(word完整版)圆的切点弦方程的九种求法-高中数学

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高中数学求切点弦所在直线方程的多种方法解题思路大全

求切点弦所在直线方程的多种方法在学习平面解析几何“直线与圆的方程”一章时，我们会遇到求切点弦所在直线方程的问题，这类问题涉及到的知识点比较多，让初学者感到费解，本文将从不同的角度来探讨它的求法。

为了解答的方便，先给出两个真命题：命题1：已知圆O ：x y r 222+=上一点M （x y 11,），则以点M 为切点的圆的切线方程为x x y y r 112+=。

命题2：已知两相交圆O 1：x y D x E y F D E F 2211112121040++++=+->()，圆O x y D x E y D E F 2222222222040：+++=+->()，则两圆的公共弦所在的直线方程为()()D D x E E y F F 2121210-+-+-=例：已知点P （x y 00,）为圆O ：x y r 222+=外一点，过点P 作圆的切线PM PM 12、，其中M M 12、为切点，求切点弦M M 12所在的直线方程。

解法1：由题意知PM OM PM OM 1122⊥⊥，所以，O 、M 1、P 、M 2四点共圆O '，且OP 为此圆的直径，即圆O '：()()()x x y y x y -+-=+020*********即x y x x y y 22000+--=又M M 12为圆O 、圆O '的公共弦，由命题2知，切点弦M M 12所在直线方程为x x y y r 002+=。

解法2：设M x y M x y 111222(,),(,)由命题1得，PM 1方程为x x yy r PM 1122+=,方程为x x y y r 222+=。

由P PM P PM ∈∈12,，可得x x y y r x x y y r 1010220202+=+=⎧⎨⎪⎩⎪, ∴M x y M x y 111222(,),(,)两点坐标都满足关于x y ,的二元一次方程x x y y r 002+=，而过M M 12、两点的直线有且只有一条，因此，切点弦M M 12所在直线方程为x x y y r 002+=。

三招求圆的切线方程

三招求圆的切线方程江西省永丰中学吴全根求圆的切线方程主要分为已知切线的斜率k 或已知切线上一点两种情况，而已知切线上一点又可分为点在圆上和点在圆外两种情况，面对这几种情况各采用什么方法求圆的切线方程呢？下面教你三招.一、公式法可求过圆上一点的切线方程. 公式如下：① 过圆x 2+y 2= r 2上点P （x 0,y 0)的切线方程为x 0x+y 0y= r 2.② 过圆（x-a)2+(y-b)2= r 2上点P （x 0,y 0)的切线方程为（x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2. ③ 过圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0上点P （x 0,y 0)的切线方程 x 0x+y 0y+D 20x x ++E 20y y ++F=0 . 点评：（1）公式②中当a=b=0时即为公式①.（2）上述公式是利用“圆的切线垂直过切点的半径”这一性质推导的，当切线的斜率不存在时公式也适用.（3）当你忘记了这些公式，可利用公式推导方法求之.例1 求过点A （4，1）且与圆（x-2)2+(y+1)2=8 相切的切线方程.解一：（公式法） (4-2)2 +(1+1)2=8 ∴ 点A （4，1）在圆上，∴ 圆的切线方程为（4-2)(x-2)+(1+1) (y+1)=8,即x+y-5=0.解二：（公式推导法）圆心C （2，-1）∴k AC =1 ∴ 过点A 的切线的斜率k= -1. ∴ 所求切线方程为y-1= -1(x- 4),即x+y-5=0.二、待定系数法可求过圆外一点P(x 0,y 0)的圆的切线方程或求已知切线的斜率k 的切线方程. 此时可设圆的切线方程为y-y 0=k(x-x 0)或y=kx+b,然后利用“圆心到直线的距离等于半径” 这一性质求k .例2 求过点M （2，4）向圆（x-1)2+(y+3)2=1所引的切线方程.解：设所求切线方程为y-4=k(x-2)即kx-y-2k+4=0 (倾斜角不为900）, d=114232=++-+k k k ,∴k=724,∴切线方程为24x-7y-20=0. 当倾斜角为900时，切线方程为x=2. ∴ 过M 点的切线方程为24x-7y-20=0或 x=2. 点评：因为过圆外一点P （x 0,y 0）引圆的切线有两条，故用此法求切线的斜率k 一般有两个值, 若k 只有一个值，说明还有一条切线，其斜率不存在，方程为x=x 0 ，应补回来.三、判别式法其依据是圆的切线的定义.例3 已知圆C ：x 2+y 2+2x-4y+3=0 ，若圆C 的切线在坐标轴上的截距绝对值相等，求此切线方程.解：（1）当截距不为0时，设切线方程为y=-x+b 或y=x+c 分别代人圆C 的方程得2x 2-2(b-3)x+(b 2- 4b+3)=0，或2x 2+2 (c-1)x+(c 2- 4c+3)=0直线与圆相切，上述两方程均有等根，∴∆=0，由此可得：b=3 或 b= -1,c=5 或 c=1 ∴切线方程为x+y-3=0 或x+y+1=0 或x-y+5=0 或x-y+1=0.(2) 当截距为0时，类似可求此时切线的方程为y=(2±6)x.点评：（1）此题也可以用方法二求解；（2）截距相等时别忘了截距为0的情况.。

巧用切点弦方程,妙解高考解几题——兼谈圆的切点弦方程的推导及应用

。
＋告一１的焦点在工轴上，过点（，作圆ｚ＋。１专）。
一１的切线，切点分别为Ａ，直线ＡＢ恰好经过椭Ｂ，圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是— — 。解：由已知条件知，切点弦ＡＢ所在直线方程为
＋ｙ１一。
由平几知识得直线ＡＢ与直线ＭＱ的交点为线
（ —ｚ）０＋（一）Ｏ即＋一ｚｚ＝，。～ｏＯ — ，
一Ｔ．
一
垒： ±
：：
则直线ＡＢ就是圆－＋一 — 一０圆ｚｏｏ与ｚ＋：的公共弦所在直线，其方程为（。ｙ～ｒ）（＋ｙ一ｚｚ— ａ＋２一Ｔ０Ｙ）Ｏ即３ｚｏ０，５＋ｙ一。＂０推论：知Ｍ（０ｙ）圆Ｃ：（＆＋已ｚ，０为一）（一６一ｒ外一点，Ｍ引圆Ｃ切线，点分别）２过切为Ａ，则直线Ａ方程为（一ｎ（ —ａＢ，Ｂ）ｚ）＋
０
备方考略
巧用切点弦方程。妙解高考解几题
兼谈圆的切点弦方程的推导及应用
■ 刘长盛
２１年江西省高考数学理科第１题（０１４填空题）如利用圆的切点弦方程求解，将大大简化问题求解的难度，提高学生解题的准确率。本文拟探讨圆的切点弦方程中的推导过程、法及其在快速处理这方类数学问题的应用。圆的切点弦方程的推导定理：已知点Ｍ（０Ｙ）圆０：。ｘ，ｏ为ｚ＋一外点，Ｍ引圆０的切线，点分别为Ａ，则直过切Ｂ，线ＡＢ的方程为０＋Ｙ一。ｏ证法一：Ａ，的坐标分别为（，）（，设Ｂ，。）则经过（２，，ｚｚ的圆的切线分别为，２．Ｙ）（，）ｌ＋ｙ．１，与３＋ｙ一，）一２＊２２并且它们相交于点

圆的切点弦所在直线方程的求法

圆的切点弦所在直线方程的求法
过圆外一点作圆的两条切线，两切点所在直线方程的求法，虽然这不是什么很难的问题，但好些同学还是不能熟练掌握。

下面我们从一道简单例题出发，对这一问题做一做初步探讨。

同学们也可用其它方法论证。

若把圆用一般方程表示，能否得到相关结论？同学们若有兴趣，请自己研究。

以上我们从一道例题出发，探讨得出了三种解题方法和两个结论。

虽然探讨得到的结果价值不是很高、但过程却很重要。

这个过程对同学们今后的学习和研
究各类问题能有所帮助。

圆的切点弦方程

圆的切点弦方程
上篇圆的切线方程的小公式讲的是过圆上一点的切线
问题，现在说说过圆外一点的切线问题. 以下面这道题为例. 显然，点M在圆外部.我们利用d=r来建立方程求解. 如何设直线方程呢？已知点M，当然设点斜式啊.可是，斜率一定存在吗？所以我们应该首先考虑斜率不存在的情况.
然后再考虑斜率存在的情况.
这道题不难，但是容易漏掉第一种斜率不存在的情况. 检查的方法就是记住这一点：过圆外一点作圆的切线有2条.如果你计算正确且只解出一条切线来，一定是漏掉了斜率不存在的情况.
观察上图，从M出发的切线有两条，设切点分别为A和B，连接AB，我们称AB为圆的切点弦.顾名思义，切点弦就是连接两切点得到的弦. 切点弦所在的直线的方程是什么呢？我们作一个一般化的推导.
研究过程中用到了圆的切线方程的小公式中的结论.
大家发现，这个结论和圆的切线方程的小公式中的结论有些类似. 区别在于：
当然，如果圆心不在原点，类比圆的切线方程的小公式，有这样的结论.
如果圆的方程为一般式，同样类比圆的切线方程的小公
式，也有这样的结论.
我们现学现卖，练下面一道题，体会一下这个公式好不好用？
审完题，判断求解的是切点弦所在直线的方程，可以用上述公式.
最后来看一道浙江省高中数学竞赛题.
分析：PQ为切点弦，考虑使用切点弦所在的直线方程.垂直关系可翻译为向量的数量积为零.
小结：1.点在圆上，小公式对应的是切线方程；2.点在圆外，小公式对应的是切点弦所在的直线方程；3.小公式如何记忆：对称原则，即把圆方程中的x和y保留一半，替换一半.。

怎样求圆的切点弦方程

一道课本习题告诉你——怎样求圆的切点弦方程舒云水下题是人教A 版必修2第133面的B 组第5题：已知点)3,2(--P 和以Q 为圆心的圆9)2()4(22=-+-y x ﹒⑴画出以PQ 为直径，Q '为圆心的圆，再求出它的方程；⑵作出以Q 为圆心的圆和以Q '为圆心的圆的两个交点A ，B ﹒直线PA ，PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？⑶求直线AB 的方程﹒本题实质上告诉了我们求下面问题的一种简便方法：问题：过⊙Q 外一点P ，作⊙Q 的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点﹒求过两切点A ，B 的直线方程﹒（本文将两切点的连线段称为切点弦，求切点弦方程即为求切点弦所在直线的方程）思路方法：1. 第一步，求出以线段PQ 为直径的圆的方程；2. 第二步，将两圆方程相减便可得到所求直线的方程﹒让学生解决上面第5问题时，不少学生都这样做：先求出两切线方程，再求出两切点坐标，最后求出直线方程﹒这样做，运算很复杂，不可取，上面课本上求出的方法很简便，我们应该掌握好，会用它解决相关问题﹒下面高考题是这类问题：（2013年山东高考题）过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（A ）032=-+y x（B ）032=--y x （C ）034=--y x（D ）034=-+y x解法1：用上面方法﹒ 以点)1,3(和)0,1(为直径两端点的圆的方程为：45)21()2(22=-+-y x ﹒ 将两圆标准方程化为一般方程得：0222=-+x y x ，03422=+--+y x y x ﹒ 将两圆一般方程相减得直线AB 的方程为：032=-+y x ﹒选A ﹒ 解法2：易知点)1,1(为其中一切点，不妨设该点为点A ﹒过点)1,3(和圆心)0,1(的直线的斜率为21，所求直线AB 的斜率为-2，直线AB 的方程为：)1(21--=-x y ，即032=-+y x ﹒选A ﹒下面给出一个结论，用它做更简单﹒结论过圆外一点),(00y x P ,作圆222)()(r b y a x =-+-的两条切线，则经过两切点的直线的方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒ 特别地，当时0==b a ，直线方程为200r y y x x =+﹒证：以点P 和圆心),(b a 为直径两端点的圆的方程为：()()[]202020204122y b x a y b y x a x -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-﹒ 展开得：0)()(002002=++-+++-by y y b y ax x x a x ①将222)()(r b y a x =-+-展开得：2222222r b by y a ax x =+-++- ②②-①得：2200200r b by by y y a ax ax x x =+--++--，200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒所以经过两切点的直线的方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--﹒ 特别地，当时0==b a ，直线方程为200r y y x x =+﹒解法3：根据上面结论可直接得所求直线方程为：y x ⨯+--1)1)(13(=1，即即032=-+y x ﹒选A ﹒点评：上面结论不需记忆，作一个知识了解即可﹒解法2比解法1简单﹒解法2的关键是要根据点)1,3(的特殊位置，观察出其中一个切点坐标为)1,1(﹒若它的位置不特殊，用这种解法行不通，可以说是一种特殊方法﹒我们在平时学习解题时，一方面要重点扎实掌握通性通法，对一些问题作深入探究，得出一般性结论；另一方面，要具体问题具体分析，根据题目特点灵活运用不同的方法求解，方法越简单越好，可为考试赢得宝贵的时间！Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。

关于圆的切点弦所在直线的方程问题

高中数学网上答疑王新敞
关于圆的切点弦所在直线的方程问题
问题：过点(2,3)M 的直线与圆221x y +=相切于A,B 两点，求直线AB 的方程解法一：设A,B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则经过1122(,),(,)x y x y 的圆的切线分别为：111x x y y +=与 221xx yy +=，并且相交于点(2,3)M 所以，11231x y +=且22231x y +=
从而得直线AB 的方程：23x y +=
解法二：由题意O,A,M,B 四点共圆，且是以OM 为直径的圆C ，由O(0,0),M(2,3)得这个圆C 的方程为：(2)(3)0x x y y -+-= 即 22230x y x y +--=
则直线AB 就是圆22230x y x y +--=与圆221x y +=的公共弦所在直线，其方程为：
2222(1)(23)0x y x y x y +--+--=
即 231x y +-=
解法三：用已知公式(结论)：
点00(,)A x y ，由圆C 的方程220x y Dx Ey F ++++= 得，直线方程：0000022
x x y y x x y y D E F ++++++= ① 当点00(,)A x y 是圆C 上的点时，①表示圆C 在点00(,)A x y 处的切线；当点00(,)A x y 是圆C 外的点时，①表示从点00(,)A x y 向圆C 所引切线的两个切点所在的直线(切点弦所在直线)
根据以上结论，过点(2,3)M 的直线与圆22
1x y +=相切于A,B 两点，直线AB 的方程为：231x y +=
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高中数学：求圆的切线方程的几种解法

高中数学：求圆的切线方程的几种解法求经过点且与圆相切的切线方程并作图。

解1：利用过圆上一点的切线方程如图1，设过点的直线与圆相切于，根据过圆上一点求切线方程的公式，得圆的切线方程为（1）因为切线过点所以（2）又因为点在圆上所以（3）联立（2）（3）得代入（1）即得所求圆的切线方程为和。

解2：利用勾股定理设所求切线与已知圆相切于点，因为圆的方程为，所以圆心O的坐标为，连接，则，所以由勾股定理，得，即，所以又因为点在圆上，所以（2），联立（1）（2）得代入切线方程中，即得所求圆的切线方程为和。

解3：利用互相垂直的两条直线的斜率互为负倒数的关系。

设所求直线与圆相切于，则。

因为，所以，所以切线的方程为。

因为过点，所以代入上式得（1）而（2）以下同解2。

解4：利用圆锥曲线切线的定义设是圆上任意一点，作割线交圆于另一点，则，又因为两点都在圆上。

所以（2）得代入（1），得，当Q 与重合时，即当，时，割线的斜率就变成过圆上一点的切线的斜率，所以。

以下仿解3。

解5：利用点到直线的距离公式设过点且与圆相切的切线的斜率为k，则所求切线方程为，即。

因为圆心O 的坐标为，半径，所以由点到直线的距离公式，得，解得。

所以切线方程，即，再结合图形知另一条切线方程为。

解6：利用斜率为k的圆的切线方程因为圆的方程为，所以，故根据圆的切线方程，得。

（1）因为点在切线上，所以。

解得，将k值代入（1）即得所求切线的方程为，再结合图形知另一条切线方程为。

解7：利用切线与圆只有一个公共点的性质设所求圆的切线方程为代入中，整理得。

（2）因为直线和圆相切，它们只有一个公共点，所以方程（2）有两相等实数根，所以，即，所以（3）又因为切线过点，所以由（1）得（4）解（3）、（4），得代入（1）得，再结合图形知另一条切线方程为。

解8：利用参数方程设所求切线的参数方程为（为参数，）（1）代入方程中，消去x、y，整理得。

因为直线和圆相切所以，即。

因为，所以。

圆的切点弦方程的九种求法

圆的切点弦方程的解法探究在理解概念熟记公式的基础上，如何正确地多角度观察、分析问题，再运用所学知识解决问题，是解题的关键所在。

本文仅通过一个例题，圆的部分的基本题型之一，分别从不同角度进行观察，用不同的知识点和九种不同的解法，以达到介绍如何观察、分析、解决关于圆的切点弦的问题。

一、预备知识：1、在标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为：（x0-a （)x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ；在一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）下过圆上一点P（x0,y0)的切线方程为： xx0+yy0+Dx+x0y+y0+E+F=0。

222222222、两相交圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0 （D1+E1-4F1>0）与x2+y2+D2x+E2y+F2=0 （D2+E2-4F2>0）的公共弦所在的直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 。

223、过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点P（x1,y1)作圆的切线，其切线长公式为：|PA|=x12+y12+Dx1+Ey1+F。

224、过圆x+y+Dx+Ey+F=0 （D+E-4F>0）外一点22P（x1,y1)作圆的切线，切点弦AB所在直线的方程为：；（x1-a（)x-a)+(y1-b)(y-b)=r2（在圆的标准方程下的形式）xx1+yy1+Dx+x1y+y1。

+E+F=0（在圆的一般方程下的形式）22二、题目已知圆x2+y2-2x-4y-4=0外一点P（-4，-1），过点P作圆的切线PA、PB，求过切点A、B的直线方程。

三、解法解法一：用判别式法求切线的斜率如图示1，设要求的切线的斜率为k（当切线的斜率存在时），那么过点P（-4，-1）的切线方程为：y-(-1)=k[x-(-4)]即 kx-y+4k-1=0 ⎧kx-y+4k-1=0由⎨2 消去y并整2⎩x+y-2x-4y-4=0理得 (1+k2)x2+(8k2-6k-2)x+(16k2-24k+1)=0 ①2222令∆=(8k-6k-2)-4(1+k)(16k-24k+1)=0 ②15解②得 k=0或k=81528分别代入①解得 x=1、x=- 8172858从而可得 A(-,)、B(1,-1)， 1717再根据两点式方程得直线AB的方程为：5x+3y-2=0。

圆的切点弦方程推导

圆的切点弦方程推导稿子一嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊圆的切点弦方程推导，准备好跟我一起探索这个有趣的数学世界了吗？想象一下，有一个圆乖乖地待在那。

咱们先随便在圆外找一个点，然后过这个点向圆引两条切线。

这两条切线和圆相切的那两个点，把它们连起来，这条线就是切点弦啦！那怎么推导它的方程呢？咱们先设圆的方程是$(x a)^2 + (y b)^2 = r^2$，圆外的那个点是$(x_0, y_0)$。

然后呢，因为那两条切线都过点$(x_0, y_0)$，所以把这个点代入切线方程，就能得到两个式子。

把这两个式子相减，经过一番巧妙的化简，就能得出圆的切点弦方程啦！是不是感觉很神奇？数学的世界就是这样充满惊喜！好啦，今天关于圆的切点弦方程推导就讲到这，希望大家都能有所收获哦！稿子二嘿，朋友们！咱们又见面啦，今天来一起琢磨琢磨圆的切点弦方程推导。

先来讲讲什么是切点弦，其实就像是圆的两个小护卫，从圆外一点引两条切线，它们和圆接触的那两点连起来的线就是切点弦。

那怎么找出它的方程呢？假设圆的方程是$(x m)^2 + (y n)^2 = R^2$，圆外那个点设为$(x_2, y_2)$。

咱们先从简单的开始，想想圆上一点的切线方程怎么求。

这可得好好动脑筋，别怕，跟着我一步一步来。

经过一番捣鼓，求出切线方程后，因为这两条切线都过点$(x_2, y_2)$，所以把这个点代进去，就有了两个关系。

再接着，咱们对这两个关系动动手脚，就像变魔术一样，通过一些化简和运算，圆的切点弦方程就呼之欲出啦！怎么样，是不是觉得数学也没那么可怕，反而有点有趣呢？希望大家都能喜欢上这种推导的过程，感受数学的魅力！好啦，今天就聊到这，下次再见哟！。

过一点作圆的两条切线的切点弦方程公式

过一点作圆的两条切线的切点弦方程公式在几何学中，我们经常需要求解过一点作圆的两条切线的切点所确定的弦的方程公式。

让我们来探讨一下这个问题。

设有一个圆，以O表示圆心，r表示半径。

选取圆上的一点P，且过P分别作圆的两条切线，与圆交于A和B两点。

我们的目标是求解弦AB的方程公式。

我们需要找到切点A和切点B的坐标。

由于A和B都是切点，所以AO和BO都是圆的半径，即长度为r。

设圆心O的坐标为(Ox, Oy)，点P的坐标为(Px, Py)。

根据切线的定义，切线与半径的夹角是直角。

因此，我们可以利用斜率来求解切线的方程。

通过在线段OP上选择另一点Q，我们可以计算出斜率K1。

然后，根据切线的性质，我们可以得知切线的斜率K2等于-K1的倒数。

已知点A的坐标为(Ax, Ay)，它位于切线的直线上，有斜率K2。

我们可以利用点斜式得到切线的方程：y - Ay = K2(x - Ax)同样地，点B的坐标为(Bx, By)，我们可以得到切线的另一个方程：y - By = K2(x - Bx)现在，我们可以尝试求解AB弦的方程了。

弦AB的中点坐标为(Mx, My)，它等于A和B坐标的平均值。

所以我们有：Mx = (Ax + Bx) / 2My = (Ay + By) / 2已知弦的中点坐标，我们可以得到弦的方程：y - My = (By - Ay) / (Bx - Ax)(x - Mx)过一点作圆的两条切线的切点弦方程公式为：y - My = (By - Ay) / (Bx - Ax)(x - Mx)希望以上内容能够满足任务名称描述的内容需求。

如有任何问题，请随时提问。

圆的切线与切点计算

圆的切线与切点计算圆是几何学中的基本概念，它是由平面上一定距离内的所有点组成的集合。

在圆的研究中，切线是一个非常重要的概念。

本文将探讨圆的切线以及如何计算切点的问题。

一、圆与切线的定义在平面几何中，给定一个圆和圆上的一个点P，过点P可以做无数条与圆相切的直线，其中与圆相切的直线称为圆的切线。

而与圆的切线相交于切点，称为切点。

二、计算圆的切线在计算圆的切线时，我们首先要明确几个关键概念。

1. 切线与切点的性质：圆的切线与切点有以下性质：（1）切线与半径垂直；（2）圆的切线与经过切点且与半径垂直的直径平分切线。

2. 切线方程的计算：在计算切线时，我们需要使用切线方程。

切线方程一般可以使用点斜式或者一般式表示。

a. 点斜式：假设圆的方程为 (x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

被切点坐标为(x₀，y₀)。

则切线方程可表示为：y-y₀ = k(x-x₀)，其中k为切线的斜率。

b. 一般式：将切点的坐标代入圆的方程，得到：(x-a)² + (y-b)² = r²。

将切点的坐标代入切线方程的一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C可由圆的方程确定。

三、切线与切点计算实例为了更好地理解如何计算圆的切线与切点，我们来看一个具体的例子。

例1：已知圆的方程为 (x-2)² + (y-3)² = 9，求过点P(4, 5)的切线及切点坐标。

解：首先确定圆的坐标和半径：圆心坐标：(2, 3)半径：3接下来，计算切线方程的斜率k：k = -(x-x₀)/(y-y₀) = -(4-2)/(5-3) = -1代入切点坐标得到切线方程：y - 5 = -1(x - 4)化简切线方程，得到切线的一般式：x + y - 9 = 0所以切线方程为 x + y - 9 = 0。

接着，我们来计算切点的坐标。

圆的切点弦方程

圆的切点弦方程之邯郸勺丸创作【方法】1.设出直线，再求解；2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。

【问题L圆O一、当点M在圆O上时，直线L是圆的切线。

二、当点M在圆O外时，1.直线L不是圆O的切线，下面证明之：∵圆心O到LO外,得L与圆O相交.2.此时直线L与过点M的圆的切线又是什么关系呢?首先研究L的特征：易知：。

为L与OM的交点)从而，MA为圆的一条切线，故直线L为过点M的圆的两条切线的两个切点所在的直线。

事实上（另证），如图1，设过点M的圆O的两条切线为L1,L2,切点分别为A、B,则直线∵点M MA与MB的方程,由此可见A 、B由于两点确定一条直线∴直线AB所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。

【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。

特此外，当M 在圆上时，极线即为切线。

三、当点M 在圆O 内时，1.直线L 也不是圆O 的切线。

下面给出证明：∵圆心O 到LO 内,得故直线L 与圆O 相离.2.此时直线L 与圆的切线的关系又如何呢? 首先研究L 的特征：由上述探讨过程易知，直线，此外，L 一定过点P （P 为两切线的交点，），从而L 就在图2中过点P 且与AB 平行的位置处。

事实上（另证），∵直线LOM一方面，过点M与OM另一方面，将直线OM与L得到它们的交点P由（二）可知过点P的圆的切点弦所在直线的方程为L是由点M确定的。

另外，直线L是过点M的弦（除O，M的弦）的两个端点的圆的两条切线的交点轨迹，证明如下：AB又因为点M在ABx，y。

圆的切点弦方程

圆的切点弦方程之欧侯瑞魂创作【方法】1.设出直线，再求解；2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。

【问题L圆O一、当点M在圆O上时，直线L是圆的切线。

为L与OM的交点)从而，MA为圆的一条切线，故直线L为过点M的圆的两条切线的两个切点所在的直线。

【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。

特此外，当M 在圆上时，极线即为切线。

三、当点M 在圆O 内时，1.直线L 也不是圆O 的切线。

另外，直线L是过点M的弦（除O，M的弦）的两个端点的圆的两条切线的交点轨迹，证明如下：AB又因为点M在ABx，y。

圆的切点弦方程

圆的切点弦方程222001.,(,)x y r M x y +=已知圆的方程求经过圆上一点的切线方程。

22220000(,)x y r M x y xx yy r +=+=【结论1】过圆上一点的切线方程:。

【方法】1.设出直线，再求解；2.利用轨迹思想，用向量或平面几何知识求解。

220r x =2,OA ON OM ∴=⋅(N 为L 与OM 的交点)从而OA ⊥MA ，MA 为圆的一条切线，故直线L 为过点M 的圆的两条切线的两个切点所在的直线。

所以此时的直线L 是经过点P 的切点弦AB 所在直线的方程，而不是圆O 的切线。

【注】上述点M 、直线L 实质上是射影几何中的极点和极线。

特别的，当M 在圆上时，极线即为切线。

高中数学求切点弦所在直线方程的多种方法解题思路大全

高中数学求切点弦所在直线方程的多种方法解题思路大全在学习平面解析几何“直线与圆的方程”一章时，我们会遇到求切点弦所在直线方程的问题，这类问题涉及到的知识点比较多，让初学者感到费解，本文将从不同的角度来探讨它的求法。

为了解答的方便，先给出两个真命题：命题1：已知圆O ：x y r 222+=上一点M （x y 11,），则以点M 为切点的圆的切线方程为x x y y r 112+=。

解法2：设M x y M x y 111222(,),(,)由命题1得，PM 1方程为x x yy r PM 1122+=,方程为x x y y r 222+=。

切点弦公式

切点弦公式切点弦公式：xx0+yy0=r²。

切弦亦称切点弦，是一条特殊弦。

从圆外一点向圆引两条切线，连结此两切点的弦称为切弦。

圆心与已知点点连线垂直平分切弦。

切点弦方程公式解析过圆x +y =r 外一点P(x0，y0)作切线PA，PB，A(x1，y1)，B(x2，y2)是切点，则过AB的直线xx0+yy0=r ，称切点弦方程。

证明：x +y =r 在点A，B的切线方程是xx1+yy1=r ，xx2+yy2=r∵点P在两切线上∴x0x1+y0y1=r ，x0x2+y0y2=r此二式表明点A，B的坐标适合直线方程xx0+yy0=r ，而过点A,B的直线是唯一的∴切点弦方程是xx0+yy0=r说明：切点弦方程与圆x +y =r 上一点T(x0，y0)的切线方程相同。

过圆(x-a) +(y-b) =r 外一点P(x0，y0)作切线PA，PB，切点弦方程是(x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r 。

切点弦方程的概念切弦亦称切点弦，是一条特殊弦。

从圆外一点向圆引两条切线，连结此两切点的弦称为切弦。

切点弦方程的性质圆心与已知点点连线垂直平分切弦，如图，P 是圆外一点，PA，PB 与⊙O 相切，切点是A，B，AB 是切弦，此时，OP 垂直平分AB。

切点弦方程证明设圆上一点A为（x0，y0）,则该点与圆心O的向量OA(x0-a,y0-b）因为过该点的切线与该方向半径垂直，则有切线方向上的单位向量与向量OA的点积为0。

设直线上任意点B为(x,y)则对于直线方向上的向量AB(x-x0,y-y0)有向量AB与OA的点积。

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