=a x与y=log a x的单调性一致,故排除A、B;当0<a<1时,排除D;当a>1时,C正确.(2)因为当a>1时,0<<1,所以y=a-x=是减函数,其图像恒过(0,1)点,y=log a x为增函数,其图像恒过(1,0)点,故选A.思维突破互为反函数的两个函数图像的特点(1)互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称;图像关于直线y=x对称的两个函数互为反函数.(2)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.2.(1)已知函数f(x)=a x+b的图像过点(1,7),其反函数f-1(x)的图像过点(4,0),则f(x)的表达式为( )A.f(x)=4x+3B.f(x)=3x+4C.f(x)=5x+2D.f(x)=2x+5(2)若函数y=的图像关于直线y=x对称,则a的值为.答案(1)A (2)-1解析(1)∵f(x)的反函数的图像过点(4,0),∴f(x)的图像过点(0,4),又f(x)=a x+b的图像过点(1,7),故有方程组解得故f(x)的表达式为f(x)=4x+3,选A.(2)由y=可得x=,则原函数的反函数是y=,所以=,解得a=-1. 探究三指数函数与对数函数的综合应用例3 已知f(x)=(a∈R),f(0)=0.(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的反函数;(3)对任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log2.解析(1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=.f(x)的定义域为R,关于原点对称.因为f(x)+f(-x)=+=+=0,所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.(2)因为f(x)=y==1-,所以2x=(-1<y<1),所以f-1(x)=log2(-1<x<1).(3)因为f-1(x)>log2,即log2>log2,所以化简得所以当0<k<2时,原不等式的解集为{x|1-k<x<1};当k≥2时,原不等式的解集为{x|-1<x<1}.3.(变结论)本例中的条件不变,判断f-1(x)的单调性,并给出证明.解析f-1(x)为(-1,1)上的增函数.证明:由原题知f-1(x)=log2(-1<x<1).任取x1,x2∈(-1,1)且x1<x2,令t(x)===-1+,则t(x1)-t(x2)=-=-==.因为-1<x1<x2<1,所以1-x1>0,1-x2>0,x1-x2<0,所以t(x1)-t(x2)<0,t(x1)<t(x2),所以log2t(x1)<log2t(x2),即f-1(x1)<f-1(x2),所以函数f-1(x)为(-1,1)上的增函数.1.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=( )A.log2xB.C.lo xD.2x-2答案 A y=a x的反函数为f(x)=log a x,又f(2)=1,所以1=log a2,所以a=2,所以f(x)=log2x.2.若函数y=f(x)的反函数的图像过点(1,5),则函数y=f(x)的图像必过点( )A.(1,1)B.(1,5)C.(5,1)D.(5,5)答案 C 原函数的图像与它的反函数的图像关于直线y=x对称,因为y=f(x)的反函数的图像过点(1,5),而点(1,5)关于直线y=x的对称点为(5,1),所以函数y=f(x)的图像必过点(5,1).3.若函数y=log3x的定义域为(0,+∞),则其反函数的值域是( )A.(0,+∞)B.RC.(-∞,0)D.(0,1)答案 A 由原函数与反函数的关系知,反函数的值域为原函数的定义域.4.已知f(x)=2x+b的反函数为f-1(x),若y=f-1(x)的图像过点Q(5,2),则b= .答案 1解析由f-1(x)的图像过点Q(5,2),得f(x)的图像过点(2,5),即22+b=5,解得b=1.数学抽象——指数函数和对数函数关系的理解和应用设方程2x+x-3=0的根为a,方程log2x+x-3=0的根为b,求a+b的值.素养探究:方程根的问题可以借助图像转化为两个函数的图像的交点问题,进而形象、直观地解决问题,过程中体现数形结合的思想和数学抽象核心素养.解析将两个方程整理得2x=-x+3,log2x=-x+3.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=log2x的图像及直线y=-x+3,如图.由图可知,a是指数函数y=2x的图像与直线y=-x+3的交点A的横坐标,b是对数函数y=log2x的图像与直线y=-x+3的交点B的横坐标.因为函数y=2x与y=log2x互为反函数,所以它们的图像关于直线y=x对称,易知A,B两点也关于直线y=x对称,于是A,B两点的坐标可设为A(a,b),B(b,a).因为点A,B都在直线y=-x+3上,所以b=-a+3(A点坐标代入)或a=-b+3(B点坐标代入),故a+b=3.实数x、y满足x+lnx=8,y+e y=8,求x+y的值.解析由x+lnx=8,得lnx=8-x,由y+e y=8,可得e y=8-y,在同一平面直角坐标系中作出直线y=8-x及函数y=lnx,y=e x的图像,如图所示,联立y=8-x与y=x,解得x=y=4,所以点C的坐标为(4,4),方程x+lnx=8的根可视为直线y=8-x与函数y=lnx图像的交点B的横坐标,方程y+e y=8的根可视为直线y=8-x与函数y=e x图像的交点A的横坐标,由图像可知,点A、B关于直线y=x对称,因此,x+y=8.——————————————课时达标训练—————————————1.函数y=log3x的反函数是( )A.y=lo xB.y=3xC.y=D.y=x3答案 B ∵y=log3x,∴3y=x,∴函数y=log3x的反函数是y=3x,故选B.2.若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,其图像经过点(,a),则f(x)=( )A.log2xB.lo xC. D.x2答案 B 因为y=a x的反函数为y=log a x,且函数f(x)的图像经过点(,a),所以log a=a,解得a=,所以f(x)=lo x.3.(2019山东沂水第一中学高一期中)函数f(x)=log2(3x+1)的反函数y=f-1(x)的定义域为( )A.(1,+∞)B.[0,+∞)C.(0,+∞)D.[1,+∞)答案 C y=f-1(x)的定义域即为其原函数的值域,∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0.故选C.4.函数y=e x+1的反函数是( )A.y=1+lnx(x>0)B.y=1-lnx(x>0)C.y=-1-lnx(x>0)D.y=-1+lnx(x>0)答案 D 由y=e x+1得x+1=lny,即x=-1+lny,所以所求反函数为y=-1+lnx(x>0).故选D.5.已知函数y=f(x)的图像与y=a x(a>0,a≠1)的图像关于直线y=x对称,则下列结论正确的是( )A.f(x2)=2f(|x|)B.f(2x)=f(x)·f(2)C.f=f(x)+f(2)D.f(2x)=2f(x)答案 A y=f(x)的图像与y=a x(a>0,a≠1)的图像关于直线y=x对称,则f(x)=log a x,f(x2)=log a x2=2log a|x|=2f(|x|),A中结论正确;log a(2x)≠log a x·log a2,B中结论错误;log a≠log a x+log a2=log a(2x),C中结论错误;log a(2x)≠2log a x,D中结论错误.故选A.6.已知函数f(x)=1+log a x,y=f-1(x)是函数y=f(x)的反函数,若y=f-1(x)的图像过点(2,4),则a的值为.答案 4解析因为y=f-1(x)的图像过点(2,4),所以函数y=f(x)的图像过点(4,2),又因为f(x)=1+log a x,所以2=1+log a4,即a=4.7.如果函数f(x)=的反函数为g(x),那么g(x)的图像一定过点.答案(1,0)解析函数f(x)=的反函数为g(x)=lo x,所以g(x)的图像一定过点(1,0).8.已知函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f-1(x),且f-1(2)=1,则实数a= .答案 3解析函数f(x)=log2(x+a)的反函数为y=f-1(x),且f-1(2)=1,则2=log2(1+a),解得a=3.9.(多选)已知函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)的图像经过点(4,2),则下列说法中正确的是( )A.函数f(x)为增函数B.函数f(x)为偶函数C.若x>1,则f(x)>0D.函数f(x)的反函数为g(x)=2x答案ACD 由题意得2=log a4,解得a=2,故f(x)=log2x,则f(x)为增函数且为非奇非偶函数,故A正确,B错误.当x>1时,f(x)=log2x>log21=0成立,故C正确.f(x)=log2x的反函数为g(x)=2x,故D正确.故选ACD.10.将函数y=2x的图像,再作关于直线y=x对称的图像,可得到函数y=log2(x+1)的图像.( )A.先向上平移一个单位长度B.先向右平移一个单位长度C.先向左平移一个单位长度D.先向下平移一个单位长度答案 D 将函数y=2x的图像向下平移一个单位长度得到y=2x-1的图像,再作关于直线y=x对称的图像即可得到函数y=log2(x+1)的图像.故选D.11.函数y=log a(2x-3)+过定点,函数y=lo x的反函数是.答案;y=()x解析∵对数函数y=log a x过定点(1,0),∴函数y=log a(2x-3)+过定点.函数y=lo x的反函数是y=()x.12.若函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)满足f(27)=3,则f-1(log92)= . 答案解析∵f(27)=3,∴log a27=3,解得a=3.∴f(x)=log3x,∴f-1(x)=3x,∴f-1(log92)===.13.已知f(x)=log a(a x-1)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的单调性;(3)解方程f(2x)=f-1(x).解析(1)要使函数有意义,必须满足a x-1>0,当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0.∴当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).(2)当a>1时,任取x1,x2,且0<x1<x2,则1<<,故0<-1<-1,∴log a(-1)<log a(-1),∴f(x1)<f(x2).故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;类似地,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上单调递增.(3)令y=log a(a x-1),则a y=a x-1,∴x=log a(a y+1),∴f-1(x)=log a(a x+1).由f(2x)=f-1(x),得log a(a2x-1)=log a(a x+1),∴a2x-1=a x+1,解得a x=2或a x=-1(舍去),∴x=log a2.14.已知函数f(x)=,函数g(x)的图像与f(x)的图像关于直线y=x对称.(1)若g(mx2+2x+1)的定义域为R,求实数m的取值范围;(2)当x∈[-1,1]时,求函数y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值h(a).解析(1)由题意得g(x)=lo x,∵g(mx2+2x+1)=lo(mx2+2x+1)的定义域为R,∴mx2+2x+1>0恒成立,所以解得m>1.故实数m的取值范围是(1,+∞).(2)令t=,则t∈,y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,当a>2时,可得t=2时,y min=7-4a;当≤a≤2时,可得t=a时,y min=3-a2;当a<时,可得t=时,y min=-a.∴h(a)=。

探究幂函数、指数函数与对数函数的关系——幂指对函数教案

前言：幂函数、指数函数和对数函数是高中数学中十分重要的函数类型，在微积分、概率论、数论、统计学、物理学、经济学等学科的研究中，它们广泛应用。

因此，了解幂指对函数的关系对我们对这三种函数的研究有重要的助益。

本文将主要围绕着这三种函数的定义、性质以及它们之间的关系展开探究，希望能够在一定程度上提高读者对这三种函数的认知。

一、幂函数幂函数是高中数学中最基本和最普遍的函数类型之一，它的定义和解析式如下：定义：设 a 为正实数且不等于 1，那么幂函数 f ( x ) = a x 就称为幂函数。

解析式：f ( x ) = a x，其中 a 是正实数且不等于 1。

根据幂函数的定义，我们可以得到一些幂函数的基本特征和性质：1、当 a > 1 时，幂函数是增函数；当 0 < a < 1 时，幂函数是减函数。

2、当 a > 1 时，幂函数图像是向上开口的下凸曲线；当 0 < a < 1 时，幂函数图像是向下开口的上凸曲线。

3、当 a = 1 时，幂函数就是 f ( x ) = 1，是一条水平直线。

4、幂函数在 x = 0 处有特殊性质，即 f ( 0 ) = 1。

二、指数函数指数函数也是高中数学中重要的函数类型之一，它的定义和解析式如下：定义：设 a 为正实数且不等于 1，指数函数 f ( x ) = a x 就称为指数函数。

解析式：f ( x ) = a x，其中 a 是正实数且不等于 1。

根据指数函数的定义，我们可以得到一些指数函数的基本特征和性质：1、当 a > 1 时，指数函数是增函数；当 0 < a < 1 时，指数函数是减函数。

2、当 a > 1 时，指数函数图像是像 y = x 函数向上平移的曲线；当 0 < a < 1 时，指数函数图像是像 y = x 函数向下平移的曲线。

3、当 a = 1 时，指数函数就是 f ( x ) = 1，是一条水平直线。

指数函数幂函数对数函数的比较

指数函数幂函数对数函数的比较1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一些数学里的“明星”——指数函数、幂函数和对数函数。

这三位可不是普通的数学函数，它们在生活中扮演着重要的角色，像是在演一场大戏，各自有各自的风格和特点。

别看它们名字听起来很高大上，其实咱们可以用简单易懂的方式来理解它们，今天就让我们轻松愉快地把这些数学概念捋一捋！2. 指数函数的魅力2.1 指数函数是什么先来看看指数函数，简单来说，它的形式就是 ( f(x) = a^x )，其中 ( a ) 是一个正数，比如 2、3、甚至更大。

这个函数的特征就是，随着 ( x ) 的增加，函数值会迅速飞涨，简直就像是火箭发射！想象一下，当你用 ( a=2 ) 时，( x ) 从 1 增加到 10，结果就从 2 跑到了 1024，哇哦，真是个“数”字飞人！2.2 日常应用这玩意儿在哪用呢？比如说，利息计算就是个典型的例子。

银行给你存款利息，随着时间的推移，利息就像坐上了直升机，飞速增长。

这让人觉得，哦，时间就是金钱，没错！而且在科学和工程领域，指数函数也经常被用到，比如放射性衰变、人口增长等，简直无处不在。

3. 幂函数的风采3.1 幂函数是什么再说说幂函数，它的形式是 ( f(x) = x^n )，其中 ( n ) 是个常数。

你可以把它想象成在做一些小型的数学“杂技”，当 ( n ) 是正整数时，随着 ( x ) 的增加，函数值也是在慢慢上涨，但没那么快。

就像爬山一样，虽然一路上坡，但总有些缓冲。

3.2 常见场景幂函数在生活中也常常见到，比如说，物体的体积和边长的关系就是个典型的例子。

如果你有一个立方体，边长增加一倍，体积可是翻了八倍哦，真是让人惊掉下巴！而且在物理学中，许多公式，比如牛顿的引力定律，也都涉及到幂函数的运算，可以说是非常“靠谱”的小伙伴。

4. 对数函数的智慧4.1 对数函数是什么接下来我们要聊的是对数函数，形式为 ( f(x) = log_a(x) )。

幂函数对数函数交点个数

幂函数对数函数交点个数摘要：1.幂函数与对数函数的基本概念2.幂函数与对数函数的图像与性质3.幂函数与对数函数的交点个数分析4.求解交点个数的方法与应用正文：在数学领域中，幂函数与对数函数是两个重要的函数类型。

它们在数学分析、概率论、统计学等领域有着广泛的应用。

本文将对幂函数与对数函数的基本概念、图像与性质进行分析，并探讨它们的交点个数及求解方法。

一、幂函数与对数函数的基本概念1.幂函数：幂函数是形如y = x^n的函数，其中x为自变量，n为常数。

根据n的取值不同，幂函数可分为一元一次幂函数、一元二次幂函数等。

2.对数函数：对数函数是指数函数的反函数，可分为自然对数函数和常用对数函数。

自然对数函数为y = ln(x)，常用对数函数为y = log_a(x)（a为底数，且a≠1）。

二、幂函数与对数函数的图像与性质1.幂函数的图像与性质：- 当n>0时，幂函数图像从左下角向右上角延伸，经过原点，且在x=1处取得最小值1；- 当n<0时，幂函数图像从右上角向左下角延伸，经过原点，且在x=1处取得最大值1；- 当n=0时，幂函数为常数函数，图像为水平直线y=1。

2.对数函数的图像与性质：- 自然对数函数y = ln(x)的图像从左下角向右上角延伸，经过原点，且在x=1处取得最小值0；- 常用对数函数y = log_a(x)的图像与自然对数函数相似，但纵坐标轴的截距取决于底数a。

三、幂函数与对数函数的交点个数分析1.当n>0时，幂函数与对数函数的交点个数为1；2.当n<0时，幂函数与对数函数的交点个数为2；3.当n=0时，幂函数与对数函数的交点个数为1。

四、求解交点个数的方法与应用1.方法一：利用函数的导数求解交点个数。

求出幂函数和对数函数的导数，令其等于0，求得可能的交点坐标，进而分析交点个数。

2.方法二：利用数值分析方法求解交点个数。

通过数值计算方法（如牛顿法、二分法等）求解方程，分析交点个数。

高中生数学思维的培养路径——以“指数函数与对数函数交点个数问题”的教学为例

2024年第6期教育教学SCIENCE FANS 对于高中生数学思维的培养，一线教师一直在探索各种有效的途径。

本文以“指数函数与对数函数交点个数问题”的教学为例，详细探讨如何培养高中生的数学思维，以期有效提升学生的数学成绩。

1 培养高中生数学思维的重要性高中数学作为一门重要学科，对于高中生的学习和发展具有重要的作用。

在高中数学教学中培养学生的数学思维，可以促进学生逻辑思维能力、创新能力以及问题解决能力的提高，而这些能力对于学生未来的学习和职业发展都非常重要。

高中阶段正是培养学生数学思维的关键阶段，教师应将培养学生的数学思维作为教学重点。

2 “指数函数与对数函数交点个数问题”的背景和意义第一，指数函数与对数函数交点个数问题是高中数学中的一个经典问题，其中蕴含着深刻的数学思维。

指数函数和对数函数是数学中的重要函数，它们被广泛应用于科学、工程等各个领域[1]。

第二，指数函数与对数函数交点个数问题的研究旨在探索这两类函数的交点个数的规律和特征，以帮助学生深入理解指数函数和对数函数的性质和变化趋势，拓宽学生的数学视野，培养学生的探究精神和数学思维能力[2]。

第三，通过解决指数函数与对数函数交点个数问题，学生可以锻炼抽象思维能力，培养观察、分析、推理和解决实际问题的能力。

同时，对指数函数与对数函数交点个数问题进行研究，也可以为后续的高等数学学习奠定坚实的基础[3]。

总之，研究指数函数与对数函数交点个数问题不仅具有重要的理论意义，而且对于高中生数学思维的培养具有重要的实践意义，可以让学生在解决实际问题的过程中感受到数学的奇妙，从而培养学生的数学学习兴趣和创新意识，促进学生全面发展。

因此，高中数学教师应指导学生积极探索指数函数与对数函数交点个数问题，以提升学生的数学思维能力和解决问题的能力[4]。

3 探讨“指数函数与对数函数交点个数问题”的解决方法指数函数与对数函数交点个数问题是一个典型的数学分析问题，解决这一问题的关键在于熟练掌握函数图象、基本性质和求解方程。