2012高三数学一轮复习单元练习题：函数(Ⅱ)

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【新人教】2012年高考数学总复习《函数》

函数测试卷一、选择题(共50分)：1．已知函数y f x =+()1的图象过点（3，2），则函数f x ()的图象关于x 轴的对称图形一定过点A. （2，-2）B. （2，2）C. （-4，2）D. （4，-2）2．如果奇函数()f x 在区间[](),0a b b a >>上是增函数，且最小值为m ，那么()f x 在区间[],b a --上是A.增函数且最小值为mB.增函数且最大值为m -C.减函数且最小值为mD.减函数且最大值为m -3. 与函数()lg 210.1x y -=的图象相同的函数解读式是A ．121()2y x x =->B ．121y x =-C ．11()212y x x =>- D ．121y x =- 4．对一切实数x ，不等式1||2++x a x ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是A ．-∞(，－2］B ．［－2，2］C ．［－2，)+∞D ．［0，)+∞5．已知函数)12(+=x f y 是定义在R 上的奇函数，函数)(x g y =的图象与函数)(x f y =的图象关于直线x y =对称，则)()(x g x g -+的值为 A ．2 B ．0 C ．1 D ．不能确定6．把函数)(x f y =的图像沿x 轴向右平移2个单位，所得的图像为C ,C 关于x 轴对称的图像为xy 2=的图像，则)(x f y =的函数表达式为A. 22+=x y B. 22+-=x yC. 22--=x y D. )2(log 2+-=x y7.当01a b <<<时，下列不等式中正确的是A.b ba a )1()1(1->- B.(1)(1)ab a b +>+C.2)1()1(b b a a ->- D.(1)(1)a ba b ->-8．当[]2,0∈x 时，函数3)1(4)(2--+=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是A.1[,)2-+∞B.[)+∞,0C.[)+∞,1D.2[,)3+∞ 9．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 A.(0,1) B.1(0,)3C.1[,1)7D.11[,)7310．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，即可用来洗浴。

【新人教】2012年高考数学总复习专题训练函数训练

2012年高考数学总复习函数一、填空题：（每题4分，共44分）1．函数y=lg(x -1)的定义域为. 2. 函数y =cos (2x +4π)的最小正周期是 3．等比数列{a n }中，2,211-==q a ，则a 3= 4．直线3x -y +1=0的倾斜角为 5．椭圆22x +y 2=1的长轴长为6．已知向量a =(1,2), b =(-2,1),则a 与b 的夹角的大小为 7．若a >0,b >0,ab =4,则a+b 的最小值为. 8．511213x y i i i+=---，x 、y ∈R,则x y +=. 9．设函数f (x )=x 2+x ，若f (a )<0，则f (a +1)与0的大小关系是f (a +1)0（填“>”或“<”） 10．()f x 表示6x -+和2246x x -++中较小者，则函数()f x 的最大值是 11．已知函数()sin(ω+)f x x =ϕ(πω0,||2>ϕ<),给出下列四个论断： ①()f x 的图象关于直线π12x =对称。

②()f x 的图象关于点π(,0)3对称。

③()f x 的周期为π。

④()f x 在π[,0]6-上是增函数，试以其中两个为条件,另两个为结论,写出一个你认为正确的命题(填序号即可).二、选择题：（每题4分，共16分）12．已知a 、b 是两条不同的直线，α是平面，且a ⊥α，设命题p ：b //α；命题q ：a ⊥b ，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件题号1-1112-15161718192021总分得分13．过原点的直线与圆x 2+y 2-4x ＋3=0相切，若切点在第四象限，则该直线的方程是 ( ) A ．y =3xB ．y =33x C ．y =-3x D ．y =-33x 14．在△ABC 中，若a =2b cosC ，则△ABC 的形状是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形15．设函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且满足(2)()f x f x -=-对一切x R ∈都成立，又当[]1,1x ∈-时3()f x x =则下列四个命题：①函数()y f x =是以4为周期的周期函数②当[]1,3x ∈时3()(2)f x x =-③函数()y f x =图像的对称轴中有x=1④当[]3,5x ∈时3()(2)f x x =-其中正确的命题个数为（）A 1B 2C 3D 4 三、解答题：（满分90分）16.（12分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AB ＝AC ＝1，AA 1 ＝2，AB ⊥AC ．求异面直线BC 1与AC 所成角的度数． .17.（14分）已知等差数列{}n a 中，21531=++a a a ，94=a ,求：(1)首项1a 和公差d ； (2)该数列的前8项的和8S 的值．（第16题）A 1A BB 1CC 118.（14分）已知函数()sin(θ)cos(θ)f x x x =++-的定义域为R. （1）当πθ=2时,求()f x 的单调增区间。

2012届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用

或－a≠1<－－a＋a3＋32.2<1，
－1<a<1，－5<a<1，解得a≠－12，或a≠－12. 所以 a 的取值范围是(－5，－12)∪(－12，1)．
考点二函数的极值与最值
(2010·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋ bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数． (1)求f(x)的表达式； (2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．令 g(x)＝ex－1－ax，则 g′(x)＝ex－ a.若 a≤1，则当 x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，而 g(0)＝0，从而当 x≥0 时 g(x)≥0，即 f(x)≥0. 若 a＞1，则当 x∈(0，lna)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，而 g(0)＝0，从而当 x∈(0，lna)时 g(x)＜0，即 f(x)＜0. 综合得 a 的取值范围为(－∞，1]．
1．函数的单调性与导数在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0. f′(x)≥0⇔f(x)为增函数； f′(x)≤0⇔f(x)为减函．数
2．函数的极值与导数 (1)函数的极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
解：(1)由函数f(x)的图象过原点，得b＝0. 又f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)， f(x)在原点处的切线斜率是－3，则－a(a＋2)＝－3，所以a＝－3或a＝1.

高三数学一轮复习单元评估检测(2) 第2章函数、导数及其应用理新人教A版

单元评估检测（二）（第二章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列图形中可以表示以M ＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N ＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )2.(2012·韶关模拟)已知函数f(x)＝ax 3＋bx －3，若f(－2)＝7，则f(2) ＝( )(A)13 (B)－13 (C)7 (D)－73.(2011·广东高考)设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )(A)f(x)＋|g(x)|是偶函数 (B)f(x)－|g(x)|是奇函数 (C)|f(x)|＋g(x)是偶函数 (D)|f(x)|－g(x)是奇函数4.已知函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)是定义在R 上的单调递减函数，则函数g(x)＝log a (x ＋1)的图象大致是( )5.设函数f(x)＝13x －lnx(x ＞0)，则y ＝f(x)( )(A)在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点(B)在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点(C)在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点(D)在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点6.(2012·珠海模拟)函数y ＝f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )(A)y ＝a x(B)y ＝log a x (C)y ＝xe x (D)y ＝xlnx7.(易错题)设函数f(x)＝x·sinx，若x 1，x 2∈[－π2，π2]，且f(x 1)＞f(x 2)，则下列不等式恒成立的是( )(A)x 1＞x 2 (B)x 1＜x 2 (C)x 1＋x 2＞0 (D)x 12＞x 228.(2011·湖南高考)已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x 2＋4x －3.若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为( )(A)[ 2－2，2＋2] (B)(2－2，2＋2) (C)[1,3] (D)(1,3)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2011·四川高考)计算(lg 14－lg25)÷10012 ＝ .10.定积分∫0ln2e xdx 的值为 .11.已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a)相切，则a 的值为 .12.当x∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 13.函数f(x)＝(x ＋a)3对任意t∈R，总有f(1＋t)＝－f(1－t)，则f(2)＋ f(－2)等于 .14.(2011·四川高考)函数f(x)的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f(x 1)＝f(x 2)时总有x 1＝x 2，则称f(x)为单函数.例如，函数f(x)＝2x ＋1(x∈R)是单函数.下列命题：①函数f(x)＝x 2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f(x 1)≠f(x 2)；③若f ：A→B 为单函数，则对于任意b∈B，A 中至多有一个元素与之对应； ④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)(2012·广州模拟)设函数f(x)＝lg(2x ＋1－1)的定义域为集合A ，函数g(x)＝1－a 2－2ax －x 2的定义域为集合B.(1)求证：函数f(x)的图象关于原点成中心对称；(2)a≥2是A∩B＝的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)，并证明你的结论.16.(13分)两个二次函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 与g(x)＝－x 2＋2x ＋d 的图象有唯一的公共点P(1，－2).(1)求b ，c ，d 的值；(2)设F(x)＝(f(x)＋m)·g′(x)，若F(x)在R 上是单调函数，求m 的取值范围，并指出F(x)是单调递增函数，还是单调递减函数.17.(13分)(2011·北京高考)已知函数f(x)＝(x －k)2e x k. (1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k 的取值范围.18.(14分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元). (1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 19.(14分)已知幂函数f(x)＝2m 2m 3x －＋＋(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝14f(x)＋ax 3＋92x 2－b(x∈R)，其中a ，b∈R.若函数g(x)仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.20.(14分)(预测题)已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝12x 2－x ＋a.(1)当a ＝2时，求函数y ＝g(x)在[0,3]上的值域； (2)求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上的最小值；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>g′(x)＋1e x－2e 成立.答案解析1. 【解析】选C.由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A 、B ；再结合函数的定义，可知对于集合M 中的任意x ，N 中都有唯一的元素与之对应，故排除D.2.【解析】选B.∵f(－2)＝－a ·23－2b －3＝－(a ·23＋2b)－3＝7， ∴a ·23＋2b ＝－10，∴f(2)＝a ·23＋2b －3＝－10－3＝－13.3. 【解析】选A.∵g(x)是奇函数，其图象关于原点对称， ∴|g(x)|的图象关于y 轴对称，是偶函数，又f(x)为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数. 【方法技巧】函数奇偶性与函数图象的关系(1)函数的奇偶性，揭示了函数图象的对称性.已知函数的奇偶性可得函数图象的对称性；反之，已知函数图象的对称性可得函数的奇偶性.(2)从图象判断函数的奇偶性是很有效的方法.利用图象变换，可以很容易地画出形如|f(x)|或f(|x|)的函数图象，进而可判断函数的奇偶性.4. 【解题指南】由指数函数的单调性可得a 的取值范围，再判断函数g(x)＝log a (x ＋1)的图象.【解析】选D.由题可知0<a<1，函数g(x)的图象由函数y ＝log a x 的图象向左平移一个单位得到，故选D.5. 【解析】选D.∵f ′(x)＝13－1x ，∴x ∈(3，＋∞)时，y ＝f(x)单调递增； x ∈(0,3)时，y ＝f(x)单调递减. 而0＜1e＜1＜e ＜3，又f(1e )＝13e ＋1＞0，f(1)＝13＞0，f(e)＝e3－1＜0，∴在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点.【一题多解】选D.令g(x)＝13x ，h(x)＝lnx ，如图，作出g(x)与h(x)在x>0的图象，可知g(x)与h(x)的图象在(1e，1)内无交点，在(1，e)内有1个交点，故选D.【变式备选】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1x 2－4x ＋3，x ＞1，则关于x 的方程f(x)＝log 2x 解的个数为( )(A)4 (B)3 (C) 2 (D)1【解析】选B.在同一直角坐标系中画出y ＝f(x)与y ＝log 2x 的图象，从图象中可以看出两函数图象有3个交点，故其解有3个.6.【解析】选D.由图知，导函数的定义域为(0，＋∞)， ∵(a x)′＝a xlna ，(xe x)′＝e x＋xe x，导函数的定义域为R ， ∴排除选项A ，C.由图象知导函数的值是先负后正，又(log a x)′＝1xlna ，导函数的符号与参数a 有关，排除B ，故选D.7.【解析】选D.显然f(x)为偶函数，当x ∈(0，π2]时，f ′(x)＝sinx ＋xcosx ＞0，∴f(x)在(0，π2]上单调递增.又f(x 1)＞f(x 2)⇔f(|x 1|)＞f(|x 2|)⇔|x 1|＞|x 2|⇔x 12＞x 22.8.【解析】选B.∵f(a)>－1，∴g(b)>－1， ∴－b 2＋4b －3>－1，∴b 2－4b ＋2<0， ∴2－2<b<2＋ 2.故选B. 9.【解析】(lg 14－lg25)÷12100-＝lg 1425÷1100＝lg 1100÷110＝10×lg10－2＝－20. 答案：－2010.【解析】∫0ln2e xdx ＝e x|0ln2＝e ln2－e 0＝2－1＝1. 答案：111.【解析】y ′＝1x ＋a (x ＋a)′＝1x ＋a，设切点为(x 0，x 0＋1)，则⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1x 0＋1＝ln(x 0＋a)，解得a ＝2. 答案：212.【解析】设y 1＝(x －1)2，则y 1的图象如图所示：设y 2＝log a x ，则当x ∈(1,2)时，y 2的图象应在y 1的图象上方， ∴a ＞1且log a 2≥(2－1)2＝1， ∴a ≤2，∴1＜a ≤2. 答案：{a|1＜a ≤2}13.【解析】令t ＝1，则f(2)＝－f(0). ∴(2＋a)3＝－a 3， ∴a ＝－1，∴f(2)＋f(－2)＝(2－1)3＋(－2－1)3＝－26. 答案：－26 14.【解析】答案：②③15.【解析】(1)A ＝{x|2x ＋1－1>0}，2x ＋1－1>0⇒x －1x ＋1<0⇒(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x<1.∴A ＝(－1,1)，故f(x)的定义域关于原点对称. 又f(x)＝lg 1－x x ＋1，则f(－x)＝lg 1＋x －x ＋1＝lg(1－x x ＋1)－1＝－lg 1－xx ＋1，∴f(x)是奇函数.即函数f(x)的图象关于原点成中心对称. (2)B ＝{x|x 2＋2ax －1＋a 2≤0}，得－1－a ≤x ≤1－a ，即B ＝[－1－a,1－a]，当a ≥2时，－1－a ≤－3,1－a ≤－1，由A ＝(－1,1)，B ＝[－1－a,1－a]，有A ∩B ＝∅. 反之，若A ∩B ＝∅，可取－a －1＝2，则a ＝－3，a 小于2. 所以，a ≥2是A ∩B ＝∅的充分不必要条件.16.【解题指南】(1)把点P 的坐标代入两函数解析式，结合x 2＋bx ＋c ＝－x 2＋2x ＋d 有唯一解，可求得b ，c ，d ，(2)若F(x)在R 上是单调函数，则F ′(x)在R 上恒有F ′(x)≥0或F ′(x)≤0.【解析】(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝－2－1＋2＋d ＝－2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝－3d ＝－3，且x 2＋bx ＋c ＝－x 2＋2x ＋d ，即2x 2＋(b －2)x ＋c －d ＝0有唯一解，所以Δ＝(b －2)2－8(c －d)＝0，即b 2－4b －8c －20＝0，消去c 得b 2＋4b ＋4＝0，解得b ＝－2，c ＝－1，d ＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x 2－2x －1，g(x)＝－x 2＋2x －3，故g ′(x)＝－2x ＋2， F(x)＝(f(x)＋m)·g ′(x) ＝(x 2－2x －1＋m)·(－2x ＋2)＝－2x 3＋6x 2－(2＋2m)x ＋2m －2， F ′(x)＝－6x 2＋12x －2－2m.若F(x)在R 上为单调函数，则F ′(x)在R 上恒有F ′(x)≤0或F ′(x)≥0成立. 因为F ′(x)的图象是开口向下的抛物线，所以F ′(x)≤0在R 上恒成立，所以Δ＝122＋24(－2－2m)≤0，解得m ≥2，即m ≥2时，F(x)在R 上为单调递减函数.17.【解析】(1)f ′(x)＝1k (x 2－k 2)e xk ，令f ′(x)＝0，得x ＝±k.当k ＞0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k ，＋∞)；单调递减区间是(－k ，k). 当k ＜0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k ，＋∞)；单调递增区间是(k ，－k).(2)当k ＞0时，因为f(k ＋1)＝ek 1k+＞1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e. 当k ＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2e .所以∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e ，等价于f(－k)＝4k 2e ≤1e ，解得－12≤k ＜0.故对∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 时，k 的取值范围是[－12，0).18.【解析】(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x 2)件，则月平均利润y ＝a(1－x 2)·[20(1＋x)－15](元)，∴y 与x 的函数关系式为 y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1).(2)y ′＝5a(4－2x －12x 2)，令y ′＝0得x 1＝12，x 2＝－23(舍)，当0<x<12时y ′>0；12<x<1时y ′<0，∴函数y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)在x ＝12处取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为20(1＋12)＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.【变式备选】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m 米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？【解析】(1)设需要新建n 个桥墩，(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1，所以y ＝f(x)＝256n ＋(n ＋1)(2＋x)x ＝256(m x －1)＋mx (2＋x)x＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x)＝－256m x 2＋1212mx －＝m2x2(x 32－512).令f ′(x)＝0，得x 32＝512，所以x ＝64，当0<x<64时，f ′(x)<0，f(x)在区间(0,64)上为减函数；当64<x<640时，f ′(x)>0，f(x)在区间(64,640)上为增函数，所以f(x)在x ＝64处取得最小值，此时， n ＝m x －1＝64064－1＝9，故需新建9个桥墩才能使y 最小.19.【解题指南】(1)由函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，可得－m 2＋2m ＋3>0，再由f(x)为偶函数得m 的值.(2)g(x)仅在x ＝0处有极值，则意味着g ′(x)＝0有唯一一个变号零点是0.【解析】(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m 2＋2m ＋3>0即m 2－2m －3<0，∴－1<m<3.又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2，而m ＝0,2时，f(x)＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f(x)＝x 4是偶函数， ∴f(x)＝x 4.(2)g(x)＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ， g ′(x)＝x(x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根.为使g(x)仅在x ＝0处有极值，则有x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式，得a ∈[－2,2].这时，g(0)＝－b 是唯一极值，∴a ∈[－2,2].20.【解析】(1)∵g(x)＝12(x －1)2＋32，x ∈[0,3]，当x ＝1时，g(x)min ＝g(1)＝32；当x ＝3时，g(x)max ＝g(3)＝72，故g(x)在[0,3]上的值域为[32，72]. (2)f ′(x)＝lnx ＋1，当x ∈(0，1e)，f ′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈(1e，＋∞)，f ′(x)>0，f(x)单调递增. ①0<t<t ＋2<1e，t 无解； ②0<t<1e <t ＋2，即0<t<1e 时，f(x)min ＝f(1e) ＝－1e； ③1e ≤t<t ＋2，即t ≥1e时，f(x)在[t ，t ＋2]上单调递增，f(x)min ＝f(t)＝tlnt ；所以f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1e ，0<t<1e tlnt ，t ≥1e .(3)g ′(x)＋1＝x ，所以问题等价于证明xlnx>x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，由(2)可知f(x)＝xlnx(x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取到；设m(x)＝x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，则m ′(x)＝1－x e x ，易得m(x)max ＝m(1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有xlnx>g ′(x)＋1e x －2e成立.。

夏老师2012高三数学一轮复习练习题：函数(Ⅱ)

高三数学练习题：函数（Ⅱ）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卷相应位置上。

1、函数y =的定义域为 ▲ 。

2、已知全集U =A B 中有m 个元素，()()u u C A C B ⋃中有n 个元素．若A B ⋂非空，则A B ⋂ 的元素个数为 ▲ 个。

3、设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ▲ 。

4、函数)86(log 221+-=x x y 的单调递增区间是 ▲ 。

5、函数21)(++=x ax x f 在区间()+∞-,2上是增函数，那么a 的取值范围是 ▲ 。

6、已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是▲ 。

7、()(21),f x a x b R =-+设函数是上的减函数则a 的范围为 .8、已知二次函数f(x)＝4x2－2(p －2)x －2p2－p ＋1，若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ，使f(c)＞0，则实数p 的取值范围是 ▲ 。

9、二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f(2＋x)＝f(2－x)，若 f(1－2x2)<f(1＋2x －x2)，则x 的取值范围是 ▲ 。

10、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点▲ 个。

11、设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为▲ 。

12(2)k x ≤+[],a b ，且2b a -=，则k ＝ ▲ 。

二、解答题：本大题共6小题，共90分。

高三数学一轮复习《函数》练习题(含答案)

高三数学一轮复习《函数》练习题（含答案）第I 卷（选择题）一、单选题1．已知集合{}|1M x x =>，(){}2|lg 3N x y x x ==-，则M N ⋃为（）A ．[)3,+∞B ．()1,+∞C ．()1,3D ．()0,∞+2．若函数f (x )和g (x )分别由下表给出：满足g (f (x ))＝1的x 值是（）．A ．1B ．2C ．3D ．43．已知函数()22x a xf x -=+的图象关于直线1x =对称，若()log ,04,6,46a x x g x x x ⎧<≤=⎨-<≤⎩且123x x x <<，()()()123g x g x g x ==，则123x x x 的取值范围为（）A ．()0,2B ．()0,4C ．()4,6D ．(]4,64．设k >0，若不等式3log ()3xk kx -≤0在x >0时恒成立，则k 的最大值为（） A ．eB ．eln3C ．log 3eD ．35．若,,(0,1)r s t ∈，且45log log lg r s t ==，则（） A ．1115104r s t <时，()2022af x x x=-，若()()1202202024f f +=，则()2f -=（） A ．2020B ．2020-C ．4045D ．4045-7．设126a =，3log 2b =，ln 2c =则（） A ．a b c < ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x m =在[0,)π上有两个实根a ，b ，且||3a b π->，则实数m 的取值范围是（） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭二、多选题 9．函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（） A ． B ．C ．D ．10．设函数()21,25,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，集合()(){}220,M x f x f x k k R =++=∈，则下列命题正确的是（）A ．当0k =时，{}0,5,7M =B ．当1k >时M =∅C ．若{},,M a b c =，则k 的取值范围为()15,3--D ．若{},,,M a b c d =（其中a b c d <<<），则2214a b c d +++=11．已知函数()2sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．若函数()f x 的最小正周期为π，则其图象关于直线8x π=对称B ．若函数()f x 的最小正周期为π，则其图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．若函数()f x 在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为2D ．若函数()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是192388ω≤< 12．下列各式比较大小，正确的是（） A ．1.72.5＞1.73B ．24331()22-> C ．1.70.3＞0.93.1D ．233423()()34> 13．为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k 份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k 份核酸全为阴性，因而这k 份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k 份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k 份核酸再逐份检测，此时，这k 份核酸的检测次数总共为1k +次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为()01p p <<，若10k =，运用概率统计的知识判断下列哪些p 值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：lg 0.7940.1≈-）（） A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.1第II 卷（非选择题）三、填空题14．已知函数()3136f x x x =+-，函数()ln 1x g x m x+=-，若对任意[]11,2x ∈，存在21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≤，则实数m 的取值范围为______．15．已知奇函数()f x 定义域为R ，()()1f x f x -=，当()0,1x ∈时，()21log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.16．化简2011log 5310.06428-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭的结果为________．17．定义在R 上的函数()1442x x f x +=+，129101010S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则S 的值是______. 四、解答题18．已知函数2()22f x x ax =++，(1)当1a =时，求函数()f x 在[3,3]-的最大值和最小值； (2)若对于任意x ∈R 都有()0f x >，求实数a 的取值范围．19．解下列方程与不等式（1）2lg(426)lg(3)1x x x +---=（2）222log log (3)x x x <-20．已知函数21()x f x x+=.(1)判断()f x 奇偶性；(2)当(1,)x ∈+∞时，判断()f x 的单调性并证明；(3)在（2）的条件下，若实数m 满足(3)(52)f m f m >-，求m 的取值范围.21．经普查，某种珍稀动物今年存量为1100只，而5年前存量为1000只． (1)在这5年中，若该动物的年平均增长率为a %，求a 的值（结果保留一位小数）； (2)如果保持上述的年平均增长率不变，那么还需要经过几年才能使该动物的存量达到1300只？（精确到1年）22．已知a R ∈，函数()f x x x a =-．(1)设1a =，判断函数()f x 的奇偶性，请说明理由；(2)设0a ≠，函数()f x 在区间(),m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）23．某物流公司欲将一批海产品从A 地运往B 地，现有汽车、火车、飞机三种运输工具可供选择，这三种工具的主要参考数据如下：若这批海产品在运输过程中的损耗为300元/h ，问采用哪种运输方式比较好，即运输过程中的费用与损耗之和最小.参考答案1．D2．A3．C4．B5．A6．D7．B8．D 9．ABD10．ABD11．ACD 12．BC13．CD 14．7,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦15．0 16．27217．1818．(1)()()max min 17,1f x f x ==(2)(19．（1）3x =（2）(4,)+∞ 20．(1)奇函数 (2)增函数 (3)(1,2) 21．(1) 1.9a = (2)9年22．(1)函数()f x 既不是奇函数也不偶函数；(2)当0a >时， 02a m ≤<，a n <≤；当0a <m a ≤<，02a n <≤. 23．当550021s <时，汽车总费用最小；当55004000213s <时，火车总费用最小；当40003s 时，飞机总费用最小（其中s 表示运输路程）。

高考数学一轮复习《函数》复习练习题(含答案)

高考数学一轮复习《函数》复习练习题（含答案）一、单选题1．函数ln e x y =的单调增区间是（）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(,)e +∞D ．(,)-∞+∞2．若函数1311()log [(23]2)f x a x a ⎛⎫=-+≠ ⎪⎝⎭的定义域为R ，则下列叙述正确的是 A ．()f x 在R 上是增函数B ．()f x 在R 上是减函数C ．()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x 在[0,)+∞上单调递减，在(,0]-∞上单调递增3．已知函数()2e e x x f x ax =--有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．()()0,11,+∞D ．(]{},01-∞4．下列函数中，是奇函数且在区间(0,)+∞上单调递增的是 A ．x y e -= B ．||y x = C ．tan y x =D ．1y x x =- 5．已知函数，如果关于x 的方程只有一个实根，那么实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．6．函数34()e ex x x x f x --=+的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．7．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A ．1y x =+B ．()30y x x =>C ．1y x x =+D ．y x x = 8．使212x x +-有意义的实数x 的取值范围是（）A ．(][),43,-∞-+∞ B ．(-∞，-4)∪(3，+∞) C ．(-4，3)D ．[-4，3]9．函数2cos y x x =的部分图象是（） A ． B ．C ．D ．10．设函数3,10,()((5)),10,x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(7)f 的值为（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．811．下列函数中与y x =具有相同图象的一个函数是A ．B ．C ．ln x y e =D ．ln x y e = 12．函数sin (0)ln x y x x=≠的部分图象大致是 A ． B ．C ．D ．二、填空题13．已知集合{|12}A x x =<<，集合2{|}B x y m x ==-，若A B A =，则m 的取值范围是______14．如图所示，,OA OB 是两个不共线向量（AOB ∠为锐角），N 为线段OB 的中点，M 为线段OA 上靠近点A 的三等分点，点C 在MN 上，且OC xOA yOB =+(,)x y R ∈，则22x y +的最小值为______.15．函数2(2)3,[,]y x a x x a b =+++∈的图像关于直线1x =对称，则b 的值为________. 16．定义在R 上的函数f （x ）满足f （2+x ）=f （2﹣x ），若当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x ，则f （3）=_____．17．已知函数()()()333322f x x a x b x a x =++-+--有五个不同的零点，且所有零点之和为52，则实数b 的值为______． 18．已知常数0a >，函数2()2xx f x ax =+的图象经过点6()5P p ，、1()5Q q -，，若216p q pq += ，则a =___19．函数()21f x x --的定义域为______. 20．已知函数()()233424x log x x f x x -⎧-≥⎪=⎨⎪⎩，，＜，若方程()3f x m =-有两个根，则实数m 的取值范围为_____．三、解答题21．已知函数()1log (01amx f x a x -=>-且1)a ≠的图象关于原点对称. （1）求m 的值；（2）判断函数()f x 在区间()1,+∞，上的单调性并加以证明；（3）当()1,,a x t a >∈时，()f x 的值域是()1,+∞，求a 与t 的值.22．已知函数()log (23)1(0,1)a f x x a a =-+>≠.（1）当2a =时，求不等式()3f x <的解集；（2）当10a =时，设()()1g x f x =-，且(3),(4)==g m g n ，求6log 45（用,m n 表示）；（3）在（2）的条件下，是否存在正整数．．．k ，使得不等式22(1)lg()+>g x kx 在区间[]3,5上有解，若存在，求出k 的最大值，若不存在，请说明理由.23．判断下列函数的奇偶性：（1）()f x =（2）()f x =（3）2()2||1,[1,1]f x x x x =-+∈-．（4）22(0)()(0).x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+>⎩，24．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足：①对任意,(1,1)x y ∈-都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭；②当0x <，()0f x >.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 在(0,1)上的单调性，并说明理由；（3）若11()52f =，试求111()()()21119f f f --的值.25．某商场销售一种水果的经验表明，该水果每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式()22115a y x x =+--，其中511x <<，a 为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该水果52千克.（1）求a 的值；（2）若该水果的成本为5元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该水果所获得的利润最大，并求出最大利润.26．已知()21f x x =-，()()()1020x x g x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩. （1）求()g f x ⎡⎤⎣⎦；（2）设()()(){}max ,F x f x g x =，作函数()F x 的图象，并由此求出()F x 的最小值．27．已知函数()()2f x x x a =-， ()()21g x x a x a =-+-+ (其中a R ∈).（Ⅰ）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并直接写出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()F x f x g x =-，讨论函数()y F x =在区间[]1,3-上零点的个数。

高三函数一轮复习练习题

高三函数一轮复习练习题1. 函数概念与性质函数是一种特殊的关系，它将定义域内的每个元素映射到一个唯一的值，即函数的值。

函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等。

2. 基本初等函数2.1 线性函数线性函数的表达式为：f(x) = kx + b，其中k和b为常数。

练习题1：已知线性函数f(x)在点A(2,4)和点B(5,7)上的函数值分别为4和7，求函数的解析式。

解答：由题意得，f(2) = 4，f(5) = 7，代入函数表达式可得2k + b = 4，5k + b = 7。

解方程组可得k = 1，b = 2，故函数的解析式为f(x) = x+ 2。

2.2 幂函数幂函数的表达式为：f(x) = ax^p，其中a为非零常数，p为实数。

练习题2：若幂函数f(x) = ax^3与g(x) = 2x^p在点x = 2处的函数值相等，求p的值。

解答：由题意得f(2) = g(2)，即2a = 2 * 2^p。

化简可得a = 2^(p-1)。

若a≠0，则必有p = 1。

若a=0，则p可以取任意实数。

3. 函数的图象与性质函数的图象是函数在平面上的表示，可以通过绘制函数的点来获得。

练习题3：根据函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x的图象，判断函数的增减性和凹凸性。

解答：首先求一阶导函数f'(x) = 6x^2 + 6x - 12，并求出其零点x = -2和x = 1。

进一步求二阶导函数f''(x) = 12x + 6。

当x < -2时，f''(x) < 0，函数凹向下；当-2 < x < 1时，f''(x) > 0，函数凹向上；当x > 1时，f''(x) < 0，函数凹向下。

结合一阶导函数的正负性，可以判断函数的增减性：当x < -2时，f'(x) < 0，函数递减；当-2 < x < 1时，f'(x) > 0，函数递增；当x > 1时，f'(x) < 0，函数递减。

2012届高考一轮数学单元测试一(函数与导数)

2012届高考一轮数学单元测试一（函数与导数）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1.若0log 2<a ，121>⎪⎭⎫⎝⎛b,则（）A ．1>a ,0>bB ．1>a ,0<bC ．10<<a ,0>bD ．10<<a ,0-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是（）A ．1[-，2]B ．[0，2]C ．[)1,+∞D ．[)0,+∞5.曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（）A ．12-B ．12 C．2- D．26.已知函数()x f 的最小正周期是8，且()()x f x f -=+44对一切实数x 成立，则()x f （）A ．是偶函数不是奇函数B ．是奇函数不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．不是奇函数，也不是偶函数7.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（） A ．1 B ．12 CD8.已知偶函数()f x 在区间()0,+∞单调递增，则满足()f f x <的x 取值范围是（）A.(2,)+∞B.(,1)-∞-C.[2,1)(2,)--+∞ D.(1,2)-9.已知函数1()lg ()2xf x x =-有两个零点21,x x ，则有( )A ．1201x x <D ．120x x <10.给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{}.x m =在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：①11()22f -=；②(3.4)0.4f =-；③11()()44f f -<；④()y f x =的定义域是R ，值域是11[,]22-.则其中真命题的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

高三数学一轮复习函数与数列(Ⅱ)单元练习题

高三数学一轮复习函数与数列（Ⅱ）单元练习题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卷相应位置上。

1、等差数列{}n a 的前n 项和为)3,2,1(⋅⋅⋅=n S n ，当首项1a 和公差d 变化时，若1185a a a ++是一个定值，则)3,2,1(⋅⋅⋅=n S n 中为定值的是 ▲ 。

2、在等比数列｛n a ｝中,若7944,1a a a ⋅==,则12a 的值是 ▲ 。

3、已知数列{}n a 是以2-为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若7S 是数列{}n S 中的唯一最大项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是 ▲ 。

4、在等差数列}{n a 中，39741=++a a a ，27963=++a a a ，则数列}{n a 的前9项之和9S 等于 ▲ 。

5、若数列}{n a 满足⎩⎨⎧≤≤>-=+)10(2)1(11n nn n n a a a a a ，若761=a ，则2008a = ▲ 。

6、已知数列}{n a 满足12a =，132n n a a +=-（n N +∈），则n a ＝ ▲ 。

7、在等差数列{}n a 中，11101,aa<-若它的前n 项和n S 有最大值，则使n S 取得最小正数的n =▲ 。

8、n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若24121n n a n a n -=-，则2n nS S = ▲ 。

9、已知数列1,,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数则123499100a a a a a a ++++++= ▲ 。

10、已知数列12()3n n a =⋅,将{}n a 的各项排成三角形状:记(,)A m n 表示第m 行第n 列的项,则(10,8)A = ▲ 。

11、已知数列}{n a 的通项公式是12-=n n a ，数列}{n b 的通项公式是n b n 3=，令集合},,,,{21 n a a a A =，},,,,{21 n b b b B =，*N n ∈．将集合B A 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为}{n c ．则数列}{n c 的前28项的和28S ＝ ▲ 。

[新课标]2012高考第一轮复习【理科数学】第2单元(精)

m贓舫魏繃躺烈建理解函数的概念；掌握简单函数的定义域的求法；掌握求函数解析式的常用方法. 1.下列函数中，函数的是 ( 与函数y=x(x > 0)是同一个 :)A ・ y=(V7)2.Y 2 B • y=—— X C. y-y[x^D ・ y = \[x^ 解析：两个函数的定义域相同、对应法则也相同时为同一函数，故选A.[2e(x < 2)2./(小=则/[/(2)]的值为() [呜匕-1)(八2)A.O B .1C.2D.3解析：/(2) = log 3(22 -1)=1,/[/(2)]=/(l) = 2e ,-, = 2,故选 C ・易错点：忽视自变量取值与对应函数关系式的联系，错用解析式.3.____________________ 已知函数尸/ (%)的图象如图所示，贝Uy寸(x) 的定义域是_______ ,值域是_____________________ .解析：由图观察知，定义域为l-3,0]U[l,3], 值域为[1,5].4.y = “ * 2 + g（4 -兀）的定义域是X-1X + 2 > 0解析：由J X-1H O,得一2 5 x v 1或1 v x v 4.4 - x > 05. ___________ 定义映射广A — B.若集合A中的元素兀在对应法则/的作用下的值为y,且满足y=f (-^)= log3 x, 则集合A屮的元素9在对应法贝"的作用下的值是•解析：依题意，y=/(9) = log(9 = 2・棒知识藝点;1.函数的概念设4、3是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系/，使对于集合A中的① _______________________________________________ ，在集合3中都有② __________________ 的数/(X)和它对应,那么就称八4—3为从集合4到集合3的一个函数，其中x的取值范围A叫函数的③_________________________________ ,④ __________ 叫函数的值域，值域是⑤ ____________ 的子集.2.函数的三要索⑥ _________________________________ 为函数的三要索.两函数相同，当且仅当⑦3.函数的表示法⑧____________________________________________________ .4.映射的概念设A、3是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系/，使对于集合A中的⑨________________________ ,在集合3中都有⑩_______________ 的元素y与之对应，那么就称对应八A T 3为从集合A到集合B的一个映射.【要点指南】①任意一个数占②唯一确定；③定义域;④｛/(X)I XG A｝；⑤集合3；⑥定义域、对应法则、值域；⑦定义域和对应法则完全相同；⑧解析法、图象法、列表法；⑨任意一个元索七⑩唯一确定僉輿倾］矚诱y»题型一函数的定义式例1.(1)函数y = y/x2 - 2x - 3+ log2 (x+ 2)的定义域是_________________ ;(2 )若函数严—--------------- 的定义域为R ,2Q +滋 + 1则实数£的取值范围是______________________ ,,. ,、’- 2x- 3 > 0解析：(1)由< ,卫 + 3 > 0得{x I -2< x < -1或xh 3},即为所求•(2)由已知2x~+ kx+ 1工0对x G R恒成立，所以△二- 8vO,解得-2v k <2.评析：函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数X 的集合.在一些具体函数综合问题中，函数的定义域往往具有隐蔽性，所以在研究这些问题时，必须树立“定义域优先” 的原则.而逆向问题注意命题的等价转化.(翼策翼翼#%%%»・・・・«X»Mr■ CttD XMK KXJOT X X K KXXXJ XX XKXXX> ・・MXXXX*«•素材h(l)若/(x+1)的定义域为［-2,3),则/(2x-l)的定义域为_______________________ :(2)若函数于匕)二——的定义域为R,e x— x + m则实数加的取值范围是解析：(1)因为-2 < x < 3, 所以 T W x+1 < 4.由-1S2X-1V4,得OSxv?,2故/(2x - 1)的定义域为［0,-).2解析：(2)[tl己知Q —加工0对兀丘R恒成立，即加工x - e x x E R恒成立•令g(x)=x-e x9则「(X)二1-八由g'(x)=O,得x=0,故函数g(x)在"0处取得最大值，即g (x) < g (0)=-1,所以要使m x - e x对XG R恒成立，则应有m»题型二函数的解析式例2.(1)己知二次函数满足/(3x+ l)=9x2 - 6x+5,求f (x)；(2)已知2/(x)+/(-x)=3x+2,求 /(%).分析：根据条件可灵活运用不同的方法求解.解析：(1)方法1：待定系数法.设/ (x)=tzx2+ bx~\~ c(a H 0), 则/(3X+1)F(3X+1)2+ b(3x+l)+ c= 9ax2+ (6a+ 3b)x+ G+b~\~ c.X/(3x+l)=9x2 -6兀+5,以9ax'+ (6a + 3b)x+ a+ b+ c = 9x2— 6x+ 5.9a = 9 a = 1得-6a + 3b = -6,解得《b = —4.比较两端的系数，[a + b + c = 5 [c = 8所w/(x)=x2 -4x+8.解析：（1）力法2：换元法.令r = 3x+l,贝ijx= ------- ,3代入/(3x+l) = 9x2—6x4-5中，得/(0=9(——)2 - 6 ------------- + 5 = r2一4r+8,3 3所以f (x)=x2 - 4x4-8.解析：(2)直接列方程组求解.S2/(x) + /(-x)=3x+2,用-兀代换上式中的X, W2/(-x)+/(x)=-3x+2.[2/(x) + /(-x) = 3x + 2解方程组(2/(-x) + /(x)= -3x + 22得f(x) = 3x+ —.评析：函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立的桥梁.求函数的解析式是高考中的常见问题，其特点是类型活，方法多.求函数的解析式常有以下几种方法：①如果已知函数加兀〃的表达式，可用换元法或配凑法求解；②如果已知函数的结构，可用待定系数法求解；③如果所给式子含有幷兀八丿或用八yr-兀丿等形式，可构造另一方程，通狂解方程组求解.素材2.已知/ ( r)满足2/ (x)+ /(—)=3x,x求/(x)的解析式.解析：2/(X)+/(-)=3X,①X将①中兀换成得2/(-)+/(%) = -.②X X由① x 2 —②得3 f (x)-6x ——.所以 / (x)=2 x ------ .x题型三综合问题例3.已知函数/(x)对任意的实数°、b, 都有f(ab)=f(a) + f(b)成立.(1)求/(0), /(1)的值；(2)求证:/(-)+/(x) = O(x^O)；X(3)若f (2)=,?2, f (3)=n(m> n均为常数),求/(36)的值.分析：本题是一个抽象函数问题，直接求函数的解析式是不可能的，盂通过取特殊值来解决.解析：(1)不妨设a=b = O.由f (ab)=f («)+/ (b), 得/(0)=0. 设a =b = \,得/(l)=0.(2)证明：当XHO时，因为兀丄=1,x于是/(1)=/(X-—)=/ (%)+/ (—)=0,x x所以/(-)+/(x)=0.X(3)因为/(2)=m, /(3)=n,所以f (36)=/(22)+/(32)=/(2X2)+/(3X3)= 2/(2) + 2/(3) = 2(A«+n).评析：抽象函数由于只给出函数的某些性质，却不知道具体函数的解析式，因而成为函数问题中的一个难点，但这类问题能很好地考查学生的思维能力.解决抽象函数问题，要全面应用其所具有的性质展开解题思路，通常的方法是赋值法，并善于根据题目条件寻找该函数的一个原型，帮助探求结论，找到解题的思路和方法.素材3.(1)函数/(兀)的定义域是(0, +8),对任意正实数加，"恒有f (nm) = f (/??) + /(/?),且/(2)=-1,则/(1) = __________ , /(-)= ________ :2X(2)已知函数/(x) =——,贝IJ1+ QM)r(2)+心+八3)+疋)+/(4)+/(扣—解析：⑴令 m=n = \9 得 /(1)=/(1) + /(1),所以 /(1)=0./(l)=/(2x|)=/(2)+/(^)=-l + /(^-) = 0,所以/(-)=1.2»!/(-) = X1+所以/ (x)+/(丄)=1, XIQ故原式= +1+1+11+1CA + 1备选例题已知函数/(%)=] 丄2^+1且满足/(C 2) =(1) 求函数/(对的解析式； (2) 解不等式/(x)>—+1.81 2 一 1+兀(0 < A < C ) (c < ^ < 1 )解析：(1)依题意,0<c<i,所以c 2<c. 89 9I 由 f(c 2}=-,得 c 3+l=-,所以 c=—• ・ v 7 8 82匕+12所以/(x)="2"4X +1解析：(2)/(x)> 返+1等价于810 < x < —2厶8 即< x<丄或丄V4 22综上所述，所求解集为｛xl(1)0 < X < - I 2丿 (1 )-< A" <112护+1>2~° + 1右V方法疆瘾仁1.已知函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如分式的分母不等于零，开偶次方的被开方数不小于零，对数的真数大于零同时底数大于零不等于1,等等.2.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、配凑法、函数方程法、赋值法等.当已知函数为某类基本初等函数时用待定系数法，已知复合函数的问题时用换元法或配凑法，抽象型函数问题一般用赋值法或函数方程法.3.分段函数是指自变量在取值情况不同时, 对应法则不同.分段函数的定义域为自变量的所有取值的集合.1 ? 1已知于(x+ —)=x~+ ―,求f(X-1 ).X错解：「Il L_L知/(兀+ —)=(x+ —) — 2,X X所以f(x)=x2-2,所W/(X-1)=(X-1)2-2=X2-2X-1.错解分析：在使用配凑法或换元法求函数解析式时，没有考虑替换元的等价性，忽视其定义域的变化导致错误.纠错簷记ril:解：已知/*(%+ —) = (%+ —)2 -2,X Xx故/ (•¥_])= (乂_])2 _2二/2 _2x_l,11- 1\1 I x~\ \> 2,所以x > 3 或兀5-1, 所以兀n 3或兀< -1, 所求f (x~l)=x2 -2x~l(x < - lftKx > 3).1 一 / 、°但I x+ — 1> 2,所以 / (x)=x -2( x > 2),。

2012届高三数学一轮复习第二章函数2-6

第2章第6节一、选择题1．(文)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A[解析] 由f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴α<0y ＝x －2＝1x 2是偶函数，y ＝x －12＝1x ，在定义域(0，＋∞)上是非奇非偶函数，y ＝x －1是奇函数，∴α＝－1，∴选A.(理)幂函数y ＝x－1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分在八个“区域”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12的图象经过的“区域”是( )A ．⑧，③B ．⑦，③C ．⑥，①D ．⑤，①[答案] D2．(09·福建)下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( ) A ．f (x )＝ln x B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝e x[答案] A [解析] ∵y ＝1x的定义域为(0，＋∞)．故选A. 3．(文)(09·安徽)设a b 时，y >0，由数轴穿根法可知，从右上向左下穿，奇次穿过偶次不穿可知，只有C 正确，故选C.解法二：∵y ＝(x －a )2(x －b )，a b 时，y >0，排除A 、B ；a <x 32时，函数为减函数，当x <32时，函数为增函数，所以选A.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4 x ≤1x 2－4x ＋3 x >1的图象和函数g (x )＝log 2x 的图象的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] B[解析] 由图象易知有3个交点．器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是()[答案] B[解析]由三视图可知，该几何体为倒立的圆锥，故随时间t的增加，容器中水面的高度增加的越来越缓慢，即曲线切线的斜率在逐渐变小，故选B.(理)(2010·东营质检)函数y＝|x|与y＝x2＋1在同一坐标系的图象为()[答案] A[解析]由y＝x2＋1得，y2－x2＝1(y≥1)，它表示焦点在y轴上的等轴双曲线的上支，它以y＝±x的其渐近线，故选A.6．(2010·山东泰安质检)定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：①f (0)＝1；②f (－1)＝1；③若x >0，则f (x )<0；④若x <0，则f (x )>1.其中正确的命题是( ) A ．②③ B ．①④ C ．②④D ．①③[答案] B[解析] 将函数y ＝f (x ＋1)的图象向右平移1个单位得到y ＝f (x )的图象．∵在y ＝f (x ＋1)的图象上，当x <－1时，f (x )>1，∴在y ＝f (x )的图象上，当x <0时，f (x )>1，∵y ＝f (x ＋1)的图象过点(－1,1)，∴f (0)＝1，故选B.7．(2010·温州十校联考)函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为( )A ．2 B.23 C.13D ．1[答案] B[解析] 由题可知函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，当f (x )＝0时x ＝1，当f (x )＝1时x ＝3或13，所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[13，3]，[1,3]，[13，1]，所以b －a的最小值为23.故选B.8．(2010·湖南理，8)有min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小值，若函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t 的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1[答案] D[解析] 如图，要使f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t ＝1.9．若函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象分别如图，则f (x )·g (x )的图象可能是( )[答案] C[解析] 由f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可知f (x )·g (x )为奇函数，x ∈(－3,0)时，f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (x )>0，故选C.10．(文)(2010·山东济南、芜湖十二中)函数y ＝x |x |·a x (a >1)的图象的基本形状是( )[答案] A[解析] 当x >0时，y ＝a x (a >1)为增函数，当x <0时，y ＝－a x (a >1)，为减函数，故选A.(理)(2010·山东省实验中学)设函数f (x )＝ax ＋bx 2＋c的图象如图，则a 、b 、c 满足( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a[答案] D[解析] f (x )的图象关于y 轴对称，∴a ＝0，∵y ＝x 2＋c 在(0，＋∞)上单增，又f (x )＝b x 2＋c在(0，＋∞)上单减，且f (x )定义域为R ，∴b >0，c >0，又f (0)＝bc>1，∴b >c ，故选D.二、填空题11．(文)(2010·通州市模拟)已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．[答案] 2[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )图象过点⎝⎛⎭⎫2，12， ∴12＝2α，∴α＝－1， ∴f (x )＝x －1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2.(理)(2010·芜湖十二中)幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值是______．[答案] 13[解析] ∵f (x )＝x α过点⎝⎛⎭⎫－2，－18， ∴(－2)α＝－18，∴α＝－3.由f (x )＝27得，x －3＝27，∴x ＝13.12．函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象交点为(x 0，y 0)，x 0所在区间是(a ，b )，a 、b 为相邻的整数，则a ＋b ＝______.[答案] 3[解析] ∵y 1＝x 3单调增，y 2＝⎝⎛⎭⎫12x －2单调减，当x ＝1时，y 1＝1，y 2＝2，y 1<y 2；当x ＝2时，y 1＝8，y 2＝1，y 1>y 2，∴两函数图象交点坐标x 0∈(1,2)，故a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3.13．若f (x )＝ax ＋2x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．[答案] a >1[解析] f (x )＝ax ＋2x ＋2＝a (x ＋2)＋2(1－a )x ＋2＝2(1－a )x ＋2＋a .∵f (x )在(－2，＋∞)上为增函数， ∴1－a <0，即a >1.14．(2010·常德市调研)设P 表示使幂函数y ＝xc 2－5c ＋6在(0，＋∞)上是增函数的c 的集合；Q 表示不等式|x －1|＋|x －2c |>1对任意x ∈R 恒成立的c 的集合，则P ∩Q ＝________.[答案] (－∞，0)∪(1,2)∪(3，＋∞)[解析] ∵幂函数y ＝xc 2－5c ＋6在(0，＋∞)上是增函数，∴c 2－5c ＋6>0，即P ＝(－∞，2)∪(3，＋∞)，又不等式|x －1|＋|x －2c |>1对任意x ∈R 恒成立， ∴|2c －1|>1，∴c >1或c <0，即Q ＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，∴P ∩Q ＝(－∞，0)∪(1,2)∪(3，＋∞)．三、解答题15．已知函数f (x )＝x 13－x －135，g (x )＝x 13＋x －135.(1)证明f (x )是奇函数，并求其单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，并由此概括一个涉及函数f (x )，g (x )的对所有非零实数x 都成立的不等式，并证明．[解析] (1)证明：因为f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )13－(－x )－135＝－x 13－x －135＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．设x 1<x 2，x 1，x 2∈(0，＋∞)，则f (x 1)－f (x 2)＝x 131－x －1315－x 132－x －1325＝15(x 131－x 131)(1＋1x 131·x 132)，因为x 131－x 132<0,1＋1x 131·x 132>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0.故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．又因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(－∞，0)上也是单调递增函数，即f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)经过计算可得f (4)－5f (2)g (2)＝0，f (9)－5f (3)g (3)＝0，由此可得对所有非零实数x 都成立的一个等式是f (x 2)－5f (x )g (x )＝0.证明如下：f (x 2)－5f (x )g (x )＝x 23－x －235－5·x 13－x －135·x 13＋x －135＝15(x 23－x －23)－15(x 23－x －23)＝0.16．(文)(北京丰台)已知函数g (x )＝(a －2)x (x >－1)，函数f (x )＝ln(1＋x )＋bx 的图象如图所示．(1)求b 的值；(2)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间． [解析] (1)f ′(x )＝11＋x ＋b ，由题图可知f ′(－0.5)＝0⇒b ＝－2. (2)F (x )＝f (x )－g (x )＝ln(1＋x )－2x －(a －2)x ＝ln(1＋x )－ax .F ′(x )＝11＋x－a .令F ′(x )＝11＋x －a >0，因为x ＋1>0，所以ax <1－a .当a >0时，F ′(x )>0⇒－1<x <1a－1，故函数F (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－1，1a －1，单调减区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞. 当a ≤0时，F ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，故函数F (x )的单调增区间是(－1，＋∞)；综上所述：当a >0时，函数F (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－1，1a －1，单调减区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞.当a ≤0时，函数F (x )的单调增区间是(－1，＋∞)．(理)(2010·山东滨州质检)已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)且幂函数g (x )＝xm 2－m －2(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称．(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )； ③f (x )<g (x )．[解析] (1)设f (x )＝x α，∵f (x )的图象过点(2，2)， ∴2＝(2)α，∴α＝2，∴f (x )＝x 2；又g (x )＝xm 2－m －2的图象与x 轴、y 轴都无公共点， ∴m 2－m －2≤0，∴－1≤m ≤2.∵m ∈Z ，∴m ＝0或±1或2，当m ＝0或1时，g (x )＝x －2是偶函数，图象关于y 轴对称，当m ＝－1或2时，y ＝x 0也满足，故g (x )＝x－2或g (x )＝x 0.(2)若g (x )＝x 0＝1，则由f (x )>g (x )得，x 2>1，∴x >1或x <－1.故x >1或x <－1时，f (x )>g (x )，x ＝±1时，f (x )＝g (x )，－1<x <0或0<x <1时，f (x )<g (x )．若g (x )＝x －2，则由f (x )>g (x )得，x 2>1x 2，∴x 4>1，∴x >1或x <－1，故当x >1或x <－1时，有f (x )>g (x )；当x ＝±1时，f (x )＝g (x )；当－1<x <0或0<x <1时，f (x )<g (x )．综上知，x >1或x <－1时，f (x )>g (x )；x ＝±1时，f (x )＝g (x )；－1<x <0或0<x <1时，f (x )<g (x )． 17．(文)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)且满足f (－1)＝0，对任意实数x ，恒有f (x )－x ≥0，并且当x ∈(0,2)时，有f (x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋122.(1)求f (1)的值； (2)证明a >0，c >0；(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (x ∈R )是单调函数，求证：m ≤0或m ≥1. [解析] (1)对x ∈R ，f (x )－x ≥0恒成立，当x ＝1时，f (1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f (1)≤⎝⎛⎭⎫1＋122＝1， ∴1≤f (1)≤1，∴f (1)＝1.(2)证明：∵f (1)＝1，f (－1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝1， a －b ＋c ＝0，∴b ＝12.∴a ＋c ＝12.∵f (x )－x ≥0对x ∈R 恒成立， ∴ax 2－12x ＋c ≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0ac ≥116，∴c >0，故a >0，c >0.(3)证明：∵a ＋c ＝12，ac ≥116，由a >0，c >0及a ＋c ≥2ac ，得ac ≤116，∴ac ＝116，当且仅当a ＝c ＝14时，取“＝”．∴f (x )＝14x 2＋12x ＋14.∴g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2＋⎝⎛⎭⎫12－m x ＋14＝14[x 2＋(2－4m )x ＋1]． ∵g (x )在[－1,1]上是单调函数，∴2m －1≤－1或2m －1≥1，∴m ≤0或m ≥1.(理)如图所示，定义在区间D 上的函数f (x )，如果满足：对∀x ∈D ，∃常数A ，都有f (x )≥A 成立，则称函数f (x )在D 上有下界，其中A 称为函数的下界．(1)试判断函数f (x )＝x 3＋48x在(0，＋∞)上是否有下界？并说明理由；(2)已知某质点的运动方程为S (t )＝at －2t ＋1，要使在t ∈[0，＋∞)上的每一时刻，该质点的瞬时速度是以12为下界的函数，求实数a 的取值范围．[分析] 第(1)问可以转化为求函数在指定区间上是否有最小值，若有最小值，此最小值就是下界值；第(2)问转化为不等式恒成立的问题进行解决即可，也就是转化为最值来解决．[解析] (1)由f (x )＝x 3＋48x 得，f ′(x )＝3x 2－48x 2＝3x2(x 4－16)，当x ∈(0，＋∞)时，由f ′(x )＝0得，x ＝2是f (x )的极小值点，也是惟一的极小值点，所以x ∈(0，＋∞)时，f min (x )＝f (2)＝32，即函数f (x )＝x 3＋48x在(0，＋∞)上有下界，下界是32.(2)在t ∈[0，＋∞)上的每一时刻，该质点的瞬时速度v ＝S ′(t )＝a －1t ＋1，依题意得对∀t ∈[0，＋∞)有a －1t ＋1≥12，即a ≥1t ＋1＋12对∀t ∈[0，＋∞)恒成立．所以a ≥32.。