固体第五章2008.12.8-10
《固体物理学》房晓勇主编教材课件-第五章 金属电子论基础
价电子由于受原子实的束缚较弱,而成为能在晶体内部
大
海 自由运动的自由电子。索末菲进一步假定,在自由电子的运 大
道
纳 动过程中,晶格周期场的影响可以忽略,电子间彼此无相互 道
致
百 作用。因此可将一个复杂的强关联的多体问题,转化为在平 致
川 均势场中运动的单电子问题,在首先求得单电子的能级的基
远
dN
=
2
⎛ ⎜⎝
L 2π
⎞3 ⎟⎠
dk
=
V 4π
3
dk
(5 − 13)
? 根据泡刺不和容原理,每一个波矢状态只 可以容纳两个自旋方向相反的电子。 海南大学
第
2. 能级密度分布
(1)电子能级密度定义:
lim G (E ) =
ΔZ = dZ
海
ΔE →0 ΔE dE
E + dE ky ds
(5 − 16)
第
第五章 金属电子论基础
在固体材料中,三分之二以上的固态纯元素物质属于金
属材料。由于金属具有极好的导电、导热性能及优良的机械 海 性能.是一种非常重要的实用材料,所以,通过对金属材料 大
纳 功能的研究,可以了解金属材料的性质,同时椎动现代固体 道
百 川
理诧的发展。另一方面.对金属材料的了解,也是认识非金 属材料的基础。
道
百
每个电子都可以建立一个独立的薛定谔方程:
致
川
2
− ∇ 2ψ (r ) = Eψ (r ) (5 − 4 )
远
2m
E---电子的能量
ψ----电子的波函数(是电子位矢 r的函数)
海南大学
第
固体物理学1~6章习题解答
证明:由书可知
在高温时, ,则在整个积分范围内 为小量,因此可将上式中被积函数化简为
将上式代入 的表达式,得
将
代入上式得
3.10设晶格中每个振子的零点振动能为 ,试用德拜模型求三维晶格的零点振动能
解:由讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热,证明在低温下其比热正比于
(1)这种晶格属于哪种布拉维格子?
(2)原胞的体积和晶胞的体积各等于多少?
答:(1)因为a=3i,b=3j,而c=1.5(i+j+k)=1/2(3i+3j+3k)=1/2(a+b+c′)式中c′=3k。显然,a、b、c′构成一个边长为3*10-10m的立方晶胞,基矢c正处于此晶胞的体心上。因此,所述晶体属于体心立方布喇菲格子。
《固体物理学》习题解答
第一章
1.1有许多金属即可形成体心立方结构,也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略,并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离,试问Rf/Rb等于多少?
答:由题意已知,面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等,都设为a:
(2)晶胞的体积= = =27*10-30(m3)
原胞的体积= = =13.5*10-30(m3)
1.7六方晶胞的基失为: , ,
求其倒格子基失,并画出此晶格的第一布里渊区.
答:根据正格矢与倒格矢之间的关系,可得:
正格子的体积Ω=a·(b*c)=
那么,倒格子的基矢为 , ,
其第一布里渊区如图所示:(略)
答:根据题意,由于OA、OB和OC分别与基失a1,a2和a3重合,那么
1.3二维布拉维点阵只有5种,试列举并画图表示之。
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考pdf05第五章_金属电子论基础
8.45
×1022
⎤1/ ⎦
3
=
5.2 限制在边长为 L 的正方形的 N 个电子,单电子能量为
( ) ( ) E kx, ky
=
2
k
2 x
+
k
2 y
2m
(1)求能量 E 到 E+dE 之间的状态数; (2) 求绝对零度时的费米能量。 解:(参考中南大学 4.6,王矜奉 6.2.2,林鸿生 1.1.83,徐至中 5-2) (1)如《固体物理学》图 5-1 所示,每个状态点占据的面积为
G′(E) = 2 dZ ⋅ dk = 2 L2 k • dk dE 2π
m = L2m 2k π 2
得二维金属晶体中自由电子的状态密度为:
…………………………(4)
g(E)
=
G′(E) S
=
1 L2
L2m π2
=
m π2
………………………(5)
(2)根据《固体物理学》式 金属的电子浓度
3
∫ ∫ n =
2π i 2π = (2π )2
Lx Ly
L2
所以每个单位
k
空间面积中应含的状态数为
L2
(2π )2
,
d k 面积元中应含有的状态数为
dZ
=
L2
(2π )2
d
k
而单电子能量为
( ) ( ) E kx, ky
=
2
k
2 x
+
k
2 y
2m
= 2k2 2m
E+dE E
可见在 k 空间中等能曲线为一圆,如图所示,在 E——E+dE 两个等能圆之间的
2
2024年新教科版八年级上册物理课件 第5章 物态变化 2.熔化和凝固
达到熔点 持续吸热
吸热
达到凝固点 持续放热
放热
火山爆发后
突然间,炽热的熔岩从火山口喷出,像炼钢炉里流出的 钢水一样流淌,这就是火山爆发。
岩浆是多种成分组成的液体,在流淌过程中温度不断降 低,按下列顺序,在火山口周围形成具有层理构造的矿物: 橄榄石—辉石—角闪石—黑云母—正长石—白云母—石英。 对火山周围矿物的熔点高低与分布的关系,你有什么推测? 请和同学进行讨论。
蜂蜡
橡胶
塑料
沥青
松香
常见的非晶体
固体的熔化
火山
冰川
熔化
固态
液态
凝固
1 熔化:物质由固态变为液态的过程叫作熔化。 2 凝固:物质由液态变为固态的过程叫作凝固。
露水凝结
浇注钢水 冰川融化
实验探究 固体的熔化的规律
设计实验 利用如图所示的装置,探究海波 和蜂蜡的熔化规律。 分别对海波和蜂蜡两类不同的物 质加热,并记录相关数据。
④CD段对应的时间段内海波是什么状 态?温度如何变化?
物质是液态,吸热升温。
蜂蜡的熔化曲线分析: ① 蜂蜡在整个过程中温度 怎样变化?
熔化过程中不断吸热,度不断上升。
②能看出蜂蜡是从什么时候 开始熔化的吗?
不能
归纳小结
晶体:具有固定的熔化 温度。
非晶体:没有固定的熔 化温度。
实验表明:晶体在熔化过程中,要 不断_吸__收__热量,温度_保__持__不__变__。
2. 熔化和凝固
教科版八年级物理上册
新课导入
我们曾学过很多描写雪的诗句: 北国风光,千里冰封,万里雪飘。 忽如一夜春风来,千树万树梨花开。 窗含西岭千秋雪,门泊东吴万里船。 你知道一片雪花有几个角吗?
固体 课件
二、晶体的微观结构 1.1982 年,扫描隧道显微镜的问世,使人类第一次观察到原子在 物质表面的排列状况。在各种晶体中,原子(或分子、离子)都是按 照一定的规则排列的,具有空间上的周期性。 2.有的物质在不同条件下能够生成不同的晶体,那是因为组成 它们的微粒能够按照不同规则在空间分布。如碳原子如果按照图 甲那样排列,就成为石墨,而按照图乙那样排列,就成为金刚石。
3.同种物质可能以晶体和非晶体两种不同的形态出现,也就是 说,物质是晶体还是非晶体,并不是绝对的。晶体与非晶体在一定条 件下可以相互转化。
一、 晶体和非晶体
单晶体、多晶体及非晶体的区别
分类
宏观外形 物理性质
非晶体
没有确定 ①没有确定的熔点 的形状 ②导电、导热、光学性质表现为各向同性
单晶 有天然规 ①有确定的熔点
思考探究 1.如图所示,这是在一个平面上单晶体物质微粒的排列情况。 从图上可以看出,在沿不同方向所画的等长直线 AB、AC、AD 上, 物质微粒的数目不同。直线 AB 上物质微粒较多,直线 AD 上较少, 直线 AC 上更少。由于什么原因造成了单晶体的各向异性?
答案:正因为在不同方向上物质微粒的排列情况不同,才引起单 晶体在不同方向上物理性质的不同。
固体
一、晶体和非晶体 1.固体可以分为晶体和非晶体两类。石英、云母、明矾、食盐、 味精、蔗糖等是晶体,玻璃、蜂蜡、松香、沥青、橡胶等是非晶体。 2.单晶体具有确定的几何形状,多晶体和非晶体没有确定的几 何形状;我们在初中已经学过,晶体有确定的熔点,非晶体没有确定的 熔点。 3.有些晶体沿不同方向的导热或导电性能不同,有些晶体沿不 同方向的光学性质不同,这类现象称为各向异性。非晶体沿各个方 向的物理性质都是一样的,这叫作各向同性。由于多晶体是许多单 晶体杂乱无章地组合而成的,所以多晶体是各向同性的。 预习交流 铁块没有规则的几何形状,铁块是非晶体吗?
教科版八年级物理上册 5.2熔化和凝固(第5章 物态变化 学习、上课课件)
过程中继续吸热,温度不变;熔化后,吸收热量,
温度升高。
②非晶体熔化特点:继续吸热,温度升高。
感悟新知
知2-讲
4. 熔点 晶体熔化时的温度叫熔点,不同的晶体熔点不同。
例如,在标准大气压下,冰的熔点是0 ℃,海波的熔点 是48 ℃,萘的熔点是80.5 ℃。而非晶体在熔化过程中, 温度不断升高,没有固定的熔化温度,所以,非晶体没
有熔点。
感悟新知
知2-讲
5. 晶体的熔化条件 晶体熔化必须满足两个条件:一是温度达到熔点;
二是能够继续吸热。
感悟新知
特别提醒
知2-讲
1.仪器应由下向上组装:实验中必须用酒精灯温度高的外
焰对物体加热,所以要先放好酒精灯再固定铁圈的位置。
2.试管中装入的碎冰、蜂蜡粉末应适量,目的是避免实验
时间过长或过短。
知2-练
感悟新知
知识点 3 液体的凝固
知3-讲
1.液体凝固形成晶体的凝固特点 液体在凝固形成前放出热量,液体的温度随之下降,
当降至某一温度时,液体开始凝固成固体,在凝固过程 中,对外放出热量,温度不发生变化,液体完全凝固形 成固体后,仍放出热量,温度下降。
感悟新知
知3-讲
液体凝固形成晶体的凝固图像如图6 甲所示,各阶段的 特征如表所示。
第5章 物态变化
第2节 熔化和凝固
学习目标
1 课时讲解 认识晶体
固Байду номын сангаас的熔化 液体的凝固
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 认识晶体
固体可分为晶体和非晶体。 1.晶体 有规则结构的固体统称为晶体。 2.非晶体 没有规则结构的固体统称为非晶体。
2024年秋季学期新教科版八年级上册物理课件 第5章 物态变化 2 熔化和凝固
越王剑
“后母戊”青铜方鼎
熔化和凝固是自然界中非常普遍的自然现象。
熔化和凝固如何定义?
春天到了,冰雪熔化
火山爆发喷发的岩浆, 冷却后凝固成固体
知识点2 熔化和凝固
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.熔化:物理学中,把物质由固态变为液态的过程叫熔化。
2.凝固:物理学中,把物质由液态变为固态的过程叫凝固。
固态
熔化 液态
固态
液态 凝固
凝
3.熔化过程吸热
温度/℃同一种晶体的凝固点与它的温熔度点/℃相同。
48
48
时间/min
O
海波的熔化图像
时间/min
O
海波的凝固图像
3.熔化与凝固特点
(1)晶体熔化(凝固)过程中,吸收(放出)热量,温度不变。 (2)非晶体熔化(凝固)过程中,吸收(放出)热量,温度升 高(降低)。
4.熔化与凝固条件 (1)晶体熔化的条件:_温__度__达__到___熔__点__,__继___续__吸__热__。 (2)物质凝固成晶体的条件:_温__度__达___到__凝__固__点___,__继__续__放___热___。 (3)非晶体物质熔化(凝固)条件:持续吸收(放出)热量。
冰
水
想一想:
物质熔化和凝固需要什么条件?晶体和非晶体熔化和凝固的规律 一样吗?
知识点3 固体熔化过程的规律
1.提出问题:晶体和非晶体的熔化与凝固的规律是一样的吗?
2.假设和猜想: 晶体和非晶体的熔化规律相同。
3.制订方案: 材料有温度计、秒表、试管、烧杯、铁架台、酒精灯、陶土网、水、
冰、海波、蜂蜡、松香等 分别加热晶体和非晶体(例海波和蜂蜡),多次测量其加热过程中的
知识点3 液体的凝固
教科版八年级上第五章第2节熔化和凝固课件
固态
液态
2.你能举出日产生活中熔化的例子吗?
冰能熔化成水 蜡烛燃烧时化成蜡泪 玻璃在熔化过程中进行加工
想一想:物质熔化时有什么特点呢?
3.实验器材与药品
酒精灯 铁架台 石棉网 搅拌器 烧杯 试管 温度计 石蜡 火柴 海波(硫代硫酸钠)
4.试验设计及要求 把海波和石蜡加热,并把温度计放入两种
物质中,从40℃开始1分钟观察它们的状态和 读出相应的温度,直到全部熔化后为止.
1.晶体凝固的条件: (1)温度达到凝固点 (2)能继续向外放热
2.晶体凝固的特点: (1)温度达到凝固点温度
(2)能继续向外放热
10.晶体的熔化和凝固图像
温度/℃ 55
D
温度/℃ 55 D
50
B
C
45
50 B
C
45
时间/分 时间/分
40
A 0
2
4
6
8 10 12 14
为了观察它们的状态和温度设计表格
时间/min 0 1 2 3 4 5 6 ...
海波温度/℃ 石蜡温度/℃
思考: 对海波的加热方式是水浴加热,实验中为什么
要水浴加热?
使海波受热均匀 注意事项:
1.注意温度计和酒精灯的正确使用.
酒精灯必须用火柴点燃 熄灭必须用灯帽盖灭 如果着火必须用湿布该灭
2.熔化过程中搅拌器要不断轻轻搅拌.
5.海波熔化过程记录
时间/分 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 温度/℃ 40 44 46 48 48 48 48 48 48 48 49 52 56
从表中可以看出,海波加热后,温度不断升高,但并没有熔化。 只有当温度升高到一定温度海波才开始熔化,并在熔化过程中 需继续加热,且温度保持不变。 当海波熔化完后,继续加热,温度有不断升高。
《固体物理学答案》第五章
第五章 晶体中电子能带理论 习题1.晶体常数为a 的一维晶体中,电子的波函数为(1)()x ai x k πψ3cos =,(2)()f la x f x k,)(-l ∑∞∞=-=ψ是某一函数,求电子在以上状态中的波矢.[解 答]由《固体物理教程》(5.14)式()()r e R r k R r i n k nψψ∙=+可知,在一维周期势场中运动的电子的波函数满足()()x e a x k ika k ψψ=+由此得(1) ()()()()x e x x ai x a i a x a i a x k ika k k ψψππππψ=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+3cos 3cos 3cos于是1-=ikae因此得 ,5,3,aa akπππ±±±= 若只取布里渊区内的值:ak aππ<-,则有ak π=(2) ()].)1([)(a l x f la a x f a x l l k ∑∑∞-∞=∞-∞=--=++=+ψ令1+='ll得 ()()()()x e x a l x f a x k ika k k ψψψ==-=+∑'.由上式知 ikae =1所以有 ,6,4,2,0aa a kπππ±±±= 因此得在布里渊区内的值为0=k2.一维周期势场为()()[]()⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+-+≤≤---=.1,0,21222b na x b a n b na x b na na x b mW x V 当当其中b a 4=,W 为常数,试画出此势能曲线,并求出势能的平均值.[解 答]图5.1 一维周期势场如图5.1所示,由于势能具有周期性,因此只能在一个周期内求平均即可,于是得V=a 1 ()dx x V a a ⎰-22=()dx x V b bb ⎰-2241 =dx x b mW b b b ⎰--][2141222 =b b x x b b mW --]31[8322 =2261b mW . 3.用近自由电子模型求解上题,确定晶体的第一及第二个禁带宽度. [解 答]根据教科书(5.35)式知禁带宽度的表示式为 ng V E 2=,其中n V 是周期势场()x V傅里叶级数的系数,该系数可由《固体物理教程》(5.22)式n V = a 1 ()dx e x V nx ai a a π222--⎰求得,第一禁带宽度为112V E g ==2()dxex V a a x ai ⎰--222a 1π=2⎰---b b x ai dxex b mW b π2222][241=2⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b dx x b x b mW b 2cos ][241222π=3228πb mW .第二禁带宽度为222V E g ==2()dxex V a a x ai ⎰--224a 1π=2⎰---b b x bi dx e x b mW b π][241222 =2⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b dx x b x b mW b πcos ][241222=222πb mW4.已知一维晶格中电子的能带可写成()⎪⎭⎫⎝⎛+-=ka ka ma k E 2cos 81cos 8722 , 式中a是晶格常数.m 是电子的质量,求(1)能带宽度,(2)电子的平均速度,(3)在带顶和带底的电子的有效质量. [解 答](1)能带宽度为 .min max E E E -=∆由极值条件 ()0=dkk dE 得上式的唯一解是0sin =ka 的解,此式在第一布里渊区内的解为 ak π,0=.当()k E k ,0时=取极小值min E ,且有 min E =()00=E当()k E ak,时π=,E(k)取极大值max E ,且有.222max ma a E E=⎪⎭⎫ ⎝⎛=π由以上可得能带宽度为.222m i nm a x ma E E E =-=∆(2)由《固体物理教程》(5.81)式,得电子的平均速度为 ().2sin 41sin 1⎪⎭⎫⎝⎛-==ka ka ma dk k dE v(3)由《固体物理教程》(5.87)式得,带顶和带底电子的有效质量分别为.322cos 21cos 1222m ka ka m k E mak ak ak -=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂=±=-±=*±=πππ.22cos 21cos 012220m ka ka m k E m k k k =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂==-==*5.对简立方结构晶体,其晶格常数为a .(1)用紧束缚方法求出对应非简并s态电子的能带;(2)分别画出第一布里渊区[110]方向的能带﹑电子的平均速度、有效质量以及沿[110]方向有恒定电场时的加速度曲线.[解 答](1)非简并s态电子的能带().e n R k ∑∙--=ns s ats s J C E k E式中n R是晶体参考格点最近邻格矢.对于简单立方晶体,任一格点有6个最近邻.取参考格点的坐标为(0,0,0),则6个最近邻点的坐标为()()().,0,0,0,,0,0,0,a a a ±±±简单立方体非简并s 态电子的能带则为()().cos cos cos 2a k a k a k J C E k E z y x s s at s s ++--=(2)在[110]方向上 ,22,0k k k k y x z === 能带变为(),22cos 40⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ka J E k E s s其中 ,20ss at s J C E E --=在[110]方向上,在第一布里渊区内,电子的能带如图5.2所示.图5.2[110]方向电子的能带电子的平均速度.22sin 221⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂=ka a J k E v s 平均速度曲线如图5.3所示.图5.3 平均速度曲线电子的有效质量,22cos 222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂=*ka a J k E m s 有效质量曲线如图5.4所示.图5.4 有效质量曲线 在[110]方向有恒定电场情况下,电子的受力 εe F -=电子的加速度2222cos 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==*ka a J e m F a s ε.设电场方向与[110]方向相反,加速度曲线则如图5.5所示.图5.5加速度曲线6.用紧束缚方法处理面心立方体晶格的s 态电子,试导出其能带⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 4a k a k a k a k a k a k J C E E x z z y y x s s atss ,并求出能带底的有效质量. [解 答]用紧束缚方法处理晶格的s 态电子,当只计及最近邻格点的相互作用时,根据《固体物理教程》(5.60)式,其能带表示式为()∑∙--=ns s ats s J C E k E n R k e ,n R 是最近邻格矢.对面心立方晶格,取参考点的坐标为(0,0,0),则12个最近邻格点的坐标为 (2a ±,2a ±,0),( 2a ±,0, 2a ±),(0, 2a ±,2a±). 将上述12组坐标带入能带的表示式,得()∑∙--=ns s ats s J C E k E n R k es s ats J C E --=()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++---+-+---+-++---+-z y z y z y z k y k a i z k x k a i z k x k a i z k x k a i z x y x y x y x y x k k a i k k a i k k a i k k a i k k a i k k a i k k a i k k a i e e e e e e e e e e e e 222222222222()()()()()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++-+++-++--=z y z y z x z x y x y x s s ats k k a k k a k k a k k a k k a k k a J C E 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 4a k a k a k a k a k a k J C E x z z y y x s s ats .能带底即()k E 的最小值对应的k为(0,0,0),有《固体物理教程》(5.87)可得在能带底处电子的有效质量为2202222a J k E m s kxx xx i=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂==*.同理可得222a J m s yy=*,222a J m s zz =*其它交叉项的倒数全为零.7.用紧束缚方法处理体心立方晶体,求出 (1) s 态电子的能带为()2cos 2cos 2cos 8a k a k a k J C E k E z y x s s ats s --= ; (2) 画出第一布里渊区[111]方向的能带曲线;(3) 求出带顶和带底电子的有效质量. 【解 答】(1)用紧束缚方法处理晶格的s 态电子,当只计及最近邻格点的相互作用时,其能带的表示式为().e n R k ∑∙--=ns s ats s J C E k E n R 是最近邻格矢.对体心立方晶格,取参考格点的坐标为(0,0,0),则8个最近邻格点的坐标为 (2,2,2aa a ±±±). 将上述8组坐标代入能带的表示式,的().e n R k ∑∙--=ns s ats s J C E k E()()()()()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++--=---+---+---++-+--+++z k y k x k a i z k y k x k a i z k y k x k a i z k y k x k ai z k y k x k a i z k y k x k a i z k y k x k a i z y x e e e e e e e e J C E k k k a i s s ats 22222222()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++--=--+--+2cos 2cos 2cos 2cos 22222a k e a k e a k e a k e J C E z zz z k k a i s s atsy k x k ai y k x k a i y k x k a i y x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-2cos 2cos 422a k a k e e J C E z y k a i s s at s x k ai x 2cos 2cos 2cos 8ak a k a k J C E z y x s s at s --=.(2)在[111]方向上k k k k z y x 33=== , 且第一布里渊区边界在 ak k k z y x π±===,于是能带化成⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ka J E E s 63cos 830,其中s ats C E E -=0.图5.6为第一布里渊区[111]方向的能带曲线.图5.6 [111]方向的能带曲线(3)由能带的表示式及余弦函数的性质可知,当===z y x k k k 时,sE 取最小值,即0===z y x k k k 是能带底,电子的有效质量为2202222a J k E m s kxx xx i=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂==*同理可得222a J m s yy=*,222a J m s zz =*其它交叉项的倒数全为零.而在布里渊区边界上的⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±a a a πππ2,0,0,0,2,0,0,0,2处是能带顶,电子的有效质量为222a J m m m s zzyyxx-===***.其它交叉项的倒数也全为零.8.某晶体电子的等能面是椭球面⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=32322212122m k m k m k E ,坐标轴1,2,3相互垂.(1) 求能态密度;(2)今加一磁场B , B与坐标轴的夹角的方向余弦分别为γβα,,,写出电子的运动方程;(3) 证明电子在磁场中的回旋频率*=m eB c ω, 其中2132********⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=*m m m m m m m γβα.【解 答】(1) 由已知条件可将波矢空间内电子能带满足的方程化为1222232322222121=++ E m k E m k E m k .将上式与椭球公式1222222=++c z b y a x 比较可知,在波矢空间内电子的等能面是一椭球面.与椭球的体积abc π34比较可得到,能量为E 的等能面围成的椭球体积 2332132234E m m m πτ= 由上式可得dE E m m m d 21321324 πτ=.能量区间内电子的状态数目()dE E m m m V d V dz cc 1321323222πτπ== 是晶体体积.电子的能态密度()21321322E m m m VdE dz E N cπ==(2) 根据《固体物理教程》中(5.86)式得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂∂+∂∂=331222121212211F k k EF k k E F k E a ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂+∂∂∂=332222221122221F k k E F k E F k k E a,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂=323222321132231F k E F k k E F k k E a .将⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=32322212122m k m k m k E代入上述三式得运动方程为 333222111,,m F a m Fa m F a ===.即333222111,,F dtdvm F dt dv m F dt dv m ===. (1)当存在磁场B时,电子受到洛仑兹力B v e F⨯-=.其分量形式为 ()()23323223321v B v B v e B v B v e F ωνωβγ-=--=--=,()()31131331132v B v B v e B v B v e F ωνωγα-=--=--=, ()()12212112213v B v B v e B v B v e F ωνωαβ-=--=--=式中B B=,γωβωαωeB eB eB ===321,,.将上述结果代入运动方程(1)得.,,122133311322233211v v dt dvm v v dt dvm v v dt dv m ωωωωωω-=-=-= (2)(3)上述方程可用不同的方法求解.解法一:对(2)式两边作拉普拉斯变换,并采用如下初始条件 ()1010v v =,()2020v v =,().0303v v =得[]11v pL m +[]23v L ω-[]32v L ω=101v m ,-[]13v L ω+[]22v pL m +[]31v L ω=202v m ,[]12v L ω-[]21v L ω+[]33v pL m =303v m .由此解出[]∆∆=11v L . 其中()()B p Ap m m m p m m m pm p m p m +≡+++=---=∆22332222113321312123231ωωωωωωωωω.321m m m A =,321233222211m m m m m m B ωωω++=.()()322130313202121021120332302323103213130312202231011C p C p C v m v m v m pv m m v m m p v m m m pm v m p m v m v m ++≡+++-+=--=∆ωωωωωωωωωωω()203302322103211,v v m m C v m m m C ωω+==,3031320212102113v m v m v m C ωωωωω++=.因此得[]()Bp A C B p p AB C B C p AB C B p Ap C p C p C v L +++-+=+++=22231323221111.上式两边取逆拉普拉斯变换得t B BA Ct B AB C B C p AB C v sin cos 123131+-+=.同理可得t B B A C t B AB C B C p AB C v sin cos 123132'+'-'+'=.()301103312203211,v v m m C v m m m C ωω+='=', 1021130323202223v m v m v m C ωωωωω++='.及t B B A C t B AB C B C p AB C v sin cos 123133''+''-''+''=.()102201212303211,v v m m C v m m m C ωω+=''=''2032210311302333v m v m v m C ωωωωω++=''.可见电子回旋频率为B .解法二:由于电子作周期运动,将试探解t i c e v v ω101=, t i c e v v ω202=t i c e v v ω303=(这里302010,,v v v 一般为复数,电子的真实速度应为321,,v v v 的实部或虚部.) 代入(2)式得 101v m i c ω+302v ω-203v ω=0,103v ω+202v m i c ω-301v ω=0,102v ω-201v ω+303v m i c ω=0.302010,,v v v 有不全为零的解的充要条件是0312123231=----m i m i m i c c c ωωωωωωωωω. 由此得 ()02332222113321=++-c c m m m m m m ωωωωω.于是B m m m m m m c=++=3212332222112ωωωω.这样,两种方法均给出电子回旋频率为21321233222211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++==m m m m m m B c ωωωω.再将γωβωαωeB eB eB ===321,,,代入上式即得*=meBc ω, 其中2132********⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=*m m m m m m m γβα.9.求出一维、二维金属中自由的能态密度.[解 答](1)一维情况自由电子的色散关系为 mk E 222 =.由此得dk E m dk m kdE 2121222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛== ,即dE E m dk 212122-⎪⎭⎫⎝⎛= . 对应同一个dE ,在k ±方向各有一个dk ,因此空间中dE E E +与之间的区间为dE E m dk d 2121222-⎪⎭⎫⎝⎛== τ,在该范围内的状态数为dE E m L d LdZ 212122-⎪⎭⎫⎝⎛== πτπ,其中L 是晶格长度.于是,态密度()12122-⎪⎭⎫ ⎝⎛==E m L dE dZ E N π.(2)二维情况参照《固体物理教程》(5.102)式可知,二维情况下态密度的一般表示式为()⎰∇=Lk EdLS E N 22π.其中S 是晶格的面积,积分沿能量为E 的等能线进行.由()2222y x k k m E += 得 ()mk k k m E y x k 221222 =+=∇.于是有()21222222 mS k m k S E dL S E N Lk ππππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇=-⎰.10.二维金属晶格,晶胞为简单矩形,晶格常数A a2=,A b 4=,原子为单价的.(1) 试画出第一、二布里渊区; (2) 计算自由电子费密半径;(3) 画出费密面在第一、二布里渊区的形状.【解 答】(1) 倒格子原胞基矢j bb i a b ππ2,221==.选定一倒格点为原点,原点的最近邻倒格矢有4个,它们是21,b b ±±这4个倒格矢的中垂线围成的区间即是第一布里渊区.即图5.7中Ⅰ所示区间.原点的次近邻倒格矢有4个,它们是21b b ±±这4个倒格矢的中垂线围成的区间与第一布里渊区边界围成的区间即是第二布里渊区.即图5.7中Ⅱ所示区间.图5.7 二维矩形晶格第一、二布里渊区(2)在绝对零度时,二维金属中导电电子若看成自由电子,电子的能量mk E 222 =,能量dE E E+→区间的电子占据波矢空间dk 的范围.在此范围内的波矢数目为图5.8二维波矢空间kdk S ππ2)2(2∙,其中2)2(πS是二维金属中导电电子的波矢密度,S 是金属面积。
固体化学基础
第零章 绪言 1 物质的流动性和固体性 2 晶体的宏观特征 3 晶体的微观特征 4 非晶体的宏观特征 5 非晶体的微观特征 第一章 凝聚系统相图及其应用 1 相,相变与晶型转变 2 可逆与不可逆晶型转变 3 SiO2的晶型转变 4 晶型转变的控制 5 凝聚态二元系统相图 6 三元系统相图简介及其应用
(5)有转溶反应的有限固溶体二元体系相 图
在s点: = +L
3 二元系统相图在 材料制备中的应用 • (1)提拉法制 备立方单晶 BaTiO3
183 278 393 1733 三方K 单斜K 四方K 立方 K 六方
固体化学基础
赵新华 北京师范大学 2005.9.
参考书
• 1 无机材料化学(上册)曾人杰,厦门大 学出版社,2001年。 • 2 固体化学导论,苏勉曾,北京大学出版 社。 • 3 固体化学及其应用,苏勉曾等译,复旦 大学出版社。 • 4 固态化学,吕孟凯,山东大学出版社。
• • • • • • • • • • • • •
多晶X射线衍射实验方法
• 照相法
• 衍射仪法
§ 0- 4 非晶体的宏观特征 • (1)只有玻璃转化温度,无熔点。 • (2)没有规则的多面体几何外型,可以 制成玻璃体,丝,薄膜等特殊形态。 • (3)物理性质各向同性。 • (4)均匀性来源于原子无序分布的统计 性规律,无晶界。
§0- 5 非晶体的微观特征
§ 0- 3 晶体的微观特征 • (1)晶体的点阵结构 • 晶体结构=点阵+结构基元 • 一维点阵,结构基元:(-CH2)2
二维点阵,结构基元:[B(OH)3]2
点阵参数 a, b,
NaCl结构类型的晶胞
点阵参数: a, b, c, , ,
《5 固态物质》课件
二.单晶体与多晶体
单晶体:整个物体就是一个晶体。
多晶体:整个物体是由许多杂乱无章排列着的小晶体 (晶粒)组成的,这样的物体叫做多晶体。平常见到的各
种金属材料,如铁、铜、铝等都是多晶体。纯铁晶粒大小在10-3 厘米左右。
多晶体没有规则的几何形状,也不显示各向异性,它在各个方向上的物理性 质相同。但是它有固定的熔点和凝固点。
深灰色、有金属光泽、不透 明的 细磷片状固体
用途 铅笔芯
电极 润滑剂
石 墨
很软 能导电 滑腻感
石墨与少量的杂质混在一起构成的四种物质: 木炭、 焦炭、 炭黑、 活性炭 ①、木炭与活性炭: 具有疏松多孔结构,有较 强的吸附能力,既能吸附气体 气味,又能吸附顔色,故可用 作吸附剂。制造防毒面具, 白糖脱色,冰箱除异味等。
固态物质
天 然 晶 体
一.固体分为两类:晶体和非晶体。
晶体:如石英、云母、食盐、明矾等。
非晶体:如玻璃、橡胶、松香、沥青等。
晶体和非晶体在外形上和物理性质上的区别。
(1)晶体具有天然的规则几何形状,它的外形是若 干个平面围成的多面体。
食盐的晶体是立方体;石英的晶体中间是六面棱柱, 两端是六面棱锥;明矾晶体是八面体。如图所示。
②、炭黑:黑色粉末,可用于作 墨汁. ③、焦炭:可用于冶炼金属.
木炭与活性炭
木炭和活性炭都是由石墨的微小晶粒 和少量杂质构成的。
显 微 镜 下 看 到 的 木 现在你看到了木 炭 的 炭的结构,想想木 结 炭为什么能吸附颜 构 色?
木炭和活性炭的用途
高性能木炭填充的枕头
木炭做成的小盆饰
防活 毒性 面炭 具做 填 充 剂
碳纳米管
C20
C40
C70
2024年秋季学期新教科版物理八年级上册课件 2 熔化和凝固
温度/℃
55 D
50
C
B
45
40 0
2
4
6
8
A时间/分
10 12 14
海波凝固的图象
1.凝固是熔化的逆过程。
2.晶体在凝固过程中温 度不变,这个温度叫做 凝固点,同种晶体的熔 点和凝固点相同。
3.凝固过程中处于固液 共存态。
4.晶体只有达到一定温 度时才开始凝固,凝固 过程放热。
晶体熔化与凝固的条件
温度/℃ 75
70
65 时间/分
60 0 2 4 6 8 10 12 14
石蜡的熔化图像
75 温度/℃
D
C
70
65
B A 60 0 2 4 6 8 10 12 14
时间/分
晶体熔化时的温度叫做熔点,凝固时的温度叫做凝固点。
从分子角度理解熔化
晶体、非晶体的熔化规律对比: 不同点: ①晶体的温度达到熔点开始熔化,非晶体的温度升高逐 渐软化。 ②晶体熔化时吸收热量,温度不变。非晶体熔化时吸收 热量,温度升高。 ③晶体熔化时处于固液共存态,非晶体没有固液共存状 态。 相同点:熔化时都需要吸收热量。
3.火山爆发后突然间,炽热的熔岩从火山口喷出,像炼钢炉里流 出的钢水一样流淌,这就是火山爆发。
岩浆是多种成分组成的液体,在流淌过程中温度不断降低, 按下列顺序,在火山口周围形成一系列的矿物:橄榄石—辉石— 角闪石—黑云母—正长石—白云母—石英。对火山周围由近及远 分布的矿石的熔点高低,你有什么推测?请和同学进行讨论。
无 论中学 生还 是小 学生, 他们 对自己 喜欢 的老 师都会 有一些 普遍 认同的 标准, 诸如 尊重和 理解学 生, 宽容、 不伤害 学 生自尊心,平等待人、说话办事公道 、有耐 心、不 轻易发 脾气等 。
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2π in x Vn 1 ' u k (x ) = 1+ ∑ e a 2 2 2 L n h 2 h 2π k k + n 2m 2m a
可以得出
u k ( x + la ) = u k ( x )
结论:一级近似的波函数也满足布洛赫定理,这种波 结论:一级近似的波函数也满足布洛赫定理, 函数包含二部分: 函数包含二部分: 1 ikx e; (i)波矢为 的前进平面波 )波矢为k的前进平面波
n i 2π x a
Vn 1 ikx ψk (x) = e { + ∑ 2 1 e n L 2 2 n h [k (k + 2π ) ] 2m a
令
n i 2π x a
}
可以证明 电子波函数
ψk ( x) = (1/ L)e uk (x) —— 布洛赫函数形式
ikx
一维布洛赫函数的形式
k = e u k (x )
k0 dx
=∫
L
1 L
0
e
ik ' x
[∑
n ≠0
L 1 2π = ∑ Vn ∫ exp[i (k k '+ n) x]dx 0 L n≠0 a
2π 1 ikx Vn exp(i nx)] e dx a L
H
' kk '
Vn = 0
—— 电子的能量本征值
Vn hk Ek = +V + ∑' 2 h n 2m 2 2 n [k (k + 2π ) ] 2m a
零级近似下电子的能量和波函数 零级近似下
2
2
H = V ( x)
'
薛定谔方程 零级近似波函数和零级近似能量本征值
1 ikx ψ (x) = e L
0 k
hk E = 2m
0 k
2 2
L = Na 是一维晶体的长度
N 原胞数
引入周期性边界条件
—— l 为整数
电子的波矢取值
2π k =l Na
下面我们用微扰方法计算能量和波函数的修正值
电子波函数的普遍形式 周期场较弱
自由电子情况稳定势场的微扰 电子行为接近自由电子,故叫近自由电子近似, 给出周期场中运动电子本征态的一些最基本特点。
在单电子薛定谔方程中, 在单电子薛定谔方程中,若周期性晶体势 V(r)随空间位置的变化不太强烈 可把V(r) 随空间位置的变化不太强烈, V(r)的 V(r)随空间位置的变化不太强烈,可把V(r)的 空间起伏看作是对自由电子(势场为常数) 空间起伏看作是对自由电子(势场为常数)情 形的微扰。这种假设称为近自由电子近似, 形的微扰。这种假设称为近自由电子近似,相 应的处理方法称为微扰法。 应的处理方法称为微扰法。
因此,在远离禁带区域,已可适用非兼并微扰理论, 因此,在远离禁带区域,已可适用非兼并微扰理论,电子的能 量与自由电子的能量相差无几。 量与自由电子的能量相差无几。
三. 能带结构及图示
h2k 2 自由电子的能谱 Ek = 2m
—— 晶体弱周期性势场的微扰,电子能谱在布里渊边界 晶体弱周期性势场的微扰, 发生能量跃变 产生了宽度 的禁带
2 2
2
微扰下电子的波函数 电子的波函数
ψk (x) =ψ (x) +ψ (x) +L.
0 k (1) k
ψ (x) = (1/ L)e
0 k
ikx
波函数的一级修正
ψ
(1) k
< k'| H'| k > 0 =∑ 0 ψk ' 0 Ek Ek ' k'
—— 计入微扰电子的波函数
Vn 1 ikx 1 ikx ψk (x) = e + e ∑ 2 e n L L 2 2 n h [k (k + 2π ) ] 2m a
Solid State Physics 固体物理学
第五章
晶体中电子能带理论
第三章
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
晶体振动和晶体的热学性质
布洛赫定理 近自由电子近似 紧束缚近似 布洛赫电子的准经典运动 导体, 导体,半导体和绝缘体 的能带论解释
第二节 近自由电子近似
布洛赫定理 近自由电子近似 周期场起伏较弱,
n
in
2π x a
= V0 + ∑ Vn e
` n
in
2π x a
2π a
取 V0 = 0 为能量的零点
V ( x ) = ∑ Vn e
` n
in
x
由于近自由电子近似假定势场的周期性起伏很小, 由于近自由电子近似假定势场的周期性起伏很小,则 ' V(x) 可视为微扰项 H
H = H0 + H
'
h d 其中 H = 0 2 2m dx
| Vn |2 = Tn (1 + ) 2 + 4Tn
E + = Tn (1 + ) 2 + E = Tn (1 ) 2
| Vn | 2 Ek Ek '
0 0
| Vn | 2 h2k 2 = + 0 0 2m Ek Ek ' | Vn | 2 h 2 k '2 = 0 0 2m Ek Ek '
考虑到
H0ψ = E ψ and H0ψ = E ψ
0 k 0 k 0 k 0 k′ 0 k′
0 k′
分别以
或 利用
从左边乘方程, 从左边乘方程,对 x 积分
线性代数方程
(E E ) AVn B = 0
0 k
V A+ (E E )B = 0
* n 0 k'
A, B有非零解 有非零解
1 0 2 0 0 0 2 E± = {Ek + Ek′ ± (Ek Ek′ ) + 4 Vn } 2 能量本征值 = Tn (1+ ) ± Vn + 4T
结果分析
1) 两个状态 和k’微扰后,能量变为 +和E两个状态k和 微扰后 能量变为E 微扰后, 原能量高的态 ,能量提高;原能量低的态 能量提高; 能量降低
两个相互影响的状态k和k’微扰后,能量变为E+和E两个相互影响的状态 和 微扰后,能量变为 微扰后
2) 两种不同情况的解 2.1 ) Δ =0 即在‘波矢’
即(1) )
*
很小
Vn
*
很小, 很小,只适用于弱周期场
(2)能量差 )
E E
0 k
0 k'
应较大
二. 一维简并微扰的情况
二级能量修正
E
(2) k
= ∑'
n
Vn
h2 2 n 2 [k (k + 2π ) ] 2m a
当
E →∞
(2) k
—— 电子的能量是发散的 —— k和k’两个状态具有相同的能量 和 两个状态具有相同的能量 两个状态具有相同的能量____k和k’态简并 和 态简并
4Δ = Tn 4Δ>> |Vn| 现在展开: 现在展开:
E + = T n (1 + 2 ) + | V n | 2 + 4T n 2
2
= Tn (1 + 2 ) + 2T n 1 +
| Vn |2 4T n 2
2
| Vn |2 1 2 ≈ T n (1 + ) + 2Tn (1 + ) 2 2 2 4T n
1 a = ∑ Vn [exp(i 2π nN ) 1] = 0 L n≠0 i 2π n
0 0 ′ ′k = ∫ k * H ′ k dx = E (k ) = H k
(1)
L
0
二级能量修正
Ek
( 2)
=
k '≠ k
in
∑
2π x a
| H ' k 'k |
0
2 0
Ek Ek '
——
0 ′ H k ′k = ∫ k * ∑ \ Vn e L 0 n
k=
nπ nπ (1 ) (1 + ) , k ' = a a
E + = T n (1 + 2 ) + | V n | 2 + 4T n 2
2
1 4T n 2 ≈ T n + Tn 2 + | V n | (1 + ) 2 2 | Vn | 2Tn 2 = Tn + | V n | +Tn (1 + ) | Vn |
一. 一维非简并情况
—— 金属中电子受到原子 实周期性势场的作用
—— 假定势场的起伏较小 零级近似 — 用势场平均值代替原子实产生的势场
V = V(x)
—— 周期性势场的起伏量可以作为微扰来处理
V (x) V = V
一维晶体周期势场
V ( x ) 作为周期函数,傅立叶展开
V (x ) = ∑ Vn e
2
上弯的抛物线( 可取正、 在上能带底部, 在上能带底部,E+随Δ2 上弯的抛物线(Δ可取正、负);
E = Tn (1 + 2 ) | V n | 2 +4Tn 2
2
2Tn = Tn | V n | Tn ( 1) 2 | Vn | 2 下弯的抛物线( 可取正、 在下能带顶部, 在下能带顶部,E-随Δ 下弯的抛物线(Δ可取正、负);
假定Δ已较大(即在远离禁带区域) , 假定Δ已较大(即在远离禁带区域) 2TnΔ >> |Vn| 则 E
0 k
h 2 k 2 h 2 k '2 0 – E k’ = 2 m 2 m h 2 n 2π 2 n 2π 2 2 [ 2 (1 + 2 + ) (1 2 + 2 )] = 2m a a2