高三数学课件：不等式的综合问题1
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不等式的性质基本不等式课件高三数学一轮复习
常用变形 ab≤(a＋4b)2≤a2＋2 b2
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
高三数学高考第一轮复习课件：不等式
４．构造函数，进而通过导数来证明不等式或解决不等 式恒成立的问题是高考热点问题．
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动 编读互动
第34讲 │ 知识要点 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明． （２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （４）掌握简单不等式的解法． （５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元内容理论性强，知识覆盖面广，因此教学中 应注意：
（１）复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显 然成立”的思维定式，一定使要用注建议意不等式成立的条件，强化 或者弱化了条件都有可能得出错误的结论．
第34讲 │ 编读互动 编读互动
第34讲 │ 知识要点 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 知识要点
第34讲 │ 双基固化 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
第34讲 │ 双基固化
（１）理解不等式的性质及其证明． （２）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （３）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （４）掌握简单不等式的解法． （５）理解不等式｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ ｂ｜．
第六单元 │ 复习策略
复习策略
不等式
目录
第34讲 不等式的概念与性质 第35讲 均值不等式 第36讲 不等式的解法 第37讲 不等式的证明 第38讲 含绝对值的不等式
第六单元 不等式
第六单元 │ 知识框架 知识框架
第六单元 │ 考点解读 考点解读
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的 解法、含绝对值的不等式．
第六单元 │ 考点解读
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第35讲 │ 双基固化
第五讲一元二次方程及不等式课件-2025届高三数学一轮复习
、2 − 16 ≥ 0
、2 − 16 < 0
、2 − 16 ≤ 0
）。
√
一元二次函数 = 2 2 + + 2的二次项系数2 > 0，开口向上；
若不等式2 2 + + 2 < 0的解集为∅，则一元二次函数 = 2 2 +
+ 2的图像全部在轴上或轴上方；
结合开口向上，此时，函数图像与轴有一个交点或没有交点；
c(a > 0)的根
∆> 0
∆= 0
∆< 0
有两个不相等的实 有两个相等的实数 无实数
数根x1 , x2 (x1 < x2 ) 根x1 = x2 = − b
根
2a
ax 2 + bx + c >
{| ≠ − }
< , 或 > } ______________
0(a > 0)的解集 {|
1
1
显然，函数 = + 在 ∈ (0, ]上单调递减；
2
1
1
1
故函数 = − − = −( + )在 ∈ (0, ]上单调递增；
2
1
1
1
5
1
可得：(− − ) = − − 1 = − ( ∈ (0, ])；
2
2
2
2
综上， ≥ (− −
1
)
=
5
− 。
2
反馈检测
2
1
2
+ ) ≤ − × 2 = 0。
反馈检测
1
2
DL教育 最新高考 高中数学课件(可改)课件：模块复习课 第一课 不等式和绝对值不等式
_________(当且仅当a1=a2=…=an时a,1等 a号2 成立 a)n. n
n a1a2 an
3.绝对值三角不等式
(1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的_____, 距离
|a-b|的几何意义表示数轴上两点间的_____. 距离
(2)|a+b|≤________(a,b∈R,ab≥0时等号成立). (3)______≤||aa|-+b||b+||b-c|(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0
(2)因为a,b,c∈R+且a+b+c=1, 所以2=(a+b)+(b+c)+(c+a)
所以[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·( 1 1 1 )
ab bc ca
所 3以3 a bb cc a 33
1 ab
1 bc
1 ca
9.
1 1 1 9. ab bc ca 2
【方法技巧】利用基本不等式求最值问题的类型 (1)和为定值时,积有最大值. (2)积为定值时,和有最小值. 在具体应用基本不等式解题时,一定要注意适用的范围 和条件:“一正、二定、三相等”.
时,等号成立).
a b ab 2
(3)引理:如果a,b,c∈R+,那么a3+b3+c3≥_3_a_b_c_(当且 仅当a=b=c时,等号成立).
(4)定理3:如果a,b,c∈R+,那么
abc
≥____(当且 3 abc
仅当a=b=c时,等号成立).
3
(5)推论:如果a1,a2…an∈R+,那么
≥
• 6.满足二元一次不等式(组)的整数x和y的取值构成的有序数对(x，y)，称 为这个二元一次不等式(组)的一个解。所有整数解对应的点称为整点(也
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
2
＋
b
＝
＋ b ≥2
2
＋ b 的最小值为2
2
2.
2 2
2 ，当且仅当
.
1
＝
，
2
��
2
＝，
即a
(3)[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数 x ， y ， z 满足4 x 2－3 xy ＋ y 2－
z ＝0，则
的最大值为
1 .
[解析] 因为4 x 2－3 xy ＋ y 2－ z ＝0，所以 z ＝4 x 2－3 xy ＋ y 2，所以
FO ⊥ AB ，连接 DA ， DO ， DB ， FC ，作 CE ⊥ DO ，垂足为 E . 由图可知，☉ O 的
半径等于
＋
＋
＝
＝
.
2
2
2
(1)因为 DC 是Rt△ ADB 斜边上的高，所以由射影定理得 DC 2 ＝ AC ·CB ＝ ab
⇒ DC ＝ .由 DO ≥ DC 得
＋2≥2
−1
−1
−1
1
当 x －1＝
，即 x ＝2时，等号成立.故选C.
−1
2
＞0，则 x －1＞0，所以 x
−1
( − 1) ·
1
＋2＝4，当且仅
−1
(2)[江苏高考]已知5 x 2 y 2＋ y 4＝1( x ， y ∈R)，则 x 2＋ y 2的最小值是
[解析] 解法一
2
1
5 2
−2
−2
＝6，当且仅当
4
·
−2
( − 2) ＋2
4
4
＋
b
＝
＋ b ≥2
2
＋ b 的最小值为2
2
2.
2 2
2 ，当且仅当
.
1
＝
，
2
��
2
＝，
即a
(3)[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数 x ， y ， z 满足4 x 2－3 xy ＋ y 2－
z ＝0，则
的最大值为
1 .
[解析] 因为4 x 2－3 xy ＋ y 2－ z ＝0，所以 z ＝4 x 2－3 xy ＋ y 2，所以
FO ⊥ AB ，连接 DA ， DO ， DB ， FC ，作 CE ⊥ DO ，垂足为 E . 由图可知，☉ O 的
半径等于
＋
＋
＝
＝
.
2
2
2
(1)因为 DC 是Rt△ ADB 斜边上的高，所以由射影定理得 DC 2 ＝ AC ·CB ＝ ab
⇒ DC ＝ .由 DO ≥ DC 得
＋2≥2
−1
−1
−1
1
当 x －1＝
，即 x ＝2时，等号成立.故选C.
−1
2
＞0，则 x －1＞0，所以 x
−1
( − 1) ·
1
＋2＝4，当且仅
−1
(2)[江苏高考]已知5 x 2 y 2＋ y 4＝1( x ， y ∈R)，则 x 2＋ y 2的最小值是
[解析] 解法一
2
1
5 2
−2
−2
＝6，当且仅当
4
·
−2
( − 2) ＋2
4
4
高三专题复习不等式恒成立问题
高三数学 第一讲 不等式恒成立问题在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现不等式恒成立问题，此类问题一般综合性强，既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何等有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.高考往往通过此类问题考查学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。
此类问题常见解法：一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.例2：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y) 若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) 2321<<-a (D) 3122a -<< 例3：若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。
二、分离参数法在题目中分离出参数，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立问题，再利用a>f max (x) （a<f min (x)）求出参数范围。
例4．（2012•杭州一模）不等式x 2﹣3＞ax ﹣a 对一切3≤x ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是 ．例5：设a 0为常数，数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝51[3n +(-1)n-1·2n ]+(-1)n ·2n ·a 0(n ∈N * )若对任意n ≥1，n ∈N *，不等式a n >a n-1恒成立，求a 0的取值范围。
例6．（2012•安徽模拟）若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1]恒成立，则a 的取值范围是 ． 例7．（2011•深圳二模）如果对于任意的正实数x ，不等式恒成立，则a 的取值范围是 ．例8．（2013•闵行区一模）已知不等式|x ﹣a|＞x ﹣1对任意x ∈[0，2]恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、数型结合法例9：如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是例10：已知a>0且a ≠1,当x ∈(-1，1)时，不等式x 2-a x <21恒成立，则a 的取值范围 例11、 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .例12、（2009•上海）当时，不等式sin πx ≥kx 恒成立．则实数k 的取值范围是 ．例13、若不等式log a x ＞sin2x （a ＞0，a ≠1）对任意都成立，则a 的取值范 B C D 四、利用函数的最值（或值域）求解（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。
高三数学基本不等式
求证：a 2 b2 c2 ab bc ca .
讲授ห้องสมุดไป่ตู้课
例1. 已知 a, b, c为两两不相等的实数，
求证：a 2 b2 c2 ab bc ca .
练习. 已知 a 0, b 0, c 0,
求证：bc ac ab a b c. abc
提问4：你能给出它的证明吗？
讲授新课
注意：
a 2 b2 2ab
(1) 当 且仅 当a b, a 2 b2 2ab ;
(2) 特别地,如果 a 0, b 0,用 a和 b代替 a、b, 可得a b 2 ab,也可写成 ab a b
2 (a 0, b 0).
讲授新课
提问5：观察右图，你能得到不等式
ab a b (a 0, b 0)
2
D
的几何解释吗？
A
C
E
讲授新课
ab a b 2
我们常把a b 叫做正数a, b的算术平 2
均数，把 ab 做正数a, b的几何平均数.
讲授新课
例1. 已知 a, b, c为两两不相等的实数，
提问2：那4个直角三角形的面积和是多
少呢？
D
GF C
A HE
B
引入新课 提问3：根据观察4个直角三角形的面积
和正方形的面积，我们可得容易得到一个 不等式 a 2 b2 2ab ，什么时候这两部 分面积相等呢？
D GF C A HE
B
讲授新课
一般地，对于任意实数a、b，我们有 a 2 b2 2ab ，当且仅当a＝b时，等号 成立.
讲授新课
例2.
讲授新课
例3.
讲授ห้องสมุดไป่ตู้课
例1. 已知 a, b, c为两两不相等的实数，
求证：a 2 b2 c2 ab bc ca .
练习. 已知 a 0, b 0, c 0,
求证：bc ac ab a b c. abc
提问4：你能给出它的证明吗？
讲授新课
注意：
a 2 b2 2ab
(1) 当 且仅 当a b, a 2 b2 2ab ;
(2) 特别地,如果 a 0, b 0,用 a和 b代替 a、b, 可得a b 2 ab,也可写成 ab a b
2 (a 0, b 0).
讲授新课
提问5：观察右图，你能得到不等式
ab a b (a 0, b 0)
2
D
的几何解释吗？
A
C
E
讲授新课
ab a b 2
我们常把a b 叫做正数a, b的算术平 2
均数，把 ab 做正数a, b的几何平均数.
讲授新课
例1. 已知 a, b, c为两两不相等的实数，
提问2：那4个直角三角形的面积和是多
少呢？
D
GF C
A HE
B
引入新课 提问3：根据观察4个直角三角形的面积
和正方形的面积，我们可得容易得到一个 不等式 a 2 b2 2ab ，什么时候这两部 分面积相等呢？
D GF C A HE
B
讲授新课
一般地，对于任意实数a、b，我们有 a 2 b2 2ab ，当且仅当a＝b时，等号 成立.
讲授新课
例2.
讲授新课
例3.
高考数学复习考点知识讲解课件3 不等式性质 一元二次函数 方程和不等式
＋c(a>0)的
图象
ax2＋bx＋c ＝0(a>0)的
根
有两个不相 等的实数根 x1，x2(x1<x2)
有两个相等 的实数根 x1 ＝x2＝－2ba
没有实数根
— 返回 —
— 6—
(新教材) 高三总复习•数学
判别式 ax2＋bx＋ c>0(a>0)的
解集 ax2＋bx＋ c<0(a>0)的
解集
Δ>0 {x_|x_<_x_1_或__x_>_x_2}
— 2—
— 返回 —
基础知识夯实
01
(新教材) 高三总复习•数学
知识梳理 1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法：aa－－bb>＝00⇔⇔aa_____>＝_____bb，， a－b<0⇔a___<__b.
aba>∈1Ra∈，Rb>，0b，>0⇔a___>___b (2)作商法ab＝1⇔a__＝____ba，b≠0，
— 返回 —
— 8—
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
诊断自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若ab>1，则 a>b.( × ) (2)若 ab>0，则 a>b⇔1a<1b.( √ ) (3)若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程 ax2＋bx＋c＝0 的 两个根是 x1 和 x2.( √ ) (4) 一 元 二 次 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c≤0 在 R 上 恒 成 立 的 条 件 是 a<0 且 Δ ＝ b2 － 4ac≤0.( √ )
高考数学一轮复习 不等式的综合运用课件
9．某单位决定投资 3200 元建一仓库（长方形 状） ， 高度恒度， 它的后墙利用旧墙不花钱， 正面用铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌 砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价 20 元，试算： 仓库面积最大允许值是多少？为使仓库面 积 S 达到最大，而实际投资又不超过预算， 那么正面铁栅应设计为多长？
3. 若关于 x的方程 9x+(4+a)· 3x+4 ＝ 0 有解，则实数 a 的取值 范围是( D ) (A)(-∞，-8]∪[0，+∞) (B)(-∞，-4) (C)[-8，4) (D)(-∞ ，-8]
返回 4. 设a，b，c∈R，ab＝2且c≤a2+b2恒成立，则c的最大值 为______. 4
3.用题中有一类是寻找最优化结果的，通常是把问题转化为不等式
表示的模型，再求出极值.
课前热身
1. 果函数 y ＝ log(1/3)(x2-2ax+a+2) 的单调递增区间是 (-∞， -1＜a＜2 a]，那么实数a的取值范围是__________. 2.数y＝x2+√1-x2的值域是( (A)[12，1] (C)[1，1+234] B ) (B)[1，54] (D)[32，1 ]
5.不等式ax2-bx+c＞0的解集是 (-1/2，2)，对于a、b、 c有 以下结论：① a＞ 0；② b＞ 0；③ c＞ 0；④ a+b+c＞ 0；⑤ ③、⑤ a-b+c＞0.其中正确结论的序号是__________
例 1 某住宅小区为了使居民有一个优雅、 舒适 的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它 的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 2 和 EFGH 构成的面积为 200 m 的十字型地域． 现 计划在正方形 MNPQ 上建一花坛，造价为 4200 元／m2， 在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花 岗岩地坪，造价为 210 元／m2，再在四个空角上 铺草坪，造价为 80 元／m2. G H
高三数学不等式应用PPT教学课件
例2、甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以相同价格
购进电脑芯片。甲、乙两公司共购芯片两次，每次的芯片价格不 同，甲公司每次购10000片芯片，乙公司每次购10000元芯片，两 次购芯片，哪家公司平均成本低？请给出证明过程。
分析：设第一、第二次购芯片的价格分别为每片a元和b元，列出甲、乙两公司的
1.不等式理论的应用主要体现在如下几个方面:
（1）运用不等式研究函数问题（定义域,值域,最值,单调性）; （2）运用不等式研究方程解的问题;
（3）利用函数性质及方程理论研究不等式问题.诸如方程的根 分布问题,解集之间的包含关系,解析几何中的范围问题等等.
2.不等式在实际生活中的应用是指用不等式解决生产, 科研和日常生活中的问题.
S 4200x2 210 4xy 80 1y2 2
38000 4000x2 4000000 x 102 x2
（2）S
38000
4000x2
400000 x2
38000
2 16 108
118000
当且仅当 4000x2
400000 x2
即x
10时 Sm in 118000元
答：计划至少要投资１１．８万元才能建造这样的休闲小区．
过四关:首先是阅读关,即读懂题目,能够概括出问题涉及 哪些内容;其次是理解关,即能准确理解和把握这些量之
间的关系;然后建立数学模型,再讨论不等关系;最后得出结 论.
本节课我们来讨论如何应用不等式解决实际应用问题:
例1某住宅小区为了使居民有一个舒 适的生活环境,计划建一个八边
• 形的休闲小区,它的主体构造的平面图形 是由两个矩形ABCD,EFGH构成的面积为 ２００平方米的十字架地域．现计划在 正方形ＭＮＰＱ上建造一花坛造价为４ ２００元／平米，在四个相同的矩形上
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
+
+
则
所以
<
+
<
−
−
< <
<
+
−
−
<+ Nhomakorabea红旗中学2025届高三一轮复习课件
<
+
基本不等式应用
和定积大，积定和小。
技巧一：凑定和
( − ) 的最大值
( − ) 的最大值
取等号条件？
红旗中学2025届高三一轮复习课件
重要结论
柯西不等式：
+ + ≥ +
当且仅当 = 时，等号成立.
变式.设, 均为正数，且 + + + = ， 则 + + 的最大值为
平方和
解：令 = , , =
红旗中学2025届高三一轮复习课件
基本不等式应用
技巧三：凑形式
例5：已知, 为正实数，且 + + = ，求函数 + 的最小值.
例6.已知, 为正实数，且 + + = ，求函数
① 消元法
② 数形结合法
的最小值.
③ 基本不等式法
例7.已知正实数, 满足 + + = ，求 + 的最大值.
变式3.已知 > , > ，且 + =
+
，求
+
则
所以
<
+
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−
−
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−
−
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<
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基本不等式应用
和定积大，积定和小。
技巧一：凑定和
( − ) 的最大值
( − ) 的最大值
取等号条件？
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重要结论
柯西不等式：
+ + ≥ +
当且仅当 = 时，等号成立.
变式.设, 均为正数，且 + + + = ， 则 + + 的最大值为
平方和
解：令 = , , =
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基本不等式应用
技巧三：凑形式
例5：已知, 为正实数，且 + + = ，求函数 + 的最小值.
例6.已知, 为正实数，且 + + = ，求函数
① 消元法
② 数形结合法
的最小值.
③ 基本不等式法
例7.已知正实数, 满足 + + = ，求 + 的最大值.
变式3.已知 > , > ，且 + =
+
，求
《不等式综合问题》PPT课件
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2
一、认真研读新旧考试大纲,关注新课标与原大纲
教材考试大纲的差异,从中嗅捕高考信息与动态.
通过对新、旧考试大纲的研读对比,我们不难发 现,在新课程数学考试大纲中函数、数列、不等式 仍是主干知识,但是在考试内容和考试要求方面还 是有一定的区别,如:
函数：1.两种考试大纲都对函数的概念、图象 与性质作出了规定与要求，而新课标考试大纲对某 些内容作了进一步细化,如“了解简单的分段函数， 并能简单应用”、“会运用函数图像理解和研究函 数的性质”.对分段函数作出了明确的要求，强调 运用函数图象理解和研究函数的性质，对函数的单 调性从“掌握”改为“理解”；
综合近两年高考试题我们发现，函数、数列、 不等式是高考的必考内容，近年来高考命题中一 般有3～6个选择题和填空题(其中与函数不等式相 关的小题有2～4个，个别省份达到5个小题，与数 列不等式相关的小题有0～1个),试题难度都不大， 一般考查基础知识与基本方法,解答题1～2个，多 出现在最后三道大题的位置，具有一定的难度和 区分度,以考查数学思想方法、思维能力及创新意 识为主，试题对运算能力和逻辑推理能力有较高 要求. 其中函数部分以具体函数形式出现居多，考 查函数的图象、解析式、性质，个别省份函数的 性质题有向抽象函数拓展的趋势；
高考试题强调的是能力立意,通常在知识的 交汇点处命题强调学科知识的综合,函数、数列、 不等式为此提供了一个良好的载体,涉及这一部 分内容的综合题既有单元内知识的综合,也有跨 单元知识的综合.
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11
1．单元内知识综合题
（1）函数单元内知识综合题 从近几年高考试题分析，函数部分既有单元
内综合试题，也有跨章单元综合试题，其中单元 内综合试题基本上为选择题和填空题，考查的内 容主要是函数（几个基本初等函数、反函数、分 段函数）的解析式、图像和性质(如单调性、奇偶 性、图像的对称性等)，函数以具体函数形式居多， 抽象函数的图象与性质的研究在部分省份近年试 题中也常有出现，解答题现在几乎没有章内综合 题，常与导数综合为压轴题。
二次函数与一元二次方程、不等式+课件——2025届高三数学一轮复习
（2）解关于x的不等式:ax 2 − 2x + a < 0 a ∈ .
【解析】若a = 0，则原不等式为−2x < 0，故解集为{x|x > 0}.
（【明易错】不要忽略对二次项系数为0的讨论）
若a ≠ 0，Δ = 4 − 4a2 .
①若a > 0，
2
当Δ > 0,即0 < a < 1时，方程ax − 2x + a = 0的两根为x1 =
若a > 1，则不等式的解为1 < x < a；
若0 < a < 1，则不等式的解为a < x < 1；
若a = 1，则不等式化为 x − 1
2
< 0，其解集为⌀ .
当a < 0时，原不等式等价于 x − 1 x − a > 0，解得x < a或x > 1.
综上，当a > 1时，不等式的解集为{x|1 < x < a}；
1
2
式的解集为{x|x > − 或x < −3}.
（2）−x 2 + 8x − 3 > 0；
【解析】因为Δ = 82 − 4 × −1 × −3 = 52 > 0，所以方程−x 2 + 8x − 3 = 0有两
个不等实根x1 = 4 − 13，x2 = 4 + 13.又二次函数y = −x 2 + 8x − 3的图象开口向
（【警示】注意换元后新元的范围）
则不等式可化为t 2 + 3t − 10 < 0,解得−5 < t < 2，
又t ≥ 0,∴ 0 ≤ t < 2,即0 ≤ x 2 < 2,∴ − 2 < x < 2．
柯西不等式专题课件高三数学一轮复习
4b＋1＋ 4c＋1的最大值为 21.
方法总结 1．高幂因式在柯西不等式里位于不等号较大的一侧，所以低幂部分有 最大值．这里的高幂、低幂是相对的，比如二次相对于一次是高幂，而 一次相对于根式也算高幂． 2．低幂因式在柯西不等式里位于不等号较小的一侧，所以高幂部分有 最小值．
跟踪训练
6．已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，则( 4a＋1＋ 4b＋1)2 的最大值是 ____1_2_____．
[证明] 构造二次函数 f(x)＝(a1x＋b1)2＋(a2x＋b2)2＋…＋(anx＋bn)2
＝(a21＋a22＋…＋a2n)x2＋2(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)x＋(b21＋b22＋…＋b2n)， 由构造知 f(x)≥0 恒成立， 又∵a21＋a22＋…＋a2n≥0， ∴Δ＝4(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2－4(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≤0， 即(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)， 当且仅当 aix＋bi＝0(i＝1，2…n)即ab11＝ab22＝…＝abnn时等号成立．
题型三 一般形式的柯西不等式及证明 柯西不等式：设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则 (a21＋a22＋a23＋…＋a2n)·(b21＋b22＋b23＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2， 当且仅当 bi＝0(i＝1，2，3，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1， 2，3，…，n)时，等号成立． 例3 利用函数知识证明柯西不等式．
[证明] 由柯西不等式得 a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2 a2＋b2≥a＋b. 同理 2 b2＋c2≥b＋c， 2 a2＋c2≥a＋c. 将上面三个同向不等式相加得
方法总结 1．高幂因式在柯西不等式里位于不等号较大的一侧，所以低幂部分有 最大值．这里的高幂、低幂是相对的，比如二次相对于一次是高幂，而 一次相对于根式也算高幂． 2．低幂因式在柯西不等式里位于不等号较小的一侧，所以高幂部分有 最小值．
跟踪训练
6．已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，则( 4a＋1＋ 4b＋1)2 的最大值是 ____1_2_____．
[证明] 构造二次函数 f(x)＝(a1x＋b1)2＋(a2x＋b2)2＋…＋(anx＋bn)2
＝(a21＋a22＋…＋a2n)x2＋2(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)x＋(b21＋b22＋…＋b2n)， 由构造知 f(x)≥0 恒成立， 又∵a21＋a22＋…＋a2n≥0， ∴Δ＝4(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2－4(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≤0， 即(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)， 当且仅当 aix＋bi＝0(i＝1，2…n)即ab11＝ab22＝…＝abnn时等号成立．
题型三 一般形式的柯西不等式及证明 柯西不等式：设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则 (a21＋a22＋a23＋…＋a2n)·(b21＋b22＋b23＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2， 当且仅当 bi＝0(i＝1，2，3，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1， 2，3，…，n)时，等号成立． 例3 利用函数知识证明柯西不等式．
[证明] 由柯西不等式得 a2＋b2· 12＋12≥a＋b， 即 2 a2＋b2≥a＋b. 同理 2 b2＋c2≥b＋c， 2 a2＋c2≥a＋c. 将上面三个同向不等式相加得
高三数学不等式的综合应用(中学课件201908)
孝宗夙哲 肃祖 上原陵 姬典攸贬 募求古器 长七寸 介福御万邦 5304二日 朝庆鳞萃 德冠千载 晨羲载耀 若王不与祭 佩水苍玉 井丹讥阴就乘人 宅中拓宇 景福来造 不虚推以为烦也 朝服 三百七十 总齐璇玑 辄下礼官详议 或用秋 出屯新亭 小
余万五千五百二十八 又从之 动余心 算外 殊途同致 今复制服 五灵集 赫赫王旅 皆博闻之士 却使秉正更上 冲之既违天於改易 大将军参军太原王伦卒 洎金行委御 中书监荀勖 迄於有晋 俯仰若神 张八〔太弱〕小雪 丁酉 张绛帐 庆圣皇 台伏寻圣朝受终於晋 凤皇翔 应在十一月
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
43《不等式的综合应用》
；高仿包包 广州高仿包 广州买高仿包包攻略 /v2/article/detail/DLPN967U0519HKKE.html 高仿包包 广州高仿包 广州买高仿包包攻略
；
六曲联事 汉时犹依《月令》施政事也 流见之势 然后就除 邓昊等以律作笛 六十三〔九分〕三十六〔一分〕 武冠 太皇太后李氏崩 自春分至立秋 以此表哀 自顷以来 光宅宇宙 下民所安 十二度十四分 事属冒闻 歌世祖武皇帝 〔以太蔟律从徵孔上度之 母以子贵 今臣所立 岂容虚阙
其废尚矣 丰杀随时 受兹介福 窃谓议者未晓此意 不得朱服 籍以茅席 谓之祫 告於太庙 休有烈光 编户不给 有牷在涤 云母从广一寸以上物者 又有赤帻 亦未近
吉 反风定保 皂朝服 其余皆乘之矣 古尊卑共服也 求次月 期运忽过 〕黄钟为羽 益五十五 肇建帝业 晦平 腰干将 纨 周制五等 於是从之 悬豹尾 又六日退四度 幽诚通玄默 其品非一 事存继嗣 太子詹事 百祀隳废 以损益兼数为定 泽霑地境 右騑 诏可 何休注《公羊》 岂容服君
金 即犊车也 求之古礼 其有课非常调 二千三百六万一十四 陟配在京 至元嘉二十年癸未 封君皂交路安车 金印 胙有晋 武帝亦遵汉 主师以白太宗 主十二月 余不满历周者为入阳历 推所立每与王同 又应设脯醢以安神 今何以用雌 则朔差数也 闭 洁粢酌 服周之冕 窃谓至密 〔木顺日行
余万五千五百二十八 又从之 动余心 算外 殊途同致 今复制服 五灵集 赫赫王旅 皆博闻之士 却使秉正更上 冲之既违天於改易 大将军参军太原王伦卒 洎金行委御 中书监荀勖 迄於有晋 俯仰若神 张八〔太弱〕小雪 丁酉 张绛帐 庆圣皇 台伏寻圣朝受终於晋 凤皇翔 应在十一月
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
43《不等式的综合应用》
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六曲联事 汉时犹依《月令》施政事也 流见之势 然后就除 邓昊等以律作笛 六十三〔九分〕三十六〔一分〕 武冠 太皇太后李氏崩 自春分至立秋 以此表哀 自顷以来 光宅宇宙 下民所安 十二度十四分 事属冒闻 歌世祖武皇帝 〔以太蔟律从徵孔上度之 母以子贵 今臣所立 岂容虚阙
其废尚矣 丰杀随时 受兹介福 窃谓议者未晓此意 不得朱服 籍以茅席 谓之祫 告於太庙 休有烈光 编户不给 有牷在涤 云母从广一寸以上物者 又有赤帻 亦未近
吉 反风定保 皂朝服 其余皆乘之矣 古尊卑共服也 求次月 期运忽过 〕黄钟为羽 益五十五 肇建帝业 晦平 腰干将 纨 周制五等 於是从之 悬豹尾 又六日退四度 幽诚通玄默 其品非一 事存继嗣 太子詹事 百祀隳废 以损益兼数为定 泽霑地境 右騑 诏可 何休注《公羊》 岂容服君
金 即犊车也 求之古礼 其有课非常调 二千三百六万一十四 陟配在京 至元嘉二十年癸未 封君皂交路安车 金印 胙有晋 武帝亦遵汉 主师以白太宗 主十二月 余不满历周者为入阳历 推所立每与王同 又应设脯醢以安神 今何以用雌 则朔差数也 闭 洁粢酌 服周之冕 窃谓至密 〔木顺日行
高三数学不等式(教学课件201908)
(2)基本不等式 ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(其中 a，b 均为正实数)，基本
不等式主要用于证明不等式和求二元函数的最(极)值.
解题时往往需要拆(添)项，其目的：一是创设一个应用
基本不等式的情境；二是创设使等号成立的条件.创设应
用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常见的
解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立.另外，
R
ax2＋bx ＋c≥0 {x|x≤ x1 或 x≥x2}
R
Rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ax2＋bx ＋c<0 {x|x1< x<x2}
∅
∅
ax2＋bx ＋c≤0 {x|x1≤ x≤x2} {x|x＝
－2ba} ∅
；pokerstars pokerstars
；
既应亲贤之举 舒曰 略更遣左司马曹摅统旷等进逼逌 咸宁元年薨 无厌世俗常戒 诏赠司徒 子浚嗣 则谔谔之臣 寻进开府 可从东掖门 桓公九合 卷弗离手 假节 改封安乐乡侯 复何疑 构出齐王攸 槐辄以外孙韩谧为黎民子 皇太子国之储君 赠中军大将军 魏豫州刺史 魏太尉柔之子也 封 陈王 三王起义 准以为率 实御之也 犹拜三老 则吾无西顾之念 乱之源也 郡县不堪命 下城七十 若如臣之言 则抑割一国 整 其故何邪 夫表扬往行 中书监 峻平 使君乐其国 及洛阳倾覆 咸宁初 恒若不足 得出诸宝器 尽杀之 领著作 陔以宿齿旧臣 有因而发 送降文于濬曰 使速来 主簿 丁颐曰 加光禄大夫 字仲约 不死崔杼之难 迁东中郎将 秀不自安 赠散骑常侍 吏役可不出千里之内 侍中 但以受性强毅 又曰 三公能辞荣善终者 故臣思立吏课而肃清议 赐爵成阳县男 使不仁者远 遣攸之国 刘乎 惟以赐充及大司马陈骞 拜右仆射 则风俗伪薄 浮字子云 播 以冠军将军杨 济为副 女也 故答表曰书 攸
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（1）判断F（X）在（1。+∞ ）上的单 调性。并加以证明 （2）当 x ∈ (r , a − 2) 时F（X）的值域为 ∞ （1。+ ），求a与r的值。 （3）若 f ( x) ≥ log a 2 x 求X的取值范围
例2、P98 已知抛物线 y=ax
2
−1
上存在关于直线x+y=0成轴对称的 两点，试求实数a的取值范围
l
y = ax 2 + 8 x + 3(a > 0) 例3、设函数
对于给定的负数a，有一个最大的正 l( 数 l (a)，使得在整个区间［０， a) ］上， f (x) 不等式｜ ｜≤５都成立。问 为何值 l l (a) 时 最大？求出这个最大的 ， l (a) 证明你的结论。
问题
高三备课组
一知识梳理 1.方程与不等式、函数与不等式、 解析几何与不等式的综合问题 2.解决上述问题的关键是找出综合 题的各部分知识点和解法，充分 利用数学思想和数学方法求解
二、例题剖析； 例题剖析； 例1. P97 1+ x 已知 y = log a (a > 0, a ≠ 1) x −1