概率论与数理统计基础知识和公式整理
山东省考研数学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理
山东省考研数学复习资料概率论与数理统计
重点知识点整理
概率论与数理统计是数学的重要分支，广泛应用于各个领域。在山东省考研的数学科目中，概率论与数理统计是必考内容之一。为了帮助考生复习，本文将针对概率论与数理统计的重点知识点进行整理，并提供相应的考点解析和习题练习。
一、概率论基础知识
1. 随机事件与概率：事件的概念、随机事件的概率、事件的运算（包括事件的和、积，互斥事件，逆事件等）
2. 条件概率与独立性：条件概率的概念、乘法定理、全概率公式、贝叶斯公式、独立事件的概念与性质
3. 随机变量与分布函数：随机变量的概念、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量函数的分布
4. 数学期望与方差：随机变量的数学期望、方差的性质与计算、条件期望、协方差与相关系数的定义与计算
二、概率分布
1. 离散型随机变量的分布：伯努利分布、二项分布、泊松分布等，包括分布的概率函数、分布函数、数学期望和方差的计算
2. 连续型随机变量的分布：均匀分布、指数分布、正态分布等，包括分布的密度函数、分布函数、数学期望和方差的计算
3. 两个随机变量的分布：随机变量之和的分布、两个随机变量的函数的分布
三、大数定律与中心极限定理
1. 大数定律：切比雪夫不等式、大数定律的独立同分布条件、伯努利大数定律、辛钦大数定律
2. 中心极限定理：中心极限定理的独立同分布条件、独立同分布情况下的林德伯格-列维定理、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
四、参数估计与假设检验
1. 点估计：估计量与矩估计、最大似然估计、无偏性与有效性、均方误差
2. 区间估计：置信区间的构造与解释、枢轴变量法构造置信区间、大样本置信区间与小样本置信区间
概率论与数理统计公式整理数学家的宝藏
概率论与数理统计公式整理数学家的宝藏数学作为一门学科，不仅仅是为了丰富我们的数学知识，更重要的是为了解决实际问题。在现实生活中，人们总是面临着各种各样的不确定性和随机性的情况，比如掷骰子的结果、赌场的胜负、产品的质量、调查数据的准确性等等。这时候，我们就需要依靠概率论和数理统计来进行分析和判断。在概率论和数理统计的学习过程中，我们经常会遇到很多复杂的公式，这些公式就如同数学家的宝藏一样，它们帮助我们理解和解决各种概率和统计问题。
本文将整理一些常见的概率论和数理统计公式，帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、概率论基础公式
1. 事件的概率公式：
在概率论中，我们将事件A发生的可能性表示为P(A)，其计算公式为：
P(A) = (A发生的次数) / (总次数)
2. 互斥事件概率公式：
如果事件A和事件B是互斥的（即两个事件不可能同时发生），则它们的概率可以通过下面的公式计算：
P(A或B) = P(A) + P(B)
3. 事件的补事件概率公式：
如果事件A的概率为P(A)，则事件A的补事件（即事件A不发生）的概率为：
P(A的补事件) = 1 - P(A)
二、数理统计基础公式
1. 样本均值的计算公式：
在统计学中，样本均值是指样本总和除以样本个数。对于n个样
本数据x1, x2, ..., xn，样本均值计算公式为：
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2. 样本方差的计算公式：
样本方差是反映一组数据的离散程度的统计指标。对于n个样本
数据x1, x2, ..., xn，样本方差计算公式为：
概率论与数理统计公式整理（完整版）
概率论与数理统计公式整理（完整版）第1章随机事件及其概率
第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
概率论与数理统计公式整理(完整版)
第1章随机事件及其概率
第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验
概率论与数理统计知识点
随机事件和概率
第—节 根本概念
1、排列组合初步
〔1〕排列组合公式
)!
(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )!(!!n m n m C n m -=
从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 (2)加法原理〔两种方法均能完成此事〕：m+n
某件事由两种方法来完成，第—种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理〔两个步骤分别不能完成这件事〕：m ×n
某件事由两个步骤来完成，第—个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
(4)一些常见排列
① 特别排列
相邻
彼此隔开
顺序肯定和不可分辩
② 重复排列和非重复排列〔有序〕
③ 对立事件
④ 顺序问题
2、随机试验、随机事件及其运算
〔1〕随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。
〔2〕事件的关系与运算
如果事件A 的组成局部也是事件B 的组成局部，〔A 发生必有事件B 发生〕：B A ⊂ 如果同时有B A ⊂，A B ⊃，则称事件A 与事件B 等价，或称A 等于B ：A=B 。
A 、
B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。
属于A 而不属于B 的局部所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为A-AB 或者B A ，它表示A 发生而B 不发生的事件。
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常有价值且实用的文档，对于从事相关学科的学生、教师、研究员等都有很大的帮助。这份文档汇集了概率论和数理统计领域的许多重要公式和定理，既包括了基本的概念和运算，也包括了更进一步的理论和应用。
对于数理统计这个领域而言，公式的掌握是至关重要的。这份文档整理了许多重要的公式，如概率分布函数、随机变量的期望、方差，样本均值和标准差等等。这些公式是数理统计领域的基础，并在实际应用中有着广泛的应用。通过学习这些公式，学生们可以更好地掌握数理统计的基本概念和操作，从而更好地应用于实际的数据分析和统计建模。
此外，在概率论领域中，掌握公式也是非常重要的。概率分布、条件概率、期望、方差等概念都有其重要的公式。这份文档也对这些公式进行了整理。通过学习这些公式，学生们可以更好地理解和应用概率理论，从而更好地分析和解决复杂问题。
此外，这份文档还对一些常用的数理统计方法进行了整理，如假设检验、方差分析、回归分析等。这些方法经常被用于实际数据的处理和分析，对于从事相关领域的学生和研究员来说，掌握这些方法是非常必要的。
最后，这份文档非常适合数理统计和概率论的初学者。这些公式和方法是这个领域非常基础和常用的内容。学生们可以通过学习这份文档来迅速掌握这些基本知识，从而更好地开展学习和研究。
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(完整版)概率论与数理统计公式整理(超全版)
第1章随机事件及其概率
第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验
(完整版)大学概率论与数理统计公式全集
大学概率论与数理统计公式全集
一、随机事件和概率
1、随机事件及其概率
2、概率的定义及其计算
二、随机变量及其分布
1、分布函数性质
F
b
F
(a
b
a
<
≤
=
P-
X
)
(b
(
)
(
)
b
F
X
(
)
P=
≤)
2、离散型随机变量
3、连续型随机变量
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量边缘分布
∑∑====
==⋅j
j
ij
j
i
i i p
y Y x X P x X P p ),()(
∑∑====
==⋅i
i
ij
j
i
j j p
y Y x X P y Y P p ),()(
2、离散型二维随机变量条件分布
2,1,)
()
,()(======
===⋅i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p j
ij j j i j i j i
2,1,)
()
,()(==
====
===⋅
j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j
3、连续型二维随机变量( X ,Y )的联合分布函数⎰⎰∞-∞-=x
y
dvdu v u f y x F ),(),( 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数
边缘分布函数：⎰⎰∞-+∞
∞-=x
X dvdu v u f x F ),()( 边缘密度函数：⎰+∞
∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰
∞-+∞
∞
-=
y Y dudv v u f y F ),()( ⎰
+∞
∞
-=
du y u f y f Y ),()(
5、二维随机变量的条件分布
+∞<<-∞=
y x f y x f x y f X X Y ,)(),()( +∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)
概率论与数理统计公式精选常用公式一览
概率论与数理统计公式精选常用公式一览为了帮助读者更好地掌握概率论与数理统计的知识，本文将为大家整理并介绍一些常用的公式。这些公式是在学习和应用概率论与数理统计过程中必备的工具，相信对大家的学习和研究具有重要的参考价值。
一、概率论常用公式
1. 概率公式
在概率论中，我们经常需要计算事件发生的概率。以下是几个常用的概率公式：
（1）加法公式
设A和B为两个事件，则A与B的和事件概率为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
（2）乘法公式
设A和B为两个独立事件，则A与B的积事件概率为P(A∩B) =
P(A) * P(B)。
2. 条件概率公式
条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。以下是条件概率的计算公式：
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示A与B的交事件的概率，P(A|B)表示在B发生的条件下A发生的概率。
3. 贝叶斯公式
贝叶斯公式是概率论中非常重要的公式，它用于根据已知条件，计
算一个事件的后验概率。贝叶斯公式如下所示：
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条
件下，事件A发生的概率；P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件
B发生的概率；P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的先验概率。
二、数理统计常用公式
1. 期望和方差
在数理统计中，我们经常需要计算一组数据的期望和方差。以下是
期望和方差的计算公式：
（1）期望的计算公式
设X为一个离散型随机变量，其取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率
概率论与数理统计公式整理(完整精华版)
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-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第1章随机事件及其概率
第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
《概率论与数理统计》
第一章 概率论的基本概念
§2．样本空间、随机事件
1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生
B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生
B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生
B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生
φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的
且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件
2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃
结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —
§3．频率与概率
定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事
件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率
概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：
概率论与数理统计考前必备公式
概率论与数理统计考前必备公式
==================================
概率论与数理统计是大学生必修的数学课程之一，也是多个专业领域的基础知识。这门课程主要研究随机现象以及随机事件的概率，探索统计规律，并应用于实际问题的分析与决策。在概率论与数理统计的学习过程中，我们会接触到大量的公式，这些公式是我们进行问题求解的基础。本文档将为大家整理并介绍概率论与数理统计考前必备的公式，帮助大家在考试中更好地把握重点，提高成绩。
1.随机变量与分布
1.1随机变量
随机变量是一种数值型的随机量，它的取值由随机实验的结果决定。我们将随机变量分为离散型和连续型两类。
1.离散型随机变量定义：$X$是一个随机变量，如果它的取值有穷多个或者可列无穷多个，那么$X$是离散型随机变量。
2.连续型随机变量定义：$X$是一个随机变量，如果它的取值为一个区间或者多个区间，那么$X$是连续型随机变量。
1.2分布函数
分布函数是描述随机变量取值情况的函数，记作$F(x)$，其中$x$为实数。根据随机变量的类型，分布函数可为离散型随机变量的概率质量函数或连续型随机变量的概率密度函数。
1.离散型随机变量概率质量函数
概率质量函数描述离散型随机变量取值的概率分布。对于离散型随机变量$X$，其概率质量函数定义如下：
$$P(X=x_i)=p_i,\q u ad i=1,2,\d ot s$$
2.连续型随机变量概率密度函数
概率密度函数描述连续型随机变量取值的概率分布。对于连续型随机变量$X$，其概率密度函数定义如下：
概率论与数理统计公式整理(完整版)
第1章随机事件及其概率
第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验
概率论与数理统计公式整理(完整精华版)
第1章随机事件及其概率
我们作了n 次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生； n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与
否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n
重伯努利试验。
用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用)(k P n 表示n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率，
k
n k k
n n q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0 =。
第二章 随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验
概率论与数理统计公式整理(超全免费版)
第1章随机事件及其概率
第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
概率论与数理统计公式整理(完整精华版)
第1章随机事件与其概率
第二章随机变量与其分布
第三章二维随机变量与其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本与抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验
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第1章随机事件与概率
A B=不可能同时发生，称事件A与事件
互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
=且B互为逆事件，或对
A BΦ
，则(P B-A
{ω
ω
2
1
,
P) (
2=
ω
1
()(|)n i i P A P A B ==∑对全概率公式可以利用课堂讲解过的概率树来描述和分析。设事件B 1,B 2,…,B n 及1
(|))(|i n j j P A B P P A B ==
∑此公式即为贝叶斯公式。
1=i 2n
第二章随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布
的联合分布函数。
通过全平面上的区域来形
}
1
z-)]n
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
1
（数理统计部分的知识都是从样本和样本统计量出发来分析总体的属性，例如：分析已知分布中的
未知参数等）
第六章数理统计的基本概念与抽样分布
总体有相同分布的随机变量；观察之后，样本就是n
k=
2,3,.
()},max{n n X X =常用统计量的基本性质
~X N 2
21)~S χ-
(X-
第七章 参数估计
,)m
A θ=),,2∧
m θ 即为参数
n
12,,,,)(;,)m i m P X θθθθ=∏
=∂
法的流程。
第八章 假设检验
假设检验的基本步骤如下：
1. 根据实际问题,提出原假设0H 及备择假设1H ；（可确定是单侧还是双侧假设检验）
2. 依据实际条件构造检验统计量；（检验统计量不含任何未知参数且分布已知）
3.
对于给定显著性水平α，确定检验统计量的拒绝域；（拒绝域要与0H 为真时
检验统计量的趋势相反）
4.将样本值或者样本统计量的值代入检验统计量的表达式计算实际值，判断是否落入拒绝域，若落入拒绝域，则否定0H ，否则接受0H 。