【计算流体力学】第8讲-有限体积法2
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体内部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：(2)上式中，f显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：(3)近似为方格中心点的值乘以方格的面积。
三阶精度积分：(4)四阶精度积分：(5)应该注意的是，采用不同精度的积分公式，在相应的边界点的插值时也应采用相应精度的插值函数。
积分公式的精度越高，近似公式就越复杂。
有限体积法介绍
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上式中，f可以表示??un或???。 ?n
1
有限体积法
1 有限体积法基本原理
上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE的近似。 在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：
???v?nds???n???ds??SS?q?d?? 算域上都是成立的。为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似
采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。 控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：
计算流体力学 有限体积法基础及其应用
一、计算流体力学简介1.1 计算流体力学的定义1.2 计算流体力学的研究对象1.3 计算流体力学的发展历史二、有限体积法基础2.1 有限体积法的理论基础2.1.1 有限体积法的基本原理2.1.2 有限体积法的数学模型2.2 有限体积法的数值求解2.2.1 离散化2.2.2 迭代求解三、有限体积法在计算流体力学中的应用3.1 有限体积法在流体流动模拟中的应用 3.1.1 管道流动模拟3.1.2 自由表面流动模拟3.2 有限体积法在传热问题中的应用3.2.1 对流传热3.2.2 辐射传热四、有限体积法在工程领域中的应用4.1 有限体积法在航空航天领域中的应用 4.2 有限体积法在汽车工程中的应用4.3 有限体积法在建筑工程中的应用五、有限体积法的发展趋势5.1 高性能计算技术对有限体积法的影响5.2 多物理场耦合对有限体积法的挑战5.3 人工智能在有限体积法中的应用六、结论一、计算流体力学简介1.1 计算流体力学的定义计算流体力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）是利用计算机模拟流体力学问题的一门学科。
它通过对流动流体的数值解，来研究流体在各种情况下的运动规律和性质。
1.2 计算流体力学的研究对象计算流体力学的研究对象包括流体的流动、传热、传质、振动等现象，以及与流体相关的各种工程问题，如飞机、汽车、建筑等的气动特性分析与设计。
1.3 计算流体力学的发展历史计算流体力学的发展可以追溯到20世纪50年代，当时计算机技术的进步为流体力学问题的数值模拟提供了可能。
随着计算机硬件和软件的不断发展，CFD的应用领域不断扩大，成为现代工程领域不可或缺的工具之一。
二、有限体积法基础2.1 有限体积法的理论基础2.1.1 有限体积法的基本原理有限体积法是求解流体动力学问题的数值方法之一，它基于质量、动量和能量守恒的控制方程，将求解域离散化为有限数量的体积单元，通过对控制方程进行积分，将方程转化为代数方程组。
有限体积法
有限体积法一、基本概念有限体积法是西方物理学家威廉.波音（William Bonynge）1890年提出的一种数值求解的方法，它的基本思想是：体积的变化量等于速度与时间（或位移）的变化量的乘积，可用该方法将求解所需要的复杂积分运算完全转化为一系列可以进行迭代计算的一阶微分方程组或其它形式的差分方程组，从而达到精确求解物理量的目的。
因此，定积分是有效控制精度的唯一手段，具有定积分法所不具有的稳定性和可逆性，因而有限体积法被广泛应用于气象、流体动力学和计算力学领域。
二、理论原理有限体积法的原理是基于一个体积的时间变化：一定体积的运动元件在时间上的体积变化为它的速度变化和位移变化的乘积。
这个变化的积分就是这个体积的变化量。
运用积分的方法，可以求出速度和位移变化总量。
在求解有限体积法时，应遵循以下步骤：（1）准备数据：确定当前体积元件的大小，位置，特性等，也可以准备一些较为精确的拟合值；（2）定义 size variable：对于每个体积元件，用大小变量x来进行描述；（3）定义变量系数：假定每个体积元件有一定的变量系数a来描述其变化量；（4）建立方程：根据上述步骤求出的变量系数a就可以构建积分的代数形式；（5）求值：根据构建的形式可以求解体积的变量系数a，以此来计算出体积变化量。
三、应用有限体积法应用广泛，在流体动力学，气象与空间等诸多领域中得到广泛应用。
有限体积法主要应用于数值计算中，用来求解涡流的发生、动态行为，以及特殊物理量的计算等。
有限体积法主要用来求解涡流问题，它能够对流动过程中的细节进行描述，问题的解决也比较精确。
由于有限体积法有较好的精度、可逆性和可靠性，因而在研究空气流动中用到比较多。
例如，汽车动力学领域中用来分析汽车机车旋转力矩、操纵力、起飞阻力等特性，以及舰船水车结构设计时等。
有限体积法在气象中也得到应用，例如预报气象，探测天气现象的发展趋势以及其影响。
此外，有限体积法也可以用于地性质、物理数学模型、生物物理过程中的求解，用来处理水库沿岸的地质、物理状况，以及景观的改变和积水的形成等问题。
计算流体力学中的有限体积法
计算流体力学中的有限体积法有限体积法（FVM）是计算流体力学（CFD）中常用的数值方法之一，用于求解流体力学方程。
它将求解域划分为离散的有限体积，通过对这些体积进行积分，将偏微分方程转化为代数方程，从而得到离散的数值解。
有限体积法的基本思想是将求解域划分为互不相交的有限体积单元，每个体积单元都包含一个中心点和一个相对应的体积。
在每个体积单元内，通过对流体力学方程进行积分，可以得到一个代表该体积单元平均值的代数方程。
这些代数方程连成一个线性方程组，通过求解这个方程组可以得到流场的数值解。
在FVM中，主要有三个关键步骤：离散化、积分和求解。
离散化是将待求解的方程在各个体积单元上进行离散，最常用的离散方式是采用控制体积法。
控制体积法通过定义控制体积面和控制体积边界上的通量，将方程离散化为一个线性代数方程组。
通常，在离散化过程中，流体力学方程会按照守恒形式进行处理。
积分是将流体力学方程在体积单元上进行积分，得到一个代表该体积单元平均值的代数方程。
通过这种方式，可以避免对方程进行高阶求导，降低计算的复杂性和误差。
在FVM中，除了对流体力学方程进行积分外，还需要对边界条件、源项和湍流模型等进行积分。
这些积分一般会产生一些额外的项，如壁面摩擦力、源项通量等。
求解是通过求解离散化后的线性代数方程组，得到流场的数值解。
求解方程组的方法有很多种，常见的方法包括迭代法、直接法和代数多重网格法等。
与其他数值方法相比，有限体积法在求解非结构网格上的方程组时具有较大的优势。
有限体积法的应用广泛，可以用于求解各种流动问题，如湍流、多相流、辐射传热等。
它在工程实践中具有很高的实用价值，可以为设计和优化流体系统提供有效的数值工具。
在实际应用中，有限体积法还可以与其他数值方法相结合，如有限元法、差分法等。
这样可以充分利用各种数值方法的优势，提高求解的精度和效率。
总之，有限体积法作为一种数值计算方法，被广泛应用于流体力学领域。
它不仅能够准确求解流体力学方程，还能够为工程实践提供有效的数值计算工具。
有限体积法第二类边界条件(一)
有限体积法第二类边界条件(一)有限体积法第二类边界条件什么是有限体积法？•有限体积法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程。
它将物理空间分割为离散网格单元，并在每个网格单元中对一些基本方程进行数值离散求解。
有限体积法的边界条件分类•有限体积法中，边界条件用于描述物理量在边界上的变化规律。
根据边界上已知的条件，可以将边界条件分为两类：第一类和第二类。
第一类边界条件•第一类边界条件，也称为Dirichlet边界条件，是指在边界上给定物理量的精确值。
•当使用有限体积法求解偏微分方程时，对于边界上已知物理量的情况，可以直接将其用作边界条件。
例如，在热传导问题中，如果已知边界上的温度分布，就可以将这些温度值直接作为第一类边界条件。
•第一类边界条件可以进一步细分为固定法、最小值法和最大值法，即根据已知量是否为固定值、最小值或最大值来选择相应的边界条件。
第二类边界条件•第二类边界条件，也称为Neumann边界条件，是指在边界上给定物理量梯度的精确值。
•在有限体积法中，对于边界上已知的物理量梯度，可以将其作为第二类边界条件。
例如，在流体力学中，如果已知边界上的速度梯度，就可以将这些梯度值直接作为第二类边界条件。
•第二类边界条件还可以进一步细分为固定法、对流法和非粘性壁法，即根据已知梯度的性质来选择相应的边界条件。
如何应用第二类边界条件？•在有限体积法中，应用第二类边界条件需要在计算中使用差分格式来逼近物理量梯度。
常见的差分格式有中心差分、向前差分和向后差分。
•通过适当选择差分格式，可以将第二类边界条件转化为已知物理量值的表达式，进而应用到数值计算中。
•值得注意的是，由于第二类边界条件是关于物理量的梯度的，需要在边界单元上增加一个外扩的虚拟单元，以确保梯度的计算能够正确进行。
总结•有限体积法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程。
•有限体积法的边界条件分为第一类和第二类，分别对应边界上已知物理量的精确值和梯度的情况。
有限体积法应用
有限体积法应用
有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种离散化方法，近年来在计算流体力学领域得到了广泛应用。
其基本思想是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围都有一个互不重复的控制体积。
控制方程对每一个控制体积积分，从而得出一组离散方程，其中的未知数为网格点上的因变量。
为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律。
有限体积法的特点包括：
1. 计算效率高：有限体积法在离散过程中直接处理偏微分方程，因此具有较高的计算效率。
2. 守恒性：有限体积法利用控制单元中的物理量守恒来离散求解偏微分方程，因此在理论上具有最强的守恒性。
3. 适应复杂几何：有限体积法能适应复杂的几何形状和边界条件，因此在解决实际问题时具有很大的优势。
4. 内存需求较低：与有限元法相比，有限体积法的内存需求较低。
有限体积法在计算流体力学领域的应用包括：
1. 流体动力学模拟：有限体积法被广泛应用于流体动力学模拟，如湍流、燃烧、传热等问题的求解。
2. 航空航天领域：在航空航天领域，有限体积法被用于模拟飞行器的流体动力性能，如机翼、尾翼等部件的气动特性。
3. 气象预报：在气象预报领域，有限体积法被用于模拟大气流动和气候变化。
4. 生物医学工程：在生物医学工程领域，有限体积法被用于模拟血流、药物扩散等过程。
5. 化工模拟：在化工模拟领域，有限体积法被用于模拟流体流动、传热、化学反应等过程。
总之，有限体积法是一种广泛应用于计算流体力学领域的离散化方法，具有高效、守恒、适应性强等优点。
其应用范围涵盖了流体动力学模拟、航空航天、气象预报、生物医学工程和化工模拟等领域。
计算流体力学中的有限体积法
计算流体力学中的有限体积法
有限体积法（FVM）是一种数值计算方法，用于模拟流体力学问题。
它是通过把流场分成很多个离散化的小体积来描述流体的运动的。
有限体
积法的基本思想是在每一个小体积中应用质量、动量和能量守恒方程，然
后将它们组合成一个离散化的形式，以便于数值计算。
其中，质量守恒方
程描述了流体的连续性，动量守恒方程描述了流体的运动，能量守恒方程
则描述了流体的温度和压力等性质随时间的变化。
有限体积法的计算流程一般包括以下步骤：
1.网格划分：将流场划分成若干个小体积，每个小体积称为一个网格
单元。
2.定义控制体：在每个网格单元内，定义一个控制体。
控制体是一个
虚拟的小体积，它可以是任意形状，但通常为正交体。
3.求解守恒方程：对于每个控制体，应用守恒方程，得到一个自由度
方程组。
4.数值求解：利用数值方法求解自由度方程组，得到解。
5.更新场变量：根据求解得到的解，更新场变量（如速度、压力等）。
6.考虑边界条件：在每个边界上，根据物理条件定义边界条件，用于
修正解。
7.重复以上步骤：对于每个时间步长，重复以上步骤，直到计算结束。
需要注意的是，有限体积法是一种局域方法，只考虑每个网格单元内
部的守恒方程，没有直接考虑两个网格单元之间的相互作用。
因此，在计
算边界处或流场中存在复杂流动结构的区域时，需要采用一些特殊的技术（如插值方法、外推方法等）来处理。
计算流体力学中的有限体积法 pdf
计算流体力学中的有限体积法 pdf 有限体积法（Finite Volume Method）是计算流体力学中一种常用的数值求解方法，它通过将流域划分为离散的有限体积单元来近似描述流体的宏观守恒方程。
这一方法在许多领域中得到广泛应用，如流体动力学、热传导、质量传递等。
有限体积法通过将流域划分为有限体积单元，将守恒方程应用于每个单元，并通过积分得到方程在单元内的平均值。
在有限体积单元内，流体的宏观守恒方程可以表示为一个线性代数方程组。
通过对方程组进行离散化，可以得到数值解，进一步用于模拟和预测流体力学现象的特性。
在有限体积法中，流域被划分为网格，通常是结构化或非结构化网格。
结构化网格以规则的矩形或立方体单元组织，而非结构化网格则根据流体流动的特性灵活调整单元的形状和大小。
无论是结构化还是非结构化网格，有限体积法都能够准确地处理流体流动的各种边界条件。
有限体积法的优势之一是它保持了宏观物理量的守恒性质。
例如，在处理流体流动时，有限体积法能够准确地保持质量、能量和动量的守恒。
这使得有限体积法在工程领域的应用十分重要。
例如，在空气动力学中，有限体积法可以精确地模拟飞机周围的空气流动，从而帮助设计师优化飞行器的性能。
为了得到准确的数值解，有限体积法需要进行离散化和数值逼近。
通常使用线性或高阶的插值方法对守恒方程进行离散化。
此外，为了解决方程组中的非线性项，可以采用迭代方法，如简单迭代或牛顿迭代。
有限体积法在多相流、湍流流动和传热等领域有着广泛的应用。
例如，在化工工艺中，有限体积法可以模拟复杂的多相流动，从而帮助工程师优化生产过程。
同时，有限体积法还可以用于研究液体和气体的传热特性，如对流、传导和辐射的影响。
总之，有限体积法是计算流体力学中一种重要的数值求解方法，通过将流域划分为离散的有限体积单元，通过离散化和数值逼近得到数值解，以模拟和预测流体力学现象的特性。
它具有保持宏观守恒性质的优势，适用于各个领域的流体流动问题。
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到得有限差分法将数值网格得节点上定义为计算节点,并在网格节点上对微分形式得流体基本方程进行离散,用网格节点上得物理量得代数方程作为原PDE得近似。
在本章所要学习得有限体积法则采用了不同得离散形式。
首先,有限体积法离散得就是积分形式得流体力学基本方程:(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
与有限差分法不同得就是,有限体积法得网格定义了控制体得边界,而不就是计算节点。
有限体积法得计算节点定义在小控制体内部。
一般有限体积法得计算节点有两种定义方法,一种就是将网格节点定义在控制体得中心,另一种方法中,相邻两个控制体得计算节点到公共边界得距离相等。
第一种方法得优点在于用计算节点得值作为控制体上物理量得平均值具有二阶得精度;第二种方法得好处就是在控制体边界上得中心差分格式具有较高得精度。
积分形式得守恒方程在小控制体与计算域上都就是成立得。
为了获得每一个控制体上得代数方程,面积分与体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分得近似采用结构化网格,在二维情况下,每一个控制体有4个面,二维情况,每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示,控制体边界与节点用小写字母表示。
为了保证守恒性,控制体不能重叠,每一个面都就是相邻两个控制体得唯一公共边界。
控制体边界上得积分等于控制体个表面得积分得与:(2)上式中,f可以表示或。
显然,为了获得边界上得积分,必须知道f 在边界上得详细分布情况,这就是不可能实现得,由于只就是计算节点上得函数值,因此必须采用近似得方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步:用边界上几个点得近似积分公式第二步:边界点上得函数值用计算节点函数值得插值函数近似 面积分可采用以下不同精度得积分公式: 二阶精度积分:(3) 上式中为边界中点出得函数值。
近似为方格中心点得值乘以方格得面积。
三阶精度积分:(4) 四阶精度积分:(5)应该注意得就是,采用不同精度得积分公式,在相应得边界点得插值时也应采用相应精度得插值函数。
fvm 有限体积法
fvm 有限体积法有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种常用的数值计算方法，用于求解流体力学和热传导等守恒方程。
它将计算区域划分为离散的控制体，通过在控制体上应用平衡方程，将守恒方程转化为代数方程组，进而得到数值解。
在有限体积法中，计算区域被划分为若干个控制体，每个控制体代表一个小区域，用来计算相应的物理量。
这些控制体之间通过边界面相连，形成一个网格。
在每个控制体内，平均物理量被定义为该控制体上物理量的积分平均值。
通过在控制体上应用平衡方程，可以得到守恒方程的离散形式。
有限体积法的基本思想是，根据质量守恒、动量守恒和能量守恒等守恒方程，将守恒方程在每个控制体上进行积分，然后通过对积分方程进行离散化，得到代数方程组。
这个代数方程组可以通过数值方法求解，得到每个控制体上的物理量的数值解。
在有限体积法中，流体流动被描述为流体在控制体内的质量、动量和能量的变化。
通过在控制体上应用守恒方程，我们可以得到质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程的离散形式。
这些方程是以每个控制体为基础的，通过将守恒方程在控制体上进行积分，可以得到每个控制体上物理量的离散形式。
有限体积法的求解过程包括以下几个步骤：首先，将计算区域划分为离散的控制体，并在每个控制体上定义平均物理量。
然后，通过在控制体上应用守恒方程，将守恒方程转化为代数方程组。
接下来，使用数值方法求解代数方程组，得到每个控制体上物理量的数值解。
最后，根据数值解，可以得到流体流动的各种性质，如速度、压力、温度等。
有限体积法在工程领域得到了广泛的应用。
例如，在流体力学领域，有限体积法可以用来模拟流体的流动，计算流动的速度、压力分布等。
在热传导领域，有限体积法可以用来模拟热量的传输，计算温度的分布等。
在材料科学领域，有限体积法可以用来模拟材料的变形和应力分布等。
有限体积法是一种常用的数值计算方法，适用于求解守恒方程。
它通过在控制体上应用平衡方程，将守恒方程转化为代数方程组，并通过数值方法求解代数方程组，得到物理量的数值解。
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：•d q ds ds SS⎰⎰⎰ΩΩ+∇⋅Γ=⋅φφρφn n v(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：∑⎰⎰=kS Skfds fdS(2)上式中，f 可以表示n u ρφ或n∂∂Γφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==⎰(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
计算流体力学有限体积法
计算流体力学有限体积法【中英文版】Title: Calculation of Fluid Mechanics using Finite Volume MethodTitle: 计算流体力学有限体积法Section 1: Introduction to Finite Volume MethodThe Finite Volume Method (FVM) is a numerical technique used to solve partial differential equations which describe fluid flow and other physical phenomena.In FVM, the domain of interest is discretized into a finite number of control volumes or cells.第一部分：有限体积法简介有限体积法（FVM）是一种用于求解描述流体流动和其他物理现象的偏微分方程的数值技术。
在FVM中，感兴趣的域被离散化为有限数量的控制体积或单元。
Section 2: Discretization ProcessThe discretization process involves dividing the domain into smaller sub-domains known as control volumes.The governing equations are then applied to each control volume, leading to a set of algebraic equations which can be solved to obtain the solution at each node.第二部分：离散化过程离散化过程涉及将域划分为称为控制体积的小子域。
2有限体积法及其网格简介
ρφdV t V
dV
用文字表述的特征变量在控制体积内的 守恒关系为：
φ 随 时 间 的 变 化 量 φ由 于 边 界 对 流 引 起 的 净 减 少 量 φ由 边 界 扩 散 引 起 的 净 增 加 量 φ由 内 源 引 起 的 净 产 生 量
A A V φ
dV
对瞬态，还需对时间积分，以表明从时刻t到 （t+△t)的时间段内未知量仍保持其守恒性
ρφdV dt t V
Δt
n φ ρ u d A d t
Δt A
n Γ g r a d φ d A d t S
2.2有限体积法及其网格介绍
1
2.2.1 有限体积法思想
有限体积法是在有限差分法基础上发展起来的，同时 它又吸收了有限元法的一些优点。 基本思路：将计算区域划分为网格，并使每个网格点 周围有一个互不重复的控制体积，将待解微分方程 （控制方程）对每一个控制体积分，从而得出一组离 散方程。其中的未知量是网格点上的因变量 。 有限体积法获得的离散方程，物理上表示的是控制容 积的通量平衡，方程中各项有明确的物理意义。这也 是有限体积法与有限差分法和有限元法相比更具有优 势的地方。
d iv ( u ) d iv ( g r a d ) S
10
有限体积法的关键步骤：
将控制方程在控制体积内积分
V
ρφ t
dV
d iv (ρ φ u ) d V
V
d iv ( Γ g r a d φ )d V S
V V
有限体积法2
(ρu r )n (δr )n Γn (r∆θ)n = / = P F D (δr )n ， n n n Γn
21
Fs = (ρru r )s ∆θ ， D s =
Γs (r∆θ)s (ρur )s (δr )s ， Ps = Fs / D s = 。 (δr )s Γs
22
4. 三维问题离散格式 三维问题的通用形式对流扩散方程为
4
所以 类似可得
J e − Fe φ P = [D e A ( Pe ) + max(− Fe ,0)] (φ P − φ E )
J w − Fw φ P = [D w A ( Pw ) + max(Fw ,0)] (φW − φ P )
J n − Fn φ P = [Dn A ( Pn ) + max(− Fn ,0)] (φ P − φ N )
， Pb
Fb= (ρw)bΔxΔy， Db =
= Fb Db =
(ρw )b (δz )b
Γb
26
四．有限体积法求解 Navier-Stokes 方程组
∂ρ ∂ (ρu j ) =0 + ∂x j ∂t
∂ρu i ∂ (ρu j u i ) ∂ 2ui ∂p + = ρg i − +µ 2 ∂t ∂x j ∂x i ∂x j
J x = ρu φ − Γ
∂φ ∂φ ∂φ ，J y = ρvφ − Γ ，J z = ρwφ − Γ ∂y ∂x ∂z
23
结点 P 周围所取的控制体大小为Δx×Δy×Δz， 在 z 方向上的两个相邻结点为 T 和 B （ “ Top ”和 “Bottom” ） ，界面为 t 和 b。
T t ∆z P b B (δz)b (δz)t
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：•d q ds ds SS⎰⎰⎰ΩΩ+∇⋅Γ=⋅φφρφn n v(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体内部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：∑⎰⎰=kS Skfds fdS(2)上式中，f 可以表示n u ρφ或n∂∂Γφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==⎰(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
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方法2： Van Leer 分裂 （不单独处理压力）
u
f
u
2
p
(E p)u
p c2 /
E p H 1 u2 p 1 u2 1 c2
2
1 2
1
M
f
c
uM
c
/
uM / 2 c / ( 1)
验证 f f f
M 1 f f,f 0 M 1 f 0, f f
1 0
f
cM
u
p
f
c
f
p
H 0
M M M M 0; M 0
p p p
5
M 当 M 1 M (M 1)2 / 4 当
0 当 M 1
M 1
0 M 1 M (M 1)2 / 4
M M 1
M M M p p p
M 1
特点： 连续、光滑、无可调参数
u 0 t x
被动标量方程
分裂形成简单
f u u u
1. 流通矢量分裂(FVS)
1) Steger-Warming分裂
f f f
f AU S1ΛSU
k
k
(2k 2 )1/ 2 2
1维：
f%(λ%)
2
(
2( 1)%1 %2 %3 2( 1)%1u %2 (u c) %3(u c)
区域物理量的近似值
f hll
fZLRfL
if ZL 0 ZLfR ZRZL (UR
ZR ZL
UL)
if
fR if ZR 0
ZL 0 ZR
Ref.： E. F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer, 2009 (Third Edition)
三波近似， 左、右波的速 Z L Z R
UL
U*L U*R
UR
激波 接触间断 激波 T 时刻的流动状态
方程多了两个？ （因为假设激波速度已知） 常用方法： 去掉两个方程 去掉两个能量方程， 4个未知数，4个方程，求解 求解过程简单，轻易可给出表达式
11
最终，HLLC公式为：
Z*
u*
pR pL LuL (ZL uL ) RuR (ZR uR ) L (ZL uL ) R (ZR uR )
UL
UR
三波近似， 左、右波的速 Z L Z R
UL
U*L U*R
UR
激波 接触间断 激波 T 时刻的流动状态
Ref.： E. F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer, 2009 (Third Edition)
)R
(vk
)L
)
uL uRoe
u uR
A(U) 满足：
A(U)(UR UL ) f (UR ) f (UL )
物理意义为平均增长率
FRoe 1 (FL FR ) 1 S 1 Λ S (U R U L )
2
2
9
3） HLL 近似Riemann解 （Harten, Lax & van Leer） 基本原理： 双激波近似
知识回顾： 有限体积法基本流程
蜒 UIJ 1
t IJ
F nds 1
IJ
Fv nds 0
无粘项常用方法 （流过AB边的通量）：
a. 利用周围点的值，计算出(I+1/2,J) 点处的物理量； 直接利用“差分格式”
b. 利用该处的物理量，计算出流过AB边的流通量 迎风型方法需利用“通量分裂技术”
激波速度介于波后（相对）声 速与波前（相对）声速之间，平 均是个好思路
ZL u~ a~, ZR u~ a~
要平均吗？ 用Roe平均，
准确计算ZL,ZR，实际 是计算Riemann精确
解，计算量大
小常识： 激波的传播速度 激波相对于波前介质以超
声速传播，相对于波后介质 以亚声速传播 ；
弱激波（Ma趋近于1）以 声速传播。
12
左、右波速 ZL, ZR 的计算
HLL 及HLLC 均假设ZL, ZR已知，实际上它 们仍需要估算 方法1： 直接估算
U*L ZL
Z* U*R
ZR
UL
UR
1a: 假设以声速传播 （Davis） ZL uL aL , ZR uR aR
竟然假设激波 以声速传播， 太OUT了
1b: 左、右两种状态声速的平均 (Davis, Einfeldt)
13
ZL u~ a~, ZR u~ a~
Roe 平均：
~ [( L R ) / 2]2 H~ ( L H L R H R ) /( L R ) a~ [( 1)(H~ u~2 / 2)]1/2
1c. Roe平均的修正 （Einfeldt）
ZL
u~
~ d , ZR
u~
d~
d~
10
4） HLLC 近似Riemann解 （Toro）
发展了HLL近似解，用三波模型来近似 （如图）
U*L ZL
Z* U*R
ZR
模型： 左右两道激波，中间有接触间断
激波速度已知为: ZL, ZR
UL
UR
未知数（4个）：p*,u*, *L, *R
方程（6个）：两道激波的RH关系式
L
(uL
ZL
)
*L
(
1)%1V
2
%2 [(u 2
c)2
v2
w2 ]
%3 [(u 2
c)2
v2
w2]
w2
1 u, 2 u c, 3 u c
%k k or k
V 2 u2 v2 w2
3
2) Lax-Friedrichs (L-F)分裂
A (A *I) / 2, A (A *I) / 2
p M 1
p
p(1
M
)/
2
0 M 1
M 1
0 M 1
p
p(1
M
)
/
2
p
M 1
M 1
1 0
f
cM
u
p
1
H 0
参考文献： Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, section 8.4.4 Liou: Ten Years in the making AUSM family, NASA TM-2001-210977
(u*
LuL (uL ZL ) pL
ZL) *Lu* (u*
ZL )
p*
L EL (uL ZL ) uL pL *L E*L (u* ZL ) p*u*
R
(uR
ZR
)
*R (u*
RuR (uR ZR ) pR
ZR) *Ru* (u*
ZR
)
p*
R ER (uR ZR ) uR pR *R E*R (u* ZR ) p*u*
M (M 1)2 / 4 M (M 1)2 / 4
7
2. 通量差分分裂（FDS）
利用Riemann解，计算通量
U f(U) 0 t x
U
U U
L R
x0 x0
1） 精确 Riemann解 （Godunov方法）
v, w 按照被动标量处理
L R
u* 0 u* 0
u*
8
2） Roe 近似Riemann解
f
n 2
)
]
t[
f1n
f
n 2
]
x
y
x y
Qn t[ AQ n BQn ] tRHS
x
y
Qij[1
t x
*A
t y
*B
]
[
t x
A Q i1, j i1, j
t y
B i,
j
Q 1 i,
j
1
]
[
t x
A Q i1, j i1, j
t y
B Q ] i, j 1 i, j 1
tRHS
Ma 1
例：
f
2
f2
cu(M M )( 1) / 2c2 (M M ) /
cuM ( 1) / c2 (M 2 1) /
1
f cM [( 1)u 2c] /
[( 1)u 2c]2 / [2( 2 1)]
u2 ( 1) / u2 / c2 / u2 p f2
根据当地Mach数分裂 M u / c
-1
M 1 f f,f 0
M 1 f 0, f f
亚声速情况下 Ma 1 ，均匀过渡
M
1
M
u cM
f
u
2
p
cMu
p
f
f
uH cMH
H E p u cM
c2 p /
方法1 ：Liou-Stenffen分裂 压力项单独处理
U*K
K
ZK ZK
uK Z*
1
Z*
EK K
(Z*
uK )[Z*
K
(
pK ZK
uK
)
]
fL if 0 ZL
f hllc ff**LR
if ZL 0 Z* if Z* 0 ZR
fR if 0 ZR
f*K fK ZK (U*K UK )
接触间断移动速度
U*L ZL
U*R
aijQij bijQi1, j cijQi, j1 dijQi1, j eijQi, j1 Rij