北约自主招生数学试题及答案
2012年北约自主招生数学真题及参考答案 2
2012年北约自主招生数学试题
1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；
2、求1210272611=+-++
+-+x x x x 的实数根的个数；
3、已知0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为
4
1的等差数列，求n m -；
4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；
5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。
6、在2012,,2,1 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？
7、求使得a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解的a ；
8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；
9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s
2012年自主招生北约联考数学试题解答
2013年北约自主招生数学试题与答案(完整版)
(
)
(1) (2) (3) ,有非 0 有理数解. (4) (5)
（6） （7） （8）
由（7） − （5）得: a = 0 ,代入（7） 、 （8）得: b = c = 0 ,代入（1） 、 （2）知: d = e = 0 . 于是知 a = b = c = d = e = 0 ,与 a , b , c , d ,e 不全为 0 矛盾.所以不存在一个次数不超过4 的有理系数多 项式 g ( x ) ,其两根分别为 2 和 1 − 综上所述知,以 2 和 1 −
2 2
y 则 x 2 = 2 x + 5 ,解得 x = 1 ± 6 .于是知 x = y = 1+ 6 或 x = y = 1 − 6 .
当 x = y = 1 + 6 时,
x 3 − 2 x 2 y 2 + y 3 = −4 xy + 15( x + y ) − 50 = −4 x2 − 30 x − 50 = −4( x2 − 2x − 5) − 38x − 70
第 2 页 共 5 页
所以数列 { an } : a1 = 1, a2 = 5, a n +2 = 4 a n +1 − 4 a n . 又 an +2 = 4an +1 − 4an ⇔ an +2 − 2 an +1 = 2( an +1 − 2 an ) .令 bn = an +1 − 2 an , 则 bn +1 = 2bn , b1 = a2 − 2 a1 = 3 ,所以 bn = 3 ⋅ 2 对 an +1 − 2an = 3 ⋅ 2 n −1 ,两边同除以 2 n +1 ,有
北约专题及答案解析
BD 的方程为 2 x1 x 2 y1 y ．
2 y1 , 0) ． 2 x1
2 y1 2 y2 1 x12 1 x2 2 ． 2 x1 2 x2 2 x1 2 x2
SECD SECD
1 CD (1 x1 x2 ) ．不妨设 x1 a 0 ， x2 b 0 ，则 2 1 1 a 2 1 b2 1 1 1 ( )(1 ab) (2a 2b a 2 b ab 2 ) 4 a b 4 a b
其 对 称 轴 为 t
2
1 2 cos 1 ≤ ． 5 4 cos 3 1 2 cos 1 1 2 cos 1 2 当 0≤ ． ≤ 时， t0 (0, ) ，解得 5 4 cos 3 5 4 cos 5 2 3 1 ≤
6
cos 6 6cos 4 15cos 2 的值
10.已知有 mn 个实数，排列成 m n 阶数阵，记作 aij
m n
使得数阵的每一行从左到右
都是递增的， 即对任意的 i 1, 2, , 2013 ，当 j1 j2 时， 有 aij1 aij2 ；现将 aij
厦门一中 2011 级自主招生辅导讲义—数学—黄昌毅
2010 年“北约”自主招生数学试题
1． （仅文科做） 0
2011年---2013“北约”、“华约”自主招生数学试题
2011年“北约”13校联考自主招生数学试题
2012年北约自主招生数学试题
1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；
2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；
3、已知0)2)(2(2
2
=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为4
1
的等差数列，求n m -；
4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；
5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。
6、在2012,,2,1Λ中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？
7、求使得a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解的a ； 8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；
9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s
2012年自主招生北约联考数学试题解答
2013年北约自主招生数学试题解析
12312为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？
解析：显然，多项式23
()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦2
和312-于是知，2和312为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5. 若存在一个次数不超过4的有理系数多项式4
3
2
()g x ax bx cx dx e =++++，其两根分别为
和1,,,,
a b c d e不全为0，则：
420
(42)(20
2014北约自主招生数学试题
2014北约自主招生试题
1. 圆心角为3
π的扇形面积为π6，求它围成圆锥的表面积.
2. 将10个人分成3组，一组4人，两组每组各3人，求共有几种分法.
3. 已知)2014(,7)4(,1)1(,3)(2)(32f f f b f a f b a f 求==+=⎪⎭
⎫
⎝⎛+.
4. ()的取值范围，求的值域为a R a x f +=ax 2-x lg )(2.
5. 已知的取值范围都为负实数，求，且xy xy y x y 1,1x +-=+.
6.
C x x x f +-+=4122arctan )(在⎪⎭
⎫ ⎝⎛4141-，上为奇函数,求C 的值.
一、求证：Q ∈︒3tan .
二、已知实系数二次函数)(x f 与)(x g ，)()(x g x f =和0)()(3=+x g x f 有两重根，）（x f 有两相异实根，求证：)(x g 没有实根.
三、1321a a a ，是等差数列，{}131|a ≤≤++=k j i a a M k j i ＜＜问：3
16270，，是否可以同时在M 中，并证明你的结论.
四、）（＞n i i 2,10x =，11=∏=n i i
x ，求证：n n 1122∏=+≥+i i x ）（）（ .
2014 年北约自主招生数学试题(理科)与答案
选择题（每题 8 分，共 48 分）
1. 设扇形的圆心角为 60 ，面积为 6 ，将它围成一个圆锥，则此圆锥的表面积是（ ）
A． 13 2
B． 7
C． 15 2
D． 8
2. 10 个人分成 3 组，每组人数分别为 3，3，4，则不同的方法有_______种． （ ）
解将所333析第以aaa111 一，：（trs、tddd反二r证10式7236）3作．2假．差设所可得以结同果时与存第在一，、显三然式公作差差d所得0 结．果则相存比在可正知整：数
r
t s
，s，t r 32 r 21
满足： ．
但是，由于 r ， s ， t 均是 1，2，3，…，13 中三个不同数字之和，故 6 r, s,t 36 ． 不可能出现 t r 32 ．所以 0 ， 7 ， 16 不可以同时属于 M ．
2 et
4 / 76
C
成为区间
1 4
,
1 4
上的奇函数的常数 C
的值为（
）
A． 0
B． arctan 2
C． arctan 2
D．不存在
解答题（每题 18 分，共 72 分） 7. 证明 tan 3 为无理数．
8. 设实二次函数 f x ， g x 满足方程 3 f x g x 0 ， f x g x 0 都只有一对重 根，已知 f x 0 有两个不同实根，证明 g x 0 没有实根．
北京大学(北约)2010~2014自主招生试题及答案(全)
2014年北京大学自主招生数学试题
1. 圆心角为
3
π
的扇形面积为6π，求它围成圆锥的表面积. 2. 将10个人分成3组，一组4人，两组每组3人，共有几种分法. 3. 2()2()
(
),(1)1,(4)733
a b f a f b f f f ++===,求()2014f . 4.
2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，求a 的取值范围.
5. 已知1x y +=-，且,x y 都为负实数，求1
xy xy
+
的取值范围. 6. 22()arctan
14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上为奇函数，求C 的值. 一、
求证：tan3Q ∉
二、
已知实系数二次函数()f x 与()g x ，()()f x g x =和()()30f x g x +=有两
重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.
三、
12
13,a a a 是等差数列，{}
113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：7160,,
23
是否同在M 中，并证明你的结论.
四、
()01,2,,i x i n >=，且1
1n i i x ==∏
，求证1
)1)n
n i i x =≥∏.
答案
1．π7； 2．2100； 3．4027)2024
(12)(=⇒-=f x x f ； 4．1 00≥≤⇒≥∆a or a ；5．⎪⎭⎫
⎢⎣⎡+∞,417；6．2arctan 0)0(-=⇒=C f 一、求证：Q ∉︒3tan
解：若Q a
a
b Q a ∈-=
︒=⇒∈=︒2
126tan 3tan ，
2013年北约自主招生数学试题与答案解析
2013年北约自主招生数学试题与答案
2013-03-16
（时间90分钟，满分120分）
(
1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++
702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩
即方程组：420
(1)20(2)70(3)2320(4)630
(5)a c e b d a b c d e a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪
+---=⎨⎪+++=⎪
++=⎪⎩，有非0有理数解.
由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.
于是知0a b c d e =====，与,,,,abcd e
不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的
有理系数多项式()g x
和1
1为两根的有理系数多项式的次数最小为5.
2.在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？
A. 720
B. 20
C. 518400
D. 14400
解析：先从6行中选取3行停放红色车，有3
6C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红
色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有3
“北约”“华约”2020年自主招生数学模拟试题
“北约”“华约” 2020 年自主招生数学模拟试题
（满分 150 分）
5. 设 P 是抛物线 y 2
4y 4x 0 上的动点 , 点 A 的坐标为 (0, 1) , 点 M 在直线 PA 上 ,
uuuv
则点 M 的轨迹方程是
.
且分 PA 所成的比为 2:1, 第二部分：解答题（共 5小题每题 20分）
1 设会合 Ax log 1
3 x
2 ， Bx
2a
1 ．若 A I B ，务实数 a 的取值
2
x a
范围
2. 为了搞勤学校的工作，全校各班级一共提了
P ( P N ) 条建议 . 已知有些班级提出了相
同的建议，且任何两个班级都起码有一条建议同样，但没有两个班提出所有同样的建议 . 求
证该校的班级数不多于
2P 1个
v v
1 , 3 ) . 若存在实数 m(m 0)和角 ( (
, )),
3. 设平面向量 a ( 3, 1) , b (
2 2
2 2
v
v
(tan 2 v uv v v v uv 使向量 c a 3)b , d ma btan
, 且 c d .
(I) 求函数 m f ( ) 的关系式 ; (II) 令 t
tan , 求函数 m g(t ) 的极值 .
4. 已知双曲线的两个焦点分别为 F 1 , F 2 , 此中 F 1 又是抛物线 y 2 4x 的焦点 , 点 A ( 1,2) ,
B (3, 2) 在双曲线上 .
(I) 求点 F 2 的轨迹方程 ;
(II)
能否存在直线 y x
m 与点 F 2 的轨迹有且只
有两个公共点 ?若存在 , 务实数 m 的值 , 若不存在 , 请说明原因 .
大学自主招生测评题真题及答案解析——数学一
大学自主招生测评题真题及答案解析——数学一
一、选择题
1、（北约2014年）设扇形的圆心角为
3
π
，面积为6π，将它围成一个圆锥，求圆锥的表面积______
（A ）132π （B ）7π （C ）15
2
π （D ）8π
答案：B
6/660360
ππ=，扇形弧长为60
262360ππ=，故圆锥底面半径为1，圆锥的表面积等于67πππ+=
2、（北约2013
和为两根的有理系数多项式的最高次数最小为( )
A. 2
B.
C. D. 答案：C
解析：由,可知,
同理由可知; 所以方程
的次数最小,其次数为
5,故选C.
3、（华约2012年）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中对对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ）
(A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种 答案：C
4、（华约2010年）设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ）
（A ）2 （B （C ）1 （D 答案：D
5、（华约2010年）设复数2
(
)1a i w i
+=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ）
（A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）3
2
答案：A
二、填空题
6、（卓越2014年）不等式3
2
210x x -+<的解集为_____________。
13561x =22x =1x 3
(1)2x -=23(2)[(1)2]0x x ---=
答案：1515112⎛⎫
2015年自主招生数学试卷(北约)
2015年自主招生试卷（北约）
1． 已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQR ABC
S S ∆∆的最小值为 ．
解答：如图5-1所示，
图5-1 图5-2
（1）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的斜边上，则,,,P C Q R 四点共圆，
180,APR CQR BQR ∠=∠=-∠所以sin sin .APR BQR ∠=∠在,APR BQR ∆∆中分别应
用正弦定理得
,sin sin sin sin PR AR QR BR
A APR
B BQR
==.又45,A B ∠=∠=故PR QR =,故AR BR =即R 为AB 的中点.
过R 作RH AC ⊥于H ，则1
2
PR RH BC ≥=,所以
2
2
221
()124
PQR ABC BC S PR S BC BC ∆∆=≥=,此时
PQR ABC
S S ∆∆的最大值为
1
4
. （2）当PQR ∆的直角顶点在ABC ∆的直角边上，如图5-2所示，设
1,(01),(0)2
BC CR x x BRQ π
αα==≤≤∠=<<
,则90.CPR PRC BRQ α∠=-∠=∠=
在Rt CPR ∆中，,sin sin CR x
PR αα
=
= 在BRQ ∆中，3
1,,sin 4
x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==
∠=-∠-∠=+, A
B P H
由正弦定理, 1sin 3sin sin sin sin()44
x
PQ RB x
B PQB αππα-=⇔=⇔∠+
2008-2011北京大学(北约)自主招生数学试题(全附答案)
１
一、ｍ’７，、＾’’，一
ａ仅ｙ髫：一２髫，得ｚ。｛三三。＿：２菇＋２，
似ａｙ＝也舭匪ｆｎ２，
取（Ｏ，２，１），（１，２，０），（１，０，１）。 设切面僦４－磅＋但＋ｄ＝０， ｆ２６＋ｃ＋ｄ＝０，
南方球队总得分为
北方球队总得分为丝生生炉：２１，
１１０
１兰兰＝２
１２ｆ兰兰±垒２＝２１兰兰±１１０２ｌ苎±兰２＝１８９．
２ｓ＝口ｌ＋ａ２＋口３＋ｂｌ＋ｂ２＋ｂ３，
形
＝
舞ＡＣＢＡＢＡ慧ＣＢ麓ＡＣ ＝／缓二Ｃ
。，
。／
ｌ／
Ｄｋ
：：：．？日 ＼、Ｅ。．・。
＼Ｉ，・’
，‘１
．。．
ＢＡ 。，
。
口２丁，６２丁，
．ａｌ一口２
ｂＩ—ｂ２
Ｂ Ａ ＋￡ Ａ Ｂ Ｃ ＋￡Ｃ ．，二 Ｃ
即证｛一（口Ｉ＋口２＋ｂＩ＋６２）一（口ｌ＋ｄ２＋口，＋
ｃ：＋。＋ｎ（肛＋９）≥召，ｃ：≤Ａ，
即３ｎ２—２２ｎ一３６。＜０．
‘．・
’Ｂ＝９Ａ，
．・．ｃ：＋９＋ｎ（，ｌ＋９）≥Ｂ＝９Ａ１＞９ｃ：，
（１）
，’２
又总分为乞Ⅲ有１０Ｉ乞小钴厶（１）得厅＝６或８．
１。ｎ：：６时，北方有６支队，得分二等分・其中
北方队之间产生分数醒分．
故北方胜南方２ｌ一１５＝６场．南方有１５支队，得 分２１×９＝１：８９分． 由抽屉原理知南方队中最高分的最小值为
11北约数学
2011北约自主招生数学
1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。
2求过抛物线y=2x2−2x−1，y=−5x2+2x+3交点的直线方程。
3、等差数列a1,a2,⋯满足a3=−13，a7=3，这个数列的前n项和为S n，数列S1,S2,⋯中哪一项最小，并求出这个最小值。
4、∆ABC的三边a,b,c满足a+b≥2c，A,B,C为∆ABC的内角，求证：C≤60°。
5、是否存在四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？
6、C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是该平面上的一个动圆，C和C1，C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。
7、求f(x)=x−1+2x−1+⋯+|2011x−1|的最小值。
北约数学试题
2014年北约自主招生数学试题
1. 圆心角为3
π的扇形面积为π6，求它围成的表面积。 2. 将10个人分成三组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法。
3. ()()3232b f a f b a f +=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+，()11=f ，()74=f ，求()2014f 。 4. ()()a ax x x f +-=2lg 2的值域为R ，求a 的取值范围。
5. 已知1=+y x ，且y x ,都为负实数，求xy
xy 1+的取值范围。 6. ()C x x x f +-+=4122arctan 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛-41,41上为奇函数，求C 的值。 一、求证：Q ∉ 3tan 。
二、已知实系数二次函数()x f 与()x g ，()()x g x f =和()()03=+x g x f 有两重根，()x f 有两相异的实根，求证：()x g 没有实根。
三、1121,a a a ⋯⋯是等差数列，{}131≤<<≤++=k j i a a a M k j i ，问：316,27,0是否可以同时在M 中，并证明你的结论。
四、0>i x ，()n i ⋯⋯=2,1，11=∏=n i i x ，求证：()()n
n i i x 1221+≥+∏=。 2013年北约自主招生数学试题
一、选择题(每题8分,共48分)
1.以2和312-为两根的有理系数多项式的最高次数最小为( )
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
2.在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车只占一格,共有 种停放方法.
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如右图．做 的角平分线 交 于 ．
易知 ．
于是四边形 为平行四边形．∴ ．
由角平分线定理知 ．解得 ．
3.不妨设过 点的切线交 轴于点 ，过 点的切线交 轴于点 ，直线 与直线 相交于点 ．如图．设 ，
且有 ．
由于 ，
于是 的方程为 ；①
的方程为 ．②
联立 的方程，解得 ．
对于①，令 ，得 ；
对于②，令 ，得 ．
于是 ．
．不妨设 ， ，则
③
不妨设 ，则有
6个9个
．④
又由当 时，③，④处的等号均可取到．
∴ ．
注记：不妨设 ，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．
由 知当 时 ；当 时 ．
则 在 上单调减，在 上单调增．于是当 时 取得最小值．
4.不妨设 ， 夹角为 ，则 ，令
2010年“北约”自主招生数学试题及解答
1． ，求证： ．
2． 为边长为 的正五边形边上的点．证明： 最长为 ．（25分）
3． 为 上在 轴两侧的点，求过 的切线与 轴围成面积的最小值．（25分）
4．向量 与 已知夹角， ， ， ， ， ． 在 时取得最小值，问当 时，夹角的取值范围．（25分）
5．（仅理科做）存不存在 ，使得 为等差数列．（25分）
答案解析:
1.不妨设 ，则 ，且当 时， ．于是 在 上单调增．∴ ．即有 ．
同理可证 ．
，当 时， ．于是 在 上单调增。
∴在 上有 。即 。
2.以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
⑴当 中有一点位于 点时，知另一点位于 或者 时有最大值为 ；当有一点位于 点时， ；
．
其对称轴为 ．而 在 上单调பைடு நூலகம்，故 ．
当 时， ，解得 ．
当 时， 在 上单调增，于是 ．不合题意．
于是夹角的范围为 ．
5.不存在；否则有 ，
则 或者 ．
若 ，有 ．而此时 不成等差数列；
若 ，有 ．解得有 ．
而 ，矛盾！
⑵当 均不在 轴上时，知 必在 轴的异侧方可能取到最大值（否则取 点关于 轴的对称点 ，有 ）．
不妨设 位于线段 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使 最大的 点必位于线段 上．
且当 从 向 移动时， 先减小后增大，于是 ；
对于线段 上任意一点 ，都有 ．于是
由⑴，⑵知 ．不妨设为 ．