哈三中2020-2021学年度上学期高二年级10月阶段测试数学(文)试卷+答案
黑龙江省哈尔滨市南岗区第三中学校2020-2021学年高二上学期期末数学(文)试题
黑龙江省哈尔滨市南岗区第三中学校2020-2021学年高二上学期期末数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知圆的方程为222100x y x y +++-=，则圆心坐标为（ ） A ．1(,1)2-- B ．1(,1)2C ．(1,2)--D ．(1,2)2．若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125B ．125-C ．512D ．512-3．四张卡片上分别写有数字1,2,3,5，若从这四张卡片中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．234．已知椭圆E ：221112x y +=与双曲线C ：22215x y a -=（0a >）有相同的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y x =C ．y x =D ．y x = 5．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．4D ．36．已知,αβ均为锐角，1sin())6363ππαβ-=+=，cos()αβ+=（ ）A ．9-B ．C ．9D 7．中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.意思是“圆内接正多边形的边数无限增多的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”，如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的概率是（ ）A．2πBCD ．32π8．已知角α的终边上的一点(1,2)P ，则sin()3sin 22cos sin()παααπα+++-的值为（ ） A ．14B ．34C ．54D ．749．某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ).A ．90B ．75C ．60D ．4510．在满足不等式组10300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的平面内随机取一点()00,M x y ，设事件A ＝“002y x <”，那么事件A 发生的概率是（ ） A ．14B ．34C ．13D ．2311．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<），满足()0f =，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于直线34x π=对称，则ω的取值可以为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知圆222:(1)E x y r ++=（圆心为点E ）与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，若此抛物线的焦点为F ，且,A B 两点都在以EF 为直径的圆上，则sin AEF ∠=（ ）A B C D二、填空题13．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于__________．14．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin ,x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），直线l 的方程为40x y +-=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________． 15．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是双曲线C 右支上的一点，射线PQ 平分12F PF ∠交x 轴于点Q ，过原点O 的直线平行于直线PQ 交1PF 于点T ，若12F F =，则双曲线的离心率为__________．三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线1,2:3,x l y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）与抛物线24x y =交于,A B 两点，设点(1,3)M -.（1）求直线l 的普通方程和极坐标方程； （2）求||||MA MB ⋅和||AB .18．设甲、乙、丙三个羽毛球协会的运动员人数分别为18，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取5名运动员参加比赛. （1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（2）将抽取的5名运动员进行编号，编号分别为12345,,,,A A A A A ，从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. 设“编号为12,A A 的两名运动员至少有一人被抽到” 为事件A ，求事件A 发生的概率.19．如图所示，“8”是在极坐标系Ox 中分别以112C π⎛⎫⎪⎝⎭，和2322C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心，外切于点O 的两个圆．过O 作两条夹角为3π的射线分别交⊙C 1于O 、A 两点，交⊙C 2于O 、B 两点．（1）写出⊙C 1与⊙C 2的极坐标方程； （2）求△OAB 面积最大值．20．某校为了诊断高三学生在市“一模”考试中文科数学备考的状况，随机抽取了50名学生的市“一模”数学成绩进行分析，将这些成绩分为九组，第一组[60，70)，第二组[70，80)，……，第九组[140，150]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）试求出a 的值并估计该校文科数学成绩的众数和中位数；（2）现从成绩在[120，150]的同学中随机抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130,140)中的概率是多少？21．已知函数()2cos cos )1f x x x x =+-.（1）求函数()f x 的最小正周期并用五点作图法画出函数()y f x =在区间[0,]π上的图象；（2）若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的解析式，并求当2[,]123x ππ∈-时，函数()g x 的最小值及此时的x 值.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为3，过椭圆C 焦点且与长轴垂直的直线被椭圆C 截得的弦长为4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆左顶点A 的直线l 与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴交点为P ，若点(8,0)Q -，且OM PQ ⊥，求直线l 的方程.参考答案1．A 【分析】先化成标准式，即得圆心坐标. 【详解】22221452100()(1)24x y x y x y +++-=∴+++=因此圆心坐标为1(,1)2--.故选：A 【点睛】本题考查圆一般方程化为标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．D 【解析】∵sin a =513-,且a 为第四象限角,∴1213cosa ==， 则512sina tana cosa ==-， 故选D. 3．C 【分析】先确定从这四张卡片中随机抽取两张总事件数，再确定抽取的两张卡片上的数字之和为奇数的事件数，最后根据古典概型概率公式求解. 【详解】因为从这四张卡片中随机抽取两张共有6种基本事件，取的两张卡片上的数字之和为奇数有（1，2），（3，2），（5，2）三种基本事件，因此所求概率为3162=. 故选：C 【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．B【分析】由椭圆与双曲线有相同的焦点，所以得21125a -=+，得24a =，从而可得到双曲线方程，进而可得其渐近线方程. 【详解】解：因为椭圆E ：221112x y +=与双曲线C ：22215x y a -=（0a >）有相同的焦点，所以21125a -=+，解得24a =，所以双曲线方程为22145x y -=，所以双曲线的渐近线方程为2y x =± 故选：B 【点睛】此题考查椭圆和双曲线的焦点，双曲线的渐近线，属于基础题. 5．C 【分析】由题意结合直线与圆的位置关系可得k <<，再由几何概型概率公式即可得解. 【详解】由题意圆221x y +=的圆心(0,0)，半径1r =， 由直线与圆相交可得直线(3)y k x =+与圆心的距离1d =<，解得44k -<<，故所求概率为()21124P ⎛ ⎝⎭===--. 故选：C. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用及几何概型概率的求解，考查了转化化归思想与运算求解能力，属于基础题. 6．A 【分析】利用两角和余弦公式求解. 【详解】因为,αβ均为锐角，所以2(,),(,)663663ππππππαβ-∈-+∈因为1sin())6363ππαβ-=+=，所以cos())6363ππαβ-=+= 因此cos()cos()cos()cos()sin()sin()666666ππππππαβαβαβαβ+=-++=-+--+133339=-⨯=-故选：A 【点睛】本题考查两角和余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．A 【分析】先分别求圆面积以及内接正六边形的面积，再根据几何概型概率公式求解. 【详解】设圆半径为1，则圆面积以及内接正六边形的面积分别为2,614π⨯，所以所求概率为2614π=2π. 故选：A 【点睛】本题考查几何概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．D 【分析】先根据诱导公式以及弦化切进行化简，再根据三角函数定义得tan α值，最后代入求解. 【详解】sin()3sin cos 3sin 13tan 22cos sin()2cos sin 2tan πααααααπαααα++++==+-++ 又因为角α的终边上的一点(1,2)P ，所以2tan 21α==， 所以sin()3sin 132722cos sin()224παααπα+++⨯==+-+. 故选：D 【点睛】本题考查诱导公式、三角函数定义以及弦化切，考查基本分析求解能力，属中档题. 9．A 【解析】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36， ∴样本总数为.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90. 考点：频率分布直方图. 10．B 【分析】结合几何概型的计算方法，求出对应面积之比即为所求概率. 【详解】如下图，作出不等式组10300x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域（阴影部分ABC ），易知()1,2A ，()1,0B -，()3,0C ，该区域面积为()131242⎡⎤--⨯=⎣⎦.事件A ＝“002y x <”，表示的区域为阴影部分AOC ，其面积为13232⨯⨯=. 所以事件A 发生的概率是34.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查不等式组表示的平面区域，考查数形结合的数学思想的应用，属于基础题. 11．B 【分析】由()0f =，求得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而得()2sin 63g x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再结合三角函数的性质，求得7126k ππωπ⨯=+，k ∈Z ，即可求解. 【详解】因为()0f =()2sin f x ϕ==sin 2ϕ=， 又因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到()2sin 63g x x ππω⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()g x 的图象关于直线34x π=对称，34632k ππππωπ⎛⎫∴-+=+⎪⎝⎭，k ∈Z ， 即7126k ππωπ⨯=+，k ∈Z ，令1k =，得2ω=. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．C 【分析】先根据条件得||||1OA OB ==,再与抛物线方程联立求,A B 坐标，最后解三角形得结果. 【详解】因为,A B 两点都在以EF 为直径的圆上，所以1||||||12OA OB EF ===, 设11(,)A x y ，则22111x y +=，2114y x =，所以2111410,2x x x +-==-，因此||1sin ||2AF AEF EF ∠=====故选：C 【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题. 13．24 【分析】根据扇形面积公式求解. 【详解】扇形的面积为2211342422r α=⨯⨯=. 故答案为：24 【点睛】本题考查扇形面积公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．【分析】先根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值. 【详解】曲线C 上的点到直线l 的距离为|2sin()4|42sin()ππφφ+--+==≤=故答案为：【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题. 15．34【分析】根据数据统计击中目标的次数，再用古典概型概率公式求解. 【详解】由数据得射击4次至少击中3次的次数有15， 所以射击4次至少击中3次的概率为153204=. 故答案为：34【点睛】本题考查古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.16 【分析】在x 轴上取点N ，使得||||ON OQ =,过N 作直线平行于直线PQ 交1PF 于点M ，利用正弦定理证明12||||F M PF =,再根据双曲线定义解得||MP ,即得PT ，代入条件解得离心率. 【详解】在x 轴上取点N ，使得||||ON OQ =,过N 作直线平行于直线PQ 交1PF 于点M ，如图，因为O 为NQ 中点,所以12||||,||||,MT TP F N F Q ==,因为11221122||sin sin ||||sin sin ||F M F NM F QP F P F N F MN F PQ F Q ∠∠===∠∠,所以12||||F M F P =，因此12||||||2,2||2||PM F P F P a PT a PT a =-==∴=122FF c e =∴=∴= 【点睛】本题考查双曲线离心率，考查综合分析求解能力，属较难题.17．（1）40x y -+=，cos sin 40ρθρθ-+=；（2）22MA MB =，||AB =【分析】（1）根据加减消元得直线l 的普通方程，再根据cos ,sin x y ρθρθ==得极坐标方程；（2）将直线参数方程代入抛物线方程，根据参数几何意义以及韦达定理求结果. 【详解】（1）1,2:403,x l x y y ⎧=-+⎪⎪∴-+=⎨⎪=+⎪⎩因此极坐标方程为cos sin 40ρθρθ-+=（2）1,23,2x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入24x y =得2220t --=所以12|||||||22|22MA MB t t ⋅==-=，12||||AB t t =-===【点睛】本题考查参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程以及直线参数方程应用，考查基本分析求解能力，属中档题. 18．（1）2,1,2； （2）710. 【分析】（1）根据分层抽样方法确定抽取人数；（2）先确定从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛总事件数，再确定事件A 所包含事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】（1）从这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为189185,5,5,189181891818918⨯⨯⨯++++++即2,1,2；（2）从这5名运动员中随机抽取2名参加双打比赛共有10种基本事件，其中编号为12,A A 的两名运动员都不选的事件有3个，因此事件A 所包含事件数为7，从而所求概率为710. 【点睛】本题考查分层抽样方法以及古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．（1）1:2sin C ρθ=；2:4sin C ρθ=-；（2【解析】 【分析】 (1)直接由条件求出1C 与2C 的极坐标方程即可;(2)由(1)得(2sin ,)A θθ,(4sin()3B πθ--,)3πθ-,代入三角形面积公式,再利用三角函数求出△OAB 面积的最大值.【详解】解:(1)因为在极坐标系中圆1C 和圆2C 的圆心分别为11,2C π⎛⎫ ⎪⎝⎭和232,2C π⎛⎫⎪⎝⎭, 所以圆1C 和圆2C 的极坐标方程分别为2sin ρθ=和4sin ρθ=-. (2)由(1)得(2sin ,)A θθ,(4sin()3B πθ--,)3πθ-,则12sin [4sin()]sin 233ABC S ππθθ∆=--(sin cos cos sin )33ππθθθ=--23sin cos θθθ=+)6πθ=+.所以当sin(2)16πθ+=时,OAB ∆【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程、三角形的面积公式和三角函数求最值,考查了转化思想和函数思想,属中档题.20．（1）a =0.014，众数95，中位数2903； （2）815. 【分析】（1）根据所有频率和为1求a 的值，根据组中值以及频率确定众数，根据频率为0.5求中位数；（2）先确定成绩在[120，150]的同学人数以及成绩在[130,140)中人数，再利用古典概型概率公式求解. 【详解】（1）(0.0020.00420.0060.0120.0160.0180.024)1010.014a a +⨯++++++⨯=∴=由频率分布直方图得区间[90,100]对应人数最多，所以众数为901002+=95， 设中位数为x ，则90290(0.0040.0140.0160.024)100.5103x x -+++⨯⨯=∴= 所以中位数为2903；（2）成绩在[120，150]的同学人数有50(0.0020.0040.006)106⨯++⨯=， 成绩在[130,140)中人数500.004102⨯⨯=，从6人抽取2人共有15种方法，其中抽取的2人中恰好有一人的成绩在[130,140)中的抽法有248⨯=种，因此所求概率为815. 【点睛】本题考查频率分布直方图以及古典概型概率概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.21．（1）π，图象见解析；（2）()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小值12x π=-时取到. 【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求周期，最后根据五点作图法画出图象；（2）根据函数图象变换规律得()g x ，再根据正弦函数性质求最值. 【详解】（1）()2cos cos )12cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-=+=+所以周期为2π2π=， 列表如下：作图如下：（2）函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到()2sin(2())2sin(2)666g x x x πππ=-+=-,27[,]2[,]123636x x πππππ∈-∴-∈-因此当2,6312x xπππ-=-=-时，()g x 取最小值为2(⨯= 【点睛】本题考查五点作图法、正弦函数性质、二倍角公式以及辅助角公式，考查综合分析求解能力，属中档题.22．（1）22196x y +=； （2）:260l x ±+=.【分析】（1）根据通径长以及离心率列方程组，求解得结果；（2）设直线l 的方程，与椭圆方程联立方程组解得M点坐标，与y 轴联立解得P 点坐标，再根据向量垂直坐标表示解得直线l的斜率。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高二(上)期中(文科)数学试卷 (解析版)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设有直线y＝k（x﹣3）+1，当k变动时，所有直线都经过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（3，1）D．（2，1）2．双曲线x2﹣＝1的渐近线方程为（）A．y＝x B．y＝±2x C．y＝2x D．y＝﹣2x3．无论θ为何值，方程x2+3cosθ•y2＝1所表示的曲线不可能为（）A．双曲线B．抛物线C．椭圆D．圆4．设实数x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．C．2D．35．已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左、右焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，两曲线的一个公共点为点P，且满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝3：4：6，则的值为（）A．3B．C．7D．6．已知P为抛物线x＝上任意一点，抛物线的焦点为F，点A（3，1）是平面内一点，则|PA|+|PF|的最小值为（）A．B．3C．4D．57．已知椭圆+（a＞b＞0），点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M（2，1），则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线左支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．[2，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）9．若直线l：y＝kx+3﹣k与曲线C：y＝恰有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．（）B．（C．（0，）D．（10．已知抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0）的焦点为F，M（﹣1，y0）是抛物线上一点，过点M向抛物线C的准线引垂线，垂足为D，若△MDF为等边三角形，则p的值为（）A．B．C．1D．211．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且|FA|•|FB|＝8，则|AB|＝（）A．6B．7C．8D．912．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，离心率为，P为椭圆上的一点，∠F1PF2＝，设△F1PF2的外接圆和内切圆半径分别为R，r，则的比值为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（共4小题）.13．动圆M过点（0，﹣1）且与直线y＝1相切，则圆心M的轨迹方程为．14．若圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1＝0相外切，则实数m＝．15．椭圆C：+＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P为曲线C上异于A1、A2的一点，直线PA1、PA2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2＝．16．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m．已知行车道总宽度|AB|＝7（m），则车辆通过隧道的限制高度为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，一条渐近线方程为y＝x．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）直线l：y＝k（x﹣1）与双曲线C相交于不同两点，求实数k的取值范围．18．（12分）已知圆C1：x2+y2﹣8x﹣4y+16＝0关于直线l1：2x+y﹣5＝0对称的图形为圆C．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若过点P（2，1）的直线l与圆C交于A，B两点，当|AB|＝时，求直线l的斜率．19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的长轴长为6，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y＝x+m与椭圆C交于A，B两点，求|AB|的最大值．20．（12分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，M（3，t）是抛物线上一点，且|MF|＝4．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣，0），F2（，0），且过点（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆的上顶点为B，过点（﹣2，﹣1）作直线交椭圆于M，N两点，记直线MB，NB的斜率分别为k MB，k NB，试判断k MB+k NB是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．22．（12分）已知过原点的三条直线与抛物线E1：y2＝4x依次交于A1，B1，C1三点，同样这三条直线与抛物线E2：y2＝x依次交于A2，B2，C2三点．（Ⅰ）试判断直线A1B1与A2B2的位置关系，并证明；（Ⅱ）试判断△A1B1C1与△A2B2C2的面积比是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设有直线y＝k（x﹣3）+1，当k变动时，所有直线都经过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（3，1）D．（2，1）解：当x＝3时，不论k为何值，y＝1，即过（3，1），故选：C．2．双曲线x2﹣＝1的渐近线方程为（）A．y＝x B．y＝±2x C．y＝2x D．y＝﹣2x解：因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为，即y＝±2x．故选：B．3．无论θ为何值，方程x2+3cosθ•y2＝1所表示的曲线不可能为（）A．双曲线B．抛物线C．椭圆D．圆解：当cosθ＜0时，曲线是双曲线；cosθ＝时，曲线表示圆；当cosθ∈（0，1），cosθ时，曲线表示椭圆，cosθ＝0时，曲线表示两条直线，所以曲线不可能表示抛物线．故选：B．4．设实数x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．C．2D．3解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示：令k＝，得y＝kx，平移直线y＝kx，可得在A处k取得最大值；联立，解得点A（1，3），所以k的最大值为k＝＝3．故选：D．5．已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左、右焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，两曲线的一个公共点为点P，且满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝3：4：6，则的值为（）A．3B．C．7D．解：由题意可得：．故选：D．6．已知P为抛物线x＝上任意一点，抛物线的焦点为F，点A（3，1）是平面内一点，则|PA|+|PF|的最小值为（）A．B．3C．4D．5解：P为抛物线x＝，可知抛物线为：y2＝8x，点A（3，1）是平面内一点，设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为3﹣（﹣2）＝5．故选：D．7．已知椭圆+（a＞b＞0），点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M（2，1），则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的中点为（2，1），∴x1+x2＝4，y1+y2＝2，∵PF∥l，∴k PF＝k l＝﹣＝．∵，，∴，则，得，∴2bc＝a2，即4c2（a2﹣c2）＝a4，化为：4e4﹣4e2+1＝0，解得e2＝，又0＜e＜1，∴e＝．故选：A．8．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线左支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．[2，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）解：已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2＝＝≥4，∴e≥2，故选：B．9．若直线l：y＝kx+3﹣k与曲线C：y＝恰有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．（）B．（C．（0，）D．（解：由y＝kx+3﹣k知直线l过定点G（1，3），由曲线C：y＝，两边平方得x2+y2＝1，则曲线是以（0，0）为圆心，1为半径，且位于直线x轴上方的半圆，当直线过点A（﹣1，0）时，直线l与曲线有两个不同的交点，此时0＝﹣k+3﹣k，解得k＝，当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0，0）到直线y＝kx+3﹣k的距离d＝＝1，平方得k＝，要使直线l：y＝kx+3﹣k与曲线C：y＝恰有两个交点，则直线l夹在两条直线之间，因此＜k≤，故选：B．10．已知抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0）的焦点为F，M（﹣1，y0）是抛物线上一点，过点M向抛物线C的准线引垂线，垂足为D，若△MDF为等边三角形，则p的值为（）A．B．C．1D．2解：抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0），焦点为F（﹣，0），准线为l：x＝，M（﹣1，y0）是抛物线上一点，则y02＝2p，由题意可得D（，），由于△MFD为等边三角形，则有|MF|＝|MD|＝|FD|，即有1+＝2p，可得p＝．故选：A．11．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且|FA|•|FB|＝8，则|AB|＝（）A．6B．7C．8D．9解：抛物线y2＝4x，p＝2，抛物线的焦点坐标为F（1，0），设直线AB方程为y＝k（x﹣1），联立方程组，消去y得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝1，抛物线的准线方程为x＝﹣1，故|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴|FA||FB|＝（x1+1）（x2+1）＝x1+x2+x1x2+1＝x1+x2+2＝8，∴|AB|＝|FA|+|FB|＝x1+x2+2＝8．故选：C．12．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，离心率为，P为椭圆上的一点，∠F1PF2＝，设△F1PF2的外接圆和内切圆半径分别为R，r，则的比值为（）A．2B．3C．4D．5解：椭圆的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），|F1F2|＝2c，根据正弦定理可得2R＝＝，∴R＝，设＝t（t＞0），则r＝．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m+n＝2a，由余弦定理得，4c2＝m2+n2﹣2mn cos＝（m+n）2﹣mn＝4a2﹣mn，∴mn＝4a2﹣4c2，∴＝，又（m+n+2c）•r＝，∴，即t＝．∴的比值为2．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．13．动圆M过点（0，﹣1）且与直线y＝1相切，则圆心M的轨迹方程为x2＝﹣4y．解：设动圆圆心M（x，y），动圆M过点（0，﹣1）且与直线y＝1相切，可得：＝|1﹣y|，化简可得x2+4y＝0．则动圆圆心M的轨迹方程为：x2＝﹣4y．故答案为：x2＝﹣4y．14．若圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1＝0相外切，则实数m＝±3．解：圆x2+y2＝4 的圆心为（0，0）、半径为2；圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1＝0，即（x﹣m）2+y2＝1，表示圆心为（m，0）、半径等于1的圆．根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，即|m|＝2+1＝3，求得m＝±3，故答案为：±3．15．椭圆C：+＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P为曲线C上异于A1、A2的一点，直线PA1、PA2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2＝．解：由椭圆C：+＝1，可得：A（﹣2，0），B（2，0），设P（x，y），y≠0，∵P在椭圆上，∴+＝1，得y2＝3（1﹣）＝3•，∴，则k1•k2＝k PA•k PB＝＝﹣，故答案为：．16．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m．已知行车道总宽度|AB|＝7（m），则车辆通过隧道的限制高度为 4.05m．解：如右图，设抛物线的方程为x2＝ny（n＜0），将点（5，﹣5）代入抛物线的方程可得，25＝﹣5n，解得n＝﹣5，即抛物线的方程为x2＝﹣5y，令x＝3.5，可得3.52＝﹣5y，解得y＝﹣2.45，则通过隧道的车辆限制高度为7﹣2.45﹣0.5＝4.05（m）．故答案为：4.05m．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，一条渐近线方程为y＝x．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）直线l：y＝k（x﹣1）与双曲线C相交于不同两点，求实数k的取值范围．解：（Ⅰ）由题意可得：，解得：，故双曲线方程为：．（Ⅱ）联立直线方程与双曲线方程整理可得：（3﹣4k2）x2+8kx﹣4k2﹣12＝0，满足题意时：，求解不等式组可得：﹣1＜k＜1且，即实数k的取值范围是．18．（12分）已知圆C1：x2+y2﹣8x﹣4y+16＝0关于直线l1：2x+y﹣5＝0对称的图形为圆C．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若过点P（2，1）的直线l与圆C交于A，B两点，当|AB|＝时，求直线l的斜率．解：（Ⅰ）由圆C1：x2+y2﹣8x﹣4y+16＝0，得（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4，则圆心C1（4，2），设C（a，b），则，解得a＝0，b＝0．∴圆C的方程为x2+y2＝4；（Ⅱ）由题意，所求直线的斜率存在，设直线方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+1＝0，∵|AB|＝，∴圆C的圆心到直线的距离d＝，即，整理得，3k2﹣16k﹣9＝0，解得k＝．19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的长轴长为6，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y＝x+m与椭圆C交于A，B两点，求|AB|的最大值．解：（Ⅰ）根据题意可得，解得a＝3，c＝2，b＝，进而可得椭圆C的方程：+＝1．（Ⅱ）+＝1，设A（x1，y1），B（x2，y2），⇒14x2+18mx+9m2﹣45＝0．x1+x2＝﹣，x1x2＝，所以|AB|＝＝≤，当m＝0时，|AB|max＝．20．（12分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，M（3，t）是抛物线上一点，且|MF|＝4．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．解：（Ⅰ）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，则|MF|＝3+＝4，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x；（Ⅱ）设直线l的方程为x＝ny+t，与抛物线y2＝4x联立，可得y2﹣4ny﹣4t＝0，设A（，y1），B（，y2），则y1y2＝﹣4t，由•＝+y1y2＝﹣4t＝﹣4，解得t＝2，则直线l的方程为x＝ny+2，直线l恒过定点（2，0）．21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣，0），F2（，0），且过点（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆的上顶点为B，过点（﹣2，﹣1）作直线交椭圆于M，N两点，记直线MB，NB的斜率分别为k MB，k NB，试判断k MB+k NB是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．解：（Ⅰ）由题意可得，解得，所以椭圆C的方程为+y2＝1．（Ⅱ）B（0，1），设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为y+1＝k（x+2），与椭圆方程联立，消去y，得（1+4k2）x2+8k（2k﹣1）x+16k（k﹣1）＝0，由根与系数的关系得x1+x2＝﹣，x1x2＝，则k MB+k NB＝+＝＝2k﹣＝2k+＝2k﹣（2k﹣1）＝1．22．（12分）已知过原点的三条直线与抛物线E1：y2＝4x依次交于A1，B1，C1三点，同样这三条直线与抛物线E2：y2＝x依次交于A2，B2，C2三点．（Ⅰ）试判断直线A1B1与A2B2的位置关系，并证明；（Ⅱ）试判断△A1B1C1与△A2B2C2的面积比是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解：（Ⅰ）A1B1∥A2B2．证明：设三条直线y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，⇒A1（，），同理B1（，），⇒A2（，），同理B2（，），所以k＝k，即A1B1与A2B2平行．（Ⅱ）定值为16．理由如下：由（Ⅰ）可知A1B1∥A2B2，A1C1∥A2C2，B1C1∥B2C2，所以△A1B1C1∽△A2B2C2，＝4，所以＝16．。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二10月月考数学(文)试题 Word版
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考数学试题（文科）第I 卷 (选择题 共 60 分)一、 选择题(本大题共 12个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若直线330x y +-=与直线610x my ++=平行，则m =（ ）A ．4 B. 3 C.52D. 22.圆221:(2)(2)1C x y ++-=与圆222:(2)(5)16C x y -+-=的位置关系是（ ）A. 外离B. 相交C. 内切D. 外切3.椭圆221259x y +=与双曲线221124y x -=的关系是（ ） A.有相同的离心率 B.有相等的焦距 C.有相同的焦点D.有相同的顶点4.如果实数,x y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2z x y =-的最大值为（ ）A.2B.1C.2-D.3-5.点(2,1)P 关于直线+10x y -=的对称点坐标为（ ）A. 3(0,)2-B. (1,0)-C.(0,1)-D. 3(,0)2-6.设抛物线2:4C y x =上一点P 到y 轴的距离为4，则点P 到抛物线C 的焦点的距离是( )A ．5 B. 5.5 C. 6 D. 77.已知双曲线 22142x y -=的右焦点为,F P 为双曲线左支上一点，点A ，则APF ∆周长的最小值为( )A.4B. 4(1C.8.一个动圆与圆221:(3)1C x y ++=外切，与圆22:(3)81C x y +-=内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（ ）A. 2212516y x += B. 2212516x y +=C. 221169y x += D. 221169x y +=9.过点(1,P -作圆22:1O x y +=的两条切线,切点分别为A 和B ，则弦长||AB =（ ）B. 2D. 410.已知斜率为1的直线过椭圆22184y x +=的下焦点，交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积是（ ）A ．B. 8C. 4D.8311.若椭圆221164x y +=的弦AB 被点(1,1)M 平分，则AB 所在直线方程为（ ） A.450x y -+=B.450x y +-=C.450x y -+=D. 450x y +-=12.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C ：的右焦点为)0,(c F ,上顶点为),0(b A ,直线ca x 2=上存在一点P 满足⋅-=⋅,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A.21B.23 C.215- D.22 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上)13. 以双曲线221169x y -=的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为 . 14. 已知点(,)M x y 是平面区域1024000x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩内的动点，则22(1)(1)x y +++的最大值为 ．15.过(2,2)P 作圆22:(1)1C x y -+=的切线，则其切线方程为 .16.已知椭圆12622=+y x C ：的左、右焦点分别为,,21F F 过2F 的通径AB （过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则1ABF ∆的内切圆方程为 .三、解答题(本大题共 6个小题，共70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题 10 分）已知直线0103:1=+-y x 与 082:2=-+y x 相交于点A ，点O 为坐标原点，P 为线段OA 的中点． （1）求点P 的坐标；（2）过点P 作直线 垂直于直线1，求直线的方程.18.（本小题12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过)1,0(),2,3(),4,3(R Q P -三点． （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0=+-a y x 交于B A ,两点，且CB CA ⊥，求a 的值．19. （本小题12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是直角梯形，90,//DAB AD BC ∠=︒，,AD PAB PAB ⊥∆侧面是等边三角形，2==AB DA ，AD BC 21=，E 是线段AB 的中点． （1）求证：PE ABCD ⊥平面；（2）求四棱锥 P −ABCD 的体积．20.（本小题12分）在ABC ∆中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，cos 220C C ++=. （1）求角 C 的大小；（2）若b =，ABC ∆sin A B ，求A sin 及c 的值．21.（本小题12分） 已知椭圆 C:)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，右焦点为F ，以原点O为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线02=+-y x 相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 作直线交椭圆 C 于 M , N 两点，若||3MN =，求直线MN 的方程．22.（本小题12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为 F (−c,0)，离心率为33，点 M在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 4222b y x =+截得的线段的长为c ，334||=FM ．（1）求直线 FM 的斜率； （2）求椭圆的方程；（3）设椭圆上动点P在x轴上方，若直线FP的斜率大于√2，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．2020-2021学年度高二上学期第一次月考数学答案（文科）1-5DDBBC 6-10ABAAD 11.12BC13. 220y x = 14.13 15.2x =或3420x y -+= 16. 94)34(22=+-y x 17.（1） 因为直线 l 1:x −3y +10=0 与 l 2:2x +y −8=0 相交于点 A ， 解方程组 {x −3y +10=0,2x +y −8=0,得 {x =2,y =4, 所以 A (2,4)．因为 O (0,0)，P 为线段 OA 中点，故由中点坐标公式求得 P (1,2)． （2） 当 l ⊥l 1时，直线 l 的斜率为3-，因为直线 l 过 P (1,2)， 所以直线 l 的方程：)1(32--=-x y ，故 l:3x +y −5=0．18. （1） 因为圆 C 的圆心在线段 PQ 的直平分线上，所以可设圆 C 的圆心为 (t ，1)， 则有 (t −3)2+(1−4)2=t 2+(1−1)2，解得 t =3．则圆 C 的半径为 √32+(1−1)2=3．所以圆 C 的方程为 (x −3)2+(y −1)2=9．（2）ACB ∆为等腰直角三角形，点C 到直线AB 距离3sin 45d =︒=解得15a =-或. 19. （1） 因为 AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ，所以 AD ⊥PE ，又因为 △PAB 是等边三角形，E 是线段 AB 的中点，所以 PE ⊥AB ，因为 AD ∩AB =A ，所以 PE ⊥平面ABCD . （2） 由（Ⅰ）知：PE ⊥平面ABCD ，所以 PE 是四棱锥 P −ABCD 的高，由 DA =AB =2，BC =12AD ，可得 BC =1，因为 △PAB 是等边三角形，可求得 PE =√3， 所以 V P−ABCD =13S ABCD ⋅PE =13×12(1+2)×2×√3=√3．20. （1） 因为 cos2C +2√2cosC +2=0，所以 2cos 2C +2√2cosC +1=0，即(√2cosC+1)2=0，所以cosC=−√22，因为0<∠C<π，所以∠C=3π4．（2）因为c2=a2+b2−2abcosC=3a2+2a2=5a2，所以c=√5a，所以sinC=√5sinA，所以sinA=√5=√1010，因为S△ABC=12absinC=√22sinAsinB，所以12absinC=√22sinAsinB，所以asinA ⋅bsinB⋅sinC=(csinC)2sinC=√2，所以c=√√2⋅sinC=1．21.（1）由题意知e=ca =√22，所以e2=c2a2=a2−b2a2=12，即a2=2b2，又以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆为x2+y2=b2，且与直线x−y+2=0相切，所以b=2()2=√2，a2=2b2=4，故椭圆C的标准方程为x24+y22=1．（2）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线OQ:x=my，则直线MN:x=my+√2，由{x=my+√2x24+y22=1得(m2+2)y2+2√2my−2=0，y1+y2=−2√2mm2+2，y1y2=−2m2+2．所以∣MN∣=√m2+1∣y2−y2∣=√m2+1√(y1+y2)2−4y1y2=√m2+1√2√2mm2+2)2m2+2)=4(m2+1)m2+2=3，解得m=:0MN x±=.22.（1） 设 FM:y =k (x +c )，O 到直线 FM 的距离为√1+k 2，因为直线 FM 被圆 x 2+y 2=b 24 截得的线段的长为 c ，所以 2√b 24−(2)2=c ，又 e =ca =√33，a 2=b 2+c 2，a 2=3c 2，b 2=2c 2，解得 k =√33． （2） 设 M (x 0,y 0)，x 0>0，y 0>0，则 x 023c 2+y 022c 2=1，又因为 y 0=√33(x 0+c )，且 FM =√(x 0+c )2+y 02=4√33，解得 c =1，c =3（舍）．所以椭圆的方程为x 23+y 22=1．（3） 设点 P 的坐标为 (x 0,y 0)，由题意，y 0x 0+1>√2，平方得 y 02(x0+1)2>2，又 P 在椭圆上，所以x 023+y 022=1，消去 y 0，整理得 23x 02+x 0<0 且 x 0≠−1，所以 −32<x 0<−1 或 −1<x 0<0，又 y 0>0， 所以 x 0>−1， 所以 −1<x 0<0．设直线 OP 的斜率为 m ，得 m =y 0x 0， 所以 m 2=y 02x 02，消去 y 0 整理得 m 2=2x 02−23，由 −1<x 0<0， 得 m 2>43，而 x 0<0，y 0>0， 即 m <0， 所以 m ∈(−∞,−2√33)．综上，直线 OP 的斜率的取值范围是 (−∞,−2√33)．。
黑龙江省2020-2021学年高二数学上学期10月月考试题 文(含解析)
黑龙江省高二数学上学期10月月考试题 文（含解析）第Ⅰ卷一、选择题1.下列语句中不是命题的有（ ）①230x -=；②与一条直线相交的两直线平行吗？③315+=；④536x ->． A. ①③④ B. ①②③C. ①②④D. ②③④【答案】C 【解析】 【分析】我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
②是疑问句，①④无法判断真假。
【详解】由题，②是疑问句，故不是命题； ①④是陈述句，但无法判断真假，故不是命题；③是陈述句，且可以得到315+≠，该语句不正确，即可以判断真假，故是命题； 故选C【点睛】本题考查对命题定义的理解，先判定是陈述句，再判定是否可以判断真假。
2.命题“若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B ”的否命题是( ) A. 若A ∪B ≠A ，则A ∩B ≠B B. 若A ∩B ＝B ，则A ∪B ＝A C. 若A ∩B ≠B ，则A ∪B ≠A D. 若A ∪B ≠A ，则A ∩B ＝B 【答案】A 【解析】根据命题“若p ，则q ”的否命题为“若非p ，则非q ”可得“若A B A ⋃=，则A B B ⋂=”的否命题为“若A B A ⋃≠，则A B B ⋂≠”，故选A.3.双曲线2239x y -=的焦距为（ ）B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把双曲线方程化为标准方程，得到22193x y -=，根据a 、b 、c 的关系求得焦距【详解】由题意，双曲线的标准方程为22193x y -=，则29a =，23b =，22212c a b ∴=+=∴c =，∴焦距为2c =故选D【点睛】本题考查求双曲线的焦距，解题时需注意要在双曲线标准方程下找到a 、b4.设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么（ ） A. 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B. 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C. 丙是甲的充要条件D. 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，要找到丙是甲的什么条件，就观察丙能不能推出甲，甲能不能推出丙即可，利用中间与乙的关系来分析【详解】甲是乙的必要条件，所以乙是甲的充分条件，即乙⇒甲； 丙是乙的充分但不必要条件，则丙⇒乙，乙⇒丙，显然丙⇒甲，甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件，故选A【点睛】本题考查充分条件和必要条件的知识，需掌握充分及必要条件与命题之间的联系。
高二数学上学期第一学段测试文试题(共9页)
哈三中2021—2021学年度上学期(xuéqī)高二学年第一学段数学文科试卷第I卷〔选择题, 一共72分〕一、选择题(本大题一一共18小题，每一小题4分，一共72分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．)1．命题“假设〞的否命题是〔〕假设假设假设假设2．以下可以估计总体稳定性的统计量是〔〕(D样本最大值(C样本方差))(B样本中位数)(A样本平均数)3．“〞是“〞的〔〕(B必要而不充分条件)(A充分而不必要条件)(C充分必要条件)(D既不充分也不必要条件)4．点，是的中点，那么C点的坐标为〔〕(C)(D(B))(A)5．840和1 764的最大公约数是〔〕(C168 )(D252(B12 )(A84 ))6．从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间是后，再从池中捕得100条鱼，计算其中有记号的鱼为10条，试估计鱼池中一共有鱼的条数为〔〕(D1300(C 130 )(B1200 )(A 1000 ))7．如图，将一个长与宽不等的长方形程度放置，长方形对角线将其分成四个区域，在四个区域内涂上红、蓝、黄、白四种(sì zhǒnɡ)颜色，并在中间装个指针，使其可以自由转动，对于指针停留的可能性, 以下说法正确的选项是〔〕(A一样大)(B蓝白区域大)(C红黄区域大)(D由指针转动圈数确定)8. 在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成假设干组，［a,b］是其中一组，抽查出的个数在该组上的频率为m，该组上的直方图的高为h，那么|a-b|等于〔〕(B)(D与无关(C)(A))9．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个，调查其销售收入和售后效劳等情况，记这项调查为②.那么完成①②这两项调查宜采取的抽样方法依次是〔〕(B分层抽样法，系统抽样法(A分层抽样法，简单随机抽样法))(C系统抽样法，分层抽样法)(D简单随机抽样法，分层抽样)法10．一个停车场有3个并排的车位，分别停放着“红旗〞，“捷达〞，“桑塔纳〞轿车各一辆，那么“捷达〞〞车停在“桑塔纳〞车的右边的概率和“红旗〞车停在最左边的概率分别是〔〕a = 1b = 2c = 3a =b b = c)(A ， )(B 13，12 )(C 13， )(D 12，2311．点，那么(n à me)的形状是〔 〕)(A 锐角三角形 )(B 等边三角形 )(C 等腰直角三角形 )(D 钝角三角形12．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的间隔 大于1的概率为〔 〕)(A )(B )(C )(D13．给出以下一个算法的程序框图〔如下图〕，该程序框图的功能是〔 〕)(A 求输出a,b,c 三数的最大数 )(B 求输出a,b,c 三数的最小数 )(C 将a,b,c 按从小到大排列 )(D 将a,b,c 按从大到小排列14．右边程序运行的结果是〔 〕)(A 1,2,3 )(B 2,3,1 )(C 2,3,2 )(D 3,2,115．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为〔 〕 )(A 13)(B 12)(C 23)(D16．右图给出的是计算(j ì su àn)的值的一个程 序框图，其中判断框内应填入的条件是〔 〕)(A i>20 )(B i<20 )(C i>40 )(D i<4017．A ，B 两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，假设A ，B 两人的平均成绩分别是，观察茎叶图，以下结论正确的选项是〔 〕)(A ，B 比A 成绩稳定 )(B，B 比A 成绩稳定)(C B A x x <，A 比B 成绩稳定)(D B A x x >，A 比B 成绩稳定18．下面有三个游戏规那么，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏是〔 〕游戏1游戏2游戏33个黑球和1个白球一个黑球和一个白球2个黑球和2个白球取1个球，再取1个取1个球取1个球，再取1个球(D游戏3(B游戏1 )(C游戏2 ) )(A游戏(yóuxì)1和游戏3 )哈三中2021—2021学年度上学期高二学年第一学段数学文科试卷第二卷〔非选择题, 一共78分〕二、填空题〔本大题一一共8小题，每一小题4分，一共32分．〕INPUT t IF t<= 4 THEN ELESc=0.2+0.1(t －3)19．〔用填空〕20．某人欲从某车站乘车出差，每一小时发一班车，求此人等车时间是不多于20分钟的概率21．程序框图〔即算法(su àn f ǎ)流程图〕如图下〔左〕所示，其输出结果是_______.22．某射手射击一次，命中环数及其概率如下表：命中环数 10环 9环 8环 7环 7环以下概率那么该射手射击一次，至少命中7环的概率为23．假设输入时，那么以下程序执行后输出的结果是开场输出完毕是 否24. 为了理解某地高一学生的体能状况，某校抽取局部学生进展一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图〔如图〕，图中从左到右各小长方形的面积(miàn jī)之比为，通过该统计图，可以估计该地学生跳绳次数的众数是______。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学上高二10月阶段性测试数学(文)试题(解析版)
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学上学期高二学年10月阶段性测试数学（文）试题一、单选题1．过直线1l ：230x y +-=与2l ：320x y -+=的交点，并与1l 垂直的直线的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．210x y +-=D ．210x y ++=【答案】B【解析】由230320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩， 求得交点，再根据所求直线与1l 垂直，得到斜率，写出直线方程. 【详解】由230320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩， 所以交点为()1,1， 又所求直线与1l 垂直， 所以1112l k k =-=， 所以所求直线方程为：()1112y x -=-， 即210x y -+=， 故选：B 【点睛】本题主要考查直线的交点与两直线位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．以椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的短轴的一个端点和两焦点为项点的三角形为正三角形，且椭圆C 上的点到焦点的最短距离为1，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．22143x y +=B ．22142x y +=C ．2214x y +=D ．22184x y +=【答案】A【解析】由题意，在正三角形中得到基本量,,a b c 间的关系，结合焦点到椭圆上的点的最短距离为a c -，故可求出,a b 的值，从而可椭圆的方程 【详解】解：因为椭圆短轴的一个端点和两焦点为项点的三角形为正三角形，所以1,22b ac a ==， 因为椭圆C 上的点到焦点的最短距离为1， 所以1a c -=，所以2,1,a c b ===所以椭圆的方程为22143x y +=，故选：A 【点睛】此题考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆的几何性质的应用，属于基础题3．已知实数x ，y 满足6000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-+的最大值为（ ）A ．9B ．0C ．6D ．5【答案】A【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【详解】解： 解：由约束条件6000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩作出可行域如图，联立6=0=0x y x y -+⎧⎨+⎩，解得A （-3，3），化目标函数2z x y =-+，得y ＝2x ＋z ，由图可知，当直线y ＝2x ＋z 过点A （-3，3）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为9． 故选：A ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题． 4．过点(2，-3)，斜率为12-的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．2 B ．-2C ．4D ．-4【答案】D【解析】根据点斜式求出直线方程，令0y =即可求解. 【详解】过点(2，-3)，斜率为12-的直线方程为：()1322y x +=--，令0y =，则4x =-， 所以直线在x 轴上的截距为-4. 故选：D 【点睛】本题考查了直线的点斜式方程、直线的截距，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 530x y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ） A 33 B ．3或33C ．33-3 D ．33-33【答案】C【解析】【详解】圆的方程即为（2213x y -+=） ，圆心10（，）到直线的距离等于半径33323331m m m +⇒⇒+⇒+＝＝＝ 或者33m ⇒-＝故选C ．6．已知P 为椭圆2213620x y +=上的一个点，M 、N 分别为圆()2241x y ++=和圆()2241x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ）A ．12B ．11C ．10D ．4【答案】C【解析】作出图形，可知两圆圆心恰为椭圆的两个焦点，利用圆的几何性质结合椭圆的定义可求得PM PN +的最小值. 【详解】在椭圆2213620x y +=中，6a =，25b =，4c =， 该椭圆的左焦点为()14,0F -，右焦点为()24,0F，如下图所示：由椭圆的定义可得12212PF PF a +==，由圆的几何性质可得()()121211210PM PN PF PF PF PF +≥-+-=+-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用椭圆的定义以及圆的几何性质求椭圆上点到两圆上的点的距离之和的最小值，考查数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中等题.7．平面内到点(1，2)和点(4，6)距离均为2的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】D【解析】由题意可知，以点(1，2)和点(4，6)分别为圆心，2为半径作圆，两圆的公切线的条数即为所求 【详解】解：分别以点(1，2)和点(4，6)分别为圆心，2为半径作圆， 因为点(1，2)和点(4，6)522=>+， 所以两圆的位置关系是外离，所以两圆的4条公切线，即可平面内到点(1，2)和点(4，6)距离均为2的直线有4条， 故选：D 【点睛】此题考查点与直线的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查数学转化思想，属于基础题8．已知点(3,)P a ，若圆22:4O x y +=上存在点A ，使得线段PA 的中点也在圆O 上，则a 的取值范围是（ ） A．(- B．[-C．(,)-∞-⋃+∞D．(,)-∞-⋃+∞【答案】B【解析】根据已知用相关点法，求出PA 中点M 的轨迹方程，又有M 点在圆上，可得M 点轨迹与圆有公共点，求出a 的范围.【详解】设()00,A x y ，PA 的中点(,)M x y ，由已知有2200004,3,2,2x y x x y a y ⎧⎪+=⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩解得223122a x y ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭， 即PA 的中点的轨迹为圆223122a x y ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，又线段PA 的中点也在圆O 上，∴两圆有公共点，∴13≤≤，解得a -≤≤.故选:B. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求法，以及圆与圆的位置关系，属于中档题.9．椭圆C ：2214x y +=，过(0,2)A 作直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若AOM 与AON 的面积之比5：3，則直线l 的斜率为（ ） A ．1 B ．12C ．±1D ．2±【答案】C【解析】先由题意，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:2l y kx =+，联立直线方程，根据韦达定理，以及题中条件，得到12212216141214k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，1253x x =，即可求出结果.【详解】由题意，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:2l y kx =+，由22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，整理得()221416120k x kx +++=， 则12212216141214k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，()2225648140k k ∆=-+>，解得234k >；根据椭圆的对称性，可知，M ，N 在y 轴的同一侧，即12,x x 同号；又AOM 与AON 的面积之比5：3，即1122152132AOM AON AO x S x S x AO x ===，则1253x x =， 代入1221614k x x k +=-+可得22816314k x k =-+，即22614k x k =-+，所以121014kx k =-+， 又1221214x x k =+，所以22261012141414k k k k k⋅=+++，解得21k =，即1k =±（满足234k >）. 故选：C. 【点睛】本题主要考查椭圆中的三角形面积比求直线斜率，熟记椭圆的简单性质即可，属于常考题型.10．已知点(,2)P t t -，t R ∈，点A 是圆22(2)(2)1x y -++=上的动点，点B 是圆22(5)(2)4x y -++=上的动点，则||||PB PA +的最小值为（ ）A ．5 BC 3D 3-【答案】D【解析】如图，先得到点P 为直线2y x =-上一点，再将||||PB PA +的最小值转化为12PC PC +的最小值，找到点1C 关于直线2y x =-的对称点为O ，利用对称性知12PC PC +的最小值为2OC ，代入坐标运算即可.【详解】解：圆22(2)(2)1x y -++=的圆心为()12,2C -，圆22(5)(2)4x y -++=的圆心为()25,2C -，因为(,2)P t t -，则点P 为直线2y x =-上一点，其与坐标轴交于点()()2,0,0,2E F -，如图，连接1122,,,AC PC BC PC ，122121|||3|PC AC PC BC PC PC PB PA -+-=+≥-+，要求||||PB PA +的最小值，即求12PC PC +的最小值，明显四边形1OFC E 为正方形，则点1C 关于直线2y x =-的对称点为()0,0O ， 连接2,OP OC则1222PC PC PO PC OC +=+≥，又2OC ==则||||PB PA +3. 故选：D.【点睛】本题考查直线上一点到直线同侧两点距离和最小的问题，可根据几何特点快速求出点关于线的对称点，考查学生的转化能力和计算能力，是一道中档题.二、填空题11．直线3510x y +-=交椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>于M ，N 两点，设MN 中点为P ，直线OP 的斜率等于35，O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率________. 【答案】45【解析】联立222235101x y x y ab +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用韦达定理求得MN 中点坐标，再根据直线OP 的斜率等于35求解. 【详解】由222235101x y x y a b +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22222222596250b a x a x a a b +++-=， 由韦达定理得：2212122222610,259259a b x x y y b a b a+=-+=-++， 所以MN 中点为22222235,259259a b P b a b a ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，因为直线OP 的斜率等于35， 所以225335OPb k a ==，解得22925b a =，所以45c e a ===， 故答案为：45【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．已知分别过点(1,0)A -和点(1,0)B 的两条直线相交于点P ，若直线PA 与PB 的斜率之积为-1，则动点P 的轨迹方程是________. 【答案】221(0)x y y +=≠【解析】设点(),P x y ，轨迹直线PA 与PB 的斜率之积为-1，即1PA PB k k ⋅=-化简求解. 【详解】 设点(),P x y ，因为直线PA 与PB 的斜率之积为-1， 所以1PA PB k k ⋅=-，即111y y x x ⋅=--+， 整理得：221(0)x y y +=≠，所以动点P 的轨迹方程是221(0)x y y +=≠， 故答案为：221(0)x y y +=≠ 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13．若直线l 过(0,5)A ，且被圆C ：22412240x y x y ++-+=截得的弦长为则直线l 方程为________.【答案】34200x y -+=或0x =【解析】将圆化为()()222616x y ++-=，求出圆心()2,6C -，半径4r =，讨论直线的斜率存在或不存在，分别利用圆心到直线的距离2d =，利用点到直线的距离即可求解.【详解】圆C ：22412240x y x y ++-+=，即()()22:2616C x y ++-=， 即圆心()2,6C -，半径4r =， 当直线的斜率不存在时，直线0x =， 此时弦心距2d =，弦长为=当所求直线的斜率存在时，设直线的方程为5y kx =+，即50kx y -+=， 由弦长公式可得弦心距2d ==，2=，解得34k =，故此直线方程为34200x y -+=，综上可得，满足条件的直线方程为34200x y -+=或0x =. 故答案为：34200x y -+=或0x =. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，根据弦长求直线方程，考查了分类讨论的思想，属于基础题.14．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，若椭圆C 上顶点B ，且BF BA ⊥，则椭圆C 的离心率e 的值是________.【解析】先写出A ，B ，F 坐标，再结合BF BA ⊥利用向量数量积为零，得2b ac =，再化为齐次式210e e +-=解方程即可求解. 【详解】据题意得：(),0A a ，()0,B b ，(),0F c -，()(),,,BA BF c b a b =--=-∵ BFBA ⊥，∴ 0BA BF ⋅=，即()(),,0a b c b -⋅--=，∴ 2b ac =，又∵ 222c a b =-，∴ 220c a ac -+=，同除2a 得210c c a a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即210e e +-=解方程得12e =(舍)或12e =.. 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查两个向量垂直的坐标表示，考查椭圆离心率的求法，考查了化归与转化的数学思想方法，属于基础题.通过椭圆的方程，可求得顶点、焦点的坐标，这些是椭圆的基本几何性质.两个向量垂直，可以转化为它们坐标的数量积为零.三、解答题15．已知点(3,2)A ，直线l ：210x y ++=. （1）求直线l 关于点A 对称的直线方程； （2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的重心坐标. 【答案】（1）2170x y +-=；（2）11,63⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）设(),P x y 为所求直线上一点，其关于点(3,2)A 对称的点为()00,P x y '在直线l 上，根据中点坐标公式，得到0064x x y y =-⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程，即可得出结果；（2）记直线l 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，先分别求出其坐标，再得到AB 中点坐标，根据重心的性质，即可得出结果. 【详解】（1）设(),P x y 为所求直线上一点，其关于点(3,2)A 对称的点为()00,P x y '在直线l 上，则003222x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以0064x x y y =-⎧⎨=-⎩，又00210x y ++=，所以()()26410x y -+-+=，整理得2170x y+-=，即所求直线方程为：2170x y +-=；（2）记直线l 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，由210x y ++=，令0x =得1y =-，即()0,1B -；令0y =得12x =-，即1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又原点为()0,0O ，记AB 中点为C ，则11,42C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，连接OC ，则三角形的重心点G 在线段OC 上， 且满足23OG OC =，设(),G a b ，则21342132a b ⎧=⎪-⎪⎪⎨⎪=⎪-⎪⎩，所以1613a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即11,63G ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查求直线关于点对称的直线方程，考查求三角形重心的坐标，属于常考题型.16．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，离心率为12，两焦点分别为1F 、2F ，过左焦点1F 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，2MF N 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 的斜率为12，求2MF N 的面积. 【答案】（1）22143x y +=；（235. 【解析】（1）利用椭圆的定义可得2a =，再由离心率可得1c =，进而可得2223b a c =-=，从而可求出椭圆的标准方程.（2）由（1）写出直线l 的方程：()112y x =+，将直线与椭圆方程联立消x ，由212122MF NSc y y =⋅⋅-，结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）由题意可得12c e a ==，由椭圆的定义可得 2248MN NF MF a ++==，解得2a =，1c =，所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）若直线l 的斜率为12，则直线l 的方程为()112y x =+， 设()()1122,,,M x y N x y联立方程()22143112x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消x ，整理可得2161290y y --=，则1234y y +=，12916y y =-， 所以2121224MF NSc y y =⋅⋅-==【点睛】本题考查了由椭圆的离心率求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、焦点三角形的面积问题，考查了基本运算求解能力，属于中档题.17．圆C ：22(3)1x y +-=，点(,0)P t 为x 轴上一动点，过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为M ，N . （1）若1t =，求切线方程；（2）若两条切线PM ，PN 与直线1y =分别交于A ，B 两点，求ABC 面积的最小值.【答案】（1）4340x y +-=或1x =；（2）2. 【解析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解； （2）利用（1）的方法，当切线斜率都存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离公式可得到k 的二次方程，结合根与系数关系，用含k 的式子去表示|AB |，可得最值，当切线斜率有一个不存在是，也可求出|AB |，综合可得|AB |的最小值，进而可得ABC 面积的最小值. 【详解】解：（1）当切线斜率存在时，可设切线方程为y ＝k （x -1），即kx -y -k ＝0， 则圆心C到切线的距离1d ==，解得43k =-，当切线斜率不存在时，直线1x =也符合题意 故所求切线方程为()413y x =--或1x =， 即4340x y +-=或1x =；（2）当两条切线斜率都存在，即1t ≠±时，设切线方程为(),0y k x t k =-≠，即kx -y -kt ＝0，PM ，PN 的斜率为12,k k ， 故圆心C到切线的距离1d ==，得()221680t k kt -++=，∴12122268,11t k k k k t t +=-=--， 在切线方程中令y ＝1可得1x t k=+，故12121221141AB x x t t k k t ⎛⎫⎛⎫=-=+-+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，∴min2AB =，此时t ＝0， 当两条切线斜率有一条不存在，即1t =±时，不妨拿1t =来计算，由（1）得切线方程为即4340x y +-=或1x =，令y ＝1可得()1,1,1,14A B ⎛⎫⎪⎝⎭， 此时34AB =， 综合得min22AB =， 故ABC 的面积最小值为1222222⨯⨯=．【点睛】此题考查了圆的切线及最值问题，综合性较强，注意要对斜率的存在性进行分类讨论，有一定的难度．18．已知椭圆C 的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，A ，B 是椭圆C 上的不同两点，且以AB 为直径的圆经过原点O . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆恒与直线AB 相切，若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由.【答案】（1）221106x y +=；（2）存在，22154x y +=. 【解析】（1）直接根据椭圆定义可得2a ，进而求得22,a b ，则椭圆方程可求； （2）假设存在这样的圆，设()()1122,,,A x y B x y ，:AB l y kx b =+，将直线和椭圆方程联立，得到韦达定理，代入12120x x y y +=，得到,k b 关系，将,k b 关系代入原点到直线:AB l y kx b =+的距离，可得距离为常数，则可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由椭圆定义得2a ==则210a =，2221046b a c ∴=-=-=， 所以椭圆方程为221106x y +=；（2）假设存在圆心在原点的圆恒与直线AB 相切， 设()()1122,,,A x y B x y ， 且120x x ≠，由以AB 为直径的圆经过原点O 得1OA OB k k ⋅=-，即12120x x y y +=， 设:ABl y kx b =+，与221106x y +=联立，消去y 得()22235105300k x bkx b +++-=，则212122210530,3535kb b x x x x k k-+=-=++， ()()12121212x x y y x x kx b kx b ∴+=+++()()2212121k x x kb x x b =++++()2222253010103535b kb k kb b k k -⎛⎫=++-+= ⎪++⎝⎭整理得()224151b k =+，又原点到直线:AB l y kx b =+的距离h ===,故存在圆心在原点的圆恒与直线AB 相切，且圆的方程为22154x y +=. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查学生计算能力与转化能力，是一道难度较大的题目.。