第七章 材料力学-应力状态分析强度理论
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材料力学 第7章 应力状态分析与强度理论
准则：无论在什么样的应力状态下，材料发生屈服流动的原因 都是单元体内的最大切应力max达到某一共同的极限值jx。 1.屈服原因：最大切应力max（与应力状态无关）； 2.屈服条件： 1 3 s 3.强度准则： 1 3 [ ] 4.应用情况：形式简单，符合实际，广泛应用，偏于安全。
T [ ] Wp
（切应力强度条件）
（扭转） max
max [ ]
第7章 应力状态分析与强度理论
7-5 强度理论
max
max [ ] 满足 max [ ]
是否强度就没有问题了？
max
第7章 应力状态分析与强度理论
7-5 强度理论
强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概
1 e 1 e 1' e 1" e 1''' [ 1 ( 2 3 )] E 1 ' " ' e 2 e 2 e 2 e 2'' [ 2 ( 3 1 )] ②主应变与主应力关系： E 1 ' " ''' e 3 e 3 e 3 e 3 E [ 3 ( 1 2 )]
③平行1斜截面上应力由2、3作出应力圆上的点确定；
④由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。 2.三向应力状态下的最大剪应力
T [ ] Wp
（切应力强度条件）
（扭转） max
max [ ]
第7章 应力状态分析与强度理论
7-5 强度理论
max
max [ ] 满足 max [ ]
是否强度就没有问题了？
max
第7章 应力状态分析与强度理论
7-5 强度理论
强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概
1 e 1 e 1' e 1" e 1''' [ 1 ( 2 3 )] E 1 ' " ' e 2 e 2 e 2 e 2'' [ 2 ( 3 1 )] ②主应变与主应力关系： E 1 ' " ''' e 3 e 3 e 3 e 3 E [ 3 ( 1 2 )]
③平行1斜截面上应力由2、3作出应力圆上的点确定；
④由弹性力学知，任意斜截面上的应力点落在阴影区内。 2.三向应力状态下的最大剪应力
材料力学7-应力状态和强度理论x
Beijing Jiaotong University<br>Institute of Engineering Mechanics<br>Beijing Jiaotong University<br>Institute of Engineering Mechanics<br>应力状态和强度理论<br>1. 一点的应力状态<br>北京交通大学工程力学研究所<br>汪越胜<br>Wang Yue-Sheng<br>北京交通大学工程力学研究所<br>汪越胜<br>Wang Yue-Sheng<br>应力状态<br>1.一点的应力状态 of Engineering Mechanics Institute<br>Beijing Jiaotong University<br>应力状态<br>1.一点的应力状态 of Engineering Mechanics Institute<br>Beijing Jiaotong University<br>拉、压杆件截面上的应力: 拉、压杆件截面上的应力:<br>拉、压杆件上一点的应力: 拉、压杆件上一点的应力:<br>A<br>FN<br>σβ<br>F σ= N A<br>北京交通大学工程力学研究所<br>σ θ = σ cos 2θ<br>τ θ = σ sin ( 2θ )<br>汪越胜 Wang Yue-Sheng<br>σ<br>单元体<br>σ<br>σ<br>2<br>σ σα<br>σα τα τβ σβ<br>1 2<br>σ α = σ cos α<br>1 τ α = σ sin ( 2α ) 2<br>汪越胜 Wang Yue-Sheng<br>北京交通大学工程力学研究所<br>应力状态<br>1.一点的应力状态 of Engineering Mechanics Institute<br>Beijing Jiaotong University<br>应力状态<br>1.一点的应力状态 of Engineering Mechanics Institute<br>Beijing Jiaotong University<br>构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称为 该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面 上的应力表示。 根据平衡方程<br>∑F<br>n<br>=0<br>∑F<br>t<br>=0<br>单元体如何取？<br>σ θ dA − (σ x dAcosθ )cosθ = 0 τ θ dA − (σ x dAcosθ )sinθ = 0<br>σ θ = σ x cos θ<br>2<br>北京交通大学工程力学研究所<br>1 τ θ = σ x sin (2θ ) 2<br>汪越胜 Wang Yue-Sheng<br>在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面 构成的边长无穷小的六面体，每对相互平行面上 的性质相同的应力大小相等。<br>北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng<br>1<br><br>
材料力学第七章应力状态和强度理论
2 2 xy 85MPa
τxy=40MPa
§7-3 三向应力状态
2 1
3
max 1 3
2
习题
7-4b； 7-5a
习题要求 1）要抄题，画原图；
2）用铅笔、直尺作图
§7-4 广义胡克定律
单向应力状态胡克定律
x
横向变形
x
E
y
x
x
y x
习题
7-1； 3b
习题要求 1）要抄题，画原图；
2）用铅笔、直尺作图
3.二向应力状态图解法－应力圆
y
x
yx xy x
x y
2
x y
2
cos 2 xy sin 2
y´ 2 2 x´ x y 1 2 2 2 x 2 2 x y 4 xy xy
2 4
C
C
C
CF
C
P FsC 50 KN 2 3 MC y 25 10 150 10 3 12 IZ 200 6003 10 12
b
1.04 MPa（压应力）
S *Z 50 103 150 200 225 10 9 12 sC IZ b 200 6003 10 9 200 10 3
τxy=40MPa
§7-3 三向应力状态
2 1
3
max 1 3
2
习题
7-4b； 7-5a
习题要求 1）要抄题，画原图；
2）用铅笔、直尺作图
§7-4 广义胡克定律
单向应力状态胡克定律
x
横向变形
x
E
y
x
x
y x
习题
7-1； 3b
习题要求 1）要抄题，画原图；
2）用铅笔、直尺作图
3.二向应力状态图解法－应力圆
y
x
yx xy x
x y
2
x y
2
cos 2 xy sin 2
y´ 2 2 x´ x y 1 2 2 2 x 2 2 x y 4 xy xy
2 4
C
C
C
CF
C
P FsC 50 KN 2 3 MC y 25 10 150 10 3 12 IZ 200 6003 10 12
b
1.04 MPa（压应力）
S *Z 50 103 150 200 225 10 9 12 sC IZ b 200 6003 10 9 200 10 3
材料力学应力状态分析强度理论
y xy
x
主平面的方位：
tg20
2xy x y
60 0.6 6040
代入 表达式可知
0 15.5,
01.59010 .55
主应力 1 方向：0 15.5
主应力 3 方向：0 10.55
17
§7—2 二向应力状态分析——解析法
10
§7—2 二向应力状态分析——解析法
x
a
y yx xy
x
y
α a
x
xy yx
y
n
a
x
t
正负号规则：
正应力：拉为正；反之为负 切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。
α角：由x 轴正向逆时针转
到斜截面外法线时为正；反 之为负。
11
§7—2 二向应力状态分析——解析法
单向应力状态：两个主应力为零
3
2
1
7
§7—2 二向应力状态分析——解析法
1.斜截面上的应力
x
α
y
yx xy
x
y
x α a
n
a
xy
dA
yx
t
y
Fn 0 Ft 0
8
§7—2 二向应力状态分析——解析法
列平衡方程
Fn 0
x
材料力学7-第七章应力状态分析强度理论汇总
第七章 应力状态分析 强度理论
§ 7.1 应力状态概述
、工程实例
1. 压缩破坏
2. 弯曲拉伸破坏
3. 弯曲剪切破坏
4. 铸铁扭转破坏
5. 低碳钢扭转破坏
、应力状态的概念
1. 点的应力状态
过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。
2. 一点应力状态的描述 以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体 （单元
体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上 的应力可描述一点应力状态。
3. 求一点应力状态
（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡 （2）单元体任意部分平衡
（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力， 即点在任意方位的应力。 三、应力状态的分类
1. 单元体：微小正六面体
2. 主平面和主应力： 主平面：无切应力的平面 主应力：作用在主平面上的正应力
3. 三种应力状态
单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如 A 、E 点 二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如 B 、D 点 三向应力状态：三个主应力都不等于零
斜向主 拉应力
垂直裂缝 斜裂缝
四、应力状态分析的方法
1. 解析法
2. 图解法
7.2 应力状态分析的解析法
、解析法
q
图示单元体，已知应力分量x y 、xy 和yx 。
y y
（一）任意截面上的正应力和切应力：
利用截面法，考虑楔体 bef 部分的平衡。设 ef 面的面积为 dA ， F n 0 dA ( xy dA cos )sin ( x dA cos )cos ( yx dA sin )cos ( y dAsin )sin 0 F t 0
dA ( xy dA cos )cos ( x dAcos )sin ( y dA sin )cos ( yx dAsin )sin 0
材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
7.1 一点的应力状态的概念
3/95
7.1 一点的应力状态的概念
问题的提出 低碳钢和铸铁的拉伸试验
问题：塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
4/95
7.1 一点的应力状态的概念
问题的提出 低碳钢和铸铁的扭转试验
问题：为什么脆性材料扭转时沿45º 螺旋面断开？
5/95
7.1 一点的应力状态的概念 应力的点的概念
sx s y
2
s x s y 2 t xy 2
D(sx,txy) C
A1
s3 ?
0 A2 D'(sy,tyx)
s
s3 0
29/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆求主单元体（主应力的大小和方位）
t
s2 s1
s3
t
s1
t
s3 s2
n
0
s y dA sin a cosa t yxdA sin asina 0
dA
a
sx txy
sa a ta
t
sy tyx
n 根据切应力互等, txy和tyx在数值上相等，化简得 x
sa
ta
sx s y
2
s x s y
2
cos2a t xy sin2a
s x s y
材料力学第7章 应力和应变分析 强度理论
V1 (1 1 2 3 )V
V1 V 体积改变: 1 2 3 V m 1 2 1 2 3 ( 1 2 3 ) E K
平均应力： m ( 1 2 3 ) / 3 体积弹性模量： K
/E
/ E
/G
对于各向同性材料，当变形很小且在线弹性 范围内，线应变只与正应力有关，而与切应
力无关；切应变只与切应力有关，而与正应
力无关。
3）广义胡克定律：
y z x x x / E y / E z / E y x / E y / E z / E z x / E y / E z / E
E 3(1 2 )
8.27 已知：σ＝30MPa， τ=15MPa，E=200GPa， μ＝0.30，试求对角线AC 的长度改变Δl。
C σ A 30º τ
30＝ ＋ cos 60 sin 60 7.5( 3 3 ) 解：
120＝ ＋ cos 240 sin 240 7.5(1 3 )
v 1 1 1 1 2 2 1 3 3 2 2 2 2 2 1 [ 12 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 )] 2E
v = vv+ vd
2）体积改变比能：
材料力学第七章 应力状态
yx
y
xy a 0
max
总结： 任一斜截面上的应力：
a
x
y
2
x
y
2
cos 2a
xy
sin 2a
a
x
2
y
sin
2a
xy
cos
2a
主应力的大小：
max x y
min
2
x
2
y
2
2 xy
将 max、 min、0 按代数值排序，得 1、 2、 3 1 2 3
0
a x cos2 a y sin2 a 2 xy sina cosa
a ( x y )sina cosa xy (cos2 a sin2 a )
一）任一斜截面上的应力
a x cos2 a y sin2 a 2 xy sina cosa
a
( x
y )sina
cosa
min
x
2
yx
2 xy
xy
2 2
y
2
2xy
2
2
xy
cos 2a0
x y
(4)
x y 2 2 xy 2
tan 2a 0
2 xy x
y
(3)
x y 2 2 xy 2
2a0
x y
2 xy
材料力学-应力分析、强度理论
切应力2个下标的意义：
第1个下标表示切应力所 τyx
< 0 σy
在的面；
σx
第2个下标表示切应力实际 沿那个坐标轴的方向。
x
τxy > 0
18
7.3 二向应力状态分析----解析法
若图示单元体上的应力
y
σx、 σy 、τxy
ττyxxy
均为已知，
则由平衡方程可求得 σx 斜角为α的斜截面上
α
的应力值(σα, τα)。
σy
Down Up
σy
σα σαx
τα
x
ττxyyx
Σn = 0：σα·dA-(σxdA·cosα)·cosα
+(τxydA·cosα)·sinα - (σy dA·sinα)·sinα
+(τyxdA·sinα)·cosα=0
19
7.3 二向应力状态分析----解析法
Down Up
σα·dA= (σxdA·cosα)·cosα + (σydA·sinα)·sinα
- (τxydA·cosα)·sinα – (τxydA·sinα)·cosα
将上式化简得：
σα=σxcos2α+σysin2α-2τxycosα·sinα
(7.3)
20
同上理列出 t 轴方向的平衡方程:
Σt = 0： τα·dA –(σxdA·cosα)·sinα
材料力学 应力状态分析 强度理论
S
F a
1
z
2 3 Mz
T Wt
x
Fa
T
(+) (−)
τ=
σ = Mz Wz
3
τ= T Wt
M
Fl
σ =−
5
Mz Wz
目录
§7—1 应力状态的概念
σz
z
τ zy τ yz
τ zx
x
σx
σ3
σy
τ xz
σ2
τ xyτ yx
y
σ1
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
6
单元体上没有切应力的面称为主平面； 单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 主平面 称为主应力， 表示， 称为主应力，分别用 σ1,σ2 ,σ3 表示，并且 主应力 该单元体称为主单元体。 该单元体称为主单元体。 主单元体
单位：MPa
23
二向应力状态分析——图解法 §7-3 二向应力状态分析 图解法
解：(一)使用解析法求解 一 使用解析法求解
σ x = 80MPa,
σ y = −40MPa
τ x = −60MPa, α = 30° σ x +σ y σ x −σ y σα = + cos 2α − τ x sin 2α
§7—1 应力状态的概念
空间（三向）应力状态： 空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零 平面（二向）应力状态： 平面（二向）应力状态：一个主应力为零 单向应力状态： 单向应力状态：两个主应力为零
材料力学7—应力分析与强度理论
1
2 0
3
tan2 0
2 xy
x y
2
0 45
max min
x y 2 xy 2
x y tan21 0 1 0 2 xy
0 1
4
, 即极值剪应力面与主平 面成 45
例7-2 分析受扭构件的破坏规律。
Ｍ
yx
C
解：确定危险点并画其原
C
xy
始单元体
x y 0
xy
T Wt
y o x
xy yx
求极值应力
x y 2 2 max x y （ ） xy 2 2 min
P A
A
A
A
A
A
A
A
A
截取单元体的原则是：三对平行平面上的应 力应该是给定的或经过分析后可以求得的，而构 件在各种基本变形时横截面上的应力分布及计算 前面已学过，故单元体的三对平行平面中通常总 有一对平行平面是构件的横截面。
四、应力的标注及正负： 普遍状态下，描述一点处的应 力状态需要九个应力分量。即：
x
2
sin 60 xy cos60
xy 3 x 80MP a 4 2
解得： x 80 160 3 172.4MPa xy 80 40 3 10.7MPa 3
材料力学第七章应力状态和强度理论
当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应 力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢轨在轮轨触点 处就处于空间应力状态(图a)。
第36页 / 共79页
材料力学 (b)
第七章 应力状态和强度理论
空间应力状态最一般 的表现形式如图b所示；
正应力x，y，z的下角
标表示其作用面，切应力
xy，xz，yx，yz，zx，zy
2 0
ar
c
tan
x
2 x
y
第26页 / 共79页
材料力学
第七章 应力状态和强度理论
讨论: 1. 表达图示各单元体 斜截面上应力随角变化的应
力圆是怎样的？这三个单元体所表示的都是平面应力状态 吗？
第27页 / 共79页
材料力学
第七章 应力状态和强度理论
§7-3 空间应力状态的概念
元体上相应两个面之间夹角的两倍，这反映了前述，计 算公式中以2 为参变量这个前提。
第17页 / 共79页
材料力学
第七章 应力状态和强度理论
利用应力圆求 斜截面(图a)上的应力，时，只
需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的点D1所对应的半
径 C D1按方位角的转向转动2角，得到半径 C E ，那 么圆周上E点的坐标便代表了单元体斜截面上的应力。
第7页 / 共79页
第七章 应力状态、应变分析和强度理论
解：
1 sin (1 cos 2 ) 2
2
1 cos (1 cos 2 ) 2
2
sin 2 2 sin cos
cos2 cos2 sin 2
x y
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式
x cos y sin xsin cos y sin cos
( x y ) sin 20 2 xy cos20 0
(σ σy ) x 2 sin2α τ ycos2α 2τ0 0 0 x 0 α 2
即α＝α0 时，切应力为零
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
tan2 0 2 xy
50MPa
(C)
(d)
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
二向应力状态，平面应力状态，是工程中最常见的
应力状态。
为了对构件进行强度计算，必须了解危险点的应力
状态，求出主应力的大小和主平面的方位，以此作为对 构件计算的依据。 研究方法有两种，解析法和几何法。
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式
1
1
1
1
3
3
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念 2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
1 sin (1 cos 2 ) 2
2
1 cos (1 cos 2 ) 2
2
sin 2 2 sin cos
cos2 cos2 sin 2
x y
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式
x cos y sin xsin cos y sin cos
( x y ) sin 20 2 xy cos20 0
(σ σy ) x 2 sin2α τ ycos2α 2τ0 0 0 x 0 α 2
即α＝α0 时，切应力为零
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
tan2 0 2 xy
50MPa
(C)
(d)
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
二向应力状态，平面应力状态，是工程中最常见的
应力状态。
为了对构件进行强度计算，必须了解危险点的应力
状态，求出主应力的大小和主平面的方位，以此作为对 构件计算的依据。 研究方法有两种，解析法和几何法。
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式
1
1
1
1
3
3
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念 2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
材料力学刘鸿文第四版第七章：应力和应变分析强度理论
目录
7-3 二向应力状态分析-解析法
{ 利用三角函数公式
cos2 1 (1 cos 2 )
2
sin2 1 (1 cos 2 )
2
2 sin cos sin 2
并注意到 yx xy 化简得
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
x
1 E
[ x
(
y
z )]
y
1 E
[
y
( z
x )]
z
1 E
[ z
(
x
y )]
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
目录
7-11 四种常用强度理论
杆件基本变形下的强度条件
（拉压）
max
FN ,max A
[ ]
1 0
1 －构件危险点的最大伸长线应变
1 [ 1 ( 2 3 )] / E
0 －极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得
0 b /E
目录
7-11 四种常用强度理论
材料力学9应力状态分析与强度理论
E
E
?! !!
2
1
3
34
§13.6 广义胡克定律
纵向应变：
横向应变：
E
1引起的应变为
1
1
E
E
2 、 3引起的应变为
1
2
E
1
3
E
当三个主应力同时作用时：
1
1 E
1 （ 2 3）
2 1
3
35
广义胡克定律：
1 2
3
1
E 1
E 1
E
1 （ 2 3） 2 （ 3 1） 3 （1 2）
2 x
(x x0 )2 ( y y0 )2 R2
圆周坐标值代表应力单元体中任意斜截面上的应力
15
一、应力圆(续)
x
y
2
2
2
x
y
2
2
2 x
圆心坐标为
x
2
y
，0
应力圆 莫尔(Mohr)圆
半径为
x
2
y
2
2 x
16
x
y
2
2
2
x
y
2
2
2 x
应力圆实际上可如图a所示作出，亦即使单元体 x
(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；
(3)最大切应力值。
材料力学应力与应变分析强度理论
同理： F 0
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
n
Ox
图2
二、极值应力
令:d
d
0
x y
sin202 xy cos200
由此得两个驻点：
tg2 0
2 xy x
y
、（
0
0
）和两个极值：
2
i
j
x
y
2
±（ x
y
2
2
）
2 xy
y
y
x
xy
0 0 极值正应力就是主应力 ！ O
2
§7–3 平面应力状态分析——图解法
y
x
y
xy
Ox
x
y
y
xy
Ox
一、应力圆（ Stress Circle）
x
2
y
x
2
y
cos2
xy
sin2
x
2
y
sin2
xy
cos2
对上述方程消去参数（2），得：
x
2
y
2
2
x
2
y
2
2 xy
n 此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，
由德国工程师：Otto Mohr引入）
无论构件处于何种应力状态构件发生脆性断裂的主要原因是构件内的最大拉应变最大伸长线应变达到同一材料在单向拉伸发生脆性断裂时的极限应变值
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sz
z
txy
sx
x
t xy t yx
六、原始单元体（已知单元体）：
例1 P 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 A P
sx
A
sx t yx
y
B z P M
sx
tzx
C
x
B
txz
sx
C
t xy
七、主单元体、主面、主应力：
y
sy sx
主单元体(Principal bidy)： 各侧面上剪应力均为零的单元体。 主面(Principal Plane)： x
第七章 应力状态分析
§7–1 应力状态的概念
§7–2 平面应力状态分析——解析法
§7–3 平面应力状态分析——图解法 §7–4 梁的主应力及其主应力迹线
§7–5 三向应力状态研究——应力圆法 §7–6 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律） §7–7
作业
复杂应力状态下的变形比能
sy
y
sx sz
z
txy
x
依叠加原理,得:
x
sx
E E E 1 s x s y s z E
sy
sz
E 1 y s y s z s x E 1 z s z s x s y E
对上述方程消去参数（2），得：
sx
y O
sy
x
txy
t
s x s y s x s y 2 2 s t t xy 2 2 n
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，
2
2
t
由德国工程师：Otto Mohr引入）
sx
y
sy
x
txy
图2
t
F 0
n
n
s S s x S cos2 t xy S cos sin
s y Ssin 2 t yx Ssin cos 0
O
t
sy sx
y
考虑剪应力互等和三角变换，得：
txy
x
图1
s x s y s x s y s cos2 t xy sin 2 2 2
sy
s t
y x t n D( s , t C O 2 O
n
二、应力圆的画法 建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A(s x，txy)和 B(sy，tyx) x
sx
txy
A(sx ,txy)
AB与s 轴的交点C便是圆心。 以C为圆心，以AC为半径画 圆——应力圆；
s x s y 2 2 （ ）t xy 2
例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa) 解：主应力坐标系如图 在坐标系内画出点
A(95,25 3)
25 3
s2
45 B
150°
95
A
0
25 3
s1
B(45,25 3)
t (MPa)
B A 20MPa
AB的垂直平分线与
s 轴的交点C便是
xy
t xy
yz G t zx zx
G
t yz
G
主应力 --- 主应变关系
1 s 1 s 2 s 3 E 1 2 s 2 s 3 s 1 E
1
3
1 s 3 s 2 s 1 E
方向一致
tg2 0
t yx
C M C
解：确定危险点并画其原
始单元体
t xy
txy
s x s y 0 Mn t xy t WP
求极值应力
tyx
y O
s x s y 2 2 s 1 s x s y （ ）t xy 2 2 s 2
2 t xy t
x
s 1t ;s 2 0;s 3 t
同理：
O
s
sx
y
sy
x
txy
图2
t
s x s y t sin 2 t xy cos2 2
n
O
t
二、极值应力
ds 令: s x s y sin2 0 2t xy cos2 0 0 d 0
由此的两个驻点：
01、（ 01 ）和两各极值：
sz
z
剪应力为零的截面。
主应力(Principal Stress ）：
s2 s1
主面上的正应力。
主应力排列规定：按代数值大小，
s3
s 1s 2 s 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。 二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。 单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
B A
30 z
t （MPa ）
C 40 50
B
t max
图，画应力圆和 点s1′,得: 10
x
s s2 s1 (MPa)
解：由单元
s3
体图知：y
z面为主面 A
50 s1
s 1 58 s 2 50 s 3 27 t max 44
§7–6 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系 ——（广义虎克定律）
且偏向于sx 及sy大的一侧。 y
sy
主 单元体
s2
sx
txy s 1
x
dt 令: d
0
1
s x s y tg21 2t xy
O
sx sy 2 2 tmax ± （ ）tx y 2 tmin
0 1
4 , 即极值剪应力面与主面成450
例2 分析受扭构件的破坏规律。
s x s y 2 2 t max （ ）t xy t 2 t min
破坏分析
tg2 0
2t xy
s x s y
0 45
s x s y tg21 0 10 2t xy
低碳钢 : s s 240MPa;t s 200MPa
x
t
s
z
s3
s2
s1
2、三向应力分析 y
t
t max
s1 s2 s3
s
s3
x
图a
s2
s1
图b
z
弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应
力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。
整个单元体内的最大剪应力为：
t max
s 1 s 3
2
例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa） y 建立应力坐标系如
s
B(sy ,tyx)
sy
s t
y
n
三、单元体与应力圆的对应关系 面上的应力(s ，t ) 应力圆上一点(s ，t )
sx
txy
面的法线
x t n D( s , t C O 2 O x
应力圆的半径
A(sx ,txy)
两面夹角 且转向一致。
两半径夹角2 ；
s
灰口铸铁 : s Lb 98~280MPa
低碳钢
s yb 640~960MPa;t b 198 ~300MPa
铸铁
§7–3
平面应力状态分析——图解法
一、应力圆（ Stress Circle）
sy sx
y O x
txy
s
Fra Baidu bibliotek
s x s y s x s y s cos2 t xy sin2 2 2 t s x s y sin2 t cos2 xy 2
1
t
s3 s3
D1 A2 C A1 D2 O
s
D1
A2
D1 D1
20 C O
t
A1
D2
s1
3
0 s3
–45°
s
t
20= –90°
C O D2
s t
A2 O
D2 20 C
s1
s3 0 t
D2 A2 C O
D1 A1
s
s1
5
s1
A1 D1
s
主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示
一、单拉下的应力--应变关系 y
sx
sx x E
y s x E
z s x
E
ij 0 (i,jx,y,z)
z
x
y
二、纯剪的应力--应变关系
xy
t xy
G
i 0 (ix,y,z)
yz zx 0
z
txy
x
三、复杂状态下的应力 --- 应变关系 1 x s x s y s z
着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。
实线表示拉主应力迹线； 虚线表示压主应力迹线。 拉力
s3
s1
压力
y
1 a 2 b c d 3 4 i n
主应力迹线的画法：
x
1 2 3 4 截面截面截面截面
i 截面
n 截面
q
s1
s3
§7–5 三向应力状态研究——应力圆法 1、空间应力状态 y
s1 s2 s3
25 3
45
150°
95
60°
s x s y 2 2 s 1 s x s y （ ）t xy 2 2 s 2
25 3
s y 45MP a t yx 25 3MP at xy
s x ?
y O x
s 60 95MPa t 60 25 3MPa
t
s x s y
2
sin2 t xy cos2
xy
x y
2t xy
s x s y
tg2 0
四、平面状态下的应力---应变关系: E s x x y 2 1 E s y y x 2 1
s z t yz t zx 0
t xy G xy
主应力与主应变方向一致?
xy tg2 0 tg2 0 s x s y E [( )(1 )] ( x y ) x y 1 2
§7–4 P1 1 2 3 4 5 P2
梁的主应力及其主应力迹线 q 如图，已知梁发生剪切弯 曲（横力弯曲），其上M、 Q>0，试确定截面上各点主
应力大小及主平面位置。
单元体：
My s x Iz
QS z t xy b Iz
s 1 s x sx 2 2 （ ）t xy 2 s 3 2
2t xy
2 xyG
五、体积应变与应力分量间的关系
V a1a2 a3
V1a1 (11 )a2 (1 2 )a3 (1 3 )
B(sy ,tyx)
四、在应力圆上标出极值应力
t
t max
21 O C B(sy ,tyx) 2 0
x A(sx ,txy)
s 1 OC R半径 s 3
s x s y
2
（
s x s y
2
2 2 ） t xy
s3 s2
s1
s
t min
t max s max s min R半径 2 t min
§7–１ 应力状态的概念 一、引言 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ P M 低碳钢 铸铁拉伸 铸铁压缩 P
铸铁
P P
2、组合变形杆将怎样破坏？ M
二、一点的应力状态：
过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合， 称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。 三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质——a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。
sx
tzx
B
txz
sx
sx
A
sx
§7–2 平面应力状态分析——解析法 y
sy
等价
sy sx
y x O x
txy
z
sx
txy
sy sx
y
一、任意斜截面上的应力 规定：s 截面外法线同向为正；
txy
x
图1
t 绕研究对象顺时针转为正；
逆时针为正。 设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：
O
s
圆心，以C为圆心， 以AC为半径画
s3
2s0
C
O s2
s1
圆——应力圆
(MPa)
s
主应力及主平面如图
s 1 120 s 2 20 s 3 0
25 3
s2
45 B
150°
95
A
0
25 3
s1
0 30
t (MPa)
B A 20MPa
s3
2s0
C
O s2
s1
(MPa)
s
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
2
tg2 0
2t xy
sx sy sx sy 2 sm´ 2 ax t ± （ ） xy ´ s 2 2 m in
t 0 极值正应力就是主应力 ！
0
s x s y sy
sx
y O x
txy
s max ; s2 s min s1
s1在剪应力相对的项限内，
sy
y
sz
z
txy
sx
x
四、普遍状态下的应力表示
五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分
量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相
离。
证明 : 单元体平衡
sy
y
M
z
0
(t xydydz)dx(t yxdzdx)dy0