第3课时三角函数的图象

合集下载

《3.3三角函数的图象与性质》学案

23 / 24
课程小结 1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出 x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内．注意区分下列两种形式的函数单调性的不同： π (1)y＝sinωx－4； π (2)y＝sin4－ωx. 2．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个 x 值都满足 f(x＋T)＝f(x)，其中 T 是不为零的常数．如果只有个别的 x 值满足 f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个 x 值不满足 f(x＋T)＝f(x)，都不能说 T 是函数 f(x)的周期．
24 / 24
x π A．y＝sin2＋6 π C．y＝sin2x＋6
18 / 24
【巩固】 4．函数 y＝ 1 的定义域为________． tan x－ 3
19 / 24
π π 5．已知函数 f(x)＝cosωx＋6(ω＞0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为2，则函数在[0,2π]上的零点个数为________．
k∈Z}
R
4 / 24
考点 2
正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性及最值函数 y＝sin x 递增区间： π π 2kπ－2，2kπ＋2(k∈Z) 单调性递减区间： π 3 2kπ＋2，2kπ＋2π(k∈ Z) π x＝2kπ＋2(k∈Z)时，ymax 最值 π ＝1 x＝2kπ－2(k∈Z)时， ymin＝－1 y＝cos x y＝tan x
π π π π 【解析】(1)由 y＝sin x 的对称轴为 x＝kπ＋2(k∈Z)，即 3×12＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，得 φ＝kπ＋4(k∈Z)． π π 又|φ|＜2，所以 k＝0，故 φ＝4. π (2)由题意，得 y＝cos(3x＋φ)是奇函数，故 φ＝kπ＋2，(k∈Z)．

3-3第三章三角函数、解三角形

解析
1 3 1 3 2 (1)f(x)＝1－2sin x＋2sinx＝－2 sinx－2 所以当 sin x ＝时， f ( x ) f(x)min ＋， max＝， 2 2 2 当 sinx＝－1 时，
2

＝－3，故选 C. (2)要使函数 y＝lg (2sinx－1)＋ 1－2cosx有意义，

π π 2．函数 f(x)＝sin 2x－4在区间0，2 上的最小值为(

)
A．－1 2 C. 2
2 B．－ 2 D．0
π π π 3π 解析由 0≤x≤2得－4≤2x－4≤ 4 ，结合 y＝sinx 的图象易得 B.
π x ≠ k π ＋， k ∈ Z x π 3 ． 3．[教材改编]函数 y＝－tanx＋＋2 的定义域为______________________

)
π π π π kπ π kπ 5π 解析由 kπ－2<2x－3<kπ＋2(k∈Z)得，2 －12<x< 2 ＋12(k∈Z)，所以函数 f(x)＝tan2x－3 的单调递增
kπ π kπ 5π 区间为 2 －12， 2 ＋12 (k∈Z)，故选 B.
) B．2 D．5
π π π π π π ＋2 解析 ∵f(x)在 6，2 ＝0，上单调递减，且 f ＋f ＝0，∴f6 6 2 2 π ∵f(x)＝sinωx＋ 3cosωx＝2sinωx＋3 ， π＋π π π π ∴f6 2＝f3＝2sin3ω＋3 ＝0， 2 π π 1 2π π π ∴3ω＋3＝kπ(k∈Z)，又2· ω ≥2－6，ω>0， ∴ω＝2.

三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质2.(1)y ＝sin x 在]2,0[π上是增函数．(√)(2)y ＝sin x 在第一、四象限是增函数．(×) (3)所有的周期函数都有最小正周期．(×) (4)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×) (5)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )的最大值为k ＋1.(×) (6)y ＝sin|x |为偶函数．(√)(7)y ＝|sin x |和y ＝sin|x |的周期都是π.(×) (8)y ＝tan x 的对称中心为(k π，0)(k∈Z )．(×) (9)若sin x ＞22，则x ＞π4.(×)(10)y ＝sin x 与y ＝cos x 同时为增的区间是)2,22(πππk k -，k ∈Z .(√)考点一有关三角函数的定义域、值域问题[例1] (1)函数y ＝lg sin x ＋1－2cos x 的定义域是________．解析：由题意，得⎩⎨⎧sin x ＞0，1－2cos x ≥0，∴sin x ＞0且cos x ≤12，作单位圆中三角函数线(图略)，得2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z ， ∴函数的定义域为},232|{Z k k x k x ∈+<≤+ππππ.答案：},232|{Z k k x k x ∈+<≤+ππππ(2)函数y ＝2sin )36(ππ-x (0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3 解析：利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6， ∴sin )36(ππ-x ∈]1,23[-.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3. 答案：A(3)当x ∈]67,6[ππ时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：∵x ∈]67,6[ππ，∴sin x ∈]1,21[-.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝22)41(sin -x ＋78.∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2. 答案：78 2[方法引航] 1.求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解三角函数的值域(最值)常见的有以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)． (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．1．若将本例(1)变为y ＝1－2cos x ，其定义域为________．解析：1－2cos x ≥0，∴cos x ≤12.如图，当x ∈(0,2π)时，cos π3＝cos 53π＝12，∴cos x ≤12，x ∈)35,3(ππ∴x ∈R 时，cos x ≤12的解集为},23523|{Z k k x k x ∈+≤≤+ππππ答案：},23523|{Z k k x k x ∈+≤≤+ππππ2．若在本例(2)中，x 的范围变为“－1≤x ≤9”，其它不变，如何选答案．解析：－1≤x ≤9时，－π2≤π6x －π3≤76π. －1≤sin )36(ππ-x ≤1，y ∈[－2,2]，y max ＋y min ＝0. 答案：B3．若将本例(3)中的函数换为“y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]”，如何求解？解：令t ＝sin x －cos x ，又x ∈[0，π]，∴t ＝2sin )4(π-x ，t ∈[－1，2]．由t ＝sin x －cos x ，得t 2＝1－2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22.∴原函数变为y ＝t ＋1－t22，t ∈[－1，2]．即y ＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.∴当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－12(－2)2＋1＝－1.考点二三角函数的单调性和周期性[例2] (1)(2016·高考山东卷)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.32π D ．2π解析：法一：由题意得f (x )＝3sin x cos x －3sin 2x ＋3cos 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos2x ＝2sin )32(π+x .故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B.法二：由题意得f (x )＝2sin )6(π+x ×2cos )6(π+x ＝2sin )32(π+x .故该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.故选B. 答案：B(2)(2016·湖北武汉模拟)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ))2||,0,0(πϕϖ<>>A 与直线y ＝3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列，且x ＝π6是f (x )图象的一条对称轴，则下列区间中不是函数f (x )的单调递增区间的是( ) A.]0,3[π-B.]65,34[ππ--C.]67,32[ππD.]3,65[ππ-- 解析：由题意得A ＝3，T ＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，又f )6(π＝3或f )6(π＝－3， ∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝3sin )62(π+x ，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，故当k ＝－1时，f (x )的增区间为]65,34[ππ--，当k ＝0时，f (x )的增区间为]6,3[ππ-，当k ＝1时，f (x )的增区间为]67,32[ππ，故选D. 答案：D(3)已知ω＞0，函数f (x )＝sin )4(πϖ+x 在),2(ππ上单调递减，则ω的取值范围是( )A.]45,21[B.]43,21[C. ]21,0( D ．(0,2] 解析：由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知)4,42(ππϖπϖπ++⊆]23,2[ππ，∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.答案：A[方法引航] 形如y ＝A sin (ωx ＋φ)的函数的单调区间的求法 (1)代换法,①若A ＞0，ω＞0，把ωx ＋φ看作是一个整体，由2π-＋2k π≤ωx ＋φ≤2π＋2k π(k∈Z )求得函数的增区间，由2π＋2k π≤ωx ＋φ≤23π＋2k π(k ∈Z )求得函数的减区间.,②若A ＞0，ω＜0，则利用诱导公式先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解.(2)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.,对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解.1．已知函数f (x )＝2sin )42(πϖ-x (ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1,1]上的单调增区间为________．解析：由题知2π2ω＝2，得ω＝12π，∴f (x )＝2sin )4(ππ-x ，令－π2＋2k π≤πx －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－14＋2k ≤x ≤34＋2k ，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以－14≤x ≤34，所以函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为]43,41[-.答案：]43,41[-2．若将本例(3)改为f (x )＝sin ωx 在),2(ππ上为增函数(ω＞0)，如何求ω的范围？解：当π2＜x ＜π时，ωπ2＜ωx ＜ωπ (ω＞0) ∴),2(ϖπϖπ⊆]2,0[π∴ωπ≤π2，∴ω≤12，∴ω∈]21,0(. 考点三三角函数的奇偶性、对称性[例3] (1)A ．y ＝cos )22(π+x B ．y ＝sin )22(π+x C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x解析：对于A ，y ＝cos )22(π+x ＝－sin 2x ，T ＝π为奇函数，故选A.答案：A(2)(2016·高考全国甲卷)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 解析：法一：将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝2sin 2)12(π+x ＝2sin )62(π+x 的图象．由2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )得，∴x ＝π6＋k 2π.(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．法二：∵y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位后为x ＝π4－π12＋k 2π＝π6＋k2π，故选B. 答案：B(3)(2017·吉林长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋φ))2|(|πϕ<向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在]2,0[π上的最小值为________．解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ))2|(|πϕ<向左平移π6个单位后得到函数为f )6(π+x ＝sin ])6(2[ϕπ++x ＝sin )32(ϕπ++x ，因为此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin )32(π-x .当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin )32(π-x 有最小值为sin )3(π-＝－32.答案：－32(4)(2017·湖南六校联考)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0＜ω＜5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是)0,8(π，则f (x )的最小正周期是________．解析：由题设，得f )4(ϖπ＝±a 2＋b 2，即22(a ＋b )＝±a 2＋b 2，∴a ＝b . 又)8(πf '＝0，∴aω)8sin 8(cos ϖπϖπ-＝0，∴tan ω8π＝1，∴ω8π＝k π＋π4，∴ω＝8k ＋2，(k ∈Z ) 而0＜ω＜5,0＜8k ＋2＜5，∴k ＝0，ω＝2，∴f (x )＝a (sin 2x ＋cos 2x )＝2a sin )42(π+x ，∴T ＝2π2＝π.答案：π[方法引航] 函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)的奇偶性和对称性(1)若f (x )＝A sin (ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin (ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin (ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检测f (x 0)的值进行判断.(3)求形如y ＝A sin (ωx ＋φ)或y ＝A cos (ωx ＋φ)的函数图象的对称轴或对称中心时，都是把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象的对称轴或对称中心进行求解.1．已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b 为常数，a ≠0)在x ＝π4处取得最小值，则函数g (x )＝f )43(x -π是( ) A ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D. 奇函数且它的图象关于点(π，0)对称解析：选D.因为f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)在x ＝π4处取得最小值，所以π4－φ＝2k π－π2，k ∈Z ，故φ＝3π4－2k π，k ∈Z ，得f (x )＝a 2＋b 2sin )43(π-x ，g (x )＝f )43(x -π＝－a 2＋b 2sin x ，所以g (x )为奇函数，且其图象关于点(π，0)对称．2．已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( ) A.π6 B.π3 C ．－π6 D ．－π3解析：选D.由已知得f (x )＝2cos )]3(3[πϕ++x 为偶函数，由诱导公式可知φ＋π3＝k π.(k ∈Z )当k ＝0时，φ＝－π3.(也可由f (－x )＝f (x )恒成立求．)[易错警示]求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间的A ，ω的符号处理借助于y ＝sin x 的单调区间求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，首先保证ω＞0，然后再看A 的正负，结合整体“ωx ＋φ”，求x 的范围．[典例] 已知函数y ＝sin )23(x -π，则函数在[－π，0]上的单调递减区间为________．[解析] y ＝sin )23(x -π＝－sin )32(π-x ，令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 所以y ＝sin )23(x -π在[－π，0]上的减区间为]0,12[π-.[答案] ]0,12[π-[警示] 当ω＞0，A ＜0时，y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间是利用2k π＋π2≤ωx ＋φ≤32π＋2k π，(k ∈Z )求得x ，减区间是利用2k π－π2≤ωx ＋φ≤π2＋2k π，(k ∈Z )求得x .[高考真题体验]1．(2016·高考全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|≤π2)，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在)365,18(ππ上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：选B.先根据函数的零点及图象对称轴，求出ω，φ满足的关系式，再根据函数f (x )在)365,18(ππ上单调，则)365,18(ππ的区间长度不大于函数f (x )周期的12，然后结合|φ|≤π2计算ω的最大值．因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以T 4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)．又函数f (x )在)365,18(ππ上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin )411(π-x ，f (x )在)443,18(ππ上单调递增，在)365,443(ππ上单调递减，不满足条件．若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin )49(π+x ，满足f (x )在)365,18(ππ上单调的条件．故选B.2．(2016·高考浙江卷)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关解析：选B.由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos 2x2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos )62(π+x ，④y ＝tan )42(π-x 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③ 解析：选C.①中，y ＝cos|2x |＝cos 2x ，周期T ＝π，①符合； ②中，y ＝|cos x |＝1＋cos 2x2，周期T ＝π，②符合； ③中，周期T ＝π，③符合；④中，周期T ＝π2，④不符合． ∴符合条件的函数为①②③.4．(2012·高考课标全国卷)已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：选A.由于直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π，所以ω＝1，所以π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，又0＜φ＜π，所以φ＝π4. 5．(2016·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin )42(πϖ+x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω.依题意，πω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin )42(π+x函数y ＝sin x 的单调递增区间为]22,22[ππππ+-k k (k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为]8,83[ππππ+-k k k ∈Z . 6．(2015·高考安徽卷)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间]2,0[π上的最大值和最小值．解：f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin )42(π+x ＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin )42(π+x ＋1.当x ∈]2,0[π时，2x ＋π4∈]45,4[ππ，由正弦函数y ＝sin x 在]45,4[ππ上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0. 综上，f (x )在]2,0[π上的最大值为2＋1，最小值为0.课时规范训练 A 组基础演练1. 函数f (x )＝cos )42(π+x 的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π解析：选B.由周期公式T ＝2π2＝π.2．下列函数中周期为π且为偶函数的是( )A ．y ＝sin )22(π-xB ．y ＝cos )22(π-xC ．y ＝sin )2(π+xD ．y ＝cos )2(π+x解析：选A.y ＝sin )22(π-x ＝－cos 2x 为偶函数，且周期为π.3．与函数y ＝tan )42(π+x 的图象不相交的直线是( )A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π8 解析：选C.2x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π8＋k π2，k ∈Z ，k ＝0时，x ＝π8.4．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D ．y ＝f (x )的图象关于点)0,2(π-对称解析：选D.由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错；它的周期为2π，B 错；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错；它的对称中心是点)0,2(ππ+k ，k ∈Z ，D 对．5．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f )4(π+x ＝f (－x )成立，且f )8(π＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3解析：选C.由f )4(π+x ＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.6．函数f (x )＝sin )42(π-x 在]2,0[π上的单调递增区间是________．解析：由2k π－π2≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤38π＋2k π，k ∈Z ，在]2,0[π上的单调增区间为]83,0[π. 答案：]83,0[π 7．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．解析：由题得cos π3＝sin )32(ϕπ+，即sin )32(ϕπ+＝12.∵0≤φ＜π，∴23π≤2π3＋φ＜5π3，∴2π3＋φ＝5π6，则φ＝π6. 答案：π68．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈)2,2(ππ-)的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点)0,4(π对称；②图象关于点)0,3(π对称；③在]6,0[π上是增函数；④在]0,6[π-上是增函数中，所有正确结论的序号为________．解析：∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π3(k ∈Z )．∵φ∈)2,2(ππ-，∴φ＝π3，∴y ＝sin )32(π+x ，由图象及性质可知②④正确．答案：②④9．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin )432(π-x ，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为]85,8[ππππk k ++，k ∈Z .10．已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f )45(π的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解：(1)f )45(π＝2cos 5π4)45cos 45(sin ππ+＝－2cos π4)4cos 4sin (ππ--＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin )42(π+x ＋1，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为]8,83[ππππ+-k k ，k ∈Z . B 组能力突破1．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0且|φ|＜π2)，在区间]32,6[ππ上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32 D.6＋24 解析：选A.由题意知T 2＝2π3－π6＝π2，∴T ＝π＝2πω， ∴ω＝2.将点)1,6(π代入y ＝sin(2x ＋φ)得sin )3(ϕπ+＝1，又|φ|＜π2，∴φ＝π6，故y ＝sin )62(π+x .令x ＝0，则y ＝12.2．若函数y ＝f (x )＋cos x 在]434[ππ，-上单调递减，则f (x )可以是( )A ．1B ．cos xC ．－sin xD ．sin x 解析：选C.－sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ＝2cos )4(π+x ，∵－π4≤x ≤3π4，∴0≤x ＋π4≤π，∴函数y ＝－sin x ＋cos x 在]434[ππ，-上为减函数．3．函数f (x )＝tan )32(π-x 的单调递增区间是( )A.]1252,122[ππππ+-k k (k ∈Z ) B.)1252,122(ππππ+-k k (k ∈Z )C.)32,6(ππππ++k k (k ∈Z ) D.]125,12[ππππ+-k k (k ∈Z ) 解析：选 B.由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan )32(π-x 的单调递增区间为)1252,122(ππππ+-k k (k ∈Z )．4．设函数f (x )＝3sin )42(ππ+x ，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析：f (x )＝3sin )42(ππ+x 的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2. 答案：25．已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin )62(π+x ＋2a ＋b ，当x ∈]2,0[π时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f )2(π+x 且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈]2,0[π，∴2x ＋π6∈]67,6[ππ.∴sin )62(π+x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin )62(π+x ∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin )62(π+x －1，g (x )＝f )2(π+x ＝－4sin )672(π+x －1＝4sin )62(π+x －1，又由lg g (x )＞0，得g (x )＞1，∴4sin )62(π+x －1＞1，∴sin )62(π+x ＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，∴g (x )的增区间：2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，即k π＜x ≤k π＋π6， g (x )的减区间为2k π＋π2≤2x ＋π6＜2k π＋56π，即k π＋π6≤x ＜k π＋π3，故g (x )增区间为]6,(πππ+k k ，减区间为)3,6[ππππ++k k k ∈Z .。

《第3讲三角函数的图像与性质》

【反思归纳】 (1)三角函数定义域的求法 ①应用正切函数 y＝tan x 的定义域求函数 y＝Atan(ωx＋φ)的定义域． ②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域． (2)简单三角不等式的解法 ①利用三角函数的图象求解． ②利用三角函数线求解．
【即时训练】 (1)函数 y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x的定义域为 ________．
2020届高考第一轮复习理科数学
第三章三角函数、解三角形
第3讲三角函数的图像与性质
（第三课时）
三角函数的周期性、奇偶性、对称性(多维探究)
角度一三角函数的周期性
例 3. (1)(2018 潍坊模拟)下列函数中，最小正周期为 π，且图象关于直线
x＝π3对称的是( B )
(A)y＝sin2x－π3
故 y＝f(t)＝12(t＋1)2－1(－ 2≤t≤ 2)，从而知： f(－1)≤y≤f( 2)，即－1≤y≤ 2＋12. 即函数的值域为[－1， 2＋12]．
(2)y＝2cos(π3＋x)＋2cos x
＝
π 3cos
x－2sin
π 3sin
x＋2cos
x
＝3cos x－ 3sin x
＝2
【答案】 (1)[－32，3] (2) 1 (3)[－12－ 2，1]
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则 () A．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 3 B．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 4 C．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 3 D．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 4 2.求下列函数的值域： (1)y＝sin x＋cos x＋sin xcos x；(2)y＝2cos(π3＋x)＋2cos x. (《金榜题名》第 54 页典例 2 【即时训练】)

苏教版高中数学必修第一册7.3.2 第3课时正切函数的图象与性质【授课课件】

值域周期奇偶性单调性
对称性
R π 奇函数在开区间kkππ－－π2，kπ＋π2(k∈Z)上都是增函数无对称轴，对称中心为k2π，0(k∈Z)
1
2
3
4
第3课时正切函数的图象与性质必备知识·情境导学探新知关键能力·合作探究释疑难学习效果·课堂评估夯基础课时分层作业
正切函数在定义域内是单调函数吗？ [提示] 不是．
1
2
3
4
第3课时正切函数的图象与性质必备知识·情境导学探新知关键能力·合作探究释疑难学习效果·课堂评估夯基础课时分层作业
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数在定义域上是增函数．
()
(2)正切函数的对称轴方程为 x＝kπ＋π2，k∈Z．
()
(3)正切函数的对称中心为(kπ，0)，k∈Z．
2．(变条件)将本例(2)中的函数改为“y＝lg tan x”，结果又如何？
[解] 因为函数 y＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，所以函数 y＝lg tan x 的增区间就是函数 y＝tan x(tan x>0)的增区间，即kπ，π2＋kπ，k∈Z．
1
2
3
4
第3课时正切函数的图象与性质必备知识·情境导学探新知关键能力·合作探究释疑难学习效果·课堂评估夯基础课时分层作业
握正切函数的性质．(重点)
培养直观想象素养．
2．能利用正切函数的图象及性质 2．通过正切函数的性质的应用，提解决有关问题．(难点、易错点) 升逻辑推理素养．
1
2
3
4
第3课时正切函数的图象与性质必备知识·情境导学探新知关键能力·合作探究释疑难学习效果·课堂评估夯基础课时分层作业

2015年高考数学一轮复习课时训练第3节三角函数的图象与性质

第3节三角函数的图象与性质课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013福州模拟)已知函数f(x)=3cos(2x-)在[0,]上的最大值为M,最小值为m,则M+m等于( C )(A)0 (B)3+(C)3-(D)解析:∵x∈[0,],∴(2x-)∈[-,],∴cos(2x-)∈[-,1],∴f(x)∈[-,3],∴M+N=3-.故选C.2.y=sin(x-)的图象的一个对称中心是( B )(A)(-π,0) (B)(-,0)(C)(,0) (D)(,0)解析:令x-=kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z,于是(-,0)是y=sin(x-)的图象的一个对称中心.故选B.3.使函数f(x)=sin(2x+ϕ)为R上的奇函数的ϕ值可以是( C )(A)(B)(C)π (D)解析:要使函数f(x)=sin(2x+ϕ)为R上的奇函数,需ϕ=kπ,k∈Z.故选C.4.(2013揭阳二模)设函数f(x)=cos(2π-x)+cos(-x),则函数的最小正周期为( C )(A)(B)π (C)2π(D)4π解析:函数f(x)=cos x+sin x=2sin(x+),故其最小正周期为2π,故选C.5.(2013洛阳市模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)(ω>0)的图象关于直线x=对称,且f()=0,则ω的最小值是( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:设函数的周期为T,则T的最大值为4×(-)=π,≤π,ω≥2.故选B.6.(2013佛山质检(二))函数f(x)=sin(πx+),x∈[-1,1],则( A )(A)f(x)为偶函数,且在[0,1]上单调递减(B)f(x)为偶函数,且在[0,1]上单调递增(C)f(x)为奇函数,且在[-1,0]上单调递增(D)f(x)为奇函数,且在[-1,0]上单调递减解析:∵f(x)=sin(πx+)=cos πx,∴f(x)是[-1,1]上的偶函数,又由f(x)在[-1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减,可得应选A.二、填空题7.(2013年高考江苏卷)函数y=3sin(2x+)的最小正周期为.解析:T==π.答案:π8.函数f(x)=sin x+cos x的值域是.解析:∵f(x)=sin x+cos x=2sin,又x∈,∴x+∈,∴2sin∈[-1,2].答案:[-1,2]9.函数y=2sin(3x+ϕ)的一条对称轴为x=,则ϕ= . 解析:∵函数y=sin x的对称轴为x=+kπ(k∈Z),又函数的一条对称轴为x=,∴3×+ϕ=+kπ(k∈Z),∴ϕ=+kπ(k∈Z),又|ϕ|<,∴k=0,故φ=.答案:10.函数y=cos(-2x)的单调减区间为.解析:y=cos(-2x)=cos(2x-),由2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).所以函数的单调减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z)答案:[kπ+,kπ+](k∈Z)三、解答题11.(2013汕头质检(二))已知向量a=(,),b=(cos x,sin x).若函数f(x)=a·b,求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间. 解:∵f(x)=a·b=cos x+sin x=sin(x+),∴f(x)的最小正周期T==2π.令-+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z),解得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),∴函数f(x)的单调递增区间为[-+2kπ,+2kπ],k∈Z.12.(2013年高考天津卷)已知函数f(x)=-sin(2x+)+6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=-sin 2x-cos 2x+3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-2cos2x=2sin(2x-).所以f(x)的最小正周期T==π.(2)由(1)f(x)=2sin(2x-),2x-∈[-,],则sin(2x-)∈[-,1].所以f(x)在[0,]上最大值为2,最小值为-2.13.已知a>0,函数f(x)=-2asin(2x+)+2a+b,当x∈[0,]时, -5≤f(x)≤1.(1)求常数a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解:(1)∵x∈[0,],∴2x+∈[,].∴sin(2x+)∈[-,1],∴-2asin(2x+)∈[-2a,a].∴f(x)∈[b,3a+b].又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.(2)由(1)得f(x)=-4sin(2x+)-1,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,由+2kπ≤2x+≤+2kπ得+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为[+kπ,+kπ](k∈Z),单调递减区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).B组14.(2013广州市毕业班综合测试(二))若函数y=cos(ωx+)(ω∈N*)的一个对称中心是(,0),则ω的最小值为( B )(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:依题意得cos(ω·+)=0,(ω+1)=kπ+,ω=6k+2(其中k∈Z).又ω是正整数,因此ω的最小值是2,故选B.15.(2013广州市高三调研)已知函数f(x)=(1-cos 2x)·cos2 x,x∈R,则f(x)是( C )(A)最小正周期为的奇函数(B)最小正周期为π的奇函数(C)最小正周期为的偶函数(D)最小正周期为π的偶函数解析:因为f(x)=(1-cos 2x)·cos2 x=2sin2 xcos2 x=sin22x=×=,所以最小正周期T==,且是偶函数,故选择C. 16.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω= .解析:因为当0≤ωx≤,即0≤x≤时,函数是增函数;当≤ωx≤,即≤x≤时,函数是减函数,∴=,ω=.答案:。

三角、反三角函数图像

三角、反三角函数图像
六个三角函数值在每个象限的符号：
sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα
三角函数的图像和性质：
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
y=cotx
定义域
R
R
｛x｜x∈R且x≠kπ+ ,k∈Z｝
｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝
值域
［-1，1］x=2kπ+ 时ymax=1
奇偶性
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccotห้องสมุดไป่ตู้-x)=π-arccotx
周期性
都不是同期函数
恒等式
sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x∈［- , ］)
cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］) arccos(cosx)=x(x∈［0,π］)
y=cosx(x∈〔0,π〕)的反函数，叫做反余弦函数，记作x=arccosy
y=tanx(x∈(- , )的反函数，叫做反正切函数，记作x=arctany
y=cotx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arccoty
理解
arcsinx表示属于［- , ］
且正弦值等于x的角
arccosx表示属于［0，π］，且余弦值等于x的角
在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k∈Z)
在(kπ- ，kπ+ )内都是增函数(k∈Z)
在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)
.反三角函数：

《三角函数图象》教案设计

第三届全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教案评选教案设计函数sin()y A x ωϕ=+的图象（一）学校：江苏省沭阳高级中学姓名：李秋香学科：数学通讯地址：江苏省宿迁市沭阳县学府中路1号联系电话：0527—83582838 邮编：223600全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教案评选《函数sin()y A x ωϕ=+的图象》教案设计一、教案背景：1．高中数学苏教版必修4第一章第三节，《函数)sin(ϕω+=x A y 的图象》教学设计2．课时：二课时3．课前准备：在百度上搜索“视频: 弹簧振子简谐运动振动图像形成动画” 二、、教材分析: 1、本节的作用和地位三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，三角函数知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础．2、本节高考要求:(1)了解三角函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义及其参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响; (2)能借助计算机画出sin()y A x ωϕ=+的图象，会用五点法画出sin()y A x ωϕ=+的简图;(3)会画出sin()y A x ωϕ=+的简图,能由正弦曲线y=sinx 通过平移、伸缩变换得到sin()y A x ωϕ=+的图象．3、本节课教学目标：知识目标：1、结合实例，了解三角函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义及其参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响；2、会用“五点法”画出函数y = A sin(ωx +ϕ)的简图，掌握它们与y ＝sin x 的转换关系；能力目标：经历对函数sin y x =到sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律的探索过程，体会数形结合以及从特殊到一般的数学思想．情感态度价值观目标：通过学生对问题的自主探究，培养学生动与静的辨证关系，善于从运动的观点观察问题，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想；领悟物质运动具有规律性的马克思主义哲学思想；唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求；引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．4、教学重点：函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响．5、教学难点：函数sin()y A x ωϕ=+的图象与正弦曲线sin y x =的关系．6、教学方法：教师引导，学生自主探索．7、教学手段：网络化多媒体教学．三、教学过程：1、创设情境，引入新课1、如图所示，是一个弹簧振子在做简谐运动（用电脑演示）．【百度搜索】/v_show/id_XMTUxNDY5MzQ0.html 由物理学知识可知，小球离开平衡位置的位移与时间t 的关系为：s i n ()(0,s A t A ωϕω=+>>．其中A 为物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅；2T πω=为物体往复振动一次所需要的时间，称为周期；12f T ωπ== 为单位时间内往复振动的次数，称为频率； t ωϕ+称为相位，当0t =时的相位ϕ称为初相．在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如sin()y A x ωϕ=+的函数（其中A ，ω，ϕ都是常数，且0A >，0ω>）如交流电、振动和波等．因此我们有必要画好这些函数的图象．【百度搜索】/show/ZebAZp-4Rm2_9AlP.html?loc=youce_tuijian2、从解析式来看，sin()y A x ωϕ=+与函数sin y x =存在怎样的关系？从图象来看，它与函数sin y x =的图象有什么关系？采用什么研究方法? 如何作出函数sin()y A x ωϕ=+的图象?2、学生活动1、书40页练习4，52、给出下列函数，说出它的振幅、周期、初相并用“五点法”作出下列函数的简图．（1）sin()6y x π=-（2）3sin y x = （3）sin 2y x =3、从作出的图象观察它们与sin y x =的图象存在联系：如何由sin sin()y x y x ϕ=→=+？如何由sin sin y x y A x =→=？如何由sin sin()y x y x ω=→=？ 3、建构数学 1、平移变换函数sin()y x ϕ=+的图象是将sin y x =的图象向左平移（当0ϕ>）或向右（当0ϕ<）平移ϕ个单位长度而得到的． 2、伸缩变换sin y A x =的图象(A>0A 1≠且)是把sin y x =的图象上所有点的纵坐标伸长(A >1)或缩短（01A <<）到原来的A 倍（横坐标不变），而得到的．sin y x ω= (>01ωω≠且)的图象是将sin y x =的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长(0<<1ω)或缩短(ω>1)到原来的1ω倍而得到的．【百度搜索】/html/jiaoyuwenzhai/2011/1128/484.html4、数学应用例1．已知函数sin()3y x π=-的图象为C ．(1) 为了得到sin y x =的图象,只需把C 上的所有点 (2) 为了得到sin()4y x π=+的图象,只需把C 上的所有点(3) 为了得到2sin y x =的图象,只需把C 上的所有点 (4) 为了得到cos()3y x π=-的图象,只需把C 上的所有点变式训练：1、函数sin y x =的图象向左平移6π，所得函数的解析式是 2、函数sin 2y x =的图象向左平移6π，所得函数的解析式是【百度搜索】/view/5bdb184769eae009581becdd.html例2．用“五点法”作出下列函数的简图,并说出它们与y ＝sin x 的图象间的关系． (1)sin 3y x = (2)2sin2x y = (3)sin()23x y π=+变式训练：如何变换函数sin y x =可以得到函数思考：如何变式训练：如何变换函数sin y x =可以得到函数sin(2)3y x π=+的图象？【百度搜索】1、/s/blog_62277ac40100fhzz.html2、/view/9c80d2fe770bf78a652954ac.html3、/p-01872229637.html 5、回顾小结1．三角函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义及其参数,,A ωϕ对函数图象变化的影响； 2．由正弦函数s i n y x =的图象经过平移变换和伸缩变换得到如sin()y x ϕ=+、sin y A x =、sin y x ω=，sin()(0,0)s A t A ωϕω=+>>的图象，学习时可以类比()(),(),()y f x y f x m y kf x y f nx ==+==与之间的关系．3．注意通过数形结合，化归思想的来学习新的知识． 6、课后作业1、课本P 45 7，92、思考函数sin y A x =、sin y x ω=分别有哪些性质．【百度搜索】/view/bea41e0d76c66137ee06195c.html 7、板书设计。

第七章第3课时正弦和余弦(二)

第3课时正弦和余弦（二）班级姓名学号［学习目标］1、熟练掌握锐角三角函数的概念，理解互余两角的三角函数的关系。

2、能够利用直角三角形求锐角的三角函数值，并能根据直角三角形的边角关系进行计算；3、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。

［学习过程］问题1、（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=12，BC=5，求sinA 、cosA 、sinB 、cosB 的值；（2）设Rt △ABC 的三条边分别为a 、b 、c ，分别写出∠A 和∠B 的三角函数关系式；比较sinA 与cosB ，cosA 与sinB ，tanA 与tanB 的表达式，你有什么发现？（3）你能比较sin50°，cos50°，tan50°的大小吗？说说你的方法。

［练习］（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB=6，BC=2，求∠A 的三角函数值；（2）比较大小sin42° sin48° cos 42° cos 48° tan 42° tan 48° sin42° cos 42° sin42° tan 42° cos 48° tan 48°问题2、（1）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC=BC ，AB=BD ，试利用此图计算22.5°角的三角函数值。

（2）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是圆上两点（不与A 、B 重合），若BC=2，tan ∠ADC=45，求⊙O 的直径。

［练习］（1）如图，△ABC 中，AC 、BC 边上的高BE 、AD 交于点H ，若AH=3，AE=2，（1）求∠C 的三角函数值；（2）若H 是AD 的中点，求BH 和AC 的长。

（2）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB=5，BC=3。

2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：3.3三角函数的图象与性质

• 解析：作出函数y＝sin x的图象如图： • 假使直线y＝a与图象有4个交点，则－1＜a＜1. • 答案：D
• 2．三角函数的图象和性质
函数 y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域值域
x∈R [－1,1]
x∈R
π {x|x∈R 且 x≠2＋ kπ，k∈Z}
[－1,1]
R
π 在－2＋2kπ， π ，＋ 2 k π k∈Z 上 2
【解析】
(1)f(x)＝4cos
π ωx· sinωx＋4
＝2 2sin ωx· cos ωx＋2 2cos2ωx ＝ 2(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋ 2
π ＝2sin2ωx＋4＋
2.
2π 因为 f(x)的最小正周期为 π，且 ω＞0，从而有＝π，故 ω＝1. 2ω
针对训练 2．求函数小值．
π π π 解：∵3＋4x＋6－4x＝2， π π ∴cos4x－6＝cos6－4x π π π ＝cos2－3＋4x＝sin3＋4x. π π y＝sin3＋4x＋cos4x－6的周期、单调区间及最大、最
π 在[(2k－1)π， 2kπ]，在－＋kπ， 2
π ，k∈Z 上在[2kπ， (2k＋1)π]， 2＋kπ
单调性
k∈Z 上递增；

递增； π 3π 在[ ＋2kπ，＋ 2 2 2kπ]， k∈Z 上递减
k∈Z 上递减
递增
π x＝2＋2kπ(k∈Z) 时，最值 ymax＝1；
针对训练 1．(1)(2014· 广西百色一模 )函数 y＝ 16－x2＋ sin x的定义域为 ______________． (2)(2013· 天津)函数

三角函数的图象PPT

交流电
交流电的电压和电流是时间的三角函数，用于产生和传输电力。
波动
在声学、电磁学等领域，波的传播和变化可以用三角函数来描述。
在工程中的应用
机械振动
在机械工程中，三角函数用于模拟和分析各种振动现象，如桥梁振动、汽车悬挂系统等。
控制系统
在航空、航天、化工等领域，控制系统中的信号处理和反馈控制算法常常用到三角函数。
信号处理
在通信、雷达、声呐等领域，信号的调制和解调常常涉及到三角函数的应用。
在数学其他分支中的应用
微积分
01
在微积分中，三角函数用于求解微分方程、积分方程等数学问
题。
线性代数
02
在矩阵运算和特征值求解中，三角函数也经常被用到。
复数分析
03
在复数分析中，三角函数用于表示复数的三角形式，以及处理
与之相关的数学问题。
三角函数的周期性
周期性定义
三角函数的周期性是指函数值按照一定的规律重复出现的现象。对于正弦和余弦函数，其周期为360度或2π弧度。
周期计算
对于正弦和余弦函数，其周期T=2π；对于正切函数，其周期T=π。
三角函数的奇偶性
奇偶性定义
三角函数的奇偶性是指函数值在原点两侧是否对称的现象。奇函数在对称轴两侧的值互为相反数，偶函数在对称轴两侧的值相等。
横向伸缩变换
总结词
在x轴方向上伸缩函数的图像。
详细描述
对于函数y=sin(x)，若图像在x轴方向上压缩为原来的k倍，则新的函数为y=sin(kx)；若图像在x轴方向上拉伸为原来的k倍，则新的函数为y=sin(kx)。
纵向伸缩变换
总结词
在y轴方向上伸缩函数的图像。
详细描述

7三角函数的图像与性质第三课时

三角函数的图像与性质第三课时目标：1．会求三角函数的单调区间，能够利用单调性比较两个三角函数值的大小。

2．知道求值域与最值的几种常见方法，会求三角函数的值域与最值。

一．基础知识梳理：x y sin =的递增区间是____________________;递减区间是________________________. x y cos =的递增区间是____________________;递减区间是________________________. x y tan =的递增区间是____________________。

二．基础知识自测（限时10分钟）1.求下列函数的值域：（1）cos 2cos 1x y x =+；（2）23sin log 3sin x y x -=+2.设64x ππ-≤≤，求函数22log (1sin )log (1sin )y x x =++-的最大值和最小值。

三．考点突破：1.求函数cos(2)3y x π=-+的单调区间。

2.已知函数2()2cos2sin 4cos f x x x x =+-。

（1）求()3f π的值；（2）求()f x 的最大值和最小值。

四．课堂检测（限时10分钟）1．函数y =21sin （4π－32x ）的递增区间_________________;递减区间___________________。

2. 若函数()(1)cos f x x x =，02x π≤<，则()f x 的最大值为_________.3. 函数sin 2x y =的单调增区间是_________________。

五．拓展延伸：已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x R ∈(其中0,0,0)2A πωϕ>><<的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (1)求()f x 的解析式；（2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域。

2015届高考数学总复习第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第3课时三角函数的图象和性质教学案

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第3课时三角函数的图象和性质第四章 (对应学生用书(文)、(理)44～46页)1. (必修4P 25练习2改编)函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________．答案：4π解析：函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4的最小正周期为T ＝2π12＝4π.2. (必修4P 39第2题改编)将函数y ＝sinx 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________________．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 解析：∵ 向右平移π10个单位，∴ 用x －π10代替y ＝sinx 中的x ；∵ 各点横坐标伸长到原来的2倍，∴ 用12x 代替y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10中的x ，∴ y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 3. (必修4P 45第9题改编)如图，它表示电流I ＝Asin (ωt ＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则I ＝Asin (ωt ＋φ)的解析式为________________．答案：I ＝3sin ⎝⎛⎭⎫100π3t ＋π3解析：由图可知A ＝3，ω＝100π3.代入⎝⎛⎭⎫150，0和⎝⎛⎭⎫120，0，解得φ＝π3，于是I ＝3sin ⎝⎛⎭⎫100π3t ＋π3.4. (必修4P 32练习6改编)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调递增区间是________．答案：⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )解析：－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，所求单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．5. (必修4P 32第5题改编)函数y ＝2sinx ⎝⎛⎭⎫π6≤x ≤2π3的值域是________．答案：[1，2]解析：根据正弦函数图象，可知x ＝π6时，函数取到最小值1；x ＝π2时，函数取到最大值2.1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，则称y ＝f(x)为周期函数；函数y ＝Asin (ωx ＋φ)和y ＝Acos (ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝Atan (ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|．2. 三角函数的图象和性质“五点法”作图原理：在确定正弦函数y ＝sinx 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)、⎝⎛⎭⎫π2，1、(π，0)、⎝⎛⎭⎫3π2，－1、 (2π，0)．余弦函数呢？4. 函数 y ＝Asin (ωx ＋φ)的特征若函数y ＝Asin (ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．[备课札记]题型1 依据三角函数的图象求解析式例1 (2013·南京三模)已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________．答案：23解析：由图象可知函数的四分之三周期为15π8－⎝⎛⎭⎫－3π8＝34T ，T ＝3π，ω＝2π3π＝23.变式训练已知函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则ω＝________．答案：3解析：由图知，A ＝2，将(0，2)、⎝⎛⎭⎫π12，2代入函数，得⎩⎪⎨⎪⎧2sin ⎝⎛⎭⎫π12w ＋φ＝2，2sin φ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧φ＝π4，ω＝3.题型2 三角函数的图象变换例2 为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6(x ∈R )的图象，只需把函数y ＝2sinx(x ∈R )的图象上所有的点经过怎样的变换得到？解：y ＝2sinx 用6x p +代替x ，左移 6p个单位 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6再用3p代替x ，各点横坐标伸长到原来的3倍。

第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式(高中数学)

=
2tan
=tan
1-tan2
2θ.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
忽视角的范围致误
典例化简: 2 + 2 + 2cos(2π<α<3π).
错解 2 + 2 + 2cos =

2 + 2cos 2=2cos4.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误?
π
12
π
π 2
+ cos
=
8
8
(1)2cos2 =
(2) sin
;
解析:(1)原式=1+cos 2 ×
π
4
2
2
2
(2)1+ 2
(2)原式=1+sin =1+ .
3
答案:(1)1+ 2
.
π
12
=1+cos
π
3
=1+ 2 .
6
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
利用二倍角公式解决给角求值问题
1
θsin θ=1+2(cos
1
2θcos 30°-sin 2θsin 30°-cos 2θcos 30°-sin 2θsin 30°)+2sin
1
2
(1-cos2)+sin2
2sin2 +sin2
(2)证明左边=
=
(1+cos2)+sin2
2cos2 +sin2
2sin2 +2sincos

2023年高考数学一轮复习讲义——三角函数的图象与性质

§4.5 三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间 ⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2[2k π－π，2k π] ⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2递减区间 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]对称中心 (k π，0) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴方程 x ＝k π＋π2x ＝k π常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )．(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (2)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( √ ) 教材改编题1．若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( ) A ．T ＝π，A ＝1 B ．T ＝2π，A ＝1 C ．T ＝π，A ＝2 D ．T ＝2π，A ＝2答案 A2．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π6(k ∈Z ) D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π2＋π6(k ∈Z ) 答案 D解析由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z .3．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析因为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，求得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，可得函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .题型一三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z 解析要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z . (2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1解析设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－1＋222. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1.教师备选1．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 2．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．答案 1解析由题意可得 f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos x ∈[0,1]． ∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )取最大值为1. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ②把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1 (1)(2021·北京)函数f (x )＝cos x －cos 2x ，试判断函数的奇偶性及最大值( ) A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98答案 D 解析由题意，f (－x )＝cos (－x )－cos (－2x ) ＝cos x －cos 2x ＝f (x )，所以该函数为偶函数，又f (x )＝cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －142＋98，所以当cos x ＝14时，f (x )取最大值98.(2)函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________．答案 ⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2，∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <π2＋k π，－3≤x ≤3，其中k ∈Z ，∴－3≤x <－π2或0<x <π2，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 题型二三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2 (1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |答案 A解析 A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．(2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1，φ∈(0，π)，且f (x )为偶函数，则φ＝________，f (x )图象的对称中心为________．答案5π6 ⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z 解析若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1为偶函数，则－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝5π6.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋1＝3cos 2x ＋1，由2x ＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z . 教师备选1．下列函数中，是周期函数的为( ) A ．y ＝sin|x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝tan|x | D ．y ＝(x －1)0答案 B解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数．2．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)，若f (x )为奇函数，则φ＝________. 答案 π3解析若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ为奇函数，则－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝π3.思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)函数f (x )＝sin x 3＋cos x3最小正周期和最大值分别是( )A ．3π和 2B ．3π和2C ．6π和 2D ．6π和2答案 C解析因为函数f (x )＝sin x 3＋cos x3＝2⎝⎛⎭⎫22sin x 3＋22cos x 3＝2⎝⎛⎭⎫sin x 3cos π4＋cos x 3sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为 2.(2)已知f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R 的奇函数，且当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022)的值为( )A.32 B ．－6－3 3 C ．1 D ．－1答案 B解析 ∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R 的奇函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则φ＝π2，则f (x )＝－A sin ωx .当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，故A ＝3，sin 3ω＝1， ∴3ω＝π2＋2k π，k ∈Z .∴ω的最小正数为π6，∴f (x )＝－3sin π6x ，∴f (x )的周期为12，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022) ＝168×0＋f (1)＋f (2)＋…＋f (6) ＝－6－3 3.(3)(2022·杭州模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54 D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称答案 C解析对于A ，f (x )的最小正周期为2π2＝π，故A 错误；对于B ，∵sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝－12≠±1，故B 错误；对于C ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34∈⎣⎡⎦⎤－54，3＋34， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54，故C 正确；对于D ，∵f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＋34＝34， ∴f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，34对称，故D 错误．题型三三角函数的单调性命题点1 求三角函数的单调区间例3 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3 ＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．延伸探究 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3在[0，π]上的单调递减区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π 解析令A ＝⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，B ＝[0，π]，∴A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤0，5π12∪⎣⎡⎦⎤11π12，π， ∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π. 命题点2 根据单调性求参数例4 (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 单调递增；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 单调递减．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3， ∴ω＝32.(2)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析由π2<x <π，ω>0，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4，因为y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z . 又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z ，且2k ＋54>0，k ∈Z ，解得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54.教师备选(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．1答案 B解析因为x ＝－π4为f (x )的零点， x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以2n ＋14·T ＝π2(n ∈N )，即2n ＋14·2πω＝π2(n ∈N )，所以ω＝2n ＋1(n ∈N )，即ω为正奇数．因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则5π36－π18＝π12≤T 2，即T ＝2πω≥π6，解得ω≤12.当ω＝11时，－11π4＋φ＝k π，k ∈Z ，因为|φ|≤π2，所以φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4.当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时， 11x －π4∈⎝⎛⎭⎫13π36，46π36，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，不满足题意；当ω＝9时，－9π4＋φ＝k π，k ∈Z ，因为|φ|≤π2，所以φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，9x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2，此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意．故ω的最大值为9.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递增区间是 ( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π 答案 A解析令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .取k ＝0，则－π3≤x ≤2π3.因为⎝⎛⎭⎫0，π2⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以区间⎝⎛⎭⎫0，π2是函数f (x )的单调递增区间．(2)(2022·济南模拟)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎝⎛⎦⎤13，23D.⎣⎡⎦⎤23，2答案 A解析当－π6<x <π3时，－πω6＋π3<ωx ＋π3<πω3＋π3，当x ＝0时，ωx ＋π3＝π3. 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增，所以⎩⎨⎧ －πω6＋π3≥－π2，πω3＋π3≤π2，解得ω≤12，因为ω>0，所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 课时精练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π答案 D解析将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．函数f (x )＝2sin π2x －1的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤π3＋4k π，5π3＋4k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π6＋4k π，5π6＋4k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤16＋4k ，56＋4k (k ∈Z ) 答案 B解析由题意，得2sin π2x －1≥0， π2x ∈⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )，则x ∈⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z )． 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的非奇非偶函数答案 D解析由题意可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12－π2 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12， ∴f (x )＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由函数奇偶性的定义易知，f (x )为非奇非偶函数．4．函数f (x )＝sin x ＋x cos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )答案 D解析由f (－x )＝sin (－x )＋(－x )cos (－x )＋(－x )2＝－sin x －x cos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ；又f ⎝⎛⎭⎫π2＝1＋π2⎝⎛⎭⎫π22＝4＋2ππ2>1， f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C. 5．(多选)关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ，下列命题中为真命题的是( )A ．函数y ＝f (x )的周期为πB ．直线x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴 C ．点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心D ．y ＝f (x )的最大值为 2答案 ACD解析因为f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，所以f (x )最大值为2，故D 为真命题．因为ω＝2，故T ＝2π2＝π，故A 为真命题；当x ＝π4时，2x －π4＝π4，终边不在y 轴上，故直线x ＝π4不是y ＝f (x )图象的一条对称轴，故B 为假命题；当x ＝π8时，2x －π4＝0，终边落在x 轴上，故点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心，故C 为真命题．6．(多选)(2022·广州市培正中学月考)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |，下列叙述正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增C ．f (x )的最大值为2D ．f (x )在[－π，π]上有4个零点答案 AC解析 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，f (x )是偶函数，A 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，单调递减，B 错误；f (x )＝sin|x |＋|sin x |≤1＋1＝2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，C 正确；在[－π，π]上，当－π<x <0时，f (x )＝sin(－x )＋(－sin x )＝－2sin x >0，当0<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x >0，f (x )的零点只有π，0，－π共三个，D 错．7．写出一个周期为π的偶函数f (x )＝________.(答案不唯一)答案 cos 2x8．(2022·鞍山模拟)若在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则实数k 的取值范围是________．答案 0≤k <1解析函数f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递增；当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递减， f (0)＝2sin π6＝1， f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＝2， f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin 7π6＝－1，所以在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则1≤k ＋1<2，所以0≤k <1.9．已知函数f (x )＝4sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－1(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω及f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )图象的对称中心．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx －1 ＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1＝3sin 2ωx －cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. ∵最小正周期为π，∴2π2ω＝π， ∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z )． (2)令2x －π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ， ∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，0，k ∈Z .10．(2021·浙江)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值．解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2＝1－sin 2x . 所以函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)f ⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x ，所以y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x (sin x ＋cos x ) ＝2(sin x cos x ＋sin 2x ) ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋22. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22.11．(多选)(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则( ) A ．函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3是偶函数 B ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点 C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称答案 BCD解析对于A 选项，令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，则g ⎝⎛⎭⎫π6＝0，g ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3≠0，故函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3不是偶函数，A 错；对于B 选项，因为f ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin 0＝0，故x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，B 对；对于C 选项，当－5π12≤x ≤π12时，－π2≤2x ＋π3≤π2，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增，C 对；对于D 选项，因为对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，k ＝0时，x ＝π12，D 对． 12．(多选)(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－cos 2x ，则( ) A ．f (x )的最大值为1＋32B ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫7π6，0对称C ．f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z ) D ．f (x )在[0,2π]上有4个零点答案 ACD解析 f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32－cos 2x ＝12＋12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝34sin 2x －34cos 2x ＋12 ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12，则f (x )的最大值为1＋32，A 正确；易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12， B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，此即f (x )图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12＝0，得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33，当x ∈[0,2π]时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3，作出函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3的图象，如图所示．所以方程sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33在[0,2π]上有4个不同的实根，即f (x )在[0,2π]上有4个零点，D 正确．13．(2022·唐山模拟)已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为______．答案 916解析 ∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]， ∴cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，54，即cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1， ∵sin x －sin 2y ＝14－cos y －(1－cos 2y ) ＝cos 2y －cos y －34＝⎝⎛⎭⎫cos y －122－1，又cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时， (sin x －sin 2y )max ＝⎝⎛⎭⎫－34－122－1＝916. 14．(2022·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________.答案 ±22解析因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，所以f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π4，又因为y ＝f (x ＋θ)是偶函数，所以θ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝π4＋k π，k ∈Z ，所以cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋k π＝±22.15．(多选)(2022·邯郸模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]内有且仅有2个零点，则下列结论成立的有( )A ．函数y ＝f (x )＋1在(0,2π)内没有零点B ．y ＝f (x )－1在(0,2π)内有且仅有1个零点C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2π3上单调递增 D ．ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫58，98答案 BCD解析如图，由函数f (x )的草图可知，A 选项不正确，B 选项正确；若函数f (x )在[0,2π]内有且仅有2个零点，则5π4ω≤2π<9π4ω，得58≤ω<98，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3时， t ＝ωx －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，2π3ω－π4⊆⎝⎛⎭⎫－π4，π2，此时函数单调递增，故CD 正确． 16．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点x 1，x 2. ①求m 的取值范围； ②求sin(x 1＋x 2)的值．解 (1)f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π42＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－12 ＝12－24cos 2x ＋24sin 2x ＋22cos 2x －12＝24sin 2x ＋24cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，结合正弦函数的图象与性质，可得当－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )时，函数单调递增， ∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)①令t ＝2x ＋π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8时， t ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π，12sin t ∈⎣⎡⎦⎤－14，12， ∴y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t ∈⎣⎡⎦⎤0，12(如图)．∴要使y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点，m 的取值范围为14<m <12或m ＝0. ②设t 1，t 2是函数y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t －m 的两个零点⎝⎛⎭⎫即t 1＝2x 1＋π4，t 2＝2x 2＋π4，由正弦函数图象性质可知t 1＋t 2＝π，即2x 1＋π4＋2x 2＋π4＝π.∴x 1＋x 2＝π4，∴sin(x 1＋x 2)＝22.。

第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式

[素养聚焦] 通过利用二倍角公式进行化简证明，提升了逻辑推理、数学运算核心素养．
[规律方法] 三角函数式化简、证明的常用技巧
(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化． (2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分． (3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用． (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等． (5)利用“1”的恒等变形，如 tan 45°＝1，sin2α＋cos2α＝1 等．
＝4sinco1s8°1c2o6s°18°＝－2ssiinn3366°°＝－2.
答案－2
03
课后案学业评价
点击进入Word
谢谢观看
3．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
(1)升幂公式 1＋cos 2α＝___2_c_o_s2_α____，1－cos 2α＝__2_s_i_n_2α______，
1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α＝2sin2α2 .
(2)降幂公式
cos2α＝1＋c2os
2α，sin2α＝1－c2os
2．(变条件)若例 2(2)的条件变为 tanπ4－x＝152，其他条件不变，结果如何？
解析因为 tanπ4－x＝152，所以 sinπ4－x＝152cosπ4－x，又 sin2π4－x＋cos2π4－x＝1，故可解得 cosπ4－x＝1123，原式＝2cosπ4－x＝2143.
[规律方法] 解决条件求值问题的方法
[自主解答] (1)原式＝2sin1π22cos1π2＝si2nπ6＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300° ＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.

第3课时 三角函数的图象

《3.3三角函数的图象与性质》 学案

3-3第三章 三角函数、解三角形