2012届高三数学一轮复习 6.5 含绝对值的不等式课件理大纲版人教版

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大纲版高二数学下§6.5含绝对值的不等式(修改稿51-58页)

2 2 2 2 2 2 2
∴ Δ = a -4b<4±a 2 2 由此得-4<-a - a -4b≤-a+ a -4b<4 ∴-2<α ≤β <2,即|α |<2,|β |<2. 2 证明二:设 f(x)=x +ax+b,则它的图象是开口向上的抛物线. ⑴ 由|α |<2,|β |<2 可得|b|=|α β |<4 f(-2)>0,f(2)>0 即 4+2a+b>0 且 4-2a+b>0 故 -(4+b)<2a<4+b. ∴2|a|<4+b ⑵ 由 2|a|<4+b 可得-(4+b)<2a<4+b 故 4+2a+b>0,4-2a+b>0 即 f(-2)=4-2a+b>0 且 f(2)=4+2a+b>0 由此可知,f(x)=0 的两根都在区间(-2,2)内或α <β <-2 或 2<α <β 若α <β <-2 或 2<α <β ,则|α β |>4,这与|α β |=|b|<4 矛盾, 所以|α |<2,|β |<2. 方法规律: 由题目提示信息,发现并沟通题设条件和特征结论之间的联系,要使系数与根发生联系需利用韦达定理或利用三个二次型之间的关系,是不等式性质逆用也是解题的常用技巧.
|a+b| |a|+|b| ∵f(|a+b|)= , f(|a|+|b|)= 1+|a+b| 1+|a|+|b| 又∵|a|+|b|≥|a+b| ∴f(|a|+|b|)≥ f(|a+b|) ∴ |a|+|b| |a+b| ≥ 成立 1+|a|+|b| 1+|a+b|

高考数学一轮复习必备含绝对值的不等式

第51课时：第六章不等式——含绝对值的不等式课题：含绝对值的不等式一．复习目标：1．理解含绝对值的不等式的性质，及其中等号成立的条件，能运用性质论证一些问题；2．会解一些简单的含绝对值的不等式．二．知识要点：1．含绝对值的不等式的性质：①||||||||||a b a b a b -≤+≤+，当时，左边等号成立；当 0 ab ≥时，右边等号成立．②||||||||||a b a b a b -≤-≤+，当时，左边等号成立；当时，右边等号成立．③进而可得：||||||||||a b a b a b -≤±≤+．2．绝对值不等式的解法：①0a >时，|()|()()f x a f x a f x a >⇔><-或；|()|()f x a a f x a <⇔-<<；②去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法；③根据绝对值的几何意义，通过数形结合解绝对值不等式．三．课前预习：1．不等式|lg ||||lg |x x x x -<+的解集为（）()A (0,)+∞ ()B (0,1) ()C (1,)+∞ ()D (1,10)2．不等式1|21|2x ≤-<的解集为（）()A 13(,0)[1,)22- ()B 13{01}22x x -<<≤≤且 ()C 13(,0][1,)22- ()D 13{01}22x x -<≤≤<且 3．()f x 为R 上的增函数，()y f x =的图象过点(0,1)A -和下面哪一点时，能确定不等式|(1)|1f x -<的解集为{|14}x x << （）()A (3,1) ()B (4,1) ()C (3,0) ()D (4,0)4．已知集合{||1|}A x x a =-≤，{||3|4}B x x =->，且A B φ=，则a 的取值范围是．5．设有两个命题：①不等式|||1|x x m +->的解集是R ；②函数()(73)xf x m =--是减函数，如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是．四．例题分析：例1．已知01x <<，01a <<，试比较|log (1)|a x -和|log (1)|a x +的大小．例2．求证：||||||1||1||1||a b a b a b a b +≤+++++．例3．设,,a b c R ∈，已知二次函数2()f x ax bx c =++，2()g x cx bx a =++，且当||1x ≤时，|()|2f x ≤，（1）求证：|(1)|2g ≤；（2）求证：||1x ≤时，|()|4g x ≤．例4．设m 等于||a 、||b 和1中最大的一个，当||x m >时，求证：2||2a b x x +<．五．课后作业：1．若,a b R ∈，且||||a c b -<，则（） ()A ||||||a b c <+ ()B ||||||a b c >- ()C a b c <+ ()D a b c >-2．若0m >，则||x a m -<且||y a m -<是||2x y m -<的（）()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 、()g x ，设不等式|()||()|f x g x a +<(0)a >的解集是M ，不等式|()()|f x g x a +<(0)a >的解集是N ，则集合M 、N 的关系是（） ()A N M ≠⊂ ()B M N = ()C M N ⊆ ()D M N ≠⊂ 4．不等式||22x x x x≥++的解集是． 5．不等式|4||3|x x a -+-<的解集不是空集，则a 的取值范围是．6．若实数,a b 满足0ab >，则①||||a b a +>；②||||a b b +<；③||||a b a b +<-；④||||a b a b +>-．这四个式子中，正确的是．7．解关于x 的不等式2||x a a -<（a R ∈）．8．解不等式：（1）2|1121|x x x -+>；（2）|3||21|12x x x +-->+． 9．设有关于x 的不等式lg(|3||7|)x x a ++->，（1）当1a =时，解这个不等式；（2）当a 为何值时，这个不等式的解集为R ．10．设二次函数2()f x ax bx c =++对一切[1,1]x ∈-，都有|()|1f x ≤，求证：（1）||1a c +≤；（2）对一切[1,1]x ∈-，都有|2|4ax b +≤．。

高考数学第一轮复习考纲《绝对值不等式》课件29 理

【互动探究】 4．已知函数 f(x)＝|x－8|－|x－4|. (1)如图 5－7－2 中，作出函数 y＝f(x)的图像； (2)解不等式|x－8|－|x－4|＞2.
图 5－7－2
4 x≤4 解：(1)f(x)＝－2x＋12 4<x≤8 －4 x>8 图像如图 5－7－3：
【互动探究】 {x|－1<x<2} 2．(1)(2010 年陕西)不等式|2x－1|<3 的解集为___________ ． {x|－3≤x≤2} ． (2)不等式|x－1|＋|x＋2|≤5 的实数解为______________
1 x≤－－x－5 2 1 解析： (1－2<x<4 x＋5 x≥4
利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b| 的几何意义解不等式例 3：设函数 f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式 f(x)>2； (2)求函数 y＝f(x)的最小值．
考点 3
.
作出函数 y＝|2x＋1|－|x－4|的图像，如图 5－7－1，它与直线 y＝2
5 的交点为(－7,2)和 3，2. 5 (－∞，－7)∪3，＋∞.
考点 1 利用绝对值的定义解不等式
例 1：(2010
x－2 x－2 > 年江西)不等式 x 的解集是( x
)
A．(0,2) C．(2，＋∞)
B．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：绝对值大于本身，值为负数.
x－2 <0，解得 A. x
或者选择 x＝1 和 x＝－1，两个检验进行排除．故选 A
1 1 <x<2 x≤ 2 ②或 2 ③，不等式组 2x－1＋x－2<0 －2x－1＋x－2<0 1 1 ①无解，由②得2<x<1，由③得－1<x≤2，综上得－1<x<1，所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}.

高考一轮复习理科数学课件绝对值不等式的解法及其应用

知识点梳理和归纳总结
01
绝对值不等式的定义和性质
明确绝对值不等式的概念，掌握其基本性质，如正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
02
绝对值不等式的解法
熟练掌握绝对值不等式的解法，包括分段讨论法、平方法、几何意义法等，能够根据不同的题型选择合适的解法。
03
绝对值不等式的应用
了解绝对值不等式在解决实际问题中的应用，如求解最值问题、证明不等式等。
针对性地进行专项训练和模拟考试
专项训练
针对绝对值不等式的各类题型进行专项训练，如含参绝对值不等式、绝对值三角不等式等，提高解题速度和准确率。
模拟考试
定期进行模拟考试，模拟真实考试环境，检验自己的备考效果，查漏补缺。
其他相关定理和性质介绍
绝对值的非负性
对于任意实数x，都有|x|≥0，且 |x|=0当且仅当x=0。
绝对值的单调性
对于任意实数x、y，若x≤y，则 |x|≤|y|。但反之不成立，即若|x|≤|y|
，不能推出x≤y。
绝对值的几何意义
在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值。因此，绝对值与距离、长度等几何概念密切相关。
绝对值不等式分类
03
根据不等号方向分类
可分为严格不等式（如$|x|<a$）和非严格不等式（如$|x|leq a$）。
根据涉及绝对值个数分类
可分为单一绝对值不等式（如$|x-1|<2$ ）和多个绝对值不等式（如$|x1|+|x+2|geq 3$）。
根据解法不同分类
可分为可直接去绝对值符号求解的不等式和需要讨论绝对值内部表达式正负情况求解的不等式。

【学海导航】高三数学第一轮总复习6.5含有绝对值的不等式课件

10
拓展练习若对一切实数x，不等式|x+1|+|x-
2|＞a恒成立，求实数a的取值范围.
解：设f(x)=|x+1|+|x-2|，
则f(x)＞a
f(x)］min＞a.
因为f(x)=|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，
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当且仅当(x+1)(x-2)≤0，即-1≤x≤2时取等号，
所以［f(x)］min=3.故a的取值范围是(-∞,3).
11
题型2 求含绝对值的不等式的解集
2. 解下列不等式：
(1)|x-x2-2|＞x2-3x-4;
(2)| 3x 1 |≤1(a＞- 1，为常数).
x-a
3
解：(1)解法1：原不等式等价于x-x2-2＞x2-
3x-4或x-x2-2＜-(x2-3x-4)，
所以0＜x＜1.
7
已知不等式|2x-t|+t-1＜0的解集为(- 1
2
, 1 )，则______.
2
解：依题意|2x-t|＜1-t，所以t-1＜2x-t＜
1-t，
即2t-1＜2x＜1，即t- 1 ＜x＜ 1 ,所以
2
2
t=0.
8
题型1 比较含绝对值的代数式的大小 1. 设f(x)= -x，已知|x-a|＜1，比较
盘点指南：①||a|-|b||;②|a|+|b|;③||a|-|b||;④
|a|+|b|;⑤a;⑥-a;⑦f2(x)≤g2(x); ⑧

f f
(x) (x)

g(x)
-g(x);⑨
f(x)≥g(x)或f(x)≤-g(x) .

高三数学最新课件-含绝对值的不等式[整理]人教版精品

所以原不等式的解： x | x 1 或 x 1

Y 5
3 -1
1 3 x 1 ( x 2 ) 1 f ( x) | 2 x 1 | | x 2 | x 3 ( x 2) 2 3 x 1 ( x 2)
1 0
含绝对值的不等式
一、基础知识
a (a 0 ) 1、绝对值的基本性质：设a R , 则 a a ( a 0 )
1 4
a a 2 a a a ( 3 ) | a | a
2
2
a a , ab ba
2、绝对值的运算法则
1
f ( x) x | x | x | x | f ( x), f ( x)是奇函数解（1）当a=0 时，
当 a 0 时， f (a) 0 , f (a) 2a | a | 0, f ( x) 是非奇非偶函数
x a x a 或 2 （2）x | x a | 2a 2 2 2 x ax 2 a 0 x ax 2 a 0 x a x 或 ( x 2a)(x a) 0 当a=0 时， x 0 当 a 0 时，x 2a 当 a 0 时， x a
2 f x gx gx f x gx
f x gx f x gx 或 f x gx
3 f x gx f 2 x g 2 x f x gx f x gx 0
2
2.5
1
y=4
2
X
x 练习:（2003年全国）已知 c 0 ，设P：函数 y c 在R上递减，Q：不等式 x | x 2c | 1 的解集为R，如果P与Q有且仅有一个正确，求 c 范围。

高中数学 6.5含绝对值的不等式(第一课时) 大纲人教版必修

6.5 含有绝对值的不等式●课时安排 2课时 ●从容说课本小节的内容包括含绝对值不等式的一个定理，两个推论及其证明和应用.本小节教学时间约需2课时.1.本小节的定理是含绝对值不等式的一个重要性质，在以后解决各类含绝对值不等式的问题时经常用到，一定要让学生掌握.对于这个定理的教学，学生可能不易接受.为此，教学时要注意使学生明白：（1）绝对值的含义：若x ∈R ，则|x|=⎪⎩⎪⎨⎧-x x 0).0(),0(),0(<=>x x x（2）绝对值的几何意义：|x|指数轴上坐标为x 的点到原点的距离，|x-m|指数轴上坐标为x 的点到坐标为m 的点的距离.（3）绝对值的运算性质： |a ·b|=|a|·|b|；|ba|=ba （b ≠0）.（4）弄清楚为什么|x|=|-x|，-|x|≤x ≤|x|. （5）含绝对值不等式定理实际上包括两总分，即 |a+b|≤|a|+|b|； ① |a|-|b|≤|a+b|. ②而②式与|a|≤|a+b|+|b|等价，再把它改写成|(a+b)+(-b)|≤|a+b|+|-b|.以后，就可以发现本质上与①式一样，所以主要是证明①式.（6）为了加深对定理的理解，可以向学生指出：定理的左、中、右三部分中，右边是绝对值的和，肯定是非负的；中间是和的绝对值，可能因为a，b一正一负要抵消一部分，但由于是绝对值，仍是非负的；左边是绝对值的差，当b≠0时，肯定要抵消一部分，而且还可能是负的.这样大、中、小的关系也就容易理解与记忆了.还应指出，此定理在后面学习复数时，可以推广到比较复数的模长，并有其几何意义.2.本小节含绝对值不等式定理的推论1还可以推广到n（n是大于2的自然数）个数（或式）的和的绝对值小于或等于这n个数的绝对值的和.推论2与定理虽然形式上有所不同，但实质上是等价的.因为这里a，b是任意实数，所以只要用-b代替b，就可以由其中任何一个推得另一个，因此推论2不必要求学生记忆.3.本小节的重点和难点在于：（1）应用含绝对值不等式定理时，一定要注意等号成立的条件：|a+b|=|a|+|b|⇔ab≥0；|a-b|=|a|+|b|⇔ab≤0；|a|-|b|=|a+b|⇔(a+b)b≤0；|a|-|b|=|a-b|⇔(a-b)b≥0.（2）含绝对值的不等式的证明题主要分两类，一类是略简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为普通的不等式证明题，或利用不等式性质：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，通过适当的添项或拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，这时，往往可考虑利用恒成立，则特殊情况也成立，或转化为一元二次方程的根分布等证明.（3）含绝对值的不等式成立与否的判断，常可利用绝对值不等式性质，或特殊值法进行.（4）绝对值的定义，几何意义和运算性质，是解决含有绝对值不等式问题的基础.用平方法消去绝对值符号时，要注意不等式两边都必须是非负数；分段讨论消去绝对值符号的原则是“不重、不漏”，一般步骤是：（a）确定代数式的根值，（b）确定分段所得的区间，（c）逐段讨论，（d）求并集.4.课本本小节的三道例题，都是讲含绝对值不等式的证明.例1中，有意使用了字母“ξ”，其目的是为学生以后学习微积分作准备.例2、例3中，都没有使用到刚学过的含绝对值不等式的定理，而是用绝对值的性质、不等式的性质、算术平均数与几何平均数的定理证得的，这又一次说明，证明不等式的方法是多样的，一定要灵活掌握.含绝对值符号的不等式近几年在高考试题中出现率比较高.它有时出现在选择、填空题中，内容多以判断、求解、求参数的取值范围等的单纯的绝对值不等式或与其他知识小综合的形式出现，难度属于中低档；有时会与函数、数列、解析几何等综合，以证明、求解、求参数的取值范围等形式出现在解答题中，这时往往较难，需要我们在平时教学过程中根据学生的实际情况逐步进行渗透，以取得较好的效果.●课题§6.5.1 含有绝对值的不等式(一)●教学目标（一）教学知识点1.含有绝对值不等式的重要性质定理及推论.2.有关简单的含绝对值不等式的证明问题.(二)能力训练要求1.理解和掌握不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|及推论,并会证明这个定理.2.能运用上面的不等式,解决一些简单的有关含绝对值不等式的证明问题.(三)德育渗透目标1.培养学生观察、推理的思维能力.2.使学生树立创新意识.3.运用联系的观点解决问题,提高学生的数学素质.●教学重点1.定理|a+b|≤|a|+|b|,可以推广到n个数的形式,即|a1+a2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a n|,证明可以依照定理的方法.2.定理中|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,等号成立的条件是:|a|-|b|=|a+b|⇔ab≤0且|a|≥|b|.|a|+|b|=|a+b|⇔ab≥03.在有关含绝对值的不等式的证明过程中,要注意运用不等式的性质,绝对值的性质.●教学难点定理|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|的理解和记忆以及等号成立的条件.●教学方法引导学生发现规律,启发诱导教学法.●教具准备幻灯片一张记作§6.5.1 A(二)不等式的概念、性质●教学过程Ⅰ.课题导入前面，我们学习过绝对值和不等式的性质以及不等式的证明方法.（打出幻灯片§6.5.1 A,引导学生阅读,复习巩固绝对值性质和不等式性质,为学习研究含有绝对值的不等式打下基础)我们知道,当a>0时,|x|<a⇔-a<x<a,|x|>a⇔x>a或x<-a.根据上面的结果和不等式的性质,我们再来研究一些含有绝对值的不等式的证明问题.Ⅱ.讲授新课(一)含有绝对值不等式的重要性质定理及推论:看下面的性质定理:定理|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|分析:由绝对值的定义及其性质可知:对任意的x∈R,均有|-x|=|x|,-|x|≤x≤|x|.再考虑定理内容,它实际上包括两部分,即|a+b|≤|a|+|b|;|a|-|b|≤|a+b|.注意到|a|-|b|≤|a+b|⇔|a|≤|a+b|+|b|⇔|(a+b)+(-b)|≤|a+b|+|-b|⇔|a+b|≤|a|+|b|,故只需证明命题|a+b|≤|a|+|b|即可.证明:∵-|a|≤a≤|a|-|b|≤b≤|b|∴-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|即|a+b|≤|a|+|b|. ①又a=a+b-b且|-b|=|b|由①得|a|=|a+b-b|=|(a+b)-b|=|(a+b)+(-b)|≤|a+b|+|-b|=|a+b|+|b|∴|a|≤|a+b|+|b|即|a|-|b|≤|a+b| ②综合①、②可得:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|请同学们想一想:上面的定理中,a、b满足什么条件时,可以取“=”号?生答:(1)当a,b同号时,右取“=”号;(2)当a,b异号且|a|≥|b|,左取“=”号;(3)当a,b至少有一个为0时,左、右都取“=”号.由上面的定理,我们很容易得到:推论1:|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|(证明过程留给同学们自己完成) 推论2:|a |-|b |≤|a -b |≤|a |+|b |分析:利用上面定理结合a -b =a +(-b )很容易得证. 证明:∵|a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b |且a -b =a +(-b ) ∴|a |-|-b |≤|a +(-b )|≤|a |+|-b |即 |a |-|b |≤|a -b |≤|a |+|b |.同学们再想一想:推论2中,a ,b 满足什么条件时,可以取“=”号?生答:(1)当a ,b 异号时,右取“=”号; (2)当a ,b 同号且|a |≥|b |时,左取“=”号; (3)当a ,b 至少有一个为0时,左,右都取“=”号.注意:推论1还可以推广到n (n ∈N 且n >2)个数(或式)的和的绝对值小于或等于这n 个数的绝对值的和.即|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |.(n ∈N 且n >2).推论2与定理虽然形式上有所不同,但实质上是等价的.这是因为这里a ,b 是任意实数,所以只要用-b 代替b ,就可以由其中任一个推得另一个.(二)定理及其推论的应用:［例1］已知|x |<3ε,|y |<6ε,|z |<9ε,求证： |x +2y -3z |<ε.分析:从所证的不等式来看,左边复杂一些,故利用有关性质把结论左边进行变形,创设利用条件的机会.从目标不等式结构特点观察,显然利用推论1,即|a 1+a 2+a 3|≤|a 1|+|a 2|+|a 3|.证明:|x +2y -3z |≤|x |+|2y |+|-3z |=|x |+|2|·|y |+|-3|·|z |=|x |+2|y |+3|z |.∵|x |<3ε,|y |<6ε,|z |<9ε.∴|x |+2|y |+3|z |<3ε+62ε+93ε=ε即|x +2y -3z |<ε.［师生共析］本题的证明主要是依据本节定理的推论1进行变形的,望注意体会.这种方法在以后学习中还会遇到.本例还有意使用了字母“ε”,其目的是为我们以后学习微积分作点准备.［例2］设a ,b ,c ,d 都是不等于0的实数,求证：ad d c c b b a +++≥4.分析:本题中a ,b ,c ,d 都是不等于0的实数,由绝对值性质可知:|ba |、|cb |、|dc |、|ad |均为正数.结合目标不等式的结构特征,为运用算术平均数与几何平均数定理创造了条件.故运用公式2b a +≥ab (a >0,b >0)及不等式性质可使命题得证.证明:∵a ,b ,c ,d 都是不等式0的实数, ∴|ba |>0,|cb |>0,|dc |>0,|ad |>0. ∴|ba |+|cb |≥2ca cb b a 2=⋅ ①|dc |+|ad |≥2ac ad d c 2=⋅ ②2224=⋅=⋅≥+ac c a ac c a a c c a 又由①②③式,得:［师生共析］本例的证明,没有使用到刚学过的含绝对值不等式的定理,而是用绝对值的性质、不等式的性质、算术平均数与几何平均数的定理证得的.这又一次说明,证明不等式的方法是多样的,一定要灵活掌握.Ⅲ.课堂练习1.证明下列不等式:(1)a ,b ∈R ,求证|a +b |≤|a |+|b |;(2)已知|h |<ε,|k |<ε(ε>0),求证:|hk |<ε; (3)已知|h |<c ε,|x |<c (c >0,ε>0),求证:|xh |<ε.分析:用绝对值性质及不等式性质作推理运算.绝对值性质有:|ab |=|a |·|b |;|a n|=|a |n,|ba |=ba 等.证明:(1)证法一:∵-|a |≤a ≤|a |,-|b |≤b ≤|b | ∴-(|a |+|b |)≤a +b ≤|a |+|b | 即|a +b |≤|a |+|b | 证法二:(平方作差)(|a |+|b |)2-|a +b |2=a 2+2|a ||b |+b 2-(a 2+2ab +b 2)=2［|a |·|b |-ab )=2(|ab |-ab )≥0显然成立.故(|a |+|b |)2≥|a +b |2③又∵|a |+|b |≥0,|a +b |≥0所以|a |+|b |≥|a +b |,即|a +b |≤|a |+|b |.(2)∵0≤|h |<ε,0≤|k |<ε (ε>0)∴0≤|h |·|k |<ε·ε即|hk |<ε.(3)由0<c <|x |可知: 0<c x 11<且0≤|h |<c ε ∴c h x 11<⋅·c ε 即|x h |<ε.2.求证:|x +x 1|≥2(x ≠0)分析:x 与x 1同号,因此有|x +x 1|=|x |+|x 1|.证法一:∵x 与x 1同号∴|x +x 1|=|x |+x 1 ∴|x +x 1|=|x |+x 1≥2x x 1⋅=2 即|x +x 1|≥2.证法二:当x >0时,x +x 1≥2xx 1⋅=2当x <0时,-x >0,有-x +2121)(21-≤+⇒=-⋅-≥-x x x x x∴x ∈R 且x ≠0时有x +x 1≤-2,或x +x 1≥2即|x +x 1|≥2方法点拨:不少同学这样解:因为|x +x 1|≤|x |+x 1 又|x |+x 1≥2x x 1⋅=2 所以|x +x 1|≥2.学生认为这样解答是根据不等式的传递性.实际上,上述两个不等式是异向不等式,是不符合传递性的,因而如此作解是错误的.3.已知:|A-a |<2ε,|B-b |<2ε,求证:(1)|(A +B )-(a +b )|<ε(2)|(A -B )-(a -b )|<ε分析:证明本题的关键是把结论的左边凑出条件的左边,创造利用条件的机会.证明:因为|A -a |<2ε,|B -b |<2ε.所以(1)|(A +B )-(a +b )|=|(A -a )+(B -b )|≤|A -a |+|B -b |<2ε+2ε=ε即|(A +B )-(a +b )|<ε(2)|(A -B )-(a -b )|=|(A -a )-(B -b )|≤|A -a |+|B -b |<2ε+2ε=ε即|(A -B )-(a -b )|<ε方法点拨:本题的证明过程中运用了凑的技巧,望给予足够重视,灵活掌握.Ⅳ.课时小结本节重点学习了含有绝对值不等式的性质定理及其推论,理解和掌握其定理及推论,是证明含绝对值不等式的关键所在.在分析问题的转化策略上同时用好不等式的概念和性质.含有绝对值的不等式在题型结构上,有它自身的特点,要在解决问题的过程中自觉地创设运用公式的条件.Ⅴ.课后作业(一)课本P22习题6.5 1、2、3(二)1.复习巩固课本P20§6.5含有绝对值的不等式.2.巩固提纲:(1)理解掌握定理|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|的应用.(2)注意定理及其推论中等号成立的条件.(3)证明含有绝对值的不等式,一方面要用到前面学过的不等式证明的常用方法,另一方面,有些题目要应用到本节所学的重要性质定理及其推论.●板书设计§6.5.1 含有绝对值的不等式(一)一、性质定理二、应用|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 例题推论1|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3| 课堂练习推论2 课时小结。

人教版高三数学(理)一轮总复习PPT课件：12 不等式选讲

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解析：(1)当 a＝1 时，f(x)＞1 化为|x＋1|－2|x－1|－1＞0. 当 x≤－1 时，不等式化为 x－4＞0，无解； 2 当－1＜x＜1 时，不等式化为 3x－2＞0，解得3＜x＜1；当 x≥1 时，不等式化为－x＋2＞0，解得 1≤x＜2. 所以 f(x)＞1
2 的解集为x|3＜x＜2.
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x－1－2a，x＜－1， (2)由题设可得 f(x)＝3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，x＞a. 所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为
2a－1 A ，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，△ABC ， 0 3
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1．解含有绝对值的不等式时，脱去绝对值符号的方法主要有：公式法、零点分段法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能平方．因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定．
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所以当 x∈R 时，f(x)＋g(x)≥3 等价于|1－a|＋a≥3.ⅰ 当 a≤1 时，ⅰ等价于 1－a＋a≥3，无解．当 a＞1 时，ⅰ等价于 a－1＋a≥3，解得 a≥2. 所以 a 的取值范围是[2，＋∞)．
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2．(2015· 高考课标卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)>1 的解集； (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围．

高考数学总复习 6.5含绝对值的不等式课件人教版

故原不等式的解集为∅. 解法二：|x＋1|＋|x－1|可看作数轴上任一点到数轴上－ 1、1对应的两点的距离之和，数轴上－1与1的距离为2，则有|x＋1|＋|x－1|≥2. 所以原不等式无解，其解集为∅.
【状元笔记】解不等式的关键是利用不等式的性质进行同解变形，一定要注意解不等式过程中的等价性．
a |a|＝－a
a≥0 . a＜0
二、绝对值不等|≥±a； 3．－|a|≤a≤|a|； 4．||a|－|b||≤|a±b|≤ |a|＋|b| ；不等式 |a| － |b|≤|a ＋ b|≤|a| ＋ |b| 右侧“＝”成立的条件是 ab≥0 ，左侧“＝”成立的条件是 ab≤0 且 |a|≥|b|. 不等式 |a| － |b|≤|a － b|≤|a| ＋ |b| ，右侧“＝”成立的条件是 ab≤0 ，左侧
∴4M≥|f(－1)|＋2|f(0)|＋|f(1)|＝|1－a＋b|＋2|b|＋|1＋a＋ b|≥|(1－a＋b)－2b＋(1＋a＋b)|＝2， 1 ∴M ≥2. 8分
1 1 1 1 (3)当M＝2时，|f(0)|＝|b|≤2，－2≤b≤2 1 1 同理－2≤1＋a＋b≤2 1 1 －2≤1－a＋b≤2 3 1 ②＋③得－ ≤b≤－ 2 2
2|a| ∴|a＋b|＋|a－b|＝ 2|b|
|a|≥|b| . |a|<|b|
∵|a|<1，|b|<1， ∴无论哪种情况都有|a＋b|＋|a－b|<2.
【题后总结】使用绝对值不等式的性质定理要注意等号成立的条件，或平方后再放缩处理．
【活学活用】 1.已知|x－1|≤1，|y＋2|≤3，则|x－y|的最大值为______．解析： |x － y| ＝ |(x － 1) － (y ＋ 2) ＋ 3|≤|x － 1| ＋ |y － 2| ＋ 3≤1 ＋3＋3＝7.

高考数学理一轮复习 65含绝对值的不等式课件

[规律总结] 证明含有绝对值的不等式，其思路主要有两种：一是恰当地运用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；二是把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法.
思维提示
①不等式的基本性质； ②绝对值不等式的性质.
例 2 (1)若 x＜5，n∈N*，则下列不等式： ①|xlgn＋n 1|＜5|lgn＋n 1|；②|x|lgn＋n 1＜5lgn＋n 1； ③xlgn＋n 1＜5|lgn＋n 1|；④|x|lgn＋n 1＜5|lgn＋n 1|. 能够成立的有________个． (2)不等式|a|a|＋－b|b||≥1 成立的充要条件是________．
备选例题 3 已知f(x)＝x2－x＋c定义在区间[0,1]上，x1， x2∈[0,1]，且x1≠x2，证明：
(1)f(0)＝f(1)；(2)|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|. 证明：(1)f(0)＝c，f(1)＝c，故f(0)＝f(1)．
(2)|f(x2)－f(x1)|＝|x－x2＋c－x＋x1－c| ＝|x2－x1||x2＋x1－1|， ∵0≤x1≤1,0≤x2≤1,0＜x1＋x2＜2(x1≠x2)， ∴－1＜x1＋x2－1＜1，∴|x2＋x1－1|＜1， ∴|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.
[证明] 证法一：∵当|x|≤1 时，|f(x)|≤1， ∴|f(0)|≤1，即|c|≤1. 又|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1， ∴|a＋b＋c|≤1，|a－b＋c|≤1. 又∵|a＋b＋c|＋|a－b＋c|＋2|c|≥|a＋b＋c＋a－b＋c－ 2c|＝|2a|，且|a＋b＋c|＋|a－b＋c|＋2|c|≤4， ∴|a|≤2.