54学时高等数学复习

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会计学专业哈尔滨学院教务处

会计学专业哈尔滨学院教务处02043001 高等数学 Advanced Mathematics 【70—4—1】内容说明：高等数学课程是高等学校工程专科专业的一门必修的基础课，通过这门课程的学习，使学生系统地获得函数、极限、连续、一元函数微积分等基础知识。

一方面，它为学生学习后继课程和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用的数学方法；另一方面，它通过各个教学环节，逐步培养学生具有比较熟练的差不多运算能力和自学能力、综合运用所学知识去分析和解决实际问题的能力。

修读对象：非数学专业本科生。

教材：«经济数学» ，中国人民大学，高等教育出版社。

参考书目：1．«高等数学»，各院校的教材。

2．«高等数学辅导及教材习题解析»，海洋出版社。

3．«高等数学附册学习辅导与习题选解»，高等教育出版社。

4．«高等数学习题集»，机械工业出版社。

02043002线性代数 Linear Algebra 【36—2—2】内容提要：线性代数课程是高等学校理、工、治理类等专业的一门重要的必修课，要紧内容包括：行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特点值与特点向量、二次型。

由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，能够转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。

专门在运算机日益普及的今天，该课程的地位与作用更显得重要。

通过教学，使学生把握该课程的差不多理论与方法，培养解决实际问题的能力，并为学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

教材：«线性代数»〔第四版〕同济大学数学教研室北京：高等教育出版社，2003«线性代数学习指导» 施声久北京：机械工业出版社，2003«线性代数复习指导» 陈文灯等北京：清华大学出版社，20034．Introduction to Linear Algebra. Lee W.Johnson, R.Dean Riess, Jimmy T.Arnold.北京：机械工业出版社，20035．Linear Algebra. S.K.Jain, A.D.Gunawardena. 北京：机械工业出版社，200302043003 概率论与数理统计Probability Theory and Mathematical Statistics 【54—3—2】内容提要：概率论与数理统计是研究随机现象规律性的数学学科，是高等学校理工科本科各专业的一门重要的基础理论课。

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型:(1)数列: *()n a f n =;*1()n n a f a += (2)初等函数:(3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤⎧=⎨>⎩; *00()(),x x f x F x x x a ≠⎧=⎨=⎩;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ϕ== (5)隐式(方程): (,)0F x y =(6)参式(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩(7)变限积分函数: ()(,)xaF x f x t dt =⎰(8)级数和函数(数一,三): 0(),n n n S x a x x ∞==∈Ω∑2. 特征(几何):(1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ⇒∀--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).3. 反函数与直接函数: 11()()()y f x x f y y f x --=⇔=⇒=二. 极限性质:1. 类型: *lim n n a →∞;*lim ()x f x →∞(含x →±∞);*0lim ()x x f x →(含0x x ±→)2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):3. 未定型:000,,1,,0,0,0∞∞∞-∞⋅∞∞∞4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论:11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)nnn na b c a b c ++→, ()00!na a n >→1(0)x x →→∞, 0lim 1xx x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x→+∞=,0lim ln 0n x x x +→=,0,xx e x →-∞⎧→⎨+∞→+∞⎩ 四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当()0u x →时,sin ()()u x u x ;tan ()()u x u x ;211cos ()()2u x u x -; ()1()u x e u x -; ln(1())()u x u x +;(1())1()u x u x αα+-;arcsin ()()u x u x ; arctan ()()u x u x2. 泰勒公式:(1)2211()2!xe x x o x =+++; (2)221ln(1)()2x x x o x +=-+;(3)341sin ()3!x x x o x =-+;(4)24511cos 1()2!4!x x x o x =-++;(5)22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++. 五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,,1,0M α∞∞∞(其它如:00,0,0,∞-∞⋅∞∞); (2)变量代换(如:1t x=) 1. 抓大弃小()∞∞, 2. 无穷小与有界量乘积 (M α⋅) (注:1sin1,x x≤→∞) 3. 1∞处理(其它如:000,∞) 4. 左右极限(包括x →±∞):(1)1(0)x x→; (2)()xe x →∞;1(0)x e x →; (3)分段函数: x , []x , max ()f x 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(00最后方法);(注意对比: 1ln lim 1x x x x →-与0ln lim 1x x x x→-)(2)幂指型处理: ()()ln ()()v x v x u x u x e=(如: 1111111(1)x x x x xee e e-++-=-)(3)含变限积分; (4)不能用与不便用7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ()lim (,)n f x F x n →∞=(⇒分段函数)六. 非常手段 1. 收敛准则:(1)()lim ()n x a f n f x →+∞=⇒(2)双边夹: *?n n n b a c ≤≤, *,?n n b c a →(3)单边挤: 1()n n a f a +=*21?a a ≥ *?n a M ≤ *'()0?f x >2. 导数定义(洛必达?):00lim'()x ff x x→=3. 积分和:10112lim [()()()]()n nf f f f x dx n n n n→∞+++=⎰,4. 中值定理: lim [()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞→+∞+-=5. 级数和(数一三):(1)1n n a ∞=∑收敛lim 0n n a →∞⇒=, (如2!lim n n n n n →∞)(2)121lim()n n n n a a a a ∞→∞=+++=∑,(3){}n a 与11()nn n aa ∞-=-∑同敛散七.常见应用:1. 无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?n f x kx x →(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====⇔()()!!nn na a f x x x x n n α=+ (2)()xxn f t dtkt dt ⎰⎰2. 渐近线(含斜):(1)()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-()f x ax b α⇒++(2)()f x ax b α=++,(10x→)3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性) 八. [,]a b 上连续函数性质1. 连通性:([,])[,]f a b m M = (注:01λ∀<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=)2. 介值定理:(附: 达布定理)(1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x ⇒=(根的个数); (2)()0(())'0xaf x f x dx =⇒=⎰.第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. 基本概念:1. 差商与导数:'()f x =0()()limx f x x f x x →+-; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x →--(1)0()(0)'(0)limx f x f f x →-=(注:0()lim(x f x A f x→=连续)(0)0,'(0)f f A ⇒==) (2)左右导: ''00(),()f x f x -+;(3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导) 2. 微分与导数:()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+⇒=(1)可微⇔可导; (2)比较,f df ∆与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备:1. 基本初等函数求导公式; (注: (())'f x )2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1'dx dy y = 三. 各类求导(方法步骤):1. 定义导: (1)'()f a 与'()x a f x =; (2)分段函数左右导; (3)0()()limh f x h f x h h→+--(注: 0()(),x x F x f x x x a ≠⎧=⎨=⎩, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导(公式加法则):(1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题); (2)()()xaF x f t dt =⎰, 求:'()F x (注: ((,))',((,))',(())'x b baaaf x t dt f x t dt f t dt ⎰⎰⎰)(3)0102(),()x x f x y x x f x <⎧=⎨≥⎩,求''00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数)3. 隐式((,)0f x y =)导:22,dy d y dx dx (1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.4. 参式导(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩,求:22,dy d ydx dx 5. 高阶导()()n f x 公式:()()ax n n axe a e =; ()11!()()n n n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2n n ax a ax n π=+⨯; ()(cos )cos()2n n ax a ax n π=+⨯()()1(1)2(2)()'"n n n n n n uv u v C u v C u v --=+++注: ()(0)n f与泰勒展式: 2012()nn f x a a x a x a x =+++++()(0)!n n f a n ⇒=四. 各类应用:1. 斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)2. 物理: (相对)变化率-速度;3. 曲率(数一二):ρ=曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点0'()0f x =): (1)'()0()f x f x ≥⇒; '()0()f x f x ≤⇒;(2)分段函数的单调性(3)'()0f x >⇒零点唯一; "()0f x >⇒驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:(1)表格('()f x 变号); (由0002'()'()''()lim0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x→→→≠≠≠⇒=的特点)(2)二阶导(0'()0f x =)注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);(2)实例: 由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(()0f x ≥)(1)区别: *单变量与双变量? *[,]x a b ∈与[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞? (2)类型: *'0,()0f f a ≥≥; *'0,()0f f b ≤≥*"0,(),()0f f a f b ≤≥; *00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥ (3)注意: 单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性. (如: max ()()f x M f x M ≤⇔=) 4. 函数的零点个数: 单调⊕介值六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y ⇒表格;(0"()0f x =)2. 应用: (1)泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: ()()'()()0F b F a F f ξξ=⇒== 2. 辅助函数构造实例: (1)()f ξ⇒()()xaF x f t dt =⎰(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=⇒= (3)()'()()()'()0()()f x fg f g F x g x ξξξξ-=⇒= (4)'()()()0f f ξλξξ+=⇒()()()x dxF x e f x λ⎰=;3. ()()0()n ff x ξ=⇔有1n +个零点(1)()n f x -⇔有2个零点4. 特例: 证明()()n fa ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定)5. 注: 含12,ξξ时,分家!(柯西定理)6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ∀∈,[,]a b ξ∃∈,使:'()f c ξ= 八. 拉格朗日中值定理1. 结论: ()()'()()f b f a f b a ξ-=-; (()(),'()0a b ϕϕξϕξ<⇒∃∍>)2. 估计:'()f f x ξ=九. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1. 结论: 2300000011()()'()()"()()"'()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+-+-; 2. 应用:在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用]第三讲: 一元积分学一. 基本概念: 1. 原函数()F x :(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+⎰注(1)()()xaF x f t dt =⎰(连续不一定可导);(2)()()()()xx aax t f t dt f t dt f x -⇒⇒⎰⎰ (()f x 连续)2. 不定积分性质:(1)(())'()f x dx f x =⎰; (())()d f x dx f x dx =⎰(2)'()()f x dx f x c =+⎰;()()df x f x c =+⎰二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法: 拆(线性性)1212(()())()()kf x kg x dx k f x dx k g x dx +=+⎰⎰⎰3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(221sin cos x x =+)如: 211(),,ln ,2dx dx d ax b xdx dx d x a x=+==2=(1ln )(ln )x dx d x x =+=4. 变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,,,x t t t t x====(2)作用与引伸(化简):x t =5. 分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()xax x f t dt ⎰);(2)“反对幂三指”: ,ln ,n axnx edx xxdx ⎰⎰(3)特别:()xf x dx ⎰ (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知'()()f x F x =)6. 特例: (1)11sin cos sin cos a x b x dx a x b x ++⎰; (2)(),()sin kxp x e dx p x axdx ⎰⎰快速法; (3)()()n v x dx u x ⎰三. 定积分:1. 概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*20(0)8a a π>=⎰; *()02baa bx dx +-=⎰ (3)附:()()baf x dx M b a ≤-⎰,()()()bb aaf xg x dx M g x dx ≤⎰⎰)(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分()()xax f t dt Φ=⎰的处理(重点)(1)f 可积⇒Φ连续, f 连续⇒Φ可导 (2)(())'xaf t dt ⎰()f x =; (()())'()x xaax t f t dt f t dt -=⎰⎰;()()()xaf x dt x a f x =-⎰(3)由函数()()xaF x f t dt =⎰参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题3. N L -公式:()()()baf x dx F b F a =-⎰(()F x 在[,]a b 上必须连续!)注: (1)分段积分,对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式,三角式,根式 (3)含()ba f t dt ⎰的方程.4. 变量代换:()(())'()baf x dx f u t u t dt βα=⎰⎰(1)()()()aa f x dx f a x dx x a t =-=-⎰⎰,(2)()()()[()()]aa aaaf x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-⎰⎰⎰(如:4411sin dx x ππ-+⎰)(3)2201sin n n n n I xdx I nπ--==⎰,(4)2200(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;20(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰,(5)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰,5. 分部积分(1)准备时“凑常数” (2)已知'()f x 或()xaf x =⎰时, 求()baf x dx ⎰6. 附: 三角函数系的正交性:2220sin cos sin cos 0nxdx nxdx nx mxdx πππ===⎰⎰⎰2200sin sin cos cos ()0nx mxdx nx mxdx n m ππ=≠=⎰⎰22220sin cos nxdx nxdx πππ==⎰⎰四. 反常积分: 1. 类型: (1)(),(),()aa f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰(()f x 连续)(2)()baf x dx ⎰: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断)2. 敛散;3. 计算: 积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)4. 特例: (1)11p dx x +∞⎰; (2)101p dx x⎰ 五. 应用: (柱体侧面积除外)1. 面积, (1)[()()];b aS f x g x dx =-⎰ (2)1()dcS f y dy -=⎰;(3)21()2S r d βαθθ=⎰; (4)侧面积:2(b a S f x π=⎰ 2. 体积: (1)22[()()]bx aV f x g x dx π=-⎰; (2)12[()]2()d by caV f y dy xf x dx ππ-==⎰⎰(3)0x x V =与0y y V =3. 弧长: ds =(1)(),[,]y f x x a b =∈as =⎰(2)12(),[,]()x x t t t t y y t =⎧∈⎨=⎩21t t s =⎰(3)(),[,]r r θθαβ=∈:s βαθ=⎰4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5. 平均值(中值定理):(1)1[,]()baf a b f x dx b a =-⎰; (2)0()[0)limxx f t dt f x→+∞+∞=⎰, (f 以T 为周期:0()Tf t dt fT=⎰)第四讲: 微分方程一. 基本概念1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)2. 变换方程:(1)令()'""x x t y Dy =⇒=(如欧拉方程)(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =⇒=⇒(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力二. 一阶方程:1. 形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =2. 变量分离型: '()()y f x g y =(1)解法:()()()()dyf x dx G y F x Cg y =⇒=+⎰⎰(2)“偏”微分方程:(,)zf x y x∂=∂; 3. 一阶线性(重点): '()()y p x y q x +=(1)解法(积分因子法): 00()01()[()()]()xx p x dxx x M x ey M x q x dx y M x ⎰=⇒=+⎰ (2)变化: '()()x p y x q y +=;(3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y α+= 4. 齐次方程: '()y y x=Φ (1)解法: '(),()ydu dxu u xu u x u u x =⇒+=Φ=Φ-⎰⎰(2)特例:111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ 5. 全微分方程(数一): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且N Mx y∂∂=∂∂ dU Mdx Ndy U C =+⇒=6. 一阶差分方程(数三): 1*()()x x x x x n xx y ca y ay b p x y x Q x b+=⎧-=⇒⎨=⎩ 三. 二阶降阶方程1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dpy p x y f x p dx=⇒== 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dpy p y y pf y p dy=⇒== 四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1.通解结构:(1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+(2)非齐次特解:1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 常系数方程: "'()ay by cy f x ++= (1)特征方程与特征根: 20a b c λλ++=(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: ()axf x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程.3. 欧拉方程(数一): 2"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2"(1),'tx e x y D D y xy Dy =⇒=-= 五. 应用(注意初始条件):1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设()(),()0xaf x dx F x F a ==⎰3. 导数定义立方程:含双变量条件()f x y +=的方程4. 变化率(速度)5. 22dv d x F ma dt dt === 6. 路径无关得方程(数一): Q Px y∂∂=∂∂ 7. 级数与方程:(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==8. 弹性问题(数三)第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ∆=++∆=+∆=+ (2)lim ,lim,lim y x x y f ff f f x y∆∆∆==∆∆(3),limx y f x f ydf + (判别可微性)注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义:0(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)lim x y x y f x f f y f f f x y→→--==2. 特例:(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyx y f x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩: (0,0)点处可导不连续;(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==⎩: (0,0)点处连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算: 1. 显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)yx 型; (2)00(,)xx y z ; (3)含变限积分2. 复合函数的一,二阶偏导(重点):[(,),(,)]z f u x y v x y =熟练掌握记号''"""12111222,,,,f f f f f 的准确使用 3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩(存在定理)(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性):0x y z F dx F dy F dz ++= (要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?);1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)(1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y ϕ=⊕=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y λλϕ=+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ϕ=⊕∈=≤ (2)实例: 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质(“积”前工作): (1)Dd σ⎰⎰,(2)对称性(熟练掌握):*D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称;*重心坐标; (3)“分块”积分: *12D D D =; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶2. 计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 22()f x y +附: 222:()()D x a y b R -+-≤; 2222:1x y D a b+≤;双纽线222222()()x y a x y +=-:1D x y +≤ 4. 特例:(1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型12()Dk x k y dxdy +⎰⎰, 且已知D 的面积DS与重心(,)x y5.无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():;;;;f M d D L σΩ⇒ΩΩΓ∑⎰):1. “尺寸”: (1)D Dd Sσ⇔⎰⎰;(2)曲面面积(除柱体侧面);2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.第六讲: 无穷级数(数一,三)一. 级数概念1. 定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++; (3)lim n n S →∞(如1(1)!n nn ∞=+∑)注: (1)lim n n a →∞; (2)n q ∑(或1na ∑); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ⇔收敛. 2. 性质:(1)收敛的必要条件: lim 0n n a →∞=;(2)加括号后发散,则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→; 二. 正项级数1. 正项级数: (1)定义: 0n a ≥; (2)特征:nS ; (3)收敛n S M ⇔≤(有界)2. 标准级数: (1)1p n ∑, (2)ln k nnα∑, (3)1ln k n n ∑3. 审敛方法: (注:222ab a b ≤+,ln ln ba ab =)(1)比较法(原理):npk a n (估计), 如1()nf x dx ⎰;()()P n Q n ∑ (2)比值与根值: *1limn n nu u +→∞*n 应用: 幂级数收敛半径计算) 三. 交错级数(含一般项):1(1)n n a +-∑(0n a >)1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a →; (3)绝对(条件)收敛?注: 若1lim1n n na a ρ+→∞=>,则n u ∑发散2. 标准级数: (1)11(1)n n +-∑; (2)11(1)n p n +-∑; (3)11(1)ln n pn+-∑ 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:na∑发散; (2)条件: ,0n n a a →; (3)结论:1(1)n n a +-∑条件收敛.4. 补充方法:(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→. 5. 注意事项: 对比 na∑;(1)nna-∑;na∑;2na∑之间的敛散关系四. 幂级数:1. 常见形式: (1)nna x∑, (2)()nna x x -∑, (3)20()nna x x -∑2. 阿贝尔定理:(1)结论: *x x =敛*0R x x ⇒≥-; *x x =散*0R x x ⇒≤- (2)注: 当*x x =条件收敛时*R x x ⇒=-3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n nn n a na x x n∑∑与n n a x ∑同收敛半径 (2)nna x∑与20()nna x x -∑之间的转换4. 幂级数展开法:(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域)23111,2!3!x e x x x R =++++Ω= 24111()1,22!4!x x e e x x R -+=+++Ω= 35111(),23!5!x x e e x x x R --=+++Ω= 3511sin ,3!5!x x x x R =-+-Ω=2411cos 1,2!4!x x x R =-++Ω=;211,(1,1)1x x x x =+++∈--; 211,(1,1)1x x x x=-+-∈-+ 2311ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-∈-2311ln(1),[1,1)23x x x x x -=----∈-3511arctan ,[1,1]35x x x x x =-+-∈-(2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 021,x x ax bx c=++) (3)考察导函数: ()'()g x f x 0()()(0)xf xg x dx f ⇒=+⎰(4)考察原函数: 0()()xg x f x dx ⎰()'()f x g x ⇒=5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)(),S x =+∑∑(2)'()S x =,(注意首项变化)(3)()()'S x =∑,(4)()"()"S x S x ⇒的微分方程 (5)应用:()(1)n nn n aa x S x a S ⇒=⇒=∑∑∑.6. 方程的幂级数解法7. 经济应用(数三):(1)复利: (1)nA p +; (2)现值: (1)nA p -+五. 傅里叶级数(数一):(2T π=)1. 傅氏级数(三角级数): 01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ⇒(和函数) (2)1()[()()]2S x f x f x =-++ 3. 系数公式: 01()cos 1(),,1,2,3,1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx πππππππππ---⎧=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰4. 题型:(注: ()(),?f x S x x =∈) (1)2T π=且(),(,]f x x ππ=∈-(分段表示)(2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5. 2T l =6. 附产品: ()f x ⇒01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑00001()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞=⇒=++∑001[()()]2f x f x =-++第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)一. 向量基本运算1.12k a k b +; (平行b a λ⇔=)2. a ; (单位向量(方向余弦)01(cos ,cos ,cos )a a aαβγ=)3. a b ⋅; (投影:()a a b b a⋅=; 垂直:0a b a b ⊥⇔⋅=; 夹角:(,)a b a b a b⋅=)4. a b ⨯; (法向:,n a b a b =⨯⊥; 面积:S a b =⨯) 二. 平面与直线1.平面∏(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕=(2)方程(点法式):000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=⇒+++= (3)其它: *截距式1x y za b c++=; *三点式2.直线L(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕= (2)方程(点向式): 000:x x y y z z L m n p---== (3)一般方程(交面式): 111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩(4)其它: *二点式;*参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t=+-⎧⎪=+-∈⎨⎪=+-⎩)3. 实用方法: (1)平面束方程:11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++=(2)距离公式: 如点000(,)M x y到平面的距离d =(3)对称问题;(4)投影问题.三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面(1)形式∑: (,,)0F x y z =或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =) (2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=⇒ (或(,1)x y n z z =--)2. 曲线(1)形式():()()x x t y y t z z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩,或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩;(2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t = (或12s n n =⨯)3. 应用(1)交线, 投影柱面与投影曲线;(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;(3)锥面计算.四. 常用二次曲面 1. 圆柱面:222x y R += 2. 球面: 2222x y z R ++=变形: 2222x y R z +=-,z =2222x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=3. 锥面: z =变形: 222x y z +=, z a =4. 抛物面: 22z x y =+,变形: 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 双曲面: 2221x y z +=± 6. 马鞍面: 22z x y =-, 或z xy =五. 偏导几何应用 1. 曲面(1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =⇒=, 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =⇒=- (2)切平面与法线:2. 曲线(1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===⇒= (2)切线与法平面3. 综合: :Γ00F G =⎧⎨=⎩, 12s n n =⨯六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导(l 方向斜率):(1)定义(条件):(,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=⇒ (2)计算(充分条件:可微):cos cos cos x y z uu u u lαβγ∂=++∂ 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==cos sin x y zf f lθθ∂⇒=+∂ (3)附: 2222cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f lθθθθ∂=++∂2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G :(1)计算:()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =⇒==; ()(,,)(,,)x y z b u f x y z G gradu u u u =⇒==(2)结论()a ul∂∂0G l =⋅; ()b 取l G =为最大变化率方向; ()c 0()G M 为最大方向导数值.第八讲: 三重积分与线面积分(数一)一. 三重积分(fdV Ω⎰⎰⎰)1. Ω域的特征(不涉及复杂空间域):(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心(2)投影法: 22212{(,)}(,)(,)xy D x y x y R z x y z z x y =+≤⊕≤≤ (3)截面法: 222(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+≤⊕≤≤(4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f 的特征:(1)单变量()f z , (2)22()f x y +, (3)222()f x y z ++, (4)f ax by cz d =+++3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *dv Ω⎰⎰⎰; *利用对称性(重点)(2)截面法(旋转体): ()baD z I dz fdxdy =⎰⎰⎰(细腰或中空, ()f z , 22()f x y +)(3)投影法(直柱体): 21(,)(,)xyz x y z x y D I dxdy fdz =⎰⎰⎰(4)球坐标(球或锥体): 220sin ()RI d d f d παθϕϕρρ=⋅⋅⋅⎰⎰⎰,(5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V Ω=+++ 4. 应用问题:(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss 公式二. 第一类线积分(Lfds ⎰)1. “积”前准备:(1)Lds L =⎰; (2)对称性; (3)代入“L ”表达式2. 计算公式:()[,]((),(()b aLx x t t a b fds f x t y t y y t =⎧∈⇒=⎨=⎩⎰⎰3. 补充说明: (1)重心法:()()Lax by c ds ax by c L ++=++⎰;(2)与第二类互换: LLA ds A dr τ⋅=⋅⎰⎰4.应用范围(1)第一类积分 (2)柱体侧面积 (),Lz x y ds ⎰三. 第一类面积分(fdS ∑⎰⎰)1. “积”前工作(重点): (1)dS ∑=∑⎰⎰;(代入:(,,)0F x y z ∑=)(2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片2. 计算公式:(1)(,),(,)(,,(,xyxy D z z x y x y D I f x y z x y =∈⇒=⎰⎰(2)与第二类互换:A ndS A dS ∑∑⋅=⋅⎰⎰⎰⎰四: 第二类曲线积分(1):(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰(其中L 有向)1. 直接计算: ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩,2112:['()'()]t t t t t I Px t Qy t dt →⇒=+⎰常见(1)水平线与垂直线; (2)221x y += 2. Green 公式: (1)()LDQ PPdx Qdy dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰; (2)()L A B →⎰: *P Q y y ∂∂=⇒∂∂换路径; *P Q y y∂∂≠⇒∂∂围路径(3)L⎰(x y Q P =但D 内有奇点)*LL =⎰⎰(变形)3. 推广(路径无关性):P Qy y∂∂=∂∂ (1)Pdx Qdy du +=(微分方程)()BA L AB u →⇔=⎰(道路变形原理)(2)(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关(f 待定): 微分方程.4. 应用功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰(Γ有向τ,(,,)F P Q R =,(,,)dr ds dx dy dz τ==)五. 第二类曲面积分: 1. 定义: Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰, 或(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰ (其中∑含侧)2. 计算:(1)定向投影(单项):(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰, 其中:(,)z z x y ∑=(特别:水平面);注: 垂直侧面, 双层分隔(2)合一投影(多项,单层):(,,1)x y n z z =--[()()]x y Pdydz Qdzdx Rdxdy P z Q z R dxdy ∑∑⇒++=-+-+⎰⎰⎰⎰(3)化第一类(∑不投影): (cos ,cos ,cos )n αβγ=(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑⇒++=++⎰⎰⎰⎰3. Gauss 公式及其应用: (1)散度计算: P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂ (2)Gauss 公式: ∑封闭外侧, Ω内无奇点Pdydz Qdzdx Rdxdy divAdv ∑Ω++=⎰⎰⎰⎰⎰(3)注: *补充“盖”平面:0∑∑+⎰⎰⎰⎰; *封闭曲面变形∑⎰⎰(含奇点)4. 通量与积分:A d S ∑Φ=⋅⎰⎰(∑有向n ,(),,A P Q R =,(,,)dS ndS dydz dzdx dxdy ==)六: 第二类曲线积分(2):(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰1. 参数式曲线Γ: 直接计算(代入)注(1)当0rot A =时, 可任选路径; (2)功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰2. Stokes 公式: (要求: Γ为交面式(有向), 所张曲面∑含侧) (1)旋度计算: (,,)(,,)R A P Q R x y z∂∂∂=∇⨯=⨯∂∂∂ (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 00F G =⎧⇒⎨=⎩同侧法向{,,}x y z n F F F =或{,,}x y z G G G ;(3)Stokes 公式(选择): ()A d r A ndS Γ∑⋅=∇⨯⋅⎰⎰⎰(a )化为Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰; (b )化为(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰; (c )化为fdS ∑⎰⎰高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xa y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。

课程标准

《高等数学》课程标准《高等数学》课程是本科非数学类各理科专业的重要专业基础课，在大学教育及高素质人才的培养过程中占有十分重要的地位。

随着时代的发展、科学的进步、经济的腾飞，数学科学已与自然科学、社会科学并列为三大基础科学，数学地位的巨大变化必将影响到高等数学课程在整个高等教育中的地位与作用。

同时，《高等数学》课程还担负着培养学生严谨的思维、求实的作风、创新的意识等任务。

因此，《高等数学》不仅要向学生传授数学知识，更要注重培养学生的数学修养。

但是，不同学科和专业对高等数学知识的需求不同，同时，为了满足我校学生将来考研的需要，根据专业需求的特点和考研《数学一》至《数学三》的要求，将《高等数学》课程划分为如下三个层次。

《高等数学I》（第一层次）一、课程说明：《高等数学I》由微积分、线性代数和概率论与数理统计三部分构成，本课程是物理教育专业和计算机等专业的一门必修的基础课程，也可供将来考研时需要考《数学一》的其它专业同学选修。

课程总学时为276学时，分四个学期行课，其中，第一学期78学时，4学分，第二学期90学时，5学分，第三学期54个学时，3学分，第四学期54个学时，3学分，共15学分。

1．参考专业：物理教育和计算机等专业。

2．课程类别：专业基础课3．参考教材与参考书目教材：1 《高等数学》第六版，同济大学高等数学教研室编，高等教育出版社，2007年。

2 居余马等编著，线性代数（第2版），北京，清华大学出版社，2002年9月第2版3 盛骤等，概率论与数理统计（第二版），北京：高等教育出版社，1989。

参考书目：1 四川大学数学系高等数学教研室编，高等数学（第一、二、三、四册），北京，高等教育出版社，1997。

2 同济大学应用数学系编，线性代数（第4版）北京，高等教育出版社，2003年7月。

3 高世泽，概率统计引论，重庆：重庆大学出版社，2000年。

4．课程教学方法与手段以教师讲授为主，学生自学为辅的教学方式进行教学，课堂上的教学以启发式的方式进行讲授，学生作适当的课内练习。

(完整版)数值分析每节课的教学重点、难点

计算方法教案新疆医科大学数学教研室张利萍一、课程基本信息1、课程英文名称：Numerical Analysis2、课程类别：专业基础课程3、课程学时：总学时544、学分：45、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《Matlab 语言》二、课程的目的与任务：计算方法是信息管理与信息系统专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。

其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。

通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。

三、课程的基本要求：1．掌握计算方法的常用的基本的数值计算方法2．掌握计算方法的基本理论、分析方法和原理3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力4．了解科学计算的发展方向和应用前景四、教学内容、要求及学时分配：(一) 理论教学：引论（2学时）第一讲（1-2节）1．教学内容：计算方法(数值分析)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。

数值计算中应注意的一些问题。

2．重点难点：算法设计及其表达法；误差的基本概念。

数值计算中应注意的一些问题。

3．教学目标：了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。

学会选用相对较好的数值计算方法。

A 算法B 误差第二讲典型例题第二章线性方程组的直接法（4学时）第三讲1．教学内容：线性方程组的消去法、Gauss消去法及其Gauss列主元素消去法的计算过程；三种消去法的程序设计。

2．重点难点：约当消去法，Gauss消去法，Gauss列主元素消去法3．教学目标：了解线性方程组的解法；掌握约当消去法、Gauss消去法、Gauss列主元素消去的基本思想；能利用这三种消去法对线性方程组进行求解，并编制相应的应用程序。

高等数学教材少学时

高等数学教材少学时高等数学作为理工科学生必修的一门课程，对于培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力具有重要作用。

然而，现行的高等数学教材往往学时有限，无法满足学生对于知识的全面学习需求。

本文将对高等数学教材学时不足的问题进行探讨，并提出一些建议。

一、高等数学教材学时不足的问题分析1. 理论内容过于繁琐：高等数学包含了微积分、线性代数、概率统计等多个领域的知识，每个领域都有其独特的理论体系。

然而，由于教材篇幅的限制，很多重要的理论内容往往只能被简单介绍，无法深入学习和理解。

2. 缺乏实例分析：高等数学理论知识的学习往往需要通过实例分析来加深理解。

然而，在教材中，实例分析的篇幅往往有限，学生难以获得足够的实例来巩固所学知识。

3. 缺少应用题目练习：高等数学具有广泛的应用领域，然而，现行教材中的应用题目较少，学生在解决实际问题时面临困难。

二、解决高等数学教材学时不足问题的建议为了解决高等数学教材学时不足的问题，可以采取以下措施：1. 增加学时和教材篇幅：针对高等数学繁多的理论内容，可以增加教材的篇幅，为每个知识点提供详细的解释和推导过程，确保学生对于理论的深入学习和理解。

2. 加大实例分析的比重：通过增加实例分析的篇幅，让学生能够通过实际例子来加深对于理论知识的理解。

可以在教材中增加一些典型的实例，并给出详细的解题思路和步骤，引导学生进行自主思考和分析。

3. 增加应用题目练习：为了培养学生解决实际问题的能力，需要增加高等数学教材中的应用题目数量。

应用题目应涵盖不同领域和不同难度，以帮助学生将所学的理论知识应用到实际情境中。

三、高等数学教材学时不足问题的影响与意义高等数学教材学时不足对学生的影响是多方面的。

首先，学生对于高等数学理论知识的理解可能不够深入，影响其对于专业知识的整体掌握。

其次，学生在解决实际问题时可能会遇到困难，无法将所学的知识应用到实践中。

然而，解决高等数学教材学时不足的问题具有重要意义。

高数第四章大一知识点

高数第四章大一知识点高等数学是大学中的一门重要的数学课程，作为大一学生，学习高等数学的第四章是我们必须要掌握的知识点。

本文将围绕高等数学第四章的知识点展开论述，希望能够帮助大家更好地理解和应用这一章节的内容。

第四章是高等数学中的一个重要环节，主要涵盖了导数和微分的内容。

其中，导数是微分学的基础，因此对于第四章，我们首先要理解导数的概念和性质。

导数用来描述函数在某一点上的变化率，表示为f'(x)、dy/dx 或者y'。

在学习导数的过程中，我们需要掌握导数的定义和计算方法。

导数的定义是极限的应用，通过求极限可以得到函数在某一点上的切线斜率。

计算导数的方法有很多，比如常见的有可微性、导数的四则运算、导数与函数的关系等。

这些方法是我们掌握高等数学的基础。

在学习导数的过程中，还要了解导数的几何意义和物理应用。

导数可以用来求函数的极值点、判定函数的单调性和凸凹性，也可以用来求函数的极限和求解最优化问题。

此外，导数在物理学中也有广泛的应用，如速度的求解、曲线运动的分析等。

所以，熟练掌握导数的概念和性质，不仅能够帮助我们理解函数的变化规律，还可以拓展我们对数学在实际问题中的应用。

接下来，我们来讨论微分学的内容。

微分学是导数的应用，主要研究函数的变化、增减及其相关问题。

在微分学中，我们主要学习了微分的概念和计算方法。

微分是函数变化的近似量，表示为df(x)或者dy。

微分可以用来求函数在某一点附近的近似值，也可以用来描述函数的局部变化规律。

微分的计算方法主要有微分法、微分运算法则和微分的几何应用等。

通过研究微分，我们可以更深入地理解函数的变化规律，为后续的数学学习打下坚实的基础。

除了导数和微分的基本概念和计算方法外，第四章还包含了一些重要的知识点，如高阶导数、隐函数求导和参数方程的导数等。

高阶导数可以用来描述函数的变化趋势更加细致的性质，对于函数的整体性质有更深入的了解。

隐函数求导是求解隐函数导数问题的一种方法，可以应用于各种实际问题的求解。

高数72学时复习重点

高数72学时复习重点1、函数极限的计算：1) 两个重要的极限：0sin lim1x x x →=或111sin lim 1sin lim ==∞→∞→xx x x x x ；1lim(1)xx e x →∞+=10lim(1)x x x e →+= 2) 洛比达法则：()(),()(),limlim .()()x ax a f x f x x a f x F x F x F x →→'→='当时函数及都趋于零则00⎛⎫⎪⎝⎭3) 和变上限积分相结合的极限：（1）如果()f x 在[,]a b 上连续，则积分上限的函数()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上具有导数，且它的导数是()()()xad x f t dt f x dx 'Φ==⎰ ()a x b ≤≤ （2）如果()f t 连续，()a x 、()b x 可导，则()()()()b x a x F x f t dt =⎰的导数()()()()b x a x d F x f t dt dx'=⎰[][]()()()()f b x b x f a x a x ''=- 4) 等价无穷小： i. 极限为零的变量称为无穷小；无穷大量是指绝对值无限增大的变量。

ii.0lim 0lim ==βα设，①⇔的高阶无穷小是较比αβ ()0lim0=⇔=αβαβ ② αβ⇔与是同阶不等价无穷小limC(C 0)βα=≠ ③⇔是等价无穷小与 βα1lim ~=⇔βαβα 21sin ~,arcsin ~,tan ~,arctan ~,ln(1)~,1~,1cos ~.(x 0)2x x x x x x x x x x x e x x x +--→ 5) 二元函数的极限：00()()lim000000(x,y)(x ,y )f(x,y)x ,y f(x,y)f(x,y)x ,y f(x,y)f(x ,y )→=若是初等函数，且是的定义域的内点，则在点处连续，则2、连续的定义，导数的定义，判断是否极限存在、连续、可导 ① 0()f x x ⇔函数在点处极限存在()()()000 lim lim lim x x x x x x f x A f x f x A →→-→+=⇔==② )(0⇔处连续在点函数x x f ()00 lim ()x x f x f x →=③函数()f x 在点0x 可导⇔x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(limlim )(00000或0000()()()lim x x f x f x f x x x →-'=- 3、求导数，微分，导数的几何意义1) 函数的求导公式①.幂函数 ()1-='a a ax x特别有211x x -='⎪⎭⎫⎝⎛ ，()x x 21=' ，()0='c②.指数函数 ()a aaxxln =' 特别有()x x e e ='③.对数函数 ()1l o g ln a x x a '=特别有 ()1ln x x'= ④.三角函数（共计6个）()sin cos x x '= ()c o s s i n x x '=-()x x 2s e c t a n =' ()x x 2c s c c o t -=' ()x x x t a n s e c s e c =' ()x x x c o t c s c c s c -='⑤.反三角函数（共计4个） ()211arcsin x x -='()211arccos x x --='()211arctan x x +='()211cot x x arc +-='⑥.函数和、差、积、商的导数公式。

高数学习笔记总结,帮你快速复习数学知识

高数学习笔记总结，帮你快速复习数学知识高数学习笔记总结：
一、函数与极限
1. 函数的定义：函数是数学表达关系的符号，它表示两个变量之间的依赖关系。

函数的定义域和值域是函数的两个重要属性。

2. 极限的概念：极限是函数在某个点附近的变化趋势，它可以用来研究函数的特性。

极限的运算法则包括加减乘除和复合函数的极限运算法则。

3. 无穷小和无穷大的概念：无穷小是指一个函数在某个点的值趋于0，而无穷大是指一个函数在某个点的值趋于无穷大。

无穷小和无穷大是研究函数的重要工具。

二、导数与微分
1. 导数的概念：导数是函数在某一点的切线的斜率，它可以用来研究函数的单调性、极值、拐点等特性。

导数的运算法则包括求导法则和复合函数的导数法则。

2. 微分的概念：微分是函数在某一点附近的小增量，它可以用来近似计算函数的值。

微分的运算法则包括微分的基本公式和微分的链式法则。

3. 导数与微分的应用：导数和微分的应用非常广泛，例如求极值、求拐点、近似计算、优化问题等等。

三、积分与级数
1. 积分的概念：积分是定积分和不定积分的总称，它可以用来计算面积和体积等几何量。

定积分和不定积分的计算方法包括基本公式法和凑微分法等等。

2. 级数的概念：级数是无穷多个数的和，它可以用来研究函数的性质和行为。

级数的分类包括几何级数、调和级数、幂级数等等。

3. 积分与级数的应用：积分和级数的应用非常广泛，例如计算面积和体积、近似计算、信号处理等等。

(完整版)数值分析每节课的教学重点、难点

其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。

数值计算中应注意的一些问题。

2．重点难点：算法设计及其表达法；误差的基本概念。

数值计算中应注意的一些问题。

3．教学目标：了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。

学会选用相对较好的数值计算方法。

《高等数学》课程标准

《高等数学》课程标准课程名称：《高等数学》课程分类：公共基础课建议学时：64（理论课学时数：58学时，实践课学时数：6学时）学分：3.5学分适应对象：电子与计算机类专业、机电与汽车类专业、经济管理类专业一、总论（一）课程定位1．课程性质《高等数学》课程是高职高专一门重要的公共基础课程。

本课程是在各相关专业人才培养目标确定的基础上，根据“必须、够用”原则及各专业对各种数理理论、知识、方法以及量化思维需求的基础上设置的。

2．课程价值和功能本课程的开设旨在培养和提升各专业学生进行专业学习和终身学习所必须的数理基础和数理思维。

通过本课程的学习，使学生初步掌握必须、够用的数理理论、知识、方法以及培养学生的逻辑思维能力、科学理论理解能力、量化解决相关专业问题能力和继续深造的学习与自主学习能力等。

本课程在各专业的课程体系中居于基础服务性的地位，主要为后续的各专业课程教学提供必要的数理准备，其所服务的专业、课程如下图所示：（二）改革理念1．基本理念本课程以“必须、够用”为改革基本理念，注重让学生学习掌握必要的数理知识和数理方法，培养量化的分析问题和解决问题的能力。

2．改革重点本课程的改革重点主要有三个：各专业教学内容的遴选、教学模式和教学方法、适量的课程实训；3．预期目的初步打算经过大约一年的课程建设和课程改革，使本课程的教学内容能大体符合各专业人才培养的要求，并能摸索实践出符合我校实际的教学模式和教学方法，最后能增加适量的课程实训，以提高学生量化的分析问题和解决问题的能力。

二、课程目标（一）总目标1．让学生掌握微积分的基本知识和基本运算技能，为各专业的后继课程学习提供必要的工具；2．让学生初步掌握函数思想、极限思想、微分思想和定积分思想等数学思想；3．初步培养学生量化分析问题和量化解决问题的能力；（二）分目标1．数理知识：函数、极限、导数、微分、不定积分、定积分、常微分方程初步、数学软件；2．应用能力：极限应用、导数与微分应用、积分应用；3．量化分析与解决问题能力：数学建模初步；三、教学内容、学习要求及建议学时本课程总学时为64，每周4课时，具体教学内容、学习要求和学时安排如下：四、实施建议（一）教与学1．教学方法本课程的教法多种多样，但教无定法，主要有以下几种方法：讲授法讲练法、启发法、问题引导教学法、以练测赛促学法等。

高等数学复习详细学习计划

高等数学（数一）复习详细学习计划时间复习章节复习知识点习题章节习题大纲要求3月1日-3月6日2~3小时第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(1) (2) (3)(7) (8)(9) (10),5(1)(2) (3)(4),7(1),8,9(1)(2),13,15(1) (2)(3)(4),17,181．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8．理解无穷小量、无穷大量2~3小时第1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(1) (2) (4) (5) (7) (8)第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－31,2,3,42~3小时第1章第4节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大之间的关系习题1－41,4,5,6,8第1章第5节极限运算法则极限的运算法则(6个定理以及一些推论) 习题1－51(1) (2) (3) (4) (6)(7) (10)(11)(12)(14),2(1)(2),3(1),4(1) (2) (3) (4),5(1) (3)2~3小时第1章第6节极限存在准则两个重要极限函数极限存在的两个准则（夹逼定理、单调有界数列必有极限）两个重要极限（注意极限成立条件，熟悉等价表达式）利用函数极限求数列极限习题1－61(1) (2)(4) (5) (6),2(1)(2)(3),4 (2)(3) (4 )(5)第1章第7节无穷小阶的概念（同阶无穷小、等价无穷小、习题1,2,3(1) (2),4(2) (3)(4)无穷小的比较高阶无穷小、低阶无穷小、k阶无穷小）及其应用一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法1－7 的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．2~3小时第1章第8节函数的连续性与间断点函数的连续性，函数的间断点的定义与分类（第一类间断点与第二类间断点）判断函数的连续性和间断点的类型习题1－81,2(1) (2),3(1) (2)(4),4,5第1章第9节连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的、和、差、积、商的连续性反函数与复合函数的连续性初等函数的连续性习题1－91,3(2) (4) (5) (6),4(1) (4)(5)(6),5,62~3小时第1章第10节闭区间上连续函数的性质有界性与最大值最小值定理零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在是非常重要的一种方法)习题1－101,2,3,4第1章总复习题总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题一1,2,3(1)(2),5,9(1)(2)(4)(5)(6),11,12,133月7日-3月11日2~3小时第2章第1节导数概念导数的定义、几何意义、力学意义单侧与双侧可导的关系可导与连续之间的关系函数的可导性，导函数，奇偶函数与周期函数的导数的性质按照定义求导及其适用的情形，利用导数定义求极限会求平面曲线的切线方程和法线方程习题2－13,6(1)(2)(3),7,8,9(1)(2)(4)(5)(7),11,13,14,16(1),17 ,181.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一2~3小时第2章第2节函数的求导法则导数的四则运算公式（和、差、积、商）反函数的求导公式复合函数的求导法则习题2－22(1)(6)(7)(9),3 (2)(3),4,7(1)(3)(6)(8)(9),8(8)(9),9,10(1)(2),基本初等函数的导数公式分段函数的求导11(2)(4) (6)(8)(9)(10)阶微分形式的不变性，会求函数的微分．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.2~3小时第2章第3节高阶导数高阶导数n阶导数的求法（归纳法，莱布尼兹公式）习题2－33,4,9,10(1) (2),11(1)(2)(3)(4)第2章第4节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数的求导方法，对数求导法由参数方程确定的函数的求导方法习题2－42,4(1)(2)(3),7(1)(2),8(1)(3)(4),9(2),10,112~3小时第2章第5节函数的微分函数微分的定义，几何意义基本初等函数的微分公式微分运算法则，微分形式不变性习题2－51,2,3(1)(4)(7)(8)(10),4(1)(2)(3)(5)(7)(8),5,62~3小时第2章总复习题二总结归纳本章的基本概念、基本定理、基本公式、基本方法总复习题二1,2,3,6(1)(2),7,8(1)(3)(4)(5),9(1),11,12(1)(2),13,14,163月12日-3月19日2~3小时第3章第1节微分中值定理费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及其几何意义构造辅助函数习题3－11,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,151．理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理．2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．3．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．4．会用导数判断函数图形的2~3小时第3章第2节洛必达法则洛必达法则及其应用习题3－21(1)(2)(3)(4)(5) (6)(9)(12)(14)(15),2,3,42~3 小时第3 章第3 节泰勒公式泰勒中值定理麦克劳林展开式习题3－32,3,4,5,6,7,10(1)(2)(3)2~3 小时第3 章第4 节函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调区间，极值点函数的凹凸区间，拐点渐进线习题3－43(2)(3)(5)(6),4,5(1) (2)(3) (4),6,7,9(1)(2)(3)(4) (5)(6),10(1) 3),11,12,14,152~3 小时第3 章第5 节函数的极值与最大值最小值函数极值的存在性：一个必要条件，两个充分条件；最大值最小值问题函数类的最值问题和应用类的最值问题习题3—51(1) (2)(4) (5)(7) (8)(9)(10),4(1) (2) (3), 5,6,7,8,9,10,11,12,13,142~3 小时第3 章第6 节函数图形的描述利用导数作函数图形函数f (x) 的间断点、f (x)和f (x)的零点和不存在的点，渐近线由各个区间内f (x)和f (x)的符号确定图形的升降性、凹凸性，极值点、拐点习题3－61,3,4,5凹凸性（注：在区间(a,b)内，设函数f (x) 具有二阶导数。

高数大一第四章知识点归纳

高数大一第四章知识点归纳大学高等数学是大一学生必修的一门重要课程，而第四章是该课程中的重点章节之一。

本文将对高数大一第四章的知识点进行归纳和总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一章节的概念和方法。

一、极限与连续1.1 数列与极限数列是一种有序的数的排列，而极限则是数列中的数值逐渐接近某个常数的过程。

在这一部分，我们需要掌握数列的收敛和发散的概念，以及数列极限的性质和计算方法。

1.2 函数与极限函数是一种特殊的关系，将自变量的值映射到因变量的值。

在函数与极限的部分，我们需要熟悉函数的极限定义和性质，以及常见函数的极限计算方法。

1.3 无穷小与无穷大无穷小是指当自变量趋近于某个数时，函数极限也趋近于零的情况。

而无穷大则是指当自变量趋近于某个数时，函数极限趋近于无穷大的情况。

在这一部分，我们需要了解无穷小与无穷大的定义、性质和计算方法。

1.4 连续与间断连续是指函数在某一点及其附近的值无突变的情况，而间断则是指函数在某一点出现突变的情况。

在这一部分，我们需要掌握连续函数与间断函数的定义、性质和判断方法。

二、导数与微分2.1 导数的概念导数是用来描述函数曲线变化趋势的指标，它表示函数在某一点上的变化率。

在这一部分，我们需要了解导数的定义、性质以及导数的计算方法，包括常规函数的导数计算和基本导数公式。

2.2 导数的几何意义导数具有几何意义，它表示函数曲线在某一点上的切线斜率。

在这一部分，我们需要了解导数与函数图像的关系，以及如何通过导数图像判断函数的单调性和极值。

2.3 微分的概念微分是导数的一个应用，它表示函数在某一点附近的近似线性变化。

在这一部分，我们需要了解微分的定义、性质和计算方法，并学会应用微分求解问题。

2.4 高阶导数与高阶微分高阶导数是指连续求导多次得到的导数，它表示函数变化的更高阶性质。

在这一部分，我们需要熟悉高阶导数的定义和计算方法，以及高阶微分的概念和应用。

三、中值定理与极值问题3.1 罗尔定理罗尔定理是导数中值定理的特殊情况，它描述了导数为零的连续函数在某一区间内至少有一个零点存在。

高等数学课程学习指导(部分)

《高等数学》课程学习指导（部分）绪论《高等数学》(基本内容是微积分)是同学们来到高校要学习的第一门数学课，也是理工科院校高校生最重要的基础课之一。

在起先学习这门课程的时候，假如对该课程探讨的对象是什么及探讨的基本思想方法是什么能有一个初步的了解，那么，对今后如何学习该课程是大有好处的！假如将学习这门课看作是对微积分这座神奇的科学殿堂的一次探究，那么，这个绪论就是为了大家描绘一张简洁的导游图！本次课的目的就是向同学们简要介绍微积分探讨的对象和基本思想在此基础上，我们还将简要说明本课程的教学方法，并就如何学习这门课程向同学们提几点建议。

一、教学内容微积分探讨的对象和方法，关于本课程的教学方法和学习方法。

二、教学要求1．了解初等数学探讨的对象是：常数或常量，简洁的规则几何形体(如直线、直边形、直面形等)，而高等数学探讨的对象是：变数或变量、函数，困难的不规则几何形体(如曲线、曲面、曲边形、曲面形等)。

2．初步理解微积分的基本探讨方法——微元分析法，即(1) 在微小局部，“以匀代不匀”，求得所求量的近似值；(2) 通过极限，将近似值转化为精确值。

3．导数是探讨函数在一点处改变的快慢程度(改变率)。

在匀称改变状况下，需用除法计算的量，在非匀称改变的状况下，往往可用导数来计算，因此，导数可看作初等数学中商(除法)的推广；积分是探讨函数在某一区间内改变的大小，它可看作初等数学中积(乘法)的推广。

4．函数是微积分探讨的对象，极取是微积分的理论基础。

5．学习方法的建议：(1) 培育自学的实力，在学习过程中特殊要特殊留意概念、理论和思想方法的理解；(2) 勤于思索，敢于和擅长发觉问题，大胆提出问题，发表自己的见解，培育自己的创新精神和创新实力。

(3) 培育应用数学的意识、爱好和实力。

第一章映射与函数，极限与连续函数(18-20学时)函数是微积分探讨的对象，它刻画了客观世界变量之间相互联系相互依靠的关系；极限是刻画变量在改变过程中的改变趋势，它既是一个重要概念，又是学习微积分的重要工具和思想方法；函数的连续性是借助于极限概念揭示出来的变量在改变过程中的一个基本性态，连续函数是微积分探讨的主要对象。

高等数学课程标准60学时（大专-周4学时）

《高等数学》课程标准课程名称：高等数学课程类别：公共基础课教学学时：60学时课程学分：4先行课程：适用专业：建筑工程技术、建筑工程造价、水利水电工程管理、水利水电建筑工程参考教材：1、《高等数学》高等教育出版社，出版社2008年2月第四版，盛祥耀。

2、《高等数学》高等教育出版社，出版社2003年8月第二版，侯风波。

一、课程性质高等数学课是高等学校各工程专业必修的一门重要的基础课。

通过本课程的学习，学生将较系统的获得大纲所列内容的基本知识，必需的基础理论和常用的运算方法为学生学习后续课和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用的数学方法。

通过教学要实现传授知识和发展能力两方面的教学目的，能力培养要贯穿教学全过程。

本课程关于能力方面的要求是：培养学生具有比较熟练的基本运算能力、自学能力、综合运用所学知识分析研究问题和解决问题的能力、初步抽象概括问题的能力以及一定的逻辑推理能力。

教学中要认真探讨和贯彻“以应用为目的，以必须够用为度”的原则。

教学重点要放在“掌握概念，强化应用，培养技能”上。

二、课程目标（一）知识目标1、通过学习，正确理解以下概念：函数、极限、连续性、导数、微分、偏导数、全微分、函数的极值。

不定积分、定积分、有关空间解析几何及常微分方程的基本概念；2、理解下列基本理论、基本定理和公式：基本初等函数的性质及图形，基本初等函数的导数公式，不定积分基本公式，变上限积分及其求导定理、牛顿－莱布尼兹公式，偏导数的几何意义，极值存在的必要条件，直线与平面的方程，典型的二次曲面、二阶线性常微分方程解的结构；3、通过学习本书，掌握下列运算法则和方法：求函数和数列极限的方法与运算法则，导数和微分的运算法则，复合函数求导法，初等函数一阶、及较简单的二阶导数的求法，用导数判断函数的单调性及求极值方法；4、多元复合函数的偏导数求法，不定积分、定积分的换元与分部积分法，一阶可分离变量微分方程的求解，二阶常系数齐次线性微分方程的解法；5、用定积分和常微分方程方法求解一些简单的几何问题，用极值方法求解简单的最大值最小值的应用问题；（二）技能目标1、运动变化的客观世界中，很多现象和过程是通过微分方程来描述的。