运筹学建模
运筹学的工作步骤
运筹学的工作步骤运筹学是一门综合性的学科,旨在研究在资源有限的情况下如何做出最优决策。
它将数学、统计学、计算机科学和经济学等多个学科的知识融合在一起,以量化的方式解决实际问题。
运筹学的工作步骤可以大致分为问题建模、模型求解和方案实施三个阶段。
第一阶段:问题建模问题建模是运筹学研究的第一步,它涉及收集和分析问题相关的背景信息,并将问题抽象为一个数学模型。
在这个阶段,需要明确问题的目标、约束和变量,并确定适当的数学模型。
问题建模需要准确理解问题的本质和目标,辨别问题中的关键因素,并确定适当的数学模型来描述问题。
问题建模的主要步骤如下:1.确定问题的目标:明确问题要达到的目标,比如最小化成本、最大化效益等。
2.收集相关数据:收集和整理与问题相关的数据,包括资源的可用量、需求量、成本和效益等指标。
3.确定约束条件:确定问题的约束条件,比如资源的限制、技术要求和市场需求等。
4.建立数学模型:根据问题的特点和目标,选择合适的数学方法和技术,建立适当的数学模型来描述问题。
5.验证模型:对建立的数学模型进行验证和检验,确保模型的准确性和可靠性。
第二阶段:模型求解模型求解是运筹学研究的核心内容,它涉及利用数学方法和工具对建立的数学模型进行求解,得出最优决策方案。
在模型求解阶段,需要选择合适的求解方法,进行计算和优化。
常用的求解方法包括线性规划、整数规划、动态规划、图论等。
模型求解的主要步骤如下:1.转化为数学问题:将建立的数学模型转化为相应的数学问题,比如线性规划问题、整数规划问题等。
2.选择求解方法:根据具体的数学问题和模型特点,选择合适的求解方法和算法。
3.数据输入和计算:将问题相关的数据输入模型,利用计算机工具进行计算和求解。
4.求解优化:根据求解结果,分析和优化方案,得到最优决策。
第三阶段:方案实施方案实施是运筹学研究的最后一步,它涉及将求解得到的最优方案转化为实际操作,并跟踪和评估方案实施的效果。
在方案实施阶段,需要考虑实际操作的可行性、风险和效果,并进行相应的调整和优化。
数学建模与运筹学
数学建模与运筹学数学建模与运筹学是运用数学的方法和技巧解决实际问题的一门学科。
它在现实生活中有着广泛的应用,不仅在工程领域中扮演着重要的角色,也在各个领域中发挥着巨大的作用。
通过对问题进行数学建模和优化,我们能够得到有效的结果和决策,帮助人们更好地应对挑战和实现目标。
1. 数学建模数学建模是将实际问题转化为数学问题的过程。
它是一种抽象思维和数学思维相结合的过程,能够将复杂的问题简化,提取出重要的因素和变量。
数学建模的核心是构建数学模型,根据模型的特点和要求进行问题的描述和求解。
数学建模广泛应用于科学研究、工程设计、经济管理等领域,为决策提供了科学的依据。
2. 运筹学运筹学是解决优化问题的一门学科,它通过数学建模和分析,寻求最优解。
运筹学包括线性规划、整数规划、动态规划、图论等方法,能够解决多种实际问题。
例如,在物流管理中,通过优化路径和资源分配,可以降低成本和提高效率;在生产计划中,通过优化生产调度和资源利用,可以提高产能和降低库存成本。
运筹学的应用可以帮助组织和企业做出更好的决策,实现资源的合理利用和效益的最大化。
3. 数学建模与运筹学的应用数学建模与运筹学广泛应用于各个领域,以下以几个典型的应用为例进行介绍。
(1)交通运输规划:通过数学建模和运筹学方法,可以优化城市道路网、航空航线和火车运行图,提高交通运输的效率和安全性。
(2)物流配送优化:数学建模和运筹学方法可以确定最优的配送路径和运输方式,降低成本、减少时间和资源的浪费。
(3)资源分配与计划:在能源领域,通过数学建模和运筹学方法,可以进行电网调度、电力优化和能源供应的规划,实现可持续发展和低碳经济。
(4)金融风险管理:数学建模和运筹学方法可以用于评估和管理金融市场的风险,帮助投资者和机构做出科学的决策。
4. 数学建模与运筹学在实践中的挑战数学建模与运筹学在实践中也面临一些挑战。
首先,实际问题往往具有复杂性和不确定性,需要进行合理的简化和假设。
运筹学模型
运筹学模型
运筹学模型,又称作“模型解决方案”,是一种将抽象的或复杂
的问题转化成客观的数字模型的方法。
它的研究内容包括对数学模型、解答技术和应用技术的研究。
运筹学模型可以解决许多复杂的解答问题,如飞机起降时间安排、体育竞赛规则、战略规划等,这些问题比较复杂,无法通过决策树或经验分析来解决。
运筹学模型,最早由英国经济学家威廉赫尔贝克(William R. Hertz)提出。
他在1898年发表了著名的《运筹学模型》,认为模型
通过统计分析和多元解释的方式来描述经济行为和社会发展趋势。
他在这篇文章中提出了“多元线性回归模型”,这是当时关于经济运筹
学模型领域第一次重大突破。
赫尔贝克的模型可以分为两类:定性模型和定量模型。
定性模型,例如允许研究者进行排除法分析,以此发现模式的多样性。
此外,它还可以运用其他定性分析工具,如思维网络、分类树、社会格局等,来解决复杂的运筹学问题。
而定量模型,则可以利用多元线性回归,对复杂的数据进行建模,探寻其规律性和行为规律。
运筹学模型在许多领域都有重要作用,如工程、管理、决策分析、运输等领域,它们能够更有效地帮助解决复杂的实际问题,节约时间和资源,从而提高生产效率。
例如,对于运输问题,可以使用运筹学模型来分析最佳路线;如果是生产问题,则可以使用运筹学模型来计算最优的生产策略。
另外,运筹学模型还可以用来评估决策的风险和收益,从而指导企业决策。
总之,运筹学模型是一种有效的解决复杂问题的方法,它不但能够有效地解决实际问题,而且还可以提供给企业更有成效的决策和策略框架,为企业提供有效的发展指引。
运筹学中的建模与算法分析
运筹学中的建模与算法分析导言运筹学是数学的一门分支学科,用数学方法解决实际问题。
在实际应用中,如何建立合适的模型,选择正确的算法,是运筹学的核心问题。
本文将针对运筹学中的建模与算法分析进行探讨。
一、建模建模是运筹学中的重要环节,是运筹学方法成功应用于实际问题的基础。
运筹学中的建模包括问题定义、问题分析、模型建立、模型求解等步骤。
1.1 问题定义问题定义是指明问题的具体对象、目标和约束条件。
在问题定义时应注意问题对象的特点、目标的明确性和约束条件的合理性。
1.2 问题分析问题分析是通过对问题对象、目标和约束条件的分析,挖掘问题隐含的信息和关联性,确定问题的劣化方向和变量的影响因素。
问题分析的结果将为模型的选取、变量的建立和参数的调整提供指导。
1.3 模型建立模型建立是建立符合问题目标和约束条件的数学模型,将问题转化成可求解的数学问题。
在模型建立中应注意模型表达式的简明性、变量的选择和约束条件的考虑。
1.4 模型求解模型求解是运用数学方法对模型进行求解,得到最优解或次优解,为问题的解决提供定量的支持。
在模型求解时应注意求解算法的可行性、准确性和求解效率。
二、算法分析算法分析是指对求解问题的算法进行性能评价和优化调整的过程。
算法分析的目的是全面、客观地评估求解算法的质量,为实际应用提供指导。
2.1 算法复杂度分析算法复杂度分析是通过计算算法操作次数或时间开销,研究算法在不同数据规模下的平均和最坏时间复杂度。
在实际应用中应选择时间复杂度低的算法,以提高求解效率。
2.2 算法改进与优化算法改进与优化是在保持问题约束条件不变的前提下,对算法求解过程中的关键环节进行改进和优化,以提高求解准确性和效率。
例如:改进模型求解策略、加速查询和排序操作等。
结论建模和算法分析是实现运筹学方法成功应用于实际问题的重要环节。
正确的问题定义、问题分析、模型建立和模型求解将为实际应用提供有效的支持;算法复杂度分析和算法改进与优化则将为求解过程提供优化和改进的方向。
运筹学与最优化方法 第3版 第1章 运筹学思想与运筹学建模
1.5基本概念和符号
2.多元函数及其导数
(1) n元函数:f (x): Rn R
线性函数:f (x) = cTx + b = ci xi + b 二次函数:f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b
= (1/2) aij xi xj + ci xi + b 向量值线性函数:F(x) = Ax + d Rm
其中, A为 mn矩阵,d为m维向量
F(x)=( f1(x), f2(x), … , fm(x) )T 记 aiT为A的第i行向量,f(x) = aiTx
1.5基本概念和符号
(2) 梯度(一阶偏导数向量): f (x)=( f / x1 , f / x2 , … , f / xn )TRn 线性函数:f (x) = cTx + b , f (x) = c
x , y 的距离: ‖x-y ‖= [(x - y)T(x - y)](1/2)
x 的长度: ‖x‖= [ xTx ](1/2)
三角不等式: ‖x + y ‖≤‖x‖+‖y‖
x
x+y
y
点列的收敛:设点列{x(k)} Rn , x Rn
点列{x(k)}收敛到 x ,记
lim
k
x(k)
=
x
lim‖x(k)
1.5基本概念和符号
规定:x , y Rn,x ≤ y xi ≤ yi ,i ; 类似地规定 x ≥ y,x = y,x < y , x > y 。
一个有用的定理
设 xRn,R,L为Rn 的线性子空间。 若 xTy ≤ , yRn 且 y ≥ 0, 则
x ≤ 0, ≥ 0 若 xTy ≤ , y L Rn , 则
运筹学 运输问题例题数学建模
运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下,寻求最优或近似最优解的科学。
运输问题是运筹学中的一个重要分支,它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地,使总的运费或总的运输时间最小。
本文将介绍运输问题的数学建模方法,以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。
同时,本文还将给出几个典型的运输问题的例题,帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。
运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述:设有m 个产地(或供应地),分别记为A 1,A 2,…,A m ,每个产地i 的产量(或供应量)为a i ;有n 个销地(或需求地),分别记为B 1,B 2,…,B n ,每个销地j 的需求量为b j ;从产地i 到销地j 的单位运费(或单位运输时间)为c ij ;用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量,则运输问题可以归结为以下的线性规划问题:其中,目标函数表示总的运费或总的运输时间,约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量,每个销地的需求量必须等于其销量,以及每条运输路线的运量不能为负数。
在实际问题中,可能出现以下几种情况:产销平衡:即∑m i =1a i =∑n j =1b j ,也就是说总的供应量等于总的需求量。
这种情况下,上述数学模型可以直接应用。
产大于销:即∑m i =1a i >∑n j =1b j ,也就是说总的供应量大于总的需求量。
这种情况下,可以增加一个虚拟的销地,其需求量等于供需差额,且其与各个产地的单位运费为零。
这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
产小于销:即∑m i =1a i <∑n j =1b j ,也就是说总的供应量小于总的需求量。
这种情况下,可以增加一个虚拟的产地,其产量等于供需差额,且其与各个销地的单位运费为零。
这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
弹性需求:即某些销地对商品的需求量不是固定不变的,而是随着商品价格或其他因素而变化。
运筹学线性规划建模
线性规划问题的三要素: 决策变量 线性目标函数 线性约束条件
例 1.(下料问题) 现要做 100 套钢架,每套用长为 2.9m,2.1m 和 2.5m
的原钢各一根。已知原料长 7.4m,问应如何下料,使 用的原材料最省。
解:套截方案,如表
下料数 方案
(根)
1
长度 m
2.9
1
2.1
设备 Ⅰ
A1
5
A2
7
B1
6
B2
4
B3
7
原材料(元/件) 0.25
单价(元/件)
1.25
产品 Ⅱ
10 9 8 0.35 2.00
有效台 使用费
Ⅲ
时 用(元)
-
6000
300
12
10000 321
-
4000
250
11
7000
783
-
4000
200
0.50
2,80
目标函数:
maxZ (1.25 0.25)(x1 x2 ) (2.00 0.35)(x5 x6 ) (2.80 0.50)x7 300(5x1 10x5)/ 6000 321(7x2 9x6 12x7 )/ 10000 250 (6x3 8x5 8x6 ) / 4000 783 (4x4 11x7 ) / 7000 2007 (x1 x2 x3 x4 )/ 4000
格、各种设备有效台时以及满负荷操作时设备使用费如表示:
设备
产品
有效台时 使用费用
ⅠⅡ
Ⅲ
(元)
A1
5 10
-
6000
300
A2
7
9
12
运筹学实验二_运输问题建模及其求解
实验报告二一、实验目的1、进一步掌握建立运输问题数学模型的方法和步骤;2、进一步掌握表上作业法的原理和求解步骤;3、进一步掌握产销平衡的运输问题、产销不平衡的运输问题的求解方法。
二、实验的内容运用运筹学商用软件包分别求解:(1)求最优调运方案;(2)如产地Ⅲ的产量变为130,又B地区需要的115单位必须满足,试重新确定最优调拨方案。
三、实验步骤运输平衡问题:(1)建立数学模型:设从I、II、III运往A、B、C、D、E分别x11 x12 x13 x14 x15 x21 x22 x23 x24 x25 x31 x32 x33 x34 x35由于运输平衡,则:minz=10*x11+15*x12+20*x13+20*x14+40*x15+20*x21+40*x22+15*x23+30*x24+30*x25+30 *x31+35*x32+40*x33+55*x34+25*x35X11+x12+x13+x14+x15=50X21+x22+x23+x24+x25=100X31+x32+x33+x34+x35=150X11+x21+x31=25X12+x22+x32=115X13+x23+x33=60X14+x24+x25=30X15+x25+x35=70(2)用QM求解:Transportation╔═════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╗║Problem Title : trans1 ║║Type of Problem (Max=1/Min=2) 2 Initial (NW=1/MC=2/V AM=3) 1 ║║Number of Sources 3 Number of Destinations 5 ║╚═════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╝╔═════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╗║D1 D2 D3 D4 D5 Sources ║║S1 10 15 20 20 40 50 ║║S2 20 40 15 30 30 100 ║║S3 30 35 40 55 25 150 ║║Des. 25 115 60 30 70Transportation╔═════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╗║***** Input Data ***** ║║║║Minimization Problem : ║║║║| 1 2 3 4 5| Supply ║║-------------------------------------------------------------- ║║ 1 | 10.0 15.0 20.0 20.0 40.0| 50.0 ║║ 2 | 20.0 40.0 15.0 30.0 30.0| 100.0 ║║ 3 | 30.0 35.0 40.0 55.0 25.0| 150.0 ║║-------------------------------------------------------------- ║║Demand| 25.0 115.0 60.0 30.0 70.0| ║║║║║║***** Program Output ***** ║║║║║║Initial Solution by Northwest Corner Method ║║| 1 2 3 4 5| Supply║-------------------------------------------------------------- ║║ 1 | 25.0 25.0 0.0 0.0 0.0| 50.0 ║║ 2 | 0.0 90.0 10.0 0.0 0.0| 100.0 ║║ 3 | 0.0 0.0 50.0 30.0 70.0| 150.0 ║║-------------------------------------------------------------- ║║Demand| 25.0 115.0 60.0 30.0 70.0| 300.0 ║║║║Initial Solution : 9775.0 ║║║║║║Optimal Solution by MODI ║║| 1 2 3 4 5| Supply║-------------------------------------------------------------- ║║ 1 | 0.0 50.0 0.0 0.0 0.0| 50.0 ║║ 2 | 10.0 0.0 60.0 30.0 0.0| 100.0 ║║ 3 | 15.0 65.0 0.0 0.0 70.0| 150.0 ║║-------------------------------------------------------------- ║║Demand| 25.0 115.0 60.0 30.0 70.0| 300.0 ║║Initial Solution : 9775.0 ║║║║║║Optimal Solution by MODI ║║| 1 2 3 4 5| Supply ║║-------------------------------------------------------------- ║║ 1 | 0.0 50.0 0.0 0.0 0.0| 50.0 ║║ 2 | 10.0 0.0 60.0 30.0 0.0| 100.0 ║║ 3 | 15.0 65.0 0.0 0.0 70.0| 150.0 ║║-------------------------------------------------------------- ║║Demand| 25.0 115.0 60.0 30.0 70.0| 300.0 ║║║║Optimal Solution : 7225.0 ║║║║< Multiple optimum solutions > ║║║║║║***** End of Output ***** ║╚═════════════════════════════════════════════════════════════════════════════(2)、产地Ⅲ的产量变为130时,其总产量为:280,但销量为300,即该问题变为销量大于产量的不平衡运输问题,假设一虚拟产地IV,其产量为20,设其运往A、B、C、D、E销地分别为x41、x42、x43、x44、x45,显然c41、c42、c43、c44、c45均为0建立数学模型:由于运输平衡,则:minz=10*x11+15*x12+20*x13+20*x14+40*x15+20*x21+40*x22+15*x23+30*x24+30*x25+30 *x31+35*x32+40*x33+55*x34+25*x35X11+x12+x13+x14+x15=50X21+x22+x23+x24+x25=100X31+x32+x33+x34+x35=130X41+x42+x43+x44+x45=20X11+x21+x31+x41=25X12+x22+x32+x42=115X13+x23+x33+x43=60X14+x24+x25+x44=30X15+x25+x35+x45=70用QM求解:Transportation╔═════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╗║Problem Title : tran4 ║║Type of Problem (Max=1/Min=2) 2 Initial (NW=1/MC=2/V AM=3) 3 ║║Number of Sources 4 Number of Destinations 5 ║╚═════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╝╔═════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╗║D1 D2 D3 D4 D5 Sources ║║S1 10 15 20 20 40 50 ║║S2 20 40 15 30 30 100 ║║S3 30 35 40 55 25 130 ║║S4 0 999999999 0 0 0 20 ║║Des. 25 115 60 30 70 ║Transportation╔═════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╗║***** Input Data ***** ║║║║Minimization Problem : ║║║║| 1 2 3 4 5| Supply ║║-------------------------------------------------------------- ║║ 1 | 10.0 15.0 20.0 20.0 40.0| 50.0 ║║ 2 | 20.0 40.0 15.0 30.0 30.0| 100.0 ║║ 3 | 30.0 35.0 40.0 55.0 25.0| 130.0 ║║ 4 | 0.0999999999. 0.0 0.0 0.0| 20.0 ║║-------------------------------------------------------------- ║║Demand| 25.0 115.0 60.0 30.0 70.0| ║║║║║║***** Program Output ***** ║║║║║║Initial Solution by V AM ║║| 1 2 3 4 5| Supply ║Transportation╔═════════════════════════════════════════════════════════════════════════════╗║-------------------------------------------------------------- ║║ 1 | 0.0 50.0 0.0 0.0 0.0| 50.0 ║║ 2 | 10.0 0.0 60.0 30.0 0.0| 100.0 ║║ 3 | 15.0 65.0 0.0 0.0 50.0| 130.0 ║║ 4 | 0.0 0.0 0.0 0.0 20.0| 20.0 ║║-------------------------------------------------------------- ║║Demand| 25.0 115.0 60.0 30.0 70.0| 300.0 ║║║║Initial Solution : 6725.0 ║║║║║║Optimal Solution by MODI ║║| 1 2 3 4 5| Supply ║║-------------------------------------------------------------- ║║ 1 | 0.0 50.0 0.0 0.0 0.0| 50.0 ║║ 2 | 25.0 0.0 60.0 15.0 0.0| 100.0 ║║ 3 | 0.0 65.0 0.0 0.0 65.0| 130.0 ║║ 4 | 0.0 0.0 0.0 15.0 5.0| 20.0 ║║Demand| 25.0 115.0 60.0 30.0 70.0| 300.0 ║║║║Optimal Solution : 6500.0 ║║║║< Multiple optimum solutions > ║║║║║║***** End of Output ***** ║╚════════════════════════════════════════════════════════════════════════════四、实验结果及分析(1)运输平衡问题其结果:用西北角法求解最优调用方案为:从I到B:50、II到A:10、II到C:60、II到D:30、III到A:15、III到B:65、III到E:70其最低调用价为:7225.0 元其初始调用方案为:I到A:25、I到B:25、II到B:90、II到C:10、III到C:50、III到D:30、III到E:70其调运价为:9775元(2) 非平衡运输问题其结果为:最优调用方案为:从I运往B:50、II运往A:25、II运往C:60、II运往D:15、III运往B:65、III运往E:65其最低调运价为6500此时D地欠缺15、E地欠缺5五、实验心得体会通过这次实验,加深了我对平衡运输问题、非平衡运输问题的理解,在解决非平衡运输问题时,遇到了一点问题,就是怎么保证满足B地销量,在思考和别人的帮助下得以解决,顿时有种恍然大悟的感觉。
《运筹学》第3章 线性规划的建模与应用
排班1 √ √ √ √
170
排班2 √ √ √ √
160
排班3
√ √ √ √
175
排班4
√ √ √ √ 180
排班5
√ √ 195
最少需求人数 48 79 65 87 64 73 82 43 52 15
3.2 成本收益平衡问题
解:本问题是排班问题,是典型的成本收益平衡问题。 (1)决策变量
确定不同排班的上班人数。 设:xi为排班i的上班人数 (i=1,2,,5) (2)目标函数 每天的总成本(工资)最少。
3.2 成本收益平衡问题
例3.2 某航空公司正准备增加其中心机场的往来航班,因 此需要雇用更多的服务人员。不同时段有最少需求人数, 有5种排班方式(连续工作8个小时)。
时段 06:00~08:00 08:00~10:00 10:00~12:00 12:00~14:00 14:00~16:00 16:00~18:00 18:00~20:00 20:00~22:00 22:00~24:00 00:00~ 6:00 每人每天工资(元)
对于特定的数量 提供的数量=需求的数量
成本收益平衡问题 混合问题
网络配送问题 混合问题
注: LHS=左式(一个SUMPRODUCT函数) RHS=右式(一般为常数)
3.4.2 混合问题的应用举例一:配料问题
配料问题的一般提法是:生产某类由各种原料 混合而成的产品,如何在满足规定的质量标准 的条件下,使所用原料的总成本最低。 例3.4 某公司计划要用A、B、C三种原料混 合调制出三种不同规格的产品甲、乙、丙,产 品的规格要求和单价、原料供应量和单价等数 据如表3-9所示。问该公司应如何安排生产, 才能使总利润最大?
(1)决策变量
运筹学的基本理论与方法
运筹学的基本理论与方法运筹学(Operations Research)是一门应用数学学科,旨在通过量化建模和优化方法,解决实际问题和做出最优决策。
本文将介绍运筹学的基本理论与方法,包括问题建模、优化模型、经典算法等方面。
一、问题建模运筹学的第一步是把实际问题转化为数学模型,以便进行分析和求解。
问题建模通常涉及以下几个方面:1. 目标:明确问题的目标是什么,如最大化利润、最小化成本、优化资源利用率等。
2. 决策变量:确定可以控制或调整的变量,即决策变量,如生产数量、采购量、分配方案等。
3. 约束条件:考虑问题的限制条件,如资源限制、技术限制、时间限制等。
二、优化模型基于问题建模的基础上,可以建立相应的优化模型,常见的几种常用优化模型如下:1. 线性规划:线性规划是最经典的优化模型之一,目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划可以通过诸如单纯形法、内点法等算法求解。
2. 整数规划:整数规划是线性规划的拓展,决策变量需要取整数值。
整数规划一般通过分支定界法、割平面法等算法求解。
3. 动态规划:动态规划适用于具有决策阶段和状态转移的问题,通过将问题分解为子问题,利用最优子结构性质,建立递推关系来求解。
4. 近似算法:对于复杂优化问题,精确求解往往是不可行的,此时可以采用近似算法,如启发式算法、模拟退火算法、遗传算法等。
三、经典算法运筹学中有一些经典的算法常用于求解各类优化问题,下面介绍几个典型的算法:1. 单纯形法:单纯形法是一种求解线性规划问题的经典算法,通过不断在可行域内移动以达到最优解。
2. 分支定界法:分支定界法通常用于解整数规划问题。
通过不断划分问题的可行域,并对每个子问题求解,最终得到整数规划的最优解。
3. 模拟退火算法:模拟退火算法是一种全局优化算法,通过模拟金属退火过程来避免陷入局部最优解。
4. 遗传算法:遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法,通过选择、交叉、变异等操作来搜索最优解。
四、应用领域运筹学方法在各个领域都有广泛应用,包括但不限于以下几个方面:1. 生产与物流:优化生产计划、供应链管理、仓储布局等,以提高生产效率和降低成本。
运筹学模型
运筹学模型运筹学是研究决策问题的科字,它主要研究如何在有限的资源条件下获得最佳解。
它是个综合性的学科,是由多学科科学的知识、方法和经验结合而成的。
运筹学模型是用来分析决策问题的重要工具,它利用数学技术和计算机技术,根据具体情况构建模型,从而获得最优解。
运筹学模型的构建过程主要有三个步骤,即问题求解、模型开发和解算。
首先,根据实际环境和问题特征,正确描述和理解问题,将其表示为一个模型。
其次,根据模型的表示形式,采用恰当的运筹学方法,按照一定的程序进行求解。
最后,将求解的结果以图表、数据等形式呈现出来,供决策者参考;此外,还可对结果进行分析,以便做出更有效的管理决策。
运筹学模型主要应用于交通运输、医疗保健、人力资源、金融投资、能源管理、质量管理、生产调度、计划管理、物流管理等领域,有助于节约时间和资源,提高自动化决策的精度和效率。
运筹学模型的开发主要集中在模型构建、数值算法两个方面。
模型构建也就是建立模型的过程,这个过程需要根据实际问题一步步进行,确定模型的变量、约束条件以及目标函数,并要求解出最优解。
数值算法则是实现模型的过程,大多数模型只能通过迭代的方式近似求解,因此,对数值算法的选择也是重要的。
常见的运筹学方法有贪婪法、动态规划、整数规划等,它们都有一定的优缺点,可以根据问题的特性和实际情况,合理选择适当的算法,以求得最优解。
此外,为了更好地服务决策者,运筹学模型还需要系统化地进行建模和验证。
在建模时,必须结合实际环境,考虑问题的复杂性,全面准确地把握各个变量和约束条件;在验证时,需要采用合适的方法,测试模型的准确性,与实际环境相匹配,以保证模型的可用性。
总之,运筹学模型是决策问题分析的有效工具,它有助于节约时间与资源,提高决策的准确性。
运筹学模型的开发主要集中在模型构建和数值算法两个方面,要求在建模过程中考虑问题复杂性、全面把握各个变量,而在验证过程中,要采用合适的方法测试模型的准确性,与实际环境相匹配。
运筹学 方法与模型
运筹学方法与模型运筹学是运用数学、统计学和计算机科学等专业知识和技术,以科学化的方法帮助人们做出最佳决策的学科。
运筹学研究的对象包括决策分析、优化算法、模拟系统、控制论以及信息论等多个方面。
方法。
1.数学方法:运筹学在问题解决中利用了大量数学原理和方法,如线性规划、非线性规划、统计分析、概率论等。
2.统计方法:运筹学在处理大量数据时应用的方法,如数据采集、整理、分析和解释等,让人们可以据此推断数据的趋势。
3.计算机方法:运筹学借助计算机技术,使用计算机建模和仿真技术,将复杂的问题转化为简单的研究对象,并求解其最优解。
4.运筹思想:运筹学旨在找到最优策略,其思想是在各种因素和条件的制约下,达到最佳结果的决策。
这是一个重要的应用范畴。
模型。
1.线性规划模型:这是一种基本的运筹学模型,它通过建立一系列线性等式或不等式来描述形式化问题。
通过优化算法求解,找到最优解。
2.整数规划模型:整数规划模型是在线性规划的基础上,加上整数限制条件的扩展。
为求解整数规划问题,需要使用各种启发式算法、分枝限界法等。
3.随机规划模型:随机规划模型是在考虑风险或不确定性因素的情况下,寻找最优策略的模型。
4.动态规划模型:动态规划模型是用于描述决策过程的数学模型。
通过建立方程组,求解最优决策方案,它广泛应用于生产、库存、资源分配问题等领域。
总结。
运筹学作为一门独立的学科,旨在建立数学模型,找到最优决策方案。
在现代企业管理和科学研究中,它的应用越来越广泛。
运筹学所涉及的方法和模型丰富多样,它不断的激发着人们通过科学的手段来寻找最佳解决方案的创新思维。
2023年运筹学模型与数学建模竞赛
运筹学模型与数学建模竞赛一、引言一般来说,大学生数学建模竞赛所涉及到的运筹学模型涉及数学规划(线性规划和非线性规划),网络优化(含网络计划技术),排队模型,动态规划等,请看下表注:从1999年起,全国大学生数学建模竞赛开始设立专供大专院校学生做的C ,D 题。
下面重点介绍运筹学模型的数学规划。
二、数学规划的一般形式))(m ax ()(m in x f or x f⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤==ub x lb m j x g li x h t s j i ,,2,1,0)(,,2,1,0)(.. 线性规划: 整数规划: 非线性规划:三、数学规划问题举例1 下料问题现要用100×50厘米的板料裁剪出规格分别为40×40 厘米与50×20厘米的零件,前者需要25件,后者需要30件。
问如何裁剪,才干最省料?解:先设计几个裁剪方案记 A---------40×40;B-----------50×20注:尚有别的方案吗?显然,若只用其中一个方案,都不是最省料的方法。
最佳方法应是三个方案的优化组合。
设方案i 使用原材料x i 件(i =1,2,3)。
共用原材料f 件。
则根据题意,可用如下数学式子表达:⎪⎩⎪⎨⎧=≥≥++≥+++=)3,2,1(03053252..min 32121321j x x x x x x t s x x x f j,整数 这是一个整数线性规划模型。
2 运送问题现要从两个仓库(发点)运送库存原棉来满足三个纺织厂(收点)的需要,数据如下表,方案1方案2方案3试问在保证各纺织厂的需求都得到满足的条件下应采用哪个运送方案,才干使总运费达成最小?(运价(元/吨)如下表)解:题意即要拟定从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。
故设ij x 表达从i 号仓运到j 号工厂的原棉数量(吨)f 表达总运费.则运送模型为:⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥⎪⎭⎪⎬⎫=+=+=+⎭⎬⎫≤++≤+++++++=运输量非负约束;需求量约束运出量受存量约束),,j ,i (x x x x x x x x x x x x x .t .s x x x x x x f min ij 321210251540305042232231322122111232221131211232221131211 一般地,对于有m 个发点和n 个收点的运送模型为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤=∑∑∑∑====),...2,1;,...2,1(0)...2,1(),...3,2,1(..min 1111n j m i x n j b x m i a x t s x c f ij mi j ij nj i ij m i nj ijij 其中a i 为i 号发点的运出量,b j 为j 号收点的需求量,c ij 为从i 号发点到j 号收点的单位运价。
运筹学分配问题建模
运筹学分配问题建模
运筹学分配问题是指在特定的条件下,如何合理地分配资源以达到最优化的解决方案的问题。
这类问题可以用数学模型来描述和解决。
在运筹学中,分配问题通常涉及到有限的资源和不同的需求或约束条件。
在建模时,可以使用线性规划、整数规划、动态规划或网络流等方法来求解。
以一个简单的分配问题为例,假设有三个项目(A、B、C)需要分配有限的资源(如人力、时间或资金)。
每个项目会产生不同的效益(如收益或效率),同时存在一些约束条件(如人力资源的限制或时间的限制)。
我们的目标是在满足约束条件下,最大化总体效益。
为了建模这个问题,我们可以定义以下变量和参数:
令x1、x2、x3分别表示项目A、B、C的分配比例;
令c1、c2、c3分别表示项目A、B、C的效益;
令r表示可用资源的数量;
令a1、a2、a3分别表示项目A、B、C所需资源的数量。
然后,我们可以建立以下数学模型:
目标函数:maximize Z = c1*x1 + c2*x2 + c3*x3
约束条件:a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 <= r
x1 + x2 + x3 = 1
x1, x2, x3 >= 0
这个数学模型可以被解释为:我们要最大化总体效益(Z),
但同时要满足资源约束条件(第一个约束条件),并且项目的分配比例之和为1(第二个约束条件)。
当我们求解这个数学模型时,可以得到最优的分配比例,从而实现最大化总体效益。
这只是一个简单的示例,实际的运筹学分配问题可能更加复杂,可以根据具体情况进行进一步的建模和求解。
运筹学与最优化方法优化建模
运筹学与最优化方法优化建模运筹学是一门多学科交叉的学科,涵盖了数学、经济学、管理学等多个领域,其目的是通过数学模型和最优化方法来解决各种决策问题。
最优化建模是其中的一个重要方面,它主要是通过建立合适的数学模型,并运用最优化方法找到最佳解。
在运筹学中,最优化建模是一个非常关键的步骤。
它的目标是将实际问题转化为一个数学模型,以便于利用数学方法进行求解。
最优化建模需要对问题进行适当的抽象和简化,将问题的主要方面纳入模型,排除次要因素。
同时,还需要考虑到问题的约束条件和目标函数,以便在求解过程中能够得到一个合理的结果。
最优化建模的方法有很多种,其中最常用的是线性规划、整数规划和非线性规划等。
线性规划主要用于求解线性约束条件下的最优解,例如生产计划、资源分配等问题。
整数规划则是在线性规划的基础上,额外添加了整数变量的约束条件,用于解决一些决策变量只能取整数值的问题,如运输调度、设备配置等。
非线性规划则是应用于具有非线性约束条件的问题,包括一些经济学模型、工程优化问题等。
除了数学方法外,最优化建模还需要结合实际问题的特点进行合理的假设和简化。
这包括对决策变量的选择、约束条件的设置和目标函数的确定等。
在建模过程中,还需要考虑到一些影响因素,如风险程度、决策者的偏好以及系统的复杂性等。
这些因素的考虑对于求解出一个合理的最优解至关重要。
最优化建模的优势在于可以帮助决策者更加全面客观地分析问题,并找到最佳解决方案。
通过运用最优化建模,决策者可以在有限的时间和资源条件下,找到一个最优的决策方案。
这不仅可以提高生产效率和资源利用率,还能够降低成本和风险。
同时,最优化建模还能够帮助企业在竞争激烈的市场环境中获得竞争优势,更好地适应环境变化。
总之,最优化建模是运筹学中重要的一环,通过合适的数学模型和最优化方法,可以帮助决策者在复杂的决策环境中找到最佳解决方案。
它在各个领域都有广泛的应用,不仅可以提高决策效率和资源利用率,还能够帮助企业在竞争激烈的市场中取得竞争优势。
运筹学数学建模7-9
a21 x1 a22 x2 L a2n xn (, )b2 , L
am1 x1
am2 x2
L
amn xn
(, )bm ,
xi 0, x j 0, i i1 ,L , ik , j j1,L , jl .
线性规划模型标准型:
线性规划模型标准型矩阵表示:
maxz= c1 x1 +c2x2 +…+cnxn
X [x1, x2,L , xn ]T ,
xi 0, i 1,L , n.
b [b1, b2 ,L , bm ]T , b 0,
1.线性规划的一般形化为标准型的一般步骤 (1) Min f = cX 转化为max z = cX
(2) ai1 x1 ai 2 x2 L ain xn bi 加松弛变量yi ai1 x1 ai2 x2 L ain xn yi bi
模型分析与假设对目标函数的贡献与x取值成正比对约束条件的贡献与x取值成正比对目标函数的贡献与x取值无关对约束条件的贡献与x取值无关每公斤的获利是与各自产量无关的常数每桶牛奶加工出a的数量和时间是与各自产量无关的常每公斤的获利是与相互产量无关的常数每桶牛奶加工出a的数量和是与时间相互产量无关的常数加工a的牛奶桶数是实数线性规划模型其临床表现为持续性进行性的多个智能功能域障碍的临床综合征包括记忆语言视空间能力应用辨认执行功能及计算力等认知功能的损害
(1) x3 = x4 x5 , x4 , x5 0 (2) x1 +x2 +x3 +x6 =7 (3) x1 x2 +x3 x7 =2
合理下料问题
设按第i种下料方式的
有长度为8米的某型号圆钢, 现需要长度为2.5米的毛坯
圆钢xi根,i=1,2,3,4
第二章——运筹学建模方法
1第二章、运筹学建模方法综述2定义问题和收集数据 数学建模模型求解 检验模型 准备应用模型 实施3运筹学研究小组首先要做的是研究相关系统,并使被研究的问题得到明确的说明。
包括确定合适的目标、实际的限制条件、研究领域和组织的其他领域间的相互关系、可选择的行动路线、制定决策的时间限制等。
2.1定义问题和收集数据4针对美国企业的大量调查发现,管理层趋向于采取满意利润目标和其他目标相结合的方式代替长期收益最大化。
典型地,其他目标包括维持稳定收益、增加市场份额、实现产品多样化、维持稳定价格、提高员工士气、维持企业的家族控制以及提高企业声望。
另外,存在包含与盈利动机不相吻合的社会责任的其他考虑。
2.1定义问题和收集数据5商业企业一般涉及以下五个方面所用者(股东等),追求盈利员工,期望合理工资水平上的稳定雇佣 客户,期望以合理的价格获得可靠的产品 供应商,期望声誉以及产品的合理出售价格政府以及国家,期望公正的税收和考虑国家利益6例:在为旧金山警察局所开展的运筹学研究中,建立了一个优化调度和配置巡警的计算机系统。
这个新系统每年为警察局节约1100万美元,同时增加了300万美元的交通管理收入,并且将反映时间减少了20%。
在评估该项研究的合适目标时,确定了三个基本目标:(1). 维持高水平的居民安全(2). 维持高水平的警员士气(3). 最小化运作成本7收集数据通常,研究小组会花费大量的时间收集问题的数据。
大部分数据既用于获得对问题的充分理解,又为下一阶段研究建立的数学模型提供所需的输入。
82.2 数学建模商业问题的数学模型,是描述问题实质的方程和相关数学表达式的系统。
n 个相关的可量化的决策,称为决策变量(decision variables)(x 1, x 2, …x n )绩效(如收益)的合理度量被表示成这些决策变量的数学函数(例如,P =3x 1+2x 2+…+5x n ),这个函数称为目标函数(objective function)9 任何对决策变量值的约束也能够被数学表示,通常是通过等式或不等式(例如:x 1+3x 1x 2+2x 2≤10),这些用于限制的数学表达式称为约束(constraints)。
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3.1设定变量:
设 X11表示生产A产品需要固体废料1的数量;
X12表示生产A产品需要固体废料2的数量;
X13表示生产A产品需要固体废料3的数量;
X14表示生产A产品需要固体废料4的数量;
X21表示生产B产品需要固体废料1的数量;
X22表示生产B产品需要固体废料2的数量;
X23表示生产B产品需要固体废料3的数量;
X24表示生产B产品需要固体废料4的数量;
X31表示生产C产品需要固体废料1的数量;
X32表示生产C产品需要固体废料2的数量;
X33表示生产C产品需要固体废料3的数量;
X34表示生产C产品需要固体废料4的数量;最大利润为z.
3.2根据题意得约束条件:
由A产品所用材料1不多于30%可得:X11/ (X11+X12+X13+X14)≤30% 由A产品所用材料2不少于40%可得:X12/ (X11+X12+X13+X14)≥40% 由A产品所用材料3不多于30%可得:X13/ (X11+X12+X13+X14)≤50% 由B产品所用材料1不多于30%可得:X21/ (X21+X22+X23+X24)≤50% 由B产品所用材料2不多于10%可得:X22/ (X21+X22+X23+X24)≥10% 由C产品所用材料1不多于70%可得:X31/ (X31+X32+X33+X34)≤70% 由固体废料1每周回收量为3000可得:X11+X21+X31≤3000
由固体废料2每周回收量为2000可得:X12+X22+X32≤2000
由固体废料3每周回收量为4000可得:X13+X23+X33≤4000
由固体废料4每周回收量为1000可得:X14+X24+X34≤1000
X
ij
≥0 (i=1,2,3;j=1,2,3,4)
3.3数学模型如下:
max z= (8.5-3)(X
11+X
12
+X
13
+X
14
)+(7-2.5)(X
21
+X
22
+X
23
+X
24
)+
(5.5-2)(X
31+X
32
+X
33
+X
34
)-3(X
11
+X
21
+X
31
)-6(X
12
+X
22
+X
32
)-4(X
13
+X
23
+X
33
)- 5(X
14
+X
24
+X
34
)
X11/ (X11+X12+X13+X14)≤30% X12/ (X11+X12+X13+X14)≥40%
X13/ (X11+X12+X13+X14)≤50%
X21/ (X21+X22+X23+X24)≤50%
X22/ (X21+X22+X23+X24)≥10%
X31/ (X31+X32+X33+X34)≤70%
X11+X21+X31≤3000
X12+X22+X32≤2000
X13+X23+X33≤4000
X14+X24+X34≤1000
3.4将问题化为标准形式:
max z= 2.5X11-0.5X12+1.5X13+0.5X14+1.5X21-1.5X22+1.5X23-0.5X24+0.5X31-2.5X32-0.5X33 -1.5X34
0.7X11-0.3X12-0.3X13-0.3X14+ X1=0
0.4X11-0.6X12+0.4X13+0.4X14+ X2=0
-0.5X11-0.5X12 +0.5X13-0.5X14+ X3=0
0.5X21-0.5X22-0.5X23-0.5X24+ X4=0
0.1X21 -0.9X22+0.1X23+0.1X24+X5=0
0.3X31-0.7X32-0.7X33-0.7X34+X6=0
X11+X21+X31+X7=3000
X12+X22+X32+X8=2000
X13+X23+X33+X9=4000
X14+X24+X34+X10=1000。