山东省平邑县高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解和坐标表示导学案新人教A版4 精
高中数学第2章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算
解 (1)O→P＝tO→A＋O→B＝(3＋t,3＋2t)， ∴P 点坐标为(3＋t,3＋2t)， 若 P 在 x 轴上，则 3＋2t＝0 得 t＝－32， 若 P 在 y 轴上，则 3＋t＝0 得 t＝－3， 若 P 在第二象限，则33＋＋t2<t>0，0， 得 t 无解，
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解 (1)O→P＝O→A＋tO→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t，2＋3t)， 所以 P 点坐标为(1＋3t,2＋3t)．
若 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，得 t＝－23； 若 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0，得 t＝－13； 若 P 在第二象限，则12＋＋33tt<>00，， 得－23<t<－13.
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(2)已知A→B＝(1,3)，且点 A(－2,5)，则点 B 的坐标为( )
A．(1,8)
B．(－1,8)
C．(3，－2) D．(－3,2)
解析 因为向量坐标等于终点坐标减去起点坐标，所以 B 点坐标为(－1,8)．
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(3)(教材改编 P100T2)若 a＝(2,1)，b＝(1,0)，则 3a＋2b
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∵A→P＝A→B＋λA→C， ∴xy－ －23＝ ＝31＋ ＋57λλ， ， ∴xy＝ ＝54＋ ＋57λλ，. (1)若 P 在一、三象限角平分线上，则 5＋5λ＝4＋7λ. ∴λ＝12.
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(2)若 P 在第三象限内，则54＋ ＋57λλ<<00， ， ∴λ<－1. ∴λ＝12时，点 P 在第一、三象限角平分线上；λ<－1 时， 点 P 在第三象限内．
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件新人教A必修4 (1)1
【解析】 (1)正确．对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表 示相同．
(2)错误．以 A 为终点的向量有无数个，它们不一定全相等． (3)正确．由平面向量坐标的概念可知． 【答案】 (1)√ (2)× (3)√
教材整理 2 平面向量的坐标运算 阅读教材 P96“思考”以下至 P97 例 4 以上内容，完成下列问题． 1．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝___(x_1_＋__x_2，__y_1_＋__y_2_) _，即两个向量 和的坐标等于这两个向量相应坐标的和． 2．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a－b＝_(_x_1－__x_2_，__y_1_－__y2_)___，即两个向量 差的坐标等于这两个向量相应坐标的差． 3．若 a＝(x，y)，λ∈R，则 λa＝_(_λx_，__λ_y_)__，即实数与向量的积的坐标等于
A．(0，－7)
B．(0,7)
C．(－1,3)
D．(12，－1)
【解析】 3a－2b＝3(2,1)－2(3，－2)
＝(6,3)－(6，－4)＝(0,7)．
【答案】 B
2．已知 A(3,1)，B(2，－1)，则B→A的坐标是( )
A．(－2，－1)
B．(2,1)
C．(1,2)
D．(－1，－2)
【解析】 B→A＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2)．
5)＝(1,3)，所以xy＋－25＝＝13，， 解得xy＝＝－8，1， 所以点 B 的坐标为(－1,8)． (2)如题干图，O→C＝－O→A＝－(－1，－1)＝(1,1)， 由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以O→B＝(1，－1)， 同理O→D＝(－1,1)．
【答案】 (1)B (2)(1，－1) (1,1) (－1,1) (3)由题意知 B, D 分别是 30°，120°角的终边与以点 O 为圆心的单位圆的交 点．设 B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义， 得 x1＝cos 30°＝ 23，y1＝sin 30°＝12，所以 B 23，12. x2＝cos 120°＝－12，y2＝sin 120°＝ 23， 所以 D－12， 23. 所以A→B＝ 23，12，A→D＝－12， 23.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和
减法
两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的差
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标
向量坐 标公式
一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的终点的坐标减去始 点的坐标
符号表示
a+b=(x1+x2,y1+y2)
a-b=(x1-x2,y1-y2)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析:确定出终点的坐标,即可确定向量������������的坐标. 解:设点 A(x,y), 则 x=|OA|cos 60°=2√3,y=|OA|sin 60°=6, 即 A(2√3,6),故������������=(2√3,6).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
变式训练1
探究三
思维辨析
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标
思维脉络
1.理解平面向量的正交 分解及坐标表示的意义. 2.理解向量加法、减法、 数乘的坐标运算法则,能
熟练进行向量的坐标运
算. 3.能借助向量的坐标,用 已知向量表示其他向量.
1.平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量i,j作为基底. (2)坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得 a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中 x叫做向量a在x轴上的坐标,y叫做向量a在y轴上的坐标. (3)坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示. (4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.2 平面向量的正交分解及坐
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示1．借助于力的分解理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义．2．了解向量与坐标的关系，会求给定向量的坐标．1．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相______的向量，叫做平面向量的正交分解．【做一做1】 如图所示，在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，下列是正交分解的是( )A.AB →＝OB →－OA →B.BD →＝AD →－AB →C.AD →＝AB →＋BD →D.AB →＝AC →＋CB →2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向______的两个______向量i ，j 作为______．(2)坐标：对于平面内的一个向量a ，__________对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序实数对______叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做向量a 在____轴上的坐标，y 叫做向量a 在____轴上的坐标．(3)坐标表示：a ＝(x ，y )就叫做向量的坐标表示．(4)特殊向量的坐标：i ＝______，j ＝______，0＝______.【做一做2】 已知基向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，m ＝4i －j ，则m 的坐标是( )A ．(4,1)B ．(－4,1)C ．(4，－1)D ．(－4，－1)3．向量与坐标的关系设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标______就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的______就是向量OA →的坐标(x ，y )．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是________的．向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同．【做一做3】 平面直角坐标系中，任意向量m 的坐标有________个．答案：1．垂直【做一做1】 B 由于AD →⊥AB →，则BD →＝AD →－AB →是正交分解．2．(1)相同 单位 基底 (2)有且只有一 (x ，y )x y (4)(1,0) (0,1) (0,0)【做一做2】 C3．(x ，y ) 坐标 一一对应【做一做3】 1 由于向量和有序实数对是一一对应的，则任意向量m 的坐标仅有1个．1．向量的表示法剖析：向量的表示方法有三种：①字母表示法：用一个小写的英文字母来表示，例如向量a ；也可以用上面加箭头的两个大写英文字母来表示，例如向量AB →，该向量的起点是A ，终点是B .②几何表示法：用有向线段来表示．③代数表示法：用坐标表示．2．点的坐标与向量坐标的联系与区别剖析：(1)表示形式不同，向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号．(2)意义不同，点A (x ，y )的坐标(x ，y )表示点A 在平面直角坐标系中的位置，a ＝(x ，y )的坐标(x ，y )既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x ，y )既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x ，y )或向量a ＝(x ，y )．(3)联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同．题型一 求向量的坐标【例1】 如图所示，已知点M (1,2)，N (5,4)，试求MN →的坐标．分析：用基底i 和j 表示MN →＝x i ＋y j ，则(x ，y )是MN →的坐标．反思：向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．特别地，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则MN →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．题型二 由向量共线求参数值【例2】 设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量k a ＋b 与2a ＋k b 共线，求实数k 的值．反思：解答由向量共线求参数值的题目，应由向量共线定理：λa ＋μb ＝0(a ，b 不共线)，则λ＝0，μ＝0列出方程组，再解方程组得参数值．题型三 平面向量的正交分解及坐标表示【例3】 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA |＝43，∠xOA ＝60°，求向量OA →的坐标．反思：求向量的坐标时，将向量的起点平移到坐标原点后，利用三角知识求出终点坐标即可．答案：【例1】 解：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，则MN →＝4i＋2j ，所以MN →的坐标是(4,2)．【例2】 解：∵向量k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴存在实数λ使k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )，即(k －2λ)a ＝(kλ－1)b .∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －2λ＝0，kλ－1＝0k2＝2. ∴k ＝± 2.【例3】 解：设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 60°＝23，y ＝|OA →|sin 60°＝6，即A (23，6)，∴OA →＝(23，6)．1．已知a ＝(3,2x －1)，b ＝(y ＋1，x )，且a ＝b ，则xy ＝________.2．如图所示，向量MN u u u u r 的坐标是________．3．在直角坐标系中，|a |＝4，|b |＝3，a ，b 如图所示，求它们的坐标．答案：1．2 ∵a ＝b ，∴21,31,x x y -=⎧⎨=+⎩解得x ＝1，y ＝2，则xy ＝1×2＝2.2．(2，－3)3．解：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝22a 2＝|a |sin 45°＝22b 向量相对于x 轴正方向转角为120°.∴b 1＝|b |cos 120°＝32-，b 2＝|b |sin 120°＝332. ∴a ＝(2222，b ＝33322⎛- ⎝.。
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
-3
y
如图， i, j是分别与X轴、 Y轴方向相同的单位向量 ， 若以向量i,j为基底，则：
A
C
a
B
j o i
x
对于该平面内的任意向 量a , 有且只有一对实数 x, y, 使得：
a xi y j
a xi y j
① a （x，y）
i (1,0) j (0,1) 0 (0,0)
向量 a的分解 不是唯一的！
e2
a
e1
e4
平行四边形法则
e3
a e1 e2
a e3 e4
如图所示，
重力的分解
F1 F2
G
G F1 F2
向量的分解不是唯一的！ 把一个向量分解为两个互相垂直的向量， 叫做把向量正交分解。
如图，向量i, j是两个互相垂直的单位 向量， 而向量a与i的夹角为30，且 a 4， 以向量i, j为基底，向量a应如何用 i, j来表示？
2.3.2
平面向量的正交分解以及坐标表示
（1）平向量基本定理
（2）基底
如果e1 , e2是同一平面内两个不共 线向量， 那么对于这一平面内的 任意向量a,
有且只有 一对实数1，2，使得：
a 1 e1 2 e2
把不共线的向量 e1 , e2 叫作这一平面内所有向 量a的一组基底！
向量的夹角与垂直:
j
O
a ( x, y)
i
x
x
j 表示向量 a 、 例1:如图，分别用基底 i ， c 、， b、 d 并求出它们的坐标.
A2
解：如图可知
a = AA1 + AA2 = 2i + 3j a = (2, 3)
[精品课件]高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算课件
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【解析】(1)2a+3b=2(-1，2)+3(2，1)
=(-2，4)+(6，3)=(4，7)．
(2)a-3b=(-1，2)-3(2，1)=(-1，2)-(6，3)
=(-7，-1)．
3 1 a 1 b 1 1，2 1 (2，1) ( 1，1) ( 2，1) ( 7，2).
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得 a=_x_i_+y_j_，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标. (3)坐标表示：a=(x，y). (4)特殊向量的坐标：i=__(1_，__0_) _，j=__(0_，__1_) _，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算 设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，λ ∈R，则有下表：
所以
AB (
3，1)，AD ( 1， 3 ).
22
22
答案：( 3，1)
22
( 1， 3) 22
【补偿训练】在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且 |a|=2，|b|=3，|c|=4，分别计算出它们的坐标.
【解题指南】题目中给出了向量a，b，c的模以及与坐标轴的夹角， 要求向量的坐标，先将向量正交分解，把它们分解为横、纵坐标的形 式，然后写出其相应的坐标.
2
22
4
类型三 由相等向量求坐标
【典例】1.(2015·江苏高考)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若
ma+nb=(9，-8)(m，n∈R)，则m-n的值为________.
2.已知A(2，4)、B(-4，6)，若AC 3 AB，BD 4 BA，则 CD的坐标为____.
2
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高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2_2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示、平面向
．平面向量的正交分解及坐标表示．平面向量的坐标运算学习目标.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一平面向量的正交分解思考如果向量与的夹角是°，则称向量与垂直，记作⊥.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答案互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底．梳理把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知识点二平面向量的坐标表示思考如图，向量，是两个互相垂直的单位向量，向量与的夹角是°，且＝，以向量，为基底，如何表示向量?答案＝＋.思考在平面直角坐标系内，给定点的坐标为()，则点位置确定了吗？给定向量的坐标为＝()，则向量的位置确定了吗？答案对于点，若给定坐标为()，则点位置确定．对于向量，给定的坐标为＝()，此时给出了的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此的位置不确定．思考设向量＝()，为坐标原点，若将向量平移到，则的坐标是多少？点坐标是多少？答案向量的坐标为＝()，点坐标为()．梳理()平面向量的坐标①在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底．对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得＝＋.平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对(，)叫做向量的坐标，记作＝(，)．②在直角坐标平面中，＝()，＝()，＝()．()点的坐标与向量坐标的区别和联系思考 设，是分别与轴、轴同向的两个单位向量，若设＝(，)，＝(，)，则＝＋，＝＋，根据向量的线性运算性质，向量＋，－，λ(λ∈)如何分别用基底，表示？ 答案 ＋＝(＋)＋(＋)， －＝(－)＋(－)，λ＝λ＋λ. 梳理 设＝(，)，＝(，)，段的终点的坐标减去始点的坐标．．相等向量的坐标相等．( √ )．在平面直角坐标系内，若(，)，(，)，则向量＝(－，－)．( × ) 提示 ＝(－，－)．．与轴，轴方向相同的两个单位向量分别为：＝()，＝()．( √ )类型一 平面向量的坐标表示例 如图，在平面直角坐标系中，＝，＝，∠＝°，∠＝°，＝，＝.四边形为平行四边形．()求向量，的坐标；()求向量的坐标；()求点的坐标．考点平向向量的正交分解及坐标表示题点利用平面向量的正交分解求向量的坐标解()作⊥轴于点，则＝·°＝×＝，＝·°＝×＝.∴(，)，故＝(，)．∵∠＝°－°＝°，∠＝°，∴∠＝°.又∵＝＝，∴，∴＝＝，即＝.()＝－＝.()＝＋＝(，)＋＝.反思与感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．跟踪训练在平面直角坐标系中，向量，，的方向如图所示，且＝，＝，＝，分别计算出它们的坐标．考点平向向量的正交分解及坐标表示题点利用平面向量的正交分解求向量的坐标解设＝(，)，＝(，)，＝(，)，则＝°＝×＝.＝°＝×＝，＝°＝×＝－，＝°＝×＝，＝(－°)＝×＝，＝(－°)＝×＝－.因此＝(，)，＝，＝(，－)．类型二平面向量的坐标运算例已知＝(－)，＝()，求：()＋；()－；()－.考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算解()＋＝(－)＋()＝(－)＋()＝()．()－＝(－)－()＝(－)－()＝(－，－)．()－＝(－)－()＝－＝.反思与感悟向量坐标运算的方法()若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．()若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．()向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．跟踪训练已知点()，()，向量＝(－，－)，则向量等于( )．(－，－) ．()．(－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析设(，)，则＝(，－)＝(－，－)，即＝－，＝－，故(－，－)，则＝(－，－)，故选.类型三平面向量坐标运算的应用例已知点()，()，()．若＝＋λ(λ∈)，试求λ为何值时：()点在第一、三象限的角平分线上；()点在第三象限内．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解设点的坐标为(，)，则＝(，)－()＝(－，－)，＋λ＝()－()＋λ[()－()]＝()＋λ()＝(＋λ，＋λ)．∵＝＋λ，且与不共线，∴则()若点在第一、三象限角平分线上，则＋λ＝＋λ，∴λ＝.()若点在第三象限内，则∴λ<－.反思与感悟()待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．()坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．跟踪训练已知平面上三点的坐标分别为(－)，(－)，()，求点的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标解当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－－)，且＝，得()．当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－，－)，且＝，得()．当平行四边形为时，设(，)，由＝()，＝(－－－)，且＝，得(－)，故点坐标为()或()或(－).．已知＝()，＝(，－)，则－等于( )．(－) ．(，－)．(－，－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析－＝()－(，－)＝＝(－)．．已知向量＝(，－)，＝(－，－)，则向量的坐标是( )．(－) ．()考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案解析∵＝－＝(－)，∴＝.．已知四边形的三个顶点()，(－，－)，()，且＝，则顶点的坐标为( )．() ．()考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案解析设点坐标为(，)，则＝()，＝(，－)，由＝，得∴，∴.．已知向量＝(，－)，＝()，＝()，若＝＋，则＋＝.考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案解析由于＝＋，即()＝(，－)＋()＝(＋，－＋)，所以＋＝且－＋＝，解得＝，＝，所以＋＝.．已知点()，(－)，且＝，则点的坐标为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标答案()解析设(，)，则(－，－)＝(－)＝(－)，∴＝，＝.．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若(，)，(，)，则＝(－，－)．．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.一、选择题．已知()，()，则的坐标是( )．(，－) ．(－) ．(－) ．(，－)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析＝()－()＝(－)．．已知－＝()，＋＝(，－)，则等于( )．(－，－) ．()．(－) ．(，－)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案．若向量＝()，＝(－)，＝()，则等于( )．－．＋．－＋．＋考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量答案解析设＝＋，则解得∴＝－.．已知两点()，(，－)，则与向量同向的单位向量是( )考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析因为与同向的单位向量为，＝(，－)－()＝(，－)，＝＝，所以＝.．如果将＝绕原点逆时针方向旋转°得到，则的坐标是( )．(－，)考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析因为＝所在直线的倾斜角为°，绕原点逆时针方向旋转°得到所在直线的倾斜角为°，所以，两点关于轴对称，由此可知点坐标为，故的坐标是，故选.．已知(－)，(，－)，点是线段上的点，且＝－，则点的坐标为( )．(－) ．(，－)．() ．()考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标．若α，β是一组基底，向量γ＝α＋β(，∈)，则称(，)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量在基底＝(，－)，＝()下的坐标为(－)，则在另一组基底＝(－)，＝()下的坐标为( ) ．() ．(，－)．(－) ．()考点平面向量坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案解析∵在基底，下的坐标为(－)，∴＝－＋＝－(，－)＋()＝()．令＝＋＝(－＋，＋)，∴解得∴在基底，下的坐标为()．二、填空题．已知平面上三点(，－)，()，(－)，则－的坐标是．考点平面向量的坐标运算题点平面向量的坐标运算答案(－)．已知(－)，(，－)，(－，－)，＝，＝，则的坐标为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标答案(，－)解析＝()＝()，＝()＝()，＝－＝()－()＝(，－)．.向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ(λ，μ∈)，则的值为．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案解析以向量和的交点为原点建立平面直角坐标系，则＝(－)，＝()，＝(－，－)，根据＝λ＋μ得(－，－)＝λ(－)＋μ()，有－λ＋μ＝－，λ＋μ＝－，解得λ＝－且μ＝－，．已知()，()，且＝(α，β)，α，β∈，则α＋β＝. 考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数答案或－解析因为＝(－)＝＝(α，β)，所以α＝－且β＝，∵α，β∈，所以α＝－，β＝或－，所以α＋β＝或－.三、解答题．已知点(－)，()及＝，＝－，求点，和的坐标．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求向量的坐标解设点(，)，(，)，由题意可得＝(＋，－)，＝()，＝(－－－)，＝(－，－)．∵＝，＝－，∴(＋，－)＝()＝()，(－－－)＝－(－，－)＝()，则有和解得和∴，的坐标分别为()和(－)，∴＝(－，－)．．已知＝()，＝(－)，＝()，求＝＋＋，并用基底，表示. 考点平面向量的坐标运算的应用题点用坐标形式下的基底表示向量解＝＋＋＝()＋(－)＋()＝()＋(－)＋()＝()．设＝＋＝()＋(－)＝(－，＋)，与不共线，则有解得∴＝＋.四、探究与拓展．已知点(，－)与(－)，点在直线上，且＝，求点的坐标．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求点的坐标解设点坐标为(，)，＝.当在线段上时，＝.∴(－，＋)＝(－－－)，∴解得∴点坐标为.当在线段延长线时，＝－.∴(－，＋)＝－(－－－)，∴解得综上所述，点的坐标为或(－)．．已知点()，()，()，及＝＋.()为何值时，点在轴上？点在轴上？点在第二象限？()四边形能为平行四边形吗？若能，求值；若不能，说明理由．考点平面向量的坐标运算的应用题点利用平面向量的坐标运算求参数解()＝＋＝()＋()＝(＋＋)，若点在轴上，则＋＝，∴＝－.若点在轴上，则＋＝，∴＝－，若点在第二象限，则∴－<<－.()＝()，＝－＝(－－)．若四边形为平行四边形，则＝，∴该方程组无解．故四边形不能成为平行四边形．。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(难点)2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.(重点)3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.(易混点)[基础·初探]教材整理1 平面向量的正交分解及坐标表示 阅读教材P 94～P 95内容，完成下列问题. 1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示.显然，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若OA →＝(2，－1)，则点A 的坐标为(2，－1).( )(2)若点A 的坐标为(2，－1)，则以A 为终点的向量的坐标为(2，－1).( ) (3)平面内的一个向量a ，其坐标是唯一的.( )【解析】 (1)正确.对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表示相同. (2)错误.以A 为终点的向量有无数个，它们不一定全相等. (3)正确.由平面向量坐标的概念可知. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 教材整理2 平面向量的坐标运算阅读教材P 96“思考”以下至P 97例4以上内容，完成下列问题.1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.2.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.3.若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.4.向量坐标的几何意义：图2313在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝(x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1).如图2313所示.1.已知a ＝(2,1)，b ＝(3，－2)，则3a －2b 的坐标是( ) A.(0，－7) B.(0,7) C.(－1,3)D.(12，－1)【解析】 3a －2b ＝3(2,1)－2(3，－2) ＝(6,3)－(6，－4)＝(0,7). 【答案】 B2.已知A (3,1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( ) A.(－2，－1) B.(2,1) C.(1,2)D.(－1，－2) 【解析】 BA →＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2). 【答案】 C[小组合作型]平面向量的坐标表示(1)已知AB →＝(1,3)，且点A (－2,5)，则点B 的坐标为( )A.(1,8)B.(－1,8)C.(3,2)D.(－3,2)(2)如图2314，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC →＝________；OD →＝________.图2314图2315(3)如图2315，已知在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求点B 和点D 的坐标和AB →与AD →的坐标.【精彩点拨】 表示出各点的坐标→用终点坐标减去起点坐标→得相应向量的坐标 【自主解答】 (1)设B 的坐标为(x ，y )，AB →＝(x ，y )－(－2,5)＝(x ＋2，y －5)＝(1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝1，y －5＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝8，所以点B 的坐标为(－1,8).(2)如题干图，OC →＝－OA →＝－(－1，－1)＝(1,1)， 由正方形的对称性可知，B (1，－1)，所以OB →＝(1，－1)， 同理OD →＝(－1,1).【答案】 (1)B (2)(1，－1) (1,1) (－1,1)(3)由题意知B, D 分别是30°，120°角的终边与以点O 为圆心的单位圆的交点.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2).由三角函数的定义，得x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12， 所以B ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. x 2＝cos 120°＝－12，y 2＝sin 120°＝32， 所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.[再练一题]1.已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标. 【导学号：00680048】【解】 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)， ∴C (1，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)， BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.平面向量的坐标运算(1)设AB →＝(2,3)，BC →＝(m ，n )，CD →＝(－1,4)，则DA →等于( ) A.(1＋m,7＋n ) B.(－1－m ，－7－n )C.(1－m,7－n )D.(－1＋m ，－7＋n )(2)已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32 D.(8,1)(3)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标.【精彩点拨】 (1)可利用向量加法的三角形法则将DA →分解为DC →＋CB →＋BA →来求解. (2)可借助AB →＝OB →－OA →来求12AB →坐标.(3)可利用AB →＝(x B －x A ，y B －y A )来求解. 【自主解答】 (1)DA →＝DC →＋CB →＋BA →＝－CD →－BC →－AB →＝－(－1,4)－(m ，n )－(2,3) ＝(－1－m ，－7－n ). (2)12A B →＝12(OB →－OA →) ＝12[]－5，－－，－＝12(－8,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，∴12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12. 【答案】 (1)B (2)A(3)∵AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)，AC →＝(－10,14)， ∴AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4) ＝(－2,10)＋(－16,8) ＝(－18,18)， BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7) ＝(－3，－3).平面向量坐标的线性运算的方法：若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.[再练一题]2.已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【解】 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).(2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，23. [探究共研型]向量坐标运算的综合应用探究1 已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →.当t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？【提示】 ∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t ). 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0， ∴t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， ∴t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.探究2 对于探究1条件不变，四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由.【提示】 ∵OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t ). 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解.故四边形不能成为平行四边形.已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10).若A P →＝A B →＋λA C →(λ∈R )，试求λ为何值时，(1)点P 在一、三象限角平分线上；(2)点P 在第三象限内. 【导学号：70512032】【精彩点拨】 解答本题可先用λ表示点P 的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解.【自主解答】 设点P 的坐标为(x ，y )， 则A P →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)，A B →＋λ·A C →＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ). ∵A P →＝A B →＋λA C →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.(1)若P 在一、三象限角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12，∴λ＝12时，点P 在一、三象限角平分线上.(2)若P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.当λ<－1时，点P 在第三象限内.1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.2.坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.[再练一题]3.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图2316所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.图2316【解析】 以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3).由c ＝λa ＋μb ，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.【答案】 41.已知OA →＝(4,8)，OB →＝(－7，－2)，则3AB →＝( ) A.(－9,18) B.(9，－18) C.(－33，－30)D.(33,30)【解析】 3AB →＝3(OB →－OA →)＝3[(－7，－2)－(4,8)]＝(－33，－30). 【答案】 C2.若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( ) A.(5,3) B.(4,3) C.(8,3)D.(0，－1)【解析】 3a ＋2b ＝3(2,1)＋2(1,0)＝(8,3). 【答案】 C3.若向量AB →＝(1,2)，BC →＝(3,4)，则AC →等于( ) A.(4,6) B.(－4，－6) C.(－2，－2)D.(2,2)【解析】 由AC →＝AB →＋BC →＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6).故选A. 【答案】 A4.已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________.【导学号：00680049】【解析】 AB →＝(3，－4)，则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－455.已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求MN →的坐标. 【解】 因为A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，所以CA →＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)， CB →＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，所以CM →＝3CA →＝(3,24)，CN →＝2CB →＝(12,6).设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，所以M (0,20)，同理可得N (9,2)， 所以MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18).。
2021_2022学年高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量
(1)2a+3b;(2)a-3b;(3) 1 a- 1 b. 23
解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7). (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).
(3) 1 a- 1 b= 1 (-1,2)- 1 (2,1)=(- 1 ,1)-( 2 , 1 )=(- 7 , 2 ).
3.平面向量的坐标运算
向量的 加、减法
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2) ,a-b= (x1-x2,y1-y2) ,即两个向量和(差)的坐标分
别等于这两个向相量应坐标
的和(差)
实数与向 量的积
若a=(x,y),λ∈R,则λa=(λx,λy) ,即实数与向量 的积的坐标等于用这个实数乘原来向量相的应坐标
232
3
2
33
63
题型三 平面向量坐标运算的应用 [例 3] 已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5),及 OP = OA +t AB . (1)t 为何值时,点 P 在 x 轴上?点 P 在 y 轴上?点 P 在第二象限?
解:(1) OP = OA +t AB =(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t),
思考1:与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点? 提示:与x轴平行的向量的纵坐标为0,即a=(x,0);与y轴平行的向量的横坐 标为0,即b=(0,y).
思考 2:已知向量 OM =(-1,-2),M 点的坐标与 OM 的坐标有什么关系?
提示:坐标相同但写法不同: OM =(-1,-2),而 M(-1,-2).
全国通用高中数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2平面向量的正交分解及坐标
（全国通用版）2018-2019高中数学第二章平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算检测新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2018-2019高中数学第二章平面向量2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算检测新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二章2。
3 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2。
3.3 平面向量的坐标运算A级基础巩固一、选择题1．已知错误!＝（2，3），则点N位于( D ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．不确定［解析］因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定．2．设A（1，2)，B(4,3），若向量a＝(x＋y，x－y）与错误!相等，则( C ）A．x＝1，y＝2 B．x＝1，y＝1C．x＝2,y＝1 D．x＝2，y＝2[解析］错误!＝(3，1)与a＝(x＋y，x－y)相等,则错误!。
∴x＝2，y＝1．3．向量错误!＝(2x，x－1），O为坐标原点,则点A在第四象限时，x的取值范围是（ D ）A．x〉0 B．x〈1C．x〈0或x>1 D．0<x〈1[解析]由A点在第四象限，所以错误!,解得0<x<1．4．已知向量a，b满足a＋b＝（1，3)，a－b＝（3，－3),则a，b的坐标分别为( C ) A．(4,0），(－2,6）B．（－2，6），(4，0）C．(2,0），（－1，3）D．（－1,3），（2，0）［解析]2a＝(a＋b)＋（a－b）＝（4,0），于是a＝(2,0），所以b＝（－1,3）．5．已知错误!＝a，且A错误!,B错误!,又λ＝错误!,则λa等于( A ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析]a＝错误!＝错误!－错误!＝错误!，λa＝错误!a＝错误!,故选A．6．已知向量a＝（1，2），b＝(3,1），c＝(11,7），若c＝k a＋l b，则k、l的值为( D ) A．－2,3 B．－2，－3C．2，－3 D．2,3［解析]利用相等向量的定义求解．∵a＝（1,2），b＝(3，1），c＝(11,7),∴（11,7）＝k(1,2）＋l(3,1),即错误!，解得：k＝2，l＝3．二、填空题7．若O（0，0)、A(1，2）且错误!＝2错误!，则A′的坐标为__（2,4)__．［解析］A′(x，y），错误!＝(x，y),错误!＝（1,2），∴（x,y）＝2（1,2）＝(2，4)．8．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若错误!＝(2，4），错误!＝(1，3),则错误!＝__（－3，－5)__．［解析］∵BD→＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝（错误!－错误!)－错误!＝错误!－2错误!＝（1,3）－2(2，4）＝(－3，－5）．三、解答题9．已知O是坐标原点,点A在第一象限，|错误!｜＝4错误!，∠xOA＝60°．(1)求向量错误!的坐标．(2）若B(错误!，－1），求错误!的坐标．［解析]（1）设点A（x，y)，则x＝4错误!cos60°＝2错误!，y＝4错误!sin60°＝6，即A（23，6),错误!＝(2错误!,6)．(2)错误!＝（2错误!，6）－(错误!，－1）＝（错误!，7）．10．已知点O（0,0)，A(1，2)，B(4，5)及错误!＝错误!＋t错误!．（1)t为何值时,点P在x轴上?点P在y轴上？点P在第二象限？（2）四边形OABP能成为平行四边形吗？若能,求出相应的t值；若不能，请说明理由．［解析]（1）错误!＝错误!＋t错误!＝（1＋3t,2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0⇒t＝－错误!；若点P在y轴上，则1＋3t＝0⇒t＝－错误!;若点P在第二象限,则错误!解得－错误!<t〈－错误!．（2）错误!＝（1，2），错误!＝（3－3t，3－3t）．若四边形OABP为平行四边形,需OA→＝错误!，于是错误!此方程组无解．故四边形OABP不能成为平行四边形．B级素养提升一、选择题1．若向量a＝（x，1），b＝(－x，x2），则向量a＋b满足( C ）A．平行于x轴B．平行于第一、三象限角的平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限角的平分线[解析]∵a＋b＝(0,x2＋1)，∴向量a＋b满足平行于y轴．2．已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设错误!＝(x2＋x＋1）i－(x2－x＋1)j(其中x∈R），则点A位于（ D )A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵x2＋x＋1>0,－(x2－x＋1）〈0,∴点A位于第四象限,故选D．3．设向量a＝(1,－3），b＝(－2，4），c＝(－1,－2),若表示向量4a，4b－2c,2（a－c），d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为（ D ）A．（2，6) B．(－2,6)C．（2，－6) D．(－2,－6)[解析]由题意，得4a＋4b－2c＋2（a－c）＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c）＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6）．4．在△ABC中，已知A（2,3），B（6，－4），G（4，－1)是中线AD上一点,且|错误!|＝2|错误!|，那么点C的坐标为( C )A．(－4，2）B．（－4,－2)C．(4，－2）D．(4,2）[解析]由题意,知点G是△ABC的重心，设C(x，y），则有错误!解得错误!故C（4，－2)．二、填空题5．已知两点M (3，－2），N （－5，－1），点P 满足错误!＝错误!错误!,则点P 的坐标是 （－1，－32） ． [解析] 设P (x ,y )，则MP ，→＝（x －3,y ＋2），错误!＝(－8，1）．∵错误!＝错误!错误!，∴（x －3,y ＋2）＝错误!(－8，1）．即⎩⎨⎧ x －3＝－4y ＋2＝12，解得错误!，∴P （－1，－错误!)． 6．设向量错误!绕点O 逆时针旋转错误!得向量错误!，且2错误!＋错误!＝(7，9），且向量错误!＝ 错误! ． [解析］ 设错误!＝(m ，n ）,则错误!＝（－n ，m )，所以2错误!＋错误!＝(2m －n ，2n ＋m ）＝(7,9)，即错误!解得错误!因此，错误!＝错误!．三、解答题7．已知点A (2,3），B (5,4)，C （7,10)及AP ，→＝错误!＋λ错误!（λ∈R )．(1)λ为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上?(2）若点P 在第三象限内，求λ的取值范围．（3）四边形ABCD 能成为平行四边形吗?若能，求出相应的λ的值;若不能，请说明理由．[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，则错误!＝（x －2，y －3），错误!＝(3，1)，错误!＝(5，7)．∵错误!＝错误!＋λ错误!，∴（x －2,y －3）＝（3,1）＋λ（5,7），即错误!∴P (5λ＋5,7λ＋4）．(1）当点P 在第一、三象限的角平分线上时,由5λ＋5＝7λ＋4得λ＝错误!．（2)当点P 在第三象限时，由错误!得λ〈－1．（3)错误!＝(3，1),错误!＝(2－5λ,6－7λ)．若四边形ABCP 为平行四边形，需错误!＝错误!,于是错误!方程组无解，故四边形ABCP不能成为平行四边形．8．已知点A(－1,2），B(2,8)，及错误!＝错误!错误!，错误!＝－错误!错误!，求点C、D和错误!的坐标．[解析]设点C、D的坐标分别为（x1，y1），(x2,y2)，则错误!＝(x1＋1,y1－2），错误!＝（3，6），错误!＝（－1－x2，2－y2)，错误!＝（－3，－6)．∵错误!＝错误!错误!,错误!＝－错误!错误!，∴（x1＋1，y1－2)＝错误!(3，6）,（－1－x2，2－y2）＝－错误!(－3，－6)，即（x1＋1，y1－2）＝（1，2），（－1－x2,2－y2)＝（1，2）．∴错误!错误!∴错误!错误!∴点C、D的坐标分别为（0,4）和（－2,0）．因此错误!＝(－2，－4）．C级能力拔高已知向量u＝（x，y）与向量ν＝（y，2y－x）的对应关系用ν＝f(u)表示．（1)求证：对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f(m a＋n b）＝mf（a)＋nf（b）成立;(2)设a＝（1,1)，b＝(1,0)，求向量f（a)及f（b)的坐标;(3)求使f（c）＝（p，q)(p、q为常数）的向量c的坐标．[解析］(1）证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1,b2)，则m a＋n b＝（ma1＋nb1，ma2＋nb2），∴f（m a＋n b）＝(ma＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1），mf(a)＋nf（b)＝m(a2,2a2－a1)＋n（b2,2b2－b1）2＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．∴f(m a＋n b)＝mf(a）＋nf（b)成立．（2）f（a）＝（1,2×1－1）＝（1,1)，f（b)＝（0，2×0－1)＝(0，－1)．(3)设c＝（x，y)，则f（c）＝(y,2y－x)＝（p，q）．∴y＝p，2y－x＝q。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算教案新人教A
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算1.知识与技能(1)理解平面向量的坐标概念.(2)掌握平面向量的坐标运算.2.过程与方法通过对平面向量的正交分解方法的探究过程,培养学生的发现问题、解决问题的能力,通过对平面向量的坐标表示,培养学生数形结合的思想方法.3.情感、态度与价值观通过对本节的学习和运用实践,培养学生的探索精神和应用意识,学会用数学的方式解决问题、认识世界.重点:平面向量的坐标运算.难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性.【例】已知向量u=(x,y)和v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.(1)若a=(1,1),b=(1,0),试求向量f(a)及f(b)的坐标;(2)求使f(c)=(4,5)的向量c的坐标;(3)对于任意向量a,b及常数λ,μ,证明:f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)恒成立.分析:按照v=f(u)进行向量的运算和证明.(1)解:由题意知,当a=(1,1)时,f(a)=(1,2×1-1)=(1,1).当b=(1,0)时,f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).(2)解:设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(4,5),푦=4, 푥=3,则{2푦-푥=5,解得{푦=4,即c=(3,4).(3)证明:设任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则λa+μb=(λx1+μx2,λy1+μy2),所以f(λa+μb)=(λy1+μy2,2(λy1+μy2)-(λx1+μx2)).又f(a)=(y1,2y1-x1),f(b)=(y2,2y2-x2),所以λf(a)+μf(b)=λ(y1,2y1-x1)+μ(y2,2y2-x2)=(λy1+μy2,2(λy1+μy2)-(λx1+μx2))=f(λa+μb).所以f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)恒成立.1变式训练已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设퐴퐵=a,퐵퐶=b,퐶퐴=c,且퐶푀=3c,퐶푁=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=m b+n c的实数m,n;(3)求M,N的坐标及푀푁的坐标.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵m b+n c=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),∴{-6푚+푛=5,-3푚+8푛=-5, 푚=-1,解得{푛=-1.(3)∵퐶푀=푂푀―푂퐶=3c,∴푂푀=3c+푂퐶=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).∴M(0,20).又퐶푁=푂푁―푂퐶=-2b,∴푂푁=-2b+푂퐶=(12,6)+(-3,-4)=(9,2).∴N(9,2).∴푀푁=(9,-18).2。
教学设计1：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
必修四第二章 平面向量2.3.2 平面向量的坐标运算教学目的：知识目标：掌握平面向量的正交分解及坐标表示通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量. 能力目标：让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法.情感目标：通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求.教学重点：平面向量的正交分解及坐标表示教学难点：平面向量的正交分解及坐标表示教学过程：导入新课一、复习提问：1．复习向量相等的概念 相等向量OA =BC ，方向相同，大小相等.2．平面向量的基本定理（基底）a =λ11e +λ22e ,其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.二、新课：1．正交分解的物理背景及其概念图2.3－6（P105），光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的F 1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F 2，G ＝F 1＋F 2，叫做把重力G 分解.由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量a =λ11e +λ22e . 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2．平面向量的坐标表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ，记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标，这就叫做向量的坐标表示.i ＝（1,0），j ＝（0,1），0＝（0,0）例2 如图，分别用基底i , j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标.解：由图可知：12AA AA =+a ＝2i ＋3j,所以，a ＝（2,3）,同理，有： b ＝－2i ＋3j ＝（－2,3）, c ＝－2i －3j ＝（－2,－3）, d ＝2i －3j ＝（2,－3）.3．平面向量的坐标运算（1）已知a (x 1, y 1)，b (x 2, y 2)，求a + b ，a - b 的坐标；（2）已知a (x, y)和实数λ,求λa 的坐标.解：a + b =(x 1 i +y 1 j )+( x 2 i +y 2 j )=(x 1+ x 2) i + (y 1+y 2) j即：a + b =(x 1+ x 2, y 1+y 2),同理：a - b =(x 1- x 2, y 1-y 2).应用示例例1 如图4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量HF AM 和.活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励. 解:由H 、M 、F 所在位置,有+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 21=b +21a .AD AD AB AD BC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-= =a 61-b . 点评:以a 、b 为基底分解向量AM 与HF ,实为用a 与b 表示向量AM 与HF . 变式训练已知向量e 1、e 2,求作向量-2.5e 1+3e 2.作法:(1)如图,任取一点O,作OA =-2.5e 1,OB =3e 2. (2)作OACB.故OC OC 就是求作的向量.变式训练i ,j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值. 解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ,又∵A 、B 、D 三点共线,∵向量AB 与BD 共线.因此存在实数υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量,故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v ∵⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∵当A 、B 、D 三点共线时,λ=3. 例 2 下面三种说法:∵一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;∵一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;∵零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.∵∵B.∵∵C.∵∵D.∵∵∵活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,∵∵正确. 答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.例1 如图,M 是∵ABC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN .活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0. 推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+=∵由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0.∵CM BN NM AN 323+++=0.又∵A 、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ==∵=+++NM BN NM BN μλ3230.∵(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0.由于BN 和NM 不共线,∵⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∵⎩⎨⎧-=-=12μλ∵.MN NM CM =-=∵CM MN CM CN 2=+==2a .点评:这里选取NM BN ,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决. 变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值. 解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ解之,得λ=1,μ=-1. 例2 如图,∵ABC 中,AD 为∵ABC 边上的中线且AE=2EC,求GEBG GD AG 及的值.活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值.解:设μλ==GEBG GD AG , ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD , ∵AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ), ∵AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC . ∵ 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ), ∵(1+μ)AG =AB +μAG AE ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32AC ,∵AG =AB μ+11+)1(32μμ+AC . ∵ 比较∵∵,∵AB 、AC 不共线,∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∵.23,4==GE BG GD AG 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.变式训练过∵OAB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q,设OP =h OA ,OB k OQ =,试证:311=+kh 解:设OA =a ,OB =b ,OG 交AB 于D,则OD =21(OB OA +)=21(a +b )(图略). ∵OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-kb=31a +331k -b , OQ OP QP -==h a -k b .∵P 、G 、Q 三点共线,∵QP QG λ=. ∵31a +331k -b =λha -λkb .∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得.3311hk h k k h k =+⇒-=-, ∵kh 11+=3. 知能训练1.已知G 为∵ABC 的重心,设AB =a ,AC =b ,试用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x +3,x 2-3x -4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x .解答:1.如图,AG =32AD ,而=+=+=BC AB BD AB AD 21a +21(b -a )=21a +21b , ∵3232==AD AG (21a +21b )=31a +31b .点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义. 2.∵A(1,2),B(3,2),∵AB =(2,0).∵a =AB ,∵(x +3,x 2-3x -4)=(2,0).∵⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或 ∵x =-1.点评:先将向量AB 用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决.五、小结：取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ，记作：a =(x , y ) 称作向量a 的坐标，这就叫做向量的坐标表示.课后作业板书设计：。
高中数学第二章平面向量2.3.2、3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算aa高一数学
∴D→F＝－F→D＝－12A→D＝－12－72，－4＝74，2.
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1．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝
(D )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
[目标] 1.能用坐标表示向量，知道平面向量基本定理中向量 与有序实数对的一一对应关系． 2.会两个向量的和差及实数与 向量积的坐标表示．
[重点] 平面向量的正交分解及坐标表示． [难点] 平面向量的坐运算．
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要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
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向量的坐标运算主要利用向量的加、减及数乘运算法则进 行，解题的关键是由已知的有向线段两个端点的坐标求出相应向 量的坐标.
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[变式训练 3] 如图，在△ABC 中，已知 A(7,8)，B(3,5)， C(4,3)，M，N，D 分别是 AB，AC，BC 的中点，且 MN 与 AD 交于点 F，求D→F的坐标．
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[解] 方法 1(利用平行四边形对边对应的向量相等，即A→D＝ B→C)如图①，设顶点 D 的坐标为(x，y)，在▱ABCD 中，A→D＝B→C，
又A→D＝(x＋2，y－1)，B→C＝(4,1)， ∴(x＋2，y－1)＝(4,1)， 即xy＋ －21＝ ＝41， ， 解得xy＝＝22，， ∴顶点 D 的坐标为(2,2)．
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高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解
2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示【学习目标】1.了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【新知自学】知识回顾：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2；使得 给定基底，分解形式惟一. λ1，λ2由a，1e ，2e 唯一确定2. 向量的夹角:已知两个非零向量a 、b，作a A O ，b B O ，则∠AOB＝ ，叫向量a 、b的夹角，当 = ，a 、b 同向；当 = ，a 、b反向（同向、反向通称平行）；当 = °，称a 与b 垂直，记作a b。
新知梳理：由前面知识知道，平面中的任意一个向量都可以用给定的一组基底来表示；当然也可以用两个互相垂直的向量来表示，这样能给我们研究向量带来许多方便。
1．平面向量的正交分解：把向量分解为两个 的向量。
思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？2．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i r 、j r作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a =x i r +y j r………○1 我们把),(y x 叫做向量a的（直角）坐标，记作a =(x,y)………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，i r =(1,0) j r=(0,1)，0r =(0,0).3. 在平面直角坐标系中,一个平面向量和其坐标是一一对应的。
如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA u u u r =a，则点A 的位置由a唯一确定.设OA u u u r =x i r +y j r ，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.yxOA对点练习：1. 如图，向量i r 、j r是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i r 的夹角是30°，且|a|=4，以向量i r 、j r 为基底，向量a=_________2. 在平面直角坐标系下，起点是坐标原点O ，终点A 落在直线x y 上，且模长为1的向量OA u u u r的坐标是___________【合作探究】典例精析：例1：请写出图中向量OA ,OB ,BC 的坐标变式1：请在平面直角坐标系中作出向量、，其中=（1,-3）、=（-3，-1）.例2:如图所示，用基底i r 、j r 分别表示向量a 、b r 、c r 、d ur 并求出它们的坐标。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件新人教A版必修4
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 所以C→M＝(x1＋3，y1＋4)＝(3，24)， C→N＝(x2＋3，y2＋4)＝(12，6)， 所以xy11＋＋43＝＝234，，xy22＋＋43＝＝61.2，解得xy11＝＝200，，xy22＝＝29.， 所以 M(0，20)，N(9，2)． 法二：设 O 为坐标原点，则由C→M＝3 C→A，C→N＝2 C→B，
2．平面向量的坐标运算
(1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则 ①a＋b＝___(x_1_＋__x_2_，__y_1＋__y_2_) _； ②a－b＝__(_x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2)__； ③λ a＝__(_λx_1_，__λ_y_1)__．
(2)重要结论：已知向量A→B的起点 A(x1，y1)，终点 B(x2，y2)，则A→B ＝____(_x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1)_____． ■名师点拨
【解】 (1)设点 A(x，y)，则 x＝|O→A|cos 60°＝4 3cos 60°＝2 3， y＝|O→A|sin 60°＝4 3sin 60°＝6， 即 A(2 3，6)，所以O→A＝(2 3，6)． (2)B→A＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7)．
求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的 坐标． (2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终 点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
解：由题图知：CB⊥x 轴，CD⊥y 轴， 因为 AB＝4，AD＝3，所以A→C＝4i＋3j， 所以A→C＝(4，3)． 因为B→D＝B→A＋A→D＝－A→B＋A→D， 所以B→D＝－4i＋3j，所以B→D＝(－4，3)．
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
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2。
3。
2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3。
3平面向量的坐标运算1。
知识与技能（1)理解平面向量的坐标概念.(2）掌握平面向量的坐标运算。
2。
过程与方法通过对平面向量的正交分解方法的探究过程,培养学生的发现问题、解决问题的能力,通过对平面向量的坐标表示,培养学生数形结合的思想方法.3。
情感、态度与价值观通过对本节的学习和运用实践,培养学生的探索精神和应用意识,学会用数学的方式解决问题、认识世界.重点:平面向量的坐标运算.难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.【例】已知向量u=（x，y）和v=(y,2y—x)的对应关系可用v=f（u）表示.（1)若a=(1,1),b=（1,0)，试求向量f（a)及f(b）的坐标;(2）求使f（c)=(4,5)的向量c的坐标;（3）对于任意向量a,b及常数λ，μ，证明:f(λa+μb）=λf(a)+μf（b)恒成立.分析：按照v=f(u）进行向量的运算和证明.(1)解：由题意知，当a=（1,1)时，f（a)=（1，2×1—1）=(1，1）。
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2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示
【学习目标】
1.了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；
2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
3.能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【新知自学】
知识回顾：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个 向量，那么
对于这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数λ1，λ2；使得 给定基底，分解
形式惟一. λ1，λ2由a
，1e ，2e 唯一确定
2. 向量的夹角:已知两个非零向量a 、b
，作a A O =，b B O =，则∠AOB＝θ，叫向量a 、b
的夹角，
当θ= ，a 、b 同向；当θ= ，a 、b 反向（同向、反向通称平行）；
当θ= °，称a 与b 垂直，记作a
⊥b 。
新知梳理：
由前面知识知道，平面中的任意一个向量都可以用给定的一组基底来表示；当然也可以用两个互相垂直的向量来表示，这样能给我们研究向量带来许多方便。
1．平面向量的正交分解：把向量分解为两个 的向量。
思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？
2．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得
a
=x i +y j ………○
1 我们把),(y x 叫做向量a
的（直角）坐标，记作
a
=(x,y)………○
2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a
在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a
相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .
特别地，i =(1,0) j =(0,1)，0=(0,0).
3. 在平面直角坐标系中,一个平面向量和其坐标是一一对
应的。
如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA =a
，则
点A 的位置由a
唯一确定.
设OA =x i +y j ，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.
对点练习：
1. 如图，向量i 、j 是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i 的夹角是30°，且|a
|=4，以向量i 、j 为基底，
向量a
=_________
2. 在平面直角坐标系下，起点是坐标原点O ，终点A 落在直线x y 上，且模长为1的向量OA 的坐标是___________
【合作探究】
典例精析：
例1：请写出图中向量OA ,OB ,BC 的坐标
变式1：请在平面直角坐标系中作出向量a 、b ，其中a =（1,-3）、b =（-3，-1）.
例2:如图所示，用基底i 、j 分别表示向量a
、b 、c 、d 并求出它们的坐标。
变式2：已知O 为坐标原点，点A 在第一象限，34||=，0
60=∠xOA ，求向量的坐标
【课堂小结】
向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义。
将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标。
【当堂达标】
1、已知力F 在水平方向与竖直方向的分力分别是4和3，则力F 的实际大小是__________，若水平方向为x 轴的正方向，竖直方向为y 轴的正方向，则力的坐标表示是______________
2、若y x +=，（i ，为单位向量），则OA 的坐标（x ，y ）就是____的坐标，即若=（x ，y ），则点A 的坐标就是_______________。
3、如右图：|OA|=4,B(1,2),求向量,,AC CB OC 的坐标。
【课时作业】
1．设i 、j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且
42OA i j =+， 34OB i j =+，则△OAB 的面积等于（ ）
A 、15
B 、10
C 、7.5
D 、5
2、在平面直角坐标系中，A （2,3），B(-3,4)，如图所示，x 轴，y 轴上的两个单位向量分别是和，则下列说法正确的是__________ ①OA =2i +3j ;②OB =3i +4j ;
③AB =-5i +j ;④BA =5i -j .
3、如图所示的直角坐标系中，四边形OABC 为等腰梯形，BC ‖OA ，OC=6，0
60=∠AOC ，则用坐标表示下列向量：=_______________；=______________；
=______________；=______________；
4.在直角坐标系xoy 中，向量,,a b c 的方向如图所示，且||2,||3,||4a b c ===，分别写出他们的坐标。
5.如图，已知O 为坐标原点，点A 在第一象限，||43OA =0
60xoA ∠=，求向量OA 的坐标。
【延伸探究】
在平面直角坐标系中，A （1,1），B （
-2,4），则向量
O
c
b
a
030
045 030
y
x
O
x
A
y。