北师大版初中数学八年级下册第五章 54分式方程第2课时课件共19张
2022春八年级数学下册 第5章 分式与分式方程5.4 分式方程第2课时 解分式方程习题课件北师大版
*10.(中考·齐齐哈尔)若关于 x 的方程x-1 4+x+m 4=xm2-+136无解, 则 m 的值为______________.
【点拨】去分母,得 x+4+m(x-4)=m+3, 可得(m+1)x=5m-1. 当 m+1=0 且 5m-1≠0 时,一元一次方程无解,此时 m=-1; 当 m+1≠0 时,x=5mm+-11=±4,解得 m=5 或-13. 综上所述,m 的值为-1 或 5 或-13. 【答案】-1 或 5 或-13
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You made my day!
11.(中考·德州)分式方程x-x 1-1=(x-1)3(x+2)的解为
( D)
A.x=1
B.x=2
C.x=-1
D.无解
12.(2020·遂宁)关于 x 的分式方程x-m 2-2-3 x=1 有增根,则 m 的值为( D )
A.2
B.1
C.3
D.-3
【点拨】去分母,得 m+3=x-2.
由分式方程有增根,得到 x-2=0,即 x=2.
则原方程可化为关于 y 的方程是( A )
A.y2-2y+1=0
B.y2+2y+1=0
C.y2+y+2=0
D.y2+y-2=0
4.(2020·重庆 B)若关于 x 的一元一次不等式组
2x-1≤3(x-2),
x-2 a>1
的解集为 x≥5,且关于 y 的分式方程
y-y 2+2-a y=-1 有非负整数解,则符合条件的所有整数 a
(3)若方程无解,求 m 的值. 【思路点拨】分式方程无解,包括去分母后的整式方程无解和求 出的解使分式方程的最简公分母为 0 两种情况.
解:当 m+1=0 时,整式方程无解,此时 m=-1; 当 m+1≠0 时,要使原分式方程无解,由(2)得 m=-6 或 m=32. 综上,m 的值为-1 或-6 或32.
八年级数学北师大版初二下册--第五单元5.4《分式方程:第二课时--解分式方程》课件
知1-讲
解分式方程的一般步骤:
1、 在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母, 化成整式方程. (转化思想)
2、解这个整式方程. 3、检验 . 4、写出原方程的根.
例1 解方程
1 = 3. x- 2 x
解:方程两边都乘x(x-2),得x=3(x-2).
解这个方程,得x=3.
解得x=2.
检验:当x=2时,( x+2)( x-2)=0,
所以x=2是原方程的增根,即原方程无解.
易错总结:
分式方程转化为整式方程后,由于去分母使未 知数的取值范围发生了变化,有可能产生增根, 因此在解分式方程时一定要验根,如果不验根, 有可能误将x=2当成原分式方程的根.
2 易错小结
2.当k为何值时,关于x的方程
综上可知,当k<3且k≠-12时,原分式方程的
解为负数.
易错总结:
在解分式方程时,要注意出现未知数的取值使 原分式方程中的分式的分母为零,即产生增根 的情况.因此本题中要使方程的解为负数,除 了k<3外,还必须考虑原分式方程的分母不等 于0.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题!
2+ x-1
a 1-x
=4
的解为正数,且使关于y的不等式组
ìïïïíïïïî
y+2- y 32
2( y-a) £
> 0
1,
的解集为y<-2,则符合条件的所有整数a的和为
( A) A.10
B.12
C.14
D.16
知识点 3 分式方程的增根
议一议
在解方程
1x-
x= 2
12- x
2 时,小亮的解法如下:
方程两边都乘 x-2,得 1-x=-1-2(x-2 ).
北师大版八年级数学下册:分式方程课件
所以,该市今年居民用水的价格为2元/m3.
四、随堂练习
1.勤洗手,戴口罩.小明第一次用120元买了若干包口罩,第二次用240元 在同一商家买同样的口罩,这次商家每包优惠4元,结果比上次多买了20包, 求第一次买了多少包口罩?若设第一次买了x包口罩,列方程正确的是( D.).
A. 240 120 4 x 20 x
3
x
11x 3
15
30 15 5. 11x x
3
30
三、典例分析
解:设该市去年居民用水的价格为x元/m3, 则今年居民
用水的价格为
1
1 3
x 元/m3.
30
根据题意,得:
1
1
x
15 x
5.
3
解得:
x3 2
经检验, x 3 是原方程的根.
2
整理
45 15 5.
2x x
3 1 1 2 元 / m3 23
所有房屋出租的租金第一年为9.6万元, 第二年为10.2万元.
第一年所有房屋出租的租金=9.6万元 第二年所有房屋出租的租金=10.2万元
1.你能找出这一情境中的等量关系吗?
找等量 关系
第二年每间房屋的租金 = 第一年每间房屋的租金+ 500.
第一年出租的房屋间数 = 第二年出租的房屋间数.
发掘隐含条件!
在“火神山”医院的建造过程中,有两个工程队共同参其中一项搬运工程,
甲队单独施工1天完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工 作了半天天,总工程全部完成. 乙单独干这项工程需要多长时间?
解:设小亮每小时各加工x个,则小明每小时各加工(x+10)个.
根据题意,得:
150 120 . x 10 x
北师大版八年级数学下册 第五章 5.4 分式方程 第2课时 分式方程的解法【名师教案+集体备课】
4 分式方程第2课时分式方程的解法【教学目标】【知识与技能】1.理解分式方程的概念;2.会通过设适当的未知数并根据等量关系列出分式方程;3.学生掌握解分式方程的基本方法和步骤.【过程与方法】通过列出的方程归纳出它们的共同特点,得出分式方程的概念.了解分式的概念,明确分式和整式的区别;经历和体会解分式方程的必要步骤;使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想.【情感态度】在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气,并从中获得成就感,提高解决问题的能力.【教学重点】1、掌握分式方程的解法、解,分式方程要验根.2、在进一步理解分式方程意义的基础上,掌握分式方程的一般解法;【教学难点】1、掌握分式方程的解法、解,分式方程要验根.2、了解解分式方程可能会产生增根,掌握解分式方程一定要验根及验根方法.【教学过程】一、情境导入问题1:填空:(1)分母中不含未知数的方程叫做整式方程;(2)分母中含有未知数的方程叫做分式方程.问题2:判断下列说法是否正确: ①2x +32=5是分式方程; ②34-4x =4x +3是分式方程; ③x 2x =1是分式方程; ④1x +1=1y -1是分式方程. 解:①不是分式方程,因为分母中不含有未知数.②是分式方程.因为分母中含有未知数.③是分式方程.因为分母中含有未知数.④是分式方程.因为分母中含有未知数.问题3:方程5x -2=3x与以前学习的方程有什么不同?怎样解这样的方程? 二、合作探究探究点一:分式方程的解法【类型一】 解分式方程解方程:(1)5x =7x -2;(2)1x -2=1-x 2-x-3. 解析:分式方程两边同乘以最简公分母,把分式方程转化为整式方程求解,注意验根.解:(1)方程两边同乘x (x -2),得5(x -2)=7x ,5x -10=7x ,2x =-10,解得x =-5,检验:把x =-5代入最简公分母,得x (x -2)≠0,∴x =-5是原方程的解;(2)方程两边同乘最简公分母(x -2),得1=x -1-3(x -2),解得x =2,检验:把x =2代入最简公分母,得x -2=0,∴原方程无解.方法总结:解分式方程的步骤:①去分母;②解整式方程;③检验;④写出方程的解.注意检验有两种方法,一是代入原方程,二是代入去分母时乘的最简公分母,一般是代入公分母检验.【类型二】由分式方程的解确定字母的取值范围关于x的方程2x+ax-1=1的解是正数,则a的取值范围是____________.解析:去分母得2x+a=x-1,解得x=-a-1,∵关于x的方程2x+ax-1=1的解是正数,∴x>0且x≠1,∴-a-1>0且-a-1≠1,解得a<-1且a≠-2,∴a的取值范围是a<-1且a≠-2.方法总结:求出方程的解(用未知字母表示),然后根据解的正负性,列关于未知字母的不等式求解,特别注意分母不能为0.探究点二:分式方程的增根【类型一】求分式方程的增根若方程3x-2=ax+4x(x-2)有增根,则增根为( )A.0 B.2 C.0或2 D.1解析:∵最简公分母是x(x-2),方程有增根,则x(x-2)=0,∴x=0或x=2.去分母得3x=a(x -2)+4,当x=0时,2a=4,a=2;当x=2时,6=4不成立,∴增根只能为x=0,故选A.方法总结:增根是使分式方程的分母为0的根,所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0,注意应舍去不合题意的解.【类型二】分式方程有增根,求字母的值如果关于x的分式方程2x-3=1-mx-3有增根,则m的值为( )A.-3 B.-2C.-1 D.3解析:方程两边同乘以x-3,得2=x-3-m①.∵原方程有增根,∴x-3=0,即x=3.把x=3代入①,得m=-2.故选B.方法总结:增根问题可按如下步骤进行:①让最简公分母为0确定增根;②化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.【类型三】分式方程无解,求字母的值若关于x的分式方程2x-2+mxx2-4=3x+2无解,求m的值.解析:先把分式方程化为整式方程,再分两种情况讨论求解:一元一次方程无解与分式方程有增根.解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)+mx=3(x-2),即(m-1)x=-10.①当m-1=0时,此方程无解,此时m=1;②方程有增根,则x=2或x=-2,当x=2时,代入(m-1)x=-10得(m-1)×2=-10,m=-4;当x=-2时,代入(m-1)x=-10得(m-1)×(-2)=-10,解得m=6,∴m的值是1,-4或6.方法总结:分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的.分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数,分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数,而且还包括分式方程化为整式方程后,使整式方程无解的数.三、板书设计1.分式方程的解法方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程求解,再检验.2.分式方程的增根(1)解分式方程为什么会产生增根;(2)分式方程检验的方法.四、教学反思这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法,从而归纳出分式方程的基本解题步骤.在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要检验,要让学生理解增根的由来,从而牢记分式方程在解题后要进行检验,避免解题出错.在完成解题步骤归纳之后,通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法,让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方,防止犯错.。
北师大版八年级数学初二下册第5章《分式与分式方程》5.1认识分式5.2分式的乘除法优秀PPT课件
a 1 11 解:(1)当a=1时, 2. 2a 1 2 1 a 1 2 1 1. 当a=2时, 2a 1 4 1 a 1 1 1 0. 当a=-1时, 2a 1 2 1
(2)当分母的值为零时,分式没有 意义,除此以外,分式都有意义.
b by (1) (y≠0); 2 x 2 xy
〔解析〕
(2)
ax a . bx b
据分式的基本性质,分子b 也要乘y,才能得到 2 xy .(2)
b (1) 的分母2x乘y才能化为2xy,为保证分式的值不变,根 2x by
得到a,所以分母bx也需要除以x得到b.在这里,由于已知 解:(1)因为y≠0,所以
ax 的分子ax除以x bx ax
的值为0的条件是x2-1=0且x+1≠0,所以x=1.故填1.
无意义.试求m,n的值.
x m n1 4.对于分式 ,已知当x=-3时,分式的值为0;当x=2时,分式 m 2n 3m
解:∵当x=-3时,分式的值为0,
3 m n 0, m+n -3, 即 m 2n 9 0, m 2n 9.
问题2
如图(2)所示,面积为1的长方形平均分成了2份,则阴影
部分的面积是多少?
问题3 这两块阴影部分的面积相等吗?
请看下面的问题:
问题1
如图(1)所示,面积为1的长方形,长为a,那么长方形
的宽怎么表示呢? 问题2 如图(2)所示,两个图(1)中的长方形拼接在一起, 它的宽怎么表示呢? 问题3 两图中长方形的宽相等吗?
2.若分式
2x 1 有意义,则x的取值范围是 3x 5
5 3
.
5 解析:依题意得3x+5≠0,解得x≠- 5 ,因此x的取值范围是x≠5 填x≠- . 3 3
5.2分式的乘除法 课件 30张PPT 北师大版 八年级数学下册
B.xy5
的结果是( A )
C.x2y5
D.x2y6
3.下列计算正确的是( B )
A.a÷ =1
C.a÷a·=a
B. · =
D.
−
��
=-a3b6
4.计算:
+
(1) · = −
−
(2) −
=
(1)
=
=
− 2
(2)(
)=
(3)
· =
;
.
;
基础巩固
1.计算 ÷ 的结果是(
A.
B.
D)
C.2xy
D.
2.(2023·河北)化简x3·
A.xy6
·
(1)解:原式=- =- .
·
−
(2)
· .
−+
· + −
(2)解:原式=
− ·
+
= .
−
例2
计算:
(1) ÷ ;
·
(1)解:原式= · =
+
答:甲的单价是乙的单价的 倍.
−
).
− + = ,
= −,
北师大版八年级数学初二下册第5章《分式与分式方程》5.4分式方程优秀PPT课件
2 1.(2014· 重庆中考)关于x的方程 x 1 1 的解是
A.x=4 B.x=3 C.x=2 D.x=1 2.(2014· 湘潭中考)分式方程
检测反馈
( B )
5 3 x2 x
的解为 ( C )
A.x=1
B.x=2
C.x=3
D.x=4 的根是 x=2
3.(2015·温州中考)方程
的包装箱进行包装,已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件
文具,单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个.设 B型包装箱每个可以装x件文具,根据题意列方程为 A. 1080 1080 12 x x 15
1080 1080 12 B. x x 15
1080 1080 12 D. x x 15
[知识拓展]
1.把分式方程化为整式方程的方法是去掉分式方程中的分 母.如何去掉分式方程中的分母是解分式方程的“关键”步骤.
2.用分式方程中各式的最简公分母分别乘方程的两边,从而约 去分母.但要注意用最简公分母乘方程两边的每一项,切勿漏项.
3.解分式方程可能产生使最简公分母为零的增根,因此检 验是解分式方程必要的步骤.
(2)以往学过的方程中,分母中含有字母吗?
归纳:分式方程的重要特征:
(1)含分母; (2)分母中含有未知数. 分式方程与整式方程的区别:分式方程中的分母含 有未知数,而整式方程中的分母不含有未知数.
1 1 x ( x 1) 【想一想】方程 3 6
是分式方程吗?
不是分式方程,分母中不含有未知数.
动装所需要的时间,由题意列出等量关系.故选B.
第五 章 分式与分式方程
(教材例1)解方程
1 3 . x2 x
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的解法》(第2课时)说课稿
北师大版数学八年级下册5.4《分式方程的解法》(第2课时)说课稿一. 教材分析《分式方程的解法》是北师大版数学八年级下册第五章第四节的内容,本节内容是在学生已经掌握了分式方程的概念和性质的基础上进行讲授的。
分式方程是初中数学中的重要内容,也是学生学习高中数学的基础。
本节课主要让学生掌握分式方程的解法,培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了分式方程的基本概念和性质,对分式方程有一定的认识。
但是,学生在解分式方程时,往往因为对运算法则掌握不熟练,导致解题过程中出现错误。
此外,学生在解决实际问题时,往往不知道如何将实际问题转化为分式方程,从而解决问题。
因此,在教学过程中,教师需要帮助学生巩固分式方程的基本概念和性质,引导学生掌握解分式方程的方法,并培养学生将实际问题转化为分式方程的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标:使学生掌握分式方程的解法,能够熟练运用解法解分式方程。
2.过程与方法目标:通过自主学习、合作交流,培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标:激发学生学习数学的兴趣,培养学生的耐心和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点:分式方程的解法。
2.教学难点:如何将实际问题转化为分式方程,以及解分式方程时的运算技巧。
五. 说教学方法与手段1.教学方法:采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的方法。
2.教学手段:利用多媒体课件辅助教学,引导学生直观地理解分式方程的解法。
六. 说教学过程1.导入新课:通过复习分式方程的基本概念和性质,为学生学习本节课的内容做好铺垫。
2.自主学习:让学生自主探究分式方程的解法,引导学生发现解题规律。
3.合作交流:学生之间相互讨论,分享解题心得,教师巡回指导。
4.教师讲解:针对学生普遍存在的问题,进行讲解和辅导。
5.应用拓展:出示实际问题,让学生运用所学知识解决问题。
6.总结归纳:对本节课的内容进行总结,使学生形成知识体系。
七. 说板书设计板书设计如下:1.分式方程的概念和性质2.分式方程的解法–方法一:(去分母)–方法二:(去分母)3.实际问题与分式方程的转化八. 说教学评价本节课的评价主要从学生的知识掌握、能力培养和情感态度三个方面进行。
北师大版八年级下册数学《分式方程》分式说课教学课件复习培优
解:设水流每小时流动x千米,
72 48 20 x 20 x
t
72 20 x
48 20 x
练习
想一想
甲、乙两人骑自行车各行28公里,甲比乙快 1
4
小时,已知甲与乙速度比为8:7,求两人速度。
解:设甲的速度8x千米/时, 乙的速度是7x千米/时。
28 28 1 7x 8x 4
vs t
甲
8x 28
2 列分式方程
练一练:
世界文化遗产“三孔”景区已经完成5G基站布设,“孔夫子家”自 此有了5G网络.5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍,在 峰值速率下传输500兆数据,5G网络比4G网络快45秒,求这两种 网络的峰值率.设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据,依题
意,可列方程是A( )
A. 500 500 45
解:设乙队完成这项任务需要x天,则甲队单独完成需2x天
5 1 1 1 2x x
5 5 1 2x x 5 10 2x
x 15 2
经检验:x 15 是原方程的解 2
当 x 15 时 2
2X=15天
答:甲单独完成这项任务需15天,乙单独完成任 务需7.5天。
2. 炎炎夏天,甲安装队为A小区安装66台空调,乙安 装队为B小区安装60台空调,两队同时开工恰好同时完 工,甲队比乙队每天多安装2台。乙队每天安装几台?
解:设乙队每天安装x台,则甲队每天安装x+2台
66 60 x2 x
方程两边同时乘以x(x 2) 66x 60(x 2) 66x - 60x 120 解得 x 20
经检验:x=20 是原方程的解
答:乙队每天安装20台。
3.小明和爸爸练习跑步,爸爸跑3600米时,小明正好 跑2400米,爸爸每分钟比小明多跑100米,问小明每分 钟跑多少米?
北师大数学 八年级下册 第五章 分式与分式方程 认识分式 2
单项式 多项式
整式和分式统称为有理式。
下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?
1 1 3 ab 1 ① 2 ,② ( x y ),③ ,④ 0,⑤ , x 5 x 2 c x x y 1 2x y 1 ⑥ y ,⑦ ,⑧ 5 x ,⑨ ,⑩ 2, 2 2 3 a a 1 4 ⑾ ,⑿ ( x y ),⒀ 3 3 x
这一问题中有哪些等量关系?
2400 那么原计划完成一期工程需要 个月, x 2400 实际完成一期工程用了 x 30 个月. 依据题意,可列出方程 2400 2400 4. x x 30
如果设原计划每月固沙造林x公顷,
做一做
(1)长方形的面积为10cm2,长为7cm,宽应为
长方形的面积为S,长为a,宽应为
200 33 S a 10 7
cm;
.
(2)把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱 形容器中,水面的高度为
V S
cm;把体积为v
的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面的高度为
cm.
议一议
分式、有理式的定义
1、上面的问题出现了代数式: V 90 , 60 m 2400 2400 , S , , , S x 30 a x x6 n x 它们有什么共同特征? 类似分数 , 分母中都有字母. 它们与分数有什么相同点和不同点? A 相同点: 这些式子与分数一样都是 B (即
答案:
x x y
千克
• 二、分式的求值 a 1 • 例题3:(1)当 a=1,2时,分别求分式 2a 的值; •
• • • • •
a 1 1 1 解:(1)当 a=1时 1 2a 2 1
北师大版数学八年级下册分式方程(第2课时)同步课件
你认为x=2是原方程的根吗?为什么? 与同伴交流你的看法或做法.?
探究新知
增根与验根
在上面的方程中,x=2不是原方程的根,因为它使得原分式方程 的分母为零,我们你它为原方程的增根.
产生增根的原因,是我们在方程的两边同乘了一个可能使分母 为零的整式.
因此解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须检验.
探究新知
归纳总结 解分式方程容易犯的错误有:
(1)去分母时,原方程的整式部分漏乘. (2)去分母后,分子是多项式时, 没有注意添括号. (因分数线有括号的作用) (3)没有检验,增根不舍掉。
探究新知
探究新知
例3:解方程 480 600 45. x 2x
解:方法二:
化简:480 300 45, xx
合并:180 45, x
两边乘x:45x 180, x 4.
经检验x=4是原方程的根.
课堂练习
1.下列关于分式方程增根的说法正确的是( D ) A.使所有的分母的值都为零的解是增根 B.分式方程的解为0就是增根 C.使分子的值为0的解就是增根 D.使最简公分母的值为0的解是增根
课堂练习
2. 解分式方程 x-1 1-2=1-3 x ,去分母得( A ) A.1-2(x-1)=-3 B.1-2(x-1)=3 C.1-2x-2=-3 D.1-2x+2=3
2(x-1)+3(x+1)=6.
解这个方程,得x=1.
检验:当x=1时, (x+1)(x-1)=0,
所以,x=1是原方程的増根,
所以,原方程无解.
课堂练习
7. k为何值时,方程
k x2
3
1 x 2x
产生增根?
解:方程两边都乘以(x-2),得
北师大版八年级下册分式方程课件
同学捐款总额为4800元,八年级同学捐款总额为5000元,八年
七年级捐款总额=4800元,八年级捐款总额=5000元.
级捐款人数比七年级多20人,而且两个年级人均捐款额恰好相
八年级捐款人数-七年级捐款人数=20
等.如果设七年级捐款人数为x人,那么x满足怎样的方程?
七年级人均捐款额=八年级人均捐款额
八年级捐款人数-七年级捐款人数=20, 七年级人均捐款额=八年级人均捐款额,
.
(3)如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh.那么y满足怎样的方程.
高铁列车 特快列车
时间/h
y y9
平均速度/(km/h) 1400 y 1400 y9
路程/km 1400 1400
1400 2.8 1400 .
y
y9
一、情景引入
人均捐款额×人数=捐款总额
2.疫情期间,全国各地纷纭为湖北武汉捐款.已知我校七年级
.
七年级 八年级
人均捐款额
4800 x
5000 x 20
4800 5000 . x x 20
人数
x
x 20
捐款总额 4800 5000
二、探究新知
下列方程有哪些共同特点?
1400 1400 9, x 2.8x
1400 2.8 1400 ,
y
y9
4800 5000 . x x 20
分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
能写出几个方程?其中哪一个是分式方程?
解:
2018年实体店成交额 - 2019年实体店成交额 = 12%. 2018年实体店成交额
方程: x 950 12%, x 950 , 1 12% x 950, x 950 12%x, 950
八年级数学下册第5章分式与分式方程分式方程第2课时分式方程的解法课件(新版)北师大版
A.2(x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8
C.2(x-8)-5x=16(x-7)
D.2(x-8)-5x=8
2.若关于x的分式方程
的值为 ( D )
A.-1,5
B.1
C.-1.5或2 D.-0.5或-1.5
无解,则m
3.解方程
2 3. x3 x
解: 方程两边乘x(x-3),得
第五章 分 式
5.4 分式方程
第2课时 分式方程的解法
学习目标
1.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法; (重点)
2.理解分式方程产生增根的原因,掌握分式方程验 根的方法.(难点)
导入新课
复习引入
1. 解一元一次方程的步骤: 移项,合并同类项,未知数系数化为1. 2. 解一元一次方程 x x 1 1.
②
去分母后所得整式方程的解却不是
原分式方程的解呢?
我们再来视察去分母的过程:
90 60 30+x 30 x
两边同乘(30+x)(30-x) ① 当x=6时,(30+x)(30-x)≠090(30-x)=60(30+x)
真相揭秘: 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方 程的解与分式方程的解相同.
x 1
∴-a-1>0且-a-1≠1,解得a<-1且a≠-2,
∴a的取值范围是a<-1且a≠-2.
方法总结:求出方程的解(用未知字母表示), 然后根据解的正负性,列关于未知字母的不 等式求解,特别注意分母不能为0.
例3 若关于x的分式方程 求m的值.
无解,
解析:先把分式方程化为整式方程,再分 两种情况讨论求解:一元一次方程无解与分 式方程有增根.
北师大版八年级数学第五章5.4分式方程(2)
课时课题:第五章 第4节 分式方程 第2课时 课 型:新授课 教学目标:1.体会分式方程到整式方程的转化思想.2.掌握分式方程的解法.3.鼓励学生独立思考,认真观察,大胆猜想,积极动手,提高分析问题与解决问题能力.教学重点与难点:重点:分式方程的解法.难点:对分式方程产生增根原因的理解.教法及学法指导:根据学生已有的经验,通过一些问题的提出,诱发学生积极思考,或通过合作交流,引导学生自己解决问题,探索分式方程是如何转化为整式方程,并发现解分式方程验根的必要性,从而总结规律,采用的是启发探究与类比相结合的方法.教学准备:多媒体课件. 教学过程:一、复习回顾,引入新课师:现在我们已经知道了什么是分式方程,如果能将分式方程解出来,那么上节课我们遇到的那些实际问题便可以迎刃而解了. 这节课,我们就来学习分式方程的解法.我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法,也许你会从中得到启示,寻找到解分式方程的方法.解下列一元一次方程 (1)12x x -=; (2)211324x x ++=. (学生独立解题,教师巡视,对学生出现的问题集中展示提问.) 师:去分母时需要注意什么?生1:方程两边同时乘以分母的最小公倍数. 生2:不要漏乘.设计意图:结合上一课时内容,开门见山引入新课,抛出问题,激发学生思考.回顾解一元一次方程的解法,着重复习去分母的方法和注意事项,为学生过渡到分式方程去分母做好铺垫.二、师生合作,探究新知想一想:师:你能解分式方程132x x=-吗?(学生小组合作尝试解方程,交流解题心得)生3:解这个方程,可以像解含有分母的一元一次方程一样去分母.师:同学们说他的想法可取吗?生:(同声)可取.师:同学们可以接着讨论,方程两边同乘以什么样的整式(或数),可以去掉分母呢?生4:乘以分式方程中所有分母的公分母.生5:解一元一次方程,去分母时,方程两边同乘以分母的最小公倍数,比较简单.解分式方程时,我认为方程两边同乘以分母的最简公分母,去分母也比较简单.师:我觉得这两位同学的想法都非常好.那么这个分式方程的最简公分母是什么呢?生6:x(x-2)师:哪位同学可以把我们刚才交流的成果展示在黑板上呢?(两位同学到黑板展示)师:第二位同学给我们展现了不同的解题方法,说明她是一位善于动脑的学生,同时也告诉我们一个问题的解决是有不同方法的,只要我们善于动脑就一定有惊喜等着我们.第二位同学的教法虽然所用的原理不同,但是也是把分式方程转化为整式方程,这是解分式方程的基本思想.设计意图:引导学生仔细观察,采用类比的方法找出解分式方程的关键――去分母,把分式方程转化为整式方程即一元一次方程.在解决问题的过程中对学生的不同见解要及时鼓励,做好引导,顺利的展开教学.议一议:师:通过刚才的尝试你能再解一个方程吗?生:(齐声)能.师:解方程215122xx x++=--.设计意图:方程中有意设计的分母互为相反数,预计到学生会有去分母、通分两种解法,这为增根概念的提出作好了准备.(两位同学到黑板做题,其他同学练习本完成,然后互相交流.)(学生做完题之后观察黑板同学的解题过程)师:出现问题了,两个同学的结论不一样谁正确呢?生11:第一个解的对,我们学习解分式方程就是要把分式方程转化为整式方程.生12:按照第一位同学的解法,求出x=2之后,如果要检验的话需要把x=2带入原方程,但是x=2时,分式无意义.第一个解法应该不准确.师:第二个解法有什么问题吗?(学生考虑回答)生:(同声)没问题,每一步都都成立.师:解法二没有任何问题,原方程应该无解.通过解法一解出的x=2经检验不是原分式方程的根,那第一种方法到底问题出现在什么地方呢?(学生产生好奇,激起讨论的积极性,小组交流.)生13:在解分式方程时,我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程.如果整式方程的根使得最简公分母的值为零,那么它就相当于分式方程两边都乘以零,不符合等式变形时的基本性质,得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零,也就不适合原方程了.师:这位同学分析的非常好.方程132x x=-和215122xx x++=--用同样方法解出的x一个是原方程的根,另一个却不是,这就提醒我们解完分式方程后我们必须检验所求的未知数的值是不是方程的解,检验的方法是未知数的值不能使分式方程的分母值为0.方程215122xx x++=--中解出的x=2,它是变形后的整式方程的根,但它却使得原分式方程的分母为0,因而不是原方程的根.我们称它是原分式方程的增根.我们把这样的不适合原方程的整式方程的根,叫原方程的增根.设计意图:有交流才会发现问题,有问题才能引起思维冲突,才能有思考与分析.通过交流,不同解法的冲突显而易见.方程(2)的解法为增根的提出作好了充分的准备.两个方程使用了同样的方法,但得到的未知数的值却未必是原方程的根,这必然引入对增根产生原因的讨论,但增根产生的原因目前学生接受起来尚有一定困难,在此不做深究.经过对解分式方程过程的探究培养了学生提出问题、分析解决问题能力及逻辑推理能力.三、例题示范,规范步骤例1解分式方程:480600452x x-=.(学生口述,教师板书步骤)解:方程两边同乘以2x,得960-600=90 x.解这个方程,得x=4.检验:将x=4代入原方程,得左边=45=右边.所以,x=4是原方程的解.师:现在大家可以说一下解分式方程的步骤了吗?(学生总结,发言)生14:1. 两边同乘最简公分母,化为整式方程;2. 解整式方程;3. 检验:将未知数的值代入原方程,检验方程左右两边是否相等.师:检验我们也可以代入最简公分母,检验最简公分母是否为0.检验方法(1)不仅可以验增根,还可以验计算正误;方法(2)简洁方便.设计意图:使学生进一步体会并熟悉分式方程的解法,并强调检验方程的解.由于可能产生增根,因此检验非常必要.通过对不同解法的简繁程度的切身体会,总结出解分式方程的基本步骤,有利于学生对基本解法的接受与理解.通过方程的解的意义容易得出检验方法(1);通过增根产生的原因,容易得出检验方法(2).四、强化基础,技能提升解下列分程:(1)341x x=-;(2)3542332xx x-+=--.(学生独立完成.展示学生的解答过程,对易错点进行强调.)活动效果:学生解第一小题时,从比例式的性质出发,利用外项积等于内项积的性质,交叉相乘,和利用等式性质去分母一样,都能把分式方程转化为整式方程.解第二题时,有的学生因为审题不仔细,把(23)x-和(32)x-当成两个不同的整式,给计算带来不必要的麻烦.反应出有些学生处理问题的能力的欠缺.教师对易错点强调:(1)去分母比通分相加后再去分母更简便;(2)务必要检验;通过训练强调解方程的基本步骤,进一步比较,说明同乘最简公分母的优越性.设计意图:分式方程是本节课的一个重点,也是学生应该掌握的一项基本技能.在学生对解分式方程的基本步骤及增根产生的原因有一定理解后,回归到基础技能的训练上.五、深入理解,灵活运用师:为了加深对增根的理解我们再来看一个例题.例2:关于x的方程21122x mx x--=--有增根,则m的值为.学生分析:因为最简公分母为x−2,只有当x=2时最简公分母为0.所以增根为x=2.原方程化为整式方程为:2x−1+m=x−2当x=2时,m=−3.答案:m=−3.设计意图:通过此例加深对分式方程增根的理解.注意:增根必须同时满足两个条件:(1)是分式方程化成的整式方程的根;(2)使得原分式方程最简公分母为0.六、课堂小结,畅谈收获在今天的学习活动中,你学会了哪些知识?掌握了哪些数学方法?生1:解方程时忘记检验.生2:去分母时忘记加括号.生3:去分母时漏乘不含分母的项.……设计意图:使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识,能抓住重点进行课后复习..以及通过对学习过程的反思,掌握学习与研究的方法,学会学习,学会思考.七、知识反馈,达标检测1. 方程2111x x =-的解为( ) A 、1 B 、-1 C 、1± D 、 0 2.方程3470x x=-的解为___________. 3.解分式方程:513443x x x+=--. 4.若关于x 的方程1101ax x +-=-有增根,则a 的值为_______. 设计意图:通过学生的反馈练习,使老师能全面了解学生对分式方程解法的掌握程度,以及对增根的理解,以便老师能及时进行查漏补缺.八、布置作业,落实目标必做题:课本90页 第1题(1)、(2)小题. 选做题:第2题. 补充:关于x 的方程1112x mx (x )(x )-=--+有增根,则m 的值为 . 设计意图:分层布置作业.对大多同学强调基础知识与基本技能的掌握.对学有余力的同学给他们提供思考与展示的机会.板书设计:教学反思:本节课中,让学生自己通过观察、类比的方法找到分式方程的解法,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验.学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者、引导者与合作者.数学教学是数学活动的教学,是师生之间 、学生之间交往互动与共同发展的过程.数学教学应从学生实际出发,创设有助于学生自主学习的问题情境,在本节课中,关于分式方程的增根的教学,通过议一议,引导学生通过实践、思考、探索、交流,获得知识,形成技能,发展思维,学会学习, 促使学生在教师指导下 生动活泼地、主动地、富有个性地学习,使学生的学习能力得到最大限度的提升.成功之处:在教学方法上,我采用了类比渗透思想方法,通过与一元一次方程解法相比较,启发引导学生自主探究、归纳分式方程的解法.本节课具有以下优点:1.通过复习一元一次方程的解法,学生在探究、归纳分式方程解法的同时进行类比,让学生在解分式方程时有法可循,而不会觉得无从下手.2.把分式方程的解法与一元一次方程的解法进行相比较,让学生既可以温习旧知识,又可以加深对新知识的理解.3.通过对一元一次方程和分式方程解法的类比,更能突显分式方程解法中验根的重要性.不足之处:解分式方程的关键是将分式方程转化成整式方程.教学中对这一过程强化的力度不够,今后应该对其进行专项训练或重点分析.例如,对学生的不同做法进行针对性分析,让他们明白课本解法的简单方便之处.。
八年级数学下册第五章分式与分式方程认识分式(第2课时)课件(新版)北师大版
B.
x x2
1 1
D.
x2 x2
xy y2
(B)
2.将分式
x 1
__x__1__.
x2 2x 1化为最简分式,所得结果是
x2 1
【火眼金睛】
化简:
m2 3m 9 m2
.
正解:
m2-3m 9-m2
3
m(m-3)
m(3-m)
- m m
3
.
【一题多变】 已知x2-4xy+4y2=0,那么分式 x y 的值等于多少?
(1)82aba2
a 1 1 a
(. 2)a
2
4ab 4b2 a2 4b2
.
【自主解答】(1)
2a a 1 8ab2 1 a
1 4b2
.
(2)a 2
4ab 4b2 a2 4b2
a
a 2b2 2ba 2b
a 2b . a 2b
【学霸提醒】 关于约分的三点说明 (1)根据:分式的基本性质. (2)关键:确定分式分子与分母的公因式. 确定公因式的步骤:
--A -B
-A . B
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧! 1.分式变形 x = A 中的整式A=___x_2-_2_x___,变形
x 2 x2 4
的根据是 _分__式__的__分__子__与__分__母__乘__(_或__除__以__)_同__一__个__不__等__于__0_的__整__式__,_ _分__式__的__值__不__变__.
bm
(2)符号表示: b b m , b =__a___m__(m≠0).
a am a
2.约分 (1)概念:把一个分式的分子和分母的___公__因__式____约 去. (2)约分的关键:找出分子、分母的___公__因__式____; 约分的根据:分式的基本性质;
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程课件
X=-3
(4) X2 -1 X2 +2x+1 X=1
6.当x为何值时,分式 2x (x-2) 5x (x+2)
(1) 有意义
(2) 值为 0
X≠0且x≠-2
X=2
7.要使分式 -2 的值为正数,则x的取值范围是 X>1 1-x
8.当x <-2 时,分式 X2+1 的值是负数. X+2
9.当x ≥7
依题意得:
180
240
=
x
x5
请完成下面的过程
甲:15 乙:20
1
x2
的值.
变:已知 x+ 1 =3 ,求
x
x2 x4+x2+1
的值.
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子, 把分母相乘的积作为积的分母。
用符号语言表达:
两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置
后再与被除式相乘。
用符号语言表达:
(1)
4 3
x y
y 2x
3
ab3 5a2b2 (பைடு நூலகம்) 2c2 4cd
4
2
2
x
1
解:原方程可化为 1 4x 2 1
NNoox 2 (x 2)(x 2) x 2
两边都乘以 (x 2)(x 2) ,并整理得;
IImmaaggee x2 3x2 0 解得 x1 1, x2 2
检验:x=1是原方程的根,x=2是增根
∴原方程的根是x=1
例2
已知
x3 (x 2)2
1.约分: 把分子、分母的最大公因式(数)约去。 2.通分:
把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式。
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程章末复习课件(共53张)
章末复习
第五章 分式与分式方程
章末复习
知识框架 归纳整合 素养提升 中考链接
章末复习
知识框架
分母不为零
分式有意义 的条件
分子为零, 且 分式的值为
分母不为零
零的条件
分式的 基本性 质
分式的约分
分式的通分
分式的 概念
分式的 性质
分式 的运 算
分式的乘 法运算
分式的除 法运算
分式的乘 方
章末复习
素养提升
专题 运用“整体思想”求分式的值
【要点指点】 当题目按常规解法不易求解或不能求解时 , 可以利 用整体代入法解题 , 也就是说先把条件和待求的式子进行整理 , 寻求两者相同的部分 ,代入求值. 在求分式的值时 , 可以恰当运用整体思想 , 把复杂问题简单化 .
有意义.
要使分式
无意义 , 则应满足 ( x + 3)( x - 4) = 0 , 解
得 x=- 3且 x = 4 .所以当 x =- 3 且 x = 4 时 , 分式 无意义.
章末复习
相关题1 (1)在分式
中 , 当 x =- m时 , ( C ) .
A .分式的值为零
B .分式无意义
C .且 m ≠ 时 , 分式的值为零
章末复习
分析 设(1) 设乙队单独完成此项任务需 x 天 , 则甲队单独完成此项任务需
( x + 10) 天 , 所以乙队的工作效率为 , 单独施工 30 天的工作量为 , 甲
队的工作效率为
, 单独施工 45 天的工作量
, 根据等量关系构
造方程求解. (2) 根据题意有不等关系:甲队的工作量 ≥ 乙队的工作量
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解分式方程容易犯的错误主要有:
1.去分母时,原方程的整式部分漏乘.
2.约去分母后,分子是多项式时,
要注意加括号. 3.没有检验,增根不舍掉 . 4.符号问题 .
百掌总 战握结
百法经 胜宝验
5. ……
建构反思
数学知识 1、解分式方程
分式 去分母 整式 解整式方程 检
下
方程
方程
验
结
论
2、分式方程的增根
所以,x=4是原方程的根. 所以,x=1是原方程的根.
自主测评
3、解方程:(3)
23 6
+ x+1
x
-1
=
x2
-1
解: 方程两边都乘 (x+1)(x-1),
得
2(x-1)+3(x+1)=6.
解这个方程,得x=1.
检验:当x=1时, (x+1)(x-1)=0,
所以,x=1是原方程的増根,
所以,原方程无解。
(2)方程两边都乘(x - 2), 得
1- x= -1- 2(x - 2)
解这个方程,得 x=2.
检验:将x=3代入原方程,得 左边=1,右边=1,左边=右边. 所以,x=3是原方程的根.
检验:当 x=2时,x-2=0, x=2是原方程的增根, 所以,原方程无解。
切记:解分式方程一定要验根噢!
检验 ?(1)把未知数的值代入原方程(一般方法);
产生增根的原因, 是我们在方程 的两边同乘了一个可能使分母为 零的整式.
因此解分式方程可能产生增根,
所以解分式方程 必须检验.
探究析思
例1
解方程 (1)
1
3 =
x-2 x
(2) 1 - x = 1 - 2
x-2 2- x
解:(1)方程两边都乘 x( x - 2) , 得
x=3( x - 2) 解这个方程 ,得 x=3.
x
x
900 = 9 x
化简,得
1400 - 500 = 9 x
900 ? x = 9 ? x x
9x= 900
9x= 900
解得
x =100
x =100
探究析思 例1 解方程 (1) 1 = 3
x-2 x
(2)
1- x =
1
-2
x-2 2- x
分式方程的增根
1- x = 1 -2 x-2 2- x
2.8x
1400×2.8 -1400 ×2.8x = 9×2.8x
2.8x
1400 ×2.8 -1400 = 9×2.8x
探究析思
解:
1400 - 1400 = 9 x 2.8x
先约分,再去分母,可以使计算简便
方程可化为 1400 - 500 = 9 xx
1400 - 500 = 9 x
两边都乘 x,得 1400 ? x - 500 ? x = 9 x
3= x- 1
4; x
(2) x + 5 =4. 2 x-3 3-2 x
解:方程两边都乘x(x-1),
方程两边都乘2x-3,
得 3x=4(x-1).
得x-5=4(2x-3).
解这个方程,得x=4.
解这个方程,得x=1.
检验:将x=4代入原方程, 检验:将x=1代入原方程,
得左边=1=右边.
得左边=4=右边.
方法 ?(2)把未知数的值代入最简公分母(简便方法).分式方程去分母来自目 标整式方程
解整式方程
x=a
这里的检验 要以解整式 方程正确为 前提
a 是分式 方程的根
最简公分母不为0
最简公分母为0 a 不是分式方程的根
(a是分式方程的增根)
迁移拓思
例2
解方程:48x0 -
600 =
2x
45.
解:方程两边都乘2x,得
第五章 分式与分式方程 4 分式方程(2)
学习目标
1 经历探索分式方程解法的过程。
2 会解可化为一元一次方程的分式方程。
会检验根的合理性,明确可化为一元一
3
次方程的分式方程与一元一次方程的联 系和区别。
问题导思
使方程左右两边相 等的未知数的值,
叫做方程的解。
还记得什么是方程的解吗?
还记得求解一元一次方程的基本步骤吗?
方程两边都乘 x - 2 ,得
1- x = -1- 2(x - 2) 解这个方程,得 x=2.
x=2不是原方程的根,因为它 使得原分式方程的分母为零 , 我们称它为原方程的增根
化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系和区别
1- x = 1 -2 x-2 2-x
转化
1- x = -1 - 2(x - 2)
-
1400
)
×2.8x
=
9 ×2.8 x
x 2.8x
1400 ×2.8x - 1400 ×2.8x = 9×2.8x
x
2.8x
1400×2.8 -1400 = 9×2.8x
25.2x = 2520
x =100
{
1400 ×2.8 - 1400 = 9 2.8x 2.8x
1400×2.8 -1400 = 9
方程两边都乘x - 2 ,得
区别:未知数的取值范围不同
分式方程的增根
1- x = 1 -2 x-2 2-x 方程两边都乘 x - 2 ,得
1- x = -1- 2( x - 2)
解这个方程,得 x=2. 检验,当 x=2时,x-2=0,
x=2是原方程的增根,
所以,原方程无解。
x=2不是原方程的根,因为它使 得原分式方程的分母为零,我们 称它为原方程的增根
思想方法 类比、转化
课后作业
课外延伸
1、已知关于x的方程
2 ax a- x
=
2 3
的根是x=1,求a 的值.
2、当m的值为何值时分式方程
1
m
+
=4
x-3 3-x
会产生增根?
( 480 - 600)×2x = 45×2x x 2x
480 ×2x - 600 ×2x = 45×2x
x
2x
960-600=90x.
解这个方程,得 x=4.
经检验,
x=4是原方程的根.
去分母,两边同乘最简公分母 (先约分,再去分母可以使计算简便)
化为整式方程求解
检验 下结论
自主测评
3、解方程:( 1 )
二元一次方程组呢?
转化
二元一次方程组
加减消元法、 代入消元法
一元一次方程
去分母、 去括号、 移项、 合并同类项、 化系数为1
探究析思
你能设法求出上一节课列出的分式方程
1400 - 1400 = 9 x 2.8x
的解吗?
分式方程
转化
整式方程
探究析思
1400 - 1400 = 9 x 2.8x
1400 (