电磁场圆截面金属波导

Pmn R
r
cos m
sin
m
e
jt z
TM波波场的表示
E&z rR
0, Jm (kcr)
0, Jm (Pmn )
0, kc
Pmn R
E&z
E&0J m
Pmn R
r
cos m
sin
m
e
j z
TE波解
H&z r
0, Jm (kcr)
0, Jm (Pmn )
0, kc
Pmn R
rR
H&z
Jm(x)图,m=0,1,2,3
Jm(x)一次导数图,m=0,1,2,3
Nm(x)图,m=0,1,2,3
Bessel函数的递推公式
Bm
x
Bm1
x
m x
Bm
x
m x
Bm
x
Bm1
x
3 圆截面波导解的具体形式
根据Bessel函数的性质和r＝0边界条件 可以将圆截面波导解的具体形式选择为：
E&z H&z
Ez Hz )
r r
TM波解
E&z rR
0, Jm (kcr)
0, Jm (Pmn )
0, kc
Pmn R
E&z
E&0J m
Pmn R
r
cos m
sin
m
e
j z
H&r
m
m0 n1
j mR2
Pm2n r
Emn
Jm
Pmn R
r
sin m cos m
e
jt
z
H&
m0 n1
Bessel函数和三角函数比较
函数类型 驻波型
三角函数
cosmx sinmx
Bessel函数
J m x Nm x
行波型
e jmx
cosmx
j sinmx
H
1 m
x
Jm
jNm
e jmx
cosmx
j sinmx
H
2 m
x
Jm
jNm
x
Jmx
2
x
c os
x
m
2
4
Nmx
2
x
sin
x
m
2
Ez Hz
,
1 r
r
r
r
1 r2
2
2
kr2
r,
0
TM : r, TE : r,
r R0
r
0, kr2 2 2
r R0
Lˆ r, r, kr2 r,
2 圆柱坐标系中的分离变量法
利用分离变量法可以得到两个关于r和ψ 两个独立方程，分别求解。
r, R r
A1Jm (kcr)(B1
cos m
B2
sin m )e j(t z)
E&z0 H&z0
J
m
(kc
r
)
cos m sin m
e
j
z
Er
1 kc2
j (Ez r
Hz )
r
E
1 kc2
j ( 1 Ez r
Hz ) r
Hr
1 kc2
j
(
Ez
r
Hz ) r
H
1 kc2
j (
H&0 J m
kc
r
cos m sin m
e
j z
E&r
m0 n1
jmR2
Pm2n r
H mn
Jm
Pmn R
r
sin m cos m
e
j t
z
E&
m0 n1
j R
Pmn
H
mn
J
m
Pmn R
r
cos
sin
m m
e
j t
z
H&r
m0
n 1
j R
Pmn
Hmn J m
j R
Pmn
Emn
J
m
Pmn R
r
cos
sin
m m
e
jt
z
E&r
m0
n 1
j R
Pmn
Emn J m
Pmn R
r
cos m
sin
m
e
jt z
E&
m0 n1
j mR2
Pm2n r
Emn
J
m
Pmn R
r
sin cos
m m
e
j t
z
E&z
m0
n 1
Emn J m
1
m2 x2
B(x)
0
实宗量整数阶贝塞尔（Bessel）函数
有四类实宗量整数阶贝塞尔（Bessel） 函数是Bessel方程的解，分别是第一类m阶 贝塞尔函数、 是第二类m阶贝塞尔函数 （亦称Neumann函数），第一类汉克函数 和第二类汉克函数。虽然他们在数学表达 式非常复杂，但意义非常明确，其中J函数 和N函数描述沿r分布驻波型的，而后两类 函数是行波型的。
T2
k2 2
Ez
0, Ez
r rT
,
z; t
Ez
r rT
e jt z
T2
k2 2
Hz
r 0, H z
r rT
,
z; t
Hz
r rT
e jt z
T2
1 r
r
r
r
1 r2
2
2
TM波边界条件
根据导体表面的边界条件，容易确定 TM波的边界条件。
Ez
r, r R0
0
TE波边界条件
r2 R(r)
2R(r) r 2
r R(r)
R(r) r
kc2r
1
( )
2( ) 2
r2
d
2R(r) dr 2
r
dR(r) dr
(kc2r2
m2
)R(r)
0
d
2( d 2
)
m2(
)
0
方位角方程的求解
利用方位角的自然边界条件，可以得到 方位角方程的解。
d
2( d 2
)
m2(
)
0, (
2n
)
(
)
(
)
圆截面金属波导结构上的优点
圆截面波导具有一些与矩形截面波导不 同的特点： • 在相同截面积时，圆截面波导管壁面积最 小，这样不仅能节省材料，且减少管壁的 损耗。 • 另外圆截面波导制作工艺要比矩形截面波 导容易。这些也是它的优点。
y
r
O
x
R
z
圆波导及其坐标系
一 圆截面金属波导中场方程的求解
1 场方程与边界条件 柱坐标系：
sin m cos m
,
m
0,
1,
2,...
含参型贝塞尔（Bessel）方程
径向方程可以经过简单变换变换为标准 含参型贝塞尔（Bessel）方程。
r2
d
2R(r) dr 2
r
dR(r) dr
(kc2r2
m2 )R(r)
0
kcr x, R(r) B(x)
d
2B(x) dx2
1 x
dB( x) dx
4
H (1) m
x
j
2e
x
m 2
4
x
H
(2) m
x
2 e
j
x
m 2
4
x
第一、二类Bessel函数的性质
• Jm和Nm均是x振荡变化的函数，有无数个 零值点分布在x轴上。
• x＝0点是Nm函数的奇点， Jm（m不等于0） 的零值点。
• Jm的一次导数函数也是x振荡变化的函数， x＝0点 是Jm一次导数（m不等于1）的零 值点。
根据导体表面的边界条件，确定不了TE 波的边界条件，需要分析横向场的边界条 件。
r ET
r Er ar
r E a
Er
j 2
2
H z r
0, E
j 2
2
H z
Hz r, 0
r r R0
TE和TM方程与边界条件统一
根据导体表面的边界条件，确定不了TE 波的边界条件，需要分析横向场的边界条 件。
Pmn R
r
cos m
sin
m
e jt z
H&
m0 n1
j mR2
Pm2n r
H
mn
J
m
Pmn R
r
sin m cos m
e
jt
z
H&z
m0
n 1
H mn J m
Pmn R
r
cos m
sin
பைடு நூலகம்
m
e jt z
TE波波场的表示
drr
r E
0
drE rdEr , dzEr drEz , rdEz dzE