平方根知识点概括与分类联系(9.20)
平方根知识点总结讲义
平方根知识点总结【学习目标】1•了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2•了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1•算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即x2 a,那么这个正数x叫做a的算术平方根(规定0 的算术平方根还是0); a的算术平方根记作，读作“ a的算术平方根”，a叫做被开方数•要点诠释：当式子有意义时，a 一定表示一个非负数，即命> 0, a >0.2.平方根的定义如果x2 a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a >0)的平方根的符号表达为 a(a 0)，其中、a是a的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：..a和，a2 •联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3） 0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根•因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根•要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动 2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位.例如：.62500 250，625 25，.6.25 2.5， . 0.0625 0.25. 【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念01、若2m -4与3m - 1是同一个正数的两个平方根，求 m的值.【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m— 4=- （3m —1),解方程即可求解.【答案与解析】解：依题意得2m — 4=—( 3m — 1),解得m = 1;••• m的值为1.【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 举一反三：【变式】已知2a — 1与一a + 2是m的平方根，求m的值.【答案】2a — 1与—a + 2是m的平方根，所以2a — 1与—a + 2相等或互为相反数2 2解：①当 2a — 1= — a + 2 时，a = 1,所以 m = 2a 1 2 1 1 1②当 2a — 1+(— a + 2)= 0 时，a = — 1，2 2 2所以 m = 2a 1 [2 ( 1) 1]2 3 92、x为何值时，下列各式有意义？____ ___ _____ y----------(1).x2 ; (2)、匚匸; (3) ,71 ; ⑷.x 3【答案与解析】解：⑴因为X2 0 ,所以当X取任何值时，/X2都有意义.(2)由题意可知：x 4 0 ,所以x 4时，.x 4有意义.x 1 0 ,_____________________________________ , _____(3)由题意可知：解得：1 x 1 •所以1 x 1时x 1 x有意义.1 x 0一x 1 0(4)由题意可知：，解得x 1且x 3 .x 3 0所以当x 1且x 3时，亠」有意义.x 3【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义.(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义.举一反三：___ ___ ___ 1 1【变式】已知b 4.3a 2 2 ..2 3a 2，求——的算术平方根.a b【答案】解：根据题意，得'a 2 0,则a2，所以b = 2，二—-——2，2 3a 0.3 a b 2 21 1的算术平方根为1 V2.a b ； a b 类型二、平方根的运算、求下列各式的值.(1) j252 242 gJ3 42 ; (2)」20 丄 丄 J 036 -^900 .4 3 5【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1) 252 2 42 g 32 42、49g ,25 7 5 35 ；【总结升华】（1）混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先 后顺序进行.（2）初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根 据.a 2a （a 0）来解.类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x.2 2（1） x 361 0; （2） x 1 289;（3） 9 3x 2 264 0【答案与解析】解：（1）v x 2 3613礙90.2 621.7 .-0.6 - 303 5二 x 361••• x .361 192(2) v x 1 289••• x 1 .289••• x + 1=± 17x = 16或 x = — 18.(3) v 9 3x 2 264 03x 2— 32 14 …x -或x —23x 2 64 9【答案】(1)± 1.1 (2) 土 13；3) 2；(4)± 2.类型四、平方根的综合应用已知ab是实数，且、2F"6 |b ,2| 0，解关于x的方程(a 2)x b2 a 1 .【答案与解析】b疋实数，2a 6 |b 0，•. 2a 60，|b 2| 0，解：•••a、•••6 0，b 迈 0 .2aa —3，b ■-./ 2 .把a —3，b .2 代入(a 2)x b2 a 1，得一x + 2=- -4，. x = 6【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a、b的值，再解方程•此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可.举一反三：【变式】若x2 1 y 1 0，求x2011 y2012的值.【答案】解：由 x2 1 . y 1 0，得 x2 1 0， y 1 0，即 x 1， y 1 .2011 2012 2011 2012②当 X = — 1, y =— 1 时，X y ( 1) ( 1) 0 .的长方形纸片，使它长宽之比为 3:2，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求 的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x >0) cm ，贝U 宽为2x cm ，依题意得3x 2x 300.26x 300.①当 X 二 1, y = —1 时，x20112012 “2011 ,八 2012 亠 y 1( 1) 2.、小丽想用一块面积为400cm 2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm由正方形纸片的面积为 400 cm2 , 可知其边长为 20cm,•••长方形的纸片长大于正方形纸片的边长•答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片 .【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为 20cm的正方形纸片裁出长方形纸片 .9 9【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法•( 2) (3)小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的x :(1)若 x2 1.21，则 x = ______ ; (2) x2 4169，则 x = ______ ;(3)若 x2 9,则 x = _________ ; (4)若 x2 2 2，则 x = ______42x 50.•/ x >0，x . 50 .二长方形纸片的长为3\ 50 cm. ••• 50 >9,•—50 7.。
平方根知识点总结讲义
平方根知识点总结学习目标1．了解平方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算,会用开方运算求某些非负数的平方根,会用计算器求平方根．要点梳理要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a,即2x a=,那么这个正数x叫做a的算术平方根规定0的算术平方根还是0；a读作“a的算术平方根”,a叫做被开方数.要点诠释：,a一定表示一个非负数,0,a≥0.2.平方根的定义如果2x a=,那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a a≥0的平方根的符号表达为a≥,a的算术平方根.0)要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：1定义不同；2结果不同：2．联系：1平方根包含算术平方根；2被开方数都是非负数；30的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：1正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．2正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此,我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质2(0) ||0(0)(0)a aa a aa a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()()2a a a=≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=,62525=, 6.25 2.5=,0.06250.25=.典型例题类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m－4与3m－1是同一个正数的两个平方根,求m的值．思路点拨由于同一个正数的两个平方根互为相反数,由此可以得到2m－4＝－3m－1,解方程即可求解．答案与解析解：依题意得 2m－4＝－3m－1,解得m＝1；∴m的值为1．总结升华此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根,它们互举一反三：变式已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根,求m 的值.答案2a －1与－a ＋2是m 的平方根,所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数.解：①当2a －1＝－a ＋2时,a ＝1,所以m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋－a ＋2＝0时,a ＝－1,所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-=2、x 为何值时,下列各式有意义 2x 24x -11x x +- 413x x --． 答案与解析解：1因为20x ≥,所以当x 取任何值时2x2由题意可知：40x -≥,所以4x ≥时4x -3由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-有意义．4由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩,解得1x ≥且3x ≠． 所以当1x ≥且3x ≠时1x - 总结升华1当被开方数不是数字,而是一个含字母的代数式时,一定要讨论,只有当被开方数是非负数时,式子才有意义．2当分母中含有字母时,只有当分母不为0时,式子才有意义．变式已知4322232b a a =-+-+,求11a b +的算术平方根． 答案 解：根据题意,得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =,所以b ＝2,∴1131222a b +=+=, ∴11a b +的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．12222252434-+；2111200.36900435--． 思路点拨1首先要弄清楚每个符号表示的意义.2注意运算顺序. 答案与解析解：12222252434-+49257535==⨯=； 21118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 总结升华1混合运算的运算顺序是先算平方开方,再乘除,后加减,同一级运算按先后顺序进行．2初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解,熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .123610;x -= 2()21289x +=；3()2932640x +-=答案与解析解：1∵23610x -=∴2361x =∴36119x =±=± 2∵()21289x +=∴1289x +=±∴x ＋1＝±17x ＝16或x ＝－18.3∵()2932640x +-=∴()264329x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 总结升华本题的实质是一元二次方程,开平方法是解一元二次方程的最基本方法.23小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：变式求下列等式中的x ：1若2 1.21x =,则x ＝______； 22169x =,则x ＝______；3若29,4x =则x ＝______； 4若()222x =-,则x ＝______．答案1±；2±13；332±；4±2. 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b 是实数,且26|20a b ++=,解x 的方程2(2)1a x b a ++=-．答案与解析解：∵a 、b 是实数,26|2|0a b ++-=,260a +≥,|2|0b -≥,∴260a +=,20b -=．∴a =－3,2b =．把a =－3,2b =代入2(2)1a x b a ++=-,得－x ＋2＝－4,∴x ＝6． 总结升华本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题,应先求出a 、b 的值,再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性,只需令每项分别等于零即可．举一反三：变式若2110x y -++=,求20112012x y +的值．答案解：由2110x y -++=,得210x -=,10y +=,即1x =±,1y =-．①当x ＝1,y ＝－1时,20112012201120121(1)2x y +=+-=．②当x ＝－1,y ＝－1时,2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为3002cm 的长方形纸片,使它长宽之比为2:3,请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.答案与解析解：设长方形纸片的长为3x x ＞0 cm ,则宽为2x cm ,依题意得 32300x x ⋅=.26300x =.250x =.∵ x＞0,∴ x=∴ 长方形纸片的长为cm.∵ 50＞49,>.7∴ 21>, 即长方形纸片的长大于20cm.由正方形纸片的面积为400 2cm, 可知其边长为20cm, ∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.总结升华本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽,再判断能否用边长为20cm的正方形纸片裁出长方形纸片.。
平方根知识详解
平方根【知识扫描】知识点一 算术平方根的定义及表示方法1. 算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即a x ＝2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根；a 的算术平方根记作a ，读作“根号a ”或“二次根号a ”，a 叫做被开方数。
规定0的算术平方根还是0，即0＝0。
当式子a 有意义时，一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0。
而当a ＜0时，a 没有意义。
2. 平方根的定义如果一个数x 的平方等于a ，即a x ＝2，那么这个数x 叫做a 的平方根。
正数a 的平方根有两根，分别是它的算术平方根“a ”和算术平方根的相反数“－a ”，记作“a ±”，读作“正、负根号a ”。
0的平方根为0。
任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根。
归纳：平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根知识点二 平方根与算术平方根的区别和联系1. 区别（1）定义不同：如果a x ＝2，那么x 叫做a 的平方根；如果a x ＝2（x ≥0），那么x 叫做a 的算术平方根；（2）表示方法不同：正数a 的平方根表示为a ±，正数a 的算术平方根表示为a（3）平方根等于它本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0和1。
2. 联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个。
知识点三 平方根的性质(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥【典型例题】 考点一 算术平方根和平方根的定义和性质【例1】求下列各数的算术平方根（1）81的算术平方根是________；（2）425的算术平方根是________； （3）0.0016的算术平方根是________【变式】下列说法正确的是（ ） A. 3是9的算术平方根 B. －2是4的算术平方根C. (－2)2的算术平方根是－2D. －9的算术平方根是3【例2】求下列各数的算术平方根（1）49的平方根是________；（2）8164的平方根是________； （3）0.36的平方根是______。
平方根知识点
平方根知识点平方根作为数学中的一个重要概念，在我们的日常生活和学习中经常会遇到。
它是数学中的一种特殊运算，用来求解一个数的平方根。
在本文中，我们将介绍平方根的定义、性质以及一些实际应用。
1. 平方根的定义平方根是指某个数的平方等于给定数的非负实数解。
例如，对于非负数a和b，如果b^2=a，那么b就是a的平方根。
表示为√a。
2. 平方根的性质（1）非负数的平方根是非负实数。
也就是说，如果a是一个非负数，那么√a大于或等于0。
（2）对于非负实数a和b，如果b^2=a，那么-b也是a的平方根。
这是因为(-b)^2=b^2=a。
（3）平方根的运算性质。
对于非负实数a和b，有以下运算规则：a. √(a*b) = √a * √b，即两个数的乘积的平方根等于它们的平方根的乘积。
b. √(a/b) = √a / √b，即一个数除以另一个数的平方根等于它们的平方根的商。
c. √(a^n) = a^(n/2)，即一个数的n次方的平方根等于这个数的n/2次方。
（4）平方根的大小。
对于非负实数a和b，如果a<b，那么√a < √b。
也就是说，较小的数的平方根更小。
3. 平方根的表示方法平方根可以用根号符号表示，也可以用指数表示。
例如，√a可以等价地表示为a^(1/2)。
4. 平方根的应用平方根在实际生活和学习中有广泛的应用。
下面是一些例子：（1）几何学：在计算图形的周长、面积或体积时，常常需要用到平方根。
例如计算一个正方形的对角线长度，可以利用平方根来求解。
（2）物理学：在物理学中，平方根用于计算速度、加速度等与运动相关的物理量。
（3）金融学：在利息计算中，常常需要用到平方根。
例如，在复利计算中，平方根可以帮助计算复利的时间间隔。
（4）计算机科学：在编程中，平方根函数常用于数值计算和算法设计中。
总结：平方根是数学中一个重要的概念，用来求解一个数的平方根。
我们介绍了平方根的定义、性质以及一些实际应用。
平方根在几何学、物理学、金融学和计算机科学等领域都有广泛的应用，是我们日常生活和学习中必不可少的数学概念之一。
初中数学平方根知识点归纳
初中数学平方根知识点归纳数学中的平方根是许多初中生在学习中常常接触到的知识点之一。
平方根可以说是代表着数学中的一种特殊运算，它可以帮助我们解决一些平方数的性质和问题。
在本文中，我将为您归纳总结初中数学中与平方根相关的知识点。
首先，让我们明确平方根的概念。
平方根是指一个数的平方等于另一个数的时候，这个数就是另一个数的平方根。
以数学符号表示，如果a²=b，那么a为b的平方根。
例如，4的平方根是2，因为2²=4。
接下来，我们可以讨论一下平方数和非平方数。
平方数是指等于一个数的平方的数字，而非平方数则是指不是平方数的数字。
以平方根的概念来理解，平方数的平方根一定是一个整数，而非平方数的平方根则是一个无理数，即无法用两个整数比值来表示的数。
在初中数学中，我们还需要了解一些关于求平方根的基本方法。
最常见的方法是通过计算器求平方根。
大多数科学计算器都有求平方根的功能，只需要按下相应的按钮，即可得到平方根的近似值。
另外一种方法是通过各种数值逼近方法来计算平方根，例如牛顿迭代法和二分法。
这些方法是更加高级的方法，初中阶段一般不需要深入学习。
了解了基本方法后，我们可以进一步探讨平方根在代数中的运算规则。
首先是平方根的乘法和除法规则。
如果a和b都是正数，那么(a√b)的平方等于a²乘以b。
例如，2√3的平方等于2²乘以3，即12。
另外，a√b除以a等于√b。
例如，4√7除以4等于√7。
这些规则可以帮助我们简化平方根的运算。
在初中数学中，我们还会遇到一些关于平方根的应用问题。
例如，通过求平方根可以帮助我们计算一些几何图形的边长。
以正方形为例，如果已知正方形的面积，我们可以通过求平方根来计算出正方形的边长。
同样地，在解决勾股定理的应用问题时，平方根也是一个重要的工具。
勾股定理告诉我们，一个直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
当我们已知两个直角边的长度时，可以通过求平方根来计算出斜边的长度。
平方根知识点总结讲义
平方根知识点总结【学习目标】1•了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2•了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1•算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即x2= a，那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作■. a，读作“ a的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：当式子.a有意义时，a一定表示一个非负数，即>0，a >0.2•平方根的定义如果x2=a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a（a > 0）的平方根的符号表达为_-、a（a_O），其中,a是a的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1•区别：（i）定义不同；（2）结果不同：和a2•联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0.要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写岀它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，62500 =250，、、宓=25，,625 =2.5，0.062^0.25 .【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m —4与3m —1是同一个正数的两个平方根，求m的值.【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m —4=—（3m —1），解方程即可求解.【答案与解析】解：依题意得2 m —4 = —（3m —1 ），解得m = 1；••• m的值为1.【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.举一反三：【变式】已知2a —1与一a + 2是m的平方根，求m的值.【答案】2a —1与—a + 2是m的平方根，所以2 a —1与—a + 2相等或互为相反数.2 2解：①当2a —1 = —a + 2时，a = 1,所以m =(2a —1) =(2x 1 —1)=1②当2 a —1+(—a + 2)= 0时，a =—1，2 2 2所以m =(2a—1 ) =[2x(—1)—1]2=(七)=92、X为何值时，下列各式有意义？(1)X2; (2)、X 一4 ; (3)、、X • 1 • ■ 1 一X ; (4) ― 1 -x —3【答案与解析】解：(1)因为X2_0，所以当X取任何值时，X2都有意义.(2)由题意可知：x-4亠0，所以x亠4时，x-4有意义.「x+1^0 >(3)由题意可知：解得：一1乞X岂1 •所以「1冬X岂1时•• X • 1 • 1 - X有意义.J -x X0「x—1 兰0(4)由题意可知：，解得X _ 1且X = 3 .x -3 式0:(X -1所以当X _1且x=3时，有意义.x —3【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义.(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义.举一反三：【变式】已知b =4. 3a -2 2 . 2 -3a 2，a b【答案】^3a—2 二0 2113 1解：根据题意，得'则a ，所以b = 2，二2，2-3^0.3 a b 2 21 1二的算术平方根为a b类型二、平方根的运算3、求下列各式的值.1 ___________ 1 ____ -、.话 - .900.3 5【思路点拨】 (1)首先要弄清楚每个符号表示的意义 •( 2)注意运算顺序.【答案与解析】解：⑴、.252 -242 LI 「32 42 二「49 L 一无=7 5 = 35 ； ⑵，201 一1预一 1「81 一〕0.6 一〕30 =9—0.2 一6 —1.7 . ^43 5 V 4 3 5 2【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行. (2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据Ja 2=a(a .0)来解.类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的 X .2 2(1) x -361 =0; (2) x 1 289 ；(3) 9(3x+2 f —64 =0 【答案与解析】 解：(1)丁 x 2 -361 =0••• x 2 =361••• x = 一 361 = 192(2)丁(x +1 ) =289 • x 1 二.289 • x + 1 = ± 17x = 16 或 x =- 18.K{ A 2(3)••• 9(3x+2 丫-64 = 064• 3x 2 2二98•- 3x 2 = 32十149 9【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.(2) ( 3)小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的X :(1 )若X2=1.21，则x = ________ ；(2) X2=169，则x = __________ ；2 2 2(3)若X ,则X = ___________ ；(4)若X 2 ，贝U X = ____________ .43【答案】(1 )± 1.1 ; ( 2)± 13;( 3) ； ( 4)± 2.2类型四、平方根的综合应用5、已知a、b 是实数，且..2a 6 |b _=0，解关于X的方程(a • 2)x • b2二a _ 1 .【答案与解析】解：••• a、b 是实数，.2a 6 |b —|=0，2a 6 _ 0, |b-辽|_0,••• 2a 6 = 0 , b「.2 二0 .a = — 3，b = •. 2 .把a =—3, b-2 代入(a+2)x+b2= a-1，得—X + 2 = —4,二X = 6.【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求岀a、b的值，再解方程•此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可.举一反三：【变式】若X2—1 •y 1 =0，求X2011- y2012的值.【答案】解：由x2「1y • 1 = 0，得x2「1 = 0 , y T = 0，即X= 1 , y = -1 .2011 2012 ,2011 / 八2012①当X = 1, y =—1 时，X y =1 (—1) =2 .②当X =—1, y =—1 时，X y =(一1) (一1) =0 .2 26、小丽想用一块面积为400 cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm 的长方形纸片，使它长宽之比为3:2，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3X ( X >0) cm，则宽为2 X cm，依题意得3X 2X =300.6X2-300 .x2=50.X >0,x 二空50.长方形纸片的长为3, 50 cm .•/ 50 > 49,/• .50 7.••• 3・.50 .21,即长方形纸片的长大于20cm .2由正方形纸片的面积为400 cm ,可知其边长为20 cm ,•长方形的纸片长大于正方形纸片的边长答：小丽不能用这块纸片裁岀符合要求的长方形纸片20 cm的正方形纸片裁【总结升华】本题需根据平方根的定义计算岀长方形的长和宽，再判断能否用边长为岀长方形纸片.。
平方根知识点总结讲义
平方根 知识点总结【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a 的算术平方根记作a ，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数. 要点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为(0)a a ±≥，其中a 是a 的算术平方根.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a ±和a2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），解得m ＝1；∴m 的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数.解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22212111a -=⨯-= ②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？ (1)2x ； (2)4x -； (3)11x x ++-； (4)1x -． 【答案与解析】解：(1)因为20x ≥，所以当x 取任何值时，2x 都有意义．(2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥时，4x -有意义． (3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤时11x x ++-有意义． (4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．所以当1x ≥且3x ≠时，13x x --有意义． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．举一反三：【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11a b+的算术平方根． 【答案】 解：根据题意，得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．(1)2222252434-+g ；(2)111200.36900435--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)2222252434-+g 49257535==⨯=g ； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解． 类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=；（3）()2932640x +-=【答案与解析】 解：（1）∵23610x -=∴2361x =∴36119x ==±（2）∵()21289x +=∴1289x +=∴x ＋1＝±17x ＝16或x ＝－18.（3）∵()2932640x +-= ∴()264329x +=∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______；（3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32±；（4）±2.类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b 是实数，且26|2|0a b ++-=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-． 【答案与解析】解：∵a 、b 是实数，26|2|0a b ++-=，260a +≥，|2|0b -≥， ∴260a +=，20b -=． ∴a =－3，2b =． 把a =－3，2b =代入2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．举一反三：【变式】若2110x y -++=，求20112012x y +的值． 【答案】解：由2110x y -++=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm 的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得32300x x ⋅=.26300x =.250x =.∵ x ＞0，∴ x=∴ 长方形纸片的长为cm.∵ 50＞49,>.7>, 即长方形纸片的长大于20cm.∴ 21cm, 可知其边长为20cm,由正方形纸片的面积为400 2∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm的正方形纸片裁出长方形纸片.。
平方根知识点总结讲义
与其中正得那个叫它得算术平方根负数没有平方根根据它得算术平方根可以立即写出它得另一个平方根因此我们可以利用算术平方根来研究平方根要点三平方根得性质要点四平方根小数点位数移动规律被开方数得小数点向右或者向左移动位它得算术平方根得小数点就相应地向右或者向左移动典型例题类型一平方根与算术平方根得概念24与31就是同一个正数得两个平方根求得值
2、为何值时，下列各式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)．
【答案与解析】 解：(1)因为，所以当取任何值时，都有意义．
(2)由题意可知：，所以时，有意义． (3)由题意可知：解得：．所以时有意义． (4)由题意可知：，解得且． 所以当且时，有意义． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时， 一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母 中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义． 举一反三：
【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）；（4）±2.
类型四、平方根的综合应用
5、已知、是实数，且，解关于的方程． 【答案与解析】 解：∵、是实数，，，，
∴，． ∴－3，． 把－3，代入，得－＋2＝－4，∴＝6． 【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先 求出、的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、 绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可． 举一反三： 【变式】若，求的值． 【答案】 解：由，得，，即，． ①当＝1，＝－1时，． ②当＝－1，＝－1时，．
平方根总结知识点
平方根总结知识点一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于另一个数的操作，比如数a的平方根就是满足等式：x^2= a的x，记作√a。
1. 正数的平方根当a是非负实数时，存在一个非负实数x，使得x^2 = a成立，这个非负实数就是a的平方根。
如果a=0，则a的平方根为0；如果a>0，则a的平方根有两个，一个是正数，一个是负数。
比如，√9=3，-3。
2. 负数的平方根当a是负实数时，不存在任何实数x，使得x^2 = a成立，因此负数没有实数域内的平方根，这在实数范围内是没有意义的。
3. 复数的平方根如果a是负数，则我们可以在复数域内寻找a的平方根，因为复数域中规定了i^2 = -1，即虚数单位i的平方为-1。
因此，负数a的平方根可以表示为√a=i√|a|，其中|a|表示a的绝对值。
二、平方根的性质平方根具有一系列性质，这些性质对于平方根的运算和性质分析都有着重要的作用。
1. 非负实数的平方根性质（1）正数的平方根是非负实数，即√a≥0。
（2）如果a<b，则√a<√b。
（3）平方根的运算性质：a) √(ab) = √a * √bb) √(a/b) = √a / √b （其中b≠0）2. 负实数与复数的平方根性质（1）负实数的平方根是复数且成对出现，例如√-4 = 2i。
（2）负实数的平方根满足共轭关系：如果z是负数a的平方根，那么z的共轭z*也是负数a的平方根。
3. 平方根的运算规律（1）平方根的加减法计算：a) √a + √b = √(a + 2√ab + b)b) √a - √b = √(a - 2√ab + b)（2）平方根的乘除法计算：a) √ab = √a * √bb) √(a/b) = √a / √b （其中b≠0）三、平方根的计算方法1. 精确计算如果已知某个数的精确值，可以直接通过平方根的定义来计算，即求解方程x^2 = a。
但是这种方法对于大数来说较为繁琐，且无法精确计算出其平方根。
初二上册数学《平方根》知识点
初二上册数学《平方根》知识点《平方根》是初中数学中的重要知识点之一，它是解决一元二次方程、勾股定理、正方形和正方体的表面积等问题的基础。
本文将详细介绍《平方根》的相关概念、性质和解题方法。
一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于该数的非负实数解。
其中，平方根后面的方括号[]表示正平方根的意思。
例如，若a²=b，则称b为a的平方根。
若a²=b²，则称b为a的绝对值。
二、平方根的性质1.非负数的平方根是非负数。
2.负数没有实数平方根，但可以有虚数平方根。
例如，-1的平方根为i（虚数单位）。
3.平方根具有唯一性。
正数的平方根只有一个值，且为正数；负数的平方根只有一个值，且为虚数。
三、平方根的运算法则1.两个平方数的积的平方根等于这两个数的平方根的乘积。
即√(a*b)=√a*√b。
2.两个平方数的商的平方根等于这两个数的平方根的比值。
即√(a/b)=√a/√b。
3.任意一个非负实数的平方根都可以写成一个非负实数的平方根与i （虚数单位）的乘积形式。
即√a=√（a*k²）=k*√a。
四、平方根的求解方法1.直观法：通过检验其中一数的平方与所求的值相近程度来估算。
例如，√3≈1.73，因为1.73²≈32.质数因子分解法：将数分解为质数的乘积，然后提取平方根。
例如，√48=√(2²*2*2*3)=2√33.倒数法：根据倒数的性质，将数分解为两个因数，其中一个因数的平方是已知的。
例如，√0.04=0.24.计算器使用法：利用计算器的平方根功能求得结果。
这种方法简便且精确。
五、平方根的应用1.解一元二次方程：通过求解一元二次方程的平方根来获得方程的解。
例如，对于方程x²+4x+3=0，可通过求解√(4²-4*3)来获得方程的解。
2.求直角三角形的边长：根据勾股定理，直角三角形的斜边等于两直角边的平方和的平方根。
例如，若直角边分别为3和4，则斜边为√(3²+4²)=53.求正方形和正方体的面积：正方形的面积等于边长的平方，正方体的表面积等于一个面的面积乘以6、例如，正方形的面积为a²，正方体的表面积为6a²。
平方根知识点
平方根知识点
1. 平方根的定义和符号表示
- 平方根是指一个非负实数的算术平方根。
- 平方根通常用符号"√" 表示,如"√9" 表示 "9 的平方根"。
2. 完全平方的平方根
- 如果一个数是某个整数的平方,那么它的平方根就是该整数。
- 例如,9 是 3 的平方,所以√9 = 3。
3. 非完全平方数的近似平方根
- 对于非完全平方数,无法求出精确的平方根值,只能通过一些方法求出近似值。
- 常用的求近似平方根值的方法有:长除法、牛顿迭代法等。
4. 平方根的性质
- 平方根满足某些代数性质,如:
(1) (√a)^2 = a (对于任何非负实数 a)
(2) √(a * b) = √a * √b
(3) √(a / b) = √a / √b
(4) 1 / √a = √(1 / a)
5. 平方根在几何中的应用
- 在几何学中,平方根常用于计算直角三角形的斜边长。
- 利用勾股定理: 斜边长的平方 = 两直角边长度的平方和。
6. 平方根在其他领域的应用
- 平方根在物理、工程、金融等领域也有广泛应用。
- 例如,在动量、加速度等物理量的计算中会用到平方根。
以上是关于平方根的一些基本知识点,涵盖了定义、符号表示、性质、求解方法以及在不同领域的应用。
初中数学知识归纳平方根的概念和性质
初中数学知识归纳平方根的概念和性质在初中数学中，平方根是一个非常重要的概念。
它不仅能够帮助我们解决各种问题，还有一些有趣的性质。
本文将归纳平方根的概念和性质，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 平方根的概念平方根，顾名思义，就是能够使平方得到某个数的根。
对于非负数a来说，如果存在一个非负数b，使得b的平方等于a，那么b就是a的平方根。
用数学符号表示为√a=b。
2. 平方根的性质a) 平方根的存在性：对于非负实数a，总是存在一个非负实数b，使得b的平方等于a。
换句话说，任何一个非负实数都有平方根。
b) 平方根的唯一性：非负实数a的平方根是唯一确定的。
也就是说，如果b的平方等于a，那么b就是a的平方根。
这个性质可以用反证法来证明。
c) 平方根的范围：正数的平方根是正数，非正数的平方根是非正数。
例如，4的平方根为2和-2，-4的平方根为2i和-2i（其中i是虚数单位）。
3. 平方根的计算在初中数学中，我们通常使用近似值来计算平方根。
下面是一些常用的计算平方根的方法：a) 精确平方根：对于一些特殊的数，我们可以准确地求出它的平方根。
例如，√4=2，√9=3等。
这些可以直接通过记忆获得。
b) 估算法：如果某个数的平方根不是一个精确的整数，我们可以使用估算法来计算它的近似值。
这种方法常见的有牛顿迭代法、二分法等。
我们可以根据具体情况选择适当的方法来计算。
c) 计算器：在现代科技的帮助下，我们可以轻松地使用计算器来计算平方根。
大多数计算器都具有开方功能，只需要输入待求平方根的数，按下相应的键，就可以得到准确的结果。
4. 平方根的应用平方根在日常生活和数学领域中有着广泛的应用。
下面是一些常见的应用：a) 测量：在几何学中，我们可以使用平方根来计算物体的尺寸。
例如，通过计算一个矩形的面积的平方根，我们可以得到它的对角线的长度。
b) 方程求解：在代数学中，平方根经常被用于求解方程。
举个例子，对于一个一元二次方程，我们可以使用平方根的性质来求解它的根。
平方根知识点总结
平方根知识点总结数学中，平方根是一个常见且重要的概念。
它是数学中的一个运算，用来求解一个数的平方根。
在这篇文章中，我们将总结平方根的相关知识点。
平方根的定义很简单：给定一个非负数a，它的平方根就是另一个数x，满足x的平方等于a。
这个定义可以表示为：√a = x。
首先，让我们来看看平方根的性质。
平方根有两个重要的性质：非负性和唯一性。
非负性是指，每个非负数都有一个非负平方根。
也就是说，对于任意非负数a，它的平方根x满足x≥0。
这是因为一个数的平方总是非负的，所以平方根也必须是非负的。
唯一性是指，每个非负数都有唯一一个非负平方根。
也就是说，对于任意非负数a，存在唯一一个非负数x满足x的平方等于a。
这意味着非负平方根是一个单值函数。
接下来，我们来介绍一些求解平方根的方法。
最常见的方法是使用计算器或数学软件来求解。
计算器通常具有一个平方根按键，只需输入数值即可得到平方根的结果。
而数学软件则可以通过输入平方根的数学表达式来求解。
另一种常见的方法是使用近似求解。
这种方法通常用于没有计算器或数学软件的情况下。
近似求解的思路是通过逐步逼近，找到与所求平方根最接近的数。
这可以通过试探和猜测不断进行，直到达到所需的精确度。
对于一些特殊的数，我们可以使用一些特殊的方法来求解平方根。
例如，对于完全平方数，其平方根是一个整数，例如4的平方根是2。
而对于无理数，其平方根是一个无限不循环的小数，例如2的平方根是一个无限不循环的小数。
对于无理数，我们可以使用近似方法来求解。
平方根在实际生活中有广泛的应用。
例如，在几何学中，平方根被用来计算三角形的斜边长度。
在物理学中，平方根被用来计算物体的速度和加速度。
在金融学中，平方根被用来计算统计数据的标准差。
总结一下，平方根是数学中的一个重要概念，用来求解一个数的平方根。
它具有非负性和唯一性两个重要性质。
求解平方根的方法包括使用计算器或数学软件，近似求解和特殊方法。
平方根在几何学、物理学和金融学等领域有广泛的应用。
初一下册平方根知识点总结.docx
个性化教学辅导方案例3:若..「4 ■ b -9 =0,求b的平方根课堂练习基础过关1、判断下面说法是否正确：（1）0的平方根是0；（)（2）1的平方根是1；（)（3）-的平方根是T；( )（4）（-）2的平方根是T∙( )（5）-9的平方根是一3;()（6）49的平方根是7 ;（)（7）2（-2）的平方根是± 2；（)（8）-1是1的平方根；( ) （9）7的平方根是± 49.()（10）2右X= 16 ，贝U X = 4 ( )2、下列各数没有平方根的（)(A) 643(B)(乞)3 (C)0 (D)4(-3 ) 4 5 63、下列各式没有意义的是( )(A) 2 (B) 、X(X_0)(C)(D) 04若使 a 1有意义,则a的取值范围是（）（A）一切有理数（B） a ≠ -1 （C） a ≤-1 （D） a ≥-15一个数的平方等于它本身，这个数是；一个数的平方根等于它本身，这个数是6若4a+1的平方根是± 5，则a= ________________ 。
7、若X 2 =2,求2x+5的算术平方根8 已知2a—1的平方根是出，3a+ b—1的平方根是±4,求a和b的值9、有一块正方形玻璃重 6.75千克，已知此种玻璃板每平方厘米重 1.2克,求这块玻璃板的边长.课后作业一、填空题1、36的算术平方根是______ ,36的算术平方根是 _______ .2、如果a3=3,那么a= ______ . 如果Ja =3,那么a= ________ .3、一个正方体的表面积是78,则这个正方体的棱长是__________ .4、算术平方根等于它本身的数是 ________ .5、J(-6)2 = ________ , - J(_7)2 = ________ . ± Vδ2 = ______ , P a2 = ________6、J25的算术平方根是 ___________ .二、解答题：7、求满足下列各式的非负数X的值：(1)169x 2=100 (2)x 2-3=0。
平方根知识点总结讲义
平方根知识点总结【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即2x a=,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作a的算术平方根”，a叫做被开方数.要点诠释：a≥0，a≥0.2.平方根的定义=，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方如果2x aa≥a的算术平方根.互为逆运算. a(a≥0)的平方根的符号表达为0)要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.要点三、平方根的性质要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：62500250=，62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），解得m ＝1；∴m 的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？2x 4x -11x x +-1x - 【答案与解析】解：(1)因为20x ≥，所以当x 2x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥4x - (3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤11x x +-(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠． 所以当1x ≥且3x ≠时，13x x -- 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义． 举一反三：【变式】已知4322232b a a =-+-+，求11a b +的算术平方根． 【答案】 解：根据题意，得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以b ＝2，∴1131222a b +=+=， ∴11a b+的算术平方根为112a b +=． 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值． (1)2222252434-+g ；(2)111200.36900435--． 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序.【答案与解析】解：(1)2222252434-+g 49257535==⨯=g ； (2)1118111200.369000.630435435--=-⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根据2(0)a a a =>来解．类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-=【答案与解析】解：（1）∵23610x -=∴2361x =∴36119x ==±（2）∵()21289x +=∴1289x +=∴x ＋1＝±17x ＝16或x ＝－18.（3）∵()2932640x +-= ∴()264329x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______；（3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______．【答案】（1）±；（2）±13；（3）32±；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b 26|20a b +=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-． 【答案与解析】解：∵a 、b 26|20a b ++=260a +，|20b ≥，∴260a +=，20b =．∴a =－3，2b =把a =－3，2b =2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可． 举一反三：2110x y -+=，求20112012x y +的值．【答案】解：由2110x y -++=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm 的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得32300x x ⋅=.26300x =.250x =.∵ x ＞0，∴ 50x = ∴ 长方形纸片的长为350cm .∵ 50＞49,507>.∴ 35021>, 即长方形纸片的长大于20cm .由正方形纸片的面积为400 2cm , 可知其边长为20cm ,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm 的正方形纸片裁出长方形纸片.。
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2.2 平方根
知识点梳理
知识点1 算术平方根及其性质（重点）
一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的
算术平方根，记为，读作“根号”。
例如3=9，那么9的算术平方根是3，
即=3
特别地，规定0的算术平方根是0，即=0，负数没有算术平方根。
算术平方根具有双重非负性。
（1）若有意义，则被开方数是非负数。
（2）算术平方根本身是非负数。
【例1】求下列各数的算术平方根。
⑴0.81 ⑵⑶⑷
⑸ 13
1.判断下列各数是否都有算术平方根，并说明理由。
如果有，请求出它们的算术
平方根
⑴⑵ 0 ⑶⑷
知识点2 平方根及其性质（重点）
一般地，一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根，也
叫二次方根。
正数有两个平方根，一个是的算术平方根，另一个是。
这两个平方根合起来可记作，读作“正、负根号”
平方根的性质
（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数。
（2）0只有一个平方根，它是0本身
（3）负数没有平方根。
【例2】求下列各数的平方根及其算术平方根。
⑴ 0.64 ⑵⑶ 0
2.求下列各数的平方根和算术平方根：
⑴ 36 ⑵⑶⑷⑸
知识点3 开平方
求一个数的平方根的运算叫做开平方，其中叫做被开方数。
开平方与平方互为逆运算。
开平方时，被开方数必须是非负数。
即0
【例3】求下列各式的值
⑴⑵⑶
3.求下列各式的值
⑴⑵
知识点4 的性质（重点）
（1）（≥0）如
（2），可以取任意实数，如：，
【例4】求下列各式的值
⑴⑵
4. 求下列各式的值
⑴⑵
要点归纳
要点1 平方根的概念及意义：平方根号里面的数或式子必须大于或等于0. 即中，≥0
【例1】当为何值时，下列各式有意义？
⑴⑵⑶⑷
1.已知有意义，则能取的最小整数为（）
A. 0
B. —1
C. 2
D. 3
要点2 平方根与方程
【例2】求下列各式的值
⑴ 81⑵ 49⑶
2.求下列各式中的值
⑴ 2⑵⑶ 4
要点3 算术平方根的非负性的应用
【例3】若，求的值。
3.已知5，求、值
4.已知，求的值
要点4 公式的简单应用
【例4】实数，化简
5.已知，那么的取值范围是
6.已知，化简______________
要点5 知道平方根求原数。
【例5】【例5】已知的平方根是，求的值。
7.若的平方根是，的平方根是，求的值。
8.若某个数的平方根是与，则的值。
误区警示
1.对的理解出错
【例1】求的值。
2.审题不认真导致错误
【例2】的平方根是_______。