电动汽车非线性悬架系统混沌特性
电动汽车非线性悬架系统混沌特性
庞 加莱截 面 ， 并 计算 系统 的李 雅 普诺 夫 指 数 ， 发 现 整
车系 统混 沌 运 动 的存 在 ， 但该 模 型 的非 线性 描 述 只
分 岔 图 、庞 加 莱 （ Ｐ ｏ ｉ ｎ ｃ ａ ｒ ６ ）截 面 和 最 大 李 雅 普 诺 夫 针 对传统 汽 车 ， 且 未考 虑横 向稳 定杆 等 对 悬架 影 响 ． （ Ｌ ｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ ） 指数． 分析 结果表 明该 系统 存在 混沌运 动 ， 并 发
ａ ｎ ｄ ｈｅ ｔ ｌ ａ ｒ ｇ ｅ ｓ ｔ Ｌｙ ａ ｐ ｕ ｎ ｏ ｖ ｅ ｘ ｐ ｏ ｎ ｅ ｎ ｔ ｗｅ ｒ ｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｄ ．Ｔｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ
ｉ ｎ ｄ ｉ ｃ ａ ｔ ｅ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｃ ｈ ａ ｏ ｓ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｓ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ． Ｔｈ ｅ ｅ ｖ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ｐ ｅ ｒ ｉ ｏ ｄ ｉ ｃ ，ｑ ｕ ａ ｓ ｉ — ｐ ｅ ｒ ｉ ｏ ｄ ｉ ｃ ｉ ｎ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ｃ ｈ ａ ｏ ｔ ｉ ｃ ｍｏ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａ ｒ ｅ
第 ４ ３卷 第 ３期 ２ ０ １ ５ 年 ３月
同 济 大 学 学 报（ 自 然 科 学 版）
Ｊ Ｏ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ Ｏ Ｆ Ｔ Ｏ Ｎ Ｇ Ｊ Ｉ Ｕ ＮＩ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ （ Ｎ Ａ 矾 琅Ａ １ ， Ｓ ｃ ｌ Ｅ Ｎ Ｃ Ｅ ）
Ｖｏ １ ． ４ ３ Ｎｏ ． ３
目前 对 电动汽 车非线 性动 力 学研 究 主要 集 中在 转 向
Ｃ ｈ ａ ｏ ｓ ｉ ｎ Ｎｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ Ｓ ｕ ｓ ｐ ｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ Ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｏ ｆ
汽车悬架系统混沌运动控制的几种方法
反馈控制 、 周期 轨道镇定 控制 、 追踪 控制 、 Ｇ Ｏ Ｙ控制 等五种 方法分别 对该 混沌状 态进 行控 制 ， 控制后 从 得到的时间历程 图 、 面图和 Ｐ ｉ ａ 相平 ｏ ｃｒ ｎ ｅ截面图可以得出这五种方法的控 制有效性 ， 比较 五种方法各 并
自 的特 点 ． 关 键 词 ： 车悬 架 ； 沌 ； 法 ； 效 性 汽 混 方 有 中 图分 类 号 ：Ｈ１３ １ Ｔ ２ ． 文献标识码 ： Ａ
系统 产生 不规则 的振 荡 ， 致 系统运 动 完全偏 离 目标 ， 导 一些 混沌甚 至 会给 系统 带来灾 难性 的后果 ． 因此 ， 人 们 渐渐认 识到 混沌控 制 的重 要性 ． 本 文 用几种 方法对 单 频激励 下 汽车 悬架 系统 中的混沌运 动进 行控 制 ， 并对 控制 效果进 行 比较．
汽车悬 架直 接影 响汽 车 的平顺 性 与舒适 性 ， 随着 汽车 向轻量 化 和高速 化 的发展 ， 对悬 架 的要求越 来 越 高 ］而 混沌是 指确 定性 系统 中 出现 的类似 随机 的过 程．０年代 末 开始 ， 们对 混 沌 的研究 主 要停 留 ， ８ 人
在 数 学和 物理学 上 ． 了今 天 ， 们 逐渐 认识 到 混沌运 动对 一 些 系统 带 来 的危 害 ， 混沌 运 动 会使 机 电 到 人 如
（ ｅ ｔ ｏ ｃ ａ ｉａ Ｅ ｇ ｅ ｒ ｇ ｈ ｎ ａ ｇＩ ｓ ｔ ｅｏ ｈ ｍ ｃｌ ｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｓ ｅ ｙ ｎ １ １ ２ Ｃ ｉａ Ｄ ｐ． ｆ Ｍｅ ｈ ｎｃｌ ｎｉ ｅｉ ，Ｓ ｅ ｙ ｎ ｔｕ ｆ ｅ ｉａ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ， ｈ ｎ ａ ｇ １ ０ ４ ， ｈｎ ） ｎ ｎ ｎ ｉｔ Ｃ
第２ ９卷
式 中 ，ｎ ，为车 体质 量 ； 为线 性 刚度 系数 ； 为非 线 性 刚度 系数 ； 为 线性 Ｃ 阻尼 系数 ； ｃ 为非 线性 阻 尼 系数 ；。为路面 位移激 励 ； 车体垂 直 位移． 令 Ｙ＝ （ — ） 并设 路 面位移 激励为单 频正 弦 激励 。：ａｉ（ ｔ． 。 ， ｓｎｓ ） ２ 式 中 ， 为路面 位移 激励 频率 ；为时 间步长． 式 （ ） 达 为 ￡ 则 １表
详解非线性动力学的混沌和复杂性
详解非线性动力学的混沌和复杂性非线性动力学是一门研究非线性系统行为的学科，在这门学科中，混沌和复杂性是两个习惯性使用的术语。
混沌指的是非线性系统的表现极其高度不稳定和难以预测，而复杂性则指的是系统中的各个部分之间相互影响并产生的多种自组织现象。
这篇文章将更加详细地解释混沌和复杂性的概念以及它们在非线性动力学中的应用。
一、混沌的概念在非线性动力学研究中，混沌通常用于描述非线性系统的性质。
混沌行为的表现形式很多，其中最常见的现象是所谓的“无限迭代”。
在数学上，无限迭代意味着函数值的变化是在一个短时间内不断变化，并且难以预测。
某些非线性系统的动力学方程式就是无限迭代的。
一个经典的例子是“洛伦兹吸引子”（Lorenz attractor）。
该吸引子是由爱德华·洛伦兹在20世纪60年代概括出来的，他以一种简单的三维微分方程作为基础。
虽然该方程式在形式上非常简单，但它却表现出了高度不稳定、难以预测的行为表现形式。
也就是说，任何初始状态的微小变化都会导致最终结果完全不同的结论，因此在实际应用中非常难以精确预测。
二、复杂性的概念除了混沌之外，非线性动力学还以其复杂性而著名。
复杂性的概念可以追溯到20世纪40年代，但其实质在于多个元素之间的相互作用和组织。
例如，一个降雨系统可能会受到多个独立的天气系统的影响，它需要在这些不同的系统中寻找一条路径，以便让雨水流向正确的方向。
这个过程需要同时考虑外部环境、降雨规律、地形和土地使用等多方面因素。
在非线性动力学中，一个复杂系统的行为不仅受到其各个组成部分的属性所决定，还受到它们之间的相互作用和反馈机制所影响。
更进一步，这种相互作用可以导致系统一些非常有趣的自组织现象出现。
例如，人工神经网络可以通过逐层逼近降低误差来学习和识别各种类型的信息，而无需显式编程或指令。
三、非线性动力学和实际应用混沌和复杂性的理论虽然很有趣，但是它们在实际的应用中也具有非常广泛的应用价值。
非线性动力系统的混沌现象与控制分析
非线性动力系统的混沌现象与控制分析引言：随着科学技术的发展，非线性动力系统引起了广泛的研究兴趣。
非线性动力系统的混沌现象是其中最具有挑战性和复杂性的现象之一。
在过去几十年中，许多学者对非线性动力系统的混沌行为进行了深入的研究，揭示了其丰富的现象和潜在的应用价值。
本文将介绍非线性动力系统的混沌现象及其控制分析，以促进对这一重要现象的理解和应用。
第一部分：非线性动力系统的混沌现象1. 定义与背景非线性动力系统是指其演化方程中含有非线性项的系统。
动力系统的混沌现象是指系统随时间演化出现不确定、无序、敏感依赖于初始条件的特性。
混沌现象最早被洛伦兹(Edward N. Lorenz)于1960年发现，从此引起了学界的广泛关注。
2. 混沌现象的基本特征混沌现象具有以下基本特征：a) 轨迹的无限敏感性；b) 周期性态的分支与周期倍增；c) 随机性；d) 指数增长的轨迹分离率；e) 态空间的奇异性质等。
这些特征使得混沌现象在预测和控制上具有很大的挑战性。
3. 混沌现象的产生机制混沌现象的产生可以归结为动态系统的非线性性质和敏感依赖于初始条件。
通过非线性演化方程的迭代和初始条件的微小变化，系统的行为会出现剧烈的变化，从而呈现出混沌的特征。
第二部分：非线性动力系统的混沌控制分析1. 混沌控制方法的分类目前，针对非线性动力系统的混沌控制方法主要分为两大类：a) 传统的控制方法，如反馈控制、最优控制等；b) 近年来发展的新兴控制方法，如基于混沌同步、混沌反控和混沌控制等。
2. 混沌控制方法的基本原理传统的控制方法主要依赖于线性系统的控制理论，适用于线性动力系统或接近线性的非线性动力系统。
而基于混沌同步的控制方法则是通过构造适当的驱动系统与被控系统之间的耦合关系，使得两者的状态变量在时域上实现同步。
混沌反控方法则是利用混沌动力学的特性从系统中提取控制信号，实现系统的控制。
混沌控制方法则是在混沌系统的基础上构造一种外部控制信号，通过调节该信号的参数来控制系统的行为。
追踪控制双频激励下汽车悬架系统的混沌运动
除其 对系统 的危 害。 因此 将混 沌 控 制理论 应 用 到汽 车 悬架 系统 的混 沌 运 动 中 ， 于 深入 研 究 悬 架 系 统 的 混 对
沌运 动具有深 刻 的意义 。
以式 （ ） １ 整理 为 ：
振
第 ２ 第 ５期 ９卷
动
与
冲
击
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩ ＢＲＡＴ ＯＮ ＡＮＤ Ｓ Ｉ ＨＯＣＫ
追踪 控 制双频 激励 下汽 车悬 架 系统 的混沌 运 动
高大威 ，崔
（． １ 同济大学 汽车学院 ， 上海
玲 ，王
潍坊
昊。
２ １０ ３ 上海大众汽车有 限公 司， ６ ２ ６；． 上海 ２ １０ ） ０８ ４
越大 ， 区域越小 ， 混沌 发生混沌的可能性越大 ； ： Ｃ 为非 线性 阻尼 系数 ， 大 ， 沌 区 域 越 小 ， 生混 沌 的可 Ｃ越 混 发 能性 越大 ； ： 混 沌 区 域 的影 响 最 大 ， Ｃ对 Ｃ 的影 响 次 之 ，
质 心 的距离 。当只考 虑 车 身
振 动 时 ， 架 系 统 可 以简 化 悬
图 １ １４汽 车悬 架 ／ 简 化 模 型
Ｆｉ ． ／ ｈｅ ａ ｔｍｏ ｌ ｇ １ １ ４ ｔ ｕｏ ｂｉ ｅ
随着混沌 问题 的深 入 研 究 ， 制 混 沌 系 统将 混 沌 控
状 态镇定 到不 动 点 ， 者 引 导 至周 期 轨 道 的方 法 越 来 或 越多 ， 制混沌 的成果 也不 断 出现 ， 在一 些实 例 中得 控 且 到成功应 用 。重 庆大学 的李 东 对 永磁 同步 电机 的混
Ｙ ＋＆ Ｙ ＋ Ｂ １， ＋ Ｂ２，＋ Ｂ３， ＝ ， ， ，
四自由度汽车迟滞非线性系统的混沌
∑a
i =1
x
2i- 1
+
∑a
i =0
2i
) = x sgn ( x � ( 1)
2i
) FK ( x ) + FC ( x, x �
把恢复力分为两部分 , 由 ( 1 ) 式第一部分可得到弹 性恢复力的数学模型为 :
2008 2 09 2 1 6收到第 1 稿 , 2008 2 09 228 收到修改稿. 3 汇众重型汽车基金资助项目
¨
z 簧载质量绕其质心的角位移 ( rad) 3 —
2. 2 路面正弦激励 由路面产生的激励采用正弦激励 . 因此 , 路面 粗糙度可近似的由以下方程来描述 :
q1 = Asin ( 2 πft) (6)
Z1 ) + k21 ( Z0 + bZ3 - Z2 ) + k23 ( Z0 + bZ3 3 n Z2 ) + C2 ( Z0 + bZ3 - Z2 ) 2 sgn ( Z0 +
第 6卷第 4期 2008 年 12 月 1672 2 6553/2008 /06⑷ /377 2 4
动力学与控制学报
JOURNAL OF DYNAM I CS AND CONTROL
Vol . 6 No. 4 Dec . 2008
四自由度汽车迟 滞非线性系统的混沌
肖海斌 方明霞
(同济大学航空航天与力学学院 ,上海 200092 )
bZ3 - Z2 ) = 0
J Z3 - k11 a ( Z0 - aZ3 - Z1 ) - k13 a ( Z0 - aZ3 ¨
其中 A和 f分别是路面正弦扰动的振幅和频率 . 后轮的激励可表示为如下 :
q2 = Asin ( 2 πft +α) (7)
车辆悬挂系统的非线性特性分析与控制
车辆悬挂系统的非线性特性分析与控制车辆悬挂系统是车辆运动学和动力学性能的重要组成部分。
传统的线性控制方法针对车辆悬挂系统往往难以满足实际的控制需求，因为悬挂系统具有显著的非线性特性。
因此，本文将对车辆悬挂系统的非线性特性进行分析，并提出相应的控制方法。
一、非线性特性的表现形式车辆悬挂系统的非线性特性主要表现在以下几个方面：1. 阻尼特性的非线性：车辆悬挂系统的阻尼特性随着行程变化呈非线性变化。
在小行程范围内，阻尼力随位移的增加呈线性变化；但在大位移范围内，阻尼力的增加速度减缓，呈非线性变化。
2. 弹簧刚度的非线性：车辆悬挂系统的弹簧刚度也随行程的变化而变化。
在小行程范围内，弹簧刚度随位移的增加基本保持不变；但在大行程范围内，弹簧刚度随位移的增加逐渐减小，呈非线性变化。
3. 悬挂系统的干摩擦力：车辆悬挂系统中存在着干摩擦力，其大小与悬挂行程的方向变化有关。
干摩擦力会导致悬挂系统的非对称性和非线性特性，进而影响车辆的稳定性和悬挂系统的控制效果。
二、非线性特性的影响车辆悬挂系统的非线性特性对车辆的运动稳定性和乘坐舒适性都具有重要影响。
1. 运动稳定性：非线性特性可能引起悬挂系统在行驶过程中出现跳动、抖动等现象，进而影响车辆的稳定性和行驶安全性。
2. 乘坐舒适性：非线性特性使得悬挂系统难以在不同行程范围内提供恰当的减震效果，从而影响乘坐的舒适性和悬挂系统的振动控制效果。
三、非线性特性的控制方法针对车辆悬挂系统的非线性特性，可以采用以下几种控制方法：1. 非线性控制器设计：基于非线性特性的具体表现形式，设计适应于车辆悬挂系统的非线性控制器。
可以采用神经网络、滑模控制等方法来提高悬挂系统的控制性能。
2. 自适应控制：通过在线辨识悬挂系统的非线性特性参数，并实时调整控制策略，使得控制器具有较强的适应性和鲁棒性。
3. 模糊控制：利用模糊逻辑来处理悬挂系统中存在的不确定性，设计模糊控制器来实现对非线性特性的控制。
非线性动力学中的混沌现象及其应用
非线性动力学中的混沌现象及其应用混沌，是指在某种程度上具有确定性的系统，但其长期演化的结果却十分难以预测，极度敏感于初值条件的不规则、随机行为。
在非线性动力学中，混沌现象一直是研究的热点，它的性质和应用也备受关注。
本文将从混沌现象的定义、特性与图像展示、混沌对噪声抑制和混沌通信三个方面来介绍混沌。
一、混沌的定义与特性混沌现象源自于流体力学中的"洛伦兹方程"，经过40多年的发展，已经家喻户晓了。
混沌是一种无序的动力学行为，表现为明显的随机性，但又有可能呈现各种规则的形式。
混沌的行为具有以下特点：1. 非周期性混沌的行为不像周期性运动那样具有周期性。
混沌的状态不断发生变化，几乎无法重复，且不再出现规律性的模式。
2. 灵敏依赖初值混沌动力学系统对初始条件有极高的敏感性，即使两个系统在初值上仅有微小的偏差，也会随时间的流逝而出现大的不同。
3. 塞逊定理塞逊定理指的是混沌系统概率密度变化的特性，即系统中相邻的状态点的距离，在不断演化过程中往往成倍增长，混沌的标记是大规模的分岔。
二、图像展示混沌现象不仅以数学方程表示，还以图像、音乐甚至语言等多维度方式进行表现。
下面就是一组展示混沌的图像：通过这些图像，我们可以更直观的了解混沌现象的特征和行为。
三、混沌对噪声抑制的应用随着科学技术的发展，我们生活中出现了很多噪声，它们都会给人们的生活带来很多不便。
因此，在工程技术中，如何对这些噪声进行抑制是一个很重要的问题。
混沌抑制理论可以在一定程度上克服线性系统抑制效果不佳的问题，达到噪声抑制的目的。
混沌抑制的主要思路是控制非线性系统的混沌状态，通过改变混沌吸引子来获得不同的响应。
混沌抑制通过非线性反馈也能控制力学结构或电气电路的状态。
四、混沌通信的应用混沌通信是一种通过混沌技术实现信息传递的通信方式。
相比于传统通信方式，它的优势在于具有隐蔽性、抗干扰性、高速和多用户性等特点，尤其在无线通信、宽带通信以及高阶调制等领域得到了广泛的应用。
汽车悬架隔振性能混沌评价的思考
价， 是基于非稳态非线性动力学系统的混沌性质 ， 提取悬架振动信号 中的混沌特征参数 ， 建立反映悬架隔
振能力的判据 ， 其结果将有可能为评价汽车悬架隔振性能设置更准确的参数 ， 为检测汽车悬架隔振性能提 供更便捷的现状和 问题
１ １ 汽车悬架隔振性能评价方法的现状 ． 振动对人体 的影响 ， 取决于振动的频率 、 强度、 作用方向和持续时间 ， 且每个人 的心理和身体 素质不
Ｚ ＨＡＮＧ Ｙ ，Ｒ ｈ ｎ —ｏ ｇ ｕ ＥＮ Ｃ ｅ ｇ ｌｎ ，Ｈ ｈ —ｉ Ｅ Ｓ ｕ ｘｎ
（ ｅｔ ｆ ｅｈｎｃｌ ｎｉｅｒ ｇ ａｊ ｇＩｓｔｔ ｏ ｅｈｏ ｇ，Ｎ ｎｎ １ ７ ｈ ａ Ｄ ｐ．ｏ ｃａｉａ Ｅ ｇｎｅｉ ，Ｎ ｎｉ ｔｕｅ ｆ ｃｎｌ ｙ ａｊ ｇ １ ，Ｃ ｉ ） Ｍ ｎ ｎ ｎｉ Ｔ ｏ ｉ ２ １６ ｎ
ｔ ｈ ｉ ｅ ｒｈ ｎ －ｉｒ ｉ ｅ ｏｍ ｎｅｏ ｅ ｉｅｓｓｅｓ ｎ（ Ｖ Ｖ ） ｎｏｄｒ ｏｌ ｋｉｔ ｔｅｐｓｉｉｔ ｏ ｔ ｅ ｎ ｕ ｓ ｏ ｔｅａｔｖ ａｏ ｐｒ ｒ ａ ｃ ｆ ｈｃ ｕｐ ｎｉ Ａ Ｐ Ｓ ．Ｉ ｒｅ ｏ ｎ ｈ ｏｓ ｌｙ ｆｈ ｃ ｑ ｆ ｉ ｂ ｔｎ ｆ ｖ ｌ ｏ ｔ ｏ ｏ ｂ ｉ ｅ ｃａｓｅａ ａ ｏ ｃｎｑｅ Ｃ Ｔ ｏ ｅ Ｖ Ｖ ，ｔｅｐｐｒ ｒｓｎ ｅｒｓａｃ ｎ ｉ ｓ ｆ ｎ ｅ ｓａｃ ｒ ｅｔ ｈｏ ｖｌ ｔ ｎｔ ｈ ｉｕｓ（ Ｅ ）ｆｒｈ Ｐ Ｓ ｈ ａｅ ｅｅｔ ｔ ｅｅｒｈｆ ｄｎ ｆ ｄｄｒ ｅｒｈｐｏ ｃ ｕｉ ｅ ｔ Ａ ｐ ｓｈ ｉ ｇ ｏ ａｕ ｅ ｊ
Ｖ １４ Ｎ ． ｏ． ， ｏ３
Ｓ ｐ ，０ ６ ｅ ． ２０
２０ ０ ６年 ９月
文章编号 ：６ ２— ５ ８ ２０ ）３－ ０ ６— ８ １７ ２ ５ （０ ６ ０ ０ １ ０
汽车悬架混沌特性的仿真研究
ｏ ｔｔｅ ｃ ｉ ｃ ｌｃ ｎ ｉ ｏ ｎ ｗ ｉｈ ｃ ａ ｔ ｔ ｎ ｔｎ ｅ ｏ ｔｋ ｌｃ ．Ｔ ｅ ｈ ｎ ｕ ｎ ｅ ｆＳ ｅｌ ａａ ｔｒ ｓｎ ｎ ｉ — ｕ ｈ ｒ ｉａ ｏ ｄｔ ｎ ｏ ｈ ｃ ｈ ｏ ｉ ｍｏ ｉ ｅ ｄ ｄ ｔ ａ ｅｐ ａ ｅ ｈ ｎ ｔ ｅ ｉｆ ｅ ｃ ｓｏ Ｈ ｌ ｐ ｒ ｍｅ ｅ ｓａ ｏ ｌ ｔ ｉ ｃ ｏ ｌ ｎ
研 究结果表 明， 汽车悬架振动信号 能够进入混沌状态 ， 为进 行汽 车悬架振动信 号的混 沌特征参数 计算和 对汽车 悬
架 隔振 性 能 进 行 混 沌 评 价提 供 了理 论依 据 ．
关键 词 ： 车 悬 架 ； 沌 特性 ； 机 激 励 汽 混 随
中 图分 类 号 ： ４ ； ３ Ｕ６０ ２
摘 要 ： 究具有滞后 非线性 的单 自由度 汽车 悬架在路 面随机激励作 用下发 生混沌运 动的可 能性 。 用 Ｍｅ ｉｏ 研 利 ｌ ｋｖ ｎ
方法给 出发 生混沌运动的临界 条件 ， 讨论非线性度 系数 ：和非线性 刚度 系数 ｃ、 ，Ｃ 各参数对 系统 出现混沌的影 等
响． 行数 值 仿 真 ， 出时 间历 程 曲 线 、 进 给 自功 率谱 密度 图形 、ｏｎａｅ 面等 ， Ｐｉｃｒ 截 并计 算 最 大 Ｌ ａ ｎ ｖ 数 和 关 联 维 教 ． ｙｌ ｏ 指 ｍ
文 献 标 识 码 ： Ａ
Ｓ ｍ ｕ ａ ｉｎ Ｓ ｕ ｙ ｏ ａ ｔｃ Ｃｈ ｒ ｃｅ ｉｔｃ ｆＡｕｔ ｍ ｏ ｉｅ Ｓ ｐ ｎｓｏ ｉ ｌ ｔｏ ｔ ｄ ｎ Ｃｈ ｏ ｉ ａ ａ ｔ ｒｓｉｓｏ ｏ ｂ ｌ ｕｓ ｅ ｉｎ
ＲＥＮ ｅ ｇ ｌ ｎ ，ＺＨＡＮＧ Ｃｈ ｎ —ｏ ｇ Ｙｕ
ｓｍｕ ａｉｎ ｗａ ａ ｒｅ ｕ ｏ ｃ ｌｕｌｔ ｉ ｉｔｒ Ｕ Ｖ ， ＰＳＤ ｇ ｒ ｓａ ｄ Ｐｏ ｎ ａ ｅｍ ａ ａｏ ｔ ｈ ａｇ ｓ ａ ｎ ｖ ｉ ｌｔｏ ｓｃ ｒｉｄ ｏ ｔｔ ａ ｃ ａ ｅｔｍｅ ｈ ｓｏｙ Ｃ ｒ ｅ ｉ ｆ ｕ ｅ ｎ ｉ ｃ ｒ ｐ， ｌｎｇｗｉｈ ｔｅ ｌ ｒｅ ｔＬｙ ｐｕ ｏ
车辆悬挂系统的非线性动力学分析与控制
车辆悬挂系统的非线性动力学分析与控制悬挂系统是车辆中非常重要的组成部分之一，它对车辆的操控性、舒适性以及安全性影响巨大。
在车辆行驶过程中，由于道路不平整、车速的变化等因素，悬挂系统会出现非线性动态特性，而这对悬挂系统的设计和控制提出了一定的挑战。
本文将详细探讨车辆悬挂系统的非线性动力学分析与控制。
1. 悬挂系统的非线性特性车辆悬挂系统的非线性特性源于多个方面。
首先，悬挂系统中的弹簧和减振器在不同的工况下具有非线性刚度和阻尼特性。
其次，悬挂系统在行驶过程中受到不同频率和幅度的激励，导致系统发生共振和非线性摆动。
此外，车辆转向和制动等操作也会给悬挂系统带来非线性扰动。
因此，在进行悬挂系统的动力学分析和控制时，需要考虑这些非线性特性的影响。
2. 悬挂系统的非线性动力学分析为了对悬挂系统的非线性动力学特性进行分析，可以采用数学建模的方法。
一种常用的方法是使用多体动力学理论，将车辆和悬挂系统建模成多个刚体和弹簧减振器组成的复杂系统。
通过建立系统的动力学方程，并考虑非线性刚度和阻尼等因素，可以得到描述悬挂系统响应的运动方程。
此外，还可以借助仿真软件进行数值模拟，以更直观地观察悬挂系统在不同工况下的动态行为。
3. 悬挂系统的非线性控制策略在悬挂系统的控制中，非线性特性的考虑对于提高车辆的操控性和舒适性至关重要。
一种常用的非线性控制策略是基于状态反馈的控制方法。
该方法通过测量车辆和悬挂系统的状态变量，并将其作为反馈信号，实时调整悬挂系统的刚度和阻尼参数，以实现对车辆行驶过程的控制。
此外，还可以采用模糊控制、遗传算法等方法，对悬挂系统的控制进行优化，以达到更好的动态性能。
4. 悬挂系统的实验验证与优化为了验证理论分析和控制策略的有效性，实验测试在悬挂系统研究中是十分重要的。
通过在实际车辆上安装传感器和控制装置，可以获取真实的悬挂系统响应数据，并进行实时控制和参数优化。
实验结果可以用于验证理论模型的准确性，并进一步提出改进控制策略的思路。
非线性系统的混沌现象分析
非线性系统的混沌现象分析正文：非线性系统的混沌现象分析一、引言非线性系统是指系统的输出与输入不满足线性关系的系统，而混沌现象是在某些非线性系统中常常出现的一种特殊现象。
本文旨在分析非线性系统中的混沌现象，探讨其产生机制和应用价值。
二、混沌现象的定义与特征混沌现象最早由美国数学家洛伦兹在20世纪60年代发现，并以其姓氏来命名。
混沌现象意味着一个系统在初始条件微小变化下会产生巨大的结果变化。
混沌系统具有以下几个特征：1. 灵敏依赖于初始条件：小的初始条件变化会导致系统长期演化的完全不同结果。
2. 系统是无周期的：混沌系统的演化没有任何规律可循，无法进行精确预测。
3. 混沌系统是确定的：系统的演化完全由所选的非线性方程决定，不受任何随机性的影响。
三、混沌现象的产生机制混沌现象的产生机制十分复杂，目前还没有完全解释清楚。
然而，研究表明，以下几个因素在混沌现象的产生中起到重要作用：1. 非线性项的存在：当系统中存在非线性项时，就会出现混沌现象。
线性系统不存在混沌现象。
2. 正反馈作用：正反馈作用使得系统的输出进一步增大，从而导致系统进入混沌状态。
3. 系统的复杂性：系统的复杂性是产生混沌现象的基础。
越复杂的系统越容易产生混沌。
四、混沌现象的应用价值混沌现象在科学研究和应用领域中具有重要意义：1. 信息加密：混沌现象具有高度随机性和不可预测性，可以用于信息的加密传输，保护信息的安全性。
2. 系统控制：混沌现象可以应用于控制系统中，通过合适的控制手段，将系统从混沌状态引向稳定状态。
3. 数据压缩：混沌现象提供了一种高效的数据压缩方法，可以将大量数据用较少的存储空间进行存储和传输。
五、混沌现象的数学模型为了对混沌现象进行研究和理解，研究者们提出了多种数学模型，其中最著名的是洛伦兹模型和摆动模型。
1. 洛伦兹模型：洛伦兹模型是描述大气对流运动的非线性模型，由三个关联方程组成。
该模型展现了混沌现象的典型特征。
2. 摆动模型：摆动模型是描述摆动运动的非线性模型，通过调整摆线长度和重力加速度等参数，可以观察到不同的混沌现象。
非线性系统动力学的混沌现象
非线性系统动力学的混沌现象混沌现象是非线性系统动力学中一种特殊的行为模式，具有高度复杂和难以预测的特点。
在这篇文章中，我们将探讨非线性系统动力学的混沌现象的基本原理、数学模型以及其在现实世界中的应用。
一、混沌现象的基本原理混沌现象的基本原理可以追溯到20世纪60年代，由美国数学家Edward Lorenz首次提出。
他的研究是关于大气系统的，但混沌现象在各个领域都有普遍存在。
混沌现象的关键特征是对初始条件高度敏感，微小的变化可能导致系统行为的巨大变化。
混沌现象通常与非线性系统密切相关。
非线性系统是指系统响应与输入之间存在非线性关系的系统。
与线性系统不同，非线性系统的行为不可简单地通过叠加原理来描述。
相反，非线性系统的行为可能会出现周期性振荡、迭代循环和无限逼近的情况，最终导致混沌现象的发生。
二、混沌现象的数学模型混沌现象可以通过一些著名的数学模型来描述，其中最著名的模型之一是洛伦兹吸引子。
洛伦兹吸引子是一个三维非线性系统的解的图像，在空间中呈现出奇特的形状。
洛伦兹吸引子的图像包含了无数个封闭的轨迹，每个轨迹都是系统在不同的初始条件下的解。
另一个重要的数学模型是Henon映射。
Henon映射描述了一个二维非线性系统的动力学行为。
通过迭代计算，Henon映射可以生成一系列的点，这些点在相图中形成一个具有分支和岛屿的复杂结构。
这些数学模型的分形特征是混沌现象的重要表征，分形是指在任意局部都具有相似性的几何结构。
混沌系统通常具有分岔现象，即系统在参数变化时会出现从稳定状态到混沌状态的跃迁。
三、混沌现象的应用混沌现象在现实世界中的应用十分广泛。
在物理学领域，混沌现象用于解释分子动力学、流体力学以及天体运动等复杂的物理现象。
在生物学领域，混沌现象被应用于描述神经网络、心脏跳动的不规则性以及遗传变异等复杂生物系统的行为。
混沌现象还在信息科学领域具有重要的应用。
混沌系统可以用来生成随机数序列，这些序列在密码学和数据压缩中具有重要作用。
汽车悬架系统的混沌控制
１ 力学模 型及运 动微 分方程
本 文研究 受单 频 周期 路 面位移 激 励下 的单 自由度 １４汽车悬 架模 型 ，如 图 １ 。系统 基本 参数 如下 ： ／ 示
Ｍ ＝ ２ ０ ｋｇ， ｌ ＝ １ ０ ４ ｋ ６ ０ ０ Ｎ／ｍ ， ２ ＝ 一 ３ ０ ｋ ０ ０ ０ Ｎ／ｍ ， ｌ＝ ２５ ・ｓ ０Ｎ ／ｍ ，２ ＝ 一２５ Ｎ ・Ｓ ／ｍ ２
系统运 动微 分方 程
Ｍｇ＋后 （ — ）＋ ｏ 车体垂 直位移 。 设 Ｙ＝ ， ＝ ｓ Ｊ ，Ｆ 。 ２ （ — ｏ ＋ ｌ（ ｌ 立 ） ＋ ２（ ） 一 Ａ ｉ２ ｎ ｔ ＝ｋ ） ｃ 立 一 ｏ ｃ 立一 ，则式 （ ） 可化 为 ： １ ＝０ （） １
混沌行 为进 行 了控 制 ，为利 用混沌序 列提供 了理论基 础 。
中 图分 类 号 ：Ｕ ４ ３ ３ ６ ， ３：Ｕ４ ３ ２ ３ ６ ． １
文献标 识码 ：Ａ
目前 ，采用电流变 阻尼 、磁流变 阻尼 和干摩擦 阻尼的汽车悬架 的研究 日益成为人们 研究 的热点 问 题 ］ 。但是 ，对 于汽 车悬 架 系统 的研究 多局 限于 动力 响应 的分 析 和主动 半主 动控制 的研究 ，对 系统 中非 线性动力学行为的研究 尚不多见。滞后非线性系统 的多值性和非光滑性导致了此类系统中非常容易产生分 岔 和混 沌等 复杂 的非线 性 动力 学行 为 。滞后 非线性 广 泛存在 于 实际工 程振 动系 统 中 ，如磁 滞 回线 ，材料 的 内阻尼 和干摩 擦 引起 的滞 后等 Ｊ ４。汽 车悬 架 中 的减 振 器 和轮 胎 也 是 滞 后 非线 性 的 ，而路 面不 平 顺 激 励 可 以用单频激励来近似模拟 。本文在文献 ［ ］的基础上 ，利用 Ｘ 形式的非线性反馈控制方法研究汽 ４ ］ ４ Ｘ Ｉ Ｉ 车悬架的混沌控制 ，为混沌序列的利用提供理论基础。
汽车悬架系统中的混沌现象及其控制
Ｘ＝ Ｘ（）ｔ Ｆ（ ｔ ，）一 Ｕ
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琐从
收稿 日 ２０－０１ 期：０４１－８ 修改稿收稿 日期 ：０４１－５ ２０－１１
万方数据
２０ ｓｍ； ＝一２ Ｎ・３ ３并取路面激励 ５ Ｎ・／ ｃ ２ ５ ｓ ｍ ， ／ 频率ｄ ｒ ／， Ｌ ａ ｓ初始条件为：（） ＝８ ｄ ｙ ０ ＝一００ ， ．１乡
（ ） 。取时间步长为 ００５ ０ ＝０ ． ｓ用四阶定步长 ０ ，
８ ８
交通与计算机 ２０ 年第１ ０５ 期
． Ｚ
第２ 卷（ ３ 总第１２ ２ 期）
ｄ 、 ２
田
析和Ｌ ａｕｏ 指数的计算（， ． ＞０ ， ｙｐｎｖ ． １ ＝０５５ ）可以 １ 判定此时悬架系统的运动为混沌运动〔 ４ ３１ ．０
＋ｚ十ｋ ＋ ｅｚ＋ ｃｚ Ｊ一 尸 （
Ｂ 一
Ｒ ｎｅ ｕ ａ ｕｇ－ ｔ 法对式（） Ｋ ｔ （ 进行数值积分， ２ 可得到系
统在ａ ． ＝００ ｍ时的时间历程、 ５ 相轨迹和Ｐ ｉ ａｅ ｏ ｃｒ ｎ
截面， 如图２－ 所示。 ＾４ 通过数值模拟发现： ＝００ ｍ时， 当ａ ． ５ 采用磁
流变减振器的汽车悬架系统的Ｐ ｉ ａｅ ｏ ｃｒ 图为充满 ｎ 相空间中的一部分， 相平面图不重复且杂乱无章， 时间历程不规律。 在结合Ｍｅ ｉ ｖ ｌ ｋ 方法的理论分 ｎｏ
：．
． ． －
名
嘴经一
数学中的非线性动力系统与混沌现象
数学中的非线性动力系统与混沌现象在我们日常所接触的数学世界中，线性系统占据了相当重要的地位。
然而，当我们深入探索数学的奥秘时，会发现非线性动力系统如同一个神秘而充满魅力的领域，其中的混沌现象更是令人着迷。
首先，让我们来理解一下什么是非线性动力系统。
简单来说，它是指一个系统的演化规律不能用线性方程来准确描述。
与线性系统中输入和输出之间存在简单的比例关系不同，非线性系统的行为要复杂得多。
举个例子，想象一下一个钟摆的运动。
在小幅度摆动时，我们可以用线性方程近似地描述它的运动，但当摆动幅度较大时，就必须考虑非线性的因素，比如空气阻力、摆绳的弹性等。
这种情况下，钟摆的运动就成为了一个非线性动力系统。
那么，混沌现象又是什么呢？混沌并非是毫无规律的混乱，而是指在确定性的系统中出现的看似随机、不可预测的行为。
一个经典的例子是“蝴蝶效应”。
这个概念说的是，在一个动力系统中，初始条件的微小变化可能会导致结果的巨大差异。
就好像一只蝴蝶在巴西轻拍翅膀，可能会在美国得克萨斯州引起一场龙卷风。
虽然这是一种夸张的说法，但它形象地说明了混沌系统对初始条件的极度敏感。
在数学中，混沌现象具有一些明显的特征。
比如，长期预测的不可能性。
即使我们知道了系统的精确方程和初始条件，也无法准确预测其在很长一段时间后的状态。
再比如，存在奇怪吸引子。
吸引子是系统在长期演化过程中趋向的状态，而在混沌系统中，吸引子的形状往往是复杂而奇特的。
非线性动力系统和混沌现象在许多领域都有着广泛的应用。
在气象学中，天气的变化就是一个复杂的非线性动力系统。
虽然我们可以通过气象模型进行预测，但由于混沌的存在，长期的准确预报仍然是一个巨大的挑战。
在生物学中，种群的增长和生态系统的动态变化也常常表现出非线性和混沌的特征。
例如，某些物种的数量可能会在一段时间内看似无规律地波动。
在物理学中，像流体的流动、量子力学中的一些现象等都与非线性动力系统和混沌有关。
研究非线性动力系统和混沌现象不仅有助于我们更好地理解自然界中的复杂现象，还为技术和工程领域带来了创新。
非线性汽车悬架的混沌特性
实 ， 验 获取实验汽车悬架的振动数据 ， 对其计算 了 一阶固有频率和混沌参数如 关联维、 ｏ ｏｏｏ 熵和最大 Ｌａｕｏ 指数 ， Ｋ ｌ ｇｒｖ ｍ ｙ ｎｖ ｐ 从而验证 了
则式（ ） １可化为 ｙ ｔｙＢｙ Ｆｓ ｆｌ Ｆ ｉｆ２ ＋ ￣ ，牡 ＋ 矿＝ ｌｎ ／ ＋ ２ｎ ／ ． ｏ＋ ｚ ｉ ｒ ｓ Ｔ （） ２
０ ３＞ ， ． ６ ０关联维 Ｄ＝ ． ８不为整数 ， ５ ２ ６ ， Ｏ４ 从而可知此时汽 车悬架的振动处于混沌运动状态 ， 进而从理论上证明 汽车悬架系统的运动能够进入混沌状态．
汽车悬架振动的混沌特征 ． 为汽车悬架的优化设计和建立悬架隔振性 能混沌评价新方法提供 了理论依据． 关键词 ： 悬架； 混沌 ； 仿真 ； 实验 中图分类号 ： ６ ．３ ０３ Ｕ４ ３ ； ２ ３ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：６ ２ ９ Ｏ （０ ００ — ０ ９ ０ １ ７— １２ ２ １ ）２ ０９ — ３
滞后非线性广泛存在于实际工程振动系统 中， 汽 车悬架作为滞后非线性系统 ， 具有强 时变性 、 强非线 性、 强非平稳性的动力 学特性 ， 且其非线性 因素在一 定的载荷、 激励和频域 内影 响十分突出［］ １． －滞后非线性 ２ 系统 的多值性和非光滑性导致系统 中非常容易产生 分岔和混沌等复杂的非线性动力学行为 ， 孟泉等冈 研 究 了多频周期激励作用下汽车悬架系统的分岔特性 ； 贾启芬等 以悬架 的线性非线性动力系统出发 ， 用非 线性理论 Ｋ Ｂ法得到系统 的幅频响应函数呈现丰富的 非线性特性 ； 杨绍普 ， 明霞 等通过仿真说 明具 方 有滞后非线性的汽车悬架系统中存在着混沌运动． 汽车悬架是非常复杂的非线性系统 ， 研究这类 系 统的建模并进行数值仿真 ， 分析其非线性动力学行为 可能 出现的混沌现象 ， 将为悬架系统 的设计及汽车的 动态设计和结构改进提供重要 的理论依据和保证 ， 并 有助于提高对非线性系统本质 的认识． 本文以路面双 频 拟 周 期激 励 作 用 下 的具 有 滞后 非线 性 的单 自由度 汽车悬架为研究对象 ， 通过数值仿真 ， 出了汽车悬 给
双频激励下含分数阶非线性汽车悬架系统的混沌研究
双频激励下含分数阶非线性汽车悬架系统的混沌研究作者：常宇健孙亚婷陈恩利李韶华邢武策来源：《振动工程学报》2021年第06期摘要：研究了含分数阶非线性特性的1/4汽车悬架模型在双频激励下的混沌运动。
运用Melnikov 方法，推导出系统发生异宿混沌运动的解析必要条件，得到系统混沌边界曲面阈值，讨论了悬架系统各参数对混沌边界曲面的影响。
运用时间历程图、频谱图、相图、庞加莱截面图及最大李雅普诺夫指数进行数值验证。
研究表明，在双频激励下悬架系统存在混沌运动，且含分数阶非线性悬架系统中阻尼系数、刚度系数等各参数对混沌边界曲面阈值都有一定影响，其中分数阶项阶数和系数及线性阻尼系数对其影响较大。
关键词：非线性振动;汽车悬架;混沌运动;双频激励;分数阶中图分类号： O322;U463.33 文献标志码： A 文章编号：1004-4523（2021）06-1198-09DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2021.06.011引言分数阶微积分作为重要的数学分支，于1695年德国科学家 Leibniz 和法国数学家L'Hopital 在探讨1/2阶导数时首次被提出[1]。
然而，由于缺乏应用背景支撑等多方面原因，它长期以来并没有得到较多的关注和研究。
随着20世纪70年代以来对分形和各种复杂系统的深入研究，分数阶微积分理论及其应用开始受到广泛关注，很多学者对分数阶微积分的基本特性进行研究，在基础理论方面取得了很大进展[2⁃6]。
进入21世纪以来，分数阶微积分建模方法和理论在复杂黏弹性材料力学本构关系、反常扩散、高能物理等诸多领域有了若干非常成功的应用[7⁃10]，凸显了其独特优势和不可替代性，所以研究含分数阶微积分方程中的典型力学特性和分数阶参数对动力系统的影响很有意义，大量学者进行着这方面的研究[11⁃13]。
车辆悬架减振装置不仅具有迟滞非线性特性，而且多数阻尼器都具有类黏弹性本构关系，这些黏弹性材料介于弹性和阻尼特性之间，普通的整数阶理论无法准确地描述这种材料的本构关系。
电动汽车PMSM混沌状态的控制方法研究
电动汽车PMSM混沌状态的控制方法研究摘要：在某些参数及工作条件下，非均匀气隙永磁同步电动机(PMSM)会出现混沌运动。
电机混沌的存在将严重危及电机传动系统的稳定运行。
为快速有效的解决电动汽车永磁同步电机(PMSM)混沌系统运动状态中存在的问题，提出了一种控制算法。
在此系统上施加一个非线性反馈控制器，通过选取适当的控制参数，可将原来永磁同步电动机系统中的混沌振动控制到稳定的周期运动。
数值仿真结果表明该控制方法的有效性与可行性。
关键词：永磁同步电动机；非线性反馈控制器；混沌控制汽车工业在近百年的发展中，给人类社会的文明和经济的发展带来了革命性的进步。
但当前汽车工业发展面临很多的制约因素，如能源危机、环保危机、安全危机等，汽车的变革之路势在必行。
随着具有高效节能、低排放或零排放优势电动汽车的出现，汽车工业重获生机，电动汽车成为国际节能环保汽车发展的主攻方向，世界上许多国家都开始投入大量资金研发电动汽车。
在电动汽车各类驱动电机中，永磁同步电机以体积小、能量密度高、响应快和惯性低等优点逐渐成为电动汽车驱动系统的主流电机之一。
永磁同步电动机是一种强非线性系统，能呈现出非常丰富的动态特征。
当电机参数处于某些区域时，电机将产生混沌运动，表现为转矩忽大忽小，转速忽高忽低，电机的这种混沌运动状态将直接影响电机的正常运行质量和稳定性。
因此，如何控制和避免这种混沌现象成为业内技术人员关注和研究的重要课题。
目前，已有一些方法被用于电机的混沌控制，并取得了良好效果，但其中的一些方法还不完善，有待进一步的改进。
如参考文献[3]提出了纳入轨道和强迫迁徙控制永磁同步电动机中的混沌现象，该方法是在电机动态方程的速度微分方程中施加一个外部输入，同时要求系统轨道处于吸引域中时才能进行控制。
此外，由于该方法实质上是一种开环控制，理论上不能保证控制系统是稳定的，因而在实际中难以实现。
文献[4]采用延迟反馈方法控制永磁同步电动机中的混沌现象，用延时处理永磁同步电动机中的混沌运动，缺点是难以确定延时时间，不能将混沌系统设定到预知的轨道。
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△ｚ。２＝ｚ。一６ｆ ｓｉｎ目一口ｓｉｎ够一ｚｗ２
式中：志蛎，和志击。均为座椅弹簧力拟合系数；ｃ曲为座椅
阻尼系数；△ｚｓ为座椅等效弹簧变形量；△芝。为相对 速度．
△ｚ５一荪＋口１ ｓｉｎ目一６１ ｓｉｎ ９一ｚ５
△之５一芝。＋口ｌ臼ｃｏｓ口一６ｌ函ｃｏｓ ９一乏５ 式中：驾驶员质量位置点与车身质心在纵向的距离 为６。，在横向的距离为ｎ。．座椅等效非线性力为弹簧
ｄｉｓｃｏｖｅｒｅｄ．Ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉａｌ ｐｏｉｎｔ ｉｎ ｔｌｌｅ ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ ｗｅｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ． Ｉｔ ｉｓ ｆｏｕｎｄ ｔｌｌａｔ ｉｔ ｃｏｕｌｄ
ｒｅｆｌｅｃｔ ｔ１１ｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｂｅｈａＶｉｏｒ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅｓ ｏｆ ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｖｅｈｉｃｌｅ；ｃｈａｏｓ；ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ；Ｐｏｉｎｃａ托Ｓｅｃｔｉｏｎ
ａｒｅ
（Ｐｏｉｎｃａ琵）截面，并计算最大李雅普诺夫 （Ｌｙａｐｕｎｏｖ）指数．发现系统随着路面激励频率的变
化，其运动状态在周期、拟周期和混沌运动之间经历 多次变迁，且发现系统经历周期、拟周期运动，进入 混沌运动的演化过程．根据分岔图特殊点附近悬架 动挠度的计算，发现利用悬架动挠度的变化，能反映 系统的动态行为发生了变迁．由于混沌运动增加了 系统的不确定性，所以应减少或者避免混沌运动的 发生‘ｓ｜．
力和阻尼力的和．
１．３电动汽车整车数学模型
根据牛顿运动定律，建立动力学方程，以下公式 为整车动力学方程：
ｍ。乏。一一Ｆ。１一Ｆ。ｌ—Ｆ。ｒＦＬ—Ｆｓ２一Ｆｃ２一Ｆ。ｒＦＲ—
△ｚｓ３一ｚ。＋良ｓｉｎ臼＋６ ｓｉｎ∞一ｚｗ３ △ｚｓ４一ｚ。一６，ｓｉｎ口＋６ ｓｉｎ妒一２ｗ４
△芝。１一芝。＋６ｆ口ｃｏｓ口一面ｃ０８
绕组电流也仅有基波分量，此时，电机转矩恒定，不
ｉｎ ｔｈｅ ｍｏｔｏｒ
存在转矩波动．但实际电机中，由于转子机械加工引 起的机械不平衡与装配等方面的误差，引起气隙磁
场非正弦分布，导致电机转矩波动的存在．电动汽车 的永磁同步电机振动主要由电机的电磁力引起，把 电机电磁力分为径向分量和切向分量．径向电磁力 是电磁振动的主要来源，而切向电磁力的合力产生 电磁转矩．本文主要考虑径向电磁力对系统动力学 的影响．
（２） （３）
型考虑了车身的垂向振动、俯仰、侧倾３个自由度，４ 个车轮垂向的４个自由度和驾驶员垂向的１个自由 度，共８个自由度的整车模型．图中，口为车身侧倾 角；舻为车身俯仰角；Ｆ扎，Ｆ。ｒｎ，ＦｓＲｌ，，Ｆ。ＲＲ为悬架等
式中：Ｆｏ为幅值；夕为极对数；臼。为机械角位移；鼠
为初相角；∞为基波角速度；￡为时间． 把式（２）代入式（１），得到基波磁场产生的径向 电磁力为 ｐ，一以２（口１，ｆ）・Ｆ５［１＋ｃｏｓ（２印ｌ一２“一 ２乳）－Ｊ／４岸。一ｐｏ＋户ｌ
Ｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｅｉｇｈｔ ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｆ ｆｈｅｄｏｍ ｏｆ
ｅＩｅｃｔｒｉｃ ｖｅｈｉｃｌｅ
父 卜 ｜１
ｊ。≮
，夕飞
决
１．１
电动汽车电机激励的影响 电机学中，理想化的电机气隙磁场为正弦径向电磁力分布
Ｉ湖ｉａｌ
ｅｌｅｃｔ㈣ｇｎｅｔｉｃ
ｆｏｒｃｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ
庞加莱截面，并计算系统的李雅普诺夫指数，发现整 车系统混沌运动的存在，但该模型的非线性描述只
针对传统汽车，且未考虑横向稳定杆等对悬架影响．
Ｚｈｕ
Ｑｉｎ等［２］建立了七自由度非线性整车模型，同样
在考虑左右轮相位差和前后轮胎时间延迟的正弦路
面激励下，通过分析系统参数分岔图和计算李雅普 诺夫指数，证明该系统存在混沌运动，但该文并未涉
第４３卷第３期
２０１５年３月
同济大学学报（自然科学版）
ＪＯＩｍＮＡＩ．ＯＦ ＴＯＮｑＩ
Ｖ０１．４３ Ｎｏ．３
Ｉ】ＮＩｖＥＲＳＩＴＹ（ＮＡｎｍＡＩ．ＳｃＩ刚ＣＥ）
Ｍａｒ．２０１５
文章编号：０２５３—３７４Ｘ（２０１５）０３一０４４２一０６
Ｄ（）Ｉ：１０．１１９０８／ｊ．ｉｓｓｎ．０２５３—３７４ｘ．２０１５．０３．０１９
Ｆ。５一ｆｓ５△之５
（８） （９）
ｆ“，△泣≥０
氏ｉ—ｋ，厶证＜ｏ
式中：ｉ一１，２，３，４；ｆ。ｉ为等效阻尼系数；忌。ｉ为等效非 线性弹簧力拟合系数；以为指数；ｆ。：为悬架等效阻尼 压缩行程系数；ｃ鲥，为悬架等效阻尼拉伸行程系数； △。为悬架上下支点等效相对速度；△％为悬架等效 弹簧变形量；△乏。，为相对速度．
Ｊ ０
利用麦克斯韦方程，可求得电机气隙中单位面
积的径向电磁力［６］为
１ １
２以一２岛）／４肚ｏ］ｄ臼１
１．２电动汽车整车非线性因素
（５）
本文考虑电动汽车整车非线性因素包括悬架、
（１）
．厂ｒ一≠一（Ｂ；一Ｂ；）≈≠一Ｂ；
厶芦。 厶Ｐｏ
轮胎和座椅等处的非线性，同时考虑前后横向稳定 杆和电机振动对悬架的影响．
切向气隙磁密；ｍ为空气磁导率．因为Ｂ。一般比Ｂ。
大得多，所以计算径向电磁力时可忽略Ｂ。的影响． 电机径向电磁力主要是由定、转子绕组中的基 波磁场产生的，所以本文主要考虑基波磁场产生的 电磁力．设气隙磁导为Ａ（臼，，ｆ），基波合成磁势为 ．厂ｏ（日１，￡），则气隙磁密［７］为
Ｂ，一＾（臼ｌ，￡）・Ａ（口ｌ，￡） 厂０（臼１，￡）一Ｆ０ｃｏｓ（加１一以一岛）
岔图选取４组参数，分析４组参数的庞加莱
Ｃｈｉｍ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｅｈｓｅｄ
ｏｎ
ｔｌｌｅ ｄｅｓｃｒｉＤｔｉｏｎ ｏｆ ｒｌｏｎｌｉｎｅａｒ ｆａｃｔｏｒｓ，ｔ１１ｅ
ｗａｓ
ｅｉ曲ｔ
ｄｅｇｒｅｅｓ ｏｆ ｆｒｅｅｄｏｍ ｏｆ Ｅｖ ｒｏａｄ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ， ｔｈｅ
ｂｕｉｌｔ．Ｕｎｄｅｒ
ｔｏ
ｍｅ
ｓ溉
ｕｓｏｉｄａｌ
ｒｅｓＤ０ｎｓｅｓ
ｔｌｌｅ
ｍｏｉｌｅｌ、ｖａｓ
ｏｂｔａｉｎｅｄ，ｔ｝ｌｅｎ，ｔｈｅ ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ，ｔｌｌｅ Ｐｂｉｎｃａ托ｓｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｌａｒｇｅｓｔ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｅｘｐｏｎｅｎｔ ｗｅｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｍａｔ ｔｈｅ ｃｈａｏｓ ｅｘｉｓｔｓ ｉｎ ｔｌｌｅ ｓｖｓｔｅｍ．Ｔｈｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｔｔｌｒｏｕｇｈ ｐｅｒｉｏｄｉｃ，ｑｕａｓｉ—ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｉｎｔｏ ｔｌｌｅ ｃｈａｏｔｉｃ ｍｏｔｉｏｎｓ
式中：２６ｆ为前轮距；２６。为后轮距；口为整车质心至前
轴距离；６为整车质心至后轴距离． 横向稳定杆对悬架摇臂的垂直作用力为
Ｊ，参一［（Ｆ。１＋Ｆｃｌ＋Ｆ。ｒＦＬ＋Ｆｓ２＋Ｆｃ２＋Ｆ。ｒ豫）ｚ，一
（Ｆ！；３＋Ｆｃ３＋Ｆ。ｒｍ，＋Ｆｓ４＋Ｆｃ４＋Ｆ。脓）Ｚ２一 （Ｆｓ５＋Ｆｃ５）６１］ｃｏｓ∞
式中：稚凡，孙Ｒ，魂ＲＬ，魂ＲＲ分别为作用在各车轮处路
面激励的垂向位移；惫ｗＦＬ，愚ｗＦＲ，愚。ＲＬ，愚。ＲＲ分别为车轮 等效刚度系数． １．２．３座椅非线性特性 电动汽车座椅的非线性特性用多项式描述，其
Ｆ。：一是。：ｓｇｎ（△ｚ。ｉ）Ｉ△ｚ。ｉ ｌ”
Ｆｃｉ—ｆ。ｉ△乏。ｉ
（６） （７）
等效非线性弹簧力和阻尼力分别为 Ｆｓ５一是ｓ５ｌ△ｚ５＋愚Ｓ５２△ｚ；
Ｗｕ等‘１１建立了包括驾驶员模型在内的整车八 自由度模型，在考虑相位差和时间延迟的正弦路面
激励下，对具有随机参数确定性系统的非线性整车 １
电动汽车整车非线性描述
与传统汽车一样，在电动汽车中，衬套、弹簧、悬
模型进行数值分析，得到系统的分岔图、时间历程、
收稿日期：２０１４一０５一０７
基金项目：教育部高等学校博士学科点专项科研基金（２０１２００７２１１００１３）；国家自然科学基金（５１１０５２７７）；国家“九七三’’重点基础研究发 展计划（２０１１ＣＢ７１１２００） 第一作者：牛治东（１９８７一），男，博士生，主要研究方向为汽车随机非线性动力学以及混沌分岔等．Ｅ—ｍａｉｌ：ｎｉｕ９９ｎｉｕｌ２２３９０９８１＠１６３．ｃｏｍ 通讯作者：吴光强（１９６５一），男，教授，博士生导师，工学博士，主要研究方向为车辆动力学与控制．Ｅ－ｍａｉｌ：ｗｕｇｕａｎｇｑｉａｎｇ＠ｔｏｎ百ｉ．ｅｄｕ．ｃｎ
个旋转的径向力波［８］，其中电磁力的交变部分是电 机产生振动的主要原因．把电机定子简化为圆柱形
壳体，电机径向电磁力分布如图２所示．图中，加为
电机径向电磁力的不变部分，夕。为电机径向电磁力 的交变部分，Ｆ。为电机激励引起的系统垂向力．
／Ｌｊ ｒ、Ｊｆ肋 ２吖＼纱
ｊ强ｋ
图１电动汽车八自由度简化模型
Ｆｉｇ．１
电动汽车非线性悬架系统混沌特性
牛治东，吴光强
（同济大学汽车学院，上海２０１８０４）
摘要：在分析电动汽车非线性因素的基础上，建立八自由度 非线性模型．在正弦路面激励下，得到系统动力学响应，计算 分岔图、庞加莱（Ｐｏｉｎｃａ畦）截面和最大李雅普诺夫 （Ｌｙａｐｕｎｏｖ）指数．分析结果表明该系统存在混沌运动，并发 现了系统通过周期、拟周期进入混沌运动的演化过程．计算 分岔图特殊点处的悬架动挠度，发现利用悬架动挠度的变 化，能较好地反映系统的动态行为发生的变迁． 关键词：汽车；混沌；分岔；庞加莱截面 中图分类号：Ｕ４６１．１ 文献标志码：Ａ
及特殊点附近整车动力学特性，且对象为传统汽车． 目前对电动汽车非线性动力学研究主要集中在转向 系统［３］、电动机［４］的非线性特性、分岔混沌特性及其
Ｃｈａｏｓ
ｉｎ
Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ
Ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ
Ｓｙｓｔｅｍ
ｏｆ
Ｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｖｅｈｉｃｌｅ