数学建模实验答案 初等模型

实验02 初等模型（4学时）
（第2章初等模型）
1.（编程）光盘的数据容量p23~27
表1 3种光盘的基本数据
CAV光盘：恒定角速度的光盘。

CLV光盘：恒定线速度的光盘。

R2=58 mm, R1=22.5 mm，d, ρ见表1。

CLV光盘的信息总长度(mm) L
CLV
22
21
()
R R
d
π-
≈
CLV光盘的信息容量(MB) C
CLV
= ρL CLV / (10^6)
CLV光盘的影像时间(min) T
CLV = C
CLV
/ (0.62×60)
CAV光盘的信息总长度(mm) L
CAV
2
2
2
R
d π≈
CAV光盘的信息容量(MB) C
CAV
= ρL CAV / (10^6)
CAV光盘的影像时间(min ) T
CAV = C
CAV
/ (0.62×60)
1.1（验证、编程）模型求解
要求：
①（验证）分别计算出LCLV, CCLV和TCLV三个3行1列的列向量，仍后输出结果，并与P26的表2（教材）比较。

程序如下：
②（编程）对于LCAV, CCAV和TCAV，编写类似①的程序，并运行，结果与P26的表3（教材）比较。

★要求①的程序的运行结果：
★要求②的程序及其运行结果：
1.2（编程）结果分析
信道长度LCLV 的精确计算：21
2R CLV
R L d
π=⎰
模型给出的是近似值：2221()
CLV R R L L d
π-=
≈
相对误差为：CLV L L
L
δ-=
要求：
①取R2=58 mm, R1=22.5 mm，d, ρ见表1（题1）。

分别计算出LCLV, L和delta三个3行1列的列向量，仍后将它组合起来输出一个3行3列的结果。

②结果与P26的表2和P27（教材）的结果比较。

[提示]
定积分计算用quad、quadl或trapz函数，注意要分别取d的元素来计算。

要用数组d参与计算，可用quadv（用help查看其用法）。

★编写的程序和运行结果：
程序：
运行结果：
2.（验证，编程）划艇比赛的成绩p29~31
模型：t=αnβ
其中，t为比赛成绩（时间），n为桨手人数，α和β为参数。

为适合数据拟合，将模型改为：log t=logα + βlog n
(1) 参数α和β估计程序如下：
(2) 实际值与计算值比较（数据比较和和拟合图形）
参考数据结果：
第1列为桨手人数，第2列为实际比赛平均成绩，第3列为计算比赛平均成绩。

参考图形结果：
要求：
①运行问题(1)中的程序。

②编程解决问题(2)：实际值与计算值比较（数据比较和和拟合图形）。

★（验证）用数据拟合求参数α和β。

给出α和β值和模型：
模型为：
★（编程）实际值与计算值比较（数据比较和和拟合图形），程序和运行结果：程序：
数值结果：
图形结果：
3.（编程，验证）污水均流池的设计p34~37
表2 (p35) 社区一天以小时为单位间隔的生活污水流量（单位：m3/h ）
3.1（编程）均流池的恒定流出量和最大容量模型（离散）
每小时污水流入均流池的流量为f (t ), t =0, 1, 2, …, 23。

一天的平均流量 23
1()24t g f t ==∑
均流池中污水的空量 c (t ), t =0, 1, 2, …, 23。

c (t +1)=c (t )+f (t )-g , t =0, 1, 2, …, 22 （模型）
要求：
①求g，画f(t)和g的图形（与P35图1比较）。

②求c(t), t=0, 1, 2, …, 23, c(0)=0，并求其中的最小值M（与P36表3比较）。

求c(t), t=0, 1, 2, …, 23, c(0)=-M（与P36表4比较）。

画c(t)分别当c(0)和c(-M)时的图形（与P37图2比较）。

★要求①的程序和运行结果：
程序：
命令窗口的结果：
图形窗口的结果：
★要求②的程序和运行结果：程序：
命令窗口的结果：
图形窗口的结果：
3.2（验证）均流池的恒定流出量和最大容量模型（连续）p56习题3 每小时污水流入均流池的流量为f (t ), t =0, 1, 2, …, 23。

用3次样条插值得到连续函数f (t ), 0≤t ≤23。

（仍用f (t )表示）
一天的平均流量 230
1()230g f t dt =-⎰ 均流池中污水的容量 c (t ) , 0≤t ≤23。

c (t +Δt )-c (t )=(f (t )-g ) Δt
0(),(0)dc f t g c c dt
=-= （模型） (1) 求g ，画f (t )和g 的图形（与P35图1比较）。

程序：
(2) 求c(t), 0≤t≤23, c(0)=0时的最小值M。

画c(t)初值条件分别为c(0)=0和c(0)=-M时的图形（与P37图2比较）。

程序：
要求
①运行(1)中的程序，结果与P35图1比较。

②运行(2)中的程序，结果与P37图2比较。

③阅读并理解程序。

★要求①的运行结果：
命令窗口的结果：
图形窗口的结果：
★要求②的运行结果：
命令窗口的结果：
图形窗口的结果：
4.（编程）天气预报的评价p49~54
31天4种(A~D)预报方法的有雨预报(%)及实际观测结果
2 40 30 50 80 1;
3 60 30 80 70 1;
4 60 30 90 70 1;
5 60 30 0 20 0;
6 30 30 10 50 1;
7 80 30 10 40 0;
8 70 30 20 30 0;
9 80 30 40 30 0;
10 60 30 60 40 0;
11 80 30 20 80 1;
12 40 30 30 40 0;
13 90 30 90 40 1;
14 50 30 60 20 0;
15 10 30 20 10 0;
16 60 30 50 80 1;
17 20 30 10 30 0;
4.1（编程求解）计数模型p50~52
若预报有雨概率>50%，则认为明天有雨，<50%则认为无雨，且依照明天是否有雨的实际观测，规定预报是否正确，从而统计预报的正确率。

求出4种预报的结果计数矩阵：
预报的正确率：对角线数字之和/全部数之和。

要求： ① 编写程序求出4种预报的结果计数（天数），并分别计算出它们的预报正确率（取2位小数）。

② 结果与p51中的结果比较。

★ 程序和运行结果：
程序：
预报和实测都有雨的天数 预报有雨而实测无雨的
运行结果：
4.2（编程求解）记分模型p52~53
将预报有雨概率的大小与实测结果（有雨或无雨）比较，给予记分。

注意：要将M中的预报概率值转换为小数。

模型1
记第k天某种预报有雨概率为p k，第k天实测有雨为v k=1，无雨为v k=0，令第k天的某种预报得分为
将s k对k求和得到某预报的分数S1（越大越好）。

模型2
s k = | p k - v k |
将s k对k求和得到某预报的分数S2（越小越好）。

模型3
s k = ( p k - v k )2
将s k对k求和得到某预报的分数S3（越小越好）。

要求：
①编程求4种预报在模型1、2、3下的相应分数S1、S2、S3。

②运行结果与p52的结果比较。

★程序和运行结果：
4.3（部分编程求解）图形模型——模型1p53
以预报有雨概率p（值为小数）为横轴，实测值v（值为0或1）为纵轴，奖表tab的数据在图上用符号*标出，其中*上面的数字是坐标在*的天数。

预报A的程序：
运行结果示例：
要求：
①自己完成上面未完整的程序并运行。

②修改预报A的程序，分别用于B、C、D，并运行。

③运行结果与p53中的结果比较。

★预报A的完整程序：
★预报A、B、C、D的程序运行结果（图形）：
4.4（验证）图形模型——模型2p53~54
对每个不同的预报有雨概率p，统计实测有雨的天数占预报这个p的全部天数的比例q（p和q越接近越好）。

以p为横轴，q为纵轴，将表tab数据进行统计后在图上有*标出，并在图中画斜线q=p。

预报A的程序：
运行结果示例：
要求：
①运行上面程序，仍后修改程序，分别用于B、C、D，并运行。

②运行结果与p54中的结果比较。

③阅读并理解程序。

★预报A、B、C、D的程序运行结果（图形）：
附1：实验提示
第2题
数据拟合函数polyfit
附2：第2章初等模型2.1 光盘的数据容量
2.3 划艇比赛的成绩
2.5 污水均流池的设计
2.9 天气预报的评价。