第4章直线与平面、平面与平面

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第四章平面上两条直线的位置关系

第四章平面上两条直线的位置关系4.1.1 相交与平行教学目标1．理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系；2．理解并掌握平行公理及其直线平行关系的传递性的内容；3．会根据几何语句画图，会用直尺和三角板画平行线；重点：理解并掌握平行公理难点：理解并掌握平行公理及其直线平行关系的传递性的内容教学过程一、复习提问相交线是如何定义的？二、新课引入平面内两条直线的位置关系除平行外，还有哪些呢？制作教具，通过演示，得出平面内两条直线的位置关系及平行线的概念．三、同一平面内两条直线的位置关系1．平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．直线a与b平行，记作a∥b．（画出图形）2．同一平面内两条直线的位置关系有两种：（1）相交；（2）平行．3．对平行线概念的理解：两个关键：一是“在同一个平面内”（举例说明）；二是“不相交”．一个前提：对两条直线而言．4．平行线的画法平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）．四、平行公理1．利用前面的教具，说明“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”．2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．提问垂线的性质，并进行比较．3．平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c．五、三线八角由前面的教具演示引出．如图，直线a，b被直线c所截，形成的8个角中，其中同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对．七、小结让学生独立总结本节内容，叙述本节的概念和结论．八、课后作业1．教材P19第7题；2．画图说明在同一平面内三条直线的位置关系及交点情况．[补充内容]1．试说明，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2．在同一平面内，两条直线的位置关系仅有两种：相交或平行．但现实空间是立体的，试想一想在空间中，两条直线会有哪些位置关系呢？（用长方体来说明）4.1. 2相交直线所成的角教学目标：1．理解相交直线所成的角意义，理解对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念。

第4章直线与平面、平面与平面的相对位置

4.2 相交问题
【例4-5】 (1)求交点，如图4-9(c)所示。
①在铅垂线的水平投影上标出交点的水平投影k。
②在平面内过K点的水平投影k作辅助线ad，并求出它的正面 a′d′。
③a′d′与m′n′的交点即交点的正面投影k′。
4.2 相交问题
【例4-5】
(2)直线的可见性可利用重影点法来判断。因为直线是铅垂线，水平投影积聚为一点，故不需要判别其可见性，只需判别直线正面投影的可见性即可。直线以交点K为分界点，在平面前面的部分可见，在平面后面的部分不可见。如图4-9(c)所示，选取m′n′与b′c′的重影点1′和2′来判别。1点在MN上，2点在BC上，从水平投影看，1点在前可见，2点在后不可见。即k′1′在平面的前面可见，画成粗实线；其余部分不可见，画成虚线。
4.2 相交问题
3.一般位置平面与特殊位置平面相交
【例4-7】
求一般位置平面ABC与铅垂面P的交线MN及判别平面正面投影的可见性，如图4-11(a)所示。【解】分析：如前面所述，把求两个平面交线的问题看成是求两个共有点的问题。所以欲求图4-11(b)中两个平面的交线，从对图4-11(a)的分析来看，只要求出交线上的任意两点(如M和N) 即可。因为铅垂面的水平投影有积聚性，所以交线的水平投影必然位于铅垂面的积聚投影上；交线的正面投影可利用线上定点的方法求出。作图步骤如下：
4.1.2 平面与平面平行条件
若一个平面内的两条相交直线对应平行于另一个平面内的两条相交直
线，则这两个平面平行。
4.1平行问题
1.两个一般位置平面平行
【例4-3】过点E作一个平面与平面ABC平行，如图4-6(a)所示。
E ABC 作图步骤如图4-6(b)所示。 (1)过点E作ED∥AB(ed∥ab、e′d′∥a′b′)。 (2)过点E作EF∥AC(ef∥ac、e′f′∥a′c′)，则平面DEF 所求。

【高教版中职教材—数学(基础模块)下册电子教案课程】直线与直线、直线与平面、面与面平行的判定与性质

【高教版中职教材—数学(基础模块)下册电子教案课程】9.2直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质【教学目标】知识目标：（1）了解两条直线的位置关系；（2）掌握异面直线的概念与画法，直线与直线平行的判定与性质；直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定与性质；平面与平面的位置关系，平面与平面平行的判定与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质．【教学难点】异面直线的想象与理解．【教学设计】本节结合正方体模型，通过观察实验，发现两条直线的位置关系除了相交与平行外，在空间还有既不相交也不平行，不同在任何一个平面内的位置关系．由此引出了异面直线的概念．通过画两条异面直线培养学生的画图、识图能力，逐步建立空间的立体观念．空间两条直线的位置关系既是研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的开始，又是学习后两种位置关系的基础．因此，要让学生树立考虑问题要着眼于空间，克服只在一个平面内考虑问题的习惯．通过观察教室里面墙与墙的交线，引出平行直线的性质，在此基础上，提出问题“空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角的度数存在着什么关系？请通过演示进行说明．”这样安排知识的顺序，有利于学生理解和掌握所学知识．要防止学生误认为“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的所有的直线”，教学时可通过观察正方体模型和课件的演示来纠正学生的这个错误认识．平面与平面的位置关系是通过观察教室中的墙壁与地面、天花板与地面而引入的．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】*揭示课题直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质*创设情境兴趣导入A B与AD所观察图9−13所示的正方体，可以发现：棱11在的直线，既不相交又不平行，它们不同在任何一个平面内．图9−13观察教室中的物体，你能否抽象出这种位置关系的两条直线？图9 −14（请画出实物图）受实验的启发，我们可以利用平面做衬托，画出表示两条异面直线的图形（如图9 −15）．(1) (2) 图9−15利用铅笔和书本，演示图9−15（2）的异面直线位置关系．引领分析仔细分析关键语句理解记忆带领学生分析5*创设情境兴趣导入我们知道，平面内平行于同一条直线的两条直线一定平行．那么空间中平行于同一条直线的两条直线是否一定平行呢？观察教室内相邻两面墙的交线（如图9−16）．发现：1AA ∥1BB ，1CC ∥1BB ，并且有1AA ∥1CC ．质疑引导分析思考启发学生思考图9−16BA CD*创设情境兴趣导入将平面内的四边形ABCD的两条边AD与DC，沿着对角线AC向上折起，将点D折D的位置(如图9−17)．此叠到1D四个点不在同一个平面内．时A、B、C、1图9−17图9−18*运用知识强化练习1．结合教室及室内的物品，举出空间两条直线平行的例子.2．把一张矩形的纸对折两次，然后打开（如第2题图），说明为什么这些折痕是互相平行的？如果一条直线与一个平面只有一个公共点，那么就称这条直线与这个平面相交，画直线与平面相交的图形时，要把直线延伸到平行四边形外（如图9−19（2））.如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线与这个平面平行. 直线l与平面α平行，记作l∥α.画直线与平面平行的图形时，要把直线画在平行四边形外，并与平行四边形的一边平行（如图9−19（3））．ll（1）（2）l（3）这样，直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．直线与平面相交及直线与平面平行统称为直线在平面外．*创设情境兴趣导入在桌面上放一张白纸，在白纸上画出两条平行直线，沿着其中的一条直线将纸折起（如图9−20）．观察发现：在折起的各个位置上，另一条直线始终与桌面保持平行．图9−201为了叙述简便起见，将线段1DD 所在的直线，直接写作直线1DD ，本章教材中都采用这种表述方法．图9−211111ABCD A B C D -中，因为四边形图9−22（请画出实物图）分析42*动脑思考探索新知从大量的实验与观察中，归纳出直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行.如图9−23所示，设直线l 为平面α与平面β的交线，直线m 在平面β内且m α∥，则m l ∥．图9-23讲解说明引领分析思考理解带领学生分析45 *巩固知识典型例题例 3 在如图9−24所示的一块木料中，已知BC ∥平面1111A B C D ，BC ∥11B C ，要经过平面11A C 内的一点P 与棱BC 将木料锯开，应当怎样画线？说明强调引领观察思考通过例题进一步领会铅笔分析设点P 和棱BC 确定的平面α，则EF 是α与平面1111A B C D 的交线，由于BC ∥平面1111A B C D ，故EF ∥BC ，11B C BC ∥．所以11EF B C ∥．解画线的方法是：在平面1111A B C D 内，过点P 作直线11B C 的平行线EF ，分别交直线11A B 及直线11D C 与点E 、F ，连接EB 和FC ．讲解说明主动求解48*运用知识强化练习1．试举出一个直线和平面平行的例子．2．请在黑板上画一条直线与地面平行，并说出所画的直线与地面平行的理由．3．如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线是不是和这个平面内所有的直线都平行？4．说明长方体的上底面各条边与下底面平行的理由．提问巡视指导思考求解及时了解学生知识掌握得情况50 *创设情境兴趣导入教室中的墙壁与地面相交于一条直线，而天花板与地面，没有公共点．质疑思考引导学生分析 52 *动脑思考探索新知如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行．平面α与平面β平行，记做α∥β．画两个互相平行平面的图形时，要使两个平行四边形的对应边分别平行（如图9−25）．讲解说明引领分析思考理解带领学生分析图9−25图9−24*创设情境兴趣导入进行乒乓球或台球比赛时，必需要保证台面与地面平行．技术人员利用水准器来进行检测．水准器内的玻璃管装有水，管内的水柱相当于一条直线，水准器内的水泡在中央，表示水准器所在的直线与地平面平行．把水准器在平板上交叉放置两次（如图9−26），如果两次检测，水准器内的水泡都在中央，就表示台面与地面平行，可以进行比赛，否则就需要进行调整．图9−26例4 设平面α内的两条相交直线m ，n 分别平行于另一个平面β内的两条直线k ，l （如图9−27），试判断平面α，β是否平行解因为m 在β外、l 在β内，且m ∥l ，所以直线m ∥平面β．同理可得直线n ∥平面β．由于m 、n 是平面α内两条相交直线，故可以判断α∥β． *创设情境兴趣导入将一本书放在与桌面平行的位置，用作业本靠紧书一边，绕着这条边移动作业本，观察作业本和书的交线与作业本和桌面的交线之间的关系（如图9−28）．图9−28（请画出实物图）图9−27Am n桌子书放到不同位置的本*动脑思考探索新知由大量的观察和实验得到两个平面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行．如图9−29所示，如果αβ∥，平面γ与α、β都相交，交线分别为m 、n ，那么m ∥n ．*运用知识强化练习1．画出下列各图形：（1）两个水平放置的互相平行的平面．（2）两个竖直放置的互相平行的平面．（3）与两个平行的平面相交的平面．2.如图所示，//αβ，M 在α与β同侧，过M 作直线a 与b ，a 分别与α、β相交于A 、B ，b 分别与、β相交于C 、D ．⑴ 判断直线AC 与直线BD 是否平行；⑵ 如果 4M A =cm ，5AB =cm ，3MC =cm ，求MD 的长.*理论升华整体建构 ba第2题图MAC D B图9−29[0,180]1BC AD 1CBC ∠1DAD ∠AB 1BC AD 1CBC ∠nm onm o*运用知识强化练习在如图所示的正方体中，求下列各对直线所成的角的度数：（1）1DD 与BC ；（2）1AA 与1BC ．ABCD图9−32题图图9−33*动脑思考探索新知如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l 与平面α垂直，记作α⊥l ．直线l 叫做平面α的垂线，垂线l 与平面α的交点叫做垂足.画表示直线l 和平面α垂直的图形时，要把直线l 画成与平行四边形的横边垂直（如图9−34所示），其中交点A 是垂足．图9−34图9−35图9−3642*动脑思考探索新知斜线l与它在平面α内的射影l'的夹角，叫做直线l与平面α所成的角．如图9−37所示，PBA∠就是直线PB与平面α所成的角．规定：当直线与平面垂直时，所成的角是直角；当直线与平面平行或直线在平面内时，所成的角是零角．显然，直线与平面所成角的取值范围是[0,90]．【想一想】如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？图9−37讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析47*巩固知识典型例题例2 如图9−38所示，等腰∆ABC的顶点A在平面α外，底边BC 在平面α内，已知底边长BC =16，腰长AB =17，又知点A 到平面α的垂线段AD =10．求（1）等腰∆ABC 的高AE 的长；（2）斜线AE 和平面α所成的角的大小（精确到1º）．分析三角形AEB 是直角三角形，知道斜边和一条直角边，利用勾股定理可以求出AE 的长；AED ∠是AE 和平面α所成的角，三角形ADE 是直角三角形，求出AED ∠的正弦值即可求出斜线AE 和平面α所成的角．解 (1) 在等腰∆ABC 中，AE BC ⊥，故由BC =16可得BE =8.在Rt ∆AEB 中，∠AEB =90°，因此222217815AE AB BE =-=-=.（2）联结DE .因为AD 是平面α的垂线，AE 是α的斜线，所以DE 是AE 在α内的射影.因此AED ∠是AE 和平面α所成的角. 在Rt ∆ADE 中，102sin 153AD AED AE ∠===，所以42AED ∠≈︒.即斜线AE 和平面α所成的角约为42︒. 【想一想】为什么这三条连线都画成虚线？*运用知识强化练习图9−381′）.练习图*创设情境兴趣导入在建筑房屋时，有时为了美观和排除雨水的方便，需要考虑屋顶面与地面形成适当的角度（如图9−39（1））；在修筑河堤时，为使它经济且坚固耐用，需要考虑河堤的斜坡与地面形成适当的角度（如图9−39（2））．在白纸上画出一条线，沿着这条线将白纸对折，然后打开进行观察．（2）图9−39（1）角，记作二面角l αβ--（或CD αβ--）（如图9−40）．过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角．如图9−41所示，在二面角α−l −β的棱l 上任意选取一点O ，以点O 为垂足，在面α与面β内分别作OM l ⊥、ON l ⊥，则MON ∠就是这个二面角的平面角．,180]．平面角是直角的二面角叫做直二面角地面就组成直二面角，此时称两个平面垂直图9−40CD图9−41loNMCD*巩固知识典型例题例3 在正方体1111ABCD A B C D -中（如图9−42），求二面角1D AD B --的大小．图9−42解 AD 为二面角的棱， 1AA 与AB 是分别在二面角的两个面内并且与棱AD 垂直的射线，所以1A AB ∠为二面角1D AD B --的平面角．因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1A AB ∠是直角．所以二面角1D AD B --为90°.*运用知识强化练习练习题图*理论升华整体建构【教师教学后记】。

2.2.3-2.2.4_直线与平面,平面与平面平行的性质定理-悠

b α
内找出和直线a （2）已知直线 ∥平面，如何在平面内找出和直线）已知直线a∥平面α，如何在平面α内找出和直线平行的一条直线？平行的一条直线？
思考
如图，直线A 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，直线 1B1//面CDD1C1. 面
D1 A1
E
C1 由长方体性质，我们知道A1B1 // C1D1.
β b α a
⊂ β.
又因为a 又因为 ∥α，所以a,b无公共点. 所以 , 无公共点. 无公共点又因为a β 所以a∥ 又因为 ⊂ ，b ⊂β，所以 ∥b
back
已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面, 例已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面, 求证另一条也平行于这个平面. 求证另一条也平行于这个平面.
α
(2)该定理作用：“线面平行⇒线线平行” 该定理作用：线面平行⇒线线平行” 该定理作用线面平行性质定理也是找平行线的重要依据. 线面平行性质定理也是找平行线的重要依据 (3)应用该定理，关键是经过直线找平面或作出平面与已知平面相应用该定理，关键是经过直线找平面或作出平面与已知平面相应用该定理并找出两平面的交线. 交，并找出两平面的交线 (4)平面外的两平行线同平行于同一个平面平面外的两平行线同平行于同一个平面. 平面外的两平行线同平行于同一个平面
O
C1
E
D
在 DBD1中，O为DB的中点,BD1 // OE. 所以点E为DD1的中点.
A
B
练习
三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC上的点，A1B//平面上的点，平面ADC1 . 三棱柱是上的点平面求证:点为的中点的中点. 求证点D为BC的中点

【道路工程习题集答案】第四章-直线与平面、平面与

精品pp
•4-4判别直线AB和CD是否分别与已知平面EFG 平行。 •判别：AB与△EFG平行； CD与△EFG不平行
精品pp
f’ h' e'
X
a'
g' g
e
fa
c' b’ bc
d' O
d
• 分析：判别直线是否与已知平面EFG平行，只要在已知平面内找到一条直线和判别直线平行，则直线和平面平行，找不到一条直线和判别直线平行，则直线和平面不平行。因△EFG是一个铅垂面，要判别一条直线是否平行于一个铅垂面，即判别该直线的水平投影是否平行于该铅垂面的水平投影。
精品pp
•4-9求作直线MN与平面 ABCD的交点，并判明直线MN的可见性。
精品pp
a' m' Pv X
a
m
b' k'
1'
1
n' 2'
c'
d'
d
n
O
c k
2 b
精品pp
• 分析：过MN做一正垂面Pv，平面P与平面ABCD的交线必属于平面P 与平面ABCD的交点1，2构成的交线，12与mn的交点K即为直线MN与平面ABCD的交点。根据MN的H面投影，判断MN在AD线之前，在BC线之后，即得MN的V面可见性。根据MN的V面投影，判断MN在CD线之上，在AB线之下，即得MN的H面可见性。
精品pp
•4-6求作直线EF与平面 ABCD的交点K，并判明 EF的可见性。
精品pp
a'
e' X
a
e
d'
•
k' b'

画法几何及土木工程制图第4章直线与平面平面与平面的相对位置

由初等几何知，如果平面外的一直线平行于平面上的任一直线，则直线平行于该平面。
图4-1a是直线与平面平行的立体示意图：直线MN与平面P 上的直线KL平行，则MN∥P。在图4-1b中，由于mn∥kl、m‘n’∥ k‘l ’，即MN ∥KL，KL是平面 P上的直线，所以MN∥P
P’
P
(a)
(b)
图 4-1 直线与平面平行
求空间上点到直线的距离
空间分析
作图
作图步骤：
（1）过A点作BC线的垂面（2）包含BC作辅助铅垂面（3）求交点（4）求距离
PH
距离
直线垂直投影面垂直面
(a)
(b)
平面与平面垂直的几何条件
(a)
(b)
(c)
过点S做平面垂直于 ABC所给定的平面
判别两平面是否相互垂直
判断可见：两平面垂直
可见性。
a’
d’
c’
k’ f’
b’
e’
X
O
e
f
a(b)
k
d
c
（二）一般位置平面与特殊位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。
例:已知两特殊位置平面相交，求交线的投影
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二、辅助平面法
求作交线的步骤：
（一）直线与一般位置平面相交
交点与交线的性质 B D
PA
K B
KA
L
F
E
C
➢直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上
，因而交点是直线与平面的共有点。
➢两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。
➢求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有

工程制图第4章直线与平面、平面与平面的相对位置

m
b k f n
c
l
a O
m
m
k b
f
a l
n
二、辅助平面法
A E
K 1
2
D
C
B 过AB作平面P垂直于H投影面
a
d
2
k 作题步骤： 1、过AB作铅垂平面P。 2、求P平面与 ΔCDE的交线 e ⅠⅡ。 O 3、求交线 ⅠⅡ与AB的交 e 点K。
c
1
X
PH
b
a
1
第一节
第二节
平行问题
相交问题
4.2 相交问题
第三节
第四节
垂直问题
综合问题分析及解法
第一节平行问题
一、直线与平面平行
C P A
D
B
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。
例1 试判断直线AB是否平行于平面 CDE。
c g d f
e
b
a
X
f d e
O
a
g c
e f d
a
b r
X
c
O
e s
SH
d
a c b
f
结论：两平面平行
r P H
第二节
相交问题
D B
交点与交线的性质
P K A
K
A
B
C
L
E
F
直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。
X
m k b

第四章平面图形及其位置关系单元复习

平面图形及其位置关系知识总结1．线段、射线、直线（1）线段：绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看做线段．线段的特点：是直的，它有两个端点．（2）射线：将线段向一方无限延伸就形成了射线．射线的特点：是直的，有一个端点，向一方无限延伸．（3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线．直线的特点：是直的，没有端点，向两方无限延伸． 2．线段的中点把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点．利用线段的中点定义，可以得到下面的结论：（1）因为AM =BM =12AB ，所以M 是线段AB 的中点．（2）因为M 是线段AB 的中点，所以AM =BM =12AB 或AB =2AM =2BM ．3．角由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边．角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角． 4．角平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 5．平行线在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行的关系是相互的，如果AB ∥CD ，则CD ∥AB ，其中符号“∥”读作“平行”． 6．两条直线垂直当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫做垂足，•如直线AB •与直线CD 垂直，记作AB ⊥CD ．7．两点之间的距离两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离．8．点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．1．直线的性质：经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”表示“惟一性”．2．线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短．3．与平行线有关的一些性质（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．4．垂线性质（1）经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．平面图形及其位置关系经典例题1．考查学生发现问题、解决问题的能力．【例1】（2003年黑龙江）从哈尔滨开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有（）A．4种B．6种C．10种D．12种【例2】（无锡）L1与L2是同一平面内的两条相交直线，它们有１个交点，•如果在这个平面内，再画第三条直线L3，那么这3条直线最多可有_______个交点；•如果在这个平面内再画第4条直线L4，那么这4条直线最多可有_______个交点；由此我们可以猜想在同一平面内，6条直线最多可有_______个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有_______个交点（用含n的代数式表示）．2．线段长度的计算，线段的中点【例3】某大公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有60人，B区有30人，C区有20人，三个区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）3．角的度量与换算【例4】（山西）时钟在3点半时，它的时针和分针所成的锐角是（）A．70°B．75°C．85°D．90°4．七巧板问题在中考中主要考查图形的拼摆．【例5】（2002年济南）如图1，用一块边长为22的正方形ABCD厚纸板，•按照下面做法，做了一套七巧板：作对角线AC，分别取AB、BC中点E、F，连结EF；作DG⊥EF 于G，•交AC于H；过G作GL∥BC，交AC于L，再由E作EK∥DG，交AC于K；将正方形ABCE沿画出的线剪开．现用它拼出一座桥（如图2），这座桥的阴影部分的面积是（）．（图1）（图2）A．8 B．6 C．4 D．5平面图形及其位置关系解题方法与技巧方法1：见比设元【例1】如图所示，B、C两点把线段AD分成2：4：3三部分，M是AD的中点，CD=9，求线段MC的长．【分析】题中给出了线段的长度比，那么设每一分为K是常见的解法．【解】∵AB：BC：CD=2：4：3∴设AB=2K BC=4K CD=3K∴AD=3K+2K+4K=9K∵CD=9∴3K=9 ∴K=3∴AB=6 BC=12 AD=27∵M为AD中点，∴MD=12AD=12×27=13.5∴MC=MD-CD=13.5-9=4.5【规律总结】不论是有关线段还是有关角的问题，只要有比值，就设未知数．方法2：利用线段的和差判断三点共线【例2】判断以下三点A、B、C是否共线．（1）有三点A、B、C，且AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm；（2）AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm．【解】（1）∵AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm，∴AB=AC+CB∴A、C、B三点在同一条直线上（2）∵AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm，∴AB≠AC+CB∴A、C、B三点不共线方法3：寻找规律（一）数直线条数：过任三点不在同一直线上的n点一共可画(1)2n n-条直线．（二）数n个人两两握手能握(1)2n n-次．（三）数线段条数：线段上有n个点（包括线段两个端点）时，共有(1)2n n-条线段．（四）数角的个数：以0为端点引n条射线，当∠AOD<180°时，则（如图）•小于平角的角个数为(1)2n n-．（五）数交点个数：n条直线最多有(1)2n n-个交点．（六）数对顶角对数：n条直线两两相交有n（n-1）对对顶角．（七）数直线分平面的份数：平面内n条直线最多将平面分成1+(1)2n n-个部分．【例3】同一平面内有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（）A．1条B．4条C．6条D．1条或4条或6条【例4】一张饼上切七刀，最多可得到几块饼．【分析】从原始状态开始，当切1刀时，一张饼被分成两部分；当切2刀时，一张饼最多可被分成四部分；当切了3刀时，一张饼被最多分成七部分；……若用n•表示切的刀数，饼被最多分成S部分．则：n=1时S=2；n=2时S=4；n=3时，S=7；n=4时，S=11．【解】设一张饼被切n刀，最多分成S部分，如图2-6可知：n=1时S=1+1n=2时S=1+1+2n=3时S=1+1+2+3n=4时S=1+1+2+3+4……则S=1+1+2+3+4+…+n=1+(1)2n n-∴当n=7时，S=1+782⨯=29答：当上张饼上切7切时，最多可得到29块饼．【规律总结】许多规律性问题应回到原始状态，按照从特殊到一般的方法寻找规律，再按照从一般到特殊的方法应用规律解决问题．方法4：钟表问题【例5】钟表现在是1点15分，分针再转多少度，时针与分针首次重合．【分析】分针1分钟走（36060）°=6°，时针1分钟走（3060）°=0.5°（分针1小时走一圈，即60分钟走360°，时针1小时走一格，即60分钟走30°）．因此，分针速度是时针速度的12倍，故设分针走12x°，时针走x°时时针与分针首次重合，因为从1点整到1点15°，•分针走一圈的14，此时时针走一格的14，因此1点15分时时针与分针夹角（1+34）×30°=52.5°．•列方程可求解．【解】设时针走x°时，时针与分针首次重合．依题意，得：12x-x=360-（74×30）解得：x=61522，∴12x=369011=335511答：分针再转335511度，时针与分针首次重合．方法5：最优策略问题直线上有两点（如图）A1和A2，要在直线上找一点P，使A1、A2到P的距离之和最小，则P点可放在A1、A2之间任意位置（包括A1和A2）．此时P A1+P A2=A1A2．直线上有三点A1、A2、A3（如图）．要找到一点P，使P A1+P A2+P A3的和最小．不妨设P在A1、A2之间，此时P A1+P A2+P A3=A1A3+P A2；若P在A2、A3之间，此时P A1+P A2+P A3=A1A3+P A2；若P在A1上，则P A1+P A2+P A3=A1A3+A1A2；若P在A2上，则P A1+P A2+P A3=A1A3．若P在A3上，则P A1+P A2+P A3=A1A3+A2+A3结论：当P选在A2点时P A2+P A2+P A3的和最小，其最小值为A1A3．不难发现，当直线上有四个点时，如图所示．P点选在A2A3上（包括端点）．•可使P 到A1、A2、A3、A4的距离之和最小．其最小值为A1A4+A2A3．当直线上有五个点时，如图所示P点选在A3上，可使P到A1、A2、A3、A4、A5的距离之和最小，其最小值为A1A5+A2A4．【规律总结】当直线上有偶数个点时，P应选在最中间两点之间（可与这两点重合）；当直线上有奇数个点时，P点与最中间的点重合，可使P到各点距离之和最小．。

第四章《平面图形及其位置关系》复习总结

第四章《平⾯图形及其位置关系》复习总结第四章《平⾯图形及其位置关系》复习⼀、线段、射线、直线意义：性质：两点之间，线段最短表⽰：线段AB （或BA ），线段b线段⽐较⼤⼩：度量法，叠合法两点间的距离重要概念线段的中点意义：射线表⽰：射线OA意义：直线表⽰：直线AB （或BA ），直线m性质：两点确定⼀条直线注意：1.表⽰线段，射线，直线时，在字母前要注明“线段”“射线”或“直线”；2.线段，射线都可看作直线的⼀部分；3.射线，直线没有长度，线段有长度；4.⽤两个⼤写字母表⽰线段或直线时，两个字母没有顺序性，但表⽰射线的两个⼤写字母必须把端点字母放在前⾯；5.线段可向两⽅延长：延长线段AB （反向延长线段BA ），延长线段BA （反向延长线段AB ）；6.射线只能反向延长；7.端点相同，延伸⽅向相同的射线是同⼀条射线；8.AM=MB 并不能说明点M 是线段AB 的中点，需添上条件“M 在线段AB 上”；9.“距离”与“线段”、“路程”不同.结论：平⾯内n 条直线，最多．．可有()21-n n 个交点；过平⾯上n 个点中的两个点，最多．．可画()21-n n 条直线；n 个班进⾏单循环⽐赛，共⽐赛()21-n n 场； n 个⼈相互握⼿的总次数为()21-n n 次；D CB A O B A 直线上有n 个点，则⼀共有()21-n n 条线段；有公共端点的n 条射线共可组成()21-n n 个⾓；平⾯内n 条直线最多．．可将平⾯分成222++n n 个部分. 练习：1.分别画出下列图形：⑴直线l 经过点C ，D ；⑵点P 在直线m 上，但在直线n 外；⑶取不在同⼀直线上的三点A ，B ，C ，画直线AB ，线段BC ，射线CA ；⑷取不在同⼀直线上的三点P ，Q ，R ，①连接PQ ，并延长⾄E ，②连接RQ 并反向延长⾄F ，③过点R 画射线PR.2.判断题⑴直线l 上有两个端点；⑵经过A ，B 两点的线段只有⼀条；⑶延长线段AB 到C ，使AC=BC ；⑷反向延长线段BC ⾄A ，使AB=BC ；⑸过两点有且只有⼀条直线；⑹直线上的任意两点都可以表⽰这条直线；⑺两条直线相交，只有⼀个交点；⑻三条直线两两相交，共有三个交点；⑼射线AC 在直线AB 上；⑽直线AB 与直线BA 是指同⼀条直线.3.根据下图，下列说法正确的有⑴点B 在线段AC 上；⑵直线AB 经过点C ；⑶点D 不在直线AC 上；⑷点A 在线段BC 的延长线上.4.观察下图，并判断对错⑴线段OA 与线段AO 是同⼀条线段；⑵线段OA 与线段OB 是同⼀条线段；⑶直线OA 与线段BO 是同⼀条直线；⑷射线OA 与射线AO 是同⼀条射线；DC B A m C B A ⑸射线OA 与射线OB 是同⼀条射线；⑹射线OB 与射线AB 是同⼀条射线.5.点与直线的位置关系有种，分别是和 .6.如图，直线上有四点，则图中有条直线，条射线，条线段.7.如果线段AB=5cm ，BC=3cm ，那么A ，C 两点的距离是（）A.8cmB.2cmC.4cmD.⽆法确定8.两根⽊条，⼀根长60cm ，⼀根长100cm ，将它们的⼀端重合，顺次放在同⼀条直线上，此时两根⽊条的中点间的距离是cm.9.已知线段m ，⽤圆规和直尺作⼀条线段 AB ，使AB=2m.思考题如图所⽰，某单位有三个住宅区A ，B ，C （在⼀条直线上）分别住有职⼯30⼈，25⼈，10⼈，已知AB=100m，BC=200m. 该单位为⽅便职⼯上下班，单位的接送车打算在AC 之间只设⼀个停靠点P ，为使所有的⼈步⾏到停靠点的路程之和最短，那么停靠点P 的位置应设在（） A. A 点 B. B 点C. AB 之间D. BC 之间⼆、⾓静态定义动态相关概念：直⾓，平⾓，周⾓，锐⾓，钝⾓⾓⾓的平分线表⽰法：∠A ，∠AOB ，∠1，∠α度量与计算：1°=60′=3600″，1′=60″⼤⼩⽐较：度量法，叠合法注意：1.构成⾓的两个要素是顶点、两边，两边都是射线，⾓的⼤⼩与两边的长短⽆关，只与两边张开的程度有关；2.在初中阶段，如⽆特别说明，所涉及的⾓均指⼩于平⾓的⾓.C D B AE DC B AO 3.不管⽤哪种⽅法表⽰⾓，⾸先要写上符号“∠”，注意区分“∠”与“＜”；4.⽤⼀个⼤写字母表⽰⾓，只适⽤于顶点处只有⼀个⾓的情形5.⾓的平分线是射线，不是直线、线段6.⽤⼀付三⾓板可以画出15°的整数倍的⾓7.如果⼀个⾓的两边分别平⾏于另⼀个⾓的两边，那么这两个⾓相等或互补.练习；1.判断⑴平⾓是⼀条直线；⑵⼀条射线是⼀个周⾓；⑶两条射线组成的图形叫做⾓；⑷两边成⼀直线的⾓是平⾓；⑸有公共端点的两条线段组成的图形叫做⾓；⑹⼀条射线旋转得到⾓；⑺⼀个钝⾓与⼀个锐⾓的差⼀定是锐⾓；⑻两个锐⾓的和⼀定⼤于90°；⑼若∠AOC=∠BOC ，则OC 是∠AOB 的平分线；⑽若∠AOC=21∠AOB ，则OC 是∠AOB 的平分线. 2.如图所⽰，图中⼩于平⾓的⾓有个.3.灯塔A 在灯塔B 的南偏东70°，A 、B 相距4海⾥，轮船C 在灯塔B 的正东，在灯塔A 的北偏东40°，试画图确定轮船C 的位置.4.如图，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE=20°，∠AOD=40°，求∠DOE 的度数.5.48.26°= ° ′″ 56°25′12″= °6.⼀条船沿北偏东60°的⽅向航⾏⾄某地，然后依原航线返回，船返回时正确的⽅向是 .7.已知∠1，∠2都是钝⾓，甲，⼄，丙，丁四⼈计算()2161∠+∠的结果依次是28°，48°，88°，60°，其中只有⼀个结果正确，那么正确的结果是（）A.甲B.⼄C.丙D.丁三、位置定义：同⼀平⾯内，不相交的两条直线叫做平⾏线表⽰：AB∥CD，m∥n平⾏画法：三⾓板，量⾓器，直尺圆规，⽅格纸等经过直线外⼀点，有且只有⼀条直线平⾏于已知直线性质：位置平⾏与同⼀直线的两直线互相平⾏定义：相关概念：点到直线的距离垂直表⽰：AB⊥CD，m⊥n画法：三⾓板，量⾓器，直尺圆规，⽅格纸等性质：同⼀平⾯内，过⼀点有且只有⼀条直线垂直于已知直线注意：1.平⾏线是相互的，AB∥CD，也可记作CD∥AB;2.⼀条直线有⽆数条直线与其平⾏，但过直线外⼀点却只有⼀条;3.点到直线的距离是⼀个数量，不是指图形（垂线段），⽽是指垂线段的长度练习：1．判断对错⑴不相交的两条直线是平⾏线；⑵同⼀平⾯内，不相交的两条射线叫做平⾏线；⑶同⼀平⾯内，两条直线不相交就重合；⑷同⼀平⾯内，没有公共点的两条直线是平⾏线；⑸过平⾯内⼀点有且只有⼀条直线与已知直线平⾏；⑹两条线段AB，CD没有交点，那么直线AB与直线CD平⾏；⑺平⾏于同⼀直线的两条直线互相平⾏；⑻同⼀平⾯内，不相交的两条射线互相平⾏；⑼同⼀平⾯内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平⾏两种；⑽同⼀平⾯内，经过⼀个已知点能画⼀条直线和已知直线垂直；⑾⼀条直线的垂线可以有⽆数条；⑿过射线的端点与射线垂直的直线只有⼀条；⒀过直线外⼀点和直线上⼀点这两个已知点，可以画已知直线的垂线.2．对直线a，b，c ，若a∥b，a与c相交，那么b与c是什么位置关系？说明理由. 3．在同⼀平⾯内有三条直线，如果要使其中有且只有两条直线平⾏，那么它们（）A.没有交点 B.只有⼀个交点 C.有两个交点 D.有三个交点D C B A D C B A OP N M B A N M O C B A 4．同⼀平⾯内的四条直线⽆论其位置关系如何，它们的交点个数不可能有（）A.2个B.3个C.4个D.5个5．⼀个三棱柱中有多少对平⾏线？6．在平⾯上有三条直线a ，b ，c ，它们之间有哪⼏种可能的位置关系？请画图说明.7．已知平⾏四边形ABCD 如图，过A 点分别作出BC ，DC 边上的⾼AE ，AF.8．如图所⽰，下⾯结论中正确的有个⑴线段AC 与线段BC 互相垂直；⑵线段CD 与线段BC 互相垂直；⑶点C 到AB 的距离是线段CD ；⑷线段AC 是A 到BC 的距离；⑸线段AC 的长度是点A 到BC 的距离.9．点P 为直线l 外⼀点，点A 、B 、C 为直线l 上三点：PA=4，PB=5，PC=2，则点P 到直线l 的距离为（）A ．4B ．2C ．⼩于2D ．不⼤于210．如图，已知点O 在直线AB 上，OP ⊥MN 于点P ，那么（）A ．线段OP 的长度叫做点O 到直线MN 的距离；B ．线段OP 的长度叫做点P 到直线AB 的距离；C ．线段OP 叫做直线AB 到直线MN 的距离；D ．直线OP 的长度叫做点O 与P 两点间的距离. 11．画⼀条线段的垂线，垂⾜在（）A ．线段上B ．线段的端点C ．线段的延长线上D ．以上都可能12．七巧板通常是由个直⾓三⾓形，个正⽅形和个平⾏四边形组成.13．⽤⼀副七巧板分别拼出⑴⼀个等腰梯形；⑵长⽅形；⑶平⾏四边形，并在图中找出⼀个锐⾓、⼀个直⾓、⼀个钝⾓、⼀对平⾏线段、⼀对互相垂直的线段.14.点M 为线段AB 的三等分点，且AM=6，求AB 的长.15．如图，点O 是直线AB 上⼀点，过O 画射线OC ，OM ，ON ，且OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，那么射线OM ，ON 之间有什么位置关系？说明你的理由.。

直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

自我反思
目标检测
设空间中四条直线a、b、c、d，满足a//b， b//c， c//d，试判断a与d的关系．
9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
继续探索
活动探究
读书部分：阅读教材相关章节
作业
书面作业：教材习题9.2 A组（必做）
教材习题9.2 B组（选做）
实践调查：寻找生活中的线线、
创设情境
兴趣导入
将铅笔放在桌面上，此时铅笔与桌面有无数多个公共点；抬起铅笔的一端，此时铅笔与桌面只有1个公共点；把铅笔放到文具盒(文具盒在桌面上)上面，铅笔与桌面就没有公共点了．
9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
动脑思考
探索新知
直线 l 与平面有无穷多个公共点时，直线 l 在平面内，其图形如（1）．如果一条直线与一个平面只有一个公共点，那么就称这条直线与这个平面相交，画直线与平面相交的图形，要把直线延伸到平行四边形外（如图（2））. 如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线与这个平面平行．直线 l与平面平行，记作 l ∥ ．画直线与平面平行的图形，要把直线画在平行四边形外，并与平行四边形的一边平行（如图9−19（3））．
1 2
1 2
因此 EH // FG 且EH FG．
故四边形EFGH是平行四边形．
9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
运用知识
强化练习
1．结合教室及室内的物品，举出空间两条直线平行的例子.
2．把一张矩形的纸对折两次，然后打开（如图），说明为什么
这些折痕是互相平行的？
9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

土建工程制图第4章直线与平面、平面与平面的相对位置关系

c' a'
k
30
a
b
c
班级
姓名
成绩
6
1.求平面ABC 对H 面的倾角。 b'
2.求平面ABC 对V 面的倾角及点E到平面ABC 的距离。 b'
a' b
a' c'
c a
a
直线与平面、平面与平面垂直
班级
c' e'
b
e c
姓名
成绩
7
1.求作投影面垂直线与一般位置平面的交点，并判别可见性。 c' e' a' b'
b'
r'
c' k'
a'
b
r
k a
c
1.过点K 作一般位置平面垂直于平面ABC 。
b' k'
2.过线段DE 作平面垂直于平面ABC 。 b'
c' a'
a'
b
c
a
a 直线与平面、平面与平面垂直
k 班级
c' d'
e' b
d
e
c
姓名
成绩
5
1.作图检查两平面是否垂直。
c'
e'
f'
a'
b'd'
g'
a
b
f
eg
c'
f'
c
f
a
g
e
b
d
不平行平面DEF 班级
平面ABC 平行平面DEFG
姓名

高考数学复习直线、平面垂直的判定与性质

第4讲直线、平面垂直的判定与性质最新考纲考向预测从定义和公理出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.命题趋势直线、平面垂直的判定及性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用、直线与平面所成的角等内容．多出现在解答题的第(1)问，难度中等.核心素养逻辑推理、直观想象1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎬⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎬⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与⎭⎬⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a另一个平面垂直⇒l ⊥α3.空间角(1)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠P AO 就是斜线AP 与平面α所成的角．②线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α-l -β或二面角P -AB -Q ． ②二面角的平面角如图，过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角α-l -β的平面角．③二面角的范围设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]． ④当θ＝π2时，二面角叫做直二面角．常用结论1．直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 2．三种垂直关系的转化：线线垂直判定定理性质定理线面垂直判定定理性质定理面面垂直常见误区1．证明线面垂直时，易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件．2．两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.()(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.()(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．(易错题)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m⊂αB．m⊥n且n∥βC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β解析：选C.由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．3．(多选)四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是()A．AC⊥SB B．AD⊥SCC．平面SAC⊥平面SBD D．BD⊥SA解析：选ABC.由SD⊥底面ABCD，得SB在平面ABCD内的射影为DB.又DB与AC垂直，所以SB⊥AC，A正确；由SC在平面ABCD内的射影DC与AD垂直，得SC⊥AD，B正确；由AC⊥SB，AC⊥BD，SB∩BD＝B，可得AC⊥平面SBD，从而有平面SAC⊥平面SBD，C正确；若BD⊥SA，则BD垂直SA在平面ABCD内的射影DA，与已知条件矛盾，D错误．故选ABC.4．已知直线l和平面α，β，且l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的________条件．解析：由面面垂直的判定定理可得，若l⊂α，l⊥β，则α⊥β，充分性成立；若l⊂α，α⊥β，则l与β垂直、相交或平行，必要性不成立，所以若l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件．答案：充分不必要5．在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．解析：如图，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC 中，P A＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．答案：外线面垂直的判定与性质(1)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．证明：PO⊥平面ABC.(2)(2020·高考全国卷Ⅲ节选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F 分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：当AB＝BC时，EF⊥AC.【证明】(1)因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2 3.连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O知PO⊥平面ABC.(2)如图，连接BD，B1D1.因为AB＝BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD.又因为BB1⊥平面ABCD.于是AC⊥BB1.所以AC⊥平面BB1D1D.由于EF ⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC.判定线面垂直的四种方法1．如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝13DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求证：P A⊥CD.证明：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由3AC＝BC得∠ABC＝30°，设AD＝1，由3AD＝DB得DB＝3，BC＝23，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面P AB，又因为P A⊂平面P AB，所以P A⊥CD.2．如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明：(1)在平面ABD中，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.面面垂直的判定与性质(1)(2020·高考全国卷Ⅰ节选)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.证明：平面P AB⊥平面P AC.(2)(2020·开封市模拟考试)如图，已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C ⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC.证明：A1C⊥AB1.【证明】(1)由题设可知，P A＝PB＝PC，由于△ABC是正三角形，故可得△P AC≌△P AB，△P AC≌△PBC.又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°，从而PB⊥P A，PB⊥PC，故PB⊥平面P AC，所以平面P AB⊥平面P AC.(2)因为AA1＝AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1.因为平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C.又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1C1C，所以B1C1⊥A1C.因为AC1∩B1C1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1，而AB1⊂平面AB1C1，所以A1C⊥AB1.(1)证明面面垂直的方法①定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．②定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，进而把问题转化为证明线线垂直加以解决．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，AB＝AC＝a，BC ＝2a.求证：平面P AB⊥平面P AC.证明：因为P A⊥平面ABC，所以P A⊥AB，P A⊥AC，所以∠BAC即为二面角B-P A-C的平面角．又AB＝AC＝a，BC＝2a，所以∠BAC＝90°，所以平面P AB⊥平面P AC.平行与垂直的综合问题如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.【证明】(1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面P AD，因为PD⊂平面P AD，所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD，AB∩P A＝A，所以PD⊥平面P AB.因为PD⊂平面PCD，所以平面P AB⊥平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决．注意遵循“空间到平面”“低维”到“高维”的转化关系．(2020·高考江苏卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点．(1)求证：EF∥平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C⊥平面ABB1.证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1.又EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC，AB⊂平面ABC,所以B1C⊥AB.又AB⊥AC，B1C⊂平面AB1C，AC⊂平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C.又因为AB⊂平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.思想方法系列14构造几何模型解决空间问题判断空间线、面的位置关系，常利用正(长)方体及其他几何体模型来判断，把平面、直线看作正(长)方体内及其他几何体平面、侧棱、对角线等进行推导验证，使抽象的推理形象化、具体化．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确的命题是()A．①④B．②④C．①D．④【解析】对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α，β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α，β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．故选A项．【答案】 A(1)构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后利用模型对问题直观地作出判断．这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致的解题错误．(2)由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系．故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关系，显得直观、易判断．构造时注意其灵活性，想象各种情况反复验证．Ｋ(2020·贵阳市四校联考)如图所示，在三棱锥P-ABC中，AP⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，AP＝3，则该三棱锥外接球的体积为________．解析：如图所示，根据题意可将三棱锥补形为一个长、宽、高分别为1，1，3的长方体，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同．设外接球半径为R，则(2R)2＝12＋12＋(3)2＝5，所以该三棱锥外接球的体积V＝43πR3＝556π.答案：556π[A级基础练]1．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面解析：选C.当直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在直线与l平行，故A项错误；当l∥α时，在α内不存在直线与l相交，故B项错误；当l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，故D项错误；无论哪种情形，在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C项．2．(多选)设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列说法正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，n⊂α，则n⊥βB．若α⊥β，n∥α，则n⊥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊥β，n⊥α，则n⊥β解析：选AD.选项A中，由面面垂直的性质定理知，正确；选项B中，直线n可以与平面β相交、平行或n⊂β，不正确；选项C中，与直线m平行的平面有无数个，且这些平面可以与平面α平行、相交，不正确；选项D中，根据m⊥α，m⊥β，知α∥β，又n⊥α，所以n⊥β正确，故选AD.3．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是()A．与AC，MN均垂直B．与AC垂直，与MN不垂直C．与AC不垂直，与MN垂直D．与AC，MN均不垂直解析：选A.因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，ON＝1＋4＝5，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.4．(2021·山东济宁模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E解析：选C.对于A，CC1与B1E均在侧面BCC1B1内，又两直线不平行，故相交，A错误；对于B，AC与平面ABB1A1所成的角为60°，所以AC不垂直于平面ABB1A1，故B错误；对于C，AE⊥BC，BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1，故C 正确；对于D，AC与平面AB1E有公共点A，AC∥A1C1，所以A1C1与平面AB1E 相交，故D错误．5.(多选)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，P A垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于点S，AN⊥PB于点N，则下列选项正确的是()A．平面ANS⊥平面PBCB．平面ANS⊥平面P ABC．平面P AB⊥平面PBCD．平面ABC⊥平面P AC解析：选ACD.因为P A⊥平面ABC，P A⊂平面P AC，所以平面ABC⊥平面P AC，故D正确；因为B为圆周上不与A，C重合的点，AC为直径，所以BC⊥AB，因为P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥P A，又AB∩P A＝A，所以BC⊥平面P AB，又BC⊂平面PBC，所以平面P AB⊥平面PBC，故C正确；因为BC⊥平面P AB，所以BC⊥AN，又因为AN⊥PB，PB∩BC＝B，所以AN⊥平面PBC，又AN⊂平面ANS，所以平面ANS⊥平面PBC，故A正确．故选ACD.6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是边AB上的一个动点，则PM的最小值为________．解析：作CH⊥AB于H，连接PH.因为PC⊥平面ABC，所以PH⊥AB，PH为PM的最小值，等于27.答案：277．(2019·高考北京卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．解析：其中两个论断作为条件，一个论断作为结论，可组成3个命题．命题(1)：若l⊥m，m∥α，则l⊥α，此命题不成立，可以举一个反例，例如在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面ABCD为平面α，A1D1和A1B1分别为l 和m，满足条件，但结论不成立．命题(2)：若l⊥m，l⊥α，则m∥α，此命题正确．证明：作直线m1∥m，且与l相交，故l与m1确定一个平面β，且l⊥m1，因为l⊥α，所以平面α与平面β相交，设α∩β＝n，则l⊥n，又m1，n⊂β，所以m1∥n，又m1∥m，所以m∥n，又m在平面α外，n⊂α，故m∥α.命题(3)：若m∥α，l⊥α，则l⊥m，此命题正确．证明：过直线m作一平面，且与平面α相交，交线为a，因为m∥α，所以m∥a.因为l⊥α，a⊂α，所以l⊥a，又m∥a，所以l⊥m.答案：若l⊥m，l⊥α，则m∥α(或m∥α，l⊥α，则l⊥m，答案不唯一) 8．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有__________________；与AP垂直的直线有________．解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面P AC，又因为AP⊂平面P AC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，AC AB9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面P AC；(2)求证：平面P AB⊥平面P AC.证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为AC⊥DC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面P AC.(2)因为AB∥CD，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面P AC.又AB⊂平面P AB，所以平面P AB⊥平面P AC.10．(2020·沈阳市教学质量监测(一))如图，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD＝2CE.F为AD的中点，连接EF.(1)求证：EF∥平面ABC；(2)求证：平面AED⊥平面ABD.证明：(1)如图，取AB的中点为O，连接OC，OF，因为O，F分别为AB，AD的中点，所以OF∥BD且BD＝2OF，又CE∥BD且BD＝2CE，所以CE∥OF且CE＝OF，所以四边形OCEF为平行四边形，所以EF∥OC.又EF⊄平面ABC且OC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为三角形ABC为等边三角形，所以OC⊥AB，又平面ABC⊥平面ABD且平面ABC∩平面ABD＝AB，所以OC⊥平面ABD，因为EF∥OC，所以EF⊥平面ABD，又EF⊂平面AED，所以平面AED⊥平面ABD.[B级综合练]11．(多选)已知在四面体ABCD中，△ABC，△BCD均为边长为1的等边三角形，E，F分别为BC，BD的中点，则()A．BC⊥ADB．若AD＝1，则四面体ABCD的体积为2 6C ．若AD ＝62，则平面ABC ⊥平面BCD D ．若AF ＝12，则截面AEF 的面积为316解析：选ACD.连接AE ，DE ，因为△ABC ，△BCD 均为边长为1的等边三角形，所以AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，又AE ∩DE ＝E ，所以BC ⊥平面ADE ，所以BC ⊥AD ，故A 正确；设点A 在平面BCD 内的射影为点O ，则AO ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×232＝63，所以四面体ABCD 的体积为13×34×12×63＝212，故B 错误；易知∠AED 为二面角A -BC -D 的平面角，AE ＝32，DE ＝32，当AD ＝62时，AE 2＋DE 2＝AD 2，所以∠AED ＝90°，所以平面ABC ⊥平面BCD ，故C 正确；因为E ，F 分别为BC ，BD 的中点，连接EF ，AF ，易知EF ＝12CD ＝12，由余弦定理可得cos ∠AEF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－⎝ ⎛⎭⎪⎫1222×32×12＝32，所以sin ∠AEF ＝12，所以S △AEF ＝12×12×32×12＝316，故D 正确．12．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF . 由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h ，又2×2＝h ×22＋（2）2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt△DB1E中，B1E＝（22）2－（33）2＝66.由面积相等得66×x2＋（22）2＝22x，得x＝12.即线段B1F的长为12.答案：1 213．(2020·成都市诊断性检测)如图，在四棱锥PABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC ＝60°，E，F分别为BC，CD的中点．(1)证明：BC⊥平面P AE；(2)点Q在棱PB上，且PQPB＝13，证明：PD∥平面QAF.证明：(1)如图，连接AC.因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以三角形ABC为正三角形．因为E为BC的中点，所以BC⊥AE.因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥AP.因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面P AE，所以BC⊥平面P AE.(2)连接BD交AF于点M，连接QM.因为F为CD的中点，所以在底面ABCD中，DMMB＝DFAB＝12，所以DMDB＝13.所以PQPB＝DMDB＝13，所以在三角形BPD中，PD∥QM.又QM⊂平面QAF，PD⊄平面QAF，所以PD∥平面QAF.14．(2020·广东七校联考)如图，在四棱锥P-ABCD中，P A ⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，P A＝AB＝2，E是AB的中点，G是PD的中点．(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(2)求证：AG∥平面PEC；(3)求证：平面PCD⊥平面PEC.解：(1)易知V 四棱锥P -ABCD ＝13S 正方形ABCD ·P A ＝13×2×2×2＝83. (2)证明：如图，取PC 的中点F ，连接EF 和FG ，则易得AE ∥FG ，且AE ＝12CD ＝FG ，所以四边形AEFG 为平行四边形，所以EF ∥AG .因为EF ⊂平面PEC ，AG ⊄平面PEC ，所以AG ∥平面PEC .(3)证明：易知CD ⊥AD ，CD ⊥P A ，因为P A ∩AD ＝A ，P A ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥平面P AD .又AG ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AG .易知PD ⊥AG ，因为PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AG ⊥平面PCD ，所以EF ⊥平面PCD .又EF ⊂平面PEC ，所以平面PEC ⊥平面PCD .[C 级创新练]15．一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形．在四面体P ABC 中，设E ，F 分别是PB ，PC 上的点，连接AE ，AF ，EF (此外不再增加任何连线)，则图中直角三角形最多有( )A ．6个B ．8个C ．10个D ．12个解析：选C.为使题图中有尽可能多的直角三角形，设四面体P ABC 为“鳖臑”，其中P A ⊥平面ABC ，且AB ⊥BC ，易知CB ⊥平面P AB .若AE ⊥PB ，EF ⊥PC ，由CB ⊥平面P AB ，得平面P AB ⊥平面PBC . 又AE ⊥PB ，平面APB ∩平面PBC ＝PB ，所以AE ⊥平面PBC ，所以AE ⊥EF ，且AE ⊥PC .又EF ⊥PC ，知四面体P AEF 也是“鳖臑”，则题图中的10个三角形全是直角三角形，故选C.16.(多选)如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P为线段A 1B 上的动点，则下列结论正确的是( )A ．平面D 1A 1P ⊥平面A 1APB ．∠APD 1的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 C ．三棱锥B 1D 1PC 的体积为定值D ．DC 1⊥D 1P解析：选ACD.在A 中，因为A 1D 1⊥平面A 1AP ，A 1D 1⊂平面D 1A 1P ，所以平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故A 正确；在B 中，当P 与A 1重合时，∠APD 1＝π2，故B 错误；在C 中，因为△B 1D 1C 的面积是定值，A 1B ∥平面B 1D 1C ，所以点P 到平面B 1D 1C 的距离是定值，所以三棱锥B 1D 1PC 的体积为定值，故C 正确；在D 中，因为DC 1⊥D 1C ，DC 1⊥BC ，D 1C ∩BC ＝C ，D 1C ，BC ⊂平面BCD 1A 1，所以DC 1⊥平面BCD 1A 1，又D 1P ⊂平面BCD 1A 1，所以DC 1⊥D 1P ，故D 正确．第4讲直线、平面垂直的判定与性质最新考纲考向预测从定义和公理出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.命题趋势直线、平面垂直的判定及性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用、直线与平面所成的角等内容．多出现在解答题的第(1)问，难度中等.核心素养逻辑推理、直观想象1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎬⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎬⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与⎭⎬⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a另一个平面垂直⇒l ⊥α3.空间角(1)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠P AO 就是斜线AP 与平面α所成的角．②线面角θ的范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α-l -β或二面角P -AB -Q ． ②二面角的平面角如图，过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角α-l -β的平面角．③二面角的范围设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]． ④当θ＝π2时，二面角叫做直二面角．常用结论1．直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 2．三种垂直关系的转化：线线垂直判定定理性质定理线面垂直判定定理性质定理面面垂直常见误区1．证明线面垂直时，易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件．2．两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.()(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.()(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．(易错题)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m⊂αB．m⊥n且n∥βC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β解析：选C.由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．3．(多选)四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是()A．AC⊥SB B．AD⊥SCC．平面SAC⊥平面SBD D．BD⊥SA解析：选ABC.由SD⊥底面ABCD，得SB在平面ABCD内的射影为DB.又DB与AC垂直，所以SB⊥AC，A正确；由SC在平面ABCD内的射影DC与AD垂直，得SC⊥AD，B正确；由AC⊥SB，AC⊥BD，SB∩BD＝B，可得AC⊥平面SBD，从而有平面SAC⊥平面SBD，C正确；若BD⊥SA，则BD垂直SA在平面ABCD内的射影DA，与已知条件矛盾，D错误．故选ABC.4．已知直线l和平面α，β，且l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的________条件．解析：由面面垂直的判定定理可得，若l⊂α，l⊥β，则α⊥β，充分性成立；若l⊂α，α⊥β，则l与β垂直、相交或平行，必要性不成立，所以若l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件．答案：充分不必要5．在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．解析：如图，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC 中，P A＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．答案：外线面垂直的判定与性质(1)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．证明：PO⊥平面ABC.(2)(2020·高考全国卷Ⅲ节选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F 分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：当AB＝BC时，EF⊥AC.【证明】(1)因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2 3.连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O知PO⊥平面ABC.(2)如图，连接BD，B1D1.因为AB＝BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD.又因为BB1⊥平面ABCD.于是AC⊥BB1.所以AC⊥平面BB1D1D.由于EF ⊂平面BB1D1D，所以EF⊥AC.判定线面垂直的四种方法1．如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝13DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求证：P A⊥CD.证明：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由3AC＝BC得∠ABC＝30°，设AD＝1，由3AD＝DB得DB＝3，BC＝23，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面P AB，又因为P A⊂平面P AB，所以P A⊥CD.2．如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.证明：(1)在平面ABD中，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.面面垂直的判定与性质(1)(2020·高考全国卷Ⅰ节选)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.证明：平面P AB⊥平面P AC.(2)(2020·开封市模拟考试)如图，已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C ⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC.证明：A1C⊥AB1.【证明】(1)由题设可知，P A＝PB＝PC，由于△ABC是正三角形，故可得△P AC≌△P AB，△P AC≌△PBC.又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°，从而PB⊥P A，PB⊥PC，故PB⊥平面P AC，所以平面P AB⊥平面P AC.(2)因为AA1＝AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1.因为平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C.又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1C1C，所以B1C1⊥A1C.因为AC1∩B1C1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1，而AB1⊂平面AB1C1，所以A1C⊥AB1.(1)证明面面垂直的方法①定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．②定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，进而把问题转化为证明线线垂直加以解决．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，AB＝AC＝a，BC ＝2a.求证：平面P AB⊥平面P AC.证明：因为P A⊥平面ABC，所以P A⊥AB，P A⊥AC，所以∠BAC即为二面角B-P A-C的平面角．又AB＝AC＝a，BC＝2a，所以∠BAC＝90°，所以平面P AB⊥平面P AC.平行与垂直的综合问题如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.【证明】(1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面P AD，因为PD⊂平面P AD，所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD，AB∩P A＝A，所以PD⊥平面P AB.因为PD⊂平面PCD，所以平面P AB⊥平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决．注意遵循“空间到平面”“低维”到“高维”的转化关系．(2020·高考江苏卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥。

七年级数学第四章《平面图形及其位置关系》专项练习(含答案)

第四章《平面图形及其位置关系》专项练习在本章中，我们不仅能从测量、折纸、画图等活动中学到线段、直线、射线、角等简单的平面图形，以及两直线平行、垂直的位置关系和特征，而且还可以自己创作出新颖、有趣的七巧板拼图，用尺规设计出精美、别致的图案，这样，你自己也会成为一名小小的设计师，更会感受到美就在我们身边．考点一：直线、射线线段 1．考点分析：考查直线、射线、线段的性质以及直线与线段计数问题，线段的计算及简单的语言的认识与应用，多以填空、选择的形式出现2．典例剖析例1．在表示直线时，常常要用到直线上的两个点表示，这条直线为什么不用一个点，三个点或更多的点表示直线？答：因为过一点可作无数条直线，即一点不能确定一条直线，所以不能用一点表示一条直线，而两点确定一直线，用直线上三个点或更多的点表示太繁，一般来说也没必要，因此用两点最简单明了．例2．（1）如图1，从教室门A 到图书馆B ，总有少数同学不走边上的路而横穿草坪，这是为什么？请你用所学的数学知识来说明这个问题．（2）如图2，A 、B 是河流L 两旁的两个村庄，现在要在河边修一个引水站向两村供水，问引水站修在什么地方才能使所需要的管道最短？请在图中表示出点P 的位置，并说明你的理由．（3）你赞同以上的做法吗？你认为应用科学知识为人民服务应注意什么？分析：利用“两点之间，线段最短”．答：（1利用的是两点之间，线段最短．（2）连接A 、B两点与L 相交，交点就是P 的位置，根据两点之间，线段最短．（3）第一种做法不对，践踏草坪不道德；第二种做法对，节省物质．例3．已知线段AB=8cm ，在直线AB 上画线段BC ，使它等于3cm ，求线段AC 的长．解：当点C 在线段AB 的延长线时，如图3， AC=AB+BC=8+3=11（cm ）当点C 在射线BA 上时，如图4，AC=AB-BC=8-3=5（cm ）所以线段AC 的长为11cm 或5cm ．评注：这是一道读句画图计算题，只要按照题意，正确地画出图形，这里还要注意分类讨论的数学思想，否则容易漏解．专练一： 1．一般来说，把门安装在门框上需要两个合页，这是为什么呢？2．“已知线段AB ，在BA 的延长线上取一点C ，使CA=3AB ，（1）线段CB 是线段AB 的几倍？（2）线段AC 是线段CB 的几分之几？”3．如图5，平原上有A 、B 、C 、D 四个村庄，为了解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．不考虑其他因素，A L图2·· · A C B 图4 ·· · B A C 图3H B · A · ·C ·D E F ┒ ≈ ≈ ≈≈ ≈ ≈图5请你画图确定蓄水池H 点的位置，使它与四个村庄的距离之和最小． 4．如图6，在正方体两个相距最远的顶点处有一只苍蝇B 和蜘蛛A ，蜘蛛可从哪条最短的路径爬到苍蝇处？试说明你的理由．5．在同一平面上，1条直线把一个平面分成22112++=2个部分，2条直线把一个平面最多分成22222++=4个部分，3条直线把一个平面最多分成22332++=7个部分，那么8条直线把一个平面最多分成部分， n 条直线把一个平面最多分成部分．6．问题：在直线上有n 个不同点，则此直线上共有多少条线段？考点二：角的度量、表示与比较 1．考点分析：角的度、分、秒的转换与计算，角的计数等内容是中考的热点，多以填空题、选择题的形式出现2．典例剖析例1．下图中有几个角？是哪几个角？分析：由一点引n 条射线所组成的角的个数共有(1)1234(1)2n n n -+++++-=L 个，此题从O 出发有4条射线，n=4，此时(1)62n n -=．解：图中有6个角，分别为∠AOB 、∠AOC 、∠AOD 、∠BOC 、∠BOD 、∠COD ．例2．如图7，一幅三角板的两个直角顶点重合在一起，（1）比较∠EOM 和∠FON 的大小，并说明为什么？（2）∠EON 与∠FOM 的和是多少度？为什么？解：由三角板可知∠EOM+∠FOM=900，∠FOM+∠FON=900，所以∠EOM=∠FON ，又因为∠EON=∠EOM+∠FOM+∠FON ，所以∠EON+∠FOM=∠EOM+∠FOM+∠FON+∠FOM= 900+900=1800．例3．如图8，OA 是表示北偏东300方向的一条射线，仿照这条射线，画出展示下列方向的射线：（1）南偏东250；（2）北偏西600．分析：（1）以正南方向的射线为始边，向东旋转250，所成的角的终边OB 即为所求的射线．（2）以正北方向的射线为始边，向西旋转600，所成的角的终边OC 即为所求的射线．解：如图8所示：B图6 O A BCD图6东 O 西南北 30A 600东 O 西南北 250B C 图8 图9 图7O A B P QR图１专练二： 1．（2006年潍坊市）用A B C ，，分别表示学校、小明家、小红家，已知学校在小明家的南偏东25︒，小红家在小明家正东，小红家在学校北偏东35︒，则ACB ∠等于（） A ．35︒ B ．55︒ C ．60︒ D ．65︒ 2．如图10，已知∠AOC =∠BOD =75°，∠BOC =30°，求∠A OD.3．如图11，已知O 是直线AB 上的点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线，求∠DOE 的度数.4．如图12，∠AOB=900，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，求∠MON 的大小．考点三：直线与直线的位置关系1．考点分析：直线与直线的位置关系有两种：平行与垂直，有关平行线的定义的辨析题和平行线性质的应用以及垂线、垂线段的概念、性质是中考的主要考点，多以填空题、选择题为主2．典例剖析例1．已知：如图１，∠A0B 的两边 0A 、0B 均为平面反光镜， ∠A0B =40o．在0B 上有一点P,从P 点射出一束光线经0A 上的Q 点反射后,反射光线QR 恰好与0B 平行,则∠QPB 的度数是（）A ．60°B ．100 °C ． 80°D ．120°分析：本题考察相交线、平行线的问题，题目非常简单．答案为C ．评注：本题把考察相交线、平行线的问题，放置在生活中的实际背景中，贴近生活，体现了数学的现实性、实用性，题目灵活，重点考察学生的数学素养．例2．按如图所示的方法将圆柱切开，所得的截面中有没有互相平行的线段？答案：有．即：AB ∥CD AD ∥BC评注：由于圆柱的上、下底面平行，按照这样截法阴影部分为平行四边形例3．体育课上，老师是怎样测量同学们的跳远成绩的？你能尝试说明其中的理由吗？理由：将尺子拉直与踏板边沿所在的直线垂直，量取最近的脚印与踏板边沿之间的距离. “垂线段最短”．专练三：1．下列说法错误的是（）A.直线a ∥b ，若c 与a 相交，则b 与c 也相交BAC M N O图12图10图12G C FMA HED BNB.直线a 与b 相交，c 与a 相交，则b ∥cC.直线a ∥b ，b ∥c ,则a ∥cD.直线AB 与CD 平行，则AB 上所有点都在CD 同侧2．如右图，过C 点作线段AB 的平行线，说法正确的是（）A.不能作B.只能作一条C.能作两条D.能作无数条 3．将一张长方形纸对折，使OA 与OB 重合，这时∠AOC 是什么角？为什么？4．如图，哪些线段是互相垂直的，请利用量角器或直尺等工具将它们找出来.5.如图,所示是楼梯台阶的一部分,与面AB-DC 垂直的棱有哪些?6．读下列语句作图（1）任意作一个∠AOB . （2）在角内部取一点P .（3）过P 分别作PQ ∥OA ，PM ∥OB .（4）若∠AOB =30°，猜想∠MPQ 是多少度？考点四：平面图形问题1．考点分析：这部分内容主要是指：有趣的七巧板与图案设计两部分，利用七巧板的原理拼图以及用基本的图形，通过想象，设计一些个性化的图案，多以填空题、选择题为主2．典例剖析例1．如图1，用一块边长为22的正方形ABCD 厚纸板，按照下面的作法，做了一套七巧板：作对角线AC ，分别取AB 、BC 中点E 、F ，连结EF ；作DG ⊥EF 于G ，交AC 于H ；过G 作GL ∥BC ，交AC 于L ，再由E 作EK ∥DG ，交AC 于K ；将正方形ABCD 沿画出的线剪开，现用它拼出一座桥（如图2），这座桥的阴影部分的面积是（）A.8B.6C.4D.5分析：本题先将正方形割成七巧板，然后再拼成一座桥，因此不难发现阴影部分是由5个小板构成的，由于拼图前后图形的总面积以及7个小板的面积不变，所以这座桥的阴影部分的面积应是正方形面积的一半，即阴影部分的面积为4，故选C例2．（1）在七巧板中（如图1），找几组平行线或垂直的线段？（2）在七巧板中（如图），直角、锐角、钝角有哪些？分析：根据七巧板中每个图形的特点可以得到：（1）平行线有：AB ∥DC ；EK ∥HG ；LG ∥CF 等；垂直的线段有：EK ⊥AC ；GH ⊥AC ；EG ⊥HG 等（2）锐角12个：∠BAH ；∠FGL ；∠HGL 等，它们均为450 直角有：∠AHG ；∠HKE ；∠LHG ；∠KEG 等；钝角有：∠CLG ；∠CFG ，它们均内为1350例3．如图3，将标号为A 、B 、C 、D 的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为P 、Q 、M 、N 的四组图形．试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系，填空：A 、与____对应B 、与____对应C 、与____对应D 、与_____对应分析：根据剪拼前后，小块图形的大小，形状不变的特点，仔细观察每个正方形中的小块图形的特征，以此判断出：A 与M 对应；B 与P 对应；C 与Q 对应；D 与N 对应专练四：1.如图1是利用七巧拼成风的图案,在这个图案中找出二组平行线是_ __.(1)E C FM A HD BG(2)EC FA DBG(3)2.如图2是利用七巧板拼成的山峰的图案, 在这个图案中找出二组互相垂直的线段是___________________.3.如图3是利用七巧板拼成的数字3,这个图案中直角的个数是( ) A.5 B.9 C.7 D.8图3 图2 图14．七巧板是我国祖先创造的一种智力玩具，它来源于勾股法，如图4①整幅七巧板是由正方形ABCD 分割成七小块（其中：五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形）组成，如图4②是由七巧板拼成的一个梯形，若正方形ABCD 的边长为12 cm ，则梯形MNGH 的周长是____cm （结果保留根号）.5.用你所制作的七巧板,拼成一个等腰直角三角形与一个梯形,并在纸上画出所拼的图案. 6．今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请你设计三种不同的修筑方案．（只需画简图）7种不同形状的平面图形？请你画出拼成的图形．参考答案专练一：1．答：是因为经过两点有一条直线且只有一条直线．2．若学生不会画图，很难得到其数量关系，但学生只要把图画出来，其数量关系就一目了然．3．解：如图5所示：连结AD 、BC ，交于点H ，则H 为所求蓄水池点． 4．解：分析：我们可以借助正方体的展开图找到解题的办法，由于正方体的展开有不同的方法，因而从A 到B 可用6种不同的方法选取最短的路径，但每条路径都通过连接正方体两个顶点的棱的中点．因为蜘蛛只能在正方体的表面爬行，所以只要找到这个正方体的展开图，应用“两点之间，线段最短”就可确定最短路径（如图6）． 5．分析：在同一平面上，1条直线把一个平面分成22112++=2个部分，2条直线把一个平面最多分成22222++=4个部分，3条直线把一个平面最多分成22332++=7个部分，可以猜想：8条直线把一个平面最多分成部分2882372++=部分，那么n 条直线把一个平面图5图6A 图6图4最多分成222n n++部分．6．1+2+3+4+…+n=2)1(-⨯nn条线段，专练二：1．1100；2．120°；3．90°4．450．专练三：1．B；2．B；3．90°4．BC⊥AB BC⊥BE BC⊥AE BC⊥CD5.有棱DF,CE,HN,GM6．如图；30°或150°专练四：1．AB∥DC,HG∥BC；2．AG⊥AB,BC⊥CD ___3．B；4．略；5．如答图所示:(1)(2) 6．答案不唯一（如图7）7．答案不唯一（如图8）图7①②③④⑤图8。

第四章点、直线、平面的正投影规律

图29 直线与一般位置平面相交
求直线与一般位置平面的交点K，可按下面三个步骤进行：
1、过已知直线AB作一铅垂面P位置平面）相交，为，作为辅助面。
2、求出辅助面P与已知平面的交线MN的投影。 3、求出MN与直线AB的交点K的投影，点K 就是直线与平面的交点。
（a）已知直线AB和三角形CDE的投影
第四章点、直线、平面的正投影规律
学习目标和教学要求: ： 1、熟练掌握点的三面正投影规律； 2、掌握各种位置点、直线、平面的投
影特性及点、线、面相对位置关系； 3、掌握定比性、两直线的相对位置关
系、直线与平面相对位置关系。
第一节点的投影
一、点的三面投影
作出一点A的三面投影a、a′、a″（图41）。
其余两个投影平行于相应的投影轴，例如表4-1中，CD//H，所以cd=C，a´b´//OX， a"b 投影轴而另一个投影倾斜时，它必然是一根投影面平行线，平行于该倾斜投影所在的投影面。
3.投影面垂直线
（1）空间关系
投影面垂直线垂直于某一个投影面，因而平行于另外两个投影面。例如，表 4-2中空间直线EF⊥H，因而EF平行于V 面和W面,简称铅垂线。投影面垂直线除铅垂线外，还有垂直于V面的正面垂直线（正垂线），垂直于W面的侧面垂直线（侧垂线）。
5、用迹线表示的特殊位置平面示例
（1）投影面垂直平面: 平面Q是铅锤面，在两投影面体系
中，有一条迹线垂直于投影轴，另一条迹线倾斜于投影轴。（2）投影面平行平面：
平面R是平行于H面的水平面，在两投影面体系中，只有一条迹线，平行于投影轴。如图4-23和4-24所示，
如图4-23用迹线表示的垂直于投影面的平面
图4—4投影图上的方位

第四章直线与平面间的图解法(10建经上课用)

d’ c’
X
1’ e’ k’ 2’ c’
X
e’ d’
L 1’ k’
2’
当两特殊位置平面相互平行时，平行时，它们具有积聚性的同面投影互相平行。影互相平行。
e c d k 1 2 c d
e 2 k 1
§4-2 相交
直线与平面相交（1）求交点、交线）求交点、（2）判断投影的可见性）
（二）两一般位置平面相交
PV n
解题思路（线面交点法）：解题思路（线面交点法）：
方法一：方法一：线面交点法
K’
(3’)1’
2’ e’
●
●

6’
把两个一般位置平面相交求交线的问题， l 交求交线的问题，转化 QV 为求两条一般位置直线与平面的交点问题（与平面的交点问题（即
回到课本P.62一般位置的一般位置的回到课本直线与平面相交的解题思路）。
平面与平面相交
直线与平面相交要讨论的问题是：要讨论的问题是：求交点并判断可见性
A
交点的性质：交点的性质：
K
1. 是直线与平面的公有点; 公有点 2. 是可见与不可见的分界点。的分界点。
B
一、特殊位置的相交问题
（一）一般位置直线与投影面垂直面相交
例11：求铅垂面△ABC 与一般位置：求铅垂面△ 直线MN的交点Ｋ，并判别其可见性。的交点Ｋ，并判别其可见性。直线的交点Ｋ，并判别其可见性
1.判别两个平面是否平行；判别两个平面是否平行；判别两个平面是否平行 2.作已知平面的平行平面；作已知平面的平行平面；作已知平面的平行平面 a X a b
ef c d c d e f h O h f O

第4章 直线与平面、平面与平面

第四章 平面上两条直线的位置关系

第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置

【高教版中职教材—数学(基础模块)下册电子教案课程】 直线与直线、直线与平面、面与面平行的判定与性质