2010级《高等数学》A1考卷

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2010-2011-1高数A1试题答案

-----5 分
e x x 1 e x C x 1 Ce x （）（）
由y 装订线
x 0ຫໍສະໝຸດ 1 知， C 2
x
所以，所求曲线为 y x 1 2e .
-----6 分
ln 2 1
x 0
.--------6 分
19.
x tan
2
xdx x（sec2 x 1)dx
--------1 分 -------3 分 --------5 分 --------6 分
xd tan x
1 2 x 2
2 x 5x 2 8. （e 1) ；9. ；10. y C1e C 2 e . 2 3
2 2
页第 2 页
-----1 分
1 2 2 y 4 2 y dy
4
4
f (x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，由拉格朗日中值定理知， (a, b)
------6 分使 -----1 分
1 1 y 2 4 y y 3 18 6 2 2
0
x 1t

1
1
f (t )dt

2x
0
sin t 2 dt x
3
x 0
lim
sin 2 x） 2 （ x 0 3x 2
2

---------3 分
1 1 dt dt t 1 1 e 0 1 t
0 1 et et 1 dt ln | 1 t |0 t ln(1 e t ) 1 ln 2 t 1 1 e
23. 分离变量，学号

2010高等数学1

2010年成人专升本招生全国统一考试高等数学（一）试卷一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

120lim(1)x x →+=（ C ）。

A 3 B 2 C 1 D 0 知识点：求极限)(x f 无分母或分母不为0，其极限=函数值2设sin y x x =+，则y '=（ D ） A sin x B x C cos x x + D 1cos x +知识点：导数公式，求导规则v u v u '±'='±)(3设2x y e =，则dy =（ B ） A 2x e dx B 22x e dx C 212x e dx D 2x e dx知识点：导数公式，复合函数求导规则 ,微分公式解：x x e x e y 222)2.(='=', dx e dx y dy x 22='=41(1)dx x -=⎰（ C ）。

A 21x c x -+ B 21x c x++ C ln ||x x c -+ D ln ||x x c ++ 知识点：积分公式，积分性质⎰⎰⎰+=+gdx fdx dx g f )(5设5x y =，则y '=（ C ）。

A 15x - B 5x C 5ln 5x D 15x + 知识点：导数公式 6limxt x e dt x→=⎰（ D ） A x e B 2e C e D 1知识点：洛比达法则求型极限,变上限定积分求导解：limxt x e dt x→=⎰11lim 0=→xx e 7设22zx y xy =+，则z x∂=∂（ A ）。

A 22xy y + B 22x xy + C 4xy D 22x y + 知识点：计算一阶偏导数8过点（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）的平面方程为（ A ） A1x y z ++= B 21x y z ++= C 21x y z ++= D 21x y z ++=知识点：平面方程，三点决定一个平面。

2010级高等数学A上期末考试题A卷答案

中国传媒大学2010─2018学年第一学期期末考试试卷A 卷参考答案及评分标准考试科目：高等数学A 上考试班级： 2010电气信息类、光电、游戏考试方式：闭卷命题教师：梁瑞梅一、填空题<将正确答案填在横线上，本大题共4小题，每题4分，共16分）1．已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则常数=a 。

答案：23=a2．⎪⎩⎪⎨⎧>-==⎰2122)0(cos 21cos cos t t udu u t t y t x ，则=dx dy 。

答案：t dxdy = 3．微分方程0)4(2=-+dy x x ydx 的通解为。

答案：Cx y x =-4)4( 4．=+⎰ex x dx12)ln 2( 。

答案：22arctan21=I二、选择题<在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共4小题，每题4分，共16分）XJ5CNC2Yds 1．如果⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=0),1(0,)(2x x b x e x f ax 处处可导，则< B ）。

1)(==b a A ； 1,0)(==b a B ； 0,1)(==b a C ； 1,2)(-=-=b a D 。

2．函数)(x f y =在0x x =处连续，且取得极大值，则)(x f 在0x 处必有< C ）。

0)()(0='x f A ； 0)()(0<''x f B或不存在0)()(0='x f C ； 0)(0)()(00<''='x f x f D 且。

3．若x xln 为)(x f 的一个原函数，则='⎰dx x f x )(< D ）。

C x x A +ln )(； C x x B ++2ln 1)(； C x C +1)(； C xx x D +-ln 21)(。

北京科技大学2009-2010学年度第1学期高等数学A试题及答案

北京科技大学2009--2010学年第一学期高等数学A(I) 试卷（A 卷）院(系) 班级学号姓名考场说明: 1、要求正确地写出主要计算或推导过程, 过程有错或只写答案者不得分； 2、考场、学院、班、学号、姓名均需写全, 不写全的试卷为废卷; 3、涂改学号及姓名的试卷为废卷；4、请在试卷上答题，在其它纸张上的解答一律无效.一、填空题（本题共15分，每小题3分）1．设方程y x y =确定y 是x 函数，则d y = .2．设曲线()n f x x =在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(,0)n ξ，则l i m ()n n f ξ→∞= ．3．111n n n n -∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ ．4．设()d arcsin xf x x x C =+⎰，则1d ()x f x =⎰ ．5. 2111limnn k nk →∞==∑ .二、选择题（本题共15分，每小题3分）6．设函数21()lim1nn x f x x→∞+=-，讨论函数()f x 的间断点，其结论为（）.()A 不存在间断点 ()B存在间断点是1x=()C存在间断点是0x = ()D存在间断点是1x =-装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊7．设函数561cos 2()sin , ()56x xxf x t dtg x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的（）()A 低阶无穷小 ()B高阶无穷小()C等价无穷小 ()D同价但不等价的无穷小8．设01,0,()0,0, ()()1,0,x x f x x F x f t dt x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩⎰，下列结论正确的是（）.()A ()F x 在0x =处不连续()B ()F x 在(,)-∞+∞内连续，在0x =点不可导()C()F x 在(,)-∞+∞内可导，且()()F x f x '=()D()F x 在(,)-∞+∞内可导，但不一定满足()()F x f x '=9．设函数(),()f x g x 为恒大于0的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<, 则当a x b <<时有（）.()A ()()()()f x g b f b g x < ()B ()()()(f x g a f a g x > ()C()()()()f x g x f b g b >()D ()()()(f x g x f a g a> 10．下列各选项正确的是（）.()A 若级数21nn u ∞=∑与级数21nn v ∞=∑都收敛，则级数21()n n n u v ∞=+∑收敛;()B 若级数1n nn u v ∞=∑收敛，则级数21nn u ∞=∑与21n n v ∞=∑都收敛;()C若正项级数21n n u ∞=∑发散，则1nu n≥;()D若正项级数21nn u ∞=∑收敛，且(1,2,)nn u v n ≥= , 则级数21n n v ∞=∑收敛.三、（本题共63分，每小题7分）11（7分）. 设22e sin()xy x y y +=，求(0)y '。

高等数学A1(1)答案.

08-09学年第一学期《高等数学A1》试卷(A卷得分：题号一二三四五六得分阅卷人一、填空题（每小题3分，共18分）1．设，则。

2．曲线的斜渐近线为。

3．设函数处处可导，则。

4. 。

5.已知，则满足的特解为。

6. 函数。

二、计算下列各题（满分18分，每小题6分）1. 求解：2．求定积分的值。

解：3. 求不定积分解：三、解答题（满分16分，每小题8分）1. 求解：原式=2．求的值。

解：而故四、应用题（满分16分，每小题8分）1、求心形线的全长。

解：2、试求的经过点，且在此点与相切的积分曲线。

解：由得：，由题设可得：，得：，所以所求的积分曲线为：五、综合题（满分16分，每小题8分）1、设常数，试确定函数在内的零点的个数。

解：，令得驻点。

由于当时，，即在单调递增，当时，，即在单调递减，所以在取得最大值，而所以在及各有的一个零点，即在内的零点的个数为2.2、求曲线的极值、拐点和凹凸区间。

解：令得驻点，令得单增（凸）极大值（）单减（凸）拐点（）单减（凹）六、证明题（满分16分，每小题8分）1、设试证明存在，并求。

证明：先证明由于，所以，假设，则，所以由数学归纳法，对一切，有。

下面证明单调递增。

由单调有界原理可得：存在，记为，则由可得：，解得：或（舍去）。

2、设函数在上连续，在内可导，，证明至少存在一点使得。

证明：取，则在上连续，在内可导，并且，由罗尔中值定理得：至少存在一点，使得：，即，因此。

2010-2011-1高等数学A1期末试卷A

4．为连续函数，则 =〖〗．
（A）；(B) ；(C) 0；(D) ．
5．下列广义积分收敛的是〖〗.
（A）；（B）；（C）（D） .
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，将答案填在本页指定的答题栏内）
1．设在处连续，则（）.
2．已知，则（）.
3．设函数满足 , ，
则（）.
4．（）.
5．微分方程的一个特解为，则方程的通解
＝（）.
注：将第一、二大题的答案填在下面的答题栏内，否则不得分
选择题答题栏
1
2
345填空题 Nhomakorabea题栏1
2
3
4
5
注：将第一、二大题的答案填在上面的答题栏内，否则不得分
三、计算题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
1．
2．
3．求
4．设由方程确定，求
3．函数在定义域上的最大值是；
4．曲线的渐近线为；
5．曲线在在处的曲率为；
6．；
7．的带有佩亚诺型余项的3阶麦克劳林公式为.
七、（本题共2小题，每小题5分，满分10分）
1．设在闭区间上二次可微，且，
证明在上是单调增加的.
2．(1)叙述拉格朗日中值定理的条件和结论；
(2)证明若函数在x=0处连续，在内可导，且 ,则
存在，且 .
1．当时，是比高阶的无穷小，则〖〗．
（A）；（B）；
（C）；（D）
2．设函数在的某个邻域内连续，且 , ，则在处〖〗．
（A）不可导；（B）可导，且；
（C）取得极大值；（D）取得极小值.
3．曲线〖〗．

2009-2010(1)高数一试卷A

2009-2010(1)高数一试卷A第2页（高等数学（一）试题01(2009-2010第一学期)共14页）内蒙古师范大学计算机与信息工程学院 2009—2010学年第一学期高等数学（一）试题题号一二三四总分评卷人分数重要提示:本试卷中一、二题的答案请填入答题卡中（答在试卷上无效）。

一、单选题（请将你认为正确那个编号填入题号对应的答案里。

每题2分，本大题共20分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案分数二、填空题（根据题意将空缺的内容填到题号对应的答案里。

每空2分，本题共20分）分数题号答案1（两空） 1、 2、2 3 4 5 6 7 89分分第3页（高等数学（一）试题01(2009-2010第一学期)共14页）一、单选题（每小题后的四个备正确那个编号填入题后的括号里。

每小题2分，本大题共20分） 1、当1x →时,函数12111x x e x ---的极限是( )A: 2 B: 0 C: ∞ D:不存在但非无穷大2、设()f x 是可导函数，且0(2)()lim 1x f x h f x h→+-=，则()f x '为（）A. 1B. 0C. 2D. 12 3、⎰=+dx x f x f 2')]([1)(（）A ：C x f ++)](1ln[B ：Cx f ++)](1[212C ：C x f arctg +)]([D ：C x f arctg +)]([21 得第4页（高等数学（一）试题01(2009-2010第一学期)共14页）第5页（高等数学（一）试题01(2009-2010第一学期)共14页）6、当0x >时，曲线1sin y x x =（） A：只有水平渐近线B ；仅有竖直渐近线C ：既有水平渐近线，又有竖直渐进线D ：既无水平渐近线，又无竖直渐近线7、设)(x f 是连续函数，且⎰-=xe dtt f x f 0)()(，则)('x f等于（） A ：)(x xe f e -- B ：)(x e f - C ：)(xe f --D ：)(x xe f e ---8、设两曲线222;82x y x y =+=所围图形面积为A（上半部分面积），则有A=（）A ：2222(8)2x x dx--⎰ B ：2222(8)2x x dx ---⎰ C ：2121(8)2x x dx--⎰ D ：2121(8)2x x dx --⎰第6页（高等数学（一）试题01(2009-2010第一学期)共14页）9、设线性无关的函数1()y x 、2()y x 、3()y x 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，1c 、2c 是任意常数，则非齐次线性方程的通解是（） A ：11223C y C yy ++ B ：1122123(1)C y C y C C y ++--C ：1122123(1)C y C y C C y +--- D ：1122123()C y C y C C y +-+10、方程369(1)xy y y x e '''-+=+的特解*y 为（）A ：3()xA Bx e +B ：3()xx A Bx e +C ：23()xx A Bx e + D ：23xAx e二、填空题（每空2分，共20分）1. 函数()f x 在[,]a b 上有界是()f x 在[,]a b 上可积得第7页（高等数学（一）试题01(2009-2010第一学期)共14页）的条件。

西华师范大学2010级数学分析(1)期末试题a1(含答案)

5．证明：函数 f ( x) =
（p.175:3(2)）（12 分） x 在区间 [1 , + ∞ ) 一致连续。
证明： ε > 0 。若 x1 ≥ 1 ， x2 ≥ 1 ，由于
x1 −
x2 =
x1 − x 2 x1 +
ch e
≤
x1 − x 2
1 +1
因此，欲使
x1 −
x2 < ε ，只需
∀ ε > 0 ， ∃δ = 2 ε ， ∀ x1 、 x 2 ∈ [1 , + ∞ ) ： x1 − x2 < δ ，有
f ( x + T ) = f ( x) ，此式两边对 x 求导：
d d f ( x + T ) = f ′( x + T ) = f ( x ) = f ′( x ) dx dx
即 f ′( x + T ) = f ′( x ) ；因此，函数 f ( x ) 的导函数 f ′( x) 也是周期函数。
an
x1 − x2
2
x2
=
<ε 。
x2 ≤
x1 − x2 <ε ， 2
)(
)
3
.c o
x1 − x 2
2
，
S = {u u ≥ 0 , u ∈ R } 。
m
（2） y ′ = [ ln ( tan x ) ] =
′
( tan x )′ = sec2 x =
tan x
2x 1 − x4
，故：
tan x
.c o
m
⎛ cos x ′ = e x ln sin x ⋅ ( x ln sin x ) = e x ln sin x ⋅ ⎜ ⎜ ln sin x + x sin x ⎝

2010(秋)《高等数学A1》期中考试题及参考答案.

2010（秋）《高等数学A1》期中考试题及参考答案一、填空题（每小题3分，共15分．请将答案填在题中横线上，不填解题过程）1．若时，与是等价无穷小，则__________.（答案：1）2．若是可导的奇函数，且，则__________.（答案：）3．设，且存在，，则微分__________.（答案：）4．曲线的凸区间为__________.（答案：）5．抛物线在点(2, 4处的曲率半径＝.（答案：）二、选择题（每小题3分，共15分．每小题给出四种选择，有且仅有一个是正确的，请将你认为正确的代号填在题中横线上）1．1．设在开区间内连续，则（D）.(A 在内有界； (B 在内能取得最大值与最小值；(C 在内有零点； (D 当单调时，存在反函数2．曲线的渐近线情况是____C_____.（A）有且仅有水平渐近线；（B）有且仅有铅直渐近线；（C）既有水平渐近线又有铅直渐近线；（D）既无水平渐近线又无铅直渐近线．3．设函数在的某邻域内有连续的二阶导数，且，则D ．（A）是的零点；（B）为极小值点；（C）当时，为拐点；（D）当时，为拐点．4．设满足，若且，则函数在点A ．（A）取极大值；（B）取极小值；（C）在某邻域内单调增；（D）在某邻域内单调减.5．设，则（Ｂ）.(A ；(B ； (C ；(D三、求解下列各题（每小题5分，共20分．要求有解题过程）1．解：= 1.2．设求．解：，．3．设函数是由方程所确定的隐函数，求曲线在点处的切线方程.解：，将点代入得．4．设，求．解：，，．．．．．．．．．．．．．．．．或者，，．四、（本题满分10分）已知在处有二阶导数，试确定常数．解：（1）由在处连续得，．（2），，由得．（3），由得．五、（本题满分10分）设具有二阶导数，且，求．解：．因为，所以，而连续，故，于是，所以，故原式＝．六、设都在区间上可导，证明：在的任意两个零点之间，必有方程的实根.证: 设……………3分则在的两个零点间满足罗尔中值定理条件,使，……………5分即即为所求.七、（本题满分10分）过曲线任意点作该曲线的切线，切线夹在两坐标轴之间的部分为，求的最小长度以及的长度达到最小时的切点坐标．解：曲线上任一点的切线斜率为，．曲线上任一点处的切线方程为，可化为．令，令，故，，，，得到，此时，故．因此的最小长度为，的长度达到最小时的切点坐标为．八、（本题满分10分）设在[0，]上连续，在（0，）内可导，且证明，使得.证: 设，……………3分由于在[0，]上满足罗尔中值定理条件使，………………5分即，所以有.。

武汉大学数学与统计学院2009-2010年第一学期《高等数学A1》期末考试试题

武汉大学数学与统计学院2009—2010第一学期《高等数学A1》期末考试试题 A 卷一、（42分）试解下列各题：1、计算1lim [(2)]x x x e x →∞+-.2、求解微分方程230y y y ⅱ -+= 的通解。

3、计算-+⎰121(1)d x x x .4、计算0xedx +∞⎰.5、求曲线⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰11co s d sin d t t u x u u u y u u 自1=t 至2π=t 一段弧的长度。

6、设2132y x x =++，求()n y .二、（8分）已知()xyu g e =，其中()y f x =由方程22d cos d yx te t t t =⎰⎰确定，求d d u x.三、（8分）设11x =,+11(1,2,)1n n nx x n x =+=+ ，试证明数列{}n x 收敛，并求lim n n x →∞.四、（15分）已知函数324xy x+=，求：1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线。

五、（12分）已知函数()y y x =满足微分方程2(1)y y x '''-=-，且x 轴为曲线()y y x =在原点相切，在曲线()y y x =（0x ≥）上某B 点处作一切线，使之与曲线、x 轴所围平面图形的面积为112，试求：（1）曲线()y y x =的方程；（2）切点B 的坐标；（3）由上述所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积。

六、（10分）设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1(0)(1)0,()12f f f ===，证明：（1）存在1(,1)2η∈，使()f ηη=;（2）对任意实数λ，必存在(0,)ξη∈，使()[()]1f f ξλξξ'--=.七、（5分）设函数()f x 满足下列两个等式：lim ()2,lim ()0→∞→∞'''==x x f x f x ，求证：lim ()0→∞'=x f x ，lim ()0→∞''=x f x .武汉大学数学与统计学院2009—2010第一学期《高等数学A1》期末考试试题参考答案 A 卷一、（42分）试解下列各题： 1、解：原极限=112[(1)1]2lim [(1)1]lim1x x x x e xx e xx→∞→∞+-+-=1/0(21)1limlim (23)3tt xtt t t e t e t=→→+-==+=2、解：齐次方程230y y y ⅱ -+=的特征方程为2230l l -+=，它有复数根1l =，故原方程的通解为：12(cos sin )x y e C C =+ 3、解：原式=122x dx⎰=234、解：0022()x txttedx te dt td e+∞+∞+∞--==-⎰⎰⎰2[]22t ttee dt +∞-+∞-=-+=⎰5、解：s =/1π=⎰/211ln2dt tππ==⎰6、解：1112yx x =-++()(1)((1)![(1)(2)]n nn n yn xx -+-+=-+-+ 二、（8分）解：=()()xyxydu dyg e e y xdxdx'+，方程两边微分得： 222cos y e dy x x dx = 222c o s ydy x x edx-=故有222=()(2cos )xyxyydu e g e y x x edx-'+三、（8分）解：0n x >, 21102x x -=>，因此21x x >设1n n x x ->，则1111(1)11n n n n nn x x x x x x -+--=+-+++110(1)(1)n n n n x x x x ---=>++nx ∴单调增加，且111112211n n n n x x x x ---=+=-<++,故lim n n x →∞存在设lim n n x a →∞=，则: 11a a a=++ 解得 2a =.因为a 非负， ∴lim 2n n x →∞=四、（15分）解：定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 381y x'=- 令0y '=⇒驻点2x = ，不可导点0x =424''0y x=>1）故单调增加区间为：(,0),(2,)-∞+∞ ，单调减少区间为：(0,2) 极小值为：(2)3f =，无极大值。

20092010学年第一学期《高等数学1》考试参考答案与评分标准

20092010学年第一学期《高等数学1》考试参考答案与评分标准2009-2010学年第一学期《高等数学1》考试参考答案与评分标准一、选择题（每小题4分，共24分。

在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分）1．当0x x →时，)(x α、)(x β都是无穷小，则当0x x →时（）不一定是无穷小.(A) )()(x x βα+， (B) )()(22x x βα+ ， (C) [])()(1ln x x βα⋅+， (D) )()(2x x βα。

【解】应选D 。

2. 设a 不是π的整数倍，极限ax ax ax -→⎪⎭⎫⎝⎛1sin sin lim 的值是（）.（A ） 1，（B ）e ，（C ）ae cot ，（D ）ae tan 。

【解】应选C 。

事实上ax a x ax a x a a x a x -→-→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛11sin sin sin 1lim sin sin limaa x a x ax a a x a a x sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin 1lim ⋅---→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=aa e sin 1cos ⋅=ae cot =。

3. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0 ,0 ,1sin )(2x a x x e x x f ax 在0=x 处连续，则=a （）.（A ）1，（B ） 0，（C ）e （D ）1-。

【解】应选D 。

事实上由于()a e a x x e x x f axx axx x 212cos lim 1sin lim )(lim 2020+=⋅+=-+=→→→，而af =)0(，要使函数)(x f 在0=x 处连续，必需且只需)0()(lim 0f x f x =→，即a a =+21，解得1-=a 。

4. 设函数)(x f 在点a x =处可导，那么极限=--+→hh a f h a f h )2()(lim 0（）. （A ） )(3a f '，（B ）)(2a f '，(C) )(a f '，（D ）)(31a f ' 。

大学高等数学A1期末综合测试1试题与答案

1《高等数学A1》测试题1一、填空、选择题（24%）1. 21lim __________;1xx x x →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭2.若0(),0x f x a x ⎧≠==⎩在0x =处连续，则______;a =3. 设函数()f x 可导，且(1)2f '=，则0(1)(1)lim()2x f x f x∆→-∆-=∆(A) 1； (B) 1-； (C) 2； (D) 2-。

4. 223_______________;310x dx x x +=++⎰5.22(cos )__________;2x xe ex dx ππ---+=⎰6. 设21()txF x te dt =⎰，则()_______________;dF x = 7. 若12lim (),lim (),x ax af x k f x k +-→→==其中12,k k 是确定的常数，则x a =不可能是()f x 的( )(A) 连续点； (B) 可去间断点； (C) 跳跃间断点； (D) 无穷间断点。

8.设曲线()y f x =上任一点切线斜率为这点横坐标的3次方，并且曲线经过点(1,1)，则该曲线方程为( ) (A) 41344y x =+(B) 41344y x =-(C) 443y x =+ (D) 443y x =-二、解答下列各题（30%） 1. 3tan sin lim;1xx x x e→--2. 0limxx →3. 21sinxy e=，求y ';4. 3();(1).tx f t y f e π=-⎧⎨=-⎩其中f 可导，且(0)0f '≠，求0t dydx =;5. y e xy e +=，求(0)y ''.三、解答下列题（30%） 1. 22322x dxx x +++⎰; 2. 1arctan x xdx ⎰;3. 设(0)(3)(3)3f f f '===，()f x 二阶导数连续，求3()xf x dx ''⎰;4.求微分方程2321xy y x x '+=++的通解;5.求微分方程32x y y y xe '''-+=的通解. 四、解答下列各题（16%）1.已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处有极小值2-，(1).求a 与b 的值； (2). 求()f x 的极大值点与极大值。

2009-2010高等I答案(A卷)解答

广州大学2009-2010学年第一学期考试卷高等数学Ⅰ1（90学时A 卷）参考解答与评分标准一．填空题(每小题4分,本大题满分20分)1．22212lim ()n n nnn→∞+++= 12,22212lim ()12n n n n n n→∞+++=+++ 12.2．设ln(1),0()2sin 1,0ax x f x xx x +⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩,则0lim ()x f x -→= 1 ,当常数=a 2 时,)(x f 在0x =处连续.3．曲线221xy x =+有斜渐近线y =12x 和铅直渐近线=x 12-.4．曲线323y x x =-的拐点横坐标为=x 1 ，凸区间为(,1]-∞. 5．方程0y y '''-=的特征方程为20r r -=,通解为y =12xC e C +.二．选择题(每小题2分, 本大题满分10分)1. 当0→x 时, 11x +-是2x 的( B )无穷小. (A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶; (D) 等价.2．1lim (12)x x x →∞+=( D ).(A) 1; (B) e ; (C) e ; (D) 2e .3．函数23()(2)||f x x x x x =+--的不可导点的个数是( C ). (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3.4．二阶可导函数)(x f 在点0x x =处取得极值的充分条件是( D ). (A) 0)(0='x f ; (B) 0)(0>''x f ;(C) 0()0f x ''<; (D) 0)(0='x f 且0()0f x ''≠. 5. 设)(x f 是连续函数,()F x 是)(x f 的一个原函数,则( A ). (A) 当)(x f 是奇函数时,()F x 必是偶函数;(B) 当)(x f 是偶函数时,()F x 必是奇函数;(C) 当)(x f 是周期函数时,()F x 必是周期函数;(D) 当)(x f 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数.三．解答下列各题(每小题6分，本大题满分18分)1．ln(cos )y x =，求dy .解: 1(cos)cosy x x''=…………………………………………………2分sin ()cosxx x-'=⋅………………………………………………………3分1tan 2x x =-…………………………………………………………4分 1tan2dy x dx x=- ……………………………………………………6分2．求由方程ln 1xy y +=所确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数. 解: 把方程两边分别对x 求导数得10y xy y y''++=………………………………………………………4分当0x =时,y e =,代入上式得20|x y e ='=- ……………………………………6分3．求曲线222211t x tty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩上在参数2t =相应的点处的切线方程. 解: 切点坐标为44(,)55……………………………………………………………1分22222(1)dx tdt t -=+,222(1)dy t dtt =+2()()1dy y t tdxx t t'=='- ……………………………………………………4分切线斜率为 22|3t dyk dx ===-…………………………………………………… 5分切线方程为 424()535y x -=--,即 2340x y +-= ……………………………………………………6分四．解答下列各题(每小题6分，本大题满分12分)1．计算极限011lim ()1xx xe →--.解: 原式01lim(1)xxx e x x e →--=- ………………………………………………………1分 01lim1xxxx e e xe→-=-+ ……………………………………………………3分lim 2xxxx ee xe→=+………………………………………………………5分12= ……………………………………………………………………6分2．设2009()(1)()f x x g x =-,其中()g x 在1x =处连续,且(1)1g =,求(1)f '. 解: 1()(1)(1)lim1x f x f f x →-'=-200911lim()1x xg x x →-=-……………………………3分200911lim1x xx →-=-20081lim 20092009x x→==……………………………6分注: 20082009()2009()(1)()f x x g x x g x ''=+-,(1)2009(1)2009f g '==. 给3分.五．计算下列积分(每小题6分,本大题满分18分)1．21(1)dx x x +⎰. 解: 原积分2221(1)x xdx x x +-=+⎰211xdx dx xx=-+⎰⎰……………………………2分2211ln ||(1)21x d x x=-++⎰………………………………………4分21ln ||ln(1)2x x C =-++ …………………………………………6分2．124x dx -⎰.解: 令2sin x t =,arcsin2x t =,则124x dx -⎰2604cos tdt π=⎰…………………………………………3分60(22cos 2)t dt π=+⎰[]6032sin 232t t ππ=+=+……………………6分3.20xxedx --∞⎰.解: 原积分2021()2xed x --∞=--⎰……………………………………………2分21[]2xe--∞=- ………………………………………………………4分12=-………………………………………………………………6分六．（本题满分5分）证明: 当1>x 时,ln 1x x x >-. 证明: 令1ln )(+-=x x x x f , 则x x f ln )(='当1>x 时, 0ln >x , 从而0)(>'x f因此)(x f 在区间),1[∞+单调增加 ……………………………………………3分当1>x 时,0)1()(=>f x f ,即得1ln ->x x x ……………………………………………………………5分七．（本大题满分10分）如图所示, 平行于y 轴的动直线被曲线()y f x =与3y x =截下的线段PQ 之长数值上等于曲线()y f x =和x 轴及直线PQ 所围成曲边三角形的面积(阴影部分), 求曲线()y f x =的方程. 解: 由题意可得3()()x f t dt x f x =-⎰……2分两边求导得2()3()f x x f x '=- ……4分解此微分方程得2()[3]dx dx f x e x e dx C -⎰⎰=+⎰……6分2[3]x xe x e dx C -=+⎰ 2[36]x x xe x e xe dx C -=-+⎰2[366]xxxxe x e xe e C -=-++……9分由0|0x y ==,得6C =-,所求曲线为23666xy x x e-=-+- ……10分3y x=()y f x =POxxyQ八．（本题满分7分）设()f x 在区间[,]a a -上连续, (1)证明: 0()[()()]a a af x dx f x f x dx -=+-⎰⎰;(2)利用(1)的结果计算: 44cos 1xx dx eππ--+⎰.(1）证明: 00()()()a a aaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰令t x -=, 则0()a f x dx -⎰0()()a f t dt =--⎰0()a f x dx =-⎰所以 0()[()()]a a af x dx f x f x dx -=+-⎰⎰………………………………4分(2）由(1)得44co s 1xx d x eππ--+⎰40cos cos []11xxx x dx eeπ-=+++⎰40cos xdx π=⎰22=……………………………………………………7分。

(整理)-2010学年第一学期期末考试试卷(a卷)参考解答与评分标准.

中国传媒大学2009-2010学年第一学期期末考试试卷（A 卷）参考解答与评分标准考试科目：高等数学A （上）考试班级： 2009级工科各班考试方式：闭卷命题教师：一. 填空题（将正确答案填在横线上。

本大题共3小题，每小题3分，总计9分） 1、若在),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调增加，曲线是上凸的。

2、设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=232322t t y tt x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d )1(23t +。

3、=⎰dx x x1cos 12C x +-1sin 。

二. 单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中。

本大题共3小题，每小题3分，总计 9分）1、设A x x ax x x =-+--→14lim 231，则必有 .104)( ; 64)(;104)( ; 52)(=-=-==-====A a D A a C A a B A a A ，　，，　，答( C )2、设211)(xx f -=，则)(x f 的一个原函数为 xx D x x C x B x A -++-11ln21)(11ln 21)(arctan )(arcsin )( 答( D ) 3、设f 为连续函数，又，⎰=xe x dt tf x F 3)()(则=')0(F)0()1()( 0)()1()( )(f f D C f B e A - 答( B )三. 解答下列各题（本大题共2小题，每小题5分，总计10分）1、求极限xe e x x x cos 12lim 0--+-→。

解：=--+-→x e e x x x cos 12lim 0xe e xx x sin lim 0-→- （3分） 2cos lim 0=+=-→xe e x x x 。

2010-2011秋季高数A试题(A卷)答案

中国农业大学2010 ~2011学年秋季学期高等数学A 课程考试试题(A 卷)答案 2011/01(注意：本试卷共有八道大题，满分100分，考试时间100分钟)一、单项选择题(本题共有4道小题，每小题3分，满分12分)，请将合适选项填在括号内．1．设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是【 D 】.（A ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =（C ）若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在（D ）若0()()lim x f x f x x →--存在，则(0)f '存在.2. 设20()sin x f x tdt =⎰，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的【 A 】.（A ）高阶无穷小（B ）同阶但非等价无穷小（C ）等价无穷小（D ）低阶无穷小. 3. 设()x f 是[]a a ,-上的连续函数，则()()cos a af x f x xdx ---⎡⎤⎣⎦⎰=【 B 】.（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）无法计算.4. 下列选项正确的是【 C 】.(A) ⎰-1121dx x = 2 (B) ⎰-1121dx x = - 2(C) dx x ⎰-1121 不存在 (D) dx x⎰-1121= 0 . 二、填空题(本题共有4道小题，每小题3分，满分12分)，请将答案填在横线上． 1. 已知0sin lim3(2)x kxx x →=-+，则k 的值等于 -6 .2.已知cos x x 是()f x 的一个原函数，则cos ()d x f x x x ⋅=⎰____21cos ()2x C x+_______.3. 计算定积分10x =⎰______4π_____________.4. )(x f y =是偶函数，在曲线)(x f y =上点（1，2）处的切线方程为053=+-y x ，则曲线在点（-1，2）处的切线方程为___053=-+y x ________________. 三、计算下列各题（本题共有4道小题，每小题6分，满分24分）.1．求极限 30sin lim x x xx→-. 解：33300sin 6lim lim x x x x xx x →→-= ……………………………3分16= ……………………………6分 2．求参数方程231x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数）所确定的函数()y f x =的导数22,dy d ydx dx . 解：23322dy t tdx t == ……………………………3分 '223()3224t d y dx t t== ……………………………6分 3. 求不定积分ln d x x x⎰. 解：ln d ln d(ln )xx x x x=⎰⎰ ……………………………3分 2(ln )2x C =+ ……………………………6分4. 已知0()()()d xF x x t f t t =-⎰，求()F x 的二阶导数.解： 0()()()d ()d ()d x x xF x x t f t t xf t t tf t t =-=-⎰⎰⎰ ……………………………2分()[()d ()d ]()d ()()()d x x x xF x x f t t tf t t f t t xf x xf x f t t ''=-=+-=⎰⎰⎰⎰ ………………………4分()(()d )()xF x f t t f x '''==⎰ ……………………………6分四、（本题满分10分）求函数xn e n x x x y -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=!!212 的极值 (其中n 为正奇数).解：xn xn e n x x x en x x x y ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++='!!21)!1(!21212xn e n x --=!， ……………………………3分驻点为0x =， ……………………………5分由于n 为正奇数，当0x <时，0<nx ，故,0>'y 故y 单调上升； ……………7分当0x >时，0>n x ，故,0<'y 故y 单调递减； ……………………………9分因此0x =为函数的极大值点，且极大值为(0)1y =. ……………………………10分五、（本题满分10分）设()f x 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明02()d 1xx f t t -=⎰在[0,1]上只有一个解. 证明：（1）存在性()2()d 1xF x x f t t =--⎰ ……………………………2分(0)1,F =- ……………………………3分1(1)1()1()0F f x dx f ξ=-=->⎰ ……………………………4分函数()f x 在[0,1]上连续，根据介值定理，则存在(0,1)ξ∈，使得()0F ξ=. ……………………………6分（2）唯一性()2()0F x f x '=->， ……………………………8分函数()F x 在[0,1]上单调增加，从而()F x 在[0,1]有唯一的根.……………………10分六、（本题满分10分）求经过三点123(1,1,1),(2,0,1),(1,1,0)P P P --的平面方程. 解：法一：12(1,1,0),PP =-13(2,2,1)PP =--- ……………………………2分取1213110(1,1,4),221ij kn PP PP =⨯==-=---- ……………………………6分平面方程为(1)(1)4(1)0,x y z -+---= ……………………………10分整理得420.x y z +-+= ……………………………10分法二：所求平面的方程为1111100221x y z ----=--- 整理得420.x y z +-+=七、（本题满分10分）设函数()f x 在[]0,1上可微，且满足()()-=⎰12012d 0,f x f x x 证明在()0,1内至少存在一点ξ，使'=-()()f f ξξξ.证明: 作辅助函数 )()(x xf x =ϕ， ……………………………2分根据积分中值定理，由-=⎰120(1)2()d 0f x f x x 得到 -⋅=1(1)2()02f c f c即()()1f c f c = ……………………………5分显然，)(x ϕ在[,1]c 上连续，在(,1)c 内可导，且()(1)c ϕϕ=，可见，)(x ϕ满足罗尔定理，…………………………7分所以，在(),1(0,1)c ⊂内至少有一点ξ，使0)()()(=ξ'ξ+ξ=ξϕ'f f . 即 '=-()()f f ξξξ. ……………………………10分八、（本题满分12分）求曲线22y x x =-与0,1,3y x x ===所围成的平面图形的面积S ，并求该图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.解：22221112(02)(2)3S x x dx x x dx =-+=-=⎰⎰. ……………………………2分 32224(2)3S x x dx =-=⎰. ……………………………4分所以1224233S S S =+=+=. ……………………………6分平面图形1S 绕y 轴旋转一周所得的体积为：21111(16V dy πππ-=+-=⎰. ……………………………8分平面图形2S 绕y 轴旋转一周所得的体积为：232204333(16V dy πππ=⋅⋅-+=⎰. ……………………………10分旋转体的体积为121143966V V V πππ=+=+=. ……………………………12分或222111112()2(2)6V xf x dx x x x dx πππ==-=⎰⎰. 332222432()2(2)6V xf x dx x x x dx πππ==-=⎰⎰. 旋转体的体积为121143966V V V πππ=+=+=.。

2010高数AII(本)A卷试卷答案(刘能东修订) (1)

姓名: 学号: 系别: 年级专业:( 密封线内不答题 )……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………_____________ ________东莞理工学院（本科）A卷试卷答案与评分标准2009 --2010 学年第二学期《高等数学AII(本)》试卷开课单位：数学教研室，考试形式：闭卷，允许带入场题序一二三总分得分评卷人一、（共70分第1—21题每空3分，第22题1分）1. 微分方程的通解是（C为任意常数）。

2.微分方程的通解为3.微分方程的特解形式是，则微分方程的通解为4. 向量与的夹角为：5.过点，且与平面平行的平面方程为.6. 直线的单位方向向量为7 ．坐标面上的曲线绕轴旋转一周生成的旋转曲面方程为。

8. 曲线在点（1，1，1）处的切线方程为：9.球面在点处的法线方程为： .10．设函数，则的梯度：，沿的方向导数= ，11．设，则．12. 设，则1/513. = ，=,其中为正向圆周线14.设闭区域=，则二重积分．15.将三重积分化为直角坐标系下的三次积分为，其中闭区域是由平面所围成部分．16．闭区域由曲面及平面所围成，利用柱面坐标系计算三重积=17. 已知数项级数，则该级数是_发散_____（绝对收敛，条件收敛，发散）．18．已知正项级数，则该级数是__收敛__（收敛、发散）.19.已知正项级数，则该级数是_收敛____（收敛、发散）。

20．级数是条件收敛的（发散，绝对收敛，条件收敛）；21.幂级数的收敛域是．22. 设周期函数在一个周期内的表达式为则它的傅里叶级数在处收敛于．(此题得分1分)二、计算题（共30分每题6分）1. 求微分方程满足初始条件的特解.解：为一阶线性微分方程，（2分）（2分），将代入，得，故满足条件的特解为。

（2分）2．计算，其中是下半圆周逆时针方向的弧段．解：设是轴上由点（2，0）到（0，0）的有向线段，原式=-= - (４分)(2分)3．设是上半球面的上侧,则．解：令是圆面，方向为下侧，原式=- (2分)+ (2分)= (2分)4．求幂级数的收敛域及其和函数.解：，易知收敛域为。

高数A参考答案定稿

2、设在区间上可导，，证明在区间内至少存在一点，使得成立．
证：设，……………………………………………………（2分）
则在上连续、可导，
由罗尔定理，存在使得，即，………（4分）
得 …………………………………………………………（5分）
六、（本题12分）
设椭圆满足，记所围成的平面图形为，
问取何值时，的面积最大？（提示：的面积为）；
当使得面积最大时，求绕直线旋转一周所形成的旋转体的体积．
解：的面积为，， …（2分）
令，得 …………………………………………………………（3分）
当时，；当时，，
当时，的面积最大．…………………………………………（6分）
＝ ……………………（6分）
3、设方程确定函数，求．
解：在方程两边对求导数，得，∴ …………（3分）
＝ ………………………（6分）
4、设，求并讨论其在处的连续性．
解：当时， ……(2分)
当时， ………（4分）
，
∴ 在处连续．…………………………………………………………（6分）
5、求不定积分．
1、证明当时，．
证：设，则 ………………
∴ 在上单调递减，在上单调递增，…………………（4分）
∴ 在处取最小值，∴当时，
即，当时，．…………………………（5分）
或位于与之间
或设，则，令得，又，所以点为可导函数在内唯一的驻点，且为极小值，所以为在内的最小值点，∴当时，，即，当时，．
解：原式= ………………………………………（1分）