自动控制原理-王万良 第三章答案1

3.1已知系统特征方程如下，试用劳斯判据判别系统稳定性，并指出位于右半S 平面和虚轴上的特征根的数目。 （1）D （S ）=012442345=+++++S S S S S 解：劳斯表构成如下

5S

1 4

2 4S 1 4 1 3S

ε 1 0 2S

ε

1

4-

1 0

1

S

1

4142

---εεε 0 0

0S 1 0 0

系统不稳定，有2个特征根在右半S 平面。

(2)D(S)=046895323456=++++++S S S S S S 解：劳斯表构成如下

6S 1 5 8 4

5S

3 9 6 4S 2 6

4 3S

8 12 2S 3 4 1S 4/3

0S

4

因为劳斯表第一列数符号相同，所以系统是稳定的。有4个

根在虚轴上。

(3)D(S)=02535201232345=+++++S S S S S 解：劳斯表构成如下

5S

1 1

2 35 4S

3 20 25 3S

16/3 80/3 2S 5 25 1S 10

0S

25

因为劳斯表第一列数符号相同，所以系统是稳定的。有2个根在虚轴上。

(4)D(S)=04473223456=-----+S S S S S S 解：劳斯表构成如下

6S 1 -2 -7 -4

5S

1 -3 -4 4S 1 -3 -4 3S

4 -6 2S -3 -8 1S -50

0S

-4

因为劳斯表第一列数符号变化1次，所以系统是不稳定的，有1个特征根在右半S 平面。求解辅助方程043)(24=--=S S S F ，可得系统对称于原点的特征根为j S S ±=±=4,32,1,2。

3.3已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为

)

2()(2

22n n v n S S S K S G ωζωω++= 当n ω=901

-S ,阻尼比2.0=ζ时，试确定v K 为何值时系统是稳定的。

解：系统开环传递函数为)2()(2

22n n v

n S S S K S G ωζωω++=，特征方程为 02)(2

223=+++=v n n n K S S S S D ωωζω

劳斯表构成如下 3S

1 2n ω 2S n ζω

2 v n K 2ω

1

S

ζ

ωζω222

n

v n K -

0S v n K 2ω

由劳斯稳定判据，系统稳定的充分必要条件为

ζωζω222

n

v n K ->0

v n K 2ω>0

又因为n ω=901

-S

,阻尼比2.0=ζ，所以可得0

统临界稳定。

3.7在零初始条件下，控制系统在输入信号r(t)=1(t)+t1(t)的作用下的输出响应为c(t)=t1(t),求系统的传递函数，并确定系统的调节时间s t 。

解：对输入输出信号求拉式变换得r(S)=

211S S +，c(S)= 21

S

。所以系统的传递函数为 11

)()()(+==Φs s r s c s ，系统的时间常数为T=1s,所以系统的调节时间s t =⎩⎨⎧=∆=∆2

453。

3.9要求题3.9图所示系统具有性能指标：s t p p 5.0%,10%==σ。确定系统参数K 和A ，并

计

算

r

t ，

s

t 。

解：系统的闭环传递函数为K S KA S K AS S S K S S K

S R S C +++=++++=)1()1()

1(1)

1()()(2，可见，

系统为典型二阶系统：KA K n n +==122

ζωω，

，由p σ%=%10%1002

1=⨯--

ζζπ

e 得

2

1ζζπ

-=1.01ln

=2.30 所以ζ=0.698 由s t n p 5.012=-=ζ

ωπ

得

12

77.815.0-=-=

s n ζπ

ω ，则91.762

n

==ωK 144.01

2=-=K

A n ζω 2

11cos ζ

ωζπ--=

-n r t =0.34s s n

s 65.04

t ==

ζω (2=∆)

s n

s 49.03

t ==

ζω (5=∆)

3.11设典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如题3.11图所示。 （1）求阻尼比ζ和自然振荡频率n ω； （2）画出等效的单位反馈系统结构图； （3）写出相应

的开环传递函数。

解：（1）由⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

=--=-==%

251%12

2

ζζπσζωωω

πe t n d d

p 得4.0=ζ ，4.11=n ω

（2）

3.13单位负反馈系统的开环传递函数为)

1(5

)(+=

S S S G