中考数学二轮复习专题一选填重难点题型突破题型五图形折叠及动点问题的相关计算课件
中考数学2轮复习专题(14个)
中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
【范例讲析】： 例1： 填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。
3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 （ ） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。
4. 解方程： 211()65()11x x +=--中考数学专题复习之二：待定系数法对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。
（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。
2024年中考数学二轮专题复习之图形变换(简单)
中考二轮专题复习之 图形变换 知识点归纳 考点一：对称有关概念 1.轴对称 （1）. 如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分能 ，那么这个图形就是 ，这条直线就是它的 .（2）. 如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形 ，那么这两个图形成 ，这条直线就是 ，折叠后重合的对应点就是 .（3）.如果两个图形关于 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 .2.中心对称（1）. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫做 图形，这个点就是它的 ．（2）. 把一个图形绕着某一个点旋转 °，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点 ，这个点叫做 ．这两个图形中的对应点叫做关于中心的 ．（3）. 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心所 ．关于中心对称的两个图形是 图形.（4）. 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 ，即点),(y x P 关于原点的对称点1P 为 . 对应训练1、如图，一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像，此时，它所看到的全身像（ ）2、如图①～④是四种正多边形的瓷砖图案.其中，是轴对称图形但不是中心对称的图形为（ ）A.①③B. ①④C.②③D.②④3、已知∠AOB=30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点所构成的三角形是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形4、如图，AD 是ΔABC 的中线，∠ADC=45°，把ΔADC 沿AD 对折，点C 落在点C ′的位置，则BC′与BC 之间的数量关系是 .5、如图，方格纸中有三个点A B C ，，，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．（1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．6、如图，在直角坐标系xOy 中， A(一l ，5)，B(一3，0)，C (一4，3)．(1) 在右图中作出△ABC 关于y 轴的轴对称图形△A ′B ′C ′，并写出对应点的坐标；(2) 如果ABC △中任意一点M 的坐标为()x y ，，那么它的对应点N 的坐标是 ．7.如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在点Q 处，点D 落在点E 处，EQ 与BC 交于点F.若AD ＝8 cm ，AB ＝6 cm ，AE ＝4 cm ，则△EBF 的周长是________cm .8、如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，AC ＝2，BD ＝23，将菱形按如图方式折叠，使点B 与点O 重合，折痕为EF ，则五边形AEFCD 的周长为 ．9、如图，正方形ABCD 中，AB ＝2，E 是CD 中点，将正方形ABCD 沿AM 折叠，使点B 的对应点F 落在AE 上，延长MF 交CD 于点N ，则DN 的长为 __________．考点二：平移旋转有关概念1. 一个图形沿着一定的方向平行移动一定的距离，这样的图形运动称为__ ___，它是由移动的 和 所决定．2. 平移的特征是：经过平移后的图形与原图形的对应线段 ，对应图形的 与 都没有发生变化，即平移前后的两个图形 ；且对应点所连的线段 ．3. 图形旋转的定义：把一个图形 的图形变换，叫做旋转，叫做旋转中心， 叫做旋转角． 4. 图形的旋转由 、 和 所决定．①旋转 在旋转过程中保持不动．②旋转 分为 时针和 时针.③旋转 一般小于360º.5. 旋转的特征是：图形中每一点都绕着 旋转了 的角度，对应点到旋转中心的 相等，对应 相等，对应 相等，图形的 都没有发生变化.也就是旋转前后的两个图形 .对应训练1、如图，下列图案②③④⑤⑥⑦中， 是由①平移得出的， 是由①平移且旋转得出的。
2023年上海市16区数学中考二模专题汇编5 图形的平移、旋转、翻折、新定义(18题)含详解
专题05图形的平移、旋转、翻折、新定义（18题）一、单选题1．（2023·上海黄浦·统考二模）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．菱形C．等腰梯形D．圆2．（2023·上海嘉定·统考二模）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．等腰梯形C．矩形D．正五边形二、填空题5．（2023·上海黄浦A的对应点是点6．（2023·上海静安处，点A落在点7．（2023·上海金山·统考二模）已知线段AC上，如果点E关于直线8．（2023·上海闵行三角形为特征三角形．9．（2023·上海浦东新·于点F．如果2AD AB=10．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，抛物线“月牙线”，抛物线1C和抛物线=，那么抛物线果BD CD11．（2023·上海宝山·统考二模）13．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在菱形ABCD 中，6AB =，80A ∠=︒，如果将菱形ABCD 绕着点D 逆时针旋转后，点A 恰好落在菱形ABCD 的初始边AB 上的点E 处，那么点E 到直线BD 的距离为___________．14．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =，点D 、E 分别是边BC 、BA 的中点，连接DE ．将BDE 绕点B 顺时针方向旋转，点D 、E 的对应点分别是点1D 、1E ．如果点1E 落在线段AC 上，那么线段1CD =____．三、解答题15．（2023·上海静安·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax x c a =-+≠与x 轴分别交于点()1,0A 、点()3,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 在线段BC 上，设点P 的横坐标为m ．(1)求直线BC 的表达式；(1)如图，如果点O '恰好落在半圆O 上，求证： O A BC'=；(2)如果30DAB ∠=o ，求EF O D'的值；(3)如果3,1OA O D =='，求OF 的长．17．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点()2,7A -，与x 轴交于点B 、()5,0C ．(1)求抛物线的顶点M 的坐标；(2)点E 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCE 沿直线BE 翻折，如果点C 的对应点F 恰好落在抛物线的对称轴上，求点E 的坐标；(3)点P 在抛物线的对称轴上，点Q 是抛物线上位于第四象限内的点，当CPQ 为等边三角形时，求直线BQ 的表达式．18．（2023·上海松江·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知直线2y x =-+与y 轴交于点A ，抛物线()21(0)y x t t =-->的顶点为B ．(1)若抛物线经过点A ，求抛物线解析式；(2)将线段OB 绕点B 顺时针旋转90︒，点O 落在点C 处，如果点C 在抛物线上，求点C 的坐标；(3)设抛物线的对称轴与直线2y x =-+交于点D ，且点D 位于x 轴上方，如果45BOD ∠=︒，求t 的值．专题05图形的平移、旋转、翻折、新定义（18题）一、单选题1．（2023·上海黄浦·统考二模）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（）A．等边三角形B．菱形C．等腰梯形D．圆【答案】D【分析】依据轴对称图形的意义，即在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以画出它们的对称轴．【详解】解：等边三角形有3条对称轴，菱形有2条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，圆形有无数条对称轴，圆的对称轴条数最多，故选：D．【点睛】此题主要考查如何确定轴对称图形的对称轴条数及位置，解题的关键是掌握轴对称的概念．2．（2023·上海嘉定·统考二模）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．等腰梯形C．矩形D．正五边形【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义逐项判断即可．【详解】A选项：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；B选项：等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；C选项：矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；D选项：正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选C．【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解定义，会根据定义判断轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．二、填空题在正方形ABCD 和正三角形∴点O ，E 均在BC 的垂直平分线上，∴点E ，O ，P ，G 四三点共线，∵正方形ABCD 和正三角形∴6BC BE ==．116OG BG BC ===⨯=在正方形ABCD 和正三角形∴点O ，E 均在BC 的垂直平分线上，∴点E ，O ，P ，G 四三点共线，∵正方形ABCD 和正三角形∴6BC BE ==．∴11622OG BG BC ===⨯【答案】20【分析】根据旋转可得根据AA B '∠【详解】解：∵∴180ACB ∠=∵将ABC 绕点∴30B A C BAC ∠=∠=''︒，∴(11802CAA CA A ''∠=∠=︒∴AA B CA A B A C '''''∠=∠-∠故答案为：20︒．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握旋转的性质是关键．A 的对应点是点1A ，点B 的对应点是点1B ），如果点1A 坐标是()20-，，那么点1B 的坐标是________．【答案】()12，【分析】各对应点之间的关系是横坐标减3，纵坐标加3，那么让点B 的横坐标减3，纵坐标加3即为点1B 的坐标．【详解】解：∵()13A -，平移后对应点1A 的坐标为()20-，，∴A 点的平移方法是：先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，∴B 点的平移方法与A 点的平移方法是相同的，∴()41B -，平移后的坐标是：()4313--+，即()12，．故答案为：()12，．【点睛】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．6．（2023·上海静安·统考二模）如图，在ABC 中，AB AC =，将ABC 绕着点B 旋转后，点C 落在AC 边上的点E 处，点A 落在点D 处，DE 与AB 相交于点F ，如果BE BF =，那么DBC ∠的大小是______．【答案】108︒/108度【分析】设A x ∠=，由AB AC =，BE BF =得ABC C ∠∠=，BEF BFE ∠∠=，再由旋转的性质得DEB C ABC DBE ∠∠∠∠===，BE BC =，从而有CBE A x ∠∠==，同理可证：EBF A x ∠∠==，利用三角形的内角和定理构造方程即可求解．【详解】解：设A x ∠=，∵AB AC =，BE BF =，∴ABC C ∠∠=，BEF BFE ∠∠=，∵将ABC 绕着点B 旋转后，点C 落在AC 边上的点E 处，点A 落在点D 处，DE 与AB 相交于点F ，∴DEB C ABC DBE ∠∠∠∠===，BE BC =，∵180BEC C CBE ABC C A ∠∠∠∠∠∠++=++=︒，∴CBE A x ∠∠==，同理可证：EBF A x ∠∠==，【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称的性质，掌握垂线段最短是解题的关键．8．（2023·上海闵行·统考二模）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角三角形为特征三角形．问题解决：如图，在ABC 中，【答案】253【分析】由题意可分：,A B βα∠=∠=，过点∴A ADC ∠=∠，∵4tan 3A =，∴4tan 3ADC ∠=，∵ABC 是特征三角形，即∴2ABE ABC ∠=∠，∴BC 平分ABE ∠，【答案】35【分析】通过证明AEF △得出边之间的关系，即可求解．【详解】解：∵2=AD AB ∴设,2AB a AD a ==，【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，以及解直角三角形的方法和步骤．10．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，抛物线则tan tan DAC ∠=∠∴t n a CD DAC AC ∠==∴165CD =∴1695BD =-=；作DE AB ⊥于E ，则∵AD AD =，∴Rt △∵，90ACB ∠=︒，设BD x =，则CD DE =【答案】3372-【分析】利用含30度角的直角三角形的性质，分别求出出90DBE ∠=︒，在Rt【答案】3【分析】如图，旋转、菱形的性质可知，180ADE DEA ∠=︒-∠-∠由旋转、菱形的性质可知，∴80DEA A ∠=∠=︒，ABD ∠∴180ADE DEA ∠=︒-∠-∠【答案】355【分析】根据勾股定理求得AB ，根据旋转的性质得出根据相似三角形的性质即可求解．设旋转角为α，∴11ABE CBD ∠=∠，旋转，∴115,1BE BE BD BD ====，三、解答题15．（2023·上海静安·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax x c a =-+≠与x 轴分别交于点(1)求直线BC 的表达式；(2)如果以P 为顶点的新抛物线经过原点，且与①求新抛物线的表达式（用含②过点P 向x 轴作垂线，交原抛物线于点【答案】(1)3y x =-+(2)①()2233m y x m m m-=--+，【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点式即可；（2）①先求出()3P m m -+，，设新抛物线解析式为抛物线解析式，再根据点P 在线段称时，当四边形AEDP 关于PE 【详解】（1）解：把()1,0A 、B ∴13a c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为24y x x =-+在243y x x =-+中，令0x =，则∴()0,3C ；设直线BC 的解析式为y kx b =+∴303k b b +=⎧⎨=⎩，∴13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y x =-+（2）解：①∵点P 在线段BC【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称的性质，求一次函数解析式等等，灵活运用所学知识是解题的关键．16．（2023·上海松江·统考二模）如图，(1)如图，如果点O '恰好落在半圆O 上，求证： O A BC'=；(2)如果30DAB ∠=o ，求EF O D'的值；(3)如果3,1OA O D =='，求OF 的长．【答案】(1)见解析(2)24(3)97OF =或95OF =．【分析】（1）如图：连接,OC O C '，先根据圆的性质和对称的性质说明OAO ' 是等边三角形，明60COO BOC '∠=∠=︒即可证明结论；（2）设圆O 的半径为2a ，则2O A OA a '==，如图：作ON AD ⊥于N ；先根据对称的性质和等腰三角形的性质可得,30120ODA OAD AOD ︒︒∠=∠=∠=，然后解直角三角形可得()232O D a '=-、EF OE ==∵点O '恰好落在半圆O 上，∴OO OA '=，∵点O '与点O 关于直线AC 对称∴AO OA CO CO ==='',O AC '∠∵,30OA OD OAD =∠=︒，∴,30120ODA OAD AOD ︒∠=∠=∠=在Rt AON △中，sin 30ON OA =⋅︒∵ON AD ⊥，∴FN FM=∴1212AFD OFA AD FM S AD S AO AO FN ⨯==⨯ ，又∵AFD S DF S OF = ，∴FN FM =，∴1212AFD OFA AD FM S AD S AO AO FN ∆∆⨯==⨯，又∵AFD OFA S DF S OF ∆∆=，(1)求抛物线的顶点M 的坐标；(2)点E 在抛物线的对称轴上，且位于的对称轴上，求点E 的坐标；(3)点P 在抛物线的对称轴上，点式．【答案】(1)245y x x =--，顶点坐标为：(2)点E 的坐标为()2,3；(3)直线BQ 的函数表达式为【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）先求解抛物线与x 轴交于轴与x 轴交于点H ，则H 点的坐标为2233FH FB BH =-=，（3）连接CF ，证明FCB 于点K ，可得点K 的坐标为【详解】（1）解：∵抛物线∵抛物线与x 轴交于(1,0B -∴6BC =，抛物线的对称轴为直线设抛物线的对称轴与x 轴交于点由翻折得6CB FB ==，由勾股定理，得FH FB =∴点F 的坐标为()2,33，∴60FBH ∠=︒，∴CP CQ =，CB CF =，∠∴FCP BCQ ∠=∠，∴BCQ FCP ≌，∴CBQ CFH ∠=∠，∵BCF △为等边三角形，∴30CFH CBQ ∠=︒=∠，设BP 与x 轴相交于点K ，∴3tan 303OK OB =︒= ．(1)若抛物线经过点A ，求抛物线解析式；∵旋转，∴,90OB OC OBC =∠=∴BEO OBC BDC ∠=∠=∠∴90OBE CBD ∠=︒-∠由2y x =-+，令0y =，得∴2OA OH ==，AH =∴OAH △是等腰直角三角形∵BD y ∥轴，。
中考数学2轮复习专题(14个)
中把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
【范例讲析】： 例1： 填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。
3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x+=．则221x x +的值为__________．2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值 （ ） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。
4. 解方程： 211()65()11x x +=--中考数学专题复习之二：待定系数法对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法． 【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。
（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。
初中数学中考二轮复习重难突破专题04 折叠问题(含答案)
专题04 折叠问题重点分析在中考，这是必考内容，主要考查形式包括：单纯判断对称图形的识别；利用对称图形的性质求点坐标；利用折叠的对称性性质的相关计算与证明。
难点解读考点：轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图形定义如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴对应线段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′性质对应点所连的线段被对称轴垂直平分区别(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴关系(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．真题演练1.如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为，则的长为____，的长为____．【答案】①. ②.【解析】由折叠得，，，设DF=x，则AF=8-x，，由勾股定理得DF=，，过作，过D作DM⊥于M，根据面积法可得，，再由勾股定理求出，根据线段的和差求出，最后由勾股定理求出；【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，由折叠得，，设DF=x，则AF=8-x，又Rt中，，即解得，，即DF=∴过作，过D作DM⊥于M，∵∴，解得，∵∴，解得，∴∴∴；故答案为：6；．【点拨】此题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．2.如图，在中．，点是边上一动点．连接，将沿折叠，点落在处，当点在内部（不含边界）时，长度的取值范围是___________．【答案】【解析】分别求出当落在AC和BC上时的长度即可.【详解】∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4，∴，当点落在AC上时，如图，∵将△ABD沿BD折叠，点A落在处，∴∠ADB==90°，∵，∴，当点落在BC上时，如图，过点D作DH⊥AB于H，∵将△ABD沿BD折叠，点A落在处，∴∠ABD=∠DBC=45°，∵DH⊥AB，∴∠HDB=∠HBD=45°，∴BH=DH，∵，∴HD=2AH=BH，∵AB=AH+BH=2AH+AH=2，∴，，∴，∴当点在△ABC内部（不含边界）时，AD长度的取值范围为．【点拨】本题考查折叠问题，解题的关键是考虑两种极端情况．还可以利用相似来解题．3.如图，长方形ABCD中，AD=BC=8，AB=CD=17，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为______．【答案】或【解析】分两种情况：点E在DC线段上，点E为DC延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即可．【详解】如图1，∵折叠，∴△AD′E≌△ADE，∴∠AD′E=∠D=90°，∵∠AD′B=90°，∴B.D′、E三点共线，又∵ABD′∽△BEC，AD′=BC，∴ABD′≌△BEC，∴BE=AB=17，∵BD′==15，∴DE=D′E=17﹣15=2；如图2，∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，∴∠CBE=∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，∠D″=∠BCE，AD″=BC，∠CBE=∠BAD″，∴△ABD″≌△BEC，∴BE=AB=17，∴DE=D″E=17+15=32．综上所知，DE=2或32．故答案为2或32．【点拨】本题考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键．4.在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2 cm，M为AB的中点，N为BC上一动点（不与点B重合），将△BMN 沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为_____．【答案】或2【解析】分两种情况：①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性质得出AB=CD=BC=2，AD ∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，DE=AD=2，求出DG=，CG=，BG=BC+CG=3，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，证明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=120°，证出D.E.N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②如图2，当CE=CD上，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（含CE=DE这种情况）．【详解】解：分两种情况，①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，∴DE=AD=2，∵DG⊥BC，∴∠CDG=90°-60°=30°，∴CG=CD=1，∴DG=CG=，BG=BC+CG=3，∵M为AB的中点，∴AM=BM=1，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，在△ADM和△EDM中，AD＝ED，AM＝EM，DM＝DM，∴△ADM≌△EDM（SSS），∴∠A=∠DEM=120°，∴∠MEN+∠DEM=180°，∴D.E.N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得：（3-x）²+（）² =（x+2）²，解得：x=，即BN=；②当CE=CD时，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，如图2所示：CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（符合题干要求）；综上所述，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为或2；故答案为或2．【点拨】本题考查了折叠变换的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．5.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P是AB上（不含端点A，B）任意一点，把△PBC沿PC折叠，当点B′的对应点落在矩形ABCD的对角线上时，BP=__________________________．【答案】或．【解析】分两种情况探讨：①点B落在矩形对角线BD上，②点B落在矩形对角线AC上，由三角形相似得出比例式，即可得出结果．【详解】①点A落在矩形对角线BD上，如图1所示．∵矩形ABCD中，AB=4，BC=3∴∠ABC=90°，AC=BD，∴AC=BD==5．根据折叠的性质得：PC⊥BB′，∴∠PBD=∠BCP，∴△BCP∽△ABD，∴，即，解得：BP=．②点A落在矩形对角线AC上，如图2所示．根据折叠的性质得：BP=B′P，∠B=∠PB′C=90°，∴∠AB′A=90°，∴△APB′∽△ACB，∴，即，解得：BP=．故答案为或．【点拨】本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，由三角形相似得出比例式是解决问题的关键．6.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为_____．【答案】或10【解析】【详解】试题分析：根据题意，可分为E点在DC上和E在DC的延长线上，两种情况求解即可：如图①，当点E在DC上时，点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上，易求FP=3，所以FQ=2，设FE=x，则FE=x，QE=4-x，在Rt△EQF中，（4-x）2+22=x2，所以x=．（2）如图②，当，所以FQ=点E在DG的延长线上时，点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线QP上，易求FP=3，所以FQ=8，设DE=x，则FE=x，QE=x-4，在Rt△EQF中，（x-4）2+82=x2，所以x=10，综上所述，DE=或10.7.如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是________．【答案】或【解析】存在两种情况：当=DC时，连接ED，根据勾股定理可得ED的长，可判断E，A´，D三点共线，根据勾股定理即可得出结论；当=时，证明AEA´F是正方形，于是得出结论．【详解】解：①当=DC时，如图1，连接ED，∵点是的中点，，，四边形是矩形，∴AD=BC=，∠A=90°，∴DE=，∵将沿所在直线翻折，得到，∴A´E=AE=2，A´D=DC=AB=4，∴DE=A´E+A´D=6，∴点E，A´，D三点共线，∵∠A=90°，∴∠FA´E=∠FA´D=90°，设AF=x，则A´F=x，FD=-x，在Rt△FA´D中，，解得x=，∴FD=3；②当=时，如图2，∵=，∴点A´在线段CD的垂直平分线上，∴点A´在线段AB的垂直平分线上，∵点是的中点，∴EA´是AB的垂直平分线，∴∠AEA´=90°，∵将沿所在直线翻折，得到，∴∠A=∠EA´F=90°，AF=FA´，∴四边形AEA´F是正方形，∴AF=AE=2，∴DF=．故答案为或．【点拨】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理．分类讨论思想的运用是解题的关键．8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE 所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形，则AE的长为____或___【答案】3或【解析】△AB′F为直角三角形，应分两种情况进行讨论.当∠AFB′为直角时，利用勾股定理求出B′E，也就是BE的长，便求出AE．当∠AB′F为直角时，过A作AN⊥EB′，交EB′的延长线于N，构造Rt△B′EF，利用勾股定理便可求出AE.【详解】解：①当B′D⊥AE时，△AB′F为直角三角形，如下图：根据题意，BE=B′E,BD= B′D=BC=. ∠B=∠EB′F∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2∴AB===4∴∠B=∠EB′F =30°.∵在Rt△BDF中，∠B=30°∴DF=BD=∴B′F=B′D-DF=-=∵在Rt△B′EF中，∠EB′F =30°∴EF=B′E,∵B′F===EF,即=EF,∴EF=，则BE=1，∴AE=AB-BE=4-1=3.②当D B′⊥A B′时，△AB′F为直角三角形，如下图：连接AD，过A作AN⊥EB′，交EB′的延长线于N.根据题意，BE=B′E,BD=CD=B′D=BC=. ∠B=∠EB′F ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2∴AB===4∴∠B=∠EB′F =30°.∵∠AB′F=90°∴∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=120°∴Rt△AB′N中，∠AB′N=60°，∠B′AN=30°在Rt△AB′D和Rt△ACD中∴Rt△AB′D≌Rt△ACD（H L）∴AB′=AC=2∴B′N=1,AN=设AE=x,则BE= B′E=4-x∵在Rt△AEN中，∴()2+(4-x+1)2=x2∴x=综上，AE的长为3或.【点拨】本题是一道综合题，涉及到直角三角形全等的判定，30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识.9.如图，在矩形中，，，将点绕点逆时针旋转，点的对应点为.的平分线交于，且.若点落在矩形的边上，则的值为______.【答案】或【解析】分两种情况：①点B′落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得AB＝BE，即可求出a的值；②点B′落在CD 边上，证明△ADB′∽△B′CE，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．【详解】解：分两种情况：①当点B′落在AD边上时，如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，∴AB＝BE，∴a＝；②当点B′落在CD边上时，如图2．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，∴DB′＝＝，EC＝BC−BE＝a−a＝a．∵∠B′AD＝∠EB′C＝90°−∠AB′D，∠D＝∠C＝90°，∴△ADB′∽△B′CE，∴，即，解得a1＝，a2＝−（舍去）．综上，所求a的值为或．故答案为或．【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键。
中考数学二轮复习专题一选填重难点题型五图形折叠及动点问题的相关计算试题
题型五 图形折叠及动点问题的相关计算1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，D ，E 分别在AB 、AC 上，将△ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为( ) A .12B ．3C ．2D ．1 , 第1题图) , 第2题图)2．如图，在直角坐标系中，ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(0，8)，B(－6，8)，C(－6，0)，D(0，0)，现有动点P 在线段CB 上运动，当△ADP 为等腰三角形时，P 点坐标为__________.3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，将△ADE 沿直线DE 翻折，点A 的对应点在边AB 上，连接A′C，如果A′C＝A′A，那么BD ＝__________., 第3题图) , 第4题图)4．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，AD ＝2，点P 在线段AB 上运动，设AP ＝x ，现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF(点E 、F 为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原，则四边形EPFD 为菱形时，x 的取值范围是__________.5．(2017·濮阳模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上的任意一点(点E 不与点B 重合)，沿DE 翻折△DBE 使点B 落在点F 处，连接AF ，则线段AF 的长取最小值时，BF 的长为__________., 第5题图) , 第6题图)6．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，动点P 从点A 出发，以2 cm /s 的速度沿射线AC 运动，当t ＝__________s 时，△ABP 为等腰三角形.7．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，CB ′的长为__________．, 第7题图) , 第8题图)8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，将矩形ABCD 折叠，使得点B 落在边AD 上，记为点G ，BC 的对应边GI 与边CD 交于点H ，折痕为EF ，则AE ＝__________时，△EGH 为等腰三角形.9．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6(如图所示)，将△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF，顶点A 、B 、C 分别与D 、E 、F 对应．若以点A 、D 、E 为顶点的三角形是等腰三角形，且AE 为腰，则m 的值是__________．, 第9题图) , 第10题图)10．(2017·南阳模拟)如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E 是边AD 上的一个动点，把△BAE 沿BE 折叠，点A 落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE 的长为__________.11．(2016·金华)如图，Rt △ABC 纸片中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边BC 上，以AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB′D，AB ′与边BC 交于点 E.若△DEB′为直角三角形，则BD 的长是__________．题型五 第15题图形折叠及动点问题的相关计算1．D 【解析】∵△A′DE 由△ADE 翻折而成，∴AE ＝A′E，∵A ′为CE 的中点，∴AE ＝A′E＝12CE ，∴AE ＝13AC ，AE AC ＝13，∵∠C ＝90°，DE ⊥AC ，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AE AC ＝13，DE 3＝13，解得DE ＝1.故选D .2．(－6，4)，(－6，27)，(－6，8－27) 【解析】如解图，当AP ＝PD 时，点P 在AD 的垂直平分线上，∴P(－6，4)，当AP ＝AD ＝8时，BP ＝AP 2－AB 2＝27，当DP ＝AD ＝8时，PC ＝27，∴P(－6，27)，(－6，8－27)，∴P 点坐标为(－6，4)，(－6，27)，(－6，8－27).3.152【解析】∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝10，∵A ′C ＝A′A，∴∠A ＝∠A′CA，∵∠ACB ＝90°，∴∠B ＋∠A ＝∠BCA′＋∠A′CA＝90°，∴∠B ＝∠BCA′，∴AA′＝A′B ＝12AB ＝5，∵将△ADE 沿直线DE 翻折，∴A ′D ＝AD ＝52，∴BD ＝A′B＋A′D＝152. 4．2≤x ≤5 【解析】∵要使四边形EPFD 为菱形，则需DE ＝EP ＝FP ＝DF ，∴如解图①：当点E 与点A 重合时，AP ＝AD ＝2，此时AP 最小；如解图②：当点P 与B 重合时，AP ＝AB ＝5，此时AP 最大；∴四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围是：2≤x ≤5.图① 图②5.1255【解析】由题意得：DF ＝DB ，∴点F 在以D 为圆心，BD 为半径的圆上，如解图，作⊙D ；连接AD 交⊙D 于点F ，此时AF 值最小，∵点D 是边BC 的中点，∴CD ＝BD ＝3；而AC ＝4，由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2，∴AD ＝5，而FD ＝3，∴FA ＝5－3＝2，即线段AF 长的最小值是2，如解图，连接BF ，过F 作FH ⊥BC 于H ，∵∠ACB ＝90°，∴FH ∥AC ，∴△DFH ∽△ACD ，∴DF AD ＝DH CD ＝HF AC ，∴HF ＝125，DH ＝95，∴BH ＝245，∴BF ＝BH 2＋HF 2＝1255. 6．5或6或255【解析】由题意可知AP ＝2t ，当AB ＝AP 时，有2t ＝10，解得t ＝5；当AB ＝BP 时，则可知AC ＝CP ，则AP ＝12，即2t ＝12，解得t ＝6；当AP ＝BP 时，CP ＝2t －6，BP ＝2t ，在Rt△BPC 中，由勾股定理可得BC 2＋CP 2＝BP 2，即64＋(2t －6)2＝4t 2，解得t ＝256；综上可知t 的值为5s 或6s 或256s . 7．2或10 【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如解图①，连接AC ，在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∴AC ＝5，∵∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处，∴∠AB ′E ＝∠B ＝90°，当△CEB′为直角三角形时，能得到∠EB′C＝90°，∴点A 、B′、C 共线，即∠B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点B′处，∴EB ＝EB′，AB ＝AB′＝3，∴CB′＝5－3＝2；②当点B′落在AD 边上时，如解图②，此时四边形ABEB′为正方形，∴B ′E ＝AB ＝3，∴CE＝4－3＝1，∴Rt △B ′CE 中，CB ′＝12＋32＝10.综上所述，BE 的长为2或10.图① 图②8．42－2 【解析】∵在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝∠B ＝∠EGH ＝90°，∴∠AGE ＋∠AEG ＝∠AGE ＋∠DGH ＝90°，∴∠AEG ＝∠DGH ，∵△EGH 为等腰三角形，∴EG ＝GH ，在△AEG 与△DGH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ∠AEG ＝∠DGH EG ＝GH，∴△AEG ≌△DGH ，∴DG ＝AE ，∵AB ＝8，AD ＝6，将矩形ABCD 折叠，使得点B 落在边AD 上，∴BE ＝GE ，∴BE ＝8－AE ，∴AG ＝6－AE ，∵AG 2＋AE 2＝GE 2，∴(6－AE)2＋AE 2＝(8－AE)2，∴AE ＝42－2，∴AE ＝42－2时，△EGH 为等腰三角形.9．6或256【解析】分2种情况讨论：①当DE ＝AE 时，作EM ⊥AD ，垂足为M ，AN ⊥BC 于N ，则四边形ANEM 是矩形，∴AM ＝NE ，AM ＝12AD ＝12m ，CN ＝12BC ＝3，∴12m ＋12m ＝6－(3－12m)，∴m ＝6，②当AD ＝AE ＝m 时，∵将△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ，∴四边形ABED 是平行四边形，∴BE ＝AD ＝m ，∴NE ＝m －3，∵AN 2＋NE 2＝AE 2，∴42＋(m －3)2＝m 2，∴m ＝256.综上所述：当m ＝6或256时，△ADE 是等腰三角形.10．1或33【解析】分两种情况：①如解图①，过A′作MN ∥CD 交AD 于M ，交BC 于N ，则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，∴AM ＝BN ＝12AD ＝1，∵△ABE 沿BE 折叠得到△A′BE，∴A ′E ＝AE ，A ′B ＝AB ＝1，∴A ′N ＝A′B 2－BN 2＝0，即A′与N 重合，∴A′M＝1，∴A ′E 2＝EM 2＋A′M 2，∴A ′E 2＝(1－A′E)2＋12，解得：A′E＝1，∴AE ＝1；②如解图②，过A′作PQ ∥AD 交AB 于P ，交CD 于Q ，则直线PQ 是矩形ABCD 的对称轴，∴PQ ⊥AB ，AP ＝12AB ，AD ∥PQ ∥BC ，∴A ′B ＝AB ＝2PB ，∴∠PA ′B ＝30°，∴∠A′BC＝30°，∴∠EBA ′＝30°，∴AE ＝A′E＝A′B·tan 30°＝1×33＝33；综上所述：AE 的长为1或33.11．2或5 【解析】∵Rt △ABC 纸片中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴AB ＝10，∵以AD 为折痕将△ABD 折叠得到△AB′D，∴BD ＝DB′，AB ′＝AB ＝10.如解图①所示：当∠B′DE＝90°时，过点B′作B′F⊥AF ，垂足为F.设BD ＝DB′＝x ，则AF ＝6＋x ，FB ′＝8－x.在Rt △AFB ′中，由勾股定理得：AB′2＝AF 2＋FB′2，即(6＋x)2＋(8－x)2＝102.解得：x 1＝2，x 2＝0(舍去)．∴BD ＝2；如解图②所示：当∠B′ED＝90°时，C 与点E 重合．∵AB′＝10，AC ＝6，∴B ′E ＝4.设BD ＝DB′＝x ，则CD ＝8－x.在Rt △B ′DE 中，DB ′2＝DE 2＋B′E 2，即x 2＝(8－x)2＋42.解得：x ＝5.∴BD ＝5.综上所述，BD 的长为2或5.。
二、解答重难题型突破+题型5 圆的综合++++课件+2025年中考数学总复习人教版(山东)
P在半圆弧AB上运动(不与A,B两点重合),过点C作直线PB的垂线CD交PB于点D.
(1)如图1,求证:△PCD∽△ABC.
(2)当点P运动到什么位置时,△PCD≌△ABC?请在图2中画出△PCD并说明理由.
(3)如图3,当点P运动到CP⊥AB时,求∠BCD的度数.
28
【解析】(1)∵AB是☉O的直径,
∴∠BCD=30°.
31
本课结束
∴BF=BE=5.
∵∠ABE=∠AMF=90°,∠BAE=∠MAF,
∴△AMF∽△ABE,
∴ = ,即 = = =2.
设MF=x,则AM=2x,
∴BM=10-2x.
5
∵BM2+MF2=BF2,
∴(10-2x)2+x2=52,解得x=3,x=5(不符合题意,舍去),即MF=3.
∴∠PCD=60°.
∵四边形ABDC内接于☉O,
∴∠B=∠PCD=60°.
9
(2)∵点C为的中点,
∴∠CAD=∠CDA,∴AC=CD.
∵∠ADB=90°,
∴∠CDA+∠CDP=90°.
在Rt△ADP中,∠CAD+∠P=90°,
∴∠CDP=∠P,
∴CD=PC=2 ,
∴AC=CD=PC=2 ,
,对角线AC为☉O
【例2】(2024·济南三模)如图,四边形ABCD内接于☉O,=
的直径,延长BC交过点D的切线于点E.
(1)求证:DE⊥BE;
3
(2)若☉O的半径为5,tan∠DAC= ,求DE的长.
4
12
【自主解答】(1)连接DO并延长交AB于F,
中考数学二轮复习专题一选填重难点题型突破题型五图形折叠及动点问题的相关计算试题
题型五图形折叠及动点问题的相关计算1. 如图，在△ ABC 中，/ C = 90°, BC=3,D, E分别在AB AC上，将△ ADE沿DE翻折后，点A落在点A'处，若A'为CE的中DE的长为（）点，则折痕1A22. 如图，在直角坐标系中,A(0 , 8) , B( —6, 8) ,C(—6, 0）, D（0 , 0），现有动点P在线段CB上运动，当△ ADP为等腰三角形时，P点坐标为3. 如图，在Rt△ ABC中，/ C= 90°, AC= 8, BC= 6,点D, E分别在边AB, AC上，将△ ADE沿直线DE翻折，点A的对应点在边AB上，连接A C,如果A C= A A,那么BD=4. 如图，在矩形纸片ABCD中, AB= 5, AD= 2,点P在线段AB上运动，设AP= x,现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原，则四边形EPFD为菱形时，x的取值范围是 ________________ .5. （2020 •濮阳模拟）如图，在Rt△ ABC中，/ ACB= 90°, AC= 4, BC= 6，点D 是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折厶DBE使点B落在点F处，连接AF,则线段AF的长取最小值时，BF的长为______________ .6. 如图，在△ ABC 中，/ ACB= 90°, AB= 10 cm, BC= 8 cm,动点P从点A出发，以2 cn/s的速度沿射线AC运动，当t = ____________ s时，△ ABP为等腰三角形.7. 如图，矩形ABCD中, AB= 3, BC= 4,点E是BC边上一点，连接AE,把/B沿AE折叠，使点B落在点B'处.当△ CEB为直角三角形时，CB'的长为____________ .第2题图）第3题图）第4题图）B. 3C. 2D. 1ABCD勺四个顶点的坐标分别为&如图，在矩形 ABCD 中, AB = 8, AD- 6,将矩形 ABCD折叠，使得点 B 落在边AD 上,记为点G, BC 的对应边GI 与边CD 交于点H,折痕为EF ,则AE = ________________ 时，△ EGH 为等 腰三角形.9. 已知在厶ABC 中，AB = AC - 5, BC= 6（如图所示），将△ ABC 沿射线BC 方向平移 m 个单位得到厶DEF 顶点 A 、B 、C 分别与D E 、F 对应.若以点 A 、D E 为顶点的三角形是等腰三角形，且 AE 为腰，则m 的值是 ____________10. （2020 •南阳模拟）如图，矩形ABCD 中, AB= 1, AD= 2,点E 是边AD 上的一个动点，把厶BAE 沿 BE 折叠，点A 落在A'处，如果A'恰在矩形的对称轴上，则AE 的长为 _____________11. （2020 •金华）如图，Rt △ ABC 纸片中，/ C -90°, AC - 6, BC - 8,点 D 在边 BC 上,以AD 为折痕将厶ABD 折叠得到厶AB D, AB'与边BC 交于点E.若厶DEB 为直角三角形， 则BD 的长是 ___________第8题图） 第9题图）第10题图）第7题图题型五第15题图形折叠及动点问题的相关计算1. D 【解析】•••△ A DE由厶ADE翻折而成，二AE= A E,v A'为CE的中点，二AE, 1 1 AE 1=A E= 2CE,A AE= 3AC, AC= 3，：/ C= 90°, DEI AC :. DE// BC, /•△AD0A ABC 二2. ( —6, 4) , ( —6, 2 7) , ( —6, 8-2 7) 【解析】如解图，当AP= PD 时，点PP( —6, 4)，当AP= AD= 8 时，BP=〒AP2—AB =亦，当DP= AD=8 时,PC= 2 7, ••• P( —6, 2 7) , ( —6, 8—2 7) ,「. P 点坐标为(—6, 4) , ( —6 , 2 7), (—6 , 8—2 7).•••/ A=/ A CA T/ ACB= 90° , •/ B+Z A=/ BCA +/ A CA= 90° , B=/ BCA ,1 5AA = A B= 2AB= 5, •••将△ ADE沿直线DE翻折，• A D= AD= ? , • BD= A B+ A D=154. 2W x w 5【解析】•••要使四边形EPFD为菱形，则需DE= EP= FP= DF, •如解图①:咀AF_1BC= AC=DE 1亍=3，解得DP 1.故选D.在AD的垂直平分线上,153.y 【解析】•••在Rt A ABC中，/ C= 90° , AC= 8 , BC= 6, • AB= 10 , •/ A C= A A,7.当点E 与点A 重合时，AP= AA 2,此时AP 最小；如解图②：当点 P 与B 重合时，AP = AB =5，此时AP 最大；•••四边形 EPFD 为菱形的x 的取值范围是：2< x w 5.D F ( P F CP/ 图②DF = DB •••点F 在以D 为圆心，BD 为半径的圆上，如解 图，作O D连接AD 交O D 于点F ,此时AF 值最小，：•点 D 是边BC 的中点，•CD= BD= 3; 而 AC = 4，由勾股定理得： AD = AC 2 + CD ,「. AD= 5，而 FD= 3, • FA = 5-3= 2，即线段 AF 长的最小值是 2，如解图，连接 BF ,过F 作FH 丄BC 于 H,T / ACB= 90°,二FH// AC,256. 5或6或5 【解析】由题意可知 AP = 2t ，当AB= AP 时，有2t = 10,解得t = 5;当 AB = BP 时，则可知 AC = CP,贝U AP = 12,即 2t = 12,解得 t = 6;当 AP = BP 时，CP = 2t —6, BP = 2t ，在 Rt △ BPC 中，由勾股定理可得 BC + CP = BF 2, 即卩 64 + (2t — 6)2 = 4t 2，解得 2525 t =—;综上可知t 的值为5s 或6s 或^s .7. 2或典 【解析】当厶CEB 为直角三角形时，有两种情况：①当点 B'落在矩形 内部时，如解图①，连接 AC,在Rt △ ABC 中，AB= 3, BC = 4,二AC = 5, v/ B 沿AE 折叠， 使点B 落在点B'处，•/ AB' E =/ B = 90°,当厶CEB 为直角三角形时，能得到/ EB' C =90°,二点A 、B'、C 共线，即/ B 沿AE 折叠，使点B 落在对角线 AC 上的点B'处，• EB= EB' , AB = AB' = 3,二CB = 5 — 3= 2;②当点 B '落在 AD 边上时，如解图②，此时 四边形 ABEB 为正方形，• B ' E = AB = 3, • CE = 4— 3= 1, • Rt △ B ' CE 中，CB' = ,;12 + 32 =.10.综上所述，BE 的长为2或.10.A D AB r Db 1 N \ D图① 图②& 4,2 — 2 【解析】v •在矩形 ABCD 中,/ A =/ D =/ B =/ EGH= 90°, •/ AG &Z图①5.¥【解析】由题意得:DF DH HF DFH TA ACD • A D = CD =A C , 12 9 24 HF =〒，DH = 5，• BH =百，• BF =崩+ H F = ^5^.AEG=Z AGEF Z DGH k90°,二/ AEG=Z DGH，：△ EGH为等腰三角形，二EG= GH,在厶AEG / A=Z D与厶DGH中, / AEG=Z DGH「.A AEG^A DGH，二DG= AE,v AB= 8, AD= 6,将矩形ABCD EG= GH折叠，使得点B落在边AD上，••• BE= GE 二BE= 8-AE,「. AG= 6-AE,v A G+AE^= G E, •••(6 —AE)2+ A E"= (8 —AE)2,.・.AE= 4 :'2 —2,「. AE= 4 ,;2 —2 时，△ EGH为等腰三角形•259. 6或【解析】分2种情况讨论：①当DE= AE时，作EM L AD,垂足为M AN L BC6111 11 1 于N,则四边形ANEM是矩形，• AM= NE AM= 2AD=㊁“ CN^ 2BO 3,二㊁讨㊁叱6 —(3 —㊁1于N,则直线MN是矩形ABCD的对称轴，• AM= BNhqAD= 1 , •/△ ABE沿BE折叠得到厶A BE • A E= AE A B= AB= 1,「. A N= ;A/B2—BN T = 0，即A'与N重合，• A M= 1 , • A E"=E M+A，M2,• A E2= (1 —A E)2+ 12,解得：A E= 1 , • AE= 1;②如解图②，过A'作PQ// AD1交AB于P,交CD于Q 则直线PQ是矩形ABCD的对称轴，• PQ1 AB, AP= gAB, AD// PQ//BC • A' B= AB= 2PB,.・./PA' B= 30°, A BC= 30°, EBA' = 30°, • AE= A'E=A B - ta n30°= 1X# ;综上所述：AE的长为1或11. 2 或5 【解析】T Rt A ABC纸片中，/ C= 90°, AC= 6, BC= 8,二AB= 10,v 以AD为折痕将厶ABD折叠得到厶AB' D, • BD= DB , AB'= AB= 10.如解图①所示：当/B' DE=90° 时，过点B'作B' F L AF,垂足为 F.设BD= DB = x，则AF= 6+ x, FB'= 8—x.在2 2 2 2 2 2Rt A AFB 中，由勾股定理得：AB' = AF + FB'，即(6 + x) + (8 —x) = 10 .解得：X1= 2,X2 = 0(舍去).••• BD= 2;如解图②所示：当/ B' ED= 90°时，C与点E重合.T AB' = 10,AC= 6,二B ' E= 4.设B» DB = x，贝U CD= 8—x.在Rt△ B ' DE中，DB' 2= D E + B' E2,即25• m= 25.综上所述：当625m= 6或6时，△ ADE是等腰三角形*m),「. m= 6,②当AD= AE= m时，•••将△ ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△ DEF •••四边形ABED是平行四边形，• BE= AD= m •- NE= m- 3, •/ A N+N E=A E,• 42+ (m —3) 2= ni,10. 1或J 【解析】分两种情况：①如解图①，过3A'作MN/ CD交AD于M,交BC2 2 2x = (8 —x) + 4 .解得：x= 5. ••• BA 5.综上所述，BD的长为2或5.。
2025年中考数学总复习第二部分重难专题突破专题2图形的折叠问题
B. （－1，2）
C. （ 5－1，2）
D. （1－ 5，2）
解析：∵ 矩形ABCD的边AD＝5，OA∶OD＝1∶4，∴ OA＝1，OD＝
4，BC＝5.∵ AB∥OC1，∴ ∠ABO＝∠D1OC1.∵ ∠BAO＝∠OD1C1＝
90°，∴ △AOB∽△D1C1O.∴ ＝
＋
＝ .
变式训练
1. （2022·济宁）如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，
AC＝3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，再折
叠纸片，使点C与点D重合，折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ A ）
A.
13
6
B.
5
6
C.
7
6
D.
.由折叠的性质，得OD1＝OD＝
4，D1C1＝DC＝AB，∴ ＝ .∴ AB＝2.∴ CD＝2.如图，连接点F.∴ OC＝ ＋ ＝ ＋ ＝2 .∵ ∠FOA＝
∠OAB＝∠ABF＝90°，∴ 四边形OABF是矩形.∴ AB＝OF＝2，
（不合题意，舍去）.∴ 5k＝5，即☉O的半径是5.∵ ∠ECD＝15°，∴
由对称性，可知∠DCM＝30°，S涂色部分＝S弓形CBM.连接OM，则∠MOD
＝60°.∴ ∠MOC＝120°.∵ MN⊥CD，∴ MN＝MO·sin60°＝5× ＝ .
××
∠BFO＝90°＝∠EFC1，OA＝BF＝1.∴ CF＝5－1＝4.由折叠的性质，
得OC1＝OC＝2 ，EC1＝EC＝CF－EF＝4－EF.
2024年中考数学二轮复习题型突破课件：几何折叠问题
（1） 若AB＝6，AD＝8，则DE的长为
（2） 若AD＝
3AB，则 的值为
3
.
.
典例8图
典例9 在数学探究活动中，小敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片
ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP，再
将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一
合，延长DE到点F，使得EF＝2DE，连接CE，BF.
（1） 四边形BCEF的形状是
菱形 .
（2） 若AC＝4 3，则四边形BCEF的面积为 8
.
典例10图
典例11 （2023·淮南二模）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在边AB
上的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2.
典例11图
（1） 当M为AB的中点时，AE＝
80° .
（2） 当四边形BHPG为平行四边形时，PE＋PF的值为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
.
11. （2022·滁州来安二模）如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是AB，
AD的中点，E是边CD上的一个动点，连接PE，将四边形PBCE沿PE折
叠，得到四边形PEFH.
第11题
（1） 若P，H，Q三点在同一条直线上，则∠BPE的度数为
.
（2） 设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积为
2
t － t＋1
.
强化练习
1. （2023·合肥庐江二模）如图，将一张矩形纸片折叠.若∠1＝78°，则
中考数学第二轮复习专题(10个专题)
2016年中考数学第二轮专题复习专题一选择题解题方法一、中考专题诠释选择题是各地中考必考题型之一，2013年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性。
选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征,它有利于考核学生的基础知识,有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养。
二、解题策略与解法精讲选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做。
解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性,数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程。
因而，在解答时应该突出一个“选"字，尽量减少书写解题过程,要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点,灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑,探求结果;二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件。
事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效。
三、中考典例剖析考点一：直接法从题设条件出发,通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。
运用此种方法解题需要扎实的数学基础.A．1 B．-1 C．3 D．-3思路分析:设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0），再把x=—2，y=3；x=1时，y=0代入即可得出kb 的值，故可得出一次函数的解析式，再把x=0代入即可求出p的值．解:一次函数的解析式为y=kx+b（k≠0)，∵x=-2时y=3;x=1时y=0,∴23k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得11kb=-⎧⎨=⎩,∴一次函数的解析式为y=-x+1，∴当x=0时，y=1，即p=1．故选A．点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．对应训练1．（2013•安顺）若y=(a+1）x a2-2是反比例函数，则a的取值为(）A．1 B．-l C．±l D．任意实数1．A考点二：筛选法(也叫排除法、淘汰法）分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手,根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断,对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。
2024徐州中考数学二轮重难题型专题训练 题型六 几何图形折叠问题 (含答案)
2024徐州中考数学二轮重难题型专题训练题型六几何图形折叠问题二阶设问突破例1一题多设问在△ABC中，点D是AC边上的一点．(1)如图①，点E是线段AB上一点，将△AED沿DE折叠，使点A的对应点A′与点C重合，若AB＝4，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，则折痕DE的长为____________________________．图①图②例1题图(2)如图②，等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，将△BCD沿BD对折，顶点C落在AB边点C′处，若CD＝2，则AB的长为________．(3)如图③，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，将△ABD沿BD折叠后得到△A′BD，且A′B⊥AC，则AD的长为________．图③例1题图(4)如图④，点E为AB边上的中点，将△AED沿ED折叠得到△A′ED，连接A′C.若∠BAC ＝105°，AB＝4，AC＝32，当∠AED＝30°时，则A′C的长为________．图④例1题图(5)如图⑤，若△ABC是边长为5的等边三角形，点E是边AB上一点，将△AED沿DE折叠，使点A的对应点恰好落在BC边上的点A′处，若BA′＝2，则BE的长为________．例1题图⑤例2在四边形ABCD中．(1)如图①，若四边形ABCD为平行四边形，将△ABE沿AE折叠后得到△AB′E，使点B′落在AD上，求证：四边形ABEB′是菱形；例2题图①(2)如图②，若四边形ABCD为平行四边形，将该四边形沿FP折叠，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，使点B′落在AD上，求证：△B′FP为等腰三角形；例2题图②(3)如图③，若四边形ABCD为矩形，AB＝4，AF＝2，将该四边形沿FP折叠，点A的对应点为A′落在矩形外部，点B的对应点为B′落在矩形内部，A′B′与AD交于点M，且A′M＝B′M，求BP的长．例2题图③三阶综合提升1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上)．(1)若△CEF与△ABC相似．①当AC＝BC＝2时，AD的长为________；②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为________；(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．第1题图2.如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF.展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N.(1)若CM＝x，则CH＝________________(用含x的代数式表示)；(2)求折痕GH的长．第2题图3.如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为C D.展平后，再将点B折叠在边AC上(不与A、C重合)，折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF.已知BC＝4.(1)若M为AC的中点，求CF的长；(2)随着点M在边AC上取不同的位置，①△PFM的形状是否发生变化？请说明理由；②求△PFM的周长的取值范围．第3题图4.如图①，在△ABC中，AB＝42，∠B＝45°，∠C＝60°.(1)求BC边上的高线长；(2)点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连接EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF.①如图②，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数；②如图③，连接AP，当PF⊥AC时，求AP的长．第4题图5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是CD上一点，连接AE，将△ADE沿AE 折叠，点D的对应点为D′，连接CD′.(1)当E为CD的中点时，求证：AE∥CD′；(2)当点D′恰好落在线段BC上时，求出CE的长；(3)当点E与点C重合时，求点D′到BC的距离．第5题图6.如图，在矩形纸片ABCD中，E为AD边上的动点(不与点A、D重合)，将矩形纸片沿BE折叠，点A的对应点为A′，沿EF再次折叠纸片，使点D的对应点D′落在EA′的延长线上，连接DA′，已知AB＝6，BC＝11，设AE＝x.(1)若∠ABE＝30°，则BE＝________；(2)点E从点A向点D的运动过程中，求DA′的最小值；(3)当点D′恰好落在边BC上时，判断△BED′的形状，并求出此时x的值．第6题图7.如图，已知正方形ABCD的边长为8，M为CD的中点，E为线段DM上的一个动点，F 为AB上一点，将正方形沿EF折叠，使点C的对应点P始终落在边AD上，点B的对应点为Q，PQ交AB于点N，连接CP，EN.(1)若∠PNE＝30°，求S△APN∶S△DEP的值；(2)求证：CP＝EF；(3)如图②，连接PM，随着点E在线段DM上取不同的位置，是否存在点P，使得2AP＋2PM有最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．第7题图参考答案二阶例1(1)1【解析】∵∠ACB ＝90°，点A 的对应点A ′与点C 重合，∴D 为AC 中点，∠EDC ＝90°，即DE 为△ABC 的中位线，∵AB ＝4，∠BAC ＝30°，∴BC ＝2，∴DE ＝12BC ＝1.(2)4＋22【解析】∵CD ＝C ′D ＝2，∠A ＝45°，C ′D ⊥AB ，∴△AC ′D 为等腰直角三角形，∴AD ＝22，AC ＝22＋2，AB ＝2AC ＝4＋2 2.(3)2【解析】如解图①，设A ′B 与AC 交于点E ，∵∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，∴AC＝5.∵S △ABC ＝12AB ×BC ＝6＝12×AC ×BE .∴BE ＝125，由题易得，△A ′DE ∽△ACB ，A ′E ＝A ′B －BE ＝85.∴A ′D AC ＝A ′E AB ，即A ′D 5＝854，∴A ′D ＝2＝AD .例1题解图①(4)10【解析】如解图②，连接AA ′，∵∠BAC ＝105°，∠AED ＝30°，∴∠ADE ＝45°，由折叠的性质可得，∠ADA ′＝90°，AD ＝A ′D ，又∵∠AED ＝30°，∴∠AEA ′＝60°，∴AA ′＝AE ＝12AB ＝2，A ′D ＝AD ＝22AA ′＝2.CD ＝AC －AD ＝32－2＝22.在Rt △A ′CD 中，由勾股定理得，A ′C ＝A ′D 2＋CD 2＝10.例1题解图②(5)218【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝5.∵沿DE 折叠△AED ，使点A 落在BC 边上的点A ′上，∴△AED ≌△A ′ED ，∴∠DA ′E ＝∠A ＝60°，AE ＝EA ′，AD ＝DA ′，设BE ＝x ，AE ＝EA ′＝5－x ，CD ＝y ，AD ＝A ′D ＝5－y .∵BA ′＝2，BC ＝5，∴CA ′＝3.∵∠C ＝60°，∠DA ′E ＝60°，∴∠DA ′C ＋∠A ′DC ＝120°，∠EA ′B＋∠DA′C＝120°，∴∠EA′B＝∠A′DC.∵∠C＝∠B，∴△EBA′∽△A′CD，∴EBA′C＝BA′CD＝EA′A′D，即x3＝2y＝5－x5－y，解得x＝218，即BE＝218.例2(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，由折叠的性质知∠B＝∠AB′E，∴∠AB′E＝∠D，∴B′E∥CD，∴AB∥B′E，∴四边形ABEB′为平行四边形，由折叠的性质可得，AB＝AB′，∴四边形ABEB′是菱形．(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BPF＝∠B′FP，由折叠的性质可得，∠BPF＝∠B′PF，∴∠B′FP＝∠B′PF，∴B′F＝B′P，∴△B′FP为等腰三角形．(3)解：如解图，延长PB′交AD于点G，过点B′作JH⊥BC，交BC于点H，交AD于点J，在△A′MF与△B′MG中，A′＝∠MB′G′M＝B′MA′MF＝∠B′MG，∴△A′FM≌△B′GM(ASA)，∴A′F＝2＝B′G，又∵B′M＝12A′B′＝12AB＝2，∴∠GMB′＝45°，∴JB′＝2，B′H＝4－2，PB′＝2(4－2)＝42－2.∴BP＝42－2.例2题解图三阶1.解：(1)①2；(1分)②1.8或2.5；(4分)【解法提示】若△CEF 与△ABC 相似．①当AC ＝BC ＝2时，△ABC 为等腰直角三角形，如解图①所示，图①图②第1题解图此时D 为AB 边中点，AD ＝22AC ＝2；②当AC ＝3，BC ＝4时，有两种情况，a ．若CE ∶CF ＝3∶4，如解图②所示，∵CE ∶CF ＝AC ∶BC ，∴EF ∥AB ，由折叠性质可知，CD ⊥EF ，∴CD ⊥AB ，即此时CD 为AB 边上的高，在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，∴cos A ＝AC AB ＝35，∴AD ＝AC ·cos A ＝3×35＝1.8；b ．若CF ∶CE ＝3∶4，如解图③所示，∵△CEF ∽△CBA ，∴∠CEF ＝∠B .由折叠性质可知，∠CEF ＋∠ECD ＝90°.又∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠A ＝∠ECD ，∴AD ＝CD ，同理可得∠B ＝∠FCD ，CD ＝BD ，∴此时AD ＝12AB ＝12×5＝2.5，综上所述，当AC ＝3，BC ＝4时，AD 的长为1.8或2.5.图③图④第1题解图(2)当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似，理由如下：如解图④，设CD 与EF 的交点为Q ，∵CD 是Rt △ABC 的中线，∴CD ＝DB ＝12AB ，∴∠DCB ＝∠B ，由折叠性质可知，∠CQF ＝∠DQF ＝90°.∴∠DCB ＋∠CFE ＝90°.∵∠B ＋∠A ＝90°，∴∠CFE ＝∠A ，又∵∠ACB ＝∠FCE ，∴△CEF ∽△ABC .(8分)2.解：(1)x （6－x ）3或3－x 212；(4分)【解法提示】∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝6.由折叠性质得，∠N ＝∠A ＝90°，MN ＝AB ＝6，∠EMH ＝∠B ＝90°，∴∠HMC ＋∠EMD ＝90°.∵∠D ＝90°，∴∠DEM ＋∠EMD ＝90°.∴∠HMC ＝∠DEM .∵∠C ＝∠D ，∴△HMC ∽△MED .∴CM DE ＝CH DM .∵点E 为AD 的中点，∴DE ＝3.∵CM ＝x ，DM ＝6－x ，∴x 3＝CH 6－x .∴CH ＝x （6－x ）3.设CH ＝y ，∴BH ＝6－y .由折叠性质得，HM ＝HB ＝6－y ，在Rt △CHM 中，HM 2＝CH 2＋CM 2，∴(6－y )2＝y 2＋x 2.∴y ＝3－x 212.∴CH ＝3－x 212.综上所述，CH ＝x （6－x ）3或3－x 212(0＜x ＜6)；(2)∵CH ＝x （6－x ）3或3－x 212，∴x （6－x ）3＝3－x 212，解得x 1＝2，x 2＝6(舍去)．∴CH ＝83，CM ＝2.∴DM ＝4.在Rt △DME 中，EM ＝DE 2＋DM 2＝5，∴NE ＝NM －EM ＝1.∵∠N ＝∠D ＝90°，∠NEG ＝∠DEM ，∴△NEG ∽△DEM .∴GN MD ＝NE DE ，∴GN ＝NE ·MD DE ＝43.(6分)∵AG ＝GN ，∴AG ＝43.如解图，过点G 作GP ⊥BC ，垂足为点P ，∴∠BPG ＝90°.∵∠A ＝∠B ＝90°，∴四边形ABPG 为矩形，∴BP ＝AG ＝43，GP ＝AB ＝6，∴PH ＝BC －BP －CH ＝2，∴在Rt △GPH 中，GH ＝PG 2＋PH 2＝210.(9分)第2题解图3.解：(1)∵M 为AC 的中点，AC ＝BC ＝4，∴CM ＝2.设BF ＝x ，则FM ＝x ，CF ＝4－x ，在Rt △FCM 中，由勾股定理得FC 2＋CM 2＝MF 2，即(4－x )2＋22＝x 2，解得x ＝2.5，即CF ＝4－2.5＝1.5；(3分)(2)①△PFM 恒为等腰直角三角形，理由如下：∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠B ＝45°，∠ACB ＝90°.如解图，由第一次折叠得∠1＝∠2＝12∠ACB ＝45°，由第二次折叠得∠PMF ＝∠B ＝45°，第3题解图设PC 与MF 交于点Q ，∵∠PQM ＝∠FQC ，∠PMF ＝∠1＝45°，∴△PQM ∽△FQC .(4分)∴PQ FQ ＝QM QC.∴PQ QM ＝FQ QC.又∵∠PQF ＝∠MQC ，(5分)∴△PQF ∽△MQC .∴∠PFQ ＝∠2＝45°.∵∠PFQ ＝∠PMF ＝45°，∴△PFM 为等腰直角三角形；(7分)②由①知，PF ＝PM ＝22FM ，∴C △PFM ＝PF ＋PM ＋MF ＝(2＋1)MF .(8分)设MF ＝y ，CM ＝m ，则FC ＝4－y ，在Rt △FCM 中，由勾股定理得MF 2＝FC 2＋CM 2，即y 2＝(4－y )2＋m 2，∴y ＝18m 2＋2.∵0＜m ＜4，∴2＜y ＜4.(9分)∴2(2＋1)＜(2＋1)FM ＜4(2＋1)，即22＋2＜C △PFM ＜42＋4.(10分)4.解：(1)如解图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ABD 中，AD ＝AB ·sin 45°＝42×22＝4；第4题解图(2)①由题意得△AEF ≌△PEF ，∴AE ＝PE .又∵点E 为线段AB 的中点，∴AE ＝BE ，∴BE ＝PE ，∴∠EPB ＝∠B ＝45°，∴∠BEP ＝∠AEP ＝90°；②由(1)可知，AD ＝4，在Rt △ADC 中，AC ＝AD sin 60°＝833.∵PF ⊥AC ，∴∠PFA ＝90°.∵△AEF ≌△PEF ，∴∠AFE ＝∠PFE ＝45°，则∠AFE ＝∠B .又∵∠EAF ＝∠CAB ，∴△EAF ∽△CAB ，∴AF AB ＝AE AC ，即AF 42＝22833，∴AF ＝2 3.在Rt △AFP 中，AF ＝PF ，则AP ＝2AF ＝2 6.5.(1)证明：如解图①，第5题解图①∵点E 为CD 的中点，∴DE ＝CE ，由图形折叠性质可得，DE ＝D ′E ，∠AED ′＝∠AED ，∴D ′E ＝CE .∴∠ED ′C ＝∠ECD ′.∵∠AED ＋∠AED ′＋∠D ′EC ＝∠ED ′C ＋∠ECD ′＋∠D ′EC ＝180°.∴∠ED ′C ＝∠AED ′.∴AE ∥CD ′；(2)解：由题意可设CE ＝x ，则DE ＝D ′E ＝4－x ，在Rt △ABD ′中，由勾股定理得AB 2＋BD ′2＝AD ′2，即42＋BD ′2＝62，解得BD ′＝2 5.在Rt △D ′EC 中，由勾股定理得：D ′E 2＝CD ′2＋CE 2，即(4－x )2＝(6－25)2＋x 2，解得x ＝35－5.即CE 的长为35－5；(3)解：如解图②，过点D ′作D ′F ⊥BC 于点F ，AD ′交BC 于点H ，第5题解图②∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB .由折叠性质得∠DAC ＝∠D ′AC ，∴∠ACB ＝∠D ′AC .∴AH ＝CH .设CH ＝x ，则BH ＝6－x ，在Rt △ABH 中，AB 2＋BH 2＝AH 2，即42＋(6－x )2＝x 2，解得x ＝133，∴AH ＝CH ＝133，∴D ′H ＝AD ′－AH ＝6－133＝53，∵AB ∥D ′F ，∴△ABH ∽△D ′FH ，∴AB D ′F ＝AH D ′H，∴D ′F ＝2013，∴点D ′到BC 的距离为2013.6.解：(1)43；【解法提示】在Rt △ABE 中，∠BAE ＝90°，∠ABE ＝30°，∴cos ∠ABE ＝AB BE ，即32＝6BE，∴BE ＝43；(2)如解图①，点E 从点A 向点D 的运动过程中，BA ′＝BA ＝6，A ′的运动轨迹是以B 为圆心，BA 为半径的圆弧，连接DB ，交圆弧与点F ，此时DA ′的最小值即为DF 的长．第6题解图①在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2＋AD 2＝62＋112＝157，∴DF ＝157－6，∴DA ′的最小值为157－6；(3)如解图②，由折叠的性质得∠AEB ＝∠A ′EB ，第6题解图②在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠EBC ，∴∠A ′EB ＝∠EBC ，∴BD ′＝ED ′，∴△BED ′为等腰三角形．∵AE ＝x ，BC ＝11,AB ＝6，∴DE ＝11－x ，由折叠的性质得，A ′B ＝AB ＝6，∠EA ′B ＝∠A ＝90°，A ′E ＝AE ＝x ，ED ′＝DE ＝11－x ，∴BD ′＝ED ′＝11－x ，A ′D ′＝11－2x .在Rt △A ′BD ′中，BA ′2＋A ′D ′2＝BD ′2，即62＋(11－2x )2＝(11－x )2，解得x ＝11±133.则x 的值为11＋133或11－133.7.(1)解：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝∠D ＝∠BCD ＝90°，由折叠性质可知，∠NPE ＝∠BCD ＝90°，∴∠APN ＋∠DPE ＝90°，又∵∠ANP ＋∠APN ＝90°，∴∠DPE＝∠ANP，∴△APN∽△DEP，∵∠PNE＝30°，∴PN∶EP＝3∶1，∴S△APN∶S△DEP＝3∶1；(2)证明：如解图①，过点F作FG⊥CD于点G.第7题解图①∵∠B＝∠BCD＝90°，∴四边形BCGF为矩形，∴FG＝BC＝CD，由折叠可知CP⊥EF，∴∠DCP＋∠FEG＝90°，又∵∠EFG＋∠FEG＝90°，∴∠EFG＝∠DCP，在△CDP与△FGE中，D＝∠FGE＝FGDCP＝∠GFE，∴△CDP≌△FGE(ASA)，∴CP＝EF；(3)解：存在，理由如下：要求2AP＋2PM的最小值，即求2(22AP＋PM)的最小值．如解图②，构造以AP为斜边的等腰Rt△ARP，则RP＝22 AP，∴22AP＋PM的最小值即为RP＋PM的最小值，过点M作MT⊥AR于点T，交AD于点P′，则点P′即为所求，∴22AP＋PM的最小值即为MT的长．第7题解图②∵△ARP是等腰直角三角形，∴∠RAD＝45°，延长AR交CD的延长线于点S，则△ADS是等腰直角三角形，∴SD＝AD＝8，∠S＝45°，又∵MT⊥AR，∴△STM是等腰直角三角形，∴MT＝22 SM，∵M为CD的中点，∴DM＝4，∴SM＝SD＋DM＝12，∴MT＝62，∴22AP＋PM的最小值为62，∴2AP＋2PM的最小值为122，综上所述，存在点P，使得2AP＋2PM有最小值，最小值为12 2.。
2024北京中考数学二轮复习 专题一 选择、填空压轴题 (含答案)
2024北京中考数学二轮复习专题一选择、填空压轴题类型一分析统计图(表)1.根据国家统计局2019—2023年中国普通本专科、中等职业教育及普通高中招生人数的相关数据，绘制统计图如下：2019—2023年普遍本专科、中等职业教育及普遍高中招生人数第1题图下面有四个推断：①2019—2023年，普通本专科招生人数逐年增多；②2023年普通高中招生人数比2019年增加约4%；③2019—2023年，中等职业教育招生人数逐年减少；④2019年普通高中招生人数约是中等职业教育招生人数的1.4倍．所有合理推断的序号是()A.①④ B.②③ C.①②④D.①②③④2.为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校a 名学生进行调查，获得的数据整理后绘制成统计表如下：每周课外阅读时间x (小时)0≤x <22≤x <44≤x <66≤x <8x ≥8合计频数817b 15a 频率0.080.17c 0.151表中4≤x <6组的频数b 满足25≤b ≤35.下面有四个推断：①表中a的值为100；②表中c的值可以为0.31；③这a名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在6～8之间；④这a名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过6.所有合理推断的序号是()A.①②B.③④C.①②③D.②③④3.密云水库是首都北京重要水源地，水源地生态保护对保障首都水源安全及北京市生态和城市可持续发展具有不可替代的作用．以下是1986—2023年密云水库水体面积和年降水量变化图．1986—2023年密云水库水体面积和年降水量变化图第3题图(以上数据来源于《全国生态气象公报(2023年)》，部分年份缺数据)对于现有数据有以下结论：①2004年的密云水库水体面积最小，仅约为20km2；②2015—2023年，密云水库的水体面积呈持续增加趋势．表明水资源储备增多；③在1986—2023年中，2023年的密云水库水体面积最大，约为170km2；④在1986—2023年中，密云水库年降水量最大的年份，水体面积也最大．其中结论正确的是()A.②③B.②④C.①②③D.③④4.某公司计划招募一批技术人员，他们对25名面试合格人员又进行了理论知识和实践操作测试，其中25名入围者的面试成绩排名，理论知识成绩排名与实践操作成绩的排名情况如图所示第4题图下面有3个推断：①甲的理论知识成绩排名比面试成绩排名靠前；②甲的实践操作成绩排名与理论知识成绩排名相同；③乙的理论知识成绩排名比甲的理论知识成绩排名靠前．其中合理的是()A.①B.①②C.①③D.①②③5.多年来，北京市以强有力的措施和力度治理大气污染，空气质量持续改善，主要污染物的年平均浓度值全面下降．下图是1998年至2019年二氧化硫(SO2)和二氧化氮(NO2)的年平均浓度值变化趋势图．第5题图下列说法错误的是()A.1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数B.1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数C.1998年至2019年，SO2的年平均浓度值的方差小于NO2的年平均浓度值的方差D.1998年至2019年，SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快6.“实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性能的重要指标．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过40岁和年龄在40岁以上将客户分为A，B两组，从A，B组各抽取10位客户的电动汽车的实际平均续航里程数据整理成图．其中“⊙”表示A组的客户，“*”表示B组的客户.第6题图下列推断不正确的是()A.A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于B组B.A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差低于B组C.A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值低于B组D.这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位数落在B组7.某种预防病虫害的农药即将于三月15日之前喷洒，需要连续三天完成，又知当最低温度不低于0摄氏度，且昼夜温差不大于10摄氏度时药物效果最佳，为此农广站工作人员查看了三月1—15日的天气预报，请你结合气温图给出一条合理建议，药剂喷洒可以安排在________日开始进行．1—15日天气情况第7题图类型二分析与判断函数图象1.如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同．用t 表示小球滚动的时间，v 表示小球的速度．下列图象中，能表示小球在斜坡上时v 与t 的函数关系的图象大致是()第1题图2.某农科所响应“乡村振兴”号召，为某村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗先在农科所的温室中生长，平均高度长到大约20cm 时，移至该村的大棚内继续生长．研究表明，60天内，这种瓜苗的平均高度y (cm)与生长时间x (天)的函数关系的图象如图所示．当这种瓜苗长到大约80cm 时，开始开花结果，此时瓜苗在该村大棚内生长的天数是()第2题图A.10天B.18天C.33天D.48天3.有一圆形苗圃如图①所示，中间有两条交叉过道AB ，CD ，它们为苗圃⊙O 的直径，且AB ⊥C D.入口K位于AD ︵中点，园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进．设该园丁行进的时间为t ，与入口K 的距离为S ，表示S 与t 的函数关系的图象大致如图②所示，则该园丁行进的路线可能是()第3题图A.A →O →DB.C →A →O →BC.D →O →CD.O →D →B →C4.(2023通州区一模)为满足人民对美好生活的向往，造福子孙后代，环保部门要求相关企业加强污水治理能力，污水排放未达标的企业要限期整改．甲、乙两个企业的污水排放量W 与时间t 的关系如图所示，我们用W t表示t时刻某企业的污水排放量，用－Wt1－Wt2t1－t2的大小评价在t1至t2这段时间内某企业污水治理能力的强弱．已知甲、乙两企业在整改期间排放的污水排放量与时间的关系如下图所示．第4题图给出下列四个结论：①在t1≤t≤t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t1时刻，乙企业的污水排放量高；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；④在0≤t≤t1，t1≤t≤t2，t2≤t≤t3这三段时间中，甲企业在t2≤t≤t3的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是()A.①②③B.①③④C.②④D.①③5.(2023房山区一模)在平面直角坐标系xOy中，若函数图象上任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)均满足(x1－x2)(y1－y2)>0.下列四个函数图象中，所有正确的函数图象的序号是()第5题图A.①②B.③④C.①③D.②④类型三代数类问题1.(2023西城区期末)现有函数y ＋4（x <a ），2－2x （x ≥a ），如果对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x ＝m 时，y ＝n ，那么实数a 的取值范围是()A.－5≤a ≤4 B.－1≤a ≤4 C.－4≤a ≤1D.－4≤a ≤52.在平面直角坐标系xOy 中，对于自变量为x 的函数y 1和y 2，若当－1≤x ≤1时，都满足|y 1－y 2|≤1成立，则称函数y 1和y 2互为“关联的”．下列函数中，不与y ＝x 2互为“关联的”函数是()A.y ＝x 2－1B.y ＝2x 2C.y ＝(x －1)2D.y ＝－x 2＋13.(2023人大附中模拟)在数轴上有三个互不重合的点A ，B ，C ，它们代表的实数分别为a ，b ，c ，下列结论中：①若abc >0，则A ，B ，C 三点中，至少有一个点在原点右侧；②若a ＋b ＋c ＝0，则A ，B ，C 三点中，至少有一个点在原点右侧；③若a ＋c ＝2b ，则点B 为线段AC 的中点；④O 为坐标原点且A ，B ，C 均不与O 重合，若OB －OC ＝AB －AC ，则bc >0.所有正确结论的序号是()A.①② B.③④ C.①②③D.①②③④4.(2023西城区二模)从1，2，3，4，5中选择四个数字组成四位数abcd ，其中a ，b ，c ，d 分别代表千位、百位、十位、个位数字.若要求这个四位数同时满足以下条件：①abcd 是偶数；②a >b >c ；③a ＋c ＝b ＋d ，请写出一个符合要求的数________．5.(2023燕山区期末)在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a *b ＝a 2－a b.根据这个法则，下列结论中错误的是________．(把所有错误结论的序号都填在横线上)①2*3＝2－6；②若a ＋b ＝0，则a *b ＝b *a ；③(x ＋2)*(x ＋1)＝0是一元二次方程；④方程(x ＋2)*1＝3的根是x 1＝－3－52，x 2＝－3＋52.6.(2023丰台区一模)京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐．如图，在平面直角坐标系xOy 中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G .点A ，B ，C ，D 分别是图形G 与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为(0，－3)，AB 为半圆的直径，且AB ＝4，半圆圆心M 的坐标为(1，0)．关于图形G 给出下列四个结论，其中正确的是________(填序号)．①图形G 关于直线x ＝1对称；②线段CD 的长为3＋3；③图形G 围成区域内(不含边界)恰有12个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；④当－4≤a ≤2时，直线y ＝a 与图形G 有两个公共点．第6题图7.(2023石景山区二模)在平面直角坐标系xOy 中，A (0，1)，B (1，1)，有以下4种说法：①一次函数y ＝x 的图象与线段AB 无公共点；②当b <0时，一次函数y ＝x ＋b 的图象与线段AB 无公共点；③当k >1时，反比例函数y ＝k x的图象与线段AB 无公共点；④当b >1时，二次函数y ＝x 2－bx ＋1的图象与线段AB 无公共点．上述说法中正确的是________．8.(2023一七一中学模拟)小聪用描点法画出了函数y ＝x (x ≥0)的图象F ，如图所示．结合旋转的知识，他尝试着将图象F 绕原点逆时针旋转90°得到图象F 1，再将图象F 1绕原点逆时针旋转90°得到图象F 2，如此继续下去，得到图象F n .在尝试的过程中，他发现点P (4，2)在图象________上(写出一个正确的即可)；若点P (a ，b )在图象F 2021上，则a ＝________(用含b 的代数式表示)．第8题图9.如图，A (0，1)，B (1，5)，曲线BC 是双曲线y ＝k x(k ≠0)的一部分，曲线AB 与BC 组成图形G ，由点C 开始不断重复图形G 形成一线“波浪线”，若点P (2023，m )，Q (x ，n )在该“波浪线”上，则m 的值为________．n 的最大值为________．第9题图类型四几何类问题1.(2023海淀区一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR 边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为α，且sinα＞cosα，则点M所在的线段可以是()第1题图A.AB和CDB.AB和EFC.CD和GHD.EF和GH2.程老师制作了如图①所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图②是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．第2题图有以下结论：①当∠PAQ＝30°，PQ＝6时，可得到形状唯一确定的△PAQ；②当∠PAQ＝30°，PQ＝9时，可得到形状唯一确定的△PAQ；③当∠PAQ＝90°，PQ＝10时，可得到形状唯一确定的△PAQ；④当∠PAQ＝150°，PQ＝12时，可得到形状唯一确定的△PAQ.其中所有正确结论的序号是()A.②③B.③④C.②③④D.①②③④3.(2021东城区二模)数学课上，李老师提出如下问题：已知：如图，AB是⊙O的直径，射线AC交⊙O于C.求作：弧BC的中点D.同学们分享了如下四种方案：第3题图①如图①，连接BC，作BC的垂直平分线，交⊙O于点D；②如图②，过点O作AC的平行线，交⊙O于点D；③如图③，作∠BAC的平分线，交⊙O于点D；④如图④，在射线AC上截取AE，使AE＝AB，连接BE，交⊙O于点D.上述四种方案中，正确的方案的序号是________．4.(20231大兴区一模)如图，在▱ABCD中，AD>AB，E，F分别为边AD，BC上的点(E，F 不与端点重合)．对于任意▱ABCD，下面四个结论中：①存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE是平行四边形；②至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE是菱形；③至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE是矩形；④存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE的面积是▱ABCD面积的一半．所有正确结论的序号是________．第4题图5.(2021西城区期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，P(4，3)，⊙O经过点P.点A，点B 在y轴上，PA＝PB，延长PA，PB分别交⊙O于点C，点D，设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为α.(1)⊙O的半径为________；(2)tanα＝________第5题图参考答案类型一分析统计图(表)1.C【解析】由题图知2019—2023年，普通本专科招生人数逐年增多，故①正确；2023年普通高中招生人数比2019年增加约876－839×100%≈4%，故②正确；从2019—2018839年，中等职业教育招生人数逐年减少，从2019—2023年，中等职业教育招生人数在增加，故③错误；2019年普通高中招生人数约是中等职业教育招生人数的839÷600≈1.4倍，故④正确．2.A【解析】①8÷0.08＝100，故表中a的值为100，是合理推断；②25÷100＝0.25，35÷100＝0.35，1－0.08－0.17－0.35－0.15＝0.25，1－0.08－0.17－0.25－0.15＝0.35，故表中c的值为0.25≤c≤0.35，表中c的值可以为0.31，是合理推断；③∵表中4≤x<6组的频数b满足25≤b≤35，∴8＋17＋25＝50，8＋17＋35＝60，∴这100名学生每周课外阅读时间的中位数可能在4～6之间，也可能在6～8之间，故此推断不是合理推断；④这a名学生每周课外阅读时间的平均数可以超过6，故此推断不是合理推断．3.A【解析】由题图知①2004年的水体面积超过60km2，不符合题意；②2015—2023年，密云水库的水体面积呈持续增加趋势，表明水资源储备增多，符合题意；③在1986—2023年中，2023年的密云水库水体面积最大，约为170km2，符合题意；④水体面积最大的年份是2023年，但年降水量不是最大，不符合题意．4.D【解析】由题图知，甲的面试成绩排名为11，理论知识成绩排名为8，实践操作成绩排名为8；乙的面试成绩排名为7，实践操作成绩排名为15，理论知识成绩排名为5，故①②③都合理，故选D.5.C【解析】由题图可得，A.2000年至2019年，SO2的年平均浓度值都在NO2的年平均浓度值以下，由此可得SO2的年平均浓度值的平均数小于NO2的年平均浓度值的平均数，此选项正确，不合题意；B.2000年至2019年，SO2的年平均浓度值都在NO2的年平均浓度值以下，由此可得SO2的年平均浓度值的中位数小于NO2的年平均浓度值的中位数，此选项正确，不合题意；C.根据图中两折线中点的离散程度可得SO2的年平均浓度值的方差大于NO2的年平均浓度值的方差，此选项错误，符合题意；D.1998年至2019年，根据图中两折线的起止点可得SO2的年平均浓度值比NO2的年平均浓度值下降得更快，此选项正确，不合题意．6.C 【解析】由图象可得，A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值在350左右，B 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值在450左右，故A 选项不符合题意；A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的数据波动比B 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的数据波动小，即A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差比B 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差小，故B 选项不符合题意；A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值不一定低于B 组，故C 选项符合题意；这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”按从大到小排序，第10位，第11位均在B 组，故D 选项不符合题意．7.3或12(任写一个即可)【解析】由题图可知，3日、4日、5日最低温度分别是1摄氏度、2摄氏度、0摄氏度，且昼夜温差分别是8－1＝7摄氏度，4－2＝2摄氏度，9－0＝9摄氏度，最低温度不低于0摄氏度，且昼夜温差不大于10摄氏度，可以药剂喷洒，12日、13日、14日最低温度分别是6摄氏度、7摄氏度、8摄氏度，且昼夜温差分别是12－6＝6摄氏度，16－7＝9摄氏度，14－8＝6摄氏度，最低温度不低于0摄氏度，且昼夜温差不大于10摄氏度，可以药剂喷洒．类型二分析与判断函数图象1.D 【解析】∵一个小球由静止开始沿一个斜坡滚下，其速度每秒增加的值相同，∴v t为定值，∴v 与t 是正比例函数的关系．∴选项D 符合题意．2.B 【解析】当15<x ≤60时，设y ＝kx ＋b (k ≠0)，k ＋b ＝20，k ＋b ＝170，＝103，＝－30，∴y ＝103x －30.当y ＝80时，103x －30＝80，解得x ＝33，33－15＝18(天)，∴开始开花结果，此时瓜苗在该村大棚内生长的天数是18天．3.B 【解析】若按A →O →D 路线，图象应呈现对称性，故A 错误；若按C →A →O →B ，则从C →A 距离逐渐减少，A →O →B 距离先减少，再增大，符合题图中函数图象的大致走势，故B 正确；C 、D 中，起始点处S 值小于终点处S 值，由题图可知在起点和终点时，S 值最大且相等，故C 、D 错误．4.D 【解析】①在t 1≤t ≤t 2这段时间内，甲企业的图象比乙企业的图象倾斜角度大，故①正确；②在t 1时刻，甲企业的污水排放量高，故②错误；③在t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放量在达标量以下，故③正确；④在0≤t ≤t 1，t 1≤t ≤t 2，t 2≤t ≤t 3这三段时间中，甲企业在t 1≤t ≤t 2的图象倾斜角度最大，即治理污水能力最强，故④错误．5.D 【解析】由题意中(x 1－x 2)(y 1－y 2)>0可知，x 1－x 2>0，y 1－y 2>0或x 1－x 2<0，y 1－y 2<0，即当x 1>x 2时，y 1>y 2或当x 1<x 2时，y 1<y 2.故函数中y 随着x 的增大而增大，故②④正确．类型三代数类问题1.A 【解析】如解图，由图象可知，当－5≤a ≤4时，对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x ＝m 时，函数y ＝n .第1题解图2.C 【解析】A .∵|y 1－y 2|＝|x 2－(x 2－1)|＝1≤1，故A 选项与y ＝x 2互为“关联的”函数；B .∵|y 1－y 2|＝|x 2－2x 2|＝x 2，又∵－1≤x ≤1，∴x 2≤1，故B 选项与y ＝x 2互为“关联的”函数；C .∵|y 1－y 2|＝|x 2－(x －1)2|＝|2x －1|，又∵－1≤x ≤1，∴|2x －1|≤3，故C 选项不与y ＝x 2互为“关联的”函数；D .∵|y 1－y 2|＝|x 2－(－x 2＋1)|＝|2x 2－1|，又∵－1≤x ≤1，∴|2x 2－1|≤1，故D 选项与y ＝x 2互为“关联的”函数．3.D 【解析】若全在原点的左侧，则a <0，b <0,c <0，与abc >0矛盾，∴三点中至少有一个在原点的右侧，故①正确；若全在原点的左侧，则a <0,b <0,c <0，∴a ＋b ＋c <0.又∵a ，b ，c 不全为0，与a ＋b ＋c ＝0矛盾，∴至少有一个点在原点右侧，故②正确；∵a ＋c ＝2b ，∴b ＝a ＋c 2，∴B 为AC 的中点，故③正确；由绝对值的意义：OB ＝|b |,OC ＝|c |,AB ＝|b －a |,AC ＝|c －a |，|b |－|c |＝|b －a |－|c －a |，∴A 在最左或最右时，上面等式的右边＝b －c 或c －b ，∴|b |－|c |＝b －c ，∴b >0，c >0，∴bc >0，|b |－|c |＝c －b ，∴b <0，c <0，∴bc >0，故④正确．4.4312(答案不唯一)【解析】∵abcd 是偶数，∴d ＝2或4.∵a >b >c ，a ＋c ＝b ＋d ，∴a ＝4，b ＝3，c ＝1，d ＝2，或a ＝5，b ＝4，c ＝1，d ＝2，或a ＝5，b ＝3，c ＝2，d ＝4，或a ＝5，b ＝2，c ＝1，d ＝4，∴abcd ＝4312或5412或5324或5214.5.③④【解析】根据题中的定义得：2*3＝(2)2－2×3＝2－6，①正确，不符合题意；若a ＋b ＝0，则有a ＝－b ,a *b ＝a 2－ab ＝b 2＋b 2＝2b 2,b *a ＝b 2－ab ＝b 2＋b 2＝2b 2，即a *b ＝b *a ,②正确，不符合题意；已知等式变形得：(x ＋2)2－(x ＋2)(x ＋1)＝0，即x 2＋4x ＋4－x 2－3x －2＝0，合并得：x ＋2＝0，是一元一次方程，③错误，符合题意；④方程变形得：(x ＋2)2－(x ＋2)＝3，整理得：x 2＋4x ＋4－x －2－3＝0，即x 2＋3x －1＝0，∵a ＝1,b ＝3,c ＝－1，∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－3±132，解得x 1＝－3＋132，x 2＝－3－132，④错误，符合题意．6.①②【解析】由半圆M 可知A (－1，0)，B (3，0)，M (1，0)，且点A ，B 在抛物线上，∴图形G 关于直线x ＝1对称，故①正确；如解图，连接CM ，第6题解图在Rt △MOC 中，∵OM ＝1,CM ＝2，∴OC ＝22－12＝ 3.又∵D (0，－3)，∴OD ＝3，∴CD ＝OC ＋OD ＝3＋3，故②正确；根据题图得，图形G 围成区域内(不含边界)恰有13个整点(即横、纵坐标均为整数的点)，故③错误；由题意得A (－1，0)，B (3，0)，当a ＝－4时，直线y ＝－4与图形G 有一个公共点，当a ＝2时，直线y ＝2与图形G 有一个公共点，故④错误．综上所述，正确的有①②.7.②③【解析】一次函数y ＝x 图象经过点B (1，1)，即一次函数y ＝x 的图象与线段AB 有公共点，故①错误；一次函数y ＝x 图象刚好经过点B (1，1)，向下平移直线y ＝x ，此时b <0，直线y ＝x ＋b 与线段AB 无公共点，故②正确；反比例函数y ＝1x的图象刚好经过点B (1，1)，当k >1时，反比例函数y ＝k x的图象沿着y ＝x 向远离原点的方向平移，与线段AB 无公共点，故③正确；二次函数y ＝x 2－bx ＋1的图象一定经过A (0，1)，即二次函数的图象与线段AB 有公共点，故④错误．8.F 4，－b 【解析】根据旋转的规律得，F 1的解析式为y ＝x 2，其图象位于第二象限；F 2的解析式为y ＝－－x ，其图象位于第三象限；F 3的解析式为y ＝－x 2，其图象位于第四象限；F 4的解析式为y ＝x ，其图象位于第一象限；…则2021÷4＝505……1，即F 2021的图象位于第二象限，该图象的函数解析式是y ＝x 2.∵P (4，2)位于第一象限，∴点P 所在的图象是F 4.∵点P (a ，b )在图象F 2021上，∴b ＝a 2，∴a ＝－b .9.1，5【解析】∵B (1，5)在y ＝k x 的图象上，∴k ＝1×5＝5.当x ＝5时，y ＝55＝1.∴C (5，1)．又∵2023÷5＝404，∴m ＝1.∵Q (x ，n )在该“波浪线”上，∴n 的最大值是5.类型四几何类问题1.D 【解析】如解图，连接OQ ，则∠POQ ＝45°，sin 45°＝cos 45°＝22，当点M 在AB 和CD 上时，α＜45°，则sin α＜cos α，当点M 在EF 和GH 上时，α＞45°，sin α＞cos α.第1题解图2.C 【解析】①当∠PAQ ＝30°，PQ ＝6时，以P 为圆心，6为半径画弧，与射线AM 有两个交点，则△PAQ 的形状不能唯一确定，故①错误；②当∠PAQ ＝30°，PQ ＝9时，以P 为圆心，9为半径画弧，与射线AM 有两个交点，但左边位置的Q 不符合题意，∴Q 点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ ，故②正确；③当∠PAQ ＝90°，PQ ＝10时，以P 为圆心，10为半径画弧，与射线AM 有两个交点，但此时两个三角形全等，Q 点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ ，故③正确；④当∠PAQ ＝150°，PQ ＝12时，以P 为圆心，12为半径画弧，与射线AM 有两个交点，左边的Q 不符合题意，∴Q 点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ ，故④正确，故选C .3.①②③④【解析】①如题图①，由作图可知，BC 的垂直平分线经过圆心O ，∵OD⊥BC ，∴点D 是BC ︵的中点；②如解图①，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵OD ∥AC ，∴OD ⊥BC ，∴点D 是BC ︵的中点；③如题图③，∵∠BAD ＝∠CAD ，∴点D 是BC ︵的中点；④如解图②，连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵AE ＝AB ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∴点D 是BC ︵的中点．图①图②第3题解图4.①②④【解析】只要满足AB ∥EF ，则四边形ABFE 是平行四边形，这样的EF 有无数条，故①正确；∵AD >AB ，∴在AD 上截取AE ＝AB ，再满足AB ∥EF ，就能使得四边形ABFE 是菱形，故②正确；∵∠B 不是直角，∴矩形ABFE 不存在，故③错误；只要当EF 经过▱ABCD 对角线交点时，四边形ABFE 的面积是▱ABCD 面积的一半，这样的EF 有无数条，故④正确．5.(1)5；(2)43【解析】(1)如解图，连接OP ，∵P (4，3)，∴OP ＝32＋42＝5；(2)如解图，设CD 交x 轴于点J ，过点P 作PT ⊥AB 交⊙O 于点T ，交AB 于点E ，连接CT ，DT ，OT ，∵P (4，3)，∴PE ＝4，OE ＝3.在Rt △OPE 中，tan ∠POE ＝PE OE ＝43，∵OE ⊥PT ，OP ＝OT ，∴∠POE ＝∠TOE ，∴∠PDT ＝12∠POT ＝∠POE ，∵PA ＝PB ，PE ⊥AB ，∴∠APT ＝∠DPT ，∴TC ︵＝DT ︵，∴∠TDC ＝∠TCD ，∵PT ∥x 轴，∴∠CJO ＝∠CKP ，∵∠CKP ＝∠TCK＋∠CTK ，∠CTP ＝∠CDP ，∠PDT ＝∠TDC ＋∠CDP ，∴∠TDP ＝∠CJO ，∴∠CJO ＝∠POE ，∴tan α＝tan ∠CJO ＝tan ∠POE ＝43.第5题解图。
初三数学中考专题复习课课件折叠问题
在练习过程中，不断总结解题思路，分析解题方 法和技巧的适用范围，提高解题的灵活性和准确 性。
THANKS
感谢观看
数值。
03
函数图像的折叠
在函数学习中，函数图像的折叠可以用于理解函数的性质和变化规律。
例如，将平面直角坐标系中的函数图像沿某条直线折叠，可以观察到图
像的对称性、交点和极值点等特征的变化。
折叠问题与其他数学知识的联系
几何变换
折叠问题涉及到几何变换的知识，包括平移、旋转和对称 等。通过这些变换，可以理解图形在折叠过程中的变化规 律和特征。
饰品和工艺品。
建筑设计
在建筑设计中，折叠结 构可以创造出具有独特 美感和功能的建筑。例 如，通过折叠金属板或 塑料板，可以制作出轻 巧、美观的建筑外壳。
航天器设计
在航天器设计中，折叠 结构被广泛应用于火箭 和卫星等设备。通过折 叠或展开结构，可以减 少或增加设备的体积，
便于运输和存储。
折叠问题的拓展和深化
第二季度
第三季度
第四季度
纸盒制作
在包装和设计领域，折 叠纸盒是最常见的应用 之一。通过折叠纸板， 可以形成具有特定形状 和功能的纸盒，用于包 装、存储和运输物品。
折纸艺术
折纸是一种源于中国的 传统艺术，通过折叠纸 张来创造出各种形状和 动物等形象。折纸艺术 不仅具有观赏价值，还 可以用于制作玩具、装
将代数式或方程进行折叠，考查对代数式的理解和变形能力。
折叠与轴对称的结合
考查对轴对称和折叠概念的理解和应用。
折叠问题的解题策略
01
02
03
理解折叠过程
明确折叠前后的图形关系 ，理解边长、角度等的变 化。
建立数学模型
中考数学二轮复习 专题二 解答重难点题型突破 题型五 几何图形探究题数学课件
(3)如解图，同(2)的方法得，△PMN 是等腰直角三角形， ∴MN 最大时，△PMN 的面积最大， 此时 DE∥BC 且 DE 在顶点 A 上面， ∴MN 最大＝AM＋AN，连接 AM，AN， 在△ADE 中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°， ∴AM＝2 2， 在 Rt△ABC 中，AB＝AC＝10，AN＝5 2， ∴MN 最大＝2 2＋5 2＝7 2，
(2) 由旋转知，∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
同(1)的方法，利用三角形的中位线得，PN＝12BD，PM＝12CE，∴PM＝PN， ∴△PMN 是等腰三角形， 同(1)的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE， 同(1)的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC， ∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC， ∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC ＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC， ∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°， ∴△PMN 是等腰直角三角形；
解：(1)∵点 P，N，M 是 CD，BC，DE 的中点，
∴PN∥BD，PN＝12BD，
∴PM∥CE，PM＝12CE， ∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN， ∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC， ∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA， ∵∠BAC＝90°，∴∠ADC＋∠ACD＝90°， ∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°， ∴PM⊥PN；
∴S△PMN 最大＝12PM2＝12×12MN2＝14×(7 2)2＝429.
【对应训练】 1．(2017·濮阳模拟)(1)【问题发现】
2024年内蒙古中考数学二轮专题复习 二次函数与几何综合题 类型五 与角度有关的问题(课件)
满分技法
1. 若所求角度为90°，一般将其放在直角三角形中，利用勾股定理列方 程求解；或利用相似或全等三角形的性质求解； 2. 若所求角度为非特殊角，可通过相关角的和差关系将所求角度转化为 特殊角，再结合锐角三角函数求解； 3. 若探究角度之间的等量关系，常考虑将角放在直角三角形中，通过解 直角三角形求解．
33 2
11
，e2＝ 3
33 2
11 ,
当0＜e＜3 3 时，
整理得e2－3 3 e＋18＝0，方程无解，
综上所述，点P的坐标为(3，3 3 3 11 )或(3， 3 3 3 11 )；
2
2
例4题解图
(2)已知点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使得∠PCB＝∠PBC， 若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【思维教练】由∠PCB＝∠PBC可知，点P为线段BC的垂直平分线与抛 物线的交点，作线段BC的垂直平分线SL，利用待定系数法求出SL的解 析式，联立即可求得点P的坐标． (2)存在．由(1)得，点B(9，0)，点C(0，3 3 )， 设BC的中点为S， ∴BC的中点S的坐标为( 9 ，3 3 )，
如解图，过点D作DH⊥CM于点H， 设直线DH的解析式为y＝2x＋k，将点D(2，0)代入，得4＋k＝0， ∴k＝－4， ∴直线DH的解析式为y＝2x－4.
联立
y
1 2
x
3 2
,
y 2x 4,
解得
x 1,
y
2,
∴H(1，－2)．
∵D(2，0)，H(1，－2)，
题解图
∴DH＝ 5 .
或
x2
9,
y2 12 3,
综上所述，点P的坐标为(6，3 3 )或(－9，－12 3 )；
中考数学 第二轮 专题突破 能力提升 专题5 折叠问题课件
解：如图，过点 M 作 MF⊥DC 于点 F， ∵在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A＝60°， M 为 AD 中点，∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°， ∴∠FMD＝30°，MD＝1，∴FD＝12MD＝12，
∴FM＝DM×cos30°＝ 23，∴MC＝ FM2＋CF2＝ 7， ∴EC＝MC－ME＝ 7－1
4．如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AEF，F在矩 形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB＝55°， 求∠DAF的度数．
解析：由△ABE沿AE折叠到△AEF，得出∠BAE＝∠FAE，由∠AEB＝55°， ∠ABE＝90°，求出∠BAE.
解：∵△ABE沿AE折叠到△AEF， ∴∠BAE＝∠FAE.∵∠AEB＝55°，∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝90°－55°＝35°， ∴∠DAF＝∠BAD－∠BAE－∠FAE＝90°－35°－35°＝20°
1．以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是( C ) A．如图1，展开后测得∠1＝∠2 B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4 C．如图3，测得∠1＝∠2 D．如图4，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA＝OB，OC＝OD
解析：根据折叠后图形的不变性得出等量关系，对每一选项逐一进行判断．
7．如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已 知 AB＝8 cm，BC＝10 cm，求 tan∠EAF.
解：∵四边形 ABCD 为矩形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝10， ∵折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处， ∴AF＝AD＝10，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°， 在 Rt△ABF 中，BF＝ AF2－AB2＝6，∴FC＝BC－BF＝4， 设 EF＝x，则 DE＝x，CE＝CD－DE＝8－x， 在 Rt△CEF 中，∵CF2＋CE2＝EF2，∴42＋(8－x)2＝x2， 解得 x＝5，即 EF＝5，在 Rt△AEF 中，tan∠EAF＝AEFF＝150＝12
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专题一 选填重难点题型突破
题型五 图形折叠及动点问题的相关计算
考情总结：图形折叠及动点问题的相关计算是近五年河南中招考试的重点及必考点，均在填空题第15题进行考查，分值为3分，常见的类型有三角形折叠相关计算、四边形结合的相关计算，常见的设问为探究特殊三角形存在时的线段长、探究动点在特殊位置时的线段长．
【例2】(2017·开封模拟)在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，点E为射线DC 上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处，若△CEF为直角三角形
时，DE的长为____________________．
【分析】当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，此时点F在对角线AC上，先利用勾股定理计算出矩形对角线，根据折叠的性质得∠AFE＝∠D＝90°，设DE＝x，则CE＝6－x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理列方程即可计算出x；②当点F落在AB边上时，可证得此时四边形ADEF为正方形，根据正方形的的性质可得DE＝AD进而求解．
【方法指导】对于河南中招考试中的几何图形折叠与动点问题的计算，常涉及特殊三角形的探究及动点特
殊位置的探究．
1．掌握折叠的性质是解决问题的关键．(1)折叠前后位置的图形全等，对应边、角相等；(2)折痕两边的图形关于折痕对称；(3)折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分；
2．特殊三角形：(1)直角或等腰三角形的判定：首先从可能满足直角的顶点或腰入手，通过矩形的性质、折叠的性质或结合直角三角形勾股定理直接计算，或设出某条线段长，根据相似、勾股定理等，列方程进行求解；3．河南中招考试中，此类问题的重点为分类讨论，即该题多为多解题，注意等腰三角形的腰，直角三角形的直角顶点，特殊点的位置等．
【对应训练】
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，D是AB的中点，点E 在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，且A′在AC上方，当A′E⊥AC时，A′B＝________.
2．(2017·新乡模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E.若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为________.。