【KS5U首发】河北省衡水中学2012届高三下学期一调考试(数学理)

河北衡水中学2011～2012学年度下学期一调考试高三数学理科试题本试卷分第I 卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分。

一共6页。

共24题。

本试卷共150分，考试时间120分钟.祝各位考生考试顺利！一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.集合{}Z x x x A ∈≤+=,21,{}11,3≤≤-==x x y y B ，则=B A ( ) A ．(]1,∞-B.[]1,1-C.φD.{}1,0,1-2.若z 是复数，且()13=+i z (i 为虚数单位)，则z 的值为 ( )A ．i +-3 B.i --3 C.i +3 D.i -33．已知甲、乙两名篮球运动员某十场比赛得分的茎叶图如图所示， 则甲、乙两人在这十场比赛中得分的平均数与方差的大小关系为( ) A ． 乙甲x x < 22S S <乙甲，乙甲 B. 乙甲x x < 22x S S >乙甲，乙甲 C. 乙甲x x >22x x S S >>乙甲，乙甲D. 乙甲x x > 22x x S S><乙甲，乙甲4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．1C ．23 D ．135．设x ，y 满足36020,3x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩若目标函数z=ax+y （a>0）的最大值为14，则a=（ ）A ．1B ．2C ．23D ．5396.等差数列{n a }前n 项和为n s ，满足4020s s =，则下列结论中正确的是（ ） A 、30s 是n s 中的最大值 B 、30s 是n s 中的最小值 C 、30s =0 D 、60s =0乙 甲 8 6 4 3 1 58 6 3 2 4 58 3 4 9 45 01 3 1 6 79 第1页（共6页）7．阅读右面程序框图，任意输入一次(01)x x ≤≤与(01)y y ≤≤，则能输出数对(,)x y 的概率为（ ）A ．13B ．23 C ．14D ．348.若函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）在一个周期内的图象如图所示，,M N 分别是这段图象的最高点和最低点，且⋅=0，（O 为坐标原点）则A ω⋅=（ ） A 、6πBCD9.已知双曲线221916x y -=，其右焦点为F ，P 其上一点，点M=1，0=⋅，则的最小值为（ ）A 3C 210.设D 是正123P P P ∆及其内部的点构成的集合，点0P 是123PP P ∆的中心，若集合0{|,||||,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈≤=，则集合S 表示的平面区域是 ( ) A ． 三角形区域B ．四边形区域C ． 五边形区域D ．六边形区域11．如图，已知平面α⊥平面β，A 、B 是平面α与平面β的 交线上的两个定点，,DA CB ββ⊂⊂，且DA α⊥，CB α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，在平面α上有一个动点P ， 使得APD BPC ∠=∠，则PAB ∆的面积的最大值是（ ）A239 B 536 C 12 D 2412．a 的取值范围是（ ）A ． [0,1]a ∈ B ． ]0,1[-∈a C. [1,1]a ∈- D. ),[],(22+∞⋃--∞∈e e aβαA CBP D第Ⅱ卷（ 90分）角为，则塔高为14.已知函数()f x满足：(1)4f=，4()()()(),(,)f x f y f x y f x y x y R=++-∈，则(2010)f=____________．15.在平面直角坐标系中，定义点),(),,(2211yxQyxP之间的“直角距离”为||||),(2121yyxxQPd-+-=。

若),(yxC到点)9,6(),3,1(BA的“直角距离”相等，其中实数yx,满足93,100≤≤≤≤yx，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为__________16半径为1的鸡蛋（视为球体）放入其中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为三、解答题（共6个小题，共70分）17. （本小题满分12分）对于给定数列{}n a，如果存在实常数,p q，使得1n na pa q+=+对于任意*n N∈都成立，我们称数列{}n a是“M类数列”．（Ⅰ）已知数列{}n b是“M类数列”且2nb n=，求它对应的实常数,p q的值；（Ⅱ）若数列{}n c满足11c=，()*12nn nc c n N+-=∈，求数列{}n c的通项公式．并判断{}n c 是否为“M类数列”，说明理由．18. （本小题满分12分）符合下列三个条件之一，某名牌大学就可录取：①获国家高中数学联赛一等奖（保送录取，联赛一等奖从省高中数学竞赛优胜者中考试选拔）；②自主招生考试通过并且高考分数达到一本分数线（只有省高中数学竞赛优胜者才具备自主招生考试资格）；③高考分数达到该大学录取分数线（该大学录取分数线高于一本分数线）．某高中一名高二数学尖子生准备报考该大学，他计划：若获国家高中数学联赛一等奖，则保送录取；若未被保送录取，则再按条件②、条件③的顺序依次参加考试．已知这名同学获省高中数学竞赛优胜奖的概率是0.9，通过联赛一等奖选拔考试的概率是0.5，第3页（共6页）通过自主招生考试的概率是0.8，高考分数达到一本分数线的概率是0.6，高考分数达到该大学录取分数线的概率是0.3．（I ）求这名同学参加考试次数ξ的分布列及数学期望； （II ）求这名同学被该大学录取的概率．19. （本小题满分12分） 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P A B C D-中90A D B C A B C ∠=，∥°，P D ⊥平面A B C D ，A D =1，AB ，4BC =． ⑴求证：BD ⊥P C ；⑵求直线AB 与平面PDC 所成的角； ⑶设点E 在棱P C 上，PC PE λ=， 若DE ∥平面PAB ，求λ的值.20.设椭圆E: 22x a（I ）求椭圆E （II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。

21. 设函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++. APECDB（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0,)+∞？若存在，求a 的取值范围；若不存在，试说明理由.请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC =ED =1，PA =2． （I ）求AC 的长； （II ）求证：BE ＝EF ．（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在极坐标系中, O 为极点, 半径为2的圆C 的圆心的极坐标为(2,)3π.⑴求圆C 的极坐标方程；⑵P 是圆C 上一动点，点Q 满足3O P O Q=，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，求点Q 的轨迹的直角坐标方程.第5页（共6页）（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知1|2|1<-x ，1|2|2<-x ．（I ）求证：6221<+<x x ，2||21<-x x ；（II ）若1)(2+-=x x x f ，求证：||5|)()(|||212121x x x f x f x x -<-<-．第6页（共6页）1—5:DBDCB,6—10:DACBD,11—12：CC 13:50米 14：12 151618.解：（I ）4,2=ξ， …………（2分）55.05.09.0)9.01()2(=⨯+-==ξP45.0)5.01(9.0)4(=-⨯==ξP …………（4分） （或45.055.01)4(=-==ξP ）6分） （II ）设该同学参加2、4次考试被录取的概率分别是1P 、2P ，则48.05.09.03.01.01=⨯+⨯=P …………（8分） 243.03.0)8.01()5.01(9.06.08.0)5.01(9.02=⨯-⨯-⨯+⨯⨯-⨯=P ………（10分） 该同学被该校录取的概率=+21P P 0.723 …………（12分）19. 解：【方法一】（1）证明：由题意知D C = 则222B C D B D C B D D C+∴⊥=，， P D A B C D B D P D P D C D D ⊥∴⊥= 面而，，，..B D P D C P C P D C B D P C ∴⊥∴⊥ 面在面内， （4分） （2）∵DE ∥AB ，又P D ⊥平面A B C D . ∴平面PDC ⊥平面A B C D . 过D 作DF //AB 交B C 于F过点F 作F G ⊥C D 交C D 于G ,则∠FDG 为直线AB 与平面PDC 所成的角.在Rt △DFC 中，∠90D F C =︒，3D F C F =，∴t a n F D ∠，∴∠60F D G =︒.即直线AB 与平面PDC 所成角为60︒. （8分）（3）连结EF ，∵DF ∥AB ，∴DF ∥平面PAB .又∵DE ∥平面PAB ，∴平面D E F ∥平面PAB ，∴EF ∥AB . 又∵1,4,1,A DB CB F === 174分PEB CDA GPEBCDA∴1,4P E B F P C B C ==∴14PE PC = ，即1.4λ= （12分） 【方法二】如图，在平面ABCD 内过D 作直线DF //AB ，交BC 于F ，分别以DA 、DF 、DP 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.（1）设P D a =，则(0),)B D P a =， ∵330B D P C ⋅=-= ，∴B D P C⊥. （4分） （2）由（1）知B D P D C D B P D C ⊥ 面就是平面， 由条件知A （1，0，0），B （1，0），0),0)A D . 设A B P D C 与面所成角大小为， 则||si n ||||D B A B D B A B θ⋅=⋅ 09060,θθ︒<<︒∴=︒ ， 即直线A B P D C 与平面所成角为60︒. （8分） （3）由（2）知C （－30），记P （0，0，a ），则A B =），(0,0,)D P a = ，P A a = （1，0，-），P C a =-- ）， 而P E P Cλ= ，所以P E a =- （，）， D E D P P E D P P C λ=+=+ (0,0,)()a a =+-，=3,.aa λ--）设n x y z = （，，）为平面PAB 的法向量，则00A B n P A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x az =-=⎪⎩，即0y x a z =⎧⎨=⎩. 1z x a==取，得， 进而得,,n a =（01），由//D E P A B 平面,得0D En ⋅=，∴30a a a λλ+=--，10.4a λ≠∴=而， （12分）20. 解:（1）因为椭圆E: 22221x y a b +=（a,b>0）过M （2 ，6两点,所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,OA OB ⊥ ,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,B则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥ ,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k--+=++,所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,即m ≥或m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =,222228381318m m r m k ===-++,r =所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足3m ≥或3m ≤-,而当切线的斜率不存在时切线为x =与椭圆22184x y +=的两个交点为或(满足OA OB ⊥ ,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥. 因为12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩, 所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++,||AB ===== ①当0k ≠时||AB =，因为221448k k ++≥所以221101844k k<≤++, 所以2232321[1]1213344k k<+≤++,所以||AB ≤当且仅当k =时取”=”.② 当0k =时,||3AB =. ③ 当AB 的斜率不存在时, 两个交点为(,)33±或(33-±,所以此时||AB =综上, |AB |||AB ≤: ||AB ∈ 21. 221ln 11ln '()(1)(1)1(1)x xf x x x x x x x =--+=-++++. ……2分故当(0,1)x ∈时，'()0f x >， (1,)x ∈+∞时，'()0f x <.所以，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减. 由此知()f x 在(0,)+∞的极大值为(1)l n f =，没有极小值. ……4分 （Ⅱ）（ⅰ）当0a ≤时， 由于(1)ln(1)ln ln(1)(ln(1)ln )()011x x x x x x x x f x x x++-+++-==>++，故关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0,).+∞ ……8分（ⅱ）当0a >时，由ln 1()ln(1)1x f x x x =+++ 知(2)n f =ln 21ln(1)122n n n+++，其中n 为正整数，且有22211ln(1)1log (1)222a a n n a e n e +<⇔<-⇔>--. ……10分又2n ≥时，ln 2ln 2ln 22ln 2(1)121(11)12n n n n n n n n =<=-+++-. 且2ln 24ln 2112a n a<⇔+-. 取整数0n 满足202log (1)an e >--，04ln 21n a >+，且02n ≥， 则0000ln 21(2)ln(1)12222n n n n a a f a =++<+=+， 即当0a >时，关于x 的不等式()f x a ≥的解集不是(0,)+∞.综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a ，使得关于x 的不等式()f x a ≥的解集为(0,)+∞，且a 的取值范围为(,0]-∞. ……12分22.解：（I ）1,2,2==⋅=PC PA PD PC PA ，4=∴PD ， …………（2分）又2,1=∴==CE ED PC ，,,CAB PCA CBA PAC ∠=∠∠=∠CBA PAC ∆∆∴∽，ABAC AC PC =∴， 22=⋅=∴AB PC AC ，2=∴AC …………（5分） （II ） 2==AC BE ，2=CE ，而EF BE ED CE ⋅=⋅， …………（8分）2212=⋅=∴EF ，BE EF =∴． …………（10分） （23）（本小题满分10分）解：（1）设M ),(θρ是圆C 上任一点，过C 作C H O M⊥于H 点，则在R t △CO H 中，c o s O H O C C O H =⋅∠，而3C O H C O M πθ∠=∠=-，1122O H O M ρ==，2O C =，所以12c o s 23πρθ=-，即4c o s ()3πρθ=- 为所求的圆C 的极坐标方程. ( 5分) （2）设(,)Q ρθ点的极坐标为，由于3O P O Q= ， 所以1(,)3P ρθ点的极坐标为代入⑴中方程得14c o s ()33πρθ=-，即6c o s 3s i nρθ=， ∴26c o s s i n ρ=，226x y x +=,∴点Q 的轨迹的直角坐标方程为2260x y x =. (10分)（24）（本小题满分10分）证明：（I ）∵1|2|1<-x ，∴1211<-<-x ，即311<<x ， …………（2分）同理312<<x ，∴6221<+<x x ，∵|2||2||)2()2(|||212121-+-≤---=-x x x x x x ，∴2||21<-x x ； …………（5分）（II ）|1||||||)()(|212121222121-+-=+--=-x x x x x x x x x f x f ，…………（8分）∵6221<+<x x ，∴51121<-+<x x ，∴||5|)()(|||212121x x x f x f x x -<-<- …………（10分）。