2017_2018学年八年级数学下册1三角形的证明1.4等腰三角形课时训练(新版)北师大版

合集下载

北师版数学八年级下册课时练第一章三角形的证明专项3 构造等腰三角形的常用方法

北师版数学八年级下册第一章三角形的证明类型1利用平行线构造等腰三角形1．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点E，在AB的延长线上取点D，使BD＝EC，连接DE交BC于点F.求证：DF＝EF.证明：如图，作EG∥AB交BC于点G，则∠CGE＝∠ABC，∠GEF＝∠D，∠DBF＝∠EGF. ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠C＝∠EGC，∴CE＝EG.∵CE＝BD，∴BD＝GE.∴△DBF≌△EGF(ASA)，∴DF＝EF.2．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE.(1)若点D是AC的中点，如图1，求证：AD＝CE；(2)若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论．(提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F)解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC.∵D为AC的中点，∴∠DBC＝30°，AD＝DC.∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°.∵∠ACB＝∠E＋∠CDE，∴∠CDE＝30°＝∠E，∴CD＝CE.∵AD＝DC，∴AD＝CE.(2)AD ＝CE .证明：如图2，过点D 作DF ∥BC ，交AB 于点F ，则∠ADF ＝∠ACB ＝60°.∵∠A ＝60°，∴△AFD 是等边三角形，∴AD ＝DF ＝AF ，∠AFD ＝60°，∴∠BFD ＝∠DCE ＝180°－60°＝120°.∵DF ∥BC ，∴∠FDB ＝∠DBE ＝∠E .在△BFD 和△DCE 中，⎩⎨⎧∠FDB ＝∠E ，∠BFD ＝∠DCE ，BD ＝DE ，∴△BFD ≌△DCE ，∴CE ＝DF ＝AD ，即AD ＝CE .类型2 利用角平分线及垂线构造等腰三角形3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，BC ＝2AC .求证：∠A ＝90°.证明：如图，作CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ⊥BC 于点E .∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠BCD ，即△DBC 是等腰三角形．又∵DE ⊥BC ，∴BC ＝2CE .又BC ＝2AC ，∴AC ＝EC ，∴△ACD ≌△ECD ，∴∠A ＝∠DEC ＝90°.类型3 利用倍角关系构造等腰三角形4．已知AD 是△ABC 的角平分线，∠ABC ＝2∠C .求证：AB ＋BD ＝AC .证明：如图，在边AC 上截取AP ＝AB .∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD ＝∠P AD .又∵AD ＝AD ，∴△ABD ≌△APD (SAS)，∴∠APD ＝∠B ，PD ＝BD .∵∠B ＝2∠C ，∠APD ＝∠PDC ＋∠C ，∴∠PDC ＝∠C ，∴PD ＝PC ，∴AB ＋BD ＝AC .类型4 利用截长补短法构造等腰三角形5．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC 于点D ，且AB ＋BD ＝DC ，求∠C 的度数．(用截长法与补短法两种方法解答)解：方法1(截长法)：如图1，在CD上取点E，使DE＝BD，连接AE，则CE＝AB＝AE.∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C.∵∠BAC＝120°，∴∠B＋∠C＝2∠C＋∠C＝60°.∴∠C＝20°.方法2(补短法)：如图2，延长DB至点F，使BF＝AB，连接AF，则AB＋BD＝DF＝CD.∴AF＝AC，∠C＝∠F＝12∠ABC.∵∠BAC＝120°，∴∠ABC＋∠C＝∠ABC＋12∠ABC＝60°.∴∠ABC＝40°，∴∠C＝20°.6．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D.证明：BF＝2CD.证明：如图，延长BA，CD交于点E.∵BF平分∠ABC，CD⊥BD，∴∠DBC＝∠DBE，∠BDC＝∠BDE＝90°.又∵BD＝BD，∴△BDC≌△BDE.∴BC＝BE.又∵BD⊥CE，∴CE＝2CD.∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，∴∠ABF＝∠ACE.又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，∴△ABF≌△ACE(ASA)．∴BF＝CE.∴BF＝2CD.。

专题01-三角形的证明-2017-2018学年下学期期末复习备考八年级数学之热点难点突破练(北师大版)(原卷版)

三角形的证明【知识梳理】一、等腰三角形1．等腰三角形的定义：____________的三角形是等腰三角形．2．等腰三角形的性质(1)等腰三角形两底角____________；(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称：____________；(3)等腰三角形是轴对称图形，有条对称轴．3.等腰三角形的判定方法(1)定义判定：一个三角形中，如果有两条边____________，那么这个三角形是等腰三角形．(2)判定定理：等角对等边，即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边____________．4.等边三角形的性质等边三角形的各角都____________，并且每—个角都等于；等边三角形是轴对称图形，有条对称轴．5.等边三角形的判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形.二、直角三角形1.直角三角形的定义有一个角是的三角形叫做直角三角形2.直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角________；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的____________ ；【例题精讲】考点一、等腰三角形的性质例1若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm考点二、等腰三角形的有关角的计算例2如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．75°考点三、等腰三角形中的分类讨论问题例3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）A．4B．5C．6D．7考点四、等边三角形的性质例4如图，已知△ABC为等边三角形，高AH＝5cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为_________cm.考点五、角平分线的性质与判定例5如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．（提示：过P 作PE⊥直线BA）考点六、线段的垂直平分线例6如图，在锐角中，，．尺规作图：作BC边的垂直平分线分别交AC，BC于点D、保留作图痕迹，不要求写作法；在的条件下，连结BD，求的周长．【达标测试】一、单选题（本题共10小题，每题3分，满分30分）1．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )A. 1∶1∶2B. 1∶3∶4C. 9∶25∶36D. 25∶144∶1692．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∠BAD=20°，DE⊥AC于E．则∠EDC的大小是（）A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°3．如图，△ABC的三边长分别是6,9,12,其三条角平分线将其分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A. 1:1:1 B. 1:2:3 C. 2:3:4 D. 3:4:54．等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（）A. 40° 40°B. 80° 20°C. 50° 50°D. 50° 50°或80° 20°5．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD:∠BAD=5:2，则∠BAC=（）A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°6．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D 为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A. 6B. 8C. 9D. 107．如果一个三角形一边的平方为2（m2＋1），其余两边分别为m－1，m ＋ l，那么这个三角形是（）；A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形8．如图，是三个等边三角形（注：等边三角形的三个内角都相等）随意摆放的图形，则∠1+2∠+∠3等于（）A. 90° B. 120° C. 150° D. 180°9．一个三角形的三边长为15，20，25，则此三角形最大边上的高为（）A. 10B. 12C. 24D. 4810．在等边三角形ABC中，D ，E 分别是BC，AC 的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（）．A. A点处B. D点处C. AD的中点处D. △ABC三条高线的交点处二、填空题（本题共10小题，每题3分，满分30分）11．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为______．12．一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是________.13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为_________．14．如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D，交AC于F，若AB=4，△ADF的周长为7，则AC的长为__________．15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，若∠B=35°，则∠CAD=________°.16．如图所示，BD⊥AC于点D ，DE∥AB ，EF⊥AC于点F ，若BD平分∠ABC ，则与∠CEF相等的角（不包括∠CEF）的个数是________.17．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝______________时，△AOP为等腰三角形．18．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连结BD．若AD=12cm，则BC的长为__________ ．19．如图，△ABC中，∠ABC=120°，BD平分∠ABC,点P是BD上一点，PE⊥AB于E,线段BP的垂直平分线FH 交B C于F，垂足为H.若BF=2，则PE的长为 .20．如图 , 等边△A1C1C2的周长为 1, 作C1D1⊥A1C2于D1, 在C1C2 的延长线上取点C3, 使D1C3=D1C1, 连接D1C3, 以C2C3为边作等边△A2C2C3; 作C2D2⊥A2C3于D2, 在C2C3的延长线上取点C4, 使D2C4=D2C2, 连接D2C4,以C3C4为边作等边△A3C3C4;…且点A1,A2,A3,…都在直线C1C2同侧 , 如此下去 , 则△A1C1C2,△A2C2C3,△A3C3C4,…,△A n C n C n+1的周长和为_______．（n≥2，且n为整数）.(面积之和？)三、解答题（本题共7小题，满分60分）21．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，BC=8．求△AEG周长．22．两个大小不同的等腰直角三角板如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接CD.求证：CD⊥BE.23．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，过B作BE⊥AD交AD于F，交AC于E．（1）求证：△ABE为等腰三角形；（2）已知AC=11，AB=6，求BD长．24．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且∠B＝∠ADB，过点C作CM垂直于AD的延长线，垂足为M.(1)若∠DCM＝α，试用α表示∠BAD；(2)求证：AB＋AC＝2AM.25．如图，直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，OE平分∠AOD．（1）若∠COE=20°，则∠BOD=；若∠COE=α，则∠BOD=（用含α的代数式表示）（2）当三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，其它条件不变，试猜测∠COE与∠BOD之间有怎样的数量关系？并说明理由．26．（1）如图1，已知：在△ABC中，AB=AC=10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有__________个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是__________，△AEF的周长是__________；（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB=AC=10”该为“若△ABC为不等边三角形，AB=8，AC=10”其余条件不变，则图中共有__________个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长；（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB>AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．27．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点N，交BC的延长线于点M，∠A=40°.（1）求∠NMB的大小.（2）如果将（1）中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小.（3）你认为存在什么样的规律？试用一句话说明.（请同学们自己画图）（4）将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？。

北师大初二数学8年级下册第1章(三角形的证明)1.1 等腰三角形同步练习(含答案)

1　等腰三角形第1课时　全等三角形和等腰三角形的性质1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA第1题图第2题图2．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B ＝．3．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为．4．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝度．第4题图第5题图5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠BAD＝∠CAE.若BC＝15，DE＝6，则CE的长为．6．已知：如图，在△ABC中，D是边AC上一点，AB＝BD＝DC，∠ABD＝20°，AE ∥BD交CB的延长线于点E.求∠AEB的度数．7．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．3第7题图第8题图8．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．垂线段最短C．等腰三角形“三线合一”D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是．10．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，连接BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠E的度数．11．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．13 B．17C．13或17 D．13或1012．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B等于．13．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°第13题图第14题图14．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE.连接DE，过点A的直线GH与DE平行．若∠C＝40°，则∠GAD的度数为（）A．40°B．45°C．55°D．70°15．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且△AMK≌△BKN.若∠MKN＝52°，则∠P的度数为（）A．38°B．76°C．96°D．136°第15题图第16题图16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝36度．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE 的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF，EF相交于点F.求证：(1)∠C＝∠BAD；(2)AC＝EF.18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.第2课时　等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质1．如图，在△ABC中，AB＝AC，下列条件中，不能使BD＝CE的是（）A．BD，CE分别为AC，AB上的高B．BD，CE为△ABC的角平分线C．∠ABD＝13∠ABC，∠ACE＝13∠ACBD．∠ABD＝∠BCE第1题图第2题图2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，则下列结论不一定正确的是（）A．BD＝CE B．AE＝ADC．OC＝DC D．∠ABD＝∠ACE3．求证：等腰三角形两腰上的高相等．4．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D.若BD＝2，则AC＝（）A．2 B．3 C．23D．4第4题图第5题图5．如图，在等边△ABC中，D是AC边的中点，延长BC到点E，使BD＝DE，则∠CDE 的度数为（）A．15°B．20°C．30°D．40°6．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD＝．第6题图第7题图7．等边△ABC的边长如图所示，则y＝．8．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD 是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝．9．如图，在等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE＝CD，求证：BE＝AD.10．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，点E在边AC上，求∠EDC 的度数．11．如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中∠1＋∠2的度数为（）A．180°B．220°C．240°D．300°第11题图第12题图12．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．(1，1) B．(1，3)C．(3，1) D．(3，3)13．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE，交BD于点P，连接CD，分别交BE，AE于点Q，M，连接BM，PQ，则∠AMD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°第13题图第14题图14．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1＋∠2＝120°，则∠3的度数为．15．如图，在等边△ABC中，D是BC上的一点，延长AD至E，使AE＝AC，∠BAE 的平分线交△ABC的高BF于点O.求∠E的度数．16．如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q.(1)求证：AM＝BN；(2)求∠BQM的度数．17．已知，如图所示，P为等边△ABC内的一点，它到三边AB，AC，BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高AM＝h，则h与h1，h2，h3有何数量关系？写出你的猜想并加以证明．第3课时　等腰三角形的判定与反证法1．在△ABC中，已知∠B＝∠C，则（）A．AB＝BC B．AB＝ACC．BC＝AC D．∠A＝60°2．如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是（）A．任意三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形3．下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是（）A．有两个内角分别是70°，40°的三角形B．有一个角为45°的直角三角形C．一个外角是130°，与它不相邻的一个内角为50°的三角形D．有两个内角分别是70°，50°的三角形4．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D.如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是（）A．OA＝OD B．AB＝CDC．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB第4题图第5题图5．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于点E.若DE＝5，AE＝7，则AC的长为．6．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．7．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF.8．用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，应先假设（）A．直角三角形中两个锐角都大于45°B．直角三角形中两个锐角都不大于45°C．直角三角形中有一个锐角大于45°D．直角三角形中有一个锐角不大于45°9．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF.(用反证法证明)10．如图，已知每个小方格的边长都为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）A．8个B．7个C．6个D．5个11．如图，已知△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，∠ABD＝∠ACE，下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．AE＝AD B．BD＝CEC．∠ECB＝∠DBC D．∠BEC＝∠CDB第11题图第12题图12．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若BD＋CE＝5，则线段DE的长为（）A．5 B．6 C．7 D．813．用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设．14．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能将这个三角形分成两个小等腰三角形的是(填序号)．,①) ,②) ,③) ,④)15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，并交AB于点E，求证：(1)AD∥FG；(2)△AEF是等腰三角形．16．如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE ＝CD，DF⊥BE，垂足为F.(1)求BD的长；(2)求证：BF＝EF.17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D 不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝，∠DEC＝；点D从B向C 运动时，∠BDA逐渐变小(填“大”或“小”)；(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由；(3)在点D的运动过程中，△ADE可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．第4课时　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质1．在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定2．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中等边三角形是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④3．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD是等边三角形．第3题图第4题图4．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置)．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝米．5．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC 是等边三角形．6．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE 为等边三角形．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝30°，则BC＝（）A．8 B．6 C．4 D．2第7题图第8题图8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．59．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是6米．第9题图第10题图10．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°.若自动扶梯运行速度v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为26秒．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BC＝8 cm，求AD的长．12．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处．已知CD＝1，∠B＝30°，则BD的长是（）A．1 B．2C.3D．23第12题图第13题图13．如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC 为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直14．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM ＝PN.若MN＝2，则OM＝（）A．3 B．4 C．5 D．6第14题图第15题图15．如图，已知直线l1∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上．如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝.16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB，交CD 于点E，交BC于点F.若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形．17．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.(1)如图1，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等边三角形；(2)若点E在BC的延长线上，则在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论(图2备用)．参考答案：第1课时　全等三角形和等腰三角形的性质1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是(A) A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA第1题图第2题图2．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．3．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD.若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为34°．4．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝40度．第4题图第5题图5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠BAD＝∠CAE.若BC＝15，DE＝6，则CE的长为4.5．6．已知：如图，在△ABC中，D是边AC上一点，AB＝BD＝DC，∠ABD＝20°，AE ∥BD交CB的延长线于点E.求∠AEB的度数．解：∵AB＝BD，∠ABD＝20°，∴∠ADB＝80°.∵BD＝DC，∴∠CBD＝40°.∵AE∥BD，∴∠AEB＝40°.7．如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于(B)A．10 B．5 C．4 D．3第7题图第8题图8．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE 上一点A 往地面拉两条长度相等的固定绳AB 与AC ，当固定点B ，C 到杆脚E 的距离相等，且B ，E ，C 在同一直线上时，电线杆DE 就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是(C)A ．等边对等角B ．垂线段最短C ．等腰三角形“三线合一”D ．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D.若AB ＝6，CD ＝4，则△ABC 的周长是20．10．如图，已知在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，AD ⊥BC ，AD ＝AB ，连接BD 并延长，交AC 的延长线于点E ，求∠E 的度数．解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝40°.∵AD ＝AB ，∴∠BDA ＝12×(180°－40°)＝70°.∴∠E ＝∠BDA －∠CAD ＝70°－40°＝30°.11．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为(B)A ．13B ．17C ．13或17D ．13或1012．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B等于70°或20°．13．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是(B)A．20°B．35°C．40°D．70°第13题图第14题图14．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE.连接DE，过点A的直线GH与DE平行．若∠C＝40°，则∠GAD的度数为(C) A．40°B．45°C．55°D．70°15．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且△AMK≌△BKN.若∠MKN＝52°，则∠P的度数为(B)A．38°B．76°C．96°D．136°第15题图第16题图16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝36度．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE 的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF，EF相交于点F.求证：(1)∠C＝∠BAD；(2)AC＝EF.证明：(1)∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC.∴∠C＋∠DAC＝90°.∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠DAC ＝90°.∴∠C ＝∠BAD.(2)∵AF ∥BC ，∴∠FAE ＝∠AEB.∵AB ＝AE ，∴∠B ＝∠AEB.∴∠B ＝∠FAE.∵EF ⊥AE ，∴∠AEF ＝90°＝∠BAC.在△ABC 和△EAF 中，{∠B ＝∠FAE ，AB ＝EA ，∠BAC ＝∠AEF ，∴△ABC ≌△EAF(ASA)．∴AC ＝EF.18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE ＝CE.求证：(1)△AEF ≌△CEB ；(2)AF ＝2CD.证明：(1)∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠AEF ＝∠CEB ＝∠ADC ＝90°.∴∠AFE ＋∠EAF ＝∠CFD ＋∠ECB ＝90°.又∵∠AFE ＝∠CFD ，∴∠EAF ＝∠ECB.在△AEF 和△CEB 中，{∠AEF ＝∠CEB ，AE ＝CE ，∠EAF ＝∠ECB ，∴△AEF ≌△CEB(ASA)．(2)∵△AEF ≌△CEB ，∴AF ＝BC.在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴CD ＝BD.∴BC ＝2CD.∴AF ＝2CD.第2课时　等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质1．如图，在△ABC中，AB＝AC，下列条件中，不能使BD＝CE的是(D) A．BD，CE分别为AC，AB上的高B．BD，CE为△ABC的角平分线C．∠ABD＝13∠ABC，∠ACE＝13∠ACBD．∠ABD＝∠BCE第1题图第2题图2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，则下列结论不一定正确的是(C)A．BD＝CE B．AE＝ADC．OC＝DC D．∠ABD＝∠ACE3．求证：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D.求证：CE＝BD.证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠AEC＝∠ADB＝90°.又∵AC＝AB，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD(AAS)．∴CE＝BD.4．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D.若BD＝2，则AC＝(D)A．2 B．3 C．23D．4第4题图第5题图5．如图，在等边△ABC中，D是AC边的中点，延长BC到点E，使BD＝DE，则∠CDE 的度数为(C)A．15°B．20°C．30°D．40°6．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD＝120°．第6题图第7题图7．等边△ABC的边长如图所示，则y＝3．8．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD 是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝40°．9．如图，在等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE＝CD，求证：BE＝AD.证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝CA，∠BAC＝∠ACB＝60°.∴∠EAB＝∠DCA＝120°.在△EAB和△DCA中，{AE＝CD，∠EAB＝∠DCA，AB＝CA，∴△EAB≌△DCA(SAS)．∴BE＝AD.10．如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，点E在边AC上，求∠EDC的度数．解：∵△ABC是等边三角形，AD为中线，∴AD⊥BC，∠CAD＝30°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝12(180°－∠CAD)＝75°.∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝90°－75°＝15°.11．如图，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中∠1＋∠2的度数为(C)A．180°B．220°C．240°D．300°第11题图第12题图12．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(B)A．(1，1) B．(1，3)C．(3，1) D．(3，3)13．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD和△BCE是等边三角形，连接AE，交BD于点P，连接CD，分别交BE，AE于点Q，M，连接BM，PQ，则∠AMD的度数为(B) A．45°B．60°C．75°D．90°第13题图第14题图14．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1＋∠2＝120°，则∠3的度数为60°．15．如图，在等边△ABC 中，D 是BC 上的一点，延长AD 至E ，使AE ＝AC ，∠BAE 的平分线交△ABC 的高BF 于点O.求∠E 的度数．解：∵△ABC 是等边三角形，BF 是△ABC 的高，∴∠ABO ＝12∠ABC ＝30°，AB ＝AC.∵AE ＝AC ，∴AB ＝AE.∵AO 为∠BAE 的平分线，∴∠BAO ＝∠EAO.在△ABO 和△AEO 中，{AB ＝AE ，∠BAO ＝∠EAO ，AO ＝AO ，∴△ABO ≌△AEO(SAS)．∴∠E ＝∠ABO ＝30°.16．如图，△ABC 为等边三角形，点M 是线段BC 上任意一点，点N 是线段CA 上任意一点，且BM ＝CN ，BN 与AM 相交于点Q.(1)求证：AM ＝BN ；(2)求∠BQM 的度数．解：(1)证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝60°，AB ＝BC.在△AMB 和△BNC 中，{AB ＝BC ，∠ABM ＝∠C ，BM ＝CN ，∴△AMB ≌△BNC(SAS)．∴AM ＝BN.(2)∵△AMB ≌△BNC ，∴∠MAB ＝∠NBC.∴∠BQM ＝∠MAB ＋∠ABQ＝∠NBC ＋∠ABQ＝∠ABC＝60°.17．已知，如图所示，P 为等边△ABC 内的一点，它到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为h 1，h 2，h 3，△ABC 的高AM ＝h ，则h 与h 1，h 2，h 3有何数量关系？写出你的猜想并加以证明．解：猜想：h 1＋h 2＋h 3＝h.证明：连接PA ，PB ，PC.∵S △PAB ＝12AB·h 1，S △PAC ＝12AC·h 2，S △PBC ＝12BC·h 3，S △ABC ＝12BC·h ，S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC ＝S △ABC ，∴12AB·h 1＋12AC·h 2＋12BC·h 3＝12BC·h.∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC.∴h 1＋h 2＋h 3＝h.第3课时　等腰三角形的判定与反证法1．在△ABC 中，已知∠B ＝∠C ，则(B)A ．AB ＝BCB ．AB ＝AC C ．BC ＝ACD ．∠A ＝60°2．如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是(C)A．任意三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形3．下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是(D)A．有两个内角分别是70°，40°的三角形B．有一个角为45°的直角三角形C．一个外角是130°，与它不相邻的一个内角为50°的三角形D．有两个内角分别是70°，50°的三角形4．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D.如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是(C)A．OA＝OD B．AB＝CDC．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB第4题图第5题图5．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于点E.若DE＝5，AE＝7，则AC的长为12．6．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．证明：∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠DAE.∴∠DAE＝∠ADE.∵AD⊥BD，∴∠DAE＋∠B＝90°，∠ADE＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴BE＝DE.∴△BDE是等腰三角形．7．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF.证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.在△ABF和△DCE中，{AB＝DC，∠B＝∠C，BF＝CE，∴△ABF≌△DCE(SAS)．∴∠AFB＝∠DEC，即∠GFE＝∠GEF.∴GE＝GF.8．用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”，应先假设(A)A．直角三角形中两个锐角都大于45°B．直角三角形中两个锐角都不大于45°C．直角三角形中有一个锐角大于45°D．直角三角形中有一个锐角不大于45°9．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF.(用反证法证明)证明：假设AB与EF不垂直，则∠AME≠90°.∵AB∥CD，∴∠AME＝∠CNE.∴∠CNE≠90°，与已知条件CD⊥EF相矛盾．∴假设不成立．∴AB⊥EF.10．如图，已知每个小方格的边长都为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有(A)A．8个B．7个C．6个D．5个11．如图，已知△ABC，点D，E分别在边AC，AB上，∠ABD＝∠ACE，下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是(D)A．AE＝AD B．BD＝CEC．∠ECB＝∠DBC D．∠BEC＝∠CDB第11题图第12题图12．已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若BD＋CE＝5，则线段DE的长为(A) A．5 B．6 C．7 D．813．用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设_这个三角形中至少有两个角是直角或钝角．14．如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能将这个三角形分成两个小等腰三角形的是②(填序号)．,①) ,②) ,③) ,④)15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于点G，并交AB于点E，求证：(1)AD∥FG；(2)△AEF是等腰三角形．证明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.∵FG⊥BC，∴∠FGC＝90°.∴∠ADC＝∠FGC.∴AD∥FG.(2)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD.∵AD∥FG，∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD.∴∠F＝∠AEF.∴AF＝AE.∴△AEF是等腰三角形．16．如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE ＝CD，DF⊥BE，垂足为F.(1)求BD的长；(2)求证：BF＝EF.解：(1)∵BD是等边△ABC的中线，∴BD ⊥AC ，AD ＝CD.∵AB ＝6，∴AD ＝3.在Rt △ABD 中，由勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝33.(2)证明：∵BD 是等边△ABC 的中线，∴BD 平分∠ABC.∴∠DBE ＝12∠ABC ＝30°.∵∠ACB ＝60°，∴∠ACE ＝120°.又∵CE ＝CD ，∴∠E ＝∠CDE ＝180°－120°2＝30°.∴∠DBE ＝∠E.∴BD ＝ED.又∵DF ⊥BE ，∴BF ＝EF.17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝∠C ＝40°，点D 在线段BC 上运动(D 不与B ，C 重合)，连接AD ，作∠ADE ＝40°，DE 交线段AC 于点E.(1)当∠BDA ＝115°时，∠EDC ＝25°，∠DEC ＝115°；点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变小(填“大”或“小”)；(2)当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ？请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，△ADE 可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．解：(2)当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE.理由：∵∠C ＝40°，∴∠DEC ＋∠EDC ＝140°.∵∠ADE ＝40°，∴∠ADB ＋∠EDC ＝140°.∴∠ADB ＝∠DEC.又∵AB ＝DC ＝2，∴△ABD ≌△DCE(AAS)．(3)可以，∠BDA 的度数为110°或80°.第4课时　等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质1．在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是(B)A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定2．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中等边三角形是(D)A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④3．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD是等边三角形．第3题图第4题图4．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置)．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝48米．5．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC 是等边三角形．证明：∵DC＝DB，∠B＝30°，∴∠DCB＝∠B＝30°.∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°.又∵AD＝DC，∴△ADC是等边三角形．6．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE 为等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.又∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴AD＝AE.∵∠ADB＝120°，∴∠ADE＝60°.∴△ADE为等边三角形．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，∠A＝30°，则BC＝(C)A．8 B．6 C．4 D．2第7题图第8题图8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是(D)A．2 B．3 C．4 D．59．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是6米．第9题图第10题图10．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°.若自动扶梯运行速度v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为26秒．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BC＝8 cm，求AD的长．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8 cm，∴∠B＝60°，AB＝2BC＝16 cm.∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°.∴∠DCB＝30°.∴DB＝12BC＝4 cm.∴AD＝AB－DB＝12 cm.12．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处．已知CD＝1，∠B＝30°，则BD的长是(B)A．1 B．2C.3D．23第12题图第13题图13．如图，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC 为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是(A) A．平行B．相交C．垂直D．平行、相交或垂直14．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM ＝PN.若MN＝2，则OM＝(C)A．3 B．4 C．5 D．6第14题图第15题图15．如图，已知直线l1∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A 在l2上．如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝120°.16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB，交CD 于点E，交BC于点F.若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形．证明：∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF.∵AF＝BF，∴∠BAF＝∠B.∴∠CAF＝∠BAF＝∠B.∵∠ACB＝90°，∴∠CAF＋∠BAF＋∠B＝90°.∴∠BAF＝∠B＝30°.∵CD⊥AB，∴∠ADE＝∠CDB＝90°.∴∠BCD＝∠DEA＝60°.∴∠CEF＝60°.∴∠CFA＝∠CEF＝∠ECF＝60°.∴△CEF是等边三角形．17．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.(1)如图1，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.求证：①△ABE≌△ACF；②△AEF是等边三角形；(2)若点E在BC的延长线上，则在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论(图2备用)．解：(1)证明：①∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝AC.同理，△ADC也是等边三角形，∴∠B＝∠ACF＝60°.又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)．②∵△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∵∠BAE＋∠CAE＝60°，∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.∴△AEF是等边三角形．(2)存在．证明：在CD的延长线上取点F，在BC的延长线上取点E，使CF＝BE，连接AE，EF，AF.与(1)①同理，可证△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.∴∠BAE－∠CAE＝∠CAF－∠CAE，即∠BAC＝∠EAF＝60°.∴△AEF是等边三角形．。

【小初高学习]2017-2018学年八年级数学下册 1 三角形的证明 1.3 等腰三角形课时训练(无

教育精品学习资源
教育精品学习资源第一章三角形的证明
1.3 等腰三角形
1.等腰三角形的定义：有相等的三角形,叫做等腰三角形。

2.等腰三角形是对称图形；等腰三角形的相等(简写成“等边对等角”)；等腰三角形顶角的、底边上的、底边上的高重合
3.把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果------那么-----”形式。

如果 ,那么 .
4. .已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于点F,
则∠AFE= .
5.已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，AD ∥BC 且∠1=∠2．
求证：AB=AC ．
6.如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．
7.已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数中至少偶一个大于或等于15
.
8.如图，BD 平分∠CBA ，CD 平分∠ACB ，且MN ∥BC ，设AB=12，AC=18，求△AMN 的周
C
21B A D D A B C
N M
C B A
D。

2017-2018学年八年级数学下专题整合训练1)三角形的证明北师大含答案)

2017-2018 学年八年级数学下专题整合训练 (1) 三角形的证明 ( 北师大含答案 )专题整合训练专题一等腰三角形的性质与判断1.(2017 ?山东滨州中考 ) 如图 , 在△ ABc 中 ,AB=Ac,D 为 Bc 上一点 , 且 DA=Dc,BD=BA,则∠ B 的大小为 (B )A.40°B.36° c.30° D.25°2.如下图 , 点 D,E 在△ ABc 的边 Bc 上, 连结 AD,AE.①AB=Ac;② AD=AE;③ BD=cE.以此三个等式中的两个作为命题的题设, 另一个作为命题的结论 , 组成三个命题: ①② ? ③; ①③ ? ②; ②③ ? ①.(1) 以上三个命题是真命题的为( 直接作答 );(2)请选择一个真命题进行证明 ( 先写出所选命题 , 而后证明 ).(1)解①② ? ③,①③? ②, ②③? ①.(2)证明①② ? ③方法一 : ∵ AB=Ac,∴∠ B=∠ c.又 AD=AE,∴∠ ADG=∠ AEG.∵∠ ADG=∠ B+∠BAD,∠ AEG=∠ c+∠cAE, ∴∠ BAD=∠ cAE.在△ ABD与△ AcE 中 ,AB=Ac, ∠BAD=∠ cAE,AD=AE,则△ ABD ≌△ AcE(SAS).∴BD=cE.方法二 : 过点 A 作△ ABc 的高 AG,∵AB=Ac,AG⊥ Bc, ∴ BG=cG.又 AD=AE,AG⊥ DE,∴DG=EG.∵BD=BG-DG,cE=cG-GE,∴BD=cE.专题二等边三角形的性质与判断3.导学号 99804031 如图 , 在△ ABc 中 ,D 是 AB边上的一点 , 且 AD=Dc=DB,∠ B=30°. 求证 : △ADc 是等边三角形 .证明∵ Dc=DB,∴∠ B=∠ DcB=30° ( 等边平等角 ).∴∠ ADc=∠ DcB+∠ B=60°.又 AD=Dc,∴△ ADc 是等边三角形 ( 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 ).4.导学号 99804032 如图 , △ ABc 是等边三角形 , ∠1=∠ 2= ∠3, 求∠ BEc 的度数 .解∵△ ABc 是等边三角形 ,∴ AB=Bc=cA,∠ ABc=∠ BcA=∠ cAB=60° .∵∠ 1=∠ 2=∠ 3, ∴∠ BAc-∠ 1=∠ ABc- ∠ 2=∠ BcA-∠ 3, 即∠cAF=∠ABD=∠ BcE.在△ ABD和△ BcE 和△ cAF 中 ,{■ (∠1=∠ 2=∠ 3”,” @AB=Bc=cA” ,” @∠ ABD=∠BcE=∠cAF” , ”) ┤∴△ ABD≌△ BcE≌△ cAF(ASA).∴AD=BE=cF,BD=cE=AF.∴AD-AF=BE-BD=cF-cE,即 FD=DE=EF.∴△ DEF是等边三角形 . ∴∠ FED=60° .∴∠ BEc=180° - ∠ FED=180° -60 °=120° .5.导学号 99804033 如下图 , 等边△ ABc 和等边△ DcE 在直线 BcE 的同一侧 ,AE 交 cD 于点 P,BD 交 Ac 于点 Q,求证 : △PQc为等边三角形 .证明在等边△ABc 和等边△DcE 中 ,Bc=Ac,Dc=Ec, ∠ AcB=∠DcE=60°,因此∠ AcB+∠ AcD=∠ DcE+∠ AcD, 即∠ BcD=∠ AcE.在△ BcD 和△ AcE中,{■ (Bc=Ac”,” @∠ BcD=∠AcE” , ”@cD=cE”. ” ) ┤因此△ BcD≌△ AcE(SAS).因此∠ 1=∠ 2.由于∠ AcB=∠ DcE=60° ,因此∠ AcD=180°- ∠ AcB-∠ DcE=60° .因此∠ BcQ=∠ AcP.在△ BcQ 和△ AcP 中 ,{ ■ ( ∠1=∠ 2” , ”@Bc=Ac”, ”@∠ BcQ=∠ AcP” , ” ) ┤因此△ BcQ≌△ AcP. 因此 cQ=cP.又由于∠ QcP=60° , 因此△ PQc为等边三角形.专题三直角三角形的性质与判断6.如下图,在△ ABc中,cD是AB边上的高,且cD2=AD?BD.求证 : △ABc 是直角三角形 .证明在 Rt △AcD 中 , 由勾股定理得Ac2=AD2+cD2.在 Rt △ BcD中 , 由勾股定理得 Bc2=BD2+cD2.∴Ac2+Bc2=AD2+2cD2+BD2=AD2+2AD? BD+BD2=(AD+BD)2=AB2.∴△ ABc 是直角三角形 .7.导学号99804034 如下图, 点P 是等边三角形ABc 内的一点 , 连结 PA,PB,Pc, 以 BP 为边作∠ PBQ=60°, 且 PB=BQ,连结cQ,若 PA∶ PB∶ Pc=3∶ 4∶ 5, 连结 PQ.求证 : △ PQc是直角三角形 .证明∵ PA∶ PB∶ Pc=3∶ 4∶ 5,∴设 PA=3a,PB=4a,Pc=5a.在△ PBQ中, ∵ PB=BQ=4a,且∠ PBQ=60°,∴△ PBQ是等边三角形 . ∴ PQ=4a.在△ PQc中 , ∵ PQ2+Qc2=16a2+9a2=25a2=Pc2,∴△ PQc是直角三角形 .专题四线段垂直均分线与角均分线性质的应用8.(2016 ?贵州毕节中考) 到三角形三个极点的距离都相等的点是这个三角形的(D )A.三条高的交点B.三条角均分线的交点c.三条中线的交点D.三条边的垂直均分线的交点9.(2017 ? 湖南益阳中考 ) 如图 , 在△ ABc 中 ,AB=Ac, ∠BAc=36°,DE 是线段 Ac 的垂直均分线 , 若 BE=a,AE=b, 则用含a,b 的代数式表示△ABc 的周长为 2a+3b.10.如下图,在Rt△ ABc中,∠ AcB=90°,AB的垂直均分线 DE交 Ac 于点 E, 交 Bc 的延伸线于点F, 若∠ F=30°,DE=1, 求 BE的长 .解∵∠ AcB=90°,FD⊥ AB,∴∠ AcB=∠ FDB=90° .∵∠ F=30° , ∴∠ A=∠ F=30° .又 AB的垂直均分线DE交 Ac 于点 E,∴∠ EBA=∠ A=30° .∴ Rt △DBE中 ,BE=2DE=2.11.导学号 99804035 如图 , 已知 AD是△ ABc的角均分线 ,DE ⊥AB于点E,DF⊥Ac 于点F. 求证:AD 垂直均分EF.证明∵ AD均分∠ BAc,DE⊥ AB,DF⊥ Ac, ∴DE=DF.∴点 D 在 EF 的垂直均分线上 .在 Rt △ ADE和 Rt △ADF中 ,AD=AD,DE=DF,∴Rt △ ADE≌ Rt △ADF(HL).∴AE=AF.∴点 A 在 EF 的垂直均分线上.∵两点确立一条直线, ∴直线 AD是线段 EF的垂直均分线.。

北师版数学八年级下册课时练第一章三角形的证明第3课时等腰三角形的判定与反证法

北师版数学八年级下册第一章三角形的证明1等腰三角形第3课时等腰三角形的判定与反证法1. 在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是(C)A．∠A＝40°，∠B＝50°B．∠A＝40°，∠B＝60°C．∠A＝40°，∠B＝70°D．∠A＝40°，∠B＝80°2．如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是(C)A．∠B＝∠CB．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACDD．AD⊥BC，BD＝CD第2题图第3题图3．(2019·辽宁抚顺新宾期中)如图所示，等腰三角形有(B)A．4个B．5个C．3个D．2个4．(2019 ·江苏徐州邳州期中)已知a＝4 cm，b＝8 cm，如果c与a，b能组成一个等腰三角形，那么c＝__8__cm.5．在△ABC中，∠A＝100°，当∠B＝__40__°时，△ABC是等腰三角形．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上的点，BD＝CD＝5，则AD＝__5__．第6题图第7题图7．(2019·山东济南市中区一模)在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，那么，由此可知，B，C两地相距__200__m.8．(教材P10，习题1.3，T3改编)如图所示，已知线段a和锐角α，求作一个等腰三角形，使等腰三角形的底角为α，底边为a.(保留作图痕迹)解：(1)作线段BC，使BC＝a；(2)以点B为顶点，BC为一边作∠ABC＝α；(3)以点C为顶点，CB为一边作∠ACB＝α.△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．9．如图，AD是∠BAC的平分线，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E.求证：△ACE是等腰三角形．证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵CE∥AD，∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，∴∠E＝∠ACE，∴AC＝AE，∴△ACE为等腰三角形．10．(教材P8，例2改编)从①AB＝DC；②BE＝CE；③∠B＝∠C；④∠BAD＝∠CDA四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形(写出一种即可)．解：答案不唯一．如选择条件是③④. 证明：在△BAD 和△CDA 中，∵∠B ＝∠C ，∠BAD ＝∠CDA ，AD ＝DA ， ∴△BAD ≌△CDA (AAS)，∴∠BDA ＝∠CAD ，即∠ADE ＝∠DAE ， ∴△AED 是等腰三角形．11．(2019·浙江嘉兴二模)用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时应假设( C )A ．a 不垂直于bB ．a ⊥bC ．a 与b 相交D ．a ，b 不垂直于c12．(2019 ·浙江绍兴嵊州期末)用反证法证明“若|a |＞2，则a 2＞4”时，应假设__a 2≤4__． 13．用反证法证明：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 中至少有一个角大于或等于60°. 证明：假设△ABC 中每个内角都小于60°，则∠A ＋∠B ＋∠C <180°.这与三角形的内角和定理矛盾，故假设错误，即原结论成立．所以在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 中至少有一个角大于或等于60°.14．(2019 ·河北石家庄新华区月考)已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于15，先要假设这五个正数( B ) A ．都大于15 B ．都小于15 C ．没有一个小于15D ．没有一个大于1515．(2019·山东济南天桥区期末)如图，在3×3的网格中，点A ，B 在格点处．以AB 为一边，点P 在格点处，则使△ABP 为等腰三角形的点P 有( D )A．2个B．3个C．4个D．5个16．(教材P10，习题 1.3，T2改编)如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若BD＋CE＝5，则线段DE＝__5__．17．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，且BD≠CE，求证：AB≠AC.证明：假设AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB.∵AB＝AC，D，E分别是AC，AB的中点，∴BE＝CD.在△BCD和△CBE中，BE＝CD，∠ABC＝∠ACB，BC＝CB，∴△BCD≌△CBE，∴BD＝CE，与BD≠CE相矛盾．∴假设不成立，即AB≠AC.18．(2019·广东汕头潮阳区期末)如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形．证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．∵DG∥AC，∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB.又∵DF＝EF，∠DFG＝∠EFC，∴△GDF≌△CEF(ASA)，∴GD＝CE.∵BD＝CE，∴BD＝GD，∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．19．如图，AD∥BC，∠BAC＝70°，DE⊥AC于点E，∠D＝20°.(1)求∠B的度数，并判断△ABC的形状；(2)若延长线段DE恰好过点B，试说明BD是∠ABC的平分线．解：(1)∵DE⊥AC于点E，∠D＝20°，∴∠CAD＝70°.∵AD∥BC，∴∠C＝∠CAD＝70°.∴∠BAC＝∠C＝70°，∠B＝180°－∠BAC－∠C＝40°，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形．(2)∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，∴BD⊥AC.∵△ABC是等腰三角形，∴DB是∠ABC的平分线．。

北师版八年级数学下册作业课件第一章三角形的证明等腰三角形第 4 课时等边三角形的判定

∴∠BPA＝∠PBD－∠A＝15°，
∴∠BPA＝∠A，∴PB＝AB＝15×2＝30(海里)．在Rt△BPD中， ∠PBD＝30°，PB＝30海里，
∴PD＝ PB＝15(海里)．
∵15＜18，∴轮船不改变方向仍继续向前航行有触礁的危险．
16．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC.
(1)求证：△PMN是等边三角形； (2)若AB＝9 cm，求MC的长．
解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B ∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，＝∠C.
∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°， ∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN， ∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP， ∴△PMN是等边三角形． (2)易证△PBM≌△MCN≌△NAP， ∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，∴BM＋PB＝AB＝9 cm， ∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠BMP＝30°， ∴2PB＝BM，∴2PB＋PB＝9 cm， ∴PB＝3 cm，∴MC＝3 cm.
第一章三角形的证明１等腰三角形
第4课时等边三角形的判定
1．定理：三个等角边都三角相形等的三角形是定理：有一个角6_0°_等_于______________的__等__腰_三__角_形_．是等边三角形．
练习1：等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成C为等边三角形的是( )
A．有一个内角是60° B．有一个外角是120°
(2)证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC， ∠ABC＝∠ACB＝60°.∵BD＝CE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠BAD＝∠CAE，AD＝AE.∵点F，点E关于直线AC成轴对称， ∴AE＝AF，∠CAE＝∠CAF，

2017_2018学年八年级数学下册1三角形的证明1.4等腰三角形课时训练(新版)北师大版

北师版数学八年级下册课时练 第一章 三角形的证明 专项3 构造等腰三角形的常用方法