高等数学2导数与微分3

4!
，……，
(− 1) n! 1 (n ) ) = a+x (a + x )n +1
n
例 6．利用上面的高阶导数公式，求下列函数的高阶导数：
(cos 3x )(20 ) (sin (2 x + 3))(10 )
解： (cos 3 x )
( 20 )
(
1 )(4 ) x − 2x − 3
2
(
1 (5 ) ) 2x + 1
2． y = ln f ( x) ，其中 f 二阶可导。
y′ =
f ′( x) f ( x)
y′′ =
f ′′( x) ⋅ f ( x) − [ f ′( x)]2 f 2 ( x)
例 5．试求下列函数的 n 阶导数： x α ， a x ， sin ax ， 解： x α ： x α
1 。 a+x
练习 3、求下列函数的高阶导数
1． y = x 2e − x ，求 y (7 ) 。
解： y (7 ) = x 2e − x
(
)( ) = c (e )( ) x
7 0 7
−x
7
2
1 −x + c7 e
( )( ) (x )′ + c (e ) (x )″ + 0 = e [− x
6 2 2 7
− x ( 5)
2
−x
7
+ 14 x − 42
]
2． y = sin 2 x ⋅ cos 3x ，求 y (20 )
解：不宜采用莱布尼兹公式，而应利用三角函数的积化和差公式，首先将函数变形为：
y = sin 2 x ⋅ cos 3x = y (20 ) =
1 [sin 5 x − sin x] ，则 2
1 [sin 5 x − sin x](20 ) = 1 (sin 5 x )(20 ) − (sin x )( 20) 2 2
[ln(1 + x)]( n )
= 320 cos(3x +
20π ) = 320 cos 3 x 2 2
(sin (2 x + 3))(10 ) = 210 sin(2 x + 3 + 10π ) = −210 sin (2 x + 3)
( 1 1 1 1 1 (4 ) − )(4 ) = ( )(4 ) = ( ) (x − 3)(x + 1) x − 2x − 3 4 ( x − 3) ( x + 1)
练习 2、求下列函数的二阶导数 1． y = e f (tan x ) ，其中 f 二阶可导。
y′ = e f ( 2 x ) ⋅ 2 f ′(2 x)
y′ = 2{e f ( 2 x ) ⋅ 2[ f ′(2 x)]2 + e f ( 2 x ) ⋅ 2 f ′′(2 x)} = 4e f ( 2 x ) {[ f ′(2 x)]2 + f ′′(2 x)}
y ′′ = 2 x cos x 2
d 2s 。 dt 2
(
)′ = 2(cos x
2
+ x − 2 x sin x 2 = 2 cos x 2 − 4 x 2 sin x 2
(
))
1
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第二章
导数与微分
例 2．求函数 y = ln( x + 1 + x 2 ) 的二阶导数。 解： y′ =
2 2
k
2
，u = sin 2 x ，利用公式，
8 2
y (10 ) = x 2 sin 2 x
(
)(
10 )
0 (sin 2 x ) = c10
(10 )
1 (sin 2 x ) x 2 + c10
(9 )
(x )′ + c (sin 2 x )( ) (x )″ + 0
2 2 10
= −210 x 2 sin 2 x + 2 9 ⋅ 2 x ⋅ cos 2 x + 45 ⋅ 2 ⋅ 2 8 sin 2 x = −210 x 2 sin 2 x + 210 x cos 2 x + 45 ⋅ 2 9 sin 2 x
( )′ = α x
α −1
， xα
( )″ = α (α − 1)x
α −2
，……，
2
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α
n
第二章
导数与微分
(x )( ) = α (α − 1)L(α − n + 1)x ； ( ) 特别当 α = n 时， (x ) = n(n − 1)(n − 2)L (n − n + 1)x = n ! ,从而不难推出重 ( ) ( ) 要结论： (x ) = n !， (x ) = 0 （ m > n ） 。 （ m, n 均为自然数） (x )( ) = 5!= 120 ，而 (x )( ) = 0 ， [(3x + 2 x + 1) ]( ) = 3 ⋅ (50)!
( n −1) 2 (n−2 ) n −1 n (u ⋅ v )(n ) = cn0 u (n )v + c1 v′ + cn u v ′′ + L + c n u ′v (n −1) + c n uv (n ) nu
k = 其中， c n
n! n(n − 1)L (n − k + 1) ；若记 u = u (0 ) ， v = v (0 ) ，则有求两个函数乘积的 = k! k !⋅(n − k )!
可以定义出 n 阶导数：
dny dny f ( n −1) ( x + Δx) − f ( n −1) ( x) (n ) lim = ；并记为： y ， 等；称函数的 dx n Δx → 0 Δx dx n
二阶及其以上阶的导数为高阶导数。通常记作： y ′ ， y ′′ ， y ′′′ ， y (4 ) ， y (5 ) ， L , y (n ) ,L 。 由此定义，质点的加速度可以写作： a(t ) = s ′′(t ) = 例 1．设函数 y = sin x 2 ，求 y ′′ 。 解： y ′ = 2 x cos x 2 ，
2 2 1 1 ′ 1 1 ″ 2 ) =− ) = ： ( ，( ， 2 a+x a+x a+x (a + x ) (a + x )3 1 (3 ) 2⋅3 3! ⎛ 1 ⎞ =− ( ) =− ，⎜ ⎟ 4 4 a+x (a + x ) (a + x ) ⎝ a + x ⎠ (
(4 )
=
(a + x )5
3
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第二章
导数与微分
(ln(1 + x ))′ =
1 1 ( n−1) (−1) n−1 (n − 1)! (n) ) = ， (ln(1 + x) ) = ( 1+ x (1 + x) n 1+ x
(n )
例 7．设 y = u ( x ) ⋅ v( x ) ，其中 u ( x ) ， v( x ) 均 n 阶可导，求 (u ⋅ v ) 。
f ′( x) = 6( x + 10)5 ， f ′′( x) = 30( x + 10) 4 ， f ′′(−8) = 30 × 24 = 480
2． y = (1 + x 2 ) ln(1 + x 2 ) ，求 y′′
y′ = 2 x ln(1 + x 2 ) + (1 + x 2 ) ⋅ y′′ = 2[ln(1 + x 2 ) + 1] + 2 x ⋅
同理，如果将二阶导数 f ′′( x ) 作为函数，可以定义出三阶导数：
d3y f ′′( x + Δx ) − f ′′( x ) = lim 3 Δx → 0 dx Δx
记作：
d 3 y d ⎛ d 2 y ⎞ d3 f d n −1 y ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⎟ ⎜ ( ) ， ， y 或 f ( x ) ；一般利用函数 y = f x 的 n − 1 阶导数 ， = 2 ⎟ dx 3 dx n −1 dx 3 dx ⎜ ⎝ dx ⎠
2x = 2 x[ln(1 + x 2 ) + 1] ， 2 1+ x
2x 4x2 2 2 [ln( 1 ) 1 ] = + x + + 1 + x2 1 + x2
例 3．求函数 y = f ( x 2 ) 的二阶导数，其中 f 二阶可导。 解：
dy d2y = 2 xf ′( x 2 ) ， 2 = 2{xf ′( x 2 )}′ = 2{ f ′( x 2 ) + 2 x 2 f ′′( x 2 )} dx dx
α −n
n n n−n n n n m
5 5 5 6 5 3 10 50 10
″ (n ) ′ 2 n a x ： (a x ) = a x ln a , (a x ) = a x (ln a ) ,……， (a x ) = a x (ln a ) ；
π ′ sin ax ： (sin ax ) = a cos ax = a sin(ax + ) ， 2
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第二章
导数与微分
第二章 导数与微分 §3、高阶导数
教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的 n 阶导数 教学重点：高阶导数的求法 教学难点：高阶导数的归纳方法
变速直线运动的质点的路程函数为 s = s (t ) ，则速度为
v(t ) = s′(t ) = lim
(n )
k (n − k ) (k ) = ∑ cn u v 。利用此公式可以解决某些乘积的 k =0 n
高阶导数公式——莱布尼兹公式： (u ⋅ v ) 高阶导数问题。 例 8．设 y = x 2 sin 2 x ，求 y (10 ) 。 解：注意到， x 2
( )′ = 2 x ，(x )″ = 2 ，(x )( ) = 0 （ k ≥ 3 ） ，故取 v = x
例 4．设 f 二阶可导，求函数 y = f (sin x) + sin f ( x) 的二阶导数。 解：
dy = cos xf ′(sin x) + cos f ( x) ⋅ f ′( x) dx d2y = − sin xf ′(sin x) + cos 2 xf ′′(sin x) − sin f ( x) ⋅ [ f ′( x)]2 + f ′′( x) cos f ( x) 2 dx
′ 解： (u ⋅ v ) = u ′v + uv ′
(u ⋅ v )″ = (u ′v + uv ′)′ = u ′′v + 2u ′v ′ + uv ′′
(u ⋅ v )(3) = (u ′v + uv ′)′ = u ′′′v + 3u ′′v′ + 3u ′v′′ + uv ′′′ ……
用数学归纳法，可得
2 4 4
1 1 (4 ) 1 1 (4 ) 1 (− 1) 4! 1 (− 1) 4! 1 1 = ( ) − ( ) = − = − 5 5 5 4 x −3 4 x +1 4 ( x − 3) 4 ( x + 1) (x − 3) (x + 1)5 ( 1 (5 ) 1 1 (5 ) 1 (−1)5 5! 1 5! 25 ⋅ 5! 6 = ) = ( = − ⋅ ⋅ ) = − 2 6 2 (2 x + 1)6 (2 x + 1) 6 2x +1 2 x+ 1 2 (x + 1 2 2)
定义、设函数 y = f ( x ) 在点 x 的邻域内一阶导数 f ′( x ) 存在，如果极限
Δx → 0
lim
存在，称函数 y = f ( x ) 在点 x 二阶可导，并称极限值为 y = f ( x ) 在点 x 的二阶导数，记 作：
d 2 y d ⎛ dy ⎞ d 2 f = ⎜ ⎟ ， 2 ， f ′′( x ) 或 y ′′ 。 dx 2 dx ⎝ dx ⎠ dx
加速度 a(t ) = lim
s (t + Δt ) − s (t ) Δt → 0 Δt
Δt → 0
Δv v(t + Δt ) − v(t ) ，即 a (t ) = v′(t ) = [ s′(t )]′ 。 = lim Δ t → 0 Δt Δt f ′( x + Δx ) − f ′( x ) Δx
(sin ax )″ = a 2 cos(ax + π ) = a 2 sin(ax + 2π ) ，
2 2
(sin ax )″ = a 3 cos(ax + 2π ) = a3 sin(ax + 3π ) ，……，
2 2
(sin ax )(n ) = a n sin(ax + nπ ) ；同理 (cos ax )(n ) = a n cos(ax + nπ )
1 x + 1 + x2
⋅ (1 +
1
2x 2 1 + x2
)=
1 1 + x2
3
y′′ = ( y′)′ = (
− x 1 )′ = − (1 + x 2 ) 2 ⋅ 2 x = − 3 2 2 1+ x (1 + x 2 ) 2
注：求二阶导数之前，应该将一阶导数作适当的化简、整理。 练习 1、求下列函数的二阶导数 1． f ( x) = ( x + 10)6 ，求 f ′′(−8)