难点突破：立体图形的外接球与内切球问题

合集下载

内切球外接球问题

外接球与内切球问题

一、外接球问题

简单多面体外接球问题是立体几何中的难点与重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．

（一）由球的定义确定球心

在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．

结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．

结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．

结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．

结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．

结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．

（二）构造正方体或长方体确定球心

长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点

处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．

途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．

途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体与正方体．

途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．

途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．

（三）由性质确定球心

利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．

二、内切球问题

若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

难点突破：立体图形的外接球与内切球问题

2018届高三数学第一轮复习教学案18：难点突破：立体图形的外接球与内切球问题一、基础知识与概念：

1．球的截面：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截面是圆．大圆：截面过球心，半径等于球半径（截面圆中最大）；小圆：截面不过球心．

2．球心和截面圆心的连线垂直于截面．

3．球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r的关系：222

R d r

=+．

4．几何体的外接球：几何体的顶点都在球面上；几何体的内切球：球与几何体的各个面都相切．二、多面体的外接球（球包体）

模型1：球包直柱（直锥）：有垂直于底面的侧棱（有垂底侧边棱）

球

包

直柱

球径公式：

R r

⎛⎫

⎪

⎝⎭

，

（r为底面外接圆半径）球包正方体球包长方体球包四棱柱球包三棱柱

球包直锥三棱锥四棱锥

速

算

模型2：“顶点连心”锥：锥体的顶点及球心在底面的投影都是底面多边形外接圆的圆心（两心一顶连成线）实例：正棱锥

球径计算方程：()2

h R r R -+=22

202h r h hR r R h

+⇒-+=⇒=，

（h 为棱锥的高，r 为底面外接圆半径）特别地，

（1）边长为a 正四面体的外接球半径：R =______________．

（2）底面边长为a ，高为h 的正三棱锥的外接球半径：R =__________．（3）底面边长为a ，高为h 的正四棱锥的外接球半径：R =__________．

例：1．（2017年全国卷III 第8题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A ．π

B ．

高考必考重难点：立体几何的球(外切、内接)最核心方法汇总(教师版)

内切球与外接球半径求法思路破解（方法汇总）先砍10刀试试！

(9)

.........

1 .已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上，若球的体积为

9-,则正方体的棱长为

2 .平面截千^。的球面所得圆的半径为 1,球心O 到平面的距离为J2 ,则此球的体积为

3 .已知底面边长为1,侧棱长为 J 2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体

积为___

4 .若所有侧棱长均为 1的正四面体的内切球与外接球半径分别为 r.R,求它们的比值为

5 .已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为 3的球面上，当正六棱柱的底面边长为 J 6时, 其高的

值为

6 .已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3/2,则这个四棱锥的外接球的表面积为

7 . 一个二梭柱的底面为正二角形，且侧梭与底面垂直，一个体积为 -------- 的球体与梭柱的所

有面都相切，那么这个三棱柱的表面积为

8 .在直三棱柱ABC AB 1C 1中，AB 4, AC 6,A -,AA 1 4,则直三棱柱 3

ABC AB 1c l 的外接球的表面积。

9 .正四棱锥S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 J2,点S 、A B 、C 、D 都在同一球面上，则此球的体

积为

的表面积

10.正四棱锥O

ABCD 的体积殳反

2 ,底面边长为 J 3,则以。为球心，为OA 半径的球

如果上述10道题你做的很

不顺畅，那么下边的这些总结，可要收好了！

有关于内切球、外接球的问题，应该说是一个比较困难的问题，几乎所有同学都会感到无从下手，这是正常的，因为这类问题需要强有力的想象力，同时方法性极强。

立体几何中球的内切和外接问题完美版

03
CATALOGUE
球与几何体的内切和外接问题实例
多面体内切球实例
总结词
多面体内切球是指一个球完全内切于一个多面体，且与多面体的每个面都相切。
详细描述
多面体内切球的问题可以通过几何定理和公式来解决，例如欧拉公式和球内切定理。例如，一个正方体的内切球就是其中心，半径等于正方体边长的一半。
旋转体外接球实例
总结词
旋转体外接球是指一个球完全外接于一个旋转体，且与旋转体的每个部分都相切。
详细描述
解决旋转体外接球问题需要利用旋转体的性质和几何定理，例如球的直径等于旋转体高度的两倍。例如，一个圆柱体的外接球就是其上下底面圆的中心，半径等于圆柱体高度的两倍。
04
CATALOGUE
总结与展望
总结立体几何中球的内切和外接问题的研究现状
立体几何中球的内切和外接问题完美版
目录
• 球与多面体的内切和外接问题 • 球与旋转体的内切和外接问题 • 球与几何体的内切和外接问题实例 • 总结与展望
01
CATALOGUE
球与多面体的内切和外接问题
多面体的内切球
01
02
百度文库03
04
多面体的内切球是指与多面体的所有顶点和面都相切的
球。
内切球半径的求法：设多面体的每个面为$S_i$，内切球的半径

高中数学中的内切球和外接球问题

高中数学中立体几何的内切球和外接球问题

一、有关外接球的问题

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.

一、直接法(公式法)

1、求正方体的外接球的有关问题

例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .

例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题

例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π

3.求多面体的外接球的有关问题

例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8

，底面周长为3，则这个球的体积为 .

解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有

⎪⎩⎪⎨⎧⨯==h x x 24368

936 ⎪⎩⎪⎨⎧==213x h

∴正六棱柱的底面圆的半径2

，球心到底面的距离23=d .∴外接球的半径2

立体几何外接球及内切球问题

一、球与柱体

规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.

1.1球与正方体

如图1所示，正方体1111D C B A ABCD -,设正方体的棱长为a ，G H F E ,,,为棱的中点，O 为球的球心。常见组合方式有三类：

一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG 和其内切圆，则2

a r OJ =

=；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG 和其外接圆，则a R OG 22

=；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11A ACC 和其外接圆，则2

3'1a R O A =

=. 例 1：棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（） A ．

B ．

C ． D

1.2 球与长方体

长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为

其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接

球的道理是一样的，故球的半径

例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间

1111ABCD A B C D -O E F ，1AA 1DD EF O 2

112

,,,a b c l 2l R ==

部分的体积为( ) A.10π3

B.4π

C.8π3

D.7π3

1.3球与正棱柱：

①结论：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. ②球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.

外接球与内切球问题

【命题规律】

纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一．高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中等难度．

【核心考点目录】

核心考点一：正方体、长方体外接球核心考点二：正四面体外接球

核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球核心考点四：直棱柱外接球核心考点五：直棱锥外接球

核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型核心考点七：侧棱为外接球直径模型核心考点八：共斜边拼接模型核心考点九：垂面模型核心考点十：二面角模型核心考点十一：坐标法

核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型核心考点十三：锥体内切球核心考点十四：棱切球

【真题回归】

1．（2022·全国·高考真题（文））已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A ．

B ．1

C D ．

【答案】C

【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式

设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111

sin 222222

ABCD S AC BD AC BD r r r α=

⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r 又设四棱锥的高为h ，则22r h 1+=

立体几何中内切球和外接球问题

题目：探索立体几何中的内切球和外接球问题

在立体几何中，内切球和外接球问题是一个引人深思的话题。通过对

这个主题的深入探讨，我们可以更好地理解立体几何的原理和性质。

本文将围绕内切球和外接球问题展开讨论，从基本概念到数学推导，

深入剖析这一有趣而重要的话题。

1. 内切球和外接球的定义

在立体几何中，内切球和外接球分别是指一个球体在一个立体图形内

部与其接触，以及一个球体在一个立体图形外部与其接触。这两个概

念可以应用在各种几何图形中，如圆柱体、圆锥体甚至更为复杂的多

面体。内切球和外接球不仅在几何形状中具有重要意义，还在工程学、艺术设计等领域有着广泛的应用价值。

2. 内切球和外接球的性质

内切球和外接球在几何中具有许多有趣的性质。内切球和外接球的半

径之比有一定的规律，可以通过数学推导得出。内切球和外接球的位

置关系也有一定的特点，可以通过几何推理进行证明。这些性质的深

入理解有助于我们更好地应用立体几何知识解决实际问题。

3. 内切球和外接球的数学推导

从数学角度来看，内切球和外接球问题涉及到许多重要的数学定理和

方法。通过数学推导，我们可以得到内切球和外接球的半径之比、位

置关系等具体数学表达式。这些推导过程需要运用到圆、球体的性质，以及立体几何的相关知识，是一个不可或缺的数学推理过程。

4. 个人观点和理解

在我看来，内切球和外接球问题是立体几何中的一个精彩而复杂的主题。通过对这个问题的探讨，我深刻地感受到数学的美妙和奥妙。数

学不仅是一门实用的科学，更是一个充满乐趣和挑战的学科。通过不

高中数学立体几何中的外接球与内切球问题

在高中数学的立体几何中，外接球与内切球问题是一个重要的探讨点。这个问

题涉及到如何在一个给定的立体图形中，找到一个外切于该图形的球和一个内切于该图形的球。

首先，让我们来看外接球问题。在立体几何中，给定一个多面体，如正方体或

正四面体，我们想找到一个球，使得该球恰好外接于该多面体的每一个面上。所谓外接，即球与每一个面都有且只有一个公共点，这个点是每个面的外接圆心。

以正方体为例，我们可以观察到正方体的每一个面都是正方形，而正方形的外

接圆心恰好位于该正方形的中心点。因此，我们可以得出结论：正方体的外接球的圆心与该正方体的每个面的外接圆心重合。

接下来，让我们来看内切球问题。在立体几何中，给定一个多面体，如正方体

或正四面体，我们想找到一个球，使得该球恰好内切于该多面体的每一个面上。所谓内切，即球与每一个面都有且只有一个公共点，这个点是每个面的内切圆心。

以正方体为例，我们可以观察到正方体的每一个面都是正方形，而正方形的内

切圆心恰好位于该正方形的中心点。因此，我们可以得出结论：正方体的内切球的圆心与该正方体的每个面的内切圆心重合。

总结起来，对于任何一个给定的多面体，我们可以找到一个外接球和一个内切球。外接球的圆心与每个面的外接圆心重合，而内切球的圆心与每个面的内切圆心重合。这个问题在高中数学的立体几何中十分重要，理解了外接球和内切球的性质，可以帮助我们更好地理解和解决相关的几何问题。

立体几何中的外接球内切球棱切球问题

1. 概述

在立体几何中，外接球、内切球和棱切球是常见的几何问题。它们在工程、建筑、数学等领域都有重要的应用。本文将围绕外接球、内切球和棱切球展开讨论，探究它们的性质和相关问题。

2. 外接球的定义和性质

外接球是指一个球与一个或多个其他物体外接，外接球的半径等于所外接物体相应部分的长度，在立体几何中有着重要的应用。

外接球的性质

1）外接球的圆心在被外接物体向外伸出的法线上。

2）外接球的半径等于被外接物体的相应部分的长度。

3）对于凸体而言，外接球存在且唯一。

3. 内切球的定义和性质

内切球是指一个球恰好与另一个物体相切，内切球在立体几何中也有着重要的应用。

内切球的性质

1）内切球的圆心在被内切物体向内伸出的法线上。

2）对于凸体而言，内切球存在且唯一。

3）内切球在不同物体中的位置可能不同，但其存在性是唯一的。

4. 棱切球的定义和性质

棱切球是指一个球与多个物体之间棱切的情况，在立体几何中也有着

重要的应用。

棱切球的性质

1）棱切球的圆心在被棱切物体所在的平面上。

2）对于凸体而言，棱切球存在且唯一。

3）棱切球在不同物体中的位置可能不同，但其存在性是唯一的。

5. 实际应用举例

外接、内切和棱切球在实际应用中有着广泛的应用。比如在建筑工程中，常常需要计算建筑物的外接球、内切球和棱切球，以确定其结构

和稳定性。在数学建模中，外接、内切和棱切球也常常出现，用于解

决各种数学问题。

6. 结论

外接球、内切球和棱切球是立体几何中重要的概念，它们的性质和应

用涉及到广泛的领域。对这些几何问题的深入研究和应用可以帮助我

立体几何中的外接球与内切球问题

的表面积为— — ．
棱长为ｎ的正四面体的外接球与内切球的
解：易知正方体的棱长为２，所以其外接球
球心均为正四面体的中心，它们的半径分别为和．
的表面积为４７【（ ×２）一１２ｎ．故填１２ｎ．
厶
例２（２０１４年陕西卷）已知底面边长为
解题探讨
０
２．定义法．
根据球的定义，几何体外接球的球心到几何体各顶点的距离相等，为球的半径．因此，定
义法的关键在于确定球心，由球心位置求出半径，从而解决其他问题．
例３如图２，已
知三棱锥Ｐ—Ａ８Ｃ的
角线长的一半，即—Ｊａ２ｎ－ｂ￣￣ｃ２
—
＿
一
．
座，利用公式快速求解．例１一个正方体的各顶点均在同一个球
注：一般地，长方体没有内切球．
的球面上，若该正方体的表面积为２４，则该球
３，正四面体的外接球与内切球．
证明：如图１，正四面体Ａ—ＢＣＤ的棱长为ａ，其外接球与内切球的球心０在高线ＡＧ上，Ｅ为ＢＣ的中口

立体几何中球的内切和外接问题

则这个球的表面积是（）
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
4
举一反三-突破提升
2.正六棱柱的底面边长为 4,高为 6,则它的外接球的表面积为
A. 20 B. 25 C. 100 D. 200
4
举一反三-突破提升
已知正三棱锥 P-ABC 的主视图和俯视图如图所示,
则此三棱锥的外接球的表面积为 ( )
S
A.
B.
C.1
D.
答案：D.
O
，即
.
C
A
M
B
7
若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。
例 9、已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，
且
，，
解：
且
，
，
因为所以
所以知所以可得图形为：
，
，
,
,求球的体积。
P
在
中斜边为
在
中斜边为
B
取斜边的中点，在
中
在
中
所以在几何体中
B、体积为 3
D、外接球的表面积为 16
3
1正视图
1
3 1 侧视图
俯视图
点 A、B、C、D 均在同一球面上，其中
是正三角形，
来自百度文库

几何体的外接球与内切球的有关问题

一、外接球的问题

简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是计算球的半径或确定球心O 的位置问题，其中球心的确定是关键．

（一）由球的定义确定球心

球的定义：在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．

由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．

结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．

结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．

结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.（在1BOO Rt ∆中，2

1212OO BO BO +=，即.）

结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过构造直角三角形利用勾股定理求得．（以正三棱锥为例：设正三棱锥的底面△ABC 的边长为a ，高为h ，外接球球心为O ，半径为R .

在1AOO Rt ∆中，21212OO AO AO +=，即222)(33R h a R -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.）结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心，则公共斜边的一半就是其外接球的半径．

（二）构造正方体或长方体确定球心

长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．

1.可构造正方体的类型：

①正四面体：棱长对应正方体的面对角线.

①②③

②三条侧棱两两垂直的正三棱锥：底面棱长对应正方体的面对角线，侧棱对应正方体的棱长.

立体几何中的外接球与内切球问题

在我们的数学学习中，立体几何是非常重要的一部分。在立体几何

学习中，我们不仅需要掌握各种图形的形状和性质，也需要深入了解

这些图形中的各种关系。其中外接球和内切球是两个非常重要的概念，在立体几何中被广泛使用。

一、外接球

外接球是指和一个多面体的所有顶点都相切的球。在三维空间中，一

个正四面体的外接球，就是四面体的四个顶点构成的球。同理，其他

多面体都有一组外接球。外接球的性质可以帮助我们计算多面体的各

种数据。

对于正四面体而言，我们可以得知，外接球的半径和棱长之间的关系为：外接球的半径等于正四面体棱长的一半。这个特点可以应用于其

他多面体中，为我们计算多面体提供更多帮助。

二、内切球

内切球是指可以被一个多面体的所有面都切到的球。在三维空间中，

一个正四面体的内切球，就是以正四面体的每个面为切面所构成的球。同理，其他多面体都有一组内切球。内切球的性质可以帮助我们更好

地了解多面体的各种性质。

对于正四面体而言，我们可以得知，内切球的半径和棱长之间的关系为：内切球的半径等于正四面体棱长的三分之一。通过内切球的特点，我们可以更好地了解多面体的横截面形状，深入了解多面体的性质。

三、外接球与内切球的应用

外接球和内切球在数学学科中非常重要。在生活中，我们可以看到不

少与这两个概念有关的例子。例如，在搭建玩具拼图时，我们可以注

意到玩具拼图中各个构件的外接球和内切球的关系。同样的，建筑设

计和工程规划中也常常涉及到多面体的外接球和内切球问题。

此外，街头艺术品和雕塑等艺术作品中也常常出现多面体和其相应的

高中数学立体几何之外接球与内切球问题常见模型归纳(完整版)

外接球问题

江西省永丰中学陈保进

若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

若一个定点到一个多面体的所有顶点的距离都相等，则这个定点就是该多面体外接球的球心。以下为常见模型。1、长方体模型

结论：长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，直径为体对角线。

公式：2222c b a R ++=（a ,b ,c 为长宽高）

补充：以下情况可转化成长方体模型。

①若三棱锥的三条棱PA ,PB ,PC 两两互相垂直(墙角模型），则可在长方体中构造。

222PC PB P A R ++=②正四面体P -ABC 可在正方体中构造，正方体棱长2

PA a ③若三棱锥的三组对棱两两相等，则可在长方体中构造。设AC =BP =m ,AP =BC =n ,AB=PC =t ,则

⎪⎩

⎪⎨⎧=+=+=+222222222t c b n c a m b a ，三式相加,2

22222)(2t n m c b a ++=++2

)2(2

222

t n m c b a R ++=

++=a

2、直三棱柱模型

结论：直三棱柱外接球的球心是上、下底面外心连线的中点，222

()2

R r =+r 为底面三角形外接圆的半径，可用正弦定理求，h 为直三棱柱的高。补充：有一条侧棱垂直底面的三棱锥可补成直三棱柱，如图P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，则可补成直三棱柱PB 1C 1-ABC ,外接球半径公式同上。

提醒：底面具有外接圆的直棱柱才有外接球，比如正棱柱，且球心在上、下底面外心连线的中点，底面无外接圆的直棱柱，以及所有斜棱柱均无外接球。3、共斜边模型