系统分析2

点不在单位圆上;因此,只要 a 1,
就可以保证系统稳定.
b 1 ，
(2)系统因果稳定要求系统函数的极点都在单位圆
内;因此,要求 0 a 1,
果稳定.
0 b 1 以保证系统因
FFT 例：(1)画出N=4的时域选取乱序输入顺序输出FFT流图；并计 算复数乘法和复数加法次数。 (2)若输入 x(n) 1, 1, 用DFT计算X(k)。
1 (3) H ( z ) (1 0.5 z 1 )(1 2 z 1 )
收敛域
0 z 0.5
系统非因果
0.5 z 2
系统非因果
2 z
系统因果
判断稳定系统的三种方法：
1、定义：有界的输入产生有界的输出。
2、线性时不变系统具有稳定性的充要条件为：
n
图中虚线为 xa (t )
cos(2 ft

2
)
如果T=0.005s, 则
x(n) xa (nT ) cos( n ) 5

N
2 k
0

2 k

10 k
5
取k=1, N=10
例2.下面所示理想采样数字处理系统。已知采样频率 s 8 ，数
4 字理想低通滤波器截止频率 c 。 当 xa (t ) cos(2 t )，求 5

x(k )
(2) h( n) ( n m) 1 (3) H ( z ) (1 0.5 z 1 )(1 2 z 1 )
解： (1) y (n)
n n0 k n n0

x( k )
非因果
(2)h(n) (n m)
m0 m0
系统因果 系统非因果
X (e jk ) X (e j ) 2 k k, 5
k
y (n) IDFT [ X (e jk )] k 0,1, 2,3, 4
写出y(n)与x(n)之间的关系式，并画出y(n)的波形。
解： 由题意，将离散信号x(n)的DTFT在[0，2π）等间隔 采样5点，然后对这5点离散信号做5点IDFT，得到 y(n)，由频域采样定理可得：
采样过程满足采样定理，x(n)的频谱不会发生频谱混叠，且
x(n) xa (nt ) cos(2 nT ) cos( n) 2 4 经低通滤波器后，低通滤波器的截止频率 c ，故 5 2 y (n) x(n) cos( n) 2 ya (t ) cos 2 t
输出
ya (t ) 。
x(n) xa (nT )
xa (t )
y ( n)
A/D
数字低通滤波器
D/A
ya (t )
解
s 8
（1）
1 2 1 T f s s 4
xa (t ) cos(2 t ) X a ( j) [ ( 2 ) ( 2 )] max s 2 4 2



n

cos(2fnT ) (t nT )

n
cos(40nT ) (t nT )
(3)
离散信号
x(n) xa (t )
离散信号的周期
t nT
4 cos( n ) 5
设周期为N, 对离散序列cosω0n,其周期满足下式: ω0N=2πk 故
2 km N
e
j
1 xN ( n) N
1 N

m0

a e
k 0


N 1 j 2 k ( m n ) m N
e
k 0
N 1 j 2 k ( m n ) N
N , m n lN l为任意整数 0, m n lN
l
2 k 5 N k 4 0 2 5 取 k=2, N=5
2 k
x(n)的波形如下图所示。
x(n)
n
2 0 1 3
4 5 6
7
4 x(n) cos( n ) 5 2
计算得 x(0)=0 x(4)=-0.59 x(1)=0.59 x(2)=-0.95 x(3)=0.95
1
x(n)
0 1 2
n
x ( n)
…
-7
1
…
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n
(2)
y(n) x(n)* h(n) {1, 2,3, 2,1}
不进位乘法计算短序列的卷积和： 1 10 10 10 10 10 10 10 1 1 10 10 10 10 10
n 0,1, 2,3, 4
10 20 30 20 10
x(n)与h(n)的线性卷积和 y(n)={10,20,30,20,10} 注意：y(n)的,4
y(n)的长度及y(0)确定。
若
x ( n) 0 h( n) 0
M n M N n N
M N n M N

频域采样
例1 教材 P107 习题13

解: 序列x(n)的z变换为： X ( z ) a n z n
在单位圆上 [0, 2 ] 区间等间隔采样N点，得X(k): 2 j kn n kn n N 0 k N 1 X (k ) X ( z ) z W a WN a e
q

式中 L≥ max[N,M], N,M分别为x(n),h(n)的长度。
例1 .设序列x(n)=R3(n) ，(n) x
（1） 试作图表示x(n)， x ( n) ；
r
x(n 7r )

（2）已知另一序列h(n) =10R3(n), 试求x(n)与h(n)的线性卷积 y(n) 及8点和4点圆周卷积v8(n)和v4(n)。 （3）简述通过DFT来计算y(n)的思路。 解： （1）

h(n )
3、系统函数的收敛域包含单位圆 z 1
例：判断下列系统的稳定性
(1) y (n)
n n0 k n n0

x(k )
(2) h( n) R8 ( n) 1 (3) H ( z ) (1 0.5 z 1 )(1 2 z 1 )
解： (1) y (n) 若
例2.教材 P107 习题14 线性卷积： x(n) y(n)的长度L 8 20 -1 27 循环卷积： f (n) x(n) y(n)的长度为 20 两者的关系：
x(n) y(n)等于x(n) y(n)以20为周期周期延拓而成。
循环卷积 f(n)的前7点与前一周期的后7点重叠， 故循环卷积 f(n)的第8～20点（n=7～19）等于线性卷 积 x ( n) y ( n ) 。
收敛域
0 z 0.5
系统不稳定
0.5 z 2
系统稳定
2 z
系统不稳定
2.时域离散线性非时变系统的系统函数为 1 H ( z) , a, b为常数 ( z - a)( z - b) (1)要求系统稳定,确定a和b的取值. (2)要求系统因果稳定,确定a和b的取值. (1)系统稳定要求收敛域包括单位圆,即系统函数的极
k N
n 0
n0
n0
作IDFT，恢复时域信号。
xN (n) IDFT [ X (k )]
0 k N 1
j 2 kn N
2 kn N
0 n N 1
1 x N ( n) N
1 N
X (k )e
k 0
j
N 1
a me
k 0 m 0
N 1
判断因果系统的三种方法：
1、定义：系统n时刻的输出只取决于n时刻及n时 刻以前的输入。 2、线性时不变系统具有因果性的充要条件为： 当n<0时，h(n)=0 3、系统函数的极点分布在某个圆的圆内，收敛域在 某个圆外(包括∞)。
例：判断下列系统的因果性
(1) y (n)
n n0 k n n0
n 2, 1, 0,1, 2
则 例如
y(n) x(n)* h(n) 0
x(n) {1, 2, 1, 4, 2} h(n) {1,1, 2}
n 0,1, 2
y(n) x(n)* h(n) {1,3, 1, 1,8, 6, 4}
2 n 4
如果 x(n)与h(n)的循环卷积长度L满足下式，
线性系统与时不变系统 1、若一线性移不变系统，当输入为x(n)=δ(n)时输出为 y(n)=R3(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时输出为( )。
A.R3(n) C.R3(n)+R3(n-1)
B.R2(n) D.R2(n)+R2(n-1)
2、一LTI系统，输入为 x(n)时，输出为y(n) ；则输入为2x(n)时， 输出为 ；输入为x(n-3)时，输出为 。 A. 2y(n)，y(n-3) C. y(n)，y(n-3) B. 2y(n)，y(n+3) D. y(n)，y(n+3)
y (n) [ x(n k 5)]R5 (n)
k

[ x(n) x(n 5)]R5 (n)
{1, 1,1,2,1}
n 0,1,2,3,4
x(n)
x(n+5)
5 6 7 0
1 2 3 4
n
-5 –4 –3 –2 –1
0 1 2
n
y(n) n
4
1
0
难点2：
(m n lN )

m 0
a m N (m n lN )
l