高代试题
《高等代数》多项式试题库
�
(1 �
i)x 2
� 1 ;(vi) 1 �
1 2!
x
�
1 3!
x3
���
1 n!
xn
��
;
其中
是
多项式.
3. 零多项式是
, 零次多项式是
.
n
m
4.
� � 设 多 项 式 f ( x) � ai x i , g ( x) � bi x i
i �1
i �1
,
则 f (x)g(x) 的 k 次 项 系 数
二 证明题
1. 证明 x f k (x) 的充分必要条件是 x f (x) .
2. 证明 . x 8 � x 7 � x 5 � x 4 � x 3 � x � 1 x 12 � x 9 � x 6 � x 3 � 1
3. 证明 x d �1 整除 x n �1 的充要条件是 d n .
4. 证明, 若 x 3 � x 2 � x � 1 f ( x 4 ) � xg (x 4 ) � x 2 h(x 4 ) ,则 x � 1 同时整除 f ( x), g ( x), h( x) . 与例 2 联系,将此题推广到一般结果,并证明你的结论.
(C)若 g (x) Q f (x) ,则 g ( x) R f ( x) ;(D)若 g (x)� R f (x) ,则 g ( x)� q f ( x) .
3. 设 p(x) f (x), p(x) g (x) ,则 p( x) 整除于
.
① f ( x) � g ( x) ;② f 2 ( x) � g 2 ( x) ;③ f ( x) g ( x) ;④ f 3 (x) � g 3 (x) .
a2 � b2 n
高代2期末考试试题及答案
高代2期末考试试题及答案# 高代2期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性空间中，向量组的线性相关性意味着：- A. 向量组中至少有一个向量可以由其他向量线性表示- B. 向量组中所有向量都是零向量- C. 向量组中任意向量都可以由其他向量线性表示- D. 向量组中存在非零向量可以由其他向量线性表示答案：A2. 设矩阵A是n阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得Ax=0，则称x为矩阵A的：- A. 特征向量- B. 零空间向量- C. 特征值- D. 逆矩阵答案：B3. 矩阵的秩是指：- A. 矩阵中非零行的最大数目- B. 矩阵中非零列的最大数目- C. 矩阵的行向量组的秩- D. 矩阵的列向量组的秩答案：D4. 对于线性变换T: V → W，如果存在矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A和B是：- A. 相似矩阵- B. 等价矩阵- C. 合同矩阵- D. 正交矩阵答案：B5. 线性变换的核是指：- A. 线性变换的值域- B. 线性变换的零空间- C. 线性变换的逆映射- D. 线性变换的映射集合答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 线性空间V的基是一组向量，使得V中任意向量都可以唯一地表示为这组向量的________。
答案：线性组合2. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，则矩阵乘积AB的秩r(AB)满足：________。
答案：r(AB) ≤ min(r(A), r(B))3. 矩阵的特征值是指使得方程________的λ的值。
答案：det(A - λI) = 04. 线性变换的线性组合可以表示为________。
答案：T1 + λT25. 对于线性空间的子空间U和W，它们的和U+W是________。
答案：U和W中所有向量的集合三、简答题（每题5分，共15分）1. 解释什么是线性空间的基，并给出一个例子。
答案：线性空间的基是一组向量，它们线性无关且能生成整个线性空间。
高等代数Ⅰ第二章 线性方程组测试题
η1,η2 ,",ηn−1 线性无关。（10 分）
八、已知α1
=
(0,1,0),α 2
=
⎧
(−
3,2,2)
是方程组
⎪ ⎨
x1 − x2 + 2x3 = −1 3x1 + x2 + 4x3 = 1
的两个解，求此方程的
⎪⎩ax1 + bx2 + cx3 = d
一般解。（10 分）
九、设α1,α2 ,",αt 是齐次方程组②的基础解系， β1 = α2 + α3 + "+ αt , β2 = α1 + α3 +
β4
= α4
− α1 ，那么，
β
1
,
β
2
,
β
3
,
β
必线相关
4
。
⒉等价的向量组有相同的极大关组。
（） （）
⒊设 A是n级方阵, 那么A的行向量线性无关当且仅当 A 的列向量线性无关。（ ）
⒋如果非齐次线性方程组①的系数矩阵的秩小于 n ，那么①的基础解系一定存在，但未
必是唯一的。
（）
⒌非齐次线性方程组的任意两个解向量的和仍是它的解。
⒊设齐次线性方程组
⎪⎪⎨a21x1 ⎪
+
a22 x2 + "+ a2n xn """"
=
0
②
⎪⎩a s1 x1 + as2 x2 + "+ asn xn = 0
只有零解, A 表示其系数矩阵,那么( )
(A) A 的列向量线性相关;
(B) A 的列向量性无关;
高等代数试题
第一章 多项式§1.1一元多项式的定义和运算1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是(6) 222)()()(x xh x xg x f +=，那么.0)()()(===x h x g x f2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明：!))...(1()1(!)1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x nn---=+---+--+-§1.2 多项式的整除性1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式：( i );13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii);23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：kx f x )(|必要且只要).(|x f x3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.nn a x -6．考虑有理数域上多项式()()()()()(),121211nkn k nk x x x x x x f ++++++=-++这里k 和n 都是非负整数．证明：()()().11|1n k 1+++++-x x f x x k7．证明：1-d x 整除1-nx 必要且只要d 整除.n§1.3 多项式的最大公因式1. 计算以下各组多项式的最大公因式：( i )()();32103,34323234-++=---+=x x x x g x x x x x f (ii) ()().1)21(,1)21()42()22(2234i x i x x g i x i x i x i x x f -+-+=----+-+-+=2. 设()()()()()().,11x g x d x g x f x d x f ==证明：若()()(),),(x d x g x f =且()x f 和()x g 不全为零，则()();1),(11=x g x f 反之，若()(),1),(11=x g x f 则()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式．3. 令()x f 与()x g 是][x F 的多项式，而d c b a ,,,是F 中的数，并且0≠-bc ad证明：()()()()()()).,(),(x g x f x dg x cf x bg x af =++4． 证明：（i ）h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式； （ii ）),,,,(),)(,(212121212211g g f g g f f f g f g f = 此处h g f ,,等都是][x F 的多项式。
高等代数试题
复习提纲一、填空题1. 设B A ,是两个n 级对角矩阵，则乘积AB 是2. 实二次型()()31212322213212212,,x x x kx x k x x x x x f ++-++=为正定二次型，则k 的取值范围为3. 如果把复数域看作实数域上的线性空间，那么这个空间的维数是4．设q p ,是两个实数，在2R 中对于向量),(),,(2121b b a a ==βα，规定内积为2121),(b qb a pa +=βα，使2R 构成欧氏空间的充要条件是5．设βα,是欧氏空间V 中两个线性无关的向量，则|),(|βα ||||βα∙ . 6．在2R 中，对于向量()()2121,,,b b a a ==βα规定内积为()221153,b a b a +=βα ，则基()()1,0,0,121==e e 的度量矩阵为7．设A 是实对称矩阵，且E A =2，则A 是 矩阵.已知二次型31212322212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=是正定二次型，则t 的取值范围是 .8．设有3R 的子空间(){}R b a b a b a W ∈=+=,,20,,，则W 的维数= .9. 设()()1,1,2,121-==εε与()()1,0,0,121==ηη是2R 中的两组基，则从基21,ηη到基21,εε的过渡矩阵为 ，向量()2,3-=α在基21,εε下的坐标为 ，设线性变换A i i ηε=()2,1=i , 则A 在基21,εε下的矩阵为 .10. 在欧式空间4R 中，已知向量()()3,2,2,1,1,5,1,3==βα，则内积()βα,= ，两向量的夹角β,= .11. 设3R 的子空间(){}R x x x x x W ∈+=21221,,0,2，维()=W ，W 的一组基为 .12. 已知二次型3231212322214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=是正定二次型，则t 的取值范围是 .13. 设()()1,1,2,121-==εε与()()1,0,0,121==ηη是2R 中的两组基，则从基21,εε到基21,ηη的过渡矩阵为 ，向量()2,3-=α在基21,εε下的坐标为 ，设线性变换A i i ηε=()2,1=i , 则A 在基21,εε下的矩阵为 . 14. 在欧式空间4R 中，已知向量()()2,1,1,1,1,1,0,1-=-=βα，则两向量的夹角βα,= .15. 在2P 中，已知两组基：()()1,1,2,121-==εε与()(),1,0,3,121=-=ηη则基21,ηη到基21,εε的过渡矩阵为 ，向量()0,1=α在基21,εε下的坐标. .16. 设3R 中有两个线性变换()()0,,,,323211a a a a a =A ，()3212,,a a a A()33221,,a a a a a ++=，则()()=A -A 32121,,a a a ，()()=A ∙A 32121,,a a a .17. 设B A ,是两个n n ⨯矩阵，若B A ~，则A B ，2A 2B .18. 设3R 中有两个线性变换()()0,,,,323211a a a a a =A ，()3212,,a a a A()33221,,a a a a a ++=，则()()=A +A 32121,,a a a ，()()=A -3211,,2a a a ，()()=A ∙A 32121,,a a a线性变换()21A ∙A 在基()0,0,11=e ，()0,1,02=e ，()1,0,03=e 下的矩阵 为 .19. 设矩阵A 满足O A A =-42，则A 的特征值是 .20. 设3,1,1-是33⨯矩阵A 的特征值，则3254E A A --= .21. 设q p ,是两个实数，在2R 中对于向量),(),,(2121b b a a ==βα，规定内积为2121),(b qb a pa +=βα，使2R 构成欧氏空间的充要条件是 ，找出2R 的一组标准正交基 .二、判断题：1. 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.2. 设A 为n 阶实对称矩阵，0>A ，则存在实的n 维向量O X ≠0，使000>'AX X .3. 正定二次型()321,,x x x f 的规范形是232221x x x ++.4. 设4321,,,αααα是线性空间V 的一组向量，则(L ),,,4321αααα),(),(4321ααααL L ⊕=.5. 设A 是线性空间V 的线性变换，V ∈βα,，若βαA =A ，则βα=.6. 设A 是线性空间V 的线性变换，ξ与η是A 的两个特征向量，则ηξ+也是A 的特征向量.7. 设A 是复数域C 上的n 维线性空间V 的线性变换，则总可以找到V 的一组基，使A 在这组基下的矩阵是对角矩阵.8. 对任意实对称矩阵A ，总能找到正交矩阵T ，使AT T 1-为对角矩阵.9. 设V 是n 维线性空间，A 是V 上的线性变换，则V A AV =+-)(1θ.10. 任意两组标准正交基间的过渡矩阵是正交矩阵.11. 设4321,,,αααα是空间V 的向量，θαααα=-+-43212345，则),(),(4321ααααL L =.12. 设两个n 级矩阵A 与B 有相同的特征多项式，则A 与B 合同. 13. 在复数域上三元二次型的规范形为()232221321,,x x x x x x f ++=.14. 全体复数可看成实数域上的二维向量空间.15. 21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么21V V 也是V 的子空间.16. 次数等于n 的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法构成实数域上的线性空间. 17. 在线性空间V 中，设αξ=A ，其中V ∈α是一固定的向量，则A 是线性空间V的线性变换.18. 设A 是线性空间V 的线性变换，ξ与η是A 的属于两个不同特征值的特征向量，则ηξ+也是A 的特征向量.19. 设A 是一个n 级正定矩阵，而(),,,,21n x x x =α(),,,,21n y y y =β在n R 中定义内积()βα,为()T A βαβα=,，则nR 是一欧式空间.20. η是欧式空间V 中一单位向量，定义()ηαηαα,-=A ，则A 是正交变换. 21. 任意一个n 级实对称矩阵A ，都存在一个n 级对角形矩阵T ，使T 与A 既合同又相似.22. 三元正定二次型的规范形为()232221321,,x x x x x x f ++=. 23. 全体复数可看成复数域上的一维向量空间.24. 21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么21V V 也是V 的子空间.25. 在线性空间V 中，设αξ=A ，其中V ∈α是一固定的非零向量，则A 是线性空间V 的线性变换.26. η是欧式空间V 中一单位向量，定义()ηαηαα,3-=A ，则A 是正交变换.. 27. 实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是A 合同于单位矩阵. 28. 全体复数可看成实数域上的二维向量空间.29. 设n ααα,,,21 是欧式空间V 中的一组基，如果V ∈β且满足()0,=i αβ()n i ,,2,1 =，则O=β.30. 在[]x R 3中定义内积为()()()()()dx x g x f x g x f ⎰-=11,，则31,,12-x x 是 []x R 3的一组标准正交基.31. 设(){}F b a b a V ∈=,,，现取加法为通常的加法，而数量乘积重新定义为：()()kb a b a k ,,= ，则V 关于加法与新定义的数量乘积是F 上的线性空间. 32. 数域F 上的n 元线性方程组的解集合是nF 上的子空间.33. 设21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么21V V 也是V 的子空间. 34. 设4321,,,αααα是线性空间V 的一组向量，且满足=-+-43212345αααα，则()()432321,,,,ααααααL L =.35. 设(){}F b a b a V ∈=,,，对V 定义两种运算：()()()k d b c a d c b a ,,,,++=⊕⊙()()kb a b a ,,=，则V 关于加法和数量乘积是F 上的向量空间. 36. (){}F b a b a b a ∈+,,,是3F 的子空间.37. (){}F a a a ∈3,,1是3F 的子空间.38. nF 中，设n εεε,,,21 是n 维单位向量组，则=nF（n εεε,,,21 ）.39. 设(),,F T F Mat S n n ==⨯令()S A A A ∈=,σ，则σ是从S 到T 的一个线性变换.三、解答题1. 已知实二次型313221321),,(x x x x x x x x x f ++=（1）试用矩阵乘积的形式表示f ；（2）试求非退化线性替换化f 为标准型.2. 设22,,1x x x x ++是线性空间3][x R 的一组基，求2231x x +-在这组基的 坐标.3. 设3P 中定义线性变换A 在基321,,εεε下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101110211A ，计算（1）V A 与A 的秩；（2）()O 1-A 与A 的零度4. 在线性空间3P 中，给出两个向量组⎩⎨⎧=-=)1,1,1()0,1,1(21αα； ⎩⎨⎧--=-=)1,1,1()0,3,1(21ββ求),(),(2121ββααL L +与),(),(2121ββααL L 的基与维数5. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=312132220A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）求可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵.6. 在欧氏空间4R 中，求与)0,4,1,1(--=α，)2,2,1,1(=β，)4,5,2,3(=γ都正交的单位向量.7. 已知实二次型323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=求（1）用矩阵乘积的形式表示()321,,x x x f ；（2）用非退化线性替换化()321,,x x x f 为标准形. 8. 设A 是线性空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=284014013A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）问A 是否可对角化？若不可对角化，则说明理由；若可对角化，则求出可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵.9. 已知齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-+=-+-+0032532154321x x x x x x x x x ，求（1）一个基础解系；（2）解空间的一组标准正交基. 10. 设(){}0,,3213211=++=x x x x x x V ，(){}R y y V ∈=,0,02 证明：（1）1V 是3R 子空间；（2）证明213V V R ⊕=.11. 已知实二次型32312123222132148455),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=求（1）用矩阵乘积的形式表示()321,,x x x f ； （2）用非退化线性替换化()321,,x x x f 为标准形.12.设A 是线性空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）问A 是否可对角化？若不可对角化，则说明理由；若可对角化，则求出可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵.13. 设(){}0,,3213211=++=x x x x x x V ，(){}32132122,,x x x x x x V ===， 证明：（1）1V 是3R 子空间；（2）证明213V V R ⊕=. 14. 已知实二次型323121232232184434),,(x x x x x x x x x x x f +-+-=求（1）用矩阵乘积的形式表示()321,,x x x f ；（2）用非退化线性替换化()321,,x x x f 为标准形. （3）()321,,x x x f 的正、负惯性指数及符号差. 15. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，A 在V 的一组基321,,εεε下是矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=312132220A （1）求A 的特征值与一组线性无关的特征向量；（2）求可逆矩阵T ，使AT T1-为对角矩阵；（3）写出V 的一组标准正交基，使A在这组基下的矩阵为对角矩阵. 16.设（1）证明21,v v 是3R 子空间；（2）证明213v v R ⊕=。
高等代数期末考试题库及答案解析
高等代数期末考试题库及答案解析第一部分：选择题（共10题，每题2分，总分20分）1.高等代数是一门研究什么的数学学科？a.研究高等数学b.研究代数学c.研究线性代数d.研究数论–答案：b2.什么是矩阵的秩？a.矩阵中非零行的个数b.矩阵中非零列的个数c.矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大个数d.矩阵的行数与列数的乘积3.给定一个方阵A，如果存在非零向量x使得Ax=0，那么矩阵A的秩为多少？a.0b.1c.方阵A的行数d.方阵A的列数–答案：a4.什么是特征值和特征向量？a.矩阵A与它的转置矩阵的乘积b.矩阵A的负特征值和负特征向量的乘积c.矩阵A与它的逆矩阵的乘积d.矩阵A与一个非零向量的乘积等于该向量的常数倍，并且这个向量成为特征向量，该常数成为特征值。
5.什么是行列式？a.矩阵A所有元素的和b.矩阵A中所有元素的乘积c.矩阵A的转置矩阵与它自身的乘积d.矩阵A的行列式是一个标量，表示矩阵A所表示的线性变换的倍数比例。
–答案：d6.什么是矩阵的逆？a.矩阵的行向量与列向量交换位置b.矩阵A的转置矩阵c.存在一个矩阵B，使得矩阵AB=BA=I（单位矩阵）d.矩阵的所有元素取倒数7.给定一个2x2矩阵A，当且仅当什么时候矩阵A可逆？a.矩阵A的行列式为0b.矩阵A的行列式不为0c.矩阵A的特征值为0d.矩阵A的特征值不为0–答案：b8.什么是矩阵的转置？a.矩阵的行与列互换b.矩阵的行与行互换c.矩阵的列与列互换d.矩阵的所有元素取相反数–答案：a9.对于矩阵A和B，满足AB=BA，则矩阵A和B是否可逆？a.可逆b.不可逆c.只有A可逆d.只有B可逆–答案：b10.什么是矩阵的秩-零空间定理？a.矩阵中非零行的个数加上零行的个数等于行数b.矩阵中非零列的个数加上零列的个数等于列数c.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于列数d.矩阵的秩加上矩阵的零空间的维数等于行数–答案：c第二部分：计算题（共4题，每题15分，总分60分）1.计算矩阵的秩： A = \[1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9\]–答案：矩阵A的秩为22.计算特征值和特征向量： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的特征值为5和-1，对应的特征向量分别为\[1; 1\]和\[-2; 1\]3.计算行列式： A = \[3, 1, 4; 1, 5, 9; 2, 6, 5\]–答案：矩阵A的行列式为-364.计算逆矩阵： A = \[1, 2; 3, 4\]–答案：矩阵A的逆矩阵为\[-2, 1/2; 3/2, -1/2\]第三部分：证明题（共2题，每题25分，总分50分）1.证明：当矩阵A为可逆矩阵时，有出现在矩阵A的行列式中的每个元素，将该元素与其对应的代数余子式相乘之后的结果，再求和得到的值等于矩阵A的行列式的值。
高代试题
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
高代考研试题及答案
高代考研试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为：A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案：C2. 若向量α=(1,2,3)和向量β=(2,3,4)，则向量α和向量β的点积为：A. 20B. 21C. 22D. 23答案：B3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)：A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3D. x^2+3答案：A4. 若矩阵B为3阶方阵，且B的秩为2，则矩阵B的零空间的维数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵C为2阶方阵，其特征值为1和2，则矩阵C的特征多项式为________。
答案：λ^2 - (1+2)λ + 1*2 = λ^2 - 3λ + 22. 设向量a=(1,0)，向量b=(0,1)，则向量a和向量b的叉积为________。
答案：(0,0)3. 设函数g(x)=x^2+2x+1，则g''(x)=________。
答案：24. 设线性方程组Ax=b，其中A为3阶方阵，且A的秩为3，b为3维列向量，则该方程组的解集为________。
答案：非空集合三、解答题（每题10分，共60分）1. 求矩阵D=\[\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{matrix}\]的逆矩阵。
答案：矩阵D的逆矩阵为\[\begin{matrix}2 & -1 \\ -3 &2\end{matrix}\]。
2. 设向量c=(3,-1)和向量d=(2,4)，求向量c和向量d的夹角。
答案：向量c和向量d的夹角为cos^-1((3*2 + (-1)*4) / (sqrt(9+1) * sqrt(4+16))) = cos^-1(0.6)。
3. 设函数h(x)=x^3+3x^2-3x+1，求h'(x)和h''(x)。
高等代数综合考试试题
高等代数综合考试试题一、选择题（每题3分，共20题，总分60分）1. 高等代数的基本概念中，下列哪个选项是正确的？A. 定理B. 命题C. 运算D. 推论2. 下列哪个不是线性代数的研究内容？A. 矩阵与行列式B. 向量空间与线性方程组C. 群论与环论D. 特征值与特征向量3. 设A是一个n阶方阵，若有2个不同的正整数p和q使得$A^p = A^q = I$，则矩阵A的阶数n最小可能是：A. 3B. 4C. 5D. 64. 对于线性方程组$AX=B$，若$A^{-1}$存在，则方程组的解为：A. $X=A^{-1}B$B. $X=AB^{-1}$C. $X=A^{-1}AB$D. $X=BA^{-1}B$5. 设矩阵A的特征值为-1和2，特征向量分别为$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$，则矩阵A 的转置$A^T$的特征值和特征向量分别为：A. -1，2 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$B. 1，-2 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} -2 \\ -3 \end{bmatrix}$C. -1，2 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$D. 1，-2 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$6. 设A为n阶矩阵，若A的行列式$|A|=0$，则下列哪个选项是正确的？A. A是可逆矩阵B. A的逆矩阵不存在C. A的秩为n-1D. A的行向量线性相关...二、填空题（每空3分，共10题，总分30分）1. 设A为对称矩阵，若$A^2 = 4I$，则A的特征值为______。
高等代数考试题-高等代数选择题考试题
高等代数考试题:高等代数选择题考试题高等代数（共3大题70小题150分）第一大题、单项选择题（单选题共38小题，每小题2分，共76分）1、G、m-1H、m+1I、mJ、0正确答案：I2、G、H、I、J、正确答案：G3、G、H、I、J、正确答案：I4、G、H、I、J、正确答案：J5、G、H、I、J、正确答案：I6、G、2重因式 H、3重因式I、4重因式J、5重因式正确答案：G 7、G、可约多项式H、1次多项式I、不可约多项式J、3次多项式正确答案：I8、G、非线性变换H、零变换I、线性变换J、不能确定正确答案：I9、G、H、I、J、正确答案：I10、G、H、I、J、正确答案：H11、G、3,-2 H、3,-1 I、1,-2 J、2,-2 正确答案：G12、G、H、I、J、正确答案：G13、G、4H、2I、1J、8正确答案：G14、G、线性无关H、线性相关I、既线性相关又线性无关J、不能确定正确答案：H15、G、线性无关H、线性相关I、既线性相关又线性无关J、不能确定正确答案：H16、G、16H、8I、4J、2正确答案：I17、G、 H、I、J、正确答案：G18、G、H、I、J、正确答案：I19、G、H、I、 J、不能确定正确答案：I20、G、2H、-2I、1J、-1正确答案：I21、G、H、I、J、正确答案：J22、G、H、I、J、正确答案：G23、G、-3H、-1I、-6J、-12正确答案：G24、G、H、I、J、正确答案：I25、G、H、I、J、正确答案：G26、G、n个 H、n+1个I、n-1个J、2个正确答案：H27、三阶行列式的全部元素的余子式共有多少个？G、27个 H、3个I、6个J、9个正确答案：J28、G、H、I、J、正确答案：G29、G、H、I、J、正确答案：H30、G、1H、nI、n-1J、2正确答案：G31、G、H、I、J、正确答案：J32、G、H、I、J、正确答案：I33、G、H、I、J、不能确定正确答案：I34、G、-8H、8I、16J、-16正确答案：J35、G、H、I、J、正确答案：H36、G、（1111）H、（1111 0 ) I、（11111 ) J、（111 0 ) 正确答案：H 37、G、唯一解H、无穷多个解I、无解J、不能确定正确答案：G38、G、H、I、r J、n正确答案：G 第二大题、判断题（判断题共22小题，每小题2分，共44分）1、正确答案：正确2、正确答案：错误3、正确答案：正确4、正确答案：正确5、正确答案：错误6、正确答案：错误7、正确答案：错误8、正确答案：错误9、正确答案：正确10、正确答案：错误11、正确答案：正确12、正确答案：错误13、正确答案：正确14、正确答案：错误15、正确答案：正确16、正确答案：错误17、正确答案：正确18、正确答案：正确19、正确答案：错误20、正确答案：正确21、对线性方程组进行消元的过程相当于对其增广矩形进行相应的行初等变换的过程正确答案：正确22、正确答案：错误第三大题、多项选择题(多选、少选、错选均不得分)（多选题共10小题，每小题3分，共30分）1、设A是 n 阶方阵，则 A 的行向量组线性无关的充分必要条有G、H、I、J、正确答案：GHIJ2、G、H、I、J、正确答案：GHI3、G、H、I、J、正确答案：GHIJ4、G、H、I、J、正确答案：GI5、G、H、I、J、正确答案：GIJ6、G、H、I、J、正确答案：GIJ7、G、H、I、J、正确答案：GH8、G、0H、-1I、2J、3正确答案：HIJ9、G、H、I、J、正确答案：GHIJ10、G、H、I、J、正确答案：GHJ。
大学高等代数试题及答案
大学高等代数试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=1，则矩阵A的逆矩阵的行列式是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 32. 若线性方程组有唯一解，则该方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩（）。
A. 不相等B. 相等C. 相差1D. 相差23. 以下哪个矩阵是正交矩阵？（）A. \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]B. \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]C. \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]D. \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]4. 矩阵A的特征值是λ，那么矩阵A的转置的特征值是（）。
A. λB. -λC. 0D. 不确定5. 设A是n阶方阵，且A^2=I（I是单位矩阵），则A的行列式是（）。
A. 1B. -1C. 0D. 不确定二、填空题（每题3分，共15分）6. 若矩阵A的秩为2，则A的行最简形矩阵中非零行的个数为_________。
7. 设A是3×3矩阵，且A的迹等于3，则A的对角线元素之和为_________。
8. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，则该方程组有_________解。
9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2-5λ+6，则A的特征值为_________。
10. 若矩阵A与B相似，则A与B有相同的_________。
三、解答题（每题10分，共20分）11. 给定矩阵\[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。
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一. 填空：（每空3分，共12分）1. 设P 是数域，][)(x P x f ∈，则=+)8)(),((x f x f 。
这里，))(),((x g x f 表示)(),(x g x f 的首项系数为1的最大公因式。
2. 2阶方阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的伴随矩阵是 。
3. 设A 是n 阶方阵，)(λf 是多项式。
若A 的特征值为n λλλ,,,21 ，则)(A f 的特征值为 。
4. 设n εεε,,,21 是n 维欧几里德空间V 的一组基，如果V ∈α，n i i ,,2,1, =⊥αε，则=α 。
这里，“⊥”表示正交。
二. 选择填空：（每空3分，共15分）1. 设B A ,分别是s n n m ⨯⨯,阶矩阵，如果0=AB ，则A ） 00==B A 或。
B) )()(B r m A r -≤。
C) )()(B r n A r -≤。
D) )()(B r s A r -≤。
其中)(A r 表示矩阵A 的秩。
2. 设AX X X f '=)(是n 元实二次型，若有非零n 维实向量0X ，使0)(0>X f ，则A) )(X f 是正定二次型。
B) A 的秩为n 。
C) )(X f 的正惯性指数0>。
D) )(X f 的负惯性指数0=。
这里，X '表示n 维列向量X 的转置。
3. 设s V V V ,,,21 是n 维线性空间V 的子空间)2(>s ， 则s V V V +++ 21是直和的充分必要条件是A) {}01== s i i V 。
B) {}0=⋂j i V V 、j i ≠∀。
C) V V V V s =+++ 21。
D) {}.,,1,0s i V V i j j i ==⋂∑≠。
4. 设W 是欧几里德空间V 的子空间，⊥W 是W 的正交补。
若0,≠∈ααV ，则A)⊥∈∈W W αα或。
B) ⊥⊥⊥W W αα或。
D) ⊥⊥∈W W αα且。
D) A)，B)和C)都不对。
5. 设T 是数域P 上n 维线性空间V 上线性变换，则T 在V 的某组基下的矩阵是对角阵的充分必要条件是A) T 在P 中有n 个互不相同的特征值。
B) T 有n 个互不相同的特征向量。
C) T 的特征多项式在复数域中无重根。
D) T 的各特征子空间的维数之和为n 。
三. 判断下述命题正确与否，并证明你的结论：（每小题5分，共10分）1. 设)(),(),(x d x g x f 是数域P 上多项式，若有多项式)(),(x v x u ，使得)()()()()(x g x v x f x u x d +=，则)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式。
2. 设B A ,是n 阶方阵，若A 与B 的特征根相同，则A 与B 相似。
四. 计算题：（共53分）1. 计算n 阶行列式xa a a a x a a a a xa D n n n n ---=212121。
（10分） 2. 求矩阵A 的逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A 。
（10分）3. 问a 是什么值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++a x x x x x x x x x x x x 432143214321103129752863243有解？有解时，求解。
（要求将解表为特解加上导出组基础解系之线性组合的形式）。
（13分）4. 求正交线性替换E C C CY X ='=,，化下述实二次型为标准形。
323121232221444x x x x x x x x x ---++。
（20分）（要求求出正交矩阵C ，并写出二次型的标准形。
）五. 证明题：（共60分）1. 设向量β可经向量组n ααα,,,21 线性表出，且线性表出的方式唯一，证明：n ααα,,,21 线性无关。
（10分）2. 设)(),(),(x h x g x f 是多项式，)(x h 的首项系数为1。
证明：)())(),(())()(),()((x h x g x f x h x g x h x f =。
（10分）3. 设T 是n 维欧氏空间V 上正交变换，证明：T 的不变子空间的正交补也是T 的不变子空间。
（10分）4. 设21,V V 分别是齐次线性方程组021=+++n x x x 和n x x x === 21的解空间,证明：21V V P n⊕=。
这里“⊕”表示直和. （15分）5. 设B A ,是n 阶实对称矩阵，若BA AB =，证明：存在正交阵U ，使得AU U '和BUU '同时为对角阵。
这里，U '表示矩阵U 的转置。
（15分）一. 填空：（每空3分，共12分）1. 设622)(,2)(234++-=+=x x x x g x x f ，则=))(),((x g x f 。
这里，))(),((x g x f 表示)(),(x g x f 的首项系数为1的最大公因式。
2. 行列式=+++1222111b a a c cb b ac a c b c b a 。
3. 设T 是数域P 上n 维线性空间V 上线性变换，W 是V 的子空间。
若W ∈∀ξ，有W T ∈ξ，称W 是V 的 子空间。
4. 设A 是4阶方阵，其列向量组为4321,,,αααα，且321,,ααα线性无关，0,2432214≠++=+=αααβααα，则线性方程组β=AX 的通解为 。
二. 选择填空：（每空3分，共15分）1. 设B A ,分别是s n n m ⨯⨯,阶矩阵，则)(AB rA ） )(A r =。
B) )(B r =。
C) )}(),(min{B r A r ≤。
D) )}(),(max{B r A r ≤。
其中)(A r 表示矩阵A 的秩。
2. 设A 数域P 上n m ⨯矩阵，r A r =)(。
若齐次线性方程组0=AX 有非零解，则其基础解系所含解向量个数是A) m 。
B) n 。
C) r m -。
D) r n -。
3. 两n 阶实对称矩阵合同的充分必要条件是A) 它们的正惯性指数相同。
B) 它们的负惯性指数相同。
C) 它们的秩和符号差相同。
D) 它们的特征值相同。
4. n 维欧几里德空间V 中一组基的度量矩阵一定是A) 正定矩阵。
B) 正交矩阵。
D) 对角矩阵。
D) A)，B)和C)都不对。
5. 设T 是数域P 上n 维线性空间V 上线性变换，则A) T 的属于同一特征值的特征向量线性相关。
B) T 的属于不同特征值的特征向量线性无关。
C) T 的属于非零特征值的特征向量线性无关。
D) T 的属于零特征值的特征向量线性相关。
三. 判断下述命题正确与否，并证明你的结论：（每小题5分，共10分）1. 设C B A ,,是n 阶方阵。
若AC AB =且0≠A ，则C B =。
2. 设T 是数域P 上n 维线性空间V 上线性变换。
若T 在V 的某组基下的矩阵为对角阵，则T 有n 个互不相同的特征值。
四. 计算题：（共53分）1. 计算n 阶行列式xa a a a x a a a a x a a a a xD n n n n321121121121---=。
（10分） 2. 求矩阵A 的逆矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A 。
（10分） 3. （13分）问a 是什么值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--=+++a x x x x x x x x x x x 432142143212223123有解？有解时，求解。
（要求将解表为特解加上导出组基础解系之线性组合的形式）。
4. 求正交线性替换E C C CY X ='=,，化下述实二次型为标准形。
323121232221222x x x x x x x x x +++++。
（20分）（要求求出正交矩阵C ，并写出二次型的标准形。
）五. 证明题：（共60分）1. 设向量组n ααα,,,21 可经向量组m βββ ,,21线性表出，证明n ααα,,,21 的秩≤m βββ ,,21的秩。
（10分） 2. 设P 是数域，][)(),(x P x g x f ∈，若1))(),((=x g x f ，证明1))()(),()((=+x g x f x g x f 。
（10分）3. 设T 是n 维欧氏空间V 上对称变换，则T 的不变子空间的正交补也是T 的不变子空间。
（10分）4. 设P 是数域，证明P 上2阶方阵全体组成的线性空间22⨯P 是其子空间⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P b a a b b a W ,1和子空间⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P d c c d d c W ,2的直和。
（15分） 5. 设A 是n 阶矩阵，若n E A r E A r =-++)()(，证明E A =2。
（15分）一. 填空：（每空3分，共15分。
请将答案写在答题纸上。
）1. =-+-)64,2(34x x x ① 。
这里，))(),((x g x f 表示)(x f 与)(x g 的首项系数为1的最大公因式。
2. 设A 是n m ⨯矩阵，若有可逆矩阵P 使⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000r E PA ，n r <，则0=AX 的一个基础解系为 ② 。
3. 已知线性空间,33⨯=P V 其子空间},{1P b a a b b a V ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=与子空间},{1P d c d d c c V ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=的交的一组基为 ③ 。
4. 实对称矩阵),,2,1(21n n A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=的正惯性指数为 ④ 。
5. 设η是欧氏空间V 中一个单位向量，定义V 上线性变换T ,ηηαα),(=T ,V ∈∀α。
T 的值域为 ⑤ 。
这里，),(ηα表示欧氏空间上内积。
二. 判断下述命题正确与否，并证明你的结论：（每小题4分，共16分）1. 若次数大于零的有理系数多项式)(x f 在有理数域Q 上没有有理根，则)(x f 在Q 上不可约。
2. 若1A 相似于1B ，2A 相似于2B ，则21A A +相似于21B B +。
这里的矩阵都是同阶方阵。
3. 若向量β不能经向量组n ααα,,,21 线性表出，则βααα,,,,21n 线性无关。
4. 设V 是欧氏空间，1V 是V 子空间。
若V ∈α且1V ∉α，则⊥∈1V α。
三. 计算题：（共59分）1. 求多项式2522)(234+-+-=x x x x x f 的有理根。
（6分）2. 计算n 阶行列式 aaa aa D n +++=11111 。
（10分）3. 求矩阵A 的逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111132321A 。
（10分）4. 问a 是什么值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+++=-++18953723253432143214321x x x x a x x x x x x x x有解？有解时，求解。