22.1.4练习

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22.1.4练习1二次函数化顶点式

【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．
3．（2010•安徽）若二次函数 y＝x2+bx+5 配方后为 y＝（x﹣2）2+k，则 b、k 的值分别为
（）
A．0，5
B．0，1
C．﹣4，5
D．﹣4，1
【分析】可将 y＝（x﹣2）2+k 的右边运用完全平方公式展开，再与 y＝x2+bx+5 比较，即
A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25 C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25
Байду номын сангаас
3．（2010•安徽）若二次函数 y＝x2+bx+5 配方后为 y＝（x﹣2）2+k，则 b、k 的值分别为
（）A．0，5 B．0，1 C．﹣4，5 D．﹣4，1
4．（2010•泰安）将 y＝2x2﹣12x﹣12 变为 y＝a（x﹣m）2+n 的形式，则 m•n＝
A．y＝﹣ （x﹣2）2+2
B．y＝（x﹣2）2+4
C．y＝﹣ （x+2）2+4
D．y＝
2+3
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y＝﹣ x2﹣x+3＝﹣ （x2+4x+4）+1+3＝﹣ （x+2）2+4
故选：C． 10．（2014•成都校级自主招生）将 y＝（2x﹣1）•（x+2）+1 化成 y＝a（x+m）2+n 的形式
（x﹣3）2﹣10 ．

【初中数学】人教版九年级上册周滚动练习（三）[范围：22.1.4~22.2](练习题)

人教版九年级上册周滚动练习（三）[范围：22.1.4~22.2](153)1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)过B(−2，6)，C(2，2)两点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)记抛物线的顶点为D，求△BCD的面积．2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴相交于点(0，−3)，并经过点(−2，5)，它的对称轴是直线x=1，如图为函数图象的一部分．(1)求二次函数的解析式，写出函数图象的顶点坐标；(2)在原题图上，画出函数图象的其余部分；(3)利用图象写出方程ax2+bx+c=0的解；(4)利用图象写出不等式ax2+bx+c>0的解集．3.如图，抛物线y=ax2＋bx(a>0)经过原点O和点A(2，0)．(1)写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；(2)点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，若x1<x2<1，比较y1，y2的大小；(3)点B(−1，2)在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数解析式．4.已知抛物线y=(x−m)2−(x−m)，其中m是常数．(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．(2)若该抛物线的对称轴为直线x=5．2①求该抛物线的函数解析式；②该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点?5.二次函数y=x2−2x+6有最值，是．6.把二次函数y=x2−12x化为形如y=(x−ℎ)2+k的形式：．7.二次函数y=x2−2x−3的图象如图所示，当y<0时，自变量x的取值范围是．8.若抛物线y=x2+bx+8的顶点在x轴的负半轴上，则b=．9.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为A(−2，−2)，且过点B(0，2)，则y关于x的函数解析式为．10.如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=a(x−4)2+k与y轴的交点，B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．11.如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点和点(−2，0)，则2a−3b(选填“>”“<”或“=”)0.12.抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标是（）A.(−1，2)B.(−1，−2)C.(1，−2)D.(1，2)13.已知二次函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a+b的值是（）A.−3B.−1C.2D.314.将抛物线y=x2−6x+5先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是（）A.y=(x−4)2−6B.y=(x−4)2−2C.y=(x−2)2−2D.y=(x−1)2−315.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.ac>0B.当x>1时，y随x的增大而减小C.b−2a=0D.x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根16.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下面关于一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况，说法正确的是（）A.方程有两个相等的实数根B.方程的实数根的积为负数C.方程有两个正的实数根D.方程没有实数根17.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①4ac<b2；②a+c>b；③2a+b>0.其中正确的有（）A.①②B.①③C.②③D.①②③18.已知二次函数y =ax 2−bx −2(a ≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(−1，0)，当a −b 为整数时，ab 的值为（）A.34或1B.14或1C.34或12D.14或34参考答案1(1)【答案】由题意得{4a −2b +2=6,4a +2b +2=2, 解得{a =12,b =−1, ∴抛物线的函数解析式为y =12x 2−x +2(2)【答案】∵y =12x 2−x +2=12(x −1)2+32，∴抛物线的顶点D 的坐标为(1，32)．易求得直线BC 的函数解析式为y =−x +4.设抛物线的对称轴与BC 的交点为H ，则H(1，3)， ∴S △BDC =S △BDH +S △DHC =12×32×3+12×32×1=33(1)【答案】∵抛物线y =ax 2+bx 经过原点O 和点A(2，0)，而线段OA 的中点坐标为(1，0)，∴抛物线的对称轴与x 轴的交点坐标为(1，0)(2)【答案】∵该抛物线开口向上，对称轴为直线x =1， ∴当x <1时，y 随x 的增大而减小．∵x 1<x 2<1，∴y 1>y 2(3)【答案】∵点B(−1，2)在该抛物线上，点C 与点B 关于抛物线的对称轴对称，∴点C 的坐标为(3，2)．设直线AC 的函数解析式为y =kx +m ，则{2k +m =0,3k +m =2, 解得{k =2,m =−4. ∴直线AC 的函数解析式为y =2x −44(1)【答案】证明：∵y =(x −m)2−(x −m)=x 2−(2m +1)x +m 2+m ， ∴b 2−4ac =[−(2m +1)]2−4×1×(m 2+m)=1>0， ∴不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点(2)【答案】①∵y =(x −m)2−(x −m)=x 2−(2m +1)x +m 2+m ， ∴抛物线的对称轴为直线x =−−(2m+1)2=52，解得m =2.∴抛物线的函数解析式为y =x 2−5x +6.②∵y =x 2−5x +6=(x −52)2−14， ∴该抛物线沿y 轴向上平移14个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点5.【答案】:小；5【解析】:∵二次函数y =x 2−2x +6的图象开口向上， y =x 2−2x +6=(x −1)2+5， ∴二次函数y =x 2−2x +6有最小值56.【答案】:y =(x −6)2−36【解析】:y =x 2−12x =(x 2−12x +36)−36=(x −6)2−367.【答案】:−1<x <3【解析】:该抛物线与x 轴的两个交点的坐标分别为(−1,0)和(3,0)．由图象可知，当y <0时，自变量x 的取值范围是−1<x <38.【答案】:4√2【解析】:∵抛物线的顶点在x 轴负半轴上， ∴{−b 2a <0,4ac−b 24a =0, 即{−b 2<0,b 2−32=0,解得b =4√29.【答案】:y =x 2+4x +2【解析】:设y 关于x 的函数解析式为y =a(x +2)2−2. 将点(0，2)代入解析式，得2=(0+2)2a −2，解得a =1. 故y 关于x 的函数解析式为y =(x +2)2−2，即y =x 2+4x +210.【答案】:24【解析】:抛物线y =a(x −4)2+k 的对称轴是直线x =4，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则AD =4，则AB=2AD=8，故以AB为边的等边三角形ABC的周长为3×8=24.故答案是24.11.【答案】:>【解析】:∵抛物线的开口向下，∴a<0.∵抛物线经过原点和点(−2，0)，=−1，∴抛物线的对称轴是直线x=−1，∴−b2a∴b=2a，∴2a−3b=2a−6a=−4a>012.【答案】:D【解析】:由题意可知抛物线的顶点坐标为(1，2)．故选 D13.【答案】:C【解析】:把(1，1)代入解析式得a+b−1=1，化简得a+b=2.故选 C14.【答案】:B【解析】:∵y=x2−6x+5=(x−3)2−4，∴将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的函数解析式是y=(x−3−1)2−4+2=(x−4)2−2.故选 B15.【答案】:D【解析】:∵二次函数的图象开口向上，∴a>0. ∵图象与y轴交于负半轴，∴c<0，∴ac<0，故A错误；由图象看出，当x>1时，y随x的增大而增大，故B错误；=1，∴b=−2a，b+2a=0，故C错误；对称轴是直线x=1，即−b2a由抛物线的对称性可得图象与x轴的另一个交点的横坐标为3，即x=3是关于x 的方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的一个根，故D 正确．故选 D16.【答案】:B17.【答案】:B【解析】:∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴Δ>0，即b 2−4ac >0， ∴4ac <b 2，故①正确；∵当x =−1时，y <0，∴a −b +c <0， ∴a +c <b ，故②错误； ∵抛物线的对称轴在直线x =1的右侧，a <0， ∴−b 2a >1，∴−b <2a ，∴2a +b >0，故③正确18.【答案】:A【解析】:根据题意知a >0，b 2a >0，故b >0.又二次函数y =ax 2−bx −2的图象过点(−1，0)， ∴a +b −2=0，∴b =2−a ，∴0<a <2. ∵a −b =a −(2−a)=2a −2，又a −b 为整数， ∴2a −2=−1，0，1，∴a =12，1，32，∴b =32，1，12， ∴ab =34或1.故选 A。

22.1.4 二次函数y=ax^2+bx+c图象和性质(练习)(解析版)

第二十二章二次函数22.1.4 二次函数y=a x 2+bx+c 图象和性质精选练习答案一、单选题（共10小题)1．（2019·湖南师大附中博才实验中学初二期末）抛物线y ＝x 2﹣4x +5的顶点坐标是（） A.（2，1） B.（﹣2，1） C.（2，5） D.（﹣2，5）【答案】A【分析】先把抛物线的解析式配成顶点式得到y ＝（x ﹣2）2+1，然后根据抛物线的性质即可求解．【详解】∵y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（2，1）．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=a （x -h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x=h ，本题还考查了利用配方法化二次函数的一般式化为顶点式．2．将抛物线23(2)y x =-向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是（）A ．(3,2)B ．(0,2)C ．(-3,0)D ．(2,1)-【答案】A【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，可得答案．【详解】y=3（x -2）2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得y=3（x -2-1）2+2，即y=3（x -3）2+2，抛物线的顶点坐标是（3，2），故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移的规律：左加右减，上加下减是解题关键．3．（2019·重庆中考真题）抛物线2362y x x =-++的对称轴是（）A ．直线2x =B ．直线2x =-C ．直线1x =D ．直线1x =-【答案】C【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．【详解】解：∵223623(1)5y x x x =-++=--+， ∴抛物线顶点坐标为(1,5)，对称轴为1x =．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x ＝h ．4．直线y=ax+b （ab≠0）不经过第三象限，那么y=ax 2+bx+3的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】首先根据直线y=ax+b （ab≠0）不经过第三象限判断出a 、b 的取值范围，再根据a 的取值范围可判断出开口方向，再加上b 的取值范围可判断出对称轴，最后根据c=3判断出与y 轴交点，进而可得答案．【详解】解：∵直线y=ax+b （ab≠0）不经过第三象限， ∴a ＜0，b ＞0，∴y=ax 2+bx+3的图象开口向下，对称轴y 轴右侧，与y 轴交于（0，3）， ∴D 符合．故选：D ．【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数图象，关键是掌握一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．5．（2018·中山大学附属中学初三期中）某同学在用描点法画二次函数y=ax 2+bx+c 的图象时，列出下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的数值是（） A.-11 B.-2 C.1 D.-5【答案】D【分析】由已知可得函数图象关于y 轴对称，则错误应出现在x=-2或x=2时，根据正确的数据求出函数的解析式，进而可得答案．【详解】解：由已知中的数据，可得函数图象关于y 轴对称，则错误应出现在x=-2或x=2时，故函数的顶点坐标为（0，1）， y=ax 2+1，当x=±1时，y=a+1=-2，故a=-3，故y=-3x 2+1，当x=±2时，y=4a+1=-11，故错误的数值为-5，故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．6．（2019·四川中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是（）A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x =【答案】D【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解.【详解】由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c>0. A 选项错误；函数图象与x 轴有两个交点，所以24b ac -＞0，B 选项错误；观察图象可知x ＝－1时y=a －b ＋c ＞0，所以a －b ＋c ＞0，C 选项错误；根据图象与x 轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，152x +=， x ＝3即为函数对称轴，D 选项正确；故选D【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像.7．（2017·湖北卓刀泉中学建和分校初三月考）二次函数y ＝x 2﹣2x +2的顶点坐标是（）A ．（1，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（1，3）【答案】A【分析】根据顶点坐标公式，可得答案．【详解】解：2y x 2x 2=-+的顶点横坐标是212--=，纵坐标是2412(2)141⨯⨯--=⨯， 2y x 2x 2=-+的顶点坐标是()1,1．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是2b 4ac b ,.2a 4a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭8．（2019·山东省五莲县第二中学初三期末）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】令x=0，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a ＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．【详解】解：x=0时，两个函数的函数值y=b ，所以，两个函数图象与y 轴相交于同一点，故B 、D 选项错误；由A 、C 选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a ＞0，则一次函数y=ax+b 经过第一三象限，所以，A 选项错误，C 选项正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．9．（2019·山东省五莲县第二中学初三期末）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点,c Q a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】由图像可知，，则c Q a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第三象限。

人教版九年级上册数学学案：22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象2 含答案

课题: 22.1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象一．学习目标1、让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质使学生掌握函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象及性质；2、理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标分别是x ＝－b 2a 、(－b 2a ，4ac －b 24a )。

3、通过实际问题探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性；二．教材导学（一）知识回顾：（1）二次函数 c bx ax y ++=2( a ≠0)的图象是一条抛物线；（2）对称轴是直线x=a b 2-，顶点坐标是为（ab 2-，a b ac 442-）(3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。

当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。

（二）、自主学习：1．函数y=ax 2+bx+c (a≠0)中，若a>0，则当x=-ab2时，y ( )= ；若a<0，则当x= 时，y ( )= 。

2．在二次函数y=2x 2-8x+9中当x= 时，函数y 有最值等于。

三、引领学习1.探索填空:根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是，在侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大；在侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0 .y= -2x 2y= 2x 22. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线y= 2x 2的顶点坐标是，对称轴是，在侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减少；在侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>0 3.归纳:二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象和性质(1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大；当时，函数y 有最小值。

22.1.4练习2二次函数的对称轴

二次函数的对称轴1．（2019•重庆）抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1 2．（2012•兰州）抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2 3．（2013•舟山）若一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y＝ax2+bx的对称轴为（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣2C．直线x＝﹣1D．直线x＝﹣4 4．（2015•台州）设二次函数y＝（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）5．（2016•西湖区校级自主招生）抛物线y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝﹣2，则b的值为．6．（2016•荆门）若二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2+mx＝7的解为（）A．x1＝0，x2＝6B．x1＝1，x2＝7C．x1＝1，x2＝﹣7D．x1＝﹣1，x2＝7 7．（2014•珠海）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为．8．（2009•南充）抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝﹣3D．x＝3 9．（2014•枣庄）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x﹣10123y51﹣1﹣11则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x＝C．直线x＝2D．直线x＝10．（2006•辽宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c满足a+b+c＝0和9a﹣3b+c＝0，则该二次函数图象的对称轴是直线．11．（2006•汉川市）老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小明说：a＝1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．（2006•福州校级自主招生）若不等式ax+b＞0的解集为x＜﹣，且a+b＞0，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴所在位置是（）A．y轴B．y轴的右侧C．y轴的左侧D．无法确定13．（2007•马鞍山校级自主招生）不等式ax+b＞0的解集为，且a+b＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴所在的位置是（）A．y轴B．y轴的左侧C．y轴的右侧D．无法确定14．（2015•南昌）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x＝﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x＝2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x＝﹣2的右侧15．（2020•杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0 16．（2019•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（a﹣2）x+a2﹣1向右平移4个单位长度，平移后的抛物线与y轴的交点为A（0，3），则平移后的抛物线的对称轴为（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣2D．x＝2参考答案1．（2019•重庆）抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．【解答】解：∵y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3（x﹣1）2+5，∴抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴为x＝1．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质．抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．2．（2012•兰州）抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），∴对称轴是直线x＝0（y轴），故选：C．【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标与对称轴的方法．3．（2013•舟山）若一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y＝ax2+bx的对称轴为（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣2C．直线x＝﹣1D．直线x＝﹣4【分析】先将（﹣2，0）代入一次函数解析式y＝ax+b，得到﹣2a+b＝0，即b＝2a，再根据抛物线y＝ax2+bx的对称轴为直线x＝﹣即可求解．【解答】解：∵一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），∴﹣2a+b＝0，即b＝2a，∴抛物线y＝ax2+bx的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中．用到的知识点：点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式；二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣．4．（2015•台州）设二次函数y＝（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）【分析】根据二次函数的解析式可得出直线l的方程为x＝3，点M在直线l上则点M的横坐标一定为3，从而选出答案．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线x＝3，∴直线l上所有点的横坐标都是3，∵点M在直线l上，∴点M的横坐标为3，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数y＝a（x﹣h）2+k 的顶点坐标为（h，k），对称轴是x＝h．5．（2016•西湖区校级自主招生）抛物线y＝2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝﹣2，则b的值为﹣8．【分析】利用对称轴公式可得到关于b的方程，可求得b的值．【解答】解：∵y＝2x2﹣bx+3，∴对称轴为x＝﹣，∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，解得b＝﹣8故答案为：﹣8．【点评】本题主要考查抛物线的性质，掌握抛物线的顶点坐标为（﹣，）是解题的关键．6．（2016•荆门）若二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2+mx＝7的解为（）A．x1＝0，x2＝6B．x1＝1，x2＝7C．x1＝1，x2＝﹣7D．x1＝﹣1，x2＝7【分析】先根据二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx＝7，求出x的值即可．【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝3，∴﹣＝3，解得m＝﹣6，∴关于x的方程x2+mx＝7可化为x2﹣6x﹣7＝0，即（x+1）（x﹣7）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝7．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．7．（2014•珠海）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为直线x＝2．【分析】点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，这两点一定关于对称轴对称，那么利用两点的横坐标可求对称轴．【解答】解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，∴这两点一定关于对称轴对称，∴对称轴是：x＝＝2．故答案为：直线x＝2．【点评】本题主要考查了抛物线的对称性，图象上两点的纵坐标相同，则这两点一定关于对称轴对称．8．（2009•南充）抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝﹣3D．x＝3【分析】已知抛物线解析式为交点式，通过解析式可求抛物线与x轴的两交点坐标；两交点的横坐标的平均数就是对称轴．【解答】解：∵﹣1，3是方程a（x+1）（x﹣3）＝0的两根，∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交点横坐标是﹣1，3，∵这两个点关于对称轴对称，∴对称轴是x＝＝1．故选：A．【点评】此题考查对称轴的性质：抛物线上的两点纵坐标相同时，对称轴是两点横坐标的平均数．9．（2014•枣庄）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x﹣10123y51﹣1﹣11则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x＝C．直线x＝2D．直线x＝【分析】由于x＝1、2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．【解答】解：∵x＝1和2时的函数值都是﹣1，∴对称轴为直线x＝＝．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，比较简单．10．（2006•辽宁）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c满足a+b+c＝0和9a﹣3b+c＝0，则该二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．【分析】解方程求出a，b的值，再根据对称轴公式即可求出该二次函数图象的对称轴．【解答】解：方程9a﹣3b+c＝0减去方程a+b+c＝0，可得8a﹣4b＝0，根据对称轴公式整理得：对称轴为x＝＝﹣1．故该二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．【点评】解决此题的关键是根据对称轴公式的特点巧妙整理方程，运用技巧不但可以提高速度，还能提高准确率．11．（2006•汉川市）老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小明说：a＝1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据图上给出的条件是与x轴交于（1，0），叫我们加个条件使对称轴是x＝2，意思就是抛物线的对称轴是x＝2是题目的已知条件，这样可以求出a、b的值，然后即可判断题目给出四个人的判断是否正确．【解答】解：∵抛物线过（1，0），对称轴是x＝2，∴，解得a＝1，b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+3，当x＝3时，y＝0，所以小华正确；当x＝4时，y＝3，小彬也正确，小明也正确；抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点（1，0），则可得另一点为（﹣1，0）或（3，0），所以对称轴为y轴或x＝2，此时答案不唯一，所以小颖错误．故选：C．【点评】本题是开放性题目，要把题目的结论作为题目的条件，再推理出四个人说的结论的正误．难度较大．12．（2006•福州校级自主招生）若不等式ax+b＞0的解集为x＜﹣，且a+b＞0，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴所在位置是（）A．y轴B．y轴的右侧C．y轴的左侧D．无法确定【分析】首先根据不等式的性质及已知条件a+b＞0，得出a与b的符号，进而判断出抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴所在的位置．【解答】解：∵不等式ax+b＞0的解集为x＜﹣，且a+b＞0，∴a＜0，b＞0，∴﹣＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧．故选：B．【点评】此题考查了学生的综合应用能力．考查了不等式的性质，考查了二次函数的对称轴x＝，若＞0，则在y轴右侧；若＜0，则在y轴左侧．13．（2007•马鞍山校级自主招生）不等式ax+b＞0的解集为，且a+b＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴所在的位置是（）A．y轴B．y轴的左侧C．y轴的右侧D．无法确定【分析】首先根据不等式ax+b＞0的解集为，且a+b＜0，判断出a和b的正负性，然后根据抛物线的对称轴x＝﹣即可判断对称轴在y轴左边还是右边．【解答】解：∵不等式ax+b＞0的解集为，且a+b＜0，∴a＞0，b＜0，∴x＝﹣＞0，∴抛物线对称轴在y轴右侧．故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握对称轴公式x＝﹣，此题比较简单．14．（2015•南昌）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x＝﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x＝2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x＝﹣2的右侧【分析】根据题意，将（﹣2，0），（2，3）代入可得两个方程，解出可作判定抛物线对称轴的位置．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴0＝4a﹣2b+c，3＝4a+2b+c，解得b＝，c＝﹣4a，∴y＝ax2+x+﹣4a的对称轴是直线x＝﹣＝﹣＜0，在y轴的左侧，其对称轴可能在x＝﹣2的左侧，也可能在x＝﹣2的右侧，所以可能在y轴左侧且在直线x＝﹣2的右侧，是正确的；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据点坐标代入列方程是解题的关键．15．（2020•杭州）设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）A．若h＝4，则a＜0B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0D．若h＝7，则a＞0【分析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝1，将h 的值分别代入即可得出结果．【解答】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，若h＝4，则a＝1，故A错误；若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；若h＝6，则a＝﹣，故C正确；若h＝7，则a＝﹣，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关键．16．（2019•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（a﹣2）x+a2﹣1向右平移4个单位长度，平移后的抛物线与y轴的交点为A（0，3），则平移后的抛物线的对称轴为（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣2D．x＝2【分析】先得到抛物线的顶点坐标，进而求得平移后的顶点坐标，得到平移后的解析式，根据题意得到关于a的方程，解方程求得a的值即可确定对称轴．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣（a﹣2）x+a2﹣1＝（x﹣）2+a2﹣1﹣，∴顶点为（，a2﹣1﹣），将抛物线y＝x2﹣（a﹣2）x+a2﹣1向右平移4个单位长度，平移后的顶点为（+4，a2﹣1﹣），∴平移后的抛物线为y＝（x﹣﹣4）2+a2﹣1﹣，∵平移后的抛物线与y轴的交点为A（0，3），∴3＝（0﹣﹣4）2+a2﹣1﹣，解得a＝﹣2，∴+4＝2，∴平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出顶点坐标是解题的关键．。

人教九年级数学上册- 用待定系数法求二次函数的解析式(附习题)

22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第2课时用待定系数法求二次函数的解析式
新课导入
问题：如果一个二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7) 三点，能求出这个二次函数的解析式吗？
会用待定系数法求二次函数的解析式.
推进新课
知识点1 用二次函数一般式y=ax2+bx+c 求函数解析式
b=-3
由③-①可得：3a+3b=-3
a+b=-1
a=2
将a=2，b=-3代入①可得：2+3+c=10 c=5
∴解方程组得：a=2, b=-3, c=5
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)，求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
a-b+c=10 由已知得： a+b+c=4
的解析式.
两种方法的结果
一样吗？哪种方
方法1：设y=a(x-1)(x-3)+1,把C(0法，更3)代简入捷其？中求出 a的值.
方法2：设y=ax2+bx+c，把A(1，1)，B(3，1)，C(0， 3)代入其中列方程组求a，b，c的值.
已知二次函数的图象经过点(-1,3), (1,3),(2,6),求这个二次函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4
三个未知数，两个等量关系，这个方
程组能解吗？
第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步：解方程组。
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)，求这个函数的解析式.

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象性质(教案)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调开口方向、对称轴、顶点坐标和最值这两个重点。对于难点部分，我会通过图象分析和实际例题来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数图象相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示二次函数图象的基本原理。
-对于一些变换后的二次函数，如y=a(x-h)^2+k，学生可能难以将其与原始形式y=ax^2+bx+c联系起来，需要教师指导学生进行图象变换的推导和练习。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数y=ax^2+bx+c的图象性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常学习中是否遇到过需要分析曲线图象的情况？”比如，在物理学中，抛物线的运动轨迹。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数图象的奥秘。
-对称轴的确定，即x=-b/(2a)的计算，这是分析图象对称性质的核心，要求学生能够准确计算出对称轴的方程。
-顶点坐标的求法，即(-b/(2a)，c-b^2/(4a))，这是二次函数图象的最高点或最低点，对函数的最值有重要意义。
-二次函数与y轴的交点，即当x=0时y=c，这是分析函数与y轴交点性质的要点。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象性质（教案）
一、教学内容
本节课选自教材22.1.4节，主要探讨二次函数y=ax^2+bx+c的图象性质。内容包括：
1.二次函数图象的开口方向与a的正负关系；

初中数学人教版九年级上册第二十二章22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式(共21张PPT)

知识应用
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．解：设抛物线为y=ax(x-40 ）
根据题意可知 ∵ 点(20，16)在抛物线上，
4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb、c。
用待定系数法求二次函数的解析式
说一说
说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:
y＝3x2
y= -2x2+3
y= - 4(x+3)2
y=
1 2
(x-2)2+1
y＝x2＋2x＋1
温故而知新
二次函数解析式有哪几种表达式？
• 一般式：y＝ax2+bx+c (a≠0) • 顶点式：y＝a(x-h)2+k (a≠0) 特殊形式 • 交点式：y＝a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
25 5 ∴ 所求抛物线解析式为 y
1
x2 8 x
25 5
知识应用
有一个抛物线形的立交桥拱，这个
桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．
现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，
求抛物线的解析式．
解设抛物线为y=a(x-20)2＋16
法二
根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上，
∴ 所求抛物线解析式为
通常选择一般式 y
▪ 已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）
通常选择顶点式
o
▪ 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，
x 通常选择交点式
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，

九年级数学上册(人教版)22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质教学设计

b.根据实际问题，建立二次函数模型，并求解。
3.解答与反馈：学生完成后，教师选取部分答案进行点评，给予反馈，帮助学生纠正错误。
（五）总结归纳
1.教学活动：引导学生回顾本节课所学内容，总结二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质。
2.知识梳理：
a.二次函数的一般式及其各参数的几何意义。
b.二次函数的图象绘制方法及其性质。
5.作业要求：
a.学生在完成作业时，要注意规范书写，保持解答过程的简洁。
b.对于选做题和思考题，鼓励学生积极思考，勇于探索，提高解决问题的能力。
c.课后阅读作业，学生可根据个人兴趣自主选择，做好阅读笔记，提升数学素养。
3.重点：培养学生的数学思维能力，提高解决问题的策略。
难点：引导学生从数形结合的角度，深入理解二次函数的图象与性质之间的关系。
（二）教学设想
1.设想一：以生活实例引入，激发学生兴趣
在教学开始时，可以引入一些生活中的实例，如抛物线运动的篮球、拱桥的形状等，让学生感受到二次函数在实际生活中的应用，从而激发他们的学习兴趣。
4.设想四：注重启发式教学，培养学生的思维能力
在教学过程中，教师应注重启发式教学，提出问题，引导学生思考。例如，在探讨二次函数的顶点式时，可以提问：“顶点式y=a(x-h)^2+k中的h、k分别代表什么意义？”让学生在思考中加深对知识点的理解。
5.设想五：巩固练习，提高学生应用能力
设计具有梯度、层次的练习题，让学生在解答过程中，逐步掌握二次函数的图象和性质。同时，结合实际问题，培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力。
2.在观察二次函数图象的变化过程中，培养学生发现规律、总结性质的能力。
3.通过小组合作交流，让学生在讨论中理解二次函数图象与性质之间的关系，提高合作学习的能力。

初三数学(人教版)22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(4)-1教学设计

234a b ⎧=⎪
⎨⎪=-⎩
所求二次函数为：2
242
3
y x x =
-+
方法二：
设所求二次函数为 2
()y a x h k =-+ 顶点为（3，-4）可得到：3,4h k ==-
即二次函数为2
(3)4y a x =--
和y 轴的交点为（0,2），得到：
22(03)4a =--
解得：23a =
所求二次函数为：22
(3)4
3
y x =--
归纳：求抛物线2
()y a x h k =-+的解析式，只要知道顶点坐标和图像上异于顶点的另一点坐标即可。

例3 已知二次函数2
y ax bx c =++中自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表，求二次函数的解析式
解：
方法一：
任意取三个点，得到关于 ,,a b c 的三元一次方程组，即可求出二次函数的解析式。

2
2y x x =+-
方法二：
取点（0，-2），可以得到2c =-，再任意取两个点，得到关于
,a b 的二元一次方程组，即可求出二次函数的解析式。

二次函数的图象经过点（。

-2016九年级数学上册-22.1.4-二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第2课时)同步练习1

第2课时用待定系数法求二次函数的解析式要点感知用待定系数法求二次函数的解析式的几种常见的形式：(1)三点式：已知图象上的三个点的坐标，可设二次函数的解析式为______；(2)顶点式：已知抛物线的顶点坐标(h ，k)及图象上的一个点的坐标，可设二次函数的解析式为______；以下有三种特殊情况：①当已知抛物线的顶点在原点时，我们可设抛物线的解析式为______.②当已知抛物线的顶点在y 轴上或以y 轴为对称轴，但顶点不一定是原点时，可设抛物线的解析式为______. ③当已知抛物线的顶点在x 轴上，可设抛物线的解析式为______，其中(h ，0)为抛物线与x 轴的交点坐标.(3)交点式：已知抛物线与x 轴的两个交点坐标(x 1，0)、(x 2，0)及图象上任意一点的坐标，可设抛物线的解析式为______.预习练习1-1 若二次函数y=ax 2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：则二次函数的解析式为______.1-2 已知一个二次函数的图象的顶点为(8，9)，且经过点(0，1)，则二次函数的解析式为______.1-3 已知二次函数y=-21x 2+bx+c 的图象经过A(2，0)，B(0，-6)两点.则这个二次函数的解析式为______.知识点1 利用“三点式”求二次函数解析式1.已知二次函数y=ax 2+bx+c 经过点(-1,0)，（0，-2），(1,-2).则这个二次函数的解析式为______.2.已知二次函数y=a x 2+bx+c ，当x =0时，y=1；当x=-1时，y=6；当x=1时，y=0.求这个二次函数的解析式.知识点2 利用“顶点式”求二次函数解析式3.已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( )A.y=2(x+1)2+8B.y=18(x+1)2-8C.y=92(x-1)2+8D.y=2(x-1)2-84.已知抛物线的顶点坐标为(4,-1)，与y 轴交于点(0,3)，求这条抛物线的解析式.知识点3 利用“交点式”求二次函数解析式5.如图所示，抛物线的函数表达式是( )A.y=21x 2-x+4B.y=-21x 2-x+4C.y=21x 2+x+4D.y=-21x 2+x+4 6.已知一个二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标分别为(-1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，-2)，则该二次函数的解析式为______.7.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )A.y ＝x 2-x-2B.y ＝-21x 2-21x+2C.y ＝-21x 2-21x+1D.y ＝-x 2+x+2 8.二次函数y=-x 2+bx+c 的图象的最高点是(-1，-3)，则b ，c 的值分别是( )A.b=2，c=4B.b=2，c=-4C.b=-2，c=4D.b=-2，c=-49.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A(-1，0)，B(0，-3)两点，则这条抛物线所对应的函数关系式为______.10.(杭州中考)设抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)过点A(0，2)，B(4，3)，C 三点，其中点C 在直线x=2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为______. 11.(齐齐哈尔中考)如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y 轴交于点B(0，3)，与x 轴交于C 、D 两点.点P 是x 轴上的一个动点.(1)求此抛物线的解析式；(2)当PA+PB 的值最小时，求点P 的坐标.12.(宁波中考)已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，-3).(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x 上，并写出平移后抛物线的解析式.挑战自我13.(河北中考)如图，2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，O 九个格点.抛物线l 的解析式为y=(-1)nx 2+bx+c(n 为整数).(1)n 为奇数，且l 经过点H(0，1)和C(2，1)，求b ，c 的值，并直接写出哪个格点是该抛物线上的顶点；(2)n 为偶数，且l 经过点A(1，0)和B(2，0)，通过计算说明点F(0，2)和H(0，1)是否在抛物线上；(3)若l 经过这九个格点中的三个，直接写出满足这样条件的抛物线条数.参考答案要点感知 (1)y=ax 2+bx+c ；(2)y=a(x-h)2+k ； ①y=ax 2. ②y=ax 2+c. ③y=a(x-h)2，(3)y=a(x-x 1)(x-x 2).预习练习1-1 y=-2x 2-12x-13.1-2 y=-81x 2+2x+1.1-3 y=-21x 2+4x-6.1.y=x 2-x-2.2.由题意，得a+b+c=0,a-b+c=6,c=1.解得a=2,b=-3,c=1. ∴二次函数的解析式为y=2x 2-3x+1.3.D4.依题意，设y=a(x-h)2+k.将顶点坐标(4,-1)和与y 轴交点(0,3)代入，得3=a(0-4)2-1.解得a=41. ∴这条抛物线的解析式为y=41(x-4)2-1. 5.D6.y=x 2-x-2.7.D8.D 9.y ＝x 2-2x-3. 10.y=81x 2-41x+2或y=-81x 2+43x+2. 11.(1)∵抛物线顶点坐标为(1,4)，∴设y=a(x-1)2+4.∵抛物线过点B(0，3)，∴3=a(0-1)2+4，解得a=-1.∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4，即y=-x 2+2x+3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E(0，-3)，连接AE 交x 轴于点P.设AE 解析式为y=kx+b ，则k+b=4,b=-3,解得k=7,b=-3.∴y AE =7x-3.∵当y=0时，x=73，∴点P 的坐标为(73，0). 12.(1)∵A(1，0)，B(3，0)，∴设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3).∵抛物线过(0，-3)，∴-3=a(-1)×(-3).解得a=-1.∴y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3.∵y=-x 2+4x-3=-(x-2)2+1，∴顶点坐标为(2，1).(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=-x 2，平移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线y=-x 上.挑战自我13.(1)因为n 为奇数，则抛物线解析式为y=-x 2+bx+c.将H(0，1)和C(2，1)代入上式，得b=2，c=1.所以抛物线解析式为y=-x 2+2x+1.化为顶点式为y=-(x-1)2+2，其顶点坐标为(1，2)，所以顶点所在的格点为E.(2)因为n 为偶数，则抛物线的解析式为y=x 2+bx+c.将A(1，0)和B(2，0)代入上式，得b=-3，c =2.所以抛物线解析式为y=x 2-3x+2.将x=0代入上式可得y=2，所以F 点在该抛物线上，H 点不在该抛物线上.(3) 8.。

人教版九年级上册数学二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质同步练习

人教版九年级上册数学22.1.4二次函数y=ax ²+bx+c 的图象与性质同步练习一、单选题1．抛物线221y x x =-+的顶点坐标是（）A ．(1，0)B ．(－1，0)C ．(1，2)D ．(－1，2) 2．已知抛物线21y x mx =+-经过(1,)n -和(2,)n 两点，则n 的值为（） A ．1- B ．1 C ．2 D ．3 3．若二次函数y ＝x 2+2x +k 的图象经过点（1，y 1），（﹣2，y 2），则y 1，y 2与的大小关系为（）A ．y 1＞y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＜y 2D ．不能确定 4．已知(﹣4，y 1)，(2.5，y 2)，(5，y 3)是抛物线y ＝﹣3x 2﹣6x +m 上的点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 3＞y 2＞y 1C ．y 1＞y 3＞y 2D ．y 2＞y 1＞y 3 5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A (﹣1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，下列结论不正确的是（）A ．abc ＞0B ．2a +b ＝0C ．3a +c ＞0D ．4a +2b +c ＜0 6．若二次函数y ＝x 2+bx +c 的图像过点（﹣2，﹣1）、（4，﹣1），则该图像的对称轴是( )A ．直线x ＝﹣1B ．直线x ＝1C ．直线x ＝﹣2D ．直线x ＝2 7．要由抛物线y ＝2x 2得到抛物线y ＝2（x ﹣1）2+3，则抛物线y ＝2x 2必须( ) A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位8．已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为32x =，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a +b =0；①若点11,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，（3，y 2）是抛物线上的两点，则y 1<y 2；①10b -3c =0；①若y ≤c ，则0≤x ≤3．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 9．将抛物线21y x x =++向下平移1个单位，所得新的抛物线的表达式是________． 10．把抛物线21y x =-+向左平移______个单位长度后，抛物线解析式为243y x x =---．11．函数y ＝x 2﹣4x +n 图象上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1＜x 2＜2，则y 1、y 2的大小关系是_____．12．抛物线y =（x +2）2上有三点A （-4，y 1），B （-1，y 2），C （1，y 3），则对称轴为 __________；1y ，2y ，3y 的大小关系为__________．13．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2tx +t 2﹣2t ﹣4＝0的两实数根，则（m +3）（n +3）的最小值是 ___．14．将抛物线y ＝ax 2＋bx ﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则4a ﹣2b ﹣1的值是___．15．抛物线y ＝ax 2﹣4x ﹣3（其中a ≥0，a 为常数），若当4≤x ＜5时，对应的函数值y 恰好有3个整数值，则a 的取值范围是__________．16．二次函数224y x x c =++的顶点与原点的距离为6，则C ＝_____．三、解答题17．如图，抛物线()()22369=++-+y mx m x m 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知()3,0B ．(1)求m的值和直线对应的函数表达式；(2)P为抛物线上一点，若S△PBC=S△ABC，请直接写出点P的坐标；(3)Q为抛物线上一点，若①ACQ=45°，求点Q的坐标．18．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM①x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．(1)求这个二次函数的表达式；(2)若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值．19．已知抛物线2=-++经过点A（3，0），B（﹣1，0）．y x bx c（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．。

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的函数图象和性质(1)

a+b+c>0
点在x轴下方
a+b+c<0
点在x轴上
a+b+c=0
（8）a-b+c的符号：
由x=-1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方点在x轴下方点在x轴上
a-b+c>0 a-b+c<0 a-b+c=0
练习
11、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中下不正确的是（ D ）
根据图形填表：
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标对称轴位置
b
4ac b2 ,
2a 直线x
4ab
2a
由a,b和c的符号确定
b , 4ac 2a 4a 直线x
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
配方: y 3x2 6x 5
3 x2 2x 5
3
提取二次项系数
老师提示:
3
x2
2x11
5 3
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
3x
12
2 3
整理:前三项化为平方形式，后两项合并同类项
配方后的表达 3x 12 2. 化简:去掉中括号
式通常称为顶
点式
简单说成：一提、二配、三化简
【左同右异】
⑶ c决定抛物线与y轴交点的位置：
① c＞0 ↔图象与y轴交点在x轴上

人教版九年级数学上册22.1.4《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》说课稿

人教版九年级数学上册22.1.4《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》说课稿一. 教材分析《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》是人教版九年级数学上册第22章第1节的一部分。

这部分内容是在学生已经学习了二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c的基础上，进一步探讨二次函数的图象和性质。

通过这部分的学习，学生能够理解二次函数的图象特征，掌握二次函数的顶点式，并能够运用二次函数的性质解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式已经有了一定的了解。

但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还存在一些困惑和疑问。

因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，帮助学生理解和掌握二次函数的图象和性质。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象特征，能够运用二次函数的性质解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，学生能够自主探索二次函数的图象和性质，培养学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，增强对数学的兴趣和自信心，培养学生的合作意识和探究精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象特征。

2.教学难点：学生能够运用二次函数的性质解决实际问题，理解二次函数的图象和性质之间的关系。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用以下教学方法和手段：1.情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂活动。

2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习动力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的合作意识和团队精神。

4.数形结合法：通过绘制二次函数的图象，引导学生观察和分析，帮助学生理解和掌握二次函数的图象和性质。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。

人教版九年级上册学数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性课件

c的正负
y 3 2 1
-3 -2 -1 O 1 x -1
课堂小结
1. 二次函数 y=ax2+bx+c的图象与各项系数符号的关系.
2. 数学思想方法：数形结合． 3. 常用解题方法：赋值法．
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与各项系数符号的关系.
数学思想方法：数形结合．
的图象上的三个点．
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与各项系数符号的关系.
类型二：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断式子符号．
类型二：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断式子符号．
课堂小结
开口方向
y 3
2 1
2a
决定抛物线与y轴的交点位置
巩固落实
类型一：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断各项系数符号．
例1. 若二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，
你可以判断出 a，b，c的符号吗？ a <0
y
3
x
b
2-a
>
0
2
b >0
1
c >0
-2 -1 O -1
1 2 3x
巩固落实
类型二：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断式子符号．
-2 -1 O -1
1 2 3x
a的正负
y 3 2 1
-3 -2 -1 O 1 x -1
对称轴位置
开口方向
y 3
2 1
课堂小结
－
b 2a
的正负
a的正负
b的正负
y 3 2 1

人教新版九年级数学上册22-1-4-2 用待定系数法求二次函数的解析式同步练习【含答案】

22.1.4　二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质*第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式一、选择题1.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则其函数解析式是( )A.y=x 2-4x+5B.y=-x 2-4x+5C.y=x 2+4x+5D.y=-x 2+4x+52.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ,当x ＝1时,y ＝2;当x ＝－1时,y ＝4,则a ,b 的值是( )A.a ＝3,b ＝－1B.a ＝3,b ＝1C.a ＝－3,b ＝1D.a ＝－3,b ＝－13.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝3x 2完全相同,顶点坐标是(－2,4),则该抛物线的解析式为( )A.y ＝－3(x ＋2)2＋4B.y ＝3(x ＋2)2＋4C.y ＝－(2x ＋1)2＋4D.y ＝－3(2x －1)2＋44.已知抛物线的对称轴为直线x ＝3,y 的最大值为－5,且与y ＝x 2的图象开口大小相同,则这条抛12物线的解析式为( )A.y ＝－(x ＋3)2＋512B.y ＝－(x －3)2－512C.y ＝(x ＋3)2＋512D.y ＝(x －3)2－5125.已知某抛物线的顶点坐标为M (－2,1),且经过原点,则该抛物线的函数解析式为( )A.y ＝(x －2)2＋1B.y ＝(x ＋2)2＋114C.y ＝(x ＋2)2＋1D.y ＝－(x ＋2)2＋1146.某抛物线与x 轴交点的横坐标为－2和1,且过点(2,8),则它对应的二次函数的解析式为( )A.y ＝2x 2－2x －4B.y ＝－2x 2＋2x －4C.y ＝2x 2＋2x －4D.y ＝x 2＋x －27.如图是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的解析式是( )A.y ＝－x 2＋x ＋2B.y ＝－x 2－x ＋21212C.y ＝－x 2－x ＋11212D.y ＝x 2－x －28.二次函数的部分图象如图所示,对称轴是x ＝－1,则这个二次函数的解析式为( )A.y ＝－x 2＋2x ＋3B.y ＝x 2＋2x ＋3C.y ＝－x 2－2x －3D.y ＝－x 2－2x ＋39.当k 取任意实数时,抛物线y ＝3(x －k －1)2＋k 2＋2的顶点所在的函数图象的解析式是( )A.y ＝x 2＋2B.y ＝x 2－2x ＋1C.y ＝x 2－2x ＋3D.y ＝x 2＋2x －3二、填空题10.已知A (0,3),B (2,3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点,则该抛物线的解析式是　　. 11.已知某二次函数的图象过(0,1),(1,0),(－2,0)三点,则这个二次函数的解析式是 .12.已知抛物线与x 轴交点的横坐标分别为3,1,与y 轴交点的纵坐标为6,则该二次函数的解析式为 .13.已知抛物线y=4x 2+mx-48,当x>-2时,y 随x 的增大而增大;当x<-2时,y 随x 的增大而减小.则当x=3时,y= .14.二次函数y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 为常数,且a ≠0)中的x 与y 的部分对应值如下表:x-1013y -1353下列结论:①ac<0;②当x>1时,y 随x 的增大而减小;③当x=2时,y=5;④3是方程ax 2+(b-1)x+c=0的一个根.其中正确的结论有 .(填写序号)15.如果将二次函数y ＝－6(x －1)2的图象沿x 轴对折,得到的函数图象的解析式是 ;如果沿y 轴对折,得到的函数图象的解析式是 .16.如图,抛物线的顶点M 在y 轴上,抛物线与直线y ＝x ＋1相交于A ,B 两点,且点A 在x 轴上,点B 的横坐标为2,则该抛物线的函数解析式为　　.三、解答题17.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A (0,4),B (1,0),C (5,0),求该抛物线的解析式和顶点E 的坐标.18.若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中,函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表: x…－2－1012…y …0－2－204…求该二次函数的解析式.19.已知抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与抛物线y ＝4x 2－2x ＋5的形状相同,且抛物线y ＝a (x －h )2＋k 经过点(0,0),其最大值为16,求此抛物线的解析式.20.已知二次函数图象的对称轴是直线x ＝－3,图象经过点(1,6),且与y 轴的交点坐标为.(0,52)(1)求这个二次函数的解析式.(2)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?21.如图,抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1,0),B(－3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式.(2)设(1)中的抛物线交y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△MAC的周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.22.(陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.(1)求该抛物线的解析式．(2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P、点E的坐标．23.(江西)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…－2－1012…y…m0－3n－3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向________，对称轴为____________．(2)求抛物线的解析式及m，n的值．(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：______________．24.(永州)在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图①所示．(1)求抛物线所表示的二次函数解析式．(2)过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图②所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称？若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数解析式；若不存在，请说明理由．25.(攀枝花)如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物线上的一点．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．26.(衡阳)在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2＋px＋q的图象过点(－1，0)，(2，0)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求当－2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；(3)一次函数y＝(2－m)x＋2－m的图象与二次函数y＝x2＋px＋q的图象交点的横坐标分别是a 和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．27.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知矩形ABCD的顶点坐标A(-1,0),B(3,0),C(3,-2),抛物线经过A,B两点,且顶点在线段CD上.(1)求这条抛物线的解析式;(2)若点E(3,1),将△DCE向上平移直至CD边与AB边重合,在此过程中,线段CD与抛物线的交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),线段DE与AB交于点M(x3,y3),求x1+x2+x3的取值范围.答案一、选择题1.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则其函数解析式是(　B )A.y=x 2-4x+5B.y=-x 2-4x+5C.y=x 2+4x+5D.y=-x 2+4x+52.如果二次函数y ＝ax 2＋bx ,当x ＝1时,y ＝2;当x ＝－1时,y ＝4,则a ,b 的值是(A)A.a ＝3,b ＝－1B.a ＝3,b ＝1C.a ＝－3,b ＝1D.a ＝－3,b ＝－13.某抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝3x 2完全相同,顶点坐标是(－2,4),则该抛物线的解析式为(B)A.y ＝－3(x ＋2)2＋4B.y ＝3(x ＋2)2＋4C.y ＝－(2x ＋1)2＋4D.y ＝－3(2x －1)2＋44.已知抛物线的对称轴为直线x ＝3,y 的最大值为－5,且与y ＝x 2的图象开口大小相同,则这条抛12物线的解析式为(B)A.y ＝－(x ＋3)2＋512B.y ＝－(x －3)2－512C.y ＝(x ＋3)2＋512D.y ＝(x －3)2－5125.已知某抛物线的顶点坐标为M (－2,1),且经过原点,则该抛物线的函数解析式为(D)A.y ＝(x －2)2＋1B.y ＝(x ＋2)2＋114C.y ＝(x ＋2)2＋1D.y ＝－(x ＋2)2＋1146.某抛物线与x 轴交点的横坐标为－2和1,且过点(2,8),则它对应的二次函数的解析式为(C)A.y ＝2x 2－2x －4B.y ＝－2x 2＋2x －4C.y ＝2x 2＋2x －4D.y ＝x 2＋x －27.如图是某个二次函数的图象,根据图象可知,该二次函数的解析式是(A)A.y ＝－x 2＋x ＋2B.y ＝－x 2－x ＋21212C.y ＝－x 2－x ＋11212D.y ＝x 2－x －28.二次函数的部分图象如图所示,对称轴是x ＝－1,则这个二次函数的解析式为(D)A.y ＝－x 2＋2x ＋3B.y ＝x 2＋2x ＋3C.y ＝－x 2－2x －3D.y ＝－x 2－2x ＋39.当k 取任意实数时,抛物线y ＝3(x －k －1)2＋k 2＋2的顶点所在的函数图象的解析式是(C)A.y ＝x 2＋2B.y ＝x 2－2x ＋1C.y ＝x 2－2x ＋3D.y ＝x 2＋2x －3二、填空题10.已知A (0,3),B (2,3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点,则该抛物线的解析式是　y ＝－x 2＋2x ＋3　.11.已知某二次函数的图象过(0,1),(1,0),(－2,0)三点,则这个二次函数的解析式是　y ＝－x ＋1　. 12x 2－1212.已知抛物线与x 轴交点的横坐标分别为3,1,与y 轴交点的纵坐标为6,则该二次函数的解析式为　y=2x 2-8x+6　.13.已知抛物线y=4x 2+mx-48,当x>-2时,y 随x 的增大而增大;当x<-2时,y 随x 的增大而减小.则当x=3时,y=　36　.14.二次函数y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 为常数,且a ≠0)中的x 与y 的部分对应值如下表:x-1013y -1353下列结论:①ac<0;②当x>1时,y 随x 的增大而减小;③当x=2时,y=5;④3是方程ax 2+(b-1)x+c=0的一个根.其中正确的结论有　①③④　.(填写序号)15.如果将二次函数y ＝－6(x －1)2的图象沿x 轴对折,得到的函数图象的解析式是　y ＝6(x －1)2　;如果沿y 轴对折,得到的函数图象的解析式是　y ＝－6(x ＋1)2　.16.如图,抛物线的顶点M 在y 轴上,抛物线与直线y ＝x ＋1相交于A ,B 两点,且点A 在x 轴上,点B 的横坐标为2,则该抛物线的函数解析式为　y ＝x 2－1　.三、解答题17.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A (0,4),B (1,0),C (5,0),求该抛物线的解析式和顶点E 的坐标.解:由题意,设y ＝a (x －1)(x －5).将点A (0,4)代入,得a ＝,45∴y ＝,45(x －1)(x －5)＝45(x －3)2－165故顶点E 的坐标为.(3,−165)18.若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中,函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表: x…－2－1012…y …0－2－204…求该二次函数的解析式.解:根据表中可知,点(－1,－2)和点(0,－2)关于对称轴对称,∴对称轴是直线x ＝－.12设二次函数的解析式为y ＝a ＋k.(x ＋12)2把点(－2,0)和点(0,－2)代入,得{a (−2＋12)2＋k ＝0,a (0＋12)2＋k ＝−2,解得a ＝1,k ＝－,94∴该二次函数的解析式为y ＝＝x 2＋x －2.(x ＋12)2－9419.已知抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与抛物线y ＝4x 2－2x ＋5的形状相同,且抛物线y ＝a (x －h )2＋k 经过点(0,0),其最大值为16,求此抛物线的解析式.解:把点(0,0)代入y ＝a (x －h )2＋k ,得ah 2＋k ＝0.∵抛物线y ＝a (x －h )2＋k 的最大值为16,∴函数图象的开口向下,即a <0,其顶点的纵坐标k ＝16.∵抛物线y ＝a (x －h )2＋k 的形状与抛物线y ＝4x 2－2x ＋5相同,∴a ＝－4,把a ＝－4,k ＝16代入ah 2＋k ＝0中,得h ＝±2,∴此抛物线的解析式为y ＝－4(x －2)2＋16或y ＝－4(x ＋2)2＋16.20.已知二次函数图象的对称轴是直线x ＝－3,图象经过点(1,6),且与y 轴的交点坐标为.(0,52)(1)求这个二次函数的解析式.(2)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?解:(1)这个二次函数的解析式为y ＝.12x 2＋3x ＋52(2)∵y ＝,12x 2＋3x ＋52∴a ＝>0,开口向上,对称轴是直线x ＝－3,12∴当x >－3时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大.21.如图,抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1,0),B (－3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式.(2)设(1)中的抛物线交y 轴于点C ,在该抛物线的对称轴上是否存在点M ,使得△MAC 的周长最小?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)该抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.(2)存在.连接BC 交对称轴于点M ,则此时△MAC 的周长最小.在y ＝－x 2－2x ＋3中,令x ＝0,得y ＝3,∴点C 的坐标为(0,3).设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ,∴∴直线BC 的解析式为y ＝x ＋3.{−3k ＋b ＝0,b ＝3,解得{k ＝1,b ＝3,∵抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的对称轴为直线x ＝－1,∴当x ＝－1时,y ＝2,∴点M 的坐标为(－1,2).22.(陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.(1)求该抛物线的解析式．解：将点(3，12)和(－2，－3)的坐标代入抛物线的解析式，得解得故抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.(2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P、点E的坐标．解：抛物线的对称轴为直线x＝－1.令y＝0，则x＝－3或x＝1；令x＝0，则y＝－3，故点A，B的坐标分别为(－3，0)，(1，0)，点C的坐标为(0，－3)．∴OA＝OC＝3.∵∠PDE＝∠AOC＝90°，∴当PD＝DE＝3时，以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等．设点P(m，n)，当点P在抛物线的对称轴右侧时，m－(－1)＝3，解得m＝2，故n＝22＋2×2－3＝5，故点P(2，5)，故点E(－1，2)或(－1，8)；当点P在抛物线的对称轴左侧时，由抛物线的对称性可得点P (－4，5)，此时点E坐标同上．综上，点P的坐标为(2，5)或(－4，5)，点E的坐标为(－1，2)或(－1，8)．23.(江西)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x…－2－1012…y…m0－3n－3…(1)根据以上信息，可知抛物线开口向__上______，对称轴为_直线x＝1___________．(2)求抛物线的解析式及m，n的值．解：把x＝－1，y＝0；x＝0，y＝－3；x＝2，y＝－3分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.当x＝－2时，m＝4＋4－3＝5；当x＝1时，n＝1－2－3＝－4.(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？解：如图所示．该曲线是一条抛物线．(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：_A3A4－A1A2＝1_______．24.(永州)在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图①所示．(1)求抛物线所表示的二次函数解析式．解：在等腰直角三角形ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2.∴A (－2，0)，B (2，0)，C (0，－2)．∴设二次函数解析式为y ＝ax 2－2，将点B (2，0)的坐标代入，得4a －2＝0，则a ＝.12∴抛物线所表示的二次函数解析式为y ＝x 2－2.12(2)过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图②所示．①求△CMN 面积的最小值．解：设直线l 的解析式为y ＝kx ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由可得x 2－kx －2＝0，12∴x 1＋x 2＝2k ，x 1·x 2＝－4.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4k 2＋16.∴|x 1－x 2|＝2.k 2＋4∴S △CMN ＝OC ·|x 1－x 2|＝2.12k 2＋4∴当k ＝0时，2取最小值4.k 2＋4∴△CMN 面积的最小值为4.②已知Q是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称？若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数解析式；若不存在，请说明理由．解：抛物线上存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称．设点P 的坐标为，连接OP ，OQ ，PQ ，∴OP ＝OQ ，即＝，解得m 1＝，m 2＝－，33m 3＝1(不合题意，舍去)，m 4＝－1(不合题意，舍去)．当m ＝时，点P，3则线段PQ 的中点为，∴k ＝－1，1＋32解得k ＝1－.3∴直线l 的解析式为y ＝(1－)x .3当m ＝－时，点P，3则线段PQ 的中点为，∴k ＝－1，1－32解得k ＝1＋，3∴直线l 的解析式为y ＝(1＋)x .3综上，直线l 的解析式为y ＝(1－)x 或y ＝(1＋)x .3325.(攀枝花)如图，开口向下的抛物线与x 轴交于点A (－1，0)，B (2，0)，与y 轴交于点C (0，4)，点P 是第一象限内抛物线上的一点．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；解：由题意可设抛物线所对应的函数解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)，将C (0，4)的坐标代入，得4＝－2a ，解得a ＝－2.∴该抛物线所对应的函数解析式为y ＝－2(x ＋1)(x －2)＝－2x 2＋2x ＋4.(2)设四边形CABP 的面积为S ，求S 的最大值．解：如图，连接OP ，设点P 的坐标为(m ，－2m 2＋2m ＋4)， m ＞0.∵A (－1，0)，B (2，0)，C (0，4)，∴OA ＝1，OC ＝4，OB ＝2.∴S ＝S △OAC ＋S △OCP ＋S △OPB ＝×1×4＋×4m ＋×2×(－2m 2＋2m ＋4)＝－2m 2＋4m ＋6＝－2(m －1)1212122＋8.当m ＝1时，S 最大，最大值为8.26.(衡阳)在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象过点(－1，0)，(2，0)．(1)求这个二次函数的解析式；解：由题意得二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)(x －2)＝x 2－x －2.(2)求当－2≤x ≤1时，y 的最大值与最小值的差；解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝＝，－1＋2212∴在－2≤x ≤1范围内，当x ＝－2时，函数有最大值，y 最大值＝4＋2－2＝4；当x ＝时，函数有最小值，y 最小值＝－－2＝－(如图)．12141294∴y 的最大值与最小值的差为4－＝.254(3)一次函数y ＝(2－m )x ＋2－m 的图象与二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且a ＜3＜b ，求m 的取值范围．解：令x 2－x －2＝(2－m )x ＋2－m ，整理得x 2＋(m －3)x ＋m －4＝0.解得x 1＝－1，x 2＝4－m .∵a ＜3＜b ，∴a ＝－1，b ＝4－m .由4－m ＞3，解得m ＜1.27.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知矩形ABCD 的顶点坐标A (-1,0),B (3,0),C (3,-2),抛物线经过A ,B 两点,且顶点在线段CD 上.(1)求这条抛物线的解析式;(2)若点E (3,1),将△DCE 向上平移直至CD 边与AB 边重合,在此过程中,线段CD 与抛物线的交点为P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),线段DE 与AB 交于点M (x 3,y 3),求x 1+x 2+x 3的取值范围.解:(1)由题意可知抛物线的对称轴为直线x==1,顶点为(1,-2).-1+32设抛物线的解析式为y=a (x-1)2-2,把A (-1,0)代入得4a-2=0,∴a=,12∴这条抛物线的解析式为y=(x-1)2-2.12(2)易知D (-1,-2),E (3,1),可求得直线DE 的解析式为y=x-.3454令y=0,则0=x-,解得x=,∴x 3=;34545353至CD 边与AB 边重合时,线段DE 与AB 交于A (-1,0),∴x 3=-1,∴-1≤x 3≤.53∵对称轴为直线x=1,∴x 1+x 2=2,∴x 1+x 2+x 3的取值范围是-1+2≤x 1+x 2+x 3≤2+,即1≤x 1+x 2+x 3≤.53113。

新人教版九年级数学上册22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质练习

新人教版九年级数学上册22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质练习预习要点：1．一般地，二次函数y=ax 2+bx+c 可以通过化成y=a (x-h )2+k 的形式，即y=a(x+b 2a )2+4ac-b 24a ．因此，抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是，顶点是．2．从二次函数y=ax 2+bx+c 的图象可以看出：（1）如果a ＞0，当x ＜- b2a时，y 随x 的增大而，当x ＞-b2a时，y 随x 的增大而；（2）如果a ＜0，当x ＜- b2a时，y 随x 的增大而，当x ＞-b2a时，y 随x 的增大而．3．求二次函数的解析式y=ax 2+bx+c,需求出的值．由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于的方程组，求出的值，就可以写出二次函数的解析式.4．（2016•益阳）关于抛物线y=x 2−2x+1，下列说法错误的是（） A ．开口向上B ．与x 轴有两个重合的交点C ．对称轴是直线x=1D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小5．（2016•怀化）二次函数y=x 2+2x −3的开口方向、顶点坐标分别是（） A ．开口向上，顶点坐标为（−1，−4） B ．开口向下，顶点坐标为（1，4） C ．开口向上，顶点坐标为（1，4） D ．开口向下，顶点坐标为（−1，−4）6．（2016•广州）对于二次函数y=−14 x 2+x −4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．当x=2时，y有最大值−3C．图象的顶点坐标为（−2，−7）D．图象与x轴有两个交点7．（2016•齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（−1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是−1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．已知二次函数的图象经过（1，0）、（2，0）和（0，2）三点，则该函数的解析式是（）A．y=2x2+x+2 B．y=x2+3x+2 C．y=x2−2x+3 D．y=x2−3x+29．已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y=x2−2x+3 B．y=x2−2x−3 C．y=x2+2x−3 D．y=x2+2x+3 10．（2016•枣庄模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（−3，0），对称轴为x=−1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a−b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是．11．若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点，则c的值为．12．抛物线y=−x2+3x−3与y轴的交点坐标为．13．若函数y=2x2−4x+m有最小值是3，则m= ．14．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）如图，回答：（1）这个二次函数的表达式是；（2）当x= 时，y=3；（3）根据图象回答：当时，y＞0．15．已知抛物线y=ax2+bx+c的形状与抛物线y=x2的形状相同，最高点坐标为（2，−3），则抛物线的解析式是．同步小题12道一．选择题1．二次函数y=−x2−2x+5的顶点坐标、对称轴分别是（）A．（1，6），x=1 B．（−1，6），x=1C．（−1，6），x=−1 D．（1，6），x=−12．一次函数y=ax+b（ab≠0）的图象不经过第二象限，则抛物线y=ax2+bx的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．抛物线y=x2−8x+m的顶点在x轴上，则m等于（）A．−16 B．−4 C．8 D．164．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（）A．a＞0，c＞0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＜0，c＜05．已知函数y=x2+3x+a−2的图象过原点，则a的值为（）A．2 B．−2 C．−3 D．06．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A．y=2（x+1）2+8 B．y=18（x+1）2−8 C．y=29（x−1）2+8 D．y=2（x−1）2−8二．填空题7．抛物线y=2x2−6x−1的对称轴为．8．（2016春•重庆校级月考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a＞b；③a−b+c＞0；④4ac−8a＞b2，其中正确的是（填序号）9．抛物线y=ax2+bx+c开口向上，对称轴是直线x=1，A（−2，y1），B（0，y2），C（2，y3）在该抛物线上，则y1，y2，y3大小的关系是．10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（−1，−1）、B（0，2）、C（1，3）；则二次函数的解析式．三．解答题11．已知抛物线的解析式为y=x2−2x−3，请确定该抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，直接写出开口方向，顶点坐标和对称轴．12．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，以下结论，正确的有哪些？并说明理由．（1）3a+b ＞0；（2）0＜b ＜a+1；（3）b+2a ＞0；（4）−14 ＜a ＜−18 ．答案：预习要点：1．配方 x=- b 2a (- b 2a ，4ac-b 24a )2．（1）减小增大（2）增大减小3．a ，b ，c a ，b ，c a ，b ，c4．【分析】根据抛物线的解析式画出抛物线的图象，根据二次函数的性质结合二次函数的图象，逐项分析四个选项，即可得出结论．【解答】解：画出抛物线y=x 2−2x+1的图象，如图所示．A 、∵a=1，∴抛物线开口向上，A 正确；B 、∵令x 2−2x+1=0，△=（−2）2−4×1×1=0，∴该抛物线与x 轴有两个重合的交点，B 正确；C 、∵−b 2a =−−22×1 =1，∴该抛物线对称轴是直线x=1，C 正确；D 、∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，D 不正确．故选D5．【分析】根据a ＞0确定出二次函数开口向上，再将函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y=x 2+2x −3的二次项系数为a=1＞0，∴函数图象开口向上，∵y=x 2+2x −3=（x+1）2−4，∴顶点坐标为（−1，−4）．故选A ．6．【分析】先用配方法把函数化为顶点式的形式，再根据其解析式即可求解．【解答】解：∵二次函数y=−14 x 2+x −4可化为y=−14 （x −2）2−3，又∵a=−14 ＜0∴当x=2时，二次函数y=−14 x 2+x −4的最大值为−3．故选B7．【分析】利用抛物线与x 轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=−2a ，然后根据x=−1时函数值为负数可得到3a+c ＜0，则可对③进行判断；根据抛物线在x 轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2−4ac ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（−1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=−1，x 2=3，所以②正确；∵x=−b2a =1，即b=−2a ，而x=−1时，y ＜0，即a −b+c ＜0，∴a+2a+c ＜0，所以③错误；∵抛物线与x 轴的两点坐标为（−1，0），（3，0），∴当−1＜x ＜3时，y ＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以⑤正确．故选B8．【分析】本题已知了抛物线上三点的坐标，可直接用待定系数法求解．【解答】解：设这个二次函数的解析式是y=ax 2+bx+c ，把（1，0）、（2，0）和（0，2）代入得：⎩⎪⎨⎪⎧ a +b +c ＝0 4a +2b +c ＝0 c ＝2 ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝−3c ＝2 ；所以该函数的解析式是y=x 2−3x+2．故选D9．【分析】根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可．【解答】解：根据题意，图象与y 轴交于负半轴，故c 为负数，又四个选项中，B 、C 的c 为−3，符合题意，故设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c ，抛物线过（−1，0），（0，−3），（3，0），所以⎩⎪⎨⎪⎧a −b +c ＝0c ＝−3 9a +3b +c ＝0，解得a=1，b=−2，c=−3，这个二次函数的表达式为y=x 2−2x −3．故选B10．【解答】解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为x=−b2a=−1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，又∵二次函数的图象是抛物线，∴与x轴有两个交点，∴b2−4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∵对称轴为x=−b2a=−1，∴2a=b，∴2a+b=4a，a≠0，故②错误；③∵x=−1时y有最大值，由图象可知y≠0，故③错误；④把x=1，x=−3代入解析式得a+b+c=0，9a−3b+c=0，两边相加整理得5a−b=−c＜0，即5a＜b，故④正确．答案：①④11．【解答】解：把（0，0）代入得c=0．答案：0．12．【分析】把x=0代入抛物线y=−x2+3x−3，即得抛物线y=−x2+3x−3与y轴的交点．【解答】解：∵当x=0时，抛物线y=−x2+3x−3与y轴相交，∴把x=0代入y=−x2+3x−3，求得y=−3，∴抛物线y=−x2+3x−3与y轴的交点坐标为（0，−3）．答案：（0，−3）．13．【分析】首先用配方法将一般式化为顶点式，顶点纵坐标即为最小值，列方程求解．【解答】解：∵y=2x2−4x+m=2（x−1）2+m−2，∴m−2=3，解得m=5，答案：5．14．【分析】（1）已知顶点坐标和函数图象经过原点，故设抛物线解析式为y=a（x−1）2−1（a≠0），然后把原点坐标代入来求a的值；（2）把y=3代入（1）中函数关系进行解答相应的x的值；（3）根据图示直接填空．【解答】解：（1）如图，抛物线的顶点坐标是（1，−1）．故设抛物线解析式为y=a（x−1）2−1（a≠0），又∵抛物线经过点（0，0），∴0=a（0−1）2−1，解得，a=1．故抛物线的解析式为：y=（x−1）2−1．故填：y=（x−1）2−1；（2）由（1）知，y=（x−1）2−1，当y=3时，3=（x−1）2−1，解得，x=3或x=−1．故填：3或−1；（3）根据图示知，当x＜0或x ＞2时，y＞0．故填：x＜0或x＞2．15．【分析】根据y=ax2+bx+c的形状与y=x2形状相同，且有最高点，可确定函数图象开口向下，且a=−1，由顶点坐标写出其顶点式，再整理成一般式即可．【解答】解：∵y=ax2+bx+c的形状与y=x2形状相同，且有最高点（2，−3），∴抛物线的解析式是y=−（x−2）2−3=−x2+4x−7，答案：y=−x2+4x−7．同步小题12道1．【分析】将二次函数的一般式配方为顶点式，可求顶点坐标及对称轴．【解答】解：∵y=−x2−2x+5=−（x+1）2+6，∴抛物线的顶点坐标为（−1，6），对称轴为x=−1．故选C2．【解答】解：∵一次函数y=ax+b （ab≠0）的图象不经过第二象限，∴a ＞0，b ＜0，∴抛物线y=ax 2+bx 的顶点（−b 2a ，−b 24a ），−b 2a ＞0，−b 24a＜0，∴抛物线y=ax 2+bx 的顶点（−b 2a ，−b 24a ）在第四象限．故选D3．【分析】顶点在x 轴上，所以顶点的纵坐标是0．根据顶点公式即可求得m 的值．【解答】解：抛物线的顶点纵坐标是：4m −644 ，则得到：4m −644 =0，解得m=16．故选D4．【分析】首先根据开口方向确定a 的符号，再依据与y 轴的交点的纵坐标即可判断c 的正负，由此解决问题．【解答】解：∵图象开口方向向上，∴a ＞0；∵图象与Y 轴交点在y 轴的负半轴上，∴c ＜0；∴a ＞0，c ＜0．故选：C5．【分析】直接把原点坐标代入二次函数解析式得到关于a 的方程，然后解方程即可．【解答】解：把（0，0）代入y=x 2+3x+a −2得a −2=0，解得a=2．故选A ．6．【分析】顶点式：y=a （x −h ）2+k （a ，h ，k 是常数，a≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标．【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，−8）故二次函数的解析式为y=2（x −1）2−8．故选D7．【分析】利用公式：y=ax 2+bx+c 的顶点坐标公式为（−b 2a ，4ac −b 24a），列出方程求解则可．【解答】解：根据题意得：−b 2a =−−62×2 =32 ，4ac −b 24a =4×2×(−1)−(−6)24×2 =−112 ，则顶点坐标是（32 ，−112 ）．答案：（32 ，−112 ）8．【解答】解：∵抛物线的开口朝下，∴a ＜0；∵抛物线与y 轴交点在y 的正半轴，∴c ＞0；∵抛物线的对称轴x=−b 2a 在−1到0之间，即−1＜−b2a ＜0，∴0＞b ＞2a ，即②不成立；∵c ＞0，0＞b ＞a ，∴abc ＞0，即①成立；∵当x=−1时，抛物线上的点在x 轴上方，∴有a −b+c ＞0，即③成立；由图可知，抛物线顶点（−b 2a ，4ac −b 24a ）的纵坐标大于2，∴4ac −b 24a ＞2，∵a ＜0，∴4ac −b 2＜8a ，∴4ac −8a ＜b 2，④不成立．答案：①③．9．【分析】根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，由x 取−2、0、2时，x 取−2时所对应的点离对称轴最远，x 取0与2时所对应的点离对称轴一样近，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 开口向上，对称轴是直线x=1，∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，∵x 取−2时所对应的点离对称轴最远，x 取0与2时所对应的点离对称轴一样近，∴y 1＞y 2=y 3．故答案是：y 1＞y 2=y 3．10．【分析】根据点A ，B ，C 在二次函数y=ax 2+bx+c 的图象上，点的坐标满足方程的关系，将A （−1，−1）、B （0，2）、C （1，3）代入y=ax 2+bx+c 得a=−1，b=2，c=2．从而得出二次函数的解析式为y=−x 2+2x+2．【解答】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，∵点A ，B ，C 在二次函数y=ax 2+bx+c 的图象上，∴将A （−1，−1）、B （0，2）、C （1，3）代入二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a −b +c ＝−1c ＝2 a +b +c ＝3 ，解得，a=−1，b=2，c=2．∴二次函数的解析式为y=−x 2+2x+2．答案：y=−x 2+2x+2． 11．【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，直接写出开口方向，顶点坐标和对称轴．解：∵y=x 2−2x −3，∴y=（x −1）2−4，∵a=1＞0，∴该抛物线的开口方向上，∴对称轴和顶点坐标分别为：x=1，（1，−4）12．【分析】根据图象与坐标轴交点即可确定对称轴的位置以及解析式，进而分别得出答案．解：（1）当图象经过（−1，0），（4，0）时，抛物线对称轴为：直线x=32 ，∵图象经过−1与−2之间，∴−b 2a ＜32 ，∴−b ＞3a ，∴3a+b ＜0，故此选项错误；（2）当x=−1时，a −b+c ＞0，∵图象经过（0，1），∴c=1，∴a −b+1＞0，∴a+1＞b ，∵对称轴在x 轴正半轴，∴a ，b 异号，∵图象开口向下，∴a ＜0，∴b ＞0，∴0＜b ＜a+1，此选项正确；（3）∵图象经过−1与−2之间，以及（4，0）点，∴−b 2a ＞1，∴−b ＜2a ，∴2a+b ＞0，故此选项正确；（4）当图象过点（−1，0），（4，0）时，设解析式为：y=ax 2+bx+1，则⎩⎨⎧ a −b +1＝016a +4b +1＝0，解得：⎩⎨⎧ a ＝−14b ＝34，当图象过点（−2，0），（4，0）时，设解析式为：y=ax 2+bx+1，则⎩⎨⎧ 4a −2b +1＝0 16a +4b +1＝0，解得：⎩⎨⎧ a ＝−18 b ＝14，∴−14 ＜a ＜−18 ，故此选项正确．。