9.14 因式分解之公式法(赵煜)
因式分解的公式大全,因式分解万能公式法的应用
因式分解的公式大全，因式分解万能公式法的应用因式分解的公式大全？因式分解公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²把式子倒过来： (a+b)(a-b)=a²-b² a²±2ab+b²= (a±b)²就变成了因式分解，因为这个原因，我们把用利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方式称之为公式法。
例子：1、25-16x²=5²-(4x)²=(5+4x)(5-4x)2、p4-1 =(p²+1)(p²-1) =(p²+1)(p+1)(p-1)3、x²+14x+49 =x²+2·7·x+7² =(x+7)²4、(m-2n)²-2(2n-m)(m+n)+(m+n)² =(m-2n)²+2(m-2n)²(m+n)+(m+n)² =[(m-2n)+(m+n)]² =(2m-n)²因式分解万能公式法？1、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²。
3、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。
4、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。
5、完全立方和公式：a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³。
6、完全立方差公式：a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³。
最新新人教版九年级数学上册21.2.2《公式法》ppt课件学习资料
跟踪训练 1、解方程：x2 32 3x
【解析】化简为一般式
x22 3x30
这里 a=1, b= 2 3, c= 3. ∵b2 - 4ac=( 2 )23- 4×1×3=0,
x22310223 3,
即：x1= x2= 3
中小学课件
2、解方程：（x-2)(1-3x)=6． 【解析】去括号：x-2-3x2+6x=6
化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0
这里 a=3, b=-7, c=8. ∵b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47<0, ∴原方程没有实数根.
中小学课件
归纳 用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、若b2-4ac≥0代入求根公式:
ax2+bx+c=0 (a≠0)
解析:把方程两边都除以a,
移项，得 x2 + b x= - c
a
a
配方，得 x2 + b x+( b )2=- c +( b )2
a 2a
a 2a
即 (x+
)b2 = 2a
b 2 4 ac 4a 2
中小学课件
∵4a2＞0
∴当b2-4ac≥0时, x + b =± 2a
门的高和宽各是多少?
【解析】设门的高为 x 尺，根据题意得
x2x6.82120 .
10
x
即，2x2-13.6x-53.76＝0.
解这个方程,得 x1＝9.6; x2＝-2.8(不合题意,舍去).
x-6.8
∴x-6.8=2.8． 答:门的高是9.6尺,宽是2.8尺.
15七年级上-因式分解之公式法
1、已知 的值.
ab 1 9
， ab 1 ，求
8
- 2a2b2 ab3 a3b
解：原式=ab(a-b)2
=18×（
19）2=
1 648
2.观察下列各式：1-9=-8,4-16=-12,9-25=-16,16-36=-20...... （1）把以上各式的所含规律用含 （ 为正整数）的等式表示出来； （2）按照（1）中的规律，请写出第10个等式.
(3x y 2)(3x y 2).
家庭作业--答案
【解析】4、2a2–4a+2=2（a2–2a +1）=2（a–1）2 答案：2（a–1）2
【解析】5、7652×17－2352 ×17 =17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235) =17 ×1000 ×530=9010000
练习5
（3）－2xy－x2－y2 （4）4－12（x－y）+9（x－y）2
【解析】（3）－2xy－x2－y2 =－（x2+2xy+y2） =－（x+y）2;
（4）4－12（x－y）+9（x－y）2 =22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2 =［2－3（x－y）］2 =（2－3x+3y）2
附加题目
2018
因式分解-公式法
制作人：石娇
初中数学
CONTENTS
目 录
1 温故知新 2 平方差分解因式 3 完全平方分解因式 4 本章总结 5 家庭作业
01
温故知新
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温故知新
1.什么是因式分解？
把一个多项式分解成几个 整式的积的形式.
北京四中九年级上册数学一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法》—知识讲解(基础)
《一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法》—知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）；③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=. ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b ac x a -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. 要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1) x 2+3x+1=0； (2)2241x x =-； (3) 2x 2+3x-1=0． 【答案与解析】(1) a=1，b=3，c=1∴x==． ∴x 1=，x 2=．(2)原方程化为一般形式，得22410x x -+=．∵2a =，4b =-，1c =，∴224(4)42180b ac -=--⨯⨯=>． ∴4221222x ±==±⨯，即1212x =+，2212x =-． (3) ∵a=2，b=3，c=﹣1∴b 2﹣4ac=17＞0∴x=∴x 1=，x 2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算24b ac -的值；(3)若24b ac -是非负数，用公式法求解．举一反三：【变式】用公式法解方程：3x 2=4x+1【答案】原方程化为一般形式，得23410x x --=．∵a=3, b=-4, c=-1,∴22b -4ac=(-4)-43(-1)=280.⨯⨯＞ ∴ 42827233x ±±==⨯, 即122727,.33x x +-== 2．用公式法解下列方程：(1)243100x x -+=； (2)(1)(1)22x x x +-= ； （3）2x 2﹣2x ﹣5=0【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可.【答案与解析】(1)∵ 1a =，43b =-，10c =，224(43)411080b ac -=--⨯⨯=>，∴ (43)84322232x --±±===±． ∴ 1232x =+，2232x =-．(2)原方程可化为22210x x --=．∵ 1a =，22b =-，1c =-，224(22)41(1)120b ac -=--⨯⨯-=>， ∴ (22)1222232321x --±±===±⨯， ∴ 123x =+，223x =-．（3）a=2，b=﹣2，c=﹣5b 2﹣4ac=﹣4×2×（﹣5）=8+40=48； x====∴x 1=，x 2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在240b ac -≥的前提下，代入求根公式可求出方程的根．举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2221x x +=；【答案】解：移项，得22210x x +-=．∵ 2a =，2b =，1c =-，224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>， ∴ 21213222x -±-±==⨯， ∴ 1132x --=，2132x -+=． 类型二、因式分解法解一元二次方程3．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0； （3）x （2x+1）=8x ﹣3．【思路点拨】 用因式分解法解方程，一定要注意第1小题，等号的两边都含有（x+2）这一项，切不可在方程的两边同除以（x+2）,化简成3（x+2）=2,因为你不知道（x-2）是否等于零.第2小题，运用平方差公式可以，用直接开方也可以.第3小题化成一般式之后，再运用分解因式法解方程.【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x 1＝-2，243x =-． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x 1＝1，x 2＝-4．（3）去括号，得：2x 2+x=8x ﹣3，移项，得：2x 2+x ﹣8x+3=0合并同类项，得：2x 2﹣7x+3=0，∴（2x ﹣1）（x ﹣3）=0，∴2x﹣1=0或 x ﹣3=0， ∴，x 2=3． 【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根． 举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0（2）3(21)42x x x +=+ 【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X 1=-6,x 2=-5.(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=01212,23x x =-=. 5．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解x 2﹣2x+1=0 x 1=1，x 2=1 x 2﹣2x+1=（x ﹣1）（x ﹣1）x 2﹣3x+2=0 x 1=1，x 2=2 x 2﹣3x+2=（x ﹣1）（x ﹣2）3x 2+x ﹣2=0 x 1=，x 2=﹣1 3x 2+x ﹣2=3（x ﹣）（x+1）2x2+5x+2=0x1=﹣，x2=﹣2 2x2+5x+2=2（x+）（x+2）4x2+13x+3=0 x1= ，x2= 4x2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，则ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．。
人教版数学九年级上册21.2.2公式法(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“公式法在实际解题中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-完全平方公式的记忆与运用：熟练掌握a²±2ab+b²=(a±b)²的公式及其变形，并能将其应用于因式分解。
-系数化1法求解一元二次方程：理解并掌握将一元二次方程ax²+bx+c=0化为(x+m)²=n的形式，进而求解出x的方法。
-解题过程中的数学语言表达：培养学生用数学语言描述解题步骤，清晰表达思路。
另外，在学生小组讨论环节，我发现同学们的参与度很高，大家积极发表自己的观点，进行交流。但在引导与启发方面，我觉得自己还可以做得更好。有时候，同学们在讨论过程中会遇到瓶颈，我需要更敏锐地捕捉到这些问题，及时给出有效的建议和指导，帮助他们突破思维困境。
在实践活动方面，我发现同学们在分组讨论和实验操作中，能够将所学的知识点应用到实际问题中，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到，有些小组在成果展示时，表达不够清晰，逻辑性不强。针对这一点，我计划在接下来的教学中加入一些关于如何清晰表达和逻辑思考的训练，帮助同学们提高这方面的能力。
最后，我深感教学反思的重要性。通过今天的反思，我更加明确了今后的教学方向和改进措施。在接下来的教学中，我会努力关注每一个同学的学习情况，不断调整教学方法，力求让每位同学都能在数学学习中有所收获，真正理解和掌握公式法这个知识点。同时，我也将鼓励同学们积极提问，勇于探索，共同提高我们的教学质量。
公式法分解因式ppt
总结词
完全平方公式是一种常见的因式分解方法，适用于形如$a^2 + 2ab + b^2$的式子。
公式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
完全平方公式法
平方差公式法
总结词
平方差公式是一种基本的因式分解方法，适用于形如$a^2 - b^2$的式子。
提取公因式法是因式分解中常用的一种方法，适用于有公因式的式子。
详细描述
利用三角恒等变换，将式子化为一个单项式的倍数形式，从而得到因式分解的结果。
方法描述
三角公式法
04
公式法分解因式的案例分析
请输入您的内容
公式法分解因式的案例分析
05
公式法分解因式的注意事项与技巧
确认公式是否正确
在使用公式法分解因式时，首先需要确认所使用的公式是否正确，避免使用错误的公式导致结果错误。
THANKS
感谢观看
2023-10-27
公式法分解因式ppt
目录
contents
引言公式法分解因式的基本原理公式法分解因式的具体方法公式法分解因式的案例分析公式法分解因式的注意事项与技巧总结与展望
01
引言
分解因式的定义与重要性
分解因式的重要性
1. 便于化简：通过分解因式，可以将一个复杂的多项式简化为易于计算的基本因子乘积，有助于进一步化简。
在使用公式法分解因式时，需要了解公式的变形，包括平方差公式的逆运算、立方和公式的逆运算等，以便更好地运用公式解决各种问题。
了解公式的变形
掌握公式的运用方法
在使用公式法分解因式时，需要掌握公式的运用方法，包括如何使用公式进行因式分解、如何使用公式进行计算等。
九年级数学上册第二十一章公式法课件
(3)(x 1)(x 1) 2x,一般形式______,a __,b ___,c __ .
2.当k ___时,方程(k 2) x2 x 3 0是一元二次方程. 3.判断方程3 x2 2x 1 0是否有实数根?答 : ____.
已知：a、b、c为ABC的三边，当 m＞0时，关于 x的方程
c（x2 m） b（x2 m） 2 max 0有两个相等的实数根，
求证：ABC为直角三角形 .
(1)求根公式的概念及其推导过程; (2)公式法的概念; (3)应用公式法解一元二次方程; (4)初步了解一元二次方程的根的情况.
1.先把下列一元二次方程化成一般情势， 再写出一般情势的a、b、c：
2a
一元二次方程a x2 bx c （0 a 0）的根由方程的
的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式a x2 bx c 0，
当b2 4ac 0时，将a、b、c代入x b
b2 4ac 就得到方程的根。
2a
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式； （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；
b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
（- 2 3） x
02
3
3
21
2
即 ： x1 x2 3
学习是件很愉快的事
b b2 4ac x
2a
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 0
这里 a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8
河北省南宫市奋飞中学九年级上学期数学(教案)：21.2降次-解一元二次方程
教学难点与重点的明确和详细解释，有助于教师有针对性地进行教学，同时帮助学生更好地理解核心知识，突破学习难点，确保学习效果。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《降次-解一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如购物时如何分配预算）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程的奥秘。
五、教学反思
在今天的教学中，我带领同学们探索了一元二次方程的解法。从导入新课到实践活动，再到小组讨论，我注意到了几个值得反思的方面。
首先，我发现通过日常生活中的例子导入新课，能够有效激发同学们的兴趣。他们在思考实际题中，自然而然地产生了对一元二次方程的好奇心。然而，在讲解过程中，我意识到对于一些同学来说，判别式的概念理解起来还是有些困难。在今后的教学中，我需要更加耐心地解释这个概念，并尽量用生动的例子让大家明白它的作用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的一般形式和判别式的重要性，以及因式分解法、配方法和求根公式的步骤。对于难点部分，如判别式的计算和配方技巧，我会通过具体例题和逐步解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
其次，新课讲授中的案例分析环节，同学们表现出了很高的参与度。他们能够将所学的理论知识应用到具体问题中，这让我很欣慰。但同时，我也注意到在讲解重点难点时，部分同学在配方法和求根公式的运用上还存在一些问题。我需要思考如何改进教学方法，使得这些难点更加易于理解。
用公式法分解因式的技巧
用公式法分解因式的技巧作者：宋艳来源：《初中生之友·中旬刊》2011年第01期一、排序后用公式例1 （1）分解因式： -16x4+81y4；（2）-2xy-x2-y2。
解析（1）把两项的位置颠倒，便于利用平方差公式。
原式=81y4-16x4=(9y2 )2-(4x2 )2=(9y2+4x2 )(9y2-4x2)=(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x) ；（2）把-2xy置于中间并提取负号，便于利用完全平方差公式。
原式=-(x2+2xy+y2)=-(x+y)2。
二、提取因式后用公式例2 分解因式：x3-4x=__________。
解析先提出公因式后，再套用平方差公式分解。
x3-4x=x(x2-4)=x(x+2)(x-2)。
三、去括号后用公式例3 分解因式：(x+1)(x+2)+。
解析显然题目既没有公因式可提，也不能运用公式法因式分解，只能把(x+1)(x+2)展开后再分解因式。
原式=x2+3x+2+=x2+2•x•+=（x+）2。
四、分组后用公式例4 分解因式：1-x2+2xy-y2=_____________。
解析由于该题的多项式是四项，无法直接套用公式分解，因此可对其进行分组，使之符合公式的结构形式，可将后三项分为一组（能运用完全平方公式）。
1-x2+2xy-y2=1-(x2-2xy+y2 )=1-(x-y)2=(1+x-y)(1-x+y)。
五、系数变换后用公式当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式,往往需要调整系数,转换为符合公式的形式,然后再利用公式法分解。
例5 分解因式：(1)4x2-25y2; (2)4x2-12xy2+9y4。
解析观察所给的两个多项式的系数,不能直接利用公式,由于4、25、9都可以写成平方的形式，所以可以先将系数进行变换，然后再利用公式法分解。
(1) 4x2-25y2=(2x)2-(5y)2=(2x+5y)(2x-5y)。
(2) 4x2-12xy2+9y4=(2x)2-12xy2+(3y2)2=(2x-3y2)2。
北师大版初中数学八年级下册4.3《公式法》（课件ppt同步）
互逆的恒等变形
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导入
想一想
回顾 & 思考
4.整式的乘法公式有哪些?
(1)平方差公式
(a+b)(a-b)= a2 - b.2
(2)完全平方公式
(a±b)2= a2 2ab b2 .
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新课
新课
概念理解
由分解因式与整式乘法的关系可以看 出,如果把乘法公式反过来,那么就可以把 某些多项式分解因式,这种分解因式的方 法叫做运用公式法.
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例题
学以致用
例3、把下列完全平方式分解因式：
(1)x2+14x+49； (2) (m+n)2-6(m+n)+9.
例2 把下列各式分解因式： （1）9(m+n)2-(m-n)2
=[3(m+n)]2-(m-n)2 =[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n)
注意：每 个因式要 分解到不 能再分解 为止.
习题
随堂练习
2. 把下列各式分解因式：
(1) a2b2-m2 (2) (x+y+z)2-(x-y-z)2
(3) x2-(a+b-c)2
(4) -16x4+81y4
答案：(1) (ab+m)(ab-m)
分解因式的方法
龙文教育学科教师辅导讲义 教师： 赵煜 学生： 日期: 2 年 月 日 星期： 日 时段： 课 题因式分解教学目标分解因式的几种方法重点、难点运用不同的方法分解因式教学内容一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1） (a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
数学北师大版九年级上册用公式法解二元一次方程
一元二次方程的求根公式； 用公式法解一元二次方程的一般步骤；
3.
用公式法解应用题.
x x 2 x 2 . 2 即x 8x 0. 解这个方程, 得
2 2 2
B
x 2 6, x 2 10.
x1 8, x2 0(不合题意, 舍去).
A C
答 : 三角形的三条边长分别为6,8,10.
课堂练习
课本P43、P45
课堂小结
1. 2.
9 17 x . 4 4
9 17 x . 4 4 9 17 9 17 x1 ; x2 . 4 4
5.开方:根据平方根意 义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
新课讲解
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗?
b c 解 : x x 0. a a b c 2 x x . a a
新课引入
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系 数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平 方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
∵ b 2 - 4a c =(-4)2 - 4×4×1=0,
（ - - 4） 0 1 x , 24 2
1 即：x1=x2= 2
例题分析
例 3 解方程：（x-2)(1-3x)=6. 解：去括号：x-2-3x2+6x=6， 化简为一般式：-3x2+7x-8=0， 3x2-7x+8=0， 这里 a=3, b= -7, c= 8. ∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0， ∴原方程没有实数根. 这三个例题给你什么启发？
2022—2023学年青岛版数学七年级下册12
=-2x2(x+4)(x-4) =(3a-b)(-a-3b)=-(3a-b)(a+3b)
应用平方差公式
例3 分解因式：x2-y2+ax+ay.
分析：把第一、二项作为一项，可以用平方差公式分解因式，其中一个因式是（x+y）；把第三、四项作为 另一组，在提取公因式a后，另一个因式也是（x+y）.
解：x2-y2+ax+ay =（x2-y2）+（ax+ay） =（x+y）（x-y）+a（x+y） =（x+y）（x-y+a）.
用公式法进行因式分解第1课时
课件说明 本课是在学生学习了整式乘法公式的基础上，研究 具有特殊形式的多项式分解因式的方法——公式法； 学习运用平方差公式来分解因式.
学习目标： 1．探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化 思想． 2．会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进 行因式分解．
学习重点： 运用平方差公式来分解因式．
理解平方差公式
（1）平方差公式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？
适用于平方差公式因式分解的多项式必须是 二项式，每一项都为平方项，并且两个平方项的 符号相反．
应用平方差公式
例1 把下列各式进行因式分解： (1) 4x2=（2x）2-52 =（2x+5）（2x-5）
综合运用平方差公式
通过对例题和练习题的学习，你有什么收获？ （1）分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解
为止； （2）对具体问题选准方法加以解决．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）因式分解的平方差公式的结构特征是什么？ （3）综合运用提公因式法和平方差公式进行因式分
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龙文教育学科教师辅导讲义 教师： 赵煜 学生： 日期: 年 月 日 星期： 时段： 课 题 9.14 公式法教学目标1、使学生进一步理解因式分解的意义。
2、使学生理解平方差公式和完全平方公式的意义，弄清公式的形式和特征。
3、会运用公式法分解因式。
重点、难点运用公式法分解因式。
考点及考试要求运用公式法分解因式。
教学内容新授课内容:课前练习：1. 25x 2 = 2 . 36 y 4 = 3. 0.49a 2 = 4. 64a 2b 4= 5. x 2 = 6. m 6 =7. (x+5)(x-5)= 8. (3a+1)(3a-1)= 9. 2)4(y x - = 10. 222)43(c ab b a + =【知识要点梳理】1、代数中常用的乘法公式有：平方差公式：(a+b)(a －b)＝a 2－b 2完全平方公式：(a±b)2＝a 2±2ab+b 22、因式分解的公式：将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式： 平方差公式：a 2－b 2＝(a+b)(a －b)完全平方公式：a 2±2ab+b 2＝(a±b)23、应用公式来分解因式的关键是:①要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符号等方面掌握它们的特征。
②明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式。
③同时对相似的公式要避免发生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。
④运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解。
416436【典型例题讲解】一、运用平方差公式法分解因式例1：分解因式：（1）4a 2－9b 2 (2)－25a 2y 4+16b 16解：（1）4a 2－9b 2＝(2a)2－(3b)2＝(2a+3b)(2a －3b)解：（2）－25a 2y 4+16b 16＝16b 16－25a 2y 4＝(4b 8)2－(5ay 2)2＝(4b 8+5ay 2)(4b 8－5ay 2)注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b 8)2－(5ay 2)2例2:分解因式：（1）36b 4x 8－9c 6y 10 （2）(x+2y)2－(x －2y)2（3）81x 8－y 8 （4）(3a+2b)2－(2a+3b)2解：（1）36b 4x 8－9c 6y 10＝9(4b 4x 8－c 6y 10)＝9[(2b 2x 4)2－(c 3y 5)2]＝9(2b 2x 4+c 3y 5)(2b 2x 4－c 3y 5)注：解题的第二步写成公式的左边形式一定不要丢。
（2）(x+2y)2－(x －2y)2＝[(x+2y)+(x －2y)][(x+2y)－(x －2y)]＝(x+2y+x －2y)(x+2y －x+2y)＝(2x)(4y)＝8xy注：此例可以用乘法公式展开，再经过合并同类项得到8xy ，由本例的分解过程可知，因式分解在某些情况下可以简化乘法与加减法的混合运算。
（3）8188y x -＝(9x 4)2－(y 4)2＝(9x 4+y 4)(9x 4－y 4)＝(9x 4+y 4)[(3x 2)2－(y 2)2]＝(9x 4+y 4)[(3x 2+y 2)(3x 2－y 2)]＝(9x 4+y 4)(3x 2+y 2)(3x 2－y 2)注：第一次应用平方差公式后的第二个因式9x 4－y 4还可以再用平方差公式分解②3x 2－y 2在有理数范围内不能分解了，因为3不能化成有理数平方的形式。
（4）(3a+2b)2－(2a+3b)2＝[(3a+2b)+(2a+3b)][(3a+2b)－(2a+3b)]＝(3a+2b+2a+3b)(3a+2b －2a －3b)＝(5a+5b)(a －b)＝5(a+b)(a －b)注：(5a+5b)这个因式里还有5可以再提取，应该再提取出来。
例3.分解因式: (1)5a b －ab (2)a 4(m+n)－b 4(m+n) (3)－161 11-++m m a a 分析：这三道题都有公因式，应先提取公因式再应用平方差公式。
注意要分解到不能分解为止。
解：（1）a 5b －ab＝ab(a 4－1)＝ab(a 2+1)(a 2－1)＝ab(a 2+1)(a+1)(a －1)注：a 2+1在有理数范围不能分解，a 2－1可以分解。
（2）a 4(m+n)－b 4(m+n)＝(m+n)(a 4－b 4)＝(m+n)(a 2+b 2)(a 2－b 2)＝(m+n)(a 2+b 2)(a+b)(a －b)（3）－16111-++m m a a ＝－1611-m a (a 2－16) ＝－1611-m a (a+4)(a －4) 注：提取分数公因式－161便于后面用公式法分解。
二、运用完全平方公式法分解因式例1、分解因式：（1）x 2+6ax+9a 2 （2）－x 2－4y 2+4xy （3）9（a －b ）2+6（a －b ）+1 分析：这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的完全平方公式。
解：（1）x 2+6ax+9a 2＝（x ）2+2（x ）（3a ）+（3a ）2＝（x+3a ）2解：（2）－x 2－4y 2+4xy＝－（x 2－4xy+4y 2）＝－[x 2－2（x ）（2y ）+（2y ）2]＝－（x －2y ）2解：（3）9（a －b ）2+6（a －b ）+1＝[3（a －b ）]2+2×3（a －b ）×1+12＝[3（a －b ）+1]2＝（3a －3b+1）2例2、分解因式：（1）a 4x 2－4a 2x 2y+4x 2y 2（2）（x+y ）2－12（x+y ）z+36z 2（3）（x 2+4x ）2+8（x 2+4x ）+16分析：（1）题有公因式x 2应先提取出来，剩余因式（a 4－4a 2y+4y 2）正好是（a 2－2y ）2 解：（1）a 4x 2－4a 2x 2y+4x 2y 2＝x 2（a 4－4a 2y+4y 2）＝x 2[（a 2）2－2（a 2）（2y ）+(2y)2]＝x 2（a 2－2y ）2解：（2）（x+y ）2－12（x+y ）z+36z 2＝（x+y ）2－2（x+y ）（6z ）+（6z ）2＝（x+y －6z ）2解：（3）（x 2+4x ）2+8（x 2+4x ）+16＝（x 2+4x ）2+2（x 2+4x ）×4+42＝(x 2+4x+4) 2＝[（x+2）2]2＝（x+2）4分析：（4）题把x 2－2y 2和y 2看作为一个整体，那么这个多项式就是关于x 2－2y 2和y 2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数21提出后，括号里边实际上就是一个完全平方公式。
注意分解到不能分解为止。
【课堂练习】1、用平方差因式分解 （1） 36－x 2 （2） a 2－91b 2 （3） x 2－16y 2（4） x 2y 2－z 2 （5） (x+2)2－9 （6）(x+a)2－(y+b)22用完全平方分式因式分解：(1)a 2－4a ＋4 (2)a 2－12ab ＋36b 2 (3)25x 2＋10xy ＋y 2(4)16a 4＋8a 2＋1 (5) (m ＋n)2－4(m ＋n)＋4 (6) 16a 4－8a 2＋13. 已知：x x +=-13，求x x441+的值。
4. 若a b c ，，是三角形的三条边，求证：a b c b c 22220---<5. 已知：ωω210++=，求ω2001的值。
6、利用因式分解计算：（1）22200120031001- （2）(1－221)(1－231)(1－241)…(1－291)(1－2101)（3）20042-4008×2005+20052 （4）9.92－9.9×0.2＋0.01四、学生对于本次课的评价：○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差学生签字：五、教师评定：1、 学生上次作业评价： ○ 非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化2、 学生本次上课情况评价：○ 非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化教师签字：教导主任签字：课后作业：一、选择题1．下列因式分解正确的是（）A．x2+y2=（x+y）（x－y）B．x2－y2=（x+y）（x－y）C．x2+y2=（x+y）2 D．x2－y2=（x－y）2 2．下列各式不是完全平方式的是（）A．x2+4x+1 B．x2－2xy+y2C．x2y2+2xy+1 D．m2－mn+14n23．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）A．m2－mn+n2B．（a+b）2－4ab C．x2－2x+14D．x2+2x－14．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■=（x2+4）（x+2）（x－▲）•中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（）A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，85．若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是（）A．8 B．16 C．2 D．4二、填空题6．分解因式：a3－4a=______．7．已知x2－y2=69，x+y=3，则x－y=______．8．把a2b+b3－2ab2分解因式的结果是______．9．请你写一个能先提公因式，再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果．___________．三、计算题10．分解因式：（x2+4）2－16x2．。